lista 2 inversa (2)
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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOINSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINACAMPUS FLORIANÓPOLISDEPARTAMENTO ACADÊMICO DE FORMAÇÃO GERALDISCIPLINA: MATEMÁTICAPROFESSOR: ANTÔNIO JOÃO e-mail:
LISTA 02- MATRIZ INVERSA
1. Verifique se [ 35
−25
15
15
] é a inversa de [ 1 2−1 3].
2. Determine a inversa de cada matriz abaixo:
a) A=[5 64 5] b) B=[2 5
1 3] c) C=[1 00 2] d) D=[1 −1
1 1 ]3. Seja A−1 a inversa de A=[−9 4
2 −1] . Determine:
a) A+A−1 b) ( A−1 )2+A2
4. A inversa de [ y −3−2 x ] é a matriz [ x x−4
x−5 1 ]. Determine x e y.
5. (UC-GO) Determine x a fim de que a matriz A=[1 20 x] seja igual a sua inversa.
6. Resolva as seguintes equações matriciais:
a) [5 64 5 ]X=[13
18 ] b) X [3 42 3 ]=[75] c) [0 1
1 0]X=[ 9−7]
7. Sendo A e B matrizes inversíveis de ordem n, isolar X a partir de cada equação abaixo:
a) AX=B b) AXB=I n c) ( AX )−1=B d) BAX=A e)
( AX )t=B f) ( A+X )t=B
8. Determine X tal que:
a) [1 21 3]X [2 3
3 5]=[0 11 0] b) [2 2
5 5]+[1 23 5 ]X=[1 7
2 7]9. Use o método de Gauss-Jordan para achar a inversa da matriz dada (se existir).
a) A=[1 32 5 ] b) B=[2 3 0
1 −2 −12 0 −1] c) C=[1 −1 2
3 1 22 3 −1]
d) D=[1 1 01 0 10 1 1 ] e) E=[1 0 −1 3
2 3 4 20 2 5 14 1 0 0
] f) F=[2 4 2 40 1 1 01 0 2 33 0 1 0
]1
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10. Resolva as seguintes equações matriciais:
a) [1 0 02 1 02 3 1]X=[572 ] b) X [0 0 0
0 1 21 2 3]=[−1
−3−6 ]
11. (Unirio-RJ) Determine o valor de a para que [−112
72
52
−32
] seja a inversa de [3 7a 11] .
12. (UF-PB) Determine o valor de x sabendo que a inversa de A=[1 0 10 1 02 3 4 ] é a matriz
A−1=12 [ 4 x −1
0 2 0−2 −3 1 ].
13. (Unirio-RJ) Seja B=[a 00 b] , a≠0, b≠0, uma matriz que satisfaz a equação
B−1 ∙ A+3 A=[0 95 0], em que A=[0 −3
2 0 ]. Determine as soma dos elementos da diagonal
principal de B.
14. Uma matriz quadrada A se diz ortogonal se A é inversível e A−1=A t.
a) Determine x , y e z de modo que a matriz [1 0 0
0 √22
√22
x y z] seja ortogonal.
b) Mostre que não existem x e y reais de modo que a matriz [√2 xy √2] seja ortogonal.
15. Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é por meio de códigos matemáticos, seguindo os passos:1º) Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma matriz chave C.2º) O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal que MC=P, onde M é a matriz mensagem a ser codificada.3º) Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto:
a=1 , b=2 , c=3 , d=4 ,…, z=26.4º) Considere o alfabeto com 26 letras.5º) O número zero corresponde ao ponto de exclamação.6º) A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo a correspondência número/ letra e ordenando as letras por linhas da matriz conforme segue:
2
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m11m12m13m21m22m23m31m32m33.
Considerando que as matrizes: C=[ 1 0 12 1 −2
−1 3 1 ] e P=[ 0 55 320 17 2
52 19 −24].Suponha que foi enviada a você a matriz P.a) Utilize seus conhecimentos sobre operações com matrizes, especificamente em relação à matriz inversa, obtenha a matriz M e decifre a mensagem que foi enviada a você.b) Você está apaixonado(a), mas é tímido(a) e tem vergonha de declarar isso à sua paixão secreta. Descubra qual deve ser a matriz P para enviar a seguinte mensagem: EUTEAMO!!
RESPOSTAS
2. a) A−1=[ 5 −6
−4 5 ] b) B−1=[ 3 −5
−1 2 ] c) C−1=[1 0
012 ] d) D
−1=[ 12
12
−12
12]
3. a) [−10 00 −10 ] b) [98 0
0 98] 4. x=7 e y=1 5. x=−1 6. a) X=[−4338 ]
b) ∄ X c) X=[−79 ] 7. a) X=A−1B b) X=A−1B−1=(BA )−1 c) X=A−1B−1=(BA )−1
d) X=A−1B−1 A=(BA )−1 A e) X=A−1B t f) X=B t−A
8. a) X=[−19 128 −5] b) X=[−1 −21
0 13 ] 9. a) A−1=[−5 3
2 −1] b) B−1=[ 2 3 −3
−1 −2 24 6 −7]
c) ∄ inversa d)D−1=[
12
12
−12
12
−12
12
−12
12
12
] e)E−1=[
19
−827
727
1027
−49
3227
−2827
−1327
19
−2554
1627
1154
13
−118
19
−118
] 3
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f) F−1=[
344
−311
−111
722
944
211
−311
−122
−944
911
311
122
544
−511
211
−322
] 10. a) X=[ 5−31 ] b) ∄ X 11. a=5 12. x=3
13. a+b=−13
6 14. x=0 ; y=√2
2 e z=−√2
2 ou x=0 ; y=−√2
2 e z=√2
2
15.a) M=PC−1 e M=[16 1 181 2 5
14 19 0 ] PARABENS! b) P=[ 27 81 −17−6 40 1615 0 15 ]
4