lingkaran-1225726926920501-8

© Aidia Propitious 1

LINGKARAN

(Rumus) PERSAMAAN LINGKARAN

Pusat (0,0) Pusat (a,b) Pusat

POSISI TITIK TERHADAP LINGKARAN

Pusat (0,0) Pusat (a,b) Umum

(x1, y1) pada lingkaran x12 + y1

2 = r2 (x1 - a)2 + (y1 - b)2 = r2

(x1, y1) di luar lingkaran x12 + y1

2 > r2 (x1 - a)2 + (y1 - b)2 > r2

(x1, y1) dalam lingkaran x12 + y1

2 < r2 (x1 - a)2 + (y1 - b)2 < r2

Jarak Titik ke Garis

POSISI GARIS TERHADAP LINGKARAN

Langkah:

1. Ubah persamaan garis menjadi y = mx + n 2. Subsitusikan ke persamaan lingkaran 3. Hitung nilai Diskriminan (D)

garis memotong lingkaran (2 titik potong) D > 0 garis menyinggung lingkaran (1 titik potong) D = 0 garis tidak memiliki sekutu dengan lingkaran D < 0

GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN

Pusat (0,0) Pusat (a,b) Umum

Melalui 1 Titik

pada Lingkaran

Melalui 1 Titik

di Luar Lingkaran Langkah:

1. Gradien garis singgung m. Garis melalui (x1, y1), maka persamaan garis: y = m (x – x1) + y1 2. Subsitusikan y ke persamaan lingkaran hingga didapat persamaan kuadrat gabungan. Lalu hitung nilai D.

3. Garis menyinggung, maka D = 0, nilai m diperoleh. Masukkan nilai m ke y = m (x – x1) + y1.

Gradien Garis Diketahui


(Contoh Soal) 1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari 5! Analisalah kedudukan titik: P (1,2),

Q (3,4), dan R (2,5)!

Jawab:

P (1,2) di dalam lingkaran karena:

Q (3,4) pada lingkaran karena:

R (2,5) di luar lingkaran karena:

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan melalui titik A (-3,4)!

Jawab:

3. Diketahui titik A (2,-1) dan titik B (-2,1). Tentukan persamaan lingkaran jika AB merupakan garis tengah lingkaran itu! Jawab:

Jari-jari lingkaran:

Persamaan lingkaran:

4. Sebuah lingkaran berpusat di (0,0) dan menyinggung garis g 3x + 4y – 15 = 0. Tentukan persamaan lingkaran itu! Jawab: Jarak titik ke garis:


5. Diketahui titik A (2,0) dan B (8,0). Tentukan tempat kedudukan titik P (x,y) yang memenuhi hubungan PB = 2 PA! Jawab: Jarak titik P (x,y) ke titik A (2,0):

Jarak titik P (x,y) ke titik B (8,0):


Sehingga:

6. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (-1,2) dan jari-jari 3! Analisalah kedudukan titik-titik berikut: P (1,3), Q (-4,2), dan R (2,4)! Jawab:

P (1,3) di dalam lingkaran karena:

Q (-4,2) pada lingkaran karena:

R(2,4) di luar lingkaran karena:

7. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di A (3,1) dan melalui titik B (6,-3)! Jawab:

Sehingga:

8. Diketahui titik P (4,-1) dan titik Q (-2,5). Tentukan persamaan lingkaran jika PQ adalah diameter dari lingkaran itu! Jawab:



9. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (1,3) dan menyinggung sumbu X serta menyinggung sumbu Y!

Jawab: Lingkaran menyinggung sumbu X r = 3 satuan:

Lingkaran menyinggung sumbu Y r = 1 satuan:

10. Lingkaran yang berpusat di A (-1,1) menyinggung garis g 3x + 4y – 11 = 0. Tentukan persamaan lingkaran!

Jawab:


Jarak titik ke garis:


11. Tentukan persamaan umum lingkaran jika diketahui pusat (-3,5) dan jari-jari 6! Jawab:

12. Diketahui bentuk umum persamaan lingkaran sebagai L x2 + y2 – 8x – 2y + 8 = 0. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran!

Jawab: Langkah 1 Kelompokkan suku sejenis:

L (x2 – 8x) + (y2 – 2y) = -8 Langkah 2 Buatlh menjadi kuadrat sempurna:

(x – 4)2 + (y – 1)2 = -8 +16 + 1 L (x – 4)2 + (y – 1)2 = 9

Pusat lingkaran = (4,1) dan jari-jari = 3

13. Diketahui persamaan lingkaran umum sebagai berikut L x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0. Tentukan pusat

dan jari-jari! Analisalah kedudukan titik-titik: A (1,1), B (5,-1), dan C (4,2) terhadap lingkaran!

Jawab: A = -4, B = 2, C = -4

Pusat lingkaran:


A (1,1) di dalam lingkaran karena:

B (5,-1) pada lingkaran karena:

C (4,2) di luar lingkaran karena:

14. Diketahui persamaan lingkaran L x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0. Tentukan nilai a di titik P (a,6) jika titik P terletak pada lingkaran! Jawab:

A = 2, B = -5, C = -21


Kedudukan titik:

Maka: a = -5 atau a = 3

15. Diketahui garis g x + y = 1 dan lingkaran L x2 + y2 = 4. Tentukan kedudukan garis terhadap lingkaran!

Jawab: Langkah 1 ubah persamaan garis menjadi:

Langkah 2 subsitusikan persamaan garis ke persamaan lingkaran:

Langkah 3 uji nilai Diskriminan:

Artinya garis g memotong lingkaran di dua titik berbeda

16. Tentukan koordinat titik potong antara garis g x – y – 4 = 0 dengan lingkaran L x2 + y2 – 8x – 2y + 12 = 0! Jawab: Langkah 1 ubah persamaan garis:

Langkah 2 subsitusikan ke persamaan lingkaran:

Maka:

Untuk x = 3:

Untuk x = 6:

17. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L x2 + y2 = 5 di titik (-2,1)! Jawab:

18. Tentukan persaman garis singgung pada lingkaran L (x – 3)2 + (y+1)2 = 25 di titik (7,2)!

Jawab:

19. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L x2 + y2 + 4x – 6y – 27 = 0 di titik (4,1)!

Jawab:


Maka:

20. Tentukan persamaan garis singgung yang dapat ditarik melalui titik (-1,7) ke L x2 + y2 = 25!

Tentukan pula koordinat titik-titik singgungnya! Jawab: Langkah 1 misal garis singgung mempunyai gradien m:

Langkah 2 subsitusikan persaman garis singgung ke persamaan lingkaran:

Langkah 3 hitunglah nilai Diskriminan:

Syarat garis singgung D = 0:

Langkah 4 subsitusikan nilai m ke persaman garis:

Untuk m = - ¾:

Untuk m = /3:

Langkah 5 menentukan koordinat titik singgung: Untuk :

Untuk :

21. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L x2 + y2 = 16 yang:

a. Bergradien 3 b. Membentuk sudut 60° terhadap sumbu X c. Sejajar garis 3x – 4y + 10 = 0 d. Tegak lurus garis 3x – 4y + 10 = 0 Jawab: a. m = 3, sehingga:


b. m = tan 60° = :

c. Sejajar 3x – 4y + 10 = 0:

d. Tegak lurus 3x – 4y + 10 = 0:

22. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 yang sejajar dengan garis 5x – 12y + 15 = 0!

Jawab: Langkah 1 ubah persamaan lingkaran menjadi persamaan kuadrat sempurna:

Langkah 2 ubah persamaan garis:

Langkah 3 subsitusikan ke persamaan:

Sehingga: 5x – 12y + 10 = 0 atau 5x – 12y – 68 = 0

(Soal)

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan memiliki jari-jari: a. 2

b.

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan melalui titik:

a. ( , 0)

b. (5, 2) c. (1, -5)

3. Tentukan jari-jari lingkaran berikut:

a. x2 + y2 = 36 b. x2 + y2 = 32 c. 2x2 + 2y2 = 100


4. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari sebagai berikut: a. Pusat (3,5), r = 2 b. Pusat (-2, 1), r =5

c. Pusat (0, 3), r =

5. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut:

a. (x – 6)2 + (y – 5)2 = 36 b. (x – 1)2 + (y + 3)2 = 20 c. x2 + y2 + x – y = 0 d. 4x2 + 4y2 – 8x + 12y = 3

6. Sebuah lingkaran memiliki persamaan sebagai berikut: (x – 5)2 + (y + 8)2 = 225. Sebuah lingkaran lain sepusat dan lebih kecil, memiliki jari-jari sepertiga jari-jari lingkaran tersebut. Tentukan persamaan lingkaran yang lebih kecil!

7. Tentukan persamaan lingkaran dalam bentuk baku jika diketahui: a. Pusat (-5, 12) melalui (0, 0) b. Pusat (-3, 5) melalui (-7, -2) c. Diameter (-3, 1) dan (-5, 3) d. Pusat (3, -5) menyinggung sumbu x e. Pusat (3, -5) menyinggung sumbu y

8. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui:

a. (4, 2), (1, 3) dan (-3, -5)

b. (5, 1), (4, 6), dan (2, -2) c. (5, 0), (0, 5), dan (-1, 0)

9. Tentukan posisi titik berikut terhadap lingkaran x2 + y2 – 2x – 18y – 150 = 0:

a. (-5, -5) b. (-5, 5) c. (-8, -4)

10. Jika titik (-5, k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0, tentukan dua nilai k yang

mungkin!

11. Jika titik (1, 3) terletak pada lingkaran 3x2 + 3y2 + ax – 6y – 9 = 0, tentukan pusat dan jari-jari lingkaran!

12. Carilah titik potong garis dengan lingkaran untuk kasus-kasus berikut: a. y = 2x dan x2 + y2 = 80

b. y = 3x dan x2 + y2 = 100

c. sumbu x dan x2 + y2 – 8x – 14y + 14 = 0

d. sumbu y dan x2 + y2 – 12x – 16 = 0

e. 4x + 6y = 50 dan x2 + y2 = 25

f. y = x + 1 dan (x + 1)2 + (y – 2)2 = 100

13. Dengan metode determinan, periksalah kedudukan garis terhadap lingkaran: a. y = 2x + 8 pada x2 + y2 + 4x + 2y – 20 = 0 b. x + y = -2 pada x2 + y2 – 6x – 8y = 0 c. x – 3y – 33 = 0 pada x2 + y2 – 2x + 8y – 23 = 0

14. Tunjukkan bahwa titik (-3, 5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 34, kemudian tentukan persamaan

garis singgung melalui titik (-3, 5) pada lingkaran!

15. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 1)2 + (y + 6)2 = 5 yang melalui titik (2, -4)!

16. Garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (-3, 4) menyinggung lingkaran dengan pusat (10, 5)

dan jari-jari r. Tentukan nilai r!


17. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui: a. Titik (7, 5) pada x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0

b. Titik (-9, 3) pada x2 + y2 + 6x – 4y – 24 = 0

18. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut: a. x2 + y2 = 25 dengan gradient – 2

b. x2 + y2 = 20 tegak lurus garis 2x + y – 5 = 0

c. (x + 2)2 + (y + 5)2 = 8 sejajar garis – 7x + 2y – 14 = 0

19. Garis 3x + y = p menyinggung lingkaran x2 + y2 – 6x + 8y + 15 = 0. Tentukan:

a. Dua nilai p yang mungkin b. Kedua titik singgung, kemudian tentukan persamaan lingkaran dengan titik-titik singgung itu

sebagai diameter.

20. Tentukan persamaan garis singgung yang: a. Ditarik dari (9,0) pada lingkaran x2 + y2 = 36

b. Ditarik dari (-3, 1) pada lingkaran x2 + y2 = 8

21. Tentukan persamaan garis singgung yang: a. Ditarik dari (5, -5) pada lingkarn x2 + y2 = 40 b. Ditarik dari (0, 2) pada lingkaran x2 + y2 – 8x – 4y + 16 = 0

22. Lingkaran x2 + y2 – 2px + q = 0 berjari-jari 2 menyinggung garis x – y = 0. Tentukan nilai p!

23. Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki jari-jari dan menyinggung garis 2x – 3y + 1 = 0

pada (1, 1)!

24. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 + 4x – 10y + 20 = 0!

25. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 + 6x – 8y – 24 = 0 dengan cara melengkapkan kuadrat!

26. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (-1, 2), (7, -2) dan (8, 5)!

27. Bagaimana posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran x2 + y2 – 4x – 8y – 5 = 0? a. (2, 9)

b. (-2, 5)

c. (3, -1)

28. Nyatakan apakah garis 3x + y = - 10 memotong lingkaran x2 + y2 – 8x + 4y – 20 = 0 di satu titik, dua titik, atau tidak memiliki titik potong!

29. Dimanakah titik potong garis x – 2y – 8 = 0 dan lingkaran x2 + y2 – 12x + 6y + 29 = 0?

30. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (2, 2) pada lingkaran x2 + y2 = 8!

31. Tentukan persaman garis singgung yang melalui titik (-3, -4) pada lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y – 15 = 0!

32. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 3)2 + (y + 4)2 = 25 yang tegak lurus dengan garis 3x + 4y – 8 = 0!

33. Tentukan persamaan garis singgung pada x2 + y2 = 36 yang melalui titik (8,0)!

34. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L x2 + y2 = 10 di titik (3,1)! Apabila garis

singgung tersebut juga menyinggung lingkaran L (x – 5)2 + (y – 11)2 = p2, hitunglah nilai p!


35. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L x2 + y2 – 8x – 2y + 12 = 0 yang:

a. Bergradien 5 b. Membentuk sudut 30° terhadap sumbu X c. Sejajar garis x + y – 8 = 0

d. Tegak lurus garis x + y – 8 = 0

lingkaran-1225726926920501-8

Documents