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LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 11 de Dezembro de 2004, as 17:11

Exerccios Resolvidos de Teoria Eletromagnetica

Jason Alfredo Carlson Gallas

Professor Titular de Fsica Teorica

Doutor em Fsica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fsica

Materia para a PRIMEIRA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro

Fundamentos de Fsica, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/

jgallas clicando-se em ENSINO

Conteudo

23 Carga Eletrica 2

23.1 Questoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

23.2 Problemas e Exerccios . . . . . . . . . 3

23.2.1 Lei de Coulomb . . . . . . . . 3

23.2.2 A Carga e Quantizada . . . . . 8

23.2.3 A Carga e Conservada . . . . . 10

23.2.4 As Constantes da Fsica: UmAparte . . . . . . . . . . . . . . 10

24 Campo Eletrico 12

24.1 Questoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


24.2.1 Linhas de campo eletrico . . . . 12

24.2.2 O campo eletrico criado por

uma carga puntiforme . . . . . 13

24.2.3 O campo criado por um dipolo

eletrico . . . . . . . . . . . . . 15

24.2.4 O campo criado por uma linha

de cargas . . . . . . . . . . . . 17

24.2.5 O campo eletrico criado por um

disco carregado . . . . . . . . . 19

24.2.6 Carga puntiforme num campo

eletrico . . . . . . . . . . . . . 19

24.2.7 Um dipolo num campo eletrico . 23

25 Lei de Gauss 24

25.1 Questoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


25.2.1 Fluxo do campo eletrico . . . . 25

25.2.2 Lei de Gauss . . . . . . . . . . 25

25.2.3 Um condutor carregado isolado 26

25.2.4 Lei de Gauss: simetria cilndrica 27

25.2.5 Lei de Gauss: simetria plana . . 28

25.2.6 Lei de Gauss: simetria esferica . 30

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23 Carga Eletrica

23.1 Questoes

Q 23-1

Sendo dadas duas esferas de metal montadas em supor-

te portatil de material isolante, invente um modo de car-

rega-las com quantidades de cargas iguais e de sinais

opostos. Voce pode usar uma barra de vidro ativada com

seda, mas ela nao pode tocar as esferas. E necessario

que as esferas sejam do mesmo tamanho, para o metodo

funcionar?

Um metodo simples e usar inducao eletrostatica: ao

aproximarmos a barra de vidro de qualquer uma das es-

feras quando ambas estiverem em contato iremos indu-

zir (i) na esfera mais proxima, uma mesma carga igual

e oposta a carga da barra e, (ii) na esfera mais afastada,

uma carga igual e de mesmo sinal que a da barra. Se

separarmos entao as duas esferas, cada uma delas ira fi-

car com cargas de mesma magnitude porem com sinais

opostos. Este processo nao depende do raio das esfe-

ras. Note, entretanto, que a densidade de cargas sobre

a superfcie de cada esfera apos a separacao obviamente

depende do raio das esferas.

Q 23-2

Na questao anterior, descubra um modo de carregar as

esferas com quantidades de carga iguais e de mesmo si-

nal. Novamente, e necessario que as esferas tenham o

mesmo tamanho para o metodo a ser usado?

O enunciado do problema anterior nao permite que

toquemos com o bastao nas esferas. Portanto, repeti-

mos a inducao eletrostatica descrita no exerccio ante-

rior. Porem, mantendo sempre a barra proxima de uma

das esferas, removemos a outra, tratando de neutralizara carga sobre ela (por exemplo, aterrando-a). Se afas-

tarmos o bastao da esfera e a colocarmos novamente em

contato com a esfera cuja carga foi neutralizada, iremos

permitir que a carga possa redistribuir-se homogenea-

mente sobre ambas as esferas. Deste modo garantimos

que o sinal das cargas em ambas esferas e o mesmo. Pa-

ra que a magnitude das cargas seja tambem identica e

necessario que as esferas tenham o mesmo raio. E que a

densidade superficial comum as duas esferas quando em

contato ira sofrer alteracoes diferentes em cada esfera,

apos elas serem separadas, caso os raios sejam diferen-

tes.

Q 23-3

Uma barra carregada atrai fragmentos de cortica que, as-

sim que a tocam, sao violentamente repelidos. Explique

a causa disto.

Como os dois corpos atraem-se inicialmente, deduzi-

mos que eles possuem quantidades de cargas com sinais

diferentes. Ao tocarem-se a quantidade de cargas menor

e equilibrada pelas cargas de sinal oposto. Como a carga

que sobra reparte-se entre os dois corpos, estes passam a

repelir-se por possuirem, entao, cargas de mesmo sinal.

Note que afirmar existir repulsao apos os corpos

tocarem-se equivale a afirmar ser diferente a quantida-

de de cargas existente inicialmente em cada corpo.

Q 23-4

As experiencias descritas na Seccao 23-2 poderiam ser

explicadas postulando-se quatro tipos de carga, a saber,

a do vidro, a da seda, a do plastico e a da pele do animal.

Qual e o argumento contra isto?

E facil verificar experimentalmente que os quatro ti-

pos novos de carga nao poderiam ser diferentes umas

das outras. Isto porque e possvel separar-se os quatro

tipos de carga em dois pares de duas cargas que sao in-

distinguveis um do outro, experimentalmente.

Q 23-6

Um isolante carregado pode ser descarregado passando-

o logo acima de uma chama. Explique por que?

E que a alta temperatura acima da chama ioniza o ar,

tornando-o condutor, permitindo o fluxo de cargas.

Q 23-9

Por que as experiencias em eletrostatica nao funcionambem em dias umidos?

Em dias umidos existe um excesso de vapor de

agua no ar. Conforme sera estudado no Captulo 24, a

molecula de agua,

, pertence a classe de moleculas

que possui o que se chama de momento de dipolo

eletrico, isto e, nestas moleculas o centro das cargas

positivas nao coincide com o centro das cargas nega-

tivas. Este desequilbrio faz com que tais moleculas

sejam eletricamente ativas, podendo ser atraidas por

superfcies carregadas, tanto positiva quanto negativa-

mente. Ao colidirem com superfcies carregadas, as


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moleculas agem no sentido de neutralizar parte da car-

ga na superfcie, provocando deste modo efeitos inde-

sejaveis para os experimentos de eletrostatica. Isto por-

que nao se tem mais certeza sobre qual a quantidade de

carga que realmente se encontra sobre a superfcie.

Q 23-13

Uma pessoa em pe sobre um banco isolado toca um con-

dutor tambem isolado, mas carregado. Havera descarga

completa do condutor?

Nao. Havera apenas uma redistribuicao da carga entre

o condutor e a pessoa.

Q 23-14

(a) Uma barra de vidro positivamente carregada atrai um

objeto suspenso. Podemos concluir que o objeto esta

carregado negativamente? (b) A mesma barra carregada

positivamente repele o objeto suspenso. Podemos con-

cluir que o objeto esta positivamente carregado?

(a) Nao. Poderamos estar lidando com um objeto

neutro porem met alico, sobre o qual seria possvel in-

duzir uma carga, que passaria entao a ser atraido pela

barra. (b) Sim, pois nao se pode induzir carga de mes-

mo sinal.

Q 23-16

Teria feito alguma diferenca significativa se Benjamin

Franklin tivesse chamado os eletrons de positivos e os

protons de negativos?

Nao. Tais nomes sao apenas uma questao de

convencao.

Na terceira edicao do livro, afirmava-se que Fran-

klin, alem de positivo e negativo, haveria introdu-

zido tambem as denominacoes bateria e carga. Na

quarta edicao a coisa ja mudou de figura... Eu tenho a

impressao que positivo e negativo devem ser ante-

riores a Franklin mas nao consegui localizar referencias

adequadas. O qumico frances Charles Francois de Cis-ternay Du Fay (1698-1739), descobriu a existencia de

dois tipos de eletricidade: vitrea (do vidro) e resinosa

(da resina).

Porem, a quem sera que devemos os nomes de cargas

positivas e negativas? Ofereco uma garrafa de boa

champanha a quem por primeiro me mostrar a solucao

deste puzzle!

Q 23-17

A Lei de Coulomb preve que a forca exercida por uma

carga puntiforme sobre outra e proporcional ao produto

das duas cargas. Como voce poderia testar este fato no

laboratorio?

Estudando de que modo varia a forca necessaria paralevar-se cargas de distintos valores ate uma distancia

,

constante, de uma outra carga fixa no espaco.

Q 23-18

Um eletron (carga

) gira ao redor de um nucleo

(carga

) d e u m atomo de helio. Qual das

partculas exerce maior forca sobre a outra?

Se realmente voce nao souber a resposta correta, ou

faz e entendeo Exerccio E 23-2 ou tranca o curso bem

rapido!

Q 23-15 extra A forca eletrica que uma carga exerce

sobre outra se altera ao aproximarmos delas outras car-

gas?

A forca entre duas cargas quaisquer depende unica

e exclusivamente das grandezas que aparecem na ex-

pressao matematica da lei de Coulomb. Portanto, e facil

concluir-se que a forca pre-existente entre um par de car-

gas jamais podera depender da aproximacao de uma ou

mais cargas. Observe, entretanto, que a novidade que

resulta da aproximacao de cargas extras e que a forca

resultante sobre cada carga pre-existente podera alterar-

se, podendo tal resultante ser facilmente determinada

com o princpio de superposicao.

23.2 Problemas e Exerccios

23.2.1 Lei de Coulomb

E 23-1

Qual seria a forca eletrostatica entre duas cargas de

Coulomb separadas por uma distancia de (a) ! m e (b)

!km se tal configuracao pudesse ser estabelecida?

(a)# % & ) ) 0 ! 4 5 7 9 7

7 @

& ) ) 0 ! 4N.

(b)# % & ) ) 0 ! 4 5 7 9 7

P

7 Q S U@

& ) ) 0 ! XN.

E 23-2

Uma carga puntiforme de Y ! 0 ! c d

C dista

cm

de uma segunda carga puntiforme de g 0 ! c d

C.

Calcular o modulo da forca eletrostatica que atua sobre

cada carga.


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De acordo com a terceira Lei de Newton, a forca que

uma cargas

7

exerce sobre outra cargas

e igual em

modulo e de sentido contrario a forca que a cargas

exerce sobre a cargas

7

. O valor desta forca e dado pela

Eq. 23-4. Conforme a convencao do livro, usamos aqui

os modulos das cargas. Portanto

#

t u v

Q

s

7

s

x

% & ) ) 0 !

4

5

% Y 0 ! c d 5 % g 0 ! c d 5

% 0 !

c

5

& N

E 23-3

Qual deve ser a distancia entre duas cargas puntiformess

7

C e

s

t

C para que o modulo da forca

eletrostatica entre elas seja deg

N?

% & ) ) 0 !

4

5 % 0 !

c d

5 %

t

0 !

c d

5

g

t

metros

E 23-4

Na descarga de um relampago tpico, uma corrente de

g 0 !

Amperes flui durante !

s. Que quantidadede carga e transferida pelo relampago? [Note: Ampere e

a unidade de corrente no SI; esta definida na Seccao 28-

2 do livro; mas o captulo 23 fornece meios de resolver

o problema proposto.]

Usamos a Eq. (23-3):

s % g 0 !

5 % ! 0 !

c d

5 ! gC

Tal carga e grande ou pequena? Compare com as car-

gas dadas nos Exemplos resolvidos do livro.

E 23-5

Duas partculas igualmente carregadas, mantidas a umadistancia

Y 0 ! c Xm uma da outra, sao largadas a

partir do repouso. O modulo da aceleracao inicial da

primeira partcula e de

!m/s

e o da segunda e de) !

m/s

. Sabendo-se que a massa da primeira partcula va-

le Y 0 ! c

Kg, quais sao: (a) a massa da segunda

partcula? (b) o modulo da carga comum?

(a) Usando a terceira lei de Newton temos 7 7

, de modo que

7

7

Y 0 !

c

0

)

t

) 0 !

c kg

(b) Como temos# s

%

t u j

Q

x

5

7 7 segue que

s

x m

t u j

Q

7 7

Y 0 !

c X

0

% Y 0 !

c

5 %

5

) 0 !

4

0 !

c

7 7 C

E 23-7

Duas esferas condutoras identicas e isoladas,

e

, pos-

suem quantidades iguais de carga e estao separadas por

uma distancia grande comparada com seus diametros(Fig. 23-13a). A forca eletrostatica que atua sobre a es-

fera

devida a esfera

e

. Suponha agora que uma

terceira esfera identicaY

, dotada de um suporte isolan-

te e inicialmente descarregada, toque primeiro a esfera

(Fig. 23-13b), depois a esfera

(Fig.. 23-13c) e, em

seguida, seja afastada (Fig. 23-13d). Em termos de

,

qual e a forca

que atua agora sobre a esfera

?

Chamemos des

a carga inicial sobre as esferas

e

. Apos ser tocada pela esfera

Y, a esfera

retem uma

carga igual as

. Apos ser tocada pela esfera

Y, a esfera

ira ficar com uma carga igual a

% s s

5

Y s

t

.

Portanto, teremos em modulo

#

s

Y s

t

Y

&

s

Y

&

#

onde

e uma constante (que envolvet u j

Q

bem como a

distancia fixa entre as esferas

e

, mas que nao vem ao

caso aqui) e# z s

representa o modulo de

.

P 23-8

Tres part culas carregadas, localizadas sobre uma linha

reta, estao separadas pela distancia

(como mostra a

Fig. 23-14). As cargass

7

es

sao mantidas fixas. A

carga sX

, que esta livre para mover-se, encontra-se emequilbrio (nenhuma forca eletrostatica lquida atua so-

bre ela). Determine s7

em termos de s

.

Chame de # | a forca sobre sX

devida a carga s | . Ob-

servando a figura, podemos ver que comos

X

esta em

equilbrio devemos ter#

7

# . As forcas

#

7

e#

tem

modulos iguais mas sentidos opostos, logo, s7

e s

tem

sinais opostos. Abreviando-se~

%

t u v

Q

5, temos

entao

#

7

~

s

7

s

X

% 5


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# ~

s

s

X

Substituindo estes valores na equacao#

7

#

, obte-mos s

7

t

s . Como as cargas devem ter sinais

opostos, podemos escrevers

7

t

s , que e a resposta

procurada.

Observe que o sinal da cargas

permanece totalmente

arbitrario.

P 23-10

Na Fig. 23-15, quais sao as componentes horizontal e

vertical da forca eletrostatica resultante que atua sobre

a carga do vertice esquerdo inferior do quadrado, sendo

s ! 0 ! c C e

g !cm?

Primeiro, escolhemos um sistema de coordenadascom a origem coincidente com a carga no canto esquer-

do, com o eixo

horizontal e eixo

vertical, como de

costume. A forca exercida pela carga s

na carga s

e

7

t u v

Q

% s 5 % s 5

% 5

A forca exercida por s

sobre s

e

t u v

Q

% s 5 % s 5

%

m

5

m

t u v

Q

s

m

m

Finalmente, a forca exercida por s

sobre s

e

X

t u v

Q

% s 5 % s 5

%

5

t u v

Q

%

t

s

5

%

5

Portanto, a magnitude da componente horizontal da

forca resultante e dada por

#} #

7

# #

X

t u v

Q

s

!

m

t

% & ) ) 0 !

4

5

0 ! c

g 0 !

c

m

t

!

N

enquanto que a magnitude da componente vertical e da-

da por

# #

7

# #

X

t u v

Q

s

m

! !

t

N

P 23-12

Duas esferas condutoras identicas, mantidas fixas,

atraem-se com uma forca eletrostatica de modulo igual

a! ! &

N quando separadas por uma distancia deg ! !

cm. As esferas sao entao ligadas por um fio condutor

fino. Quando o fio e removido, as esferas se repelem

com uma forca eletrostatica de modulo igual a! ! Y

N.

Quais eram as cargas iniciais das esferas?

Sejams

7 es

as cargas originais que desejamos cal-cular, separadas duma distancia x . Escolhamos um sis-

tema de coordenadas de modo que a forca sobre s

e

positiva se ela for repelida pors

7

. Neste caso a magni-

tude da forca inicial sobres

e

#|

t u v

Q

s

7

s

x

onde o sinal negativo indica que as esferas se atraem.

Em outras palavras, o sinal negativo indica que o pro-

dutos

7

s

t u v

Q

x

#|

e negativo, pois a forca#

|,

% #|

! 5

, e forca de atracao.

Como as esferas sao identicas, apos o fio haver sido co-nectado ambas terao uma mesma carga sobre elas, de

valor% s

7

s 5

. Neste caso a forca de repulsao final

e dada por

#

t u v

Q

% s

7

s 5

t

x

Das duas expressoes acima tiramos a soma e o produto

des

7

es

, ou seja

s

7

s

t u v

Q

x

#|

% ! g 5

% ! ! & 5

) 0 !

4

Y 0 !

c

7

C

e

s

7

b s

x

t

%

t u v

Q

5V # % ! g 5

t

% ! ! Y 5

) 0 !

4

0 !

c d C

Conhecendo-se a soma e o produto de dois numeros,

conhecemos na verdade os coeficientes da equacao do

segundo grau que define estes numeros, ou seja,

% s

7

5 % s 5

% s

7

s 5 s

7

s


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Dito de outra forma, se substituirmos

s % Y 0 !

c

7

5

s

7

% 5

na equacao da soma acima temos duas possibilidades:

s

7

Y ! 0 ! c

7

s

7

0 !

c d

% 5

ou

s

7

Y ! 0 ! c

7

s

7

0 !

c d

% 5

Considerando-se a Eq.

, temos

s

7

0 !

c d

s

7

Y 0 !

c

7

!

de onde tiramos as duas solucoes

s

7

0 ! c d % 0 !

c d

5

t

% Y 0 !

c

7

5

O sinal

fornece-nos

s

7

0 !

c d C es Y 0 !

c d C

enquanto que o sinal

fornece-nos

s

7

Y 0 !

c d C es

0 !

c d C

onde usamos a Eq. (*) acima para calculars

a partir de

s

7 .Repetindo-se a analise a partir da Eq.

percebemos

que existe outro par de solucoes possvel, uma vez que

revertendo-se os sinais das cargas, as forcas permane-

cem as mesmas:

s

7

0 !

c d C es Y 0 !

c d C

ou

s

7

Y 0 !

c d C es

0 !

c d C

P 23-15Duas cargas puntiformes livres

se

t

sestao a uma

distancia

uma da outra. Uma terceira carga e, entao,

colocada de tal modo que todo o sistema fica em

equilbrio. (a) Determine a posicao, o modulo e o sinal

da terceira carga. (b) Mostre que o equilbrio e instavel.

(a) A terceira carga deve estar situada sobre a linha

que une a carga s

com a carga

t

s. Somente quan-

do a terceira carga estiver situada nesta posicao, sera

possvel obter uma resultante nula, pois, em qualquer

outra situacao, as forcas serao de atracao (caso a ter-

ceira carga seja negativa) ou de repulsao (caso a terceira

carga seja positiva). Por outro lado, a terceira carga deve

ser negativa pois, se ela fosse positiva, as cargas s

e

t

snao poderiam ficar em equilbrio, pois as forcas

sobre elas seriam somente repulsivas. Vamos designar a

terceira carga por

, sendo

maior que zero. Seja

a distancia entre s

e

. Para que a carga

esteja

em equilbrio, o modulo da forca que s

exerce sobre

deve ser igual ao modulo da forca que

t

sexerce

sobre

. Portanto,

t u v

Q

s

t u v

Q

%

t

s 5

% 5

ou seja

% 5

t

As solucoes da equacao do segundo grau sao e

Y, sendo que apenas esta ultima solucao e fisicamente

aceitavel.

Para determinar o modulo de

, use a condicao de

equilbrio duas cargas do sistema. Por exemplo, para

que a carga s

esteja em equilbrio, o modulo da forca

que

exerce sobre s

deve igualar a modulo da forca

de

t

ssobre

s:

t u v

Q

s

t u v

Q

%

t

s 5 s

Dai tiramos que

t

s

que, para

Y,

fornece o valor procurado:

t

)

s

(b) O equilbrio e instavel; esta conclusao pode ser pro-

vada analiticamente ou, de modo mais simples, pode ser

verificada acompanhando-se o seguinte raciocnio. Um

pequeno deslocamento da carga

de sua posicao de

equilbrio (para a esquerda ou para a direita) produz uma

forca resultante orientada para esquerda ou para a direi-

ta.

P 23-16

(a) Que cargas positivas iguais teriam de ser colocadas

na Terra e na Lua para neutralizar a atracao gravitacio-

nal entre elas? E necessario conhecer a distancia entre a

Terra e a Lua para resolver este problema? Explique. (b)

Quantos quilogramas de hidrogenio seriam necessarios

para fornecer a carga positiva calculada no item (a)?

(a) A igualdade das forcas envolvidas fornece a se-

guinte expressao:

x

t u v

Q

s

x


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P 23-20

No problema anterior, cujas esferas sao condutoras (a)

O que acontecera apos uma delas ser descarregada? Ex-plique sua resposta. (b) Calcule a nova separacao de

equilbrio das bolas.

(a) Quando uma das bolas for descarregada nao po-

dera mais haver repulsao Coulombiana entre as bolas e,

consequentemente, as bolas cairao sob acao do campo

gravitacional ate se tocarem. Ao entrarem em contato, a

cargas

que estava originalmente numa das bolas ira se

repartir igualmente entre ambas bolas que, entao, por es-

tarem novamente ambas carregadas, passarao a repelir-

seate atingir uma nova separacao de equilbrio, digamos

.

(b) A nova separacao de equilbrio pode ser calculadausando-se

s s

:

% s 5

u v

Q

7

X

t

7

X

cm

s

u v

Q

7

X

t

7

X

0 ! ! gm

Y 0 !

c

m

Y cm

E possvel determinar o valor da tensao no fio de se-da?

P 23-21

A Fig. 23-17 mostra uma longa barra nao condutora, de

massa desprezvel e comprimento

, presa por um pi-

no no seu centro e equilibrada com um peso

a uma

distancia

de sua extremidade esquerda. Nas extremi-

dades esquerda e direita da barra sao colocadas peque-

nas esferas condutoras com cargas positivass

e s

, res-

pectivamente. A uma distancia

diretamente abaixo de

cada uma dessas cargas esta fixada uma esfera com uma

carga positiva . (a) Determine a distancia quando abarra esta horizontal e equilibrada. (b) Qual valor deve-

ria ter

para que a barra nao exercesse nenhuma forca

sobre o mancal na situacao horizontal e equilibrada?

(a) Como a barra esta em equilbrio, a forca lquida

sobre ela e zero e o torque em relacao a qualquer ponto

tambem e zero. Para resolver o problema, vamos escre-

ver a expressao para o torque lquido no mancal, iguala-

la a zero e resolver para

.

A carga

a esquerda exerce uma forca para cima

de magnitude%

t u j

Q

5 % s

5, localizada a uma

distancia

do mancal. Considere seu torque como

sendo, por exemplo, positivo. O peso exerce uma forca

para baixo de magnitude

, a uma distancia

a partir do mancal. Pela convencao acima, seu torque

tambem e positivo. A carga

a direita exerce uma

forca para cima de magnitude%

t u j

Q

5 % s

5, a

uma distancia

do mancal. Seu torque e negativo.

Para que nao haja rotacao, os torque sacima devem

anular-se, ou seja

t u j

Q

s

t u j

Q

s

!

Portanto, resolvendo-se para

, obtemos

t u j

Q

s

(b) A forca lquida na barra anula-se. Denotando-se por

a magnitude da forca para cima exercida pelo mancal,

entao

t u j

Q

s

t u j

Q

s

!

Quando a barra nao exerce nenhuma forca, temos

!

. Neste caso, a expressao acima, fornece-nos facilmen-

te que

t u j

Q

Y s

Observe que e essencial usar sempre um valor po-

sitivo para o braco de alavanca, para nao se inverter o

sentido do torque. Neste problema, o braco de alavanca

positivo e

, e nao

!

23.2.2 A Carga e Quantizada

E 23-24

Qual e a carga total em Coulombs de

gkg de eletrons?

A massa do eletron e ) 0 ! c X

7

kg de ma-

neira que a quantidade de eletrons em

gkg e

g

) 0 !

c X

7

& Y 0 !

X

7eletrons

Portanto, a carga total e

s % & Y 0 !

X

75 % ! 0 !

c

7

4

5

Y 0 !

7

X C


8/14/2019 Lista 13

9/34


E 23-26

O modulo da forca eletrostatica entre dois ons identicos

que estao separados por uma distancia de g ! 0 ! c 7 Q

m valeY

0 ! c 4N. (a) Qual a carga de cada on? (b)

Quantos eletrons estao faltando em cada on (o que da

ao on sua carga nao equilibrada)?

(a) Da Lei de Coulomb temos:

s

x

%

t u v

Q

5 # Y 0 !

c

7

4 C

(b) Cada eletron faltante produz uma carga positiva de

0 ! c

7

4C. Usando a Eq. 23-10,

s , encontra-

mos o seguinte numero

de eletrons que faltam:

Y 0 ! c

7

4

0 !

c

7

4

eletrons

E 23-27

Duas pequenas gotas esfericas de agua possuem cargas

identicas de ! 0 ! c7

d C, e estao separadas, centro

a centro, de !

cm. (a) Qual e o modulo da forca ele-

trostatica que atua entre elas? (b) Quantos eletrons em

excesso existem em cada gota, dando a ela a sua carga

nao equilibrada?

(a) Aplicando diretamente a lei de Coulomb encon-

tramos, em magnitude,

#

% ) 0 ! 4 5 % 0 ! c

7

d 5

% 0 !

c

5

) 0 !

c

7

4 N

(b)A quantidade

de eletrons em excesso em cada gota

e

s

! 0 ! c

7

d

! 0 !

c

7

4

g

P 23-31

Pelo filamento de uma lampada de ! !

W, operando em

um circuito de !

V, passa uma corrente (suposta cons-

tante) de! & Y

A. Quanto tempo e necessario para que

mol de eletrons passe pela lampada?

De acordo com a Eq. 23-3, a corrente constante que

passa pela lampada e s

, onde

se a quantida-

de de carga que passa atraves da lampada num intervalo

.

A carga s

correspondente a

mol de eletrons nada

mais e do que s

, onde ! Y 0 !

Xe

o numero de Avogadro. Portanto

% ! Y 0 !

X 5 % ! 0 ! c

7

4 5

! & Y

0 ! segundos

0 !

t

0 ! 0 !

Y &dias

P 23-34

Na estrtura cristalina do composto

(cloreto de

cesio), os ons Cs

formam os vertices de um cubo e

um on de Clc

esta no centro do cubo (Fig. 23-18). Ocomprimento das arestas do cubo e de

!

t

!nm. Em ca-

da on Cs

falta um eletron (e assim cada um tem uma

carga de

), e o on Clc

tem um eletron em excesso

(e assim uma carga

). (a) Qual e o modulo da forca

eletrostatica lquida exercida sobre o on Clc

pelos oito

ons Cs

nos vertices do cubo? (b) Quando esta faltan-

do um dos ons Cs

, dizemos que o cristal apresenta um

defeito; neste caso, qual sera a forca eletrostatica lquida

exercida sobre o on Cl c pelos sete ons Cs remanes-

centes?

(a) A forca lquida sobre o on Clc

e claramente ze-

ro pois as forcas individuais atrativas exercidas por cadaum dos ons de Cs

cancelam-se aos pares, por estarem

dispostas simetricamente (diametralmente opostas) em

relacao ao centro do cubo.

(b) Em vez de remover um on de cesio, podemos po-

demos superpor uma carga na posicao de tal on.

Isto neutraliza o on local e, para efeitos eletrostaticos,

e equivalente a remover o on original. Deste modo ve-

mos que a unica forca nao balanceada passa a ser a forca

exercida pela carga adicionada.

Chamando de

a aresta do cubo, temos que a diagonal

do cubo e dada porm

Y

. Portanto a distancia entre os

ons e

m

Y

5

e a magnitude da forca

#

t u j

Q

% Y

t

5

% ) 0 !

4

5

% ! 0 ! c

7

4 5

% Y

t

5 % !

t

! 0 !

c 4

5

) 0 !

c 4 N

P 23-35 Sabemos que, dentro das limitacoes impos-

tas pelas medidas, os modulos da carga negativa do

eletron e da carga positiva do proton sao iguais. Su-

ponha, entretanto, que estes modulos diferissem entre


8/14/2019 Lista 13

10/34


s por! ! ! ! !

. Com que forca duas pequenas moedas

de cobre, colocadas a !

m uma da outra, se repeliriam?

O que podemos concluir? (Sugest ao: Veja o Exemplo

23-3.)

Como sugerido no problema, supomos que a moeda e

a mesma do exemplo 23-3, que possui uma carga tanto

positiva quanto negativa igual dada pors Y

0 !

C. Se houvesse uma diferenca (desequilbrio) de cargas,

uma das cargas seria maior do que a outra, teramos para

tal carga um valor

s s % !

c

5 % !

c

5 % Y

0 ! 5 ! Y

onde ! ! ! ! ! ! ! ! 0 ! ! !

c d . Portanto

a magnitude da forca entre as moedas seria igual a

#

s

t u v

Q

x

% & ) ) 0 ! 4 5 % ! Y

5

% ! 5

0 !

N

Como tal forca seria facilmente observavel, concluimos

que uma eventual diferenca entre a magnitude das car-

gas positiva e negativa na moeda somente poderia ocor-

rer com um percentual bem menor que! ! ! !

.

Note que sabendo-se o valor da menor forca possvel dese medir no laboratorio e possivel estabelecer qual o li-

mite percentual maximo de erro que temos hoje em dia

na determinacao das cargas. De qualquer modo, tal limi-

te e MUITO pequeno, ou seja, uma eventual assimetria

entre o valor das cargas parece nao existir na pratica,

pois teria consequencias observaveis, devido ao gran-

de numero de cargas presente nos corpos macroscopicos

(que estao em equilbrio).

23.2.3 A Carga e Conservada

E 23-37

No decaimento beta uma partcula fundamental se trans-

forma em outra partcula, emitindo ou um eletron ou

um positron. (a) Quando um proton sofre decaimen-

to beta transformando-se num neutron, que partcula e

emitida? (b) Quando um neutron sofre decaimento be-

ta transformando-se num proton, qual das partculas e

emitida?

(a) Como existe conservacao de carga no decaimento,

a partcula emitida precisa ser um positron.

(b) Analogamente, a partcula emitida e um eletron.

As reacoes completas de decaimento beta aqui men-

cionados sao, na verdade, as seguintes:

c

onde

representa uma partcula elementar chamada

neutrino. Interessados, podem ler mais sobre Decai-

mento Beta na Seccao 47-5 do livro texto.

E 23-38

Usando o Apendice D, identifique

nas seguintes

reacoes nucleares:

% 5 7 7

% 5 7

7

% 57

7

Como nenhuma das reacoes acima inclui decaimen-

to beta, a quantidade de protons, de neutrons e de

eletrons e conservada. Os numeros atomicos (protons

e de eletrons) e as massas molares (protons + neutrons)

estao no Apendice D.

(a)7

H tem

proton,

eletron e!

neutrons enquanto que

o4

Be temt

protons,t

eletrons e)

t

gneutrons.

Portanto

tem

t

g

protons,

t

eletrons e

! g

t

neutrons. Um dos neutrons e liberado na

reacao. Assim sendo,

deve ser o boro,4

B, com massa

molar igual a g t

) g/mol.

(b)7

C tem

protons,

eletrons e

neutrons

enquanto que o7

H tem

proton,

eletron e!

neutrons.

Portanto

tem

protons,

eletrons

e !

neutrons e, consequentemente, deve ser o

nitrogenio,7

X

N, que tem massa molar

Y

g/mol.

(c)7

N tem

protons,

eletrons e g

&neutrons,

o7

H tem

proton,

eletron e!

neutrons e o He tem

protons,

eletrons e

t

neutrons. Portanto

tem

protons,

eletrons e

& !

neutrons, devendo ser o carbono,7

C, com massa molar

de

g/mol.

23.2.4 As Constantes da Fsica: Um Aparte

E 23-41

(a) Combine as quantidades

,

e

para formar uma

grandeza com dimensao de comprimento. (Sugest ao:

combine o tempo de Planck com a velocidade da luz,

conforme Exemplo 23-7.) (b) Calcule este comprimen-

to de Planck numericamente.


8/14/2019 Lista 13

11/34


(a) Usando-se o Apendice A, fica facil ver que as tres

contantes dadas tem as seguintes dimensoes:

u

kg

[

]

X

kg

[

]

Portanto, o produto

nao contem kg:

X

Atraves de divisao do produto acima por uma potenciaapropriada de

podemos obter eliminar facilmente ou

ou

do produto, ou seja,

X

X

X

X

X

Portanto Planck

X

.

(b) O valor numerico pedido e, uma vez que

%

u

5,

Planck

u

X

0 !

c X

m

P 23-42

(a) Combine as grandezas

,

e

para formar uma

grandeza com dimensao de massa. Nao inclua nenhum

fator adimensional. (Sugest ao: Considere as unidades

e

como e mostrado no Exemplo 23-7.) (b) Calcu-

le esta massa de Planck numericamente.

A resposta pode ser encontrada fazendo-se uma

analise dimensional das constantes dadas e de funcoes

simples obtidas a partir delas:

Planck

Y 0 !

c X

0 Y 0 !

u

0 !

c

7 7

0 !

c kg

Pode-se verificarque esta resposta esta correta fazendo-

se agora o inverso da analise dimensional que foi usa-

da para estabelece-la, usando-se o conveniente resumo

dado no Apendice A:

S

@

kg

kg

kg

kg

kg

kg

Portanto, extraindo-se a raiz quadrada deste radicandovemos que, realmente, a combinacao das constantes aci-

ma tem dimensao de massa.

E se usassemos

em vez de

?... Em outras palavras,

qual das duas constantes devemos tomar?


8/14/2019 Lista 13

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24 Campo Eletrico

24.1 Questoes

Q 24-2. Usamos uma carga teste positiva para estudar

os campos eletricos. Poderamos ter usado uma carga

negativa? Porque?

Nao. Tal uso seria extremamente anti-natural e incon-

veniente pois, para comecar, teramos o

e

apontan-

do em direcoes diferentes.

Tecnicamente, poderamos usar cargas negativas sim.

Mas isto nos obrigaria a reformular varios conceitos eferramentas utilizadas na eletrostatica.

Q 24-3.

As linhas de forca de um campo eletrico nunca se cru-

zam. Por que?

Se as linhas de forca pudessem se cruzar, nos pontos

de cruzamento teramos duas tangentes diferentes, uma

para cada linha que se cruza. Em outras palavras, em

tal ponto do espaco teramos dois valores diferentes do

campo eletrico, o que e absurdo.

Q 24-5.

Uma carga puntiformes

de massa

e colocada em re-

pouso num campo nao uniforme. Sera que ela seguira,

necessariamente, a linha de forca que passa pelo ponto

em que foi abandonada?

Nao. A forca eletrica sempre coincidira com a direcao

tangente a linha de forca.

A forca eletrica, em cada ponto onde se encontra a car-

ga, e dada pors

, onde

e o vetor campo eletrico no

ponto onde se encontra a carga. Como a carga parte do

repouso, a direcao de sua aceleracao inicial e dada pela

direcao do campo eletrico no ponto inicial. Se o campoeletrico for uniforme (ou radial), a trajetoria da carga de-

ve coincidir com a direcao da linha de forca. Entretanto,

para um campo eletrico nao uniforme (nem radial), a

trajetoria da carga nao precisa coincidir necessariamen-

te com a direcao da linha de forca. Sempre coincidira,

porem, com a direcao tangente a linha de forca.

Q 24-20.

Um dipolo eletrico e colocado em repouso em um cam-

po eletrico uniforme, como nos mostra a Figura 24-17a,

pg. 30, sendo solto a seguir. Discuta seu movimento.

Sem atrito, na situacao inicial mostrada na Figura 24-

17a, o movimento do dipolo eletrico sera periodico e

oscilatorio em torno do eixo!

e em torno da posicao de

alinhamento de

com

.

Q 24-3 extra.

Uma bola carregada positivamente esta suspensa por um

longo fio de seda. Desejamos determinar

num ponto

situado no mesmo plano horizontal da bola. Para isso,

colocamos uma carga de prova positivas

Q

neste ponto

e medimos#

s

Q

. A razao#

s

Q

sera menor, igual ou

maior do que

no ponto em questao?

Quando a carga de prova e colocada no ponto em

questao, ela repele a bola que atinge o equilbrio numa

posicao em que o fio de suspensao fica numa direcaoligeiramente afastada da vertical. Portanto, a distancia

entre o centro da esfera e a carga de prova passa a ser

maior que do que a distancia antes do equil brio. Donde

se conclui que o campo eletrico no ponto considerado

(antes de colocar a carga de prova) e maior do que o

valor#

smedido por meio da referida carga de prova.


24.2.1 Linhas de campo eletrico

E 24-3.

Tres cargas estao dispostas num triangulo equilatero, co-

mo mostra a Fig. 24-22. Esboce as linhas de forca de-

vidas as cargas

e

e, a partir delas, determine

a direcao e o sentido da forca que atua sobre s

, devi-

do a presenca das outras duas cargas. (Sugest ao: Veja a

Fig. 24-5)

Chamando-se de de#

7

e#

as forcas na carga s

devidas as cargas

e

, respectivamente, podemos

ver que, em modulo,#

7

#

pois as distancias bem co-

mo o produto das cargas (em modulo) sao os mesmos.

#

7

# ~

s

As componentes verticais de #7

e #

se cancelam. As

componentes horizontais se reforcam, apontando da es-

querda para a direita. Portanto a forca resultante e hori-

zontal com modulo igual a

# #

7

u

Y

#

u

Y

~

s


8/14/2019 Lista 13

13/34


E 24-5.

Esboce qualitativamente as linhas do campo eletrico pa-

ra um disco circular fino, de raio

, uniformemente car-

regado. (Sugest ao: Considere como casos limites pon-

tos muito proximos ao disco, onde o campo eletrico e

perpendicular a superfcie, e pontos muito afastados do

disco, onde o campo eletrico e igual ao de uma carga

puntiforme.)

Em pontos muito proximos da superfcie do disco, pa-

ra distancias muito menores do que o raio

do disco, as

linhas de forca sao semelhantes as linhas de forca de um

plano infinito com uma distribuicao de cargas uniforme.

Como a carga total

do disco e finita, a uma distanciamuito grande do disco, as linhas de forca tendem a se

confundir com as linhas de forca de uma carga punti-

forme

. Na figura abaixo, esbocamos apenas as linhas

de forca da parte superior do disco e consideramos uma

distribuicao de cargas positivas.

24.2.2 O campo eletrico criado por uma carga pun-

tiforme

E 24-7.

Qual deve ser o modulo de uma carga puntiforme esco-

lhida de modo a criar um campo eletrico de ! N/C em

pontos a

m de distancia?

Da definicao de campo eletrico, Eq. 24-3, sabemosque

%

t u v

Q

x

5

. Portanto,

%

t u v

Q

5

x

0 !

c

7 Q ! nC

E 24-9.

Como a magnitude do campo eletrico produzido por

uma carga puntiformes

e s

%

t u j

Q

x

5, temos que

s

t u j

Q

x

% ! g ! 5 % ! 5

) ! 0 !

4

g 0 !

c

7 7 C

E 24-10.

Duas cargas puntiformes de modulos s7

! 0 ! c C

es & g 0 ! c

C estao separadas por uma distancia

de

cm. (a) Qual o modulo do campo eletrico que ca-

da carga produz no local da outra? (b) Que forca eletrica

atua sobre cada uma delas?

(a) O modulo do campo sobre cada carga e diferente,

pois o valor da carga e diferente em cada ponto.

7

~

s

7

x

% ) ! 0 !

4

5

! 0 ! c

% ! 5

g 0 ! N/C

~

s

x

% ) ! 0 !

4

5

& g 0 ! c

% ! 5

! g Y 0 ! N/C

(b) O modulo da forca sobre cada carga e o mesmo. Pe-

laY

lei de Newton (acao e reacao): #

7

#

7

e,

portanto,

#

7

#

7

s

7

s

7

% & g 0 !

c

5 % g 0 ! 5

! 0 !

c

N

Note que como nao sabemos os sinais das cargas, nao

podemos determinar o sentido dos vetores.

E 24-11.

Duas cargas iguais e de sinais opostos (de modulo

! 0 ! c C) sao mantidas a uma distancia de

gcm

uma da outra. (a) Quais sao o modulo, a direcao e o

sentido de E no ponto situado a meia distancia entre as

cargas? (b) Que forca (modulo, direcao e sentido) atua-

ria sobre um eletron colocado nesse ponto?

(a) Como o modulo das cargas e o mesmo, estan-

do elas igualmente distantes do ponto em questao, o

modulo do campo devido a cada carga e o mesmo.

7

~

s

%

5

% ) 0 !

4

5

! 0 ! c

% ! g

5

Y 0 ! N/C


8/14/2019 Lista 13

14/34


Portanto, o campo total e

7

% Y 0 ! 5

t

0 !

N/C

na direcao da carga negativa s .

(b) Como o eletron tem carga negativa, a forca sobre ele

tem sentido oposto ao do campo. O modulo da forca e

# s eletron

s eletron % 7

5

% 0 !

c

7

4

5 %

t

0 ! N,

5

! 0 !

c

7

X N

no sentido da carga positiva.

E 24-12.

Como a carga esta uniformemente distribuida na es-

fera, o campo eletrico na superfcie e o mesmo que que

teramos se a carga estivesse toda no centro. Isto e, a

magnitude do campo e

s

t u j

Q

ondes

e a magnitude da carga total e

e o raio da esfe-

ra.

A magnitude da carga total e

, de modo que

t u j

Q

% ) 0 ! 4 5 % )

t

5 % 0 ! c

7

4 5

t

0 !

c

7

Y !

0 !

7N/C

P 24-17.

Desenhe sobre uma linha reta dois pontos,s

es

7

,

separados por uma distancia

, coms

a esquerda des

7

.

Para pontos entre as duas cargas os campos eletricos in-

dividuais apontam na mesma direcao nao podendo, por-

tanto, cancelarem-se. A cargas

tem maior magnitude

ques

7

, de modo que um ponto onde o campo seja nulo

deve estar mais perto des

7

do que des

. Portanto, deve

estar localizado a direita des

7

, digamos em ponto

.

Escolhendos

como a origem do sistema de coordena-

das, chame de

a distancia des

ate o ponto

, o ponto

onde o campo anula-se. Com estas variaveis, a magni-

tude total do campo eletrico em

e dada por

t u j

Q

s

s

7

% 5

ondes

es

7

representam as magnitudes das cargas.

Para que o campo se anule, devemos ter

s

s

7

% 5

A raiz fsica (das duas razes possveis) e obtida

considerando-se a raiz quadrada positiva de ambos la-

dos da equacao acima. Isto fornece-nos

m

s

7

m

s

% 5

Resolvendo agora para

obtemos

m

s

m

s

m

s

7

m

t

s

7

m

t

s

7

m

s

7

% ! g !cm

5

! !cm

O ponto

esta ag !

cm a direita des

7

.

P 24-21.

Determine o modulo, a direcao e o sentido do campo

eletrico no ponto

da Fig. 24-30.

A soma dos campos devidos as duas cargas s

e nu-la pois no ponto

os campos tem modulos coinciden-

tes porem sentidos opostos. Assim sendo, o campo re-

sultante em

deve-se unica e exclusivamente a carga

s, perpendicular a diagonal que passa pelas duas car-

gas s

, apontado para fora da carga s

. O modulo

do campo e

~

s

%

5

~

t

s

u v

Q

s

P 24-22


8/14/2019 Lista 13

15/34


Qual o modulo, a direcao e o sentido do campo eletrico

no centro do quadrado da Fig. 24-31, sabendo ques

! 0 ! c C e

gcm.

Escolhamos um sistema de coordenadas no qual o ei-

xo

passe pelas cargas s

e s

, e o eixo

passe pelas

cargass

e s

.No centro do quadrado, os campos produzidos pelas

cargas negativas estao ambos sobre o eixo

, e ca-

da um deles aponta do centro em direcao a carga que

lhe da origem. Como cada carga esta a uma distancia

m

m

do centro, o campo lquido resul-

tante devidos as duas cargas negativas e

t u j

Q

s

s

t u j

Q

s

% ) 0 !

4

5

! 0 !

% ! ! g ! 5

) 0 !

N/C

No centro do quadrado, os campos produzidos pelas car-

gas positivas estao ambos sobre o eixo , apontando do

centro para fora, afastando-se da carga que lhe da ori-

gem. O campo lquido produzido no centro pelas cargas

positivas e

t u j

Q

s

s

t u j

Q

s

) 0 !

N/C

Portanto, a magnitude do campo e

%

) 0 !

5

! 0 ! N/C

O angulo que tal campo faz com o eixo dos

e

c

7

c

7 % 5

t

g

Tal angulo aponta do centro do quadrado para cima, di-

rigido para o centro do lado superior do quadrado.

24.2.3 O campo criado por um dipolo eletrico

E 24-23.

Determine o momento de dipolo eletrico constitudo por

um eletron e um proton separados por uma distancia det

Ynm.

O modulo da carga das duas partculas es 0

! c

7

4C. Portanto, temos aqui um belo exemplo de

exerccio de multiplicacao:

s % 0 !

c

7

4

5 %

t

Y 0 !

c 4

5

& & 0 !

c

C m

E 24-25

Na Fig. 24-8, suponha que ambas as cargas sejam posi-

tivas. Mostre que

no ponto

, considerando

, e

dado por:

t u v

Q

s

Usando o princpio de superposicao e dois termos da

expansao

% 5

c

Y

X

t

valida quando

, obtemos

t u v

Q

s

%

5

s

%

5

t u v

Q

s

c

c

t u v

Q

s

%

5

%

5

t u v

Q

s


8/14/2019 Lista 13

16/34


E 24-26.

Calcule o campo eletrico (modulo, direcao e sentido)

devido a um dipolo eletrico em um ponto

localizado

a uma distancia

sobre a mediatriz do segmento

que une as cargas (Figura 24-32). Expresse sua resposta

em termos de momento de dipolo p.

Obtem-se o campo

resultante no ponto

somando-

se vetorialmente

c

A magnitude dos vetores e dada por:

c

~

s

x

t

As soma das componentes sobre a mediatriz se can-

celam enquanto as componentes perpendiculares a ela

somam-se. Portanto, chamando-se

o angulo entre o

eixo do dipolo e a direcao de

(ou de

c

), segue

onde, da figura,

x

t

Com isto segue

~

s

x

t

x

t

~

s

%

x

t

5

X

~

%

x

5

X

s

%

t

x

5

X

Como o problema nos diz que x

, podemos des-

prezar o termo

%

t

x

5no ultimo denominador acima,

obtendo para o modulo do campo o valor

~

s

x

X

Em termos do momento de dipolo s

, uma vez

que

e

tem sentidos opostos, temos

~

x

X

O vetor

aponta para baixo.

24-27

Quadrupolo eletrico. A figura abaixo mostra um qua-

drupolo eletrico tpico.

Ele e constitudo por dois dipolos cujos efeitos em pon-

tos externos nao chegam a se anular completamente.

Mostre que o valor de

no eixo do quadrupolo, para

pontos a uma distancia

do seu centro (supor

), e

dado por:

Y

t u v

Q

onde % s

5e chamado de momento de quadrupolo

da distribuicao de cargas.

A distancia entre o ponto

e as duas cargas positivas

sao dadas por% 5

e% 5

. A distancia entre

e as cargas negativas sao iguais a

. De acordo com o

princpio de superposicao, encontramos:

s

t u v

Q

% 5

% 5

s

s

t u v

Q

%

5

%

5

Expandindo em serie como feito no livro-texto, para o

caso do dipolo [ver Apendice G],

% 5

c

Y

X

t

valida quando

, obtemos

s

t u v

Q

Y

Y


8/14/2019 Lista 13

17/34


de onde se conclui que, considerando-se os termos ate a

segunda ordem, inclusive, temos

s

t u v

Q

Y

t u v

Q

onde o momento de quadrupolo e definido como

s

Em contraste com a derivacao apresentada no livro-

texto, observe que aqui foi necessario usarmos o ter-

mo quadratico na expansao em serie, uma vez que a

contribuicao devida ao termo linear era nula.

24.2.4 O campo criado por uma linha de cargas

P 24-30.

Um eletron tem seu movimento restrito ao eixo do anel

de cargas de raio

discutido na secao 24-6. Mostre que

a forca eletrostatica sobre o eletron pode faze-lo oscilar

atraves do centro do anel, com uma frequencia angular

dada por:

s

t u v

Q

X

Como visto no livro-texto, a magnitude do campo

eletrico num ponto localizado sobre o eixo de um anel

homogeneamente carregado, a uma distancia

do cen-tro do anel, e dado por (Eq. 24-19):

s

t u v

Q

%

5

X

ondes

e a carga sobre o anel e

e o raio do anel.

Para que possa haver oscilacao a cargas

sobre o anel

deve ser necessariamente positiva. Para uma cargas

po-

sitiva, o campo aponta para cima na parte superior do

anel e para baixo na parte inferior do anel. Se tomar-

mos a direcao para cima como sendo a direcao positiva,

entao a forca que atua num eletron sobre o eixo do anel

e dada por

#

s

t u v

Q

%

5

X

onde

representa a magnitude da carga do eletron.

Para oscilacoes de pequena amplitude, para as quais va-

le

, podemos desprezar

no denominador da

expressao da forca, obtendo entao, nesta aproximacao,

#

s

t u v

Q

X

z

Desta expressao reconhecemos ser a forca sobre o

eletron uma forca restauradora: ela puxa o eletron em

direcao ao ponto de equilbrio !

. Alem disto, a

magnitude da forca e proporcional a

, com uma con-

tante de proporcionalidade s

%

t u v

Q

X 5, como se

o eletron estivesse conectado a uma mola. Ao longo

do eixo, portanto, o eletron move-se num movimento

harmonico simples, com uma frequencia angular dada

por (reveja o Cap. 14, caso necessario)

s

t u v

Q

X

onde

representa a massa do eletron.

P 24-31.

Na Fig. 24-34, duas barras finas de plastico, uma de car-

ga s

e a outra de carga s

, formam um crculo de raio

num plano

. Um eixo

passa pelos pontos que

unem as duas barras e a carga em cada uma delas esta

uniformemente distribuda. Qual o modulo, a direcao

e o sentido do campo eletrico

criado no centro do

crculo?

Por simetria, cada uma das barras produz o mesmo

campo eletrico

que aponta no eixo

no centro do

crculo. Portanto o campo total e dado por

Q

t u v

Q

s

c

t u v

Q

s

u

t u v

Q

t

s

u

P 24-32.

Uma barra fina de vidro e encurvada na forma de um

semicrculo de raio x . Uma carga

esta distribuda

uniformemente ao longo da metade superior, e uma car-

ga

, distribuda uniformemente ao longo da metade

inferior, como mostra a Fig. 24-35. Determine o campo

eletrico E no ponto

, o centro do semicrculo.

Para a metade superior:

~

s

x

~

x


8/14/2019 Lista 13

18/34


onde

%

u

x

t

5

%

u

x

5e

x

. Portan-

to

~

u

x

x

x

~

u

x

O modulo da componente

do campo total e, portan-

to,

~

u

x

Q

~

u

x

sen

Q

~

u

x

Analogamente,

sen

~

u

x

Q

sen

~

u

x

Q

~

u

x

Usando argumentos de simetria: Usando a simetria doproblema vemos facilmente que as componentes hori-

zontais cancelam-se enquanto que as verticais reforcam-

se. Assim sendo, o modulo do campo total e simples-

mente

t

~

u

x

com o vetor correspondente apontando para baixo.

Usando forca-bruta: Podemos obter o mesmo resul-

tado sem usar a simetria fazendo os calculos. Mas temos

que trabalhar bem mais (perder mais tempo durante a

prova!!). Veja so:

Tendo encontrado que

@

, vemos que o

modulo do campo

devido as cargas positivas e dado

por

m

~

u

x

formando

t

g

com o eixo dos

.

Para a metade inferior o calculo e semelhante. O resul-

tado final e

c

m

~

u

x

O campo

c

forma com o eixo dos

um angulo de

% ) !

t

g

5 Y g

.

Portanto, o modulo do campo total

c

apon-

ta para baixo e tem magnitude dada por

c

m

m

c

m

m

~

u

x

t

~

u

x

Conclusao: Termina mais rapido (e com menos erro!)

quem estiver familiarizado com a exploracao das sime-

trias. Isto requer treino...

P 24-35.

Na Fig. 24-38, uma barra nao-condutora semi-infinita

possui uma carga por unidade de comprimento, de valor

constante

. Mostre que o campo eletrico no ponto

forma um angulo det

g

com a barra e que este angulo

e independente da distancia

.

Considere um segmento infinitesimal

da barra, lo-

calizado a uma distancia

a partir da extremidade es-

querda da barra, como indicado na figura acima. Tal

segmento contem uma carga s

e esta a uma

distancia x do ponto

. A magnitude do campo que s

produz no ponto

e dada por

t u v

Q

x

Chamando-se de

o angulo entre

e x , a componente

horizontal

do campo e dada por

t u v

Q

x

sen

enquanto que a componente vertical

e

t u v

Q

x


8/14/2019 Lista 13

19/34


Os sinais negativos em ambas expressoes indicam os

sentidos negativos de ambas as componentes em relacao

ao ponto de origem, escolhido como sendo a extremida-

de esquerda da barra.

Vamos usar aqui o angulo como variavel de

integracao. Para tanto, da figura, vemos que

x

sen

x

e, portanto, que

!

Os limites de integracao vao de!

ateu

. Portanto

Q

t u v

Q

Q

sen

t u v

Q

"

"

"

Q

t u v

Q

e, analogamente,

Q

t u v

Q

Q

t u v

Q

sen

"

"

"

Q

t u v

Q

Destes resultados vemos que

, sempre, qual-

quer que seja o valor de

. Alem disto, como as duas

componentes tem a mesma magnitude, o campo resul-

tante

faz um angulo det

g

com o eixo negativo dos

, para todos os valores de

.

24.2.5 O campo eletrico criado por um disco carre-

gado

P 24-38.

A que distancia, ao longo do eixo central de um disco de

plastico de raio

, uniformemente carregado, o modulo

do campo eletrico e igual a metade do seu valor no cen-

tro da superfcie do disco?

A magnitude do campo eletrico num ponto situado

sobre o eixo de um disco uniformemente carregado, a

uma distancia

acima do centro do disco, e dado por

(Eq. 24-27)

$

v

Q

m

onde

e o raio do disco e$

a sua densidade superficial

de carga. No centro do disco ( !

) a magnitude do

campo e %

$

%

v

Q

5.

O problema pede para determinar o valor de

tal que

tenhamos

%

, ou seja, tal que

m

ou, equivalentemente,

m

Desta expressao obtemos

t

t

, isto e

m

Y

.

Observe que existem duas solucoes possveis: uma aci-

ma, outra abaixo do plano do disco de plastico.

24.2.6 Carga puntiforme num campo eletrico

E 24-39.

Um eletron e solto a partir do repouso, num campoeletrico uniforme de modulo

! 0 !

N/C. Calcule a

sua aceleracao (ignore a gravidade).

O modulo de tal aceleracao e fornecido pela segunda

lei de Newton:

#

s

Y g 0 !7

m/s

E 24-43.

Um conjunto de nuvens carregadas produz um cam-

po eletrico no ar proximo a superfcie da Terra. Umapartcula de carga ! 0 ! c 4

C, colocada neste cam-

po, fica sujeita a uma forca eletrostatica deY ! 0 ! c d

N apontando para baixo. (a) Qual o modulo do cam-

po eletrico? (b) Qual o modulo, a direcao e o sentido

da forca eletrostatica exercida sobre um proton coloca-

do neste campo? (c) Qual a forca gravitacional sobre o

proton? (d) Qual a razao entre a forca eletrica e a forca

gravitacional, nesse caso?

(a) Usando a Eq. 24-3 obtemos para o modulo de

:

#

s

Y ! 0 ! c dN

! 0 !

c 4

C g ! !

N/C


8/14/2019 Lista 13

20/34


A forca aponta para baixo e a carga e negativa. Logo, o

campo aponta de baixo para cima.

(b) O modulo da forca eletrostetica# &

exercida sobre o

proton e

#&

s

t

! 0 !

c

7

d N

Como o proton tem carga positiva, a forca sobre ele tera

a mesma direcao do campo: de baixo para cima.

(c) A forca gravitacional exercida sobre o proton e

# ( %

0 !

c

5 % ) & 5

t

0 !

c

d N

apontando de cima para baixo.

(d) A razao entre as magnitudes das forcas eletrica e gra-

vitacional e# &

# (

t

0 !

7 Q

Portanto, vemos que o peso# (

do proton pode ser

completamente ignorado em comparacao com a forca

eletrostatica exercida sobre o proton.

E 24-45.

(a) Qual e a aceleracao de um eletron num campo

eletrico uniforme de

t

0 ! dN/C? (b) Quanto tem-

po leva para o eletron, partindo do repouso, atingir umdecimo da velocidade da luz? (c) Que distancia ele per-

corre? Suponha valida a mecanica Newtoniana.

(a) Usando a lei de Newton obtemos para o modulo

da aceleracao:

#

&

&

% 0 ! c

7

4 5 %

t

0 ! d 5

) 0 !

c X

7

t

0 ! 7

m/s

(b) Partindo-se do repouso (i.e. com 0Q

!) e usando a

equacao0 0

Q

obtemos facilmente que

!

Y 0 !

!

t

0 !

7

! 0 !

c 4 s

(c) A distancia percorrida e

%

t

0 !7

5 % ! 0 !

c 4

5

& Y 0 !

c X m

E 24-46.

Uma arma de defesa que esta sendo considerado pe-

la Iniciativa de Defesa Estrategica (Guerra nas Estre-las) usa feixes de partculas. Por exemplo, um feixe

de protons, atingindo um mssil inimigo, poderia inu-

tiliza-lo. Tais feixes podem ser produzidos em ca-

nhoes, utilizando-se campos eletricos para acelerar as

partculas carregadas. (a) Que aceleracao sofreria um

proton se o campo eletrico no canhao fosse de ! 0 !

N/C. (b) Que velocidade o proton atingiria se o campo

atuasse durante uma distancia de

cm?

(a) Usando a segunda lei de Newton encontramos:

#

) 0 !7

m/s

(b) Usando a Eq. 15 do Cap. 2, encontramos:

0

%

Q

5 )

km/s

E preciso lembrar-se das formulas aprendidas no cur-

so de Mecanica Classica (Fsica I).

E 24-47.

Um eletron com uma velocidade escalar deg ! 0 !

cm/s entra num campo eletrico de modulo ! 0 ! X

N/C, movendo-se paralelamente ao campo no sentidoque retarda seu movimento. (a) Que distancia o eletron

percorrera no campo antes de alcancar (momentanea-

mente) o repouso? (b) Quanto tempo levara para isso?

(c) Se, em vez disso, a regiao do campo se estendesse

somente por&

mm (distancia muito pequena para pa-

rar o eletron), que fracao da energia cinetica inicial do

eletron seria perdida nessa regiao?

(a) Primeiro, calculemos a aceleracao do eletron de-

vida ao campo:

&

% 0 !c

7

45 % ! 0 !

X5

) 0 !

c X

7

0 ! 7

m/s

Portanto, usando o fato que0

0

Q

%

Q

5

e

definindo

Q

temos, para a distancia viajada:

0

Q

% g ! 0 ! d 5

%

0 !

7

5

0 !

c

m

(b) Usando o fato que0 0

Q

e que

0 !, temos

0

Q

g ! 0 ! d

0 !

7

&

t

! 0 !

c 4 s


8/14/2019 Lista 13

21/34


(c) Basta determinar a velocidade do eletron quando o

campo terminar. Para tanto, usamos0

0

Q

,

onde & 0 ! c X

m e a extensao do campo.

0

0

Q

% g ! 0 !

d

5

%

0 !7

5 % & 0 !

c X

5

0 !

7

m/s

Portanto, a fracao da energia cinetica perdida e dada por

~ ~

Q

~

Q

0

0

Q

0

Q

g

g

!

ou seja, perde

da sua energia cinetica.

Se voce gosta de trabalhar mais, pode calcular as ener-

gias explicitamente e determinar o mesmo percentual.

A energia cinetica ~ perdida e dada por

~

& 0

% ) 0 !

c X

75 % 0 !

7

5

! 0 !

c

7

J

A energia cinetica inicial~

Q

era

~

Q

& 0

Q

% ) 0 !

c X

75 % g ! 0 !

d

5

Y & 0 !

c

7

J

E 24-49.

Na experiencia de Milikan, uma gota de raio

t

m e

de densidade! & g

g/cmX

fica suspensa na camara infe-

rior quando o campo eletrico aplicado tem modulo igual

a ) 0 !

N/C. Determine a carga da gota em termos

de

.

Para a gota estar em equilbrio e necessario que a

forca gravitacional (peso) esteja contrabalancada pela

forca eletrostatica associada ao campo eletrico, ou se-

ja, e preciso ter-se s

, onde

e a massa da gota,

s

e a carga sobre a gota e

e a magnitude do campo

eletrico no qual a gota esta imersa. A massa da gota edada por

8 @ %

t u

Y 5

x

X @

, onde x e seu raio e@

e a sua densidade de massa. Com isto tudo, temos

s

t u

x

X

@

Y

t u

%

t

0 ! c dm

5 X % & g kg/m

X 5 % ) &m/s

5

Y % ) 0 !

N/C5

& ! 0 !

c

7

4 C

e, portanto,

s

& ! 0 ! c

7

4

C

0 !

c

7

4

C g

ou seja,s g

.

P 24-54.

Duas grandes placas de cobre, paralelas, estao separadas

porg

cm e entre elas existe um campo eletrico uniforme

como e mostrado na Fig. 24-39. Um eletron e libera-

do da placa negativa ao mesmo tempo que um proton e

liberado da placa positiva. Despreze a forca que existe

entre as partculas e determine a distancia de cada uma

delas ate a placa positiva no momento em que elas pas-sam uma pela outra. (nao e preciso conhecer o modulo

do campo eletrico para resolver este problema. Isso lhe

causa alguma surpresa?)

A aceleracao do proton e C

C

e a aceleracao

do eletron e

&

&

, onde

e a magnitude do

campo eletrico e

C

e &

representam as massas do

proton e do eletron, respectivamente.

Consideremos a origem de referencia como sendo na

posicao inicial do proton na placa a esquerda. Assim

sendo, a coordenada do proton num instante

qualquer

e dada por

C

C

enquanto que a coordenada

do eletron e &

&

. As partculas pas-

sam uma pela outra quando suas coordenadas coinci-

dem,

C

&, ou seja, quando

C

&

.

Isto ocorre quando

%

C

& 5, que nos fornece

C

C

C

&

C

C

&

&

&

C

) 0 ! c X

7

) 0 !

c X

7

0 !

c

% ! ! g ! m 5

0 !

c

m

0 !

c X cm

Portanto, enquanto o eletron percorre osg

cm entre as

placas, o proton mal conseguiu mover-se!

P 24-55.

(a) Suponha que o pendulo faca um angulo

com a

vertical. Desenhado-se o diagrama de forcas temos


8/14/2019 Lista 13

22/34


para baixo, a tensao no fio, fazendo um angulo

para

a esquerda do vetors

, que aponta para cima ja que a

carga e positiva.

Consideremos o angulo assim definido como sendo po-

sitivo. Entao o torque sobre a esfera em torno do ponto

onde o fio esta amarrado a placa superior e

F

% s 5 sen

Se

s

, entao o torque e um torque restaurador:

ele tende a empurrar o pendulo de volta a sua posicao de

equilbrio.

Se a amplitude de oscilacao e pequena, sen

pode ser

substituido por

em radianos, sendo entao o torque da-

do por

F

% s 5

O torque e proporcional ao deslocamento angular e o

pendulo move-se num movimento harmonico simples.

Sua frequencia angular e

% s 5

onde

e o momento de inercia rotacional do pendulo.

Como para um pendulo simples sabemos que

,

segue que

% s 5

s

e o perodo e

u

uG

s

Quandos

o torque nao e restaurador e o

pendulo nao oscila.

(b) A forca do campo eletrico esta agora para baixo e otorque sobre o pendulo e

F

% s 5

se o deslocamento for pequeno. O perodo de oscilacao

e

u G

s

P 24-56.

Na Fig. 24-41, um campo eletrico

, de modulo 0 ! X

N/C, apontando para cima, e estabelecido entre duas

placas horizontais, carregando-se a placa inferior posi-

tivamente e a placa superior negativamente. As placas

tem comprimento !

cm e separacao

cm.

Um eletron e, entao, lancado entre as placas a partir da

extremidade esquerda da placa inferior. A velocidade

inicial tem um modulo de 0 ! d

m/s. (a) Atingira o

eletron uma das placas? (b) Sendo assim, qual delas e a

que distancia horizontal a partir da extremidade esquer-

da?

Considere a origem!

como sendo o ponto em que o

eletron e projetado para o interior do campo. Seja!

o

eixo horizontal e!

o eixo vertical indicado na Fig. ???-

36. Oriente!

da esquerda para a direita e!

de baixopara cima, como a carga do eletron e negativa, a forca

eletrica esta orientada de cima para baixo (no sentido

oposto ao sentido do campo eletrico). A aceleracao do

eletron e dada por

#

Y g Y 0 !7

m/s

Para saber se o eletron atinge ou nao a placa superior,

devemos calcular inicialmente o tempo

necessario pa-

ra que ele atinja a altura ! !

m da placa superior.

Podemos escrever a seguinte relacao:

% 0

Q

sen 5

Temos:0

Q

sen % ! 0 ! d 5

sent

g

Q

t

t

0 ! d

m/s. Substituindo os valores adequados na relacao ante-

rior e resolvendo a equacao do segundo grau em, en-

contramos:

7

t

! 0 !

c 4 s e

t

0 !

c s

O menor valor de

e o que nos interessa (o outro cor-

responde ao trecho descendente da trajetoria). Neste in-

tervalo de tempo

7

o eletron se deslocou uma distancia

dada por

% 0

Q

5

7

%

t

t

0 !

d

5 %

t

! 0 !

c 4

5

! !

m

cm

Como

!cm, concluimos que: (a) o eletron

atinge a placa superior, e, (b) num ponto situado a

cm da extremidade esquerda da placa superior.


8/14/2019 Lista 13

23/34


24.2.7 Um dipolo num campo eletrico

P 24-60.

Determine a frequencia de oscilacao de um dipolo

eletrico, de momento de dipolo e momento de inercia

, para pequenas amplitudes de oscilacao, em torno de

sua posicao de equilbrio, num campo eletrico uniforme

de modulo

.

A magnitude do torque que atua no dipolo eletrico e

dada por F

sen

, onde e a magnitude do mo-

mento de dipolo,

e a magnitude do campo eletrico

e

e o angulo entre o momento de dipolo e o campo

eletrico.

O torque e sempre restaurador: ele sempre tende agi-rar o momento de dipolo em direcao ao campo eletrico.

Se

e positivo o torque e negativo e vice-versa: F

sen

.

Quando a amplitude do movimento e pequena, pode-

mos substituir sen

por

em radianos. Neste caso,F

. Como a magnitude do torque e pro-

porcional ao angulo de rotacao, o dipolo oscila num

movimento harmonico simples, de modo analogo a um

pendulo de torsao com constante de torsao

. A

frequencia angular e dada por

onde

e o momento de inercia rotacional do dipolo.

Portanto, a frequencia de oscilacao e

u

u


8/14/2019 Lista 13

24/34


25 Lei de Gauss

25.1 Questoes

Q 25-4.

Considere uma superfcie gaussiana envolvendo parte

da distribuicao de cargas mostrada na Fig. 25-22. (a)

Qual das cargas contribui para o campo eletrico no pon-

to

? (b) O valor obtido para o fluxo atraves da su-

perfcie circulada, usando-se apenas os campos eletricos

devidos as

7

es

, seria maior, igual ou menor que o va-lor obtido usando-se o campo total?

(a) Todas as cargas contribuem para o campo. Ou se-

ja, o campo e devido a todas as cargas. (b) O fluxo total

e sempre o mesmo. Por estarem fora da gaussiana, ascargas

s

X

es

nao contribuem efetivamente para o flu-

xo total uma vez que todo fluxo individual a elas devido

entra porem tambem sai da superfcie.

Q 25-5.

Uma carga puntiforme e colocada no centro de uma su-

perfcie gaussiana esferica. O valor do fluxoQ

mudara

se (a) a esfera for substituda por um cubo de mesmo

volume? (b) a superfcie for substituida por um cubo de

volume dez vezes menor? (c) a carga for afastada do

centro da esfera original, permanecendo, entretanto, no

seu interior? (d) a carga for removida para fora da esfera

original? (e) uma segunda carga for colocada proxima,

e fora, da esfera original? (f) uma segunda carga for

colocada dentro da superfcie gaussiana?

(a) Nao. O fluxo total so depende da carga total no

interior da superfcie gaussiana considerada. A forma

da superfcie gaussiana considerada nao e relevante.

(b) Nao. O fluxo total so depende da carga total no in-

terior da superfcie gaussiana considerada. O volume

englobado pela superfcie gaussiana considerada nao e

relevante.

(c) Nao. O fluxo total so depende da carga total no in-

terior da superfcie gaussiana considerada. A posicao

das cargas nao altera o valor do fluxo total atraves da

superfcie gaussiana considerada, desde que o o valor

desta carga total nao seja modificado.

(d) Sim. Neste caso, como a carga total no interior da su-

perfcie gaussiana considerada e nula, o fluxo total sera

igual a zero.

(e) Nao. O fluxo total so depende da carga total no inte-

rior da superfcie gaussiana considerada. Colocando-se

uma segunda carga fora da superfcie gaussiana con-

siderada, nao ocorrera nenhuma variacao do fluxo total

(que e determinado apenas pelas cargas internas). As

cargas externas produzem um fluxo nulo atraves da su-

perfcie gaussiana considerada.

(f) Sim. Neste caso, como a carga total no interior

da superfcie gaussiana considerada passa a ser igual a

s

7

s , o fluxo total e igual a

% s

7

s 5

v

Q

.

Q 25-7.

Suponha que a carga lquida contida em uma superfcie

gaussiana seja nula. Podemos concluir da lei de Gauss

que

e igual a zero em todos os pontos sobre a su-

perfcie? E verdadeira a recproca, ou seja, se o campo

eletrico

em todos os pontos sobre a superfcie for nu-

lo, a lei de Gauss requer que a carga lquida dentro dasuperfcie seja nula?

Se a carga total for nula podemos conlcuir que o fluxo

total sobre a gaussiana e zero mas nao podemos concluir

nada sobre o valor de

em cada ponto individual da su-

perfcie. Para convencer-se disto, estude o campo gera-

do por um dipolo sobre uma gaussiana que o envolva. O

campo

sobre a gaussiana nao precisa ser homogeneo

para a integral sobre a superfcie dar zero.

A recproca e verdadeira, pois neste caso a integral sera

calculada sobre o produto de dois vetores, um dois quais

e identicamente nulo sobre toda a gaussiana.

Q Extra 25-8 da terceira edic ao do livro

Na lei de Gauss,

v

R T U W s

o campo

e necessariamente devido a cargas

?

Nao. O fluxo total atraves da gaussiana depende

do excesso de carga (i.e. da carga nao-balanceada) ne-

la contida. O campo eletrico

em cada ponto da su-

perfcie gaussiana depende de todas as cargas existen-


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tes, internas ou nao. O que ocorre e que, como demons-

trado no Exemplo 25-1 do livro texto, o fluxo total devi-

do a qualquer carga externa sera sempre zero pois todo

campo que entra na gaussiana, tambem ira sair da gaus-

siana. Reveja os dois paragrafos abaixo da Eq. 25-8.


25.2.1 Fluxo do campo eletrico

E 25-2.

A superfcie quadrada da Fig. 25-24, temY

mm de la-do. Ela esta imersa num campo eletrico uniforme com

& ! !N/C. As linhas do campo formam um angulo

deY g

com a normal apontando para fora, como e

mostrado. Calcular o fluxo atraves da superfcie.

Em todos os pontos da superfcie, o modulo do campo

eletrico vale & ! !

N/C, e o angulo

, entre

e a normal

da superfcie dW

, e dado por % & !

Y g

5

t

g

.

Note que o fluxo esta definido tanto para superfcies

abertas quanto fechadas. Seja a superfcie como for, a

integral deve ser sempre computada sobre ela. Portanto,

X Y

R T W

a

a

% & ! !N/C

5 % ! ! ! Y m

5

t

g Q

! ! g N.m

/C

Note que o objetivo desta questao e relembrar como fa-

zer corretamente um produto escalar: antes de medir o

angulo entre os vetores e preciso que certificar-se que

ambos estejam aplicados ao mesmo ponto, ou seja, queambas flechas partam de um mesmo ponto no espaco (e

nao que um vetor parta da ponta do outro, como quan-

do fazemos sua soma).

25.2.2 Lei de Gauss

E 25-7.

Uma carga puntiforme de &

C encontra-se no centro

de uma superfcie gaussiana cubica deg g

cm de aresta.

Calcule o valorQ

Y

atraves desta superfcie.

Usando a Eq. 9, encontramos o fluxo atraves da su-

perfcie gaussiana fechada considerada (que, no caso

deste exerccio, e um cubo):

X Y

R T W

s

v

Q

& 0 ! c d

C

& & g 0 !

c

7

C

/(N m

)

! Y 0 !

N m

/C

P 25-11.

Determinou-se, experimentalmente, que o campo eletri-co numa certa regiao da atmosfera terrestre esta dirigi-

do verticalmente para baixo. Numa altitude deY ! !

m

o campo tem modulo de !

N/C enquanto que a ! !

o

campo vale ! !

N/C. Determine a carga lquida contida

num cubo de ! !

m de aresta, com as faces horizontais

nas altitudes de ! !

eY ! !

m. Despreze a curvatura da

Terra.

Chamemos dea

a area de uma face do cubo,

a

magnitude do campo na face superior e

| a magnitude

na face inferior. Como o campo aponta para baixo, o

fluxo atraves da face superior e negativo (pois entra no

cubo) enquanto que o fluxo na face inferior e positivo. Ofluxo atraves das outras faces e zero, de modo que o flu-

xo total atraves da superfcie do cubo eQ a % |

5.

A carga lquida pode agora ser determinada facilmente

com a lei de Gauss:

s

v

Q

Q

v

Q

a % |

5

% & & g 0 !

c

7

5 % ! ! 5

% ! ! ! 5

Y g

t

0 !

c d C

Y g

t

C

P 25-13.

Uma carga puntiformes

e colocada em um dos vertices

de um cubo de aresta

. Qual e o valor do fluxo atraves

de cada uma das faces do cubo? (Sugest ao: Use a lei de

Gauss e os argumentos de simetria.)

Considere um sistema de referencia Cartesiano e

no espaco, centrado na cargas

, e sobre tal sistema colo-

que o cubo de modo a ter tres de suas arestas alinhadas

com os eixos, indo de% ! ! ! 5

ate os pontos%

! ! 5,

% !

! 5e

% ! !

5.


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Usando a lei de Gauss: O fluxo eletrico sobre cada uma

das tres faces que estao sobre os planos e

,

ee

e igual a zero pois sobre elas os vetores

e W

sao

ortogonais (i.e. seu produto escalar e nulo).

Como se pode perceber da simetria do problema, o fluxo

eletrico sobre cada uma das tres faces restantes e exata-

mente o mesmo. Portanto, para determinar o fluxo total,

basta calcular o fluxo sobre uma qualquer destas tres fa-

ces multiplicando-se tal resultado por tres. Para tanto,

consideremos a face superior do cubo, paralela ao plano

e, e sobre ela um elemento de area

a . Para

qualquer ponto

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