FEAAC – UFC

Estatística Econômica I

Prof. Rafael Costa

Lista de Exercícios #3

01. Verifique que a forma geral da função densidade da distribuição normal pode ser

derivada da distribuição normal padrão através da transformação Y= µ + σX.

02. Prove o seguinte teorema:

i) Se c é uma constante, E (c) = c.

ii) Se c é uma constante, E [c g(X)] = c E[g(x)].

iii) E [u (X) + v(X)] = E [u(X)] + E [v(X)].

iv) E (X - µ) = 0, onde µ = E(X).

03. Suponha que a função densidade de probabilidade conjunta da variável aleatória

bidimensional (X, Y) seja uniformemente distribuída na região de domínio:

f(x, y) = kx (x-y), 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2

Encontre E(X).

04. Considere o v.a. X = (X1, X2, X3) com distribuição de probabilidade:

Encontre a probabilidade de 0 ≤ X1 ≤ 0,5.

05. Mostre que as seguintes assertivas são verdadeiras:

a) Seja ρ(x, y) o coeficiente de correlação entre as variáveis x e y. Se ab > 0, então ρ(ax, by) =

ρ(x, y); e se ab < 0, ρ(ax, by) = -ρ(x, y).

b) Se a função densidade conjunta de x e y for f(x, y) =e-x-y

, x > 0, y > 0 e f(x, y) = 0 para outros

valores de x e y, então ρ(x, y) = 0.

06. Suponha que a função densidade de probabilidade conjunta da variável aleatória

bidimensional (X, Y) seja dada por:

Calcule a P(Y < X).

07. No começo do dia, uma máquina de refrigerantes armazena um montante aleatório Y de

líquido (medido em galões). No decorrer do mesmo dia, um montante aleatório X é

descartado pela máquina. Como a máquina não é carregada, X ≤ Y. A distribuição conjunta

de X e Y é:

Calcule a probabilidade de que menos de meio galão seja descarregado no decorrer de um

dia, dado que a máquina contém um galão no início do mesmo dia.

08. Duas v.a.’s X e Y são conjuntamente distribuídas de acordo com a função de densidade:

Calcule P(0 < Y < 1/4|X = 1/2).

09. Considere duas variáveis aleatórias X e Y. Suponha que X seja distribuída de acordo com

a seguinte função de densidade:

Suponha também que

Calcule E(Y).

10. Considere a seguinte função de densidade conjunta de duas v.a.’s contínuas X e Y dada

por

Ache a densidade marginal de Y.