INTRODUC ~AO A VARI AVEL COMPLEXA

Lista de exerccios 1

01. (a) Expresse cada um dos seguintes numeros complexos da forma r(cos + i sin ):

(i) i3, (ii) 1 i, (iii) p2(1 + i), (iv) 2 + 2p3 i (v) p27 3i(b) Expresse cada um dos seguintes numeros complexos na forma x+ iy (x; y 2 R):

(i) 5 cos() + 5i sin(), (ii) 2 i sin(3=2).02. Expresse em termos de r e as seguintes equac~oes, onde z = r(cos + i sin ), simplifque ao

maximo sua resposta,

(i) jz2j = 4 (ii) jz2 1j = 1 (iii) arg(2z) = 2=3 (iv) arg(iz) = =4 (v) arg(z2) = 203. Para n = 1; 2; 3; : : : calcule

(i) in, (ii)1i1+i

n(ii) (1 + i)n (1 i)n.

04. Sem usar a expans~ao pelo Bino^mio de Newton, mostre que (p3 + i)n + (

p3 i)n e um numero

real se n e um inteiro positivo.

05. Calcule

nXk=0

eik, e deduza que 1 + 2

nXk=0

cos(k) =sin[(n+ 0:5)]

sin(0:5) 6= 2m; (m 2 Z):

Encontre a express~ao para

nXk=0

sin[k].

06. Encontre todas as razes en C das seguintes equac~oes:(i) 1 + z + z2 + : : : z7 = 0;

(ii) (1 z)6 = (1 + z)6 (Sugest~ao: N~ao expanda estes bino^mios.)(iii) 1 z + z2 = 0;(iv) 1 z2 + z4 z6 = 0:

07. Seja 2 C, tal que 3 = 1 e 6= 1. Calcule [2( 1)2]1. ( N~ao e necessario calcularexplicitamente os possveis valores de .)

08. Mostre que se z 2 C, tem-se que jzj jRe(z)j+ jIm(z)j p2jzj:09. Considere z; w 2 C. Mostre que:

(i) jz + iwj2 + jw + izj2 = 2(jzj2 + jwj2) (ii) j1 zwj2 jz wj2 = (1 jzj2)(1 jwj2)10. Prove a igualdade conhecida como o nucleo de Poisson, considere que z = r ei; e w = Rei;

(i) Re

w + z

w z=jw2j jzj2jw zj2 : (w 6= z): (ii) Re

w + z

w z=

R2 r2R2 2Rr cos( ) + r2 :

11. Encontre as partes real e imaginaria das seguintes func~oes como func~oes de x e y :

(i) z3, (ii) z + z1 (z 6= 0), (iii) 1=(1 z) (z 6= 1).12. Mostre que se P (z) e um polino^mio com coecientes reais, ent~ao P (z) = P (z), (z 2 C); de aqui,

se P (z) = 0 ent~ao P (z) = 0; isto e, as razes n~ao reais de um polino^mio real ve^m aos pares.

13. Mostre que se o numero complexo a 6= 1, e raiz da equac~ao zn 1 = 0, (neste caso dizemos que euma raiz enesima da unidade), ent~ao e tambemm raiz da equac~ao, 1 + z + z2 + + zn1 = 0.

14. Considere as n1 diagonais de um polgono regular de n lados inscrito no crculo unitario, obtidasligando um vertice xado aos demais vertices. Mostre que o produto de seus comprimentos e n.

15. O que cada uma das seguintes equac~oes representa geometricamente? Faca esboco em cada caso:

(i) jz+2j = 6; (ii) jz 3ij = jz+ ij; (iii) jiz 1j = jiz+1j; (iv) jz e2i=3j = jz 1j:16. Descreva geometricamente os seguintes subconjuntos de C:

(i) Re(z + i) < 2; (ii) jz ij < jz + 1j; (iii) jz + 2ij 2; (iv) jz 1 + ij jz 1 ij;(v) Im[(z + i)=(2i)] < 0; (vi) 1 < Re(z) 2; (vii) jz 1j < 1 e jzj = jz 2j:(viii) jz 1 ij > 1; (iv) jz + ij 6= jz ij; (x) z = jzjei ( < < =2);(xi) Re(z) < 1 ou Im(z 1) 6= 0; (xii) 1 < Im(z) < 2 e Re(z) > 1; (xiii) jzj2 > z + z:

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17. Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos encontre uma equac~ao para o arco da circunreta

que tem o primeiro e ultimo ponto como extremidades e que passa pelo segundo:

(i) 1; i; 1; (ii) 1; i; i; (iii) 1 i; 0; 1 + i; (iv) 0; 1 + i; 1:18. Que arcos s~ao defnidos pelas seguintes equac~oes? Faca esbocos.

(i) argnz+1z1o= 2 ; (ii) arg

nz1z+1

o= 2 ; (iii) arg

nz+1zio= :

19. Encontre a imagem (em C) de; (a) a semi-reta arg(z) = =6, (b) o disco D(0; 2) e (c) a retaIm(z) = 1; por cada uma das seguintes transformac~oes:

(i) z ! z, (ii) z = (1 + i)z, (iii) z ! 1=z.20. Esboce as seguintes \circunretas", encontrando o centro e o raio daqueles que s~ao crculos:

(i) jz + ij = jz 3ij, (ii) jz + 1j = 4jz 1j, (iii) jz ij = 2jzj, (iv) 2jz ij = jzj.21. Em cada um dos seguintes crculos, encontre um par de pontos inversos em C, e da encontre uma

equac~ao para o mesmo em termos dos pontos inversos:

(i) jz 1j = 2, (ii) jz ij = 2, (iii) jz 1 ij = 2.24. Sejam f uma transformac~ao de Mobius e S um \crculo". Sejam e pontos distintos en S e

considere o arco A entre eles e em S. Descreva as possveis formas que f(A) pode ter nos casos:

(a) p 2 SnfAg, (b) p = ou p = , (c) p 2 Anf; g, (d) p =2 S:25. Determine a transformac~ao de Mobius T que leva 0; 1; 1 em 1; 1 + i; i, respectivamente. Qual

e a imagem por esta transformac~ao de:

(a) um arco de crculo de 1 a i, (b) a reta dada por Im(z) = Re(z)

(c) o eixo real. (d) o eixo imaginario.

26. Considere a Transformac~ao de Mobius z ! w = (z + 1)(z 1)1, vista como uma aplicac~ao deC1 em C1.

(a) Encontre as imagens das semi-retas: [0; 1], [1;1) e (1; 1].(b) Encontre tambem a imagem dos crculos: (i) jzj = 1, (ii) jz + 12 j = 1, jz 12 j = 1.

27. Seja 2 C, jj < 1. Dena S(z) = (z )=( z 1). Mostre que S leva o disco D(0; 1)injetivamente sobre D(0; 1), e que a inversa de S e S. Prove tambem que toda transformac~ao de

Mobius de D(0; 1) sobre D(0; 1) e da forma eiS, para alguma constante real , e algum 2 D(0; 1).28. Seja f : z ! w uma aplicac~ao de Mobius que n~ao e a aplicac~ao identidade.

(a) Suponha que f tem pontos fxos distintos e . Mostre que esta aplicac~ao pode ser escrita

w w = k

z z com k =

a ca c :

(b) qual e a imagem por f da circunreta; j(z )=(z )j = ,(c) qual e a imagem por f do arco; arg[(z )=(z )] = ; (mod2)(d) Suponha que f tenha um unico ponto xo. Mostre que

1

w = k1

z com k =1

a c :

32. Encontre os pontos fxos da transformac~oes Mobius a seguir,

(i) w = ziz+i , (ii) w =3z4z1 , (iii) w = i z, (iv) w =

2 z1z :

(b) Ache a imagem por cada uma destas aplicac~oes das curvas:

(i) o crculo jzj = 1, (ii) o eixo real, (iii) o eixo imaginario.33. Seja f(z) = 2 i z=(z+ i). Mostre que f leva qualquer arco de crculo que liga 0 e i sobre si mesmo,

e deduza que f leva o conjunto fz 2 C1 : Re(z) > 0; jz i=2j < 1=2g nele mesmo. Qual e a imagempor f de fz 2 C1 : jzj < jz ijg?

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