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Prof Msc SANDRO FABIAN FRANCILIO DORNELLES

DIAGRAMAS LÓGICOS Introdução Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas.

Uma situação que esses diagramas poderão ser usados, é na determinação da quantidade de elementos que apresentam uma determinada característica.

Assim, se num grupo de pessoas há 43 que dirigem carro, 18 que dirigem moto e 10 que dirigem carro e

moto. Baseando-se nesses dados, e nos diagramas lógicos poderemos saber:

Quantas pessoas têm no grupo ou quantas dirigem somente carro ou ainda quantas dirigem somente motos.

Vamos inicialmente montar os diagramas dos conjuntos que representam os motoristas de motos e motoristas de carros.

Começaremos marcando quantos elementos tem a intersecção e depois completaremos os outros espaços.

Marcando o valor da intersecção, então iremos subtraindo esse valor da quantidade de elementos dos

conjuntos A e B.

A partir dos valores reais, é que poderemos responder as perguntas feitas.


a) Temos no grupo: 8 + 10 + 33 = 51 motoristas.

b) Dirigem somente carros 33 motoristas.

c) Dirigem somente motos 8 motoristas.

No caso de uma pesquisa de opinião sobre a preferência quanto à leitura de três jornais. A, B e C, foi

apresentada a seguinte tabela:

Jornais Leitores

A 300

B 250

C 200

A e B 70

A e C 65

B e C 105

A, B e C 40

Nenhum 150

Para termos os valores reais da pesquisa, vamos inicialmente montar os diagramas que representam cada conjunto.

A colocação dos valores começará pela intersecção dos três conjuntos e depois para as intersecções duas a duas e por último às regiões que representam cada conjunto individualmente.

Representaremos esses conjuntos dentro de um retângulo que indicará o conjunto universo da pesquisa.


Fora dos diagramas teremos 150 elementos que não são leitores de nenhum dos três jornais.

Na região I, teremos: 70 - 40 = 30 elementos.

Na região II, teremos: 65 - 40 = 25 elementos.

Na região III, teremos: 105 - 40 = 65 elementos.

Na região IV, teremos: 300 - 40 - 30 - 25 = 205 elementos.

Na região V, teremos: 250 - 40 -30 - 65 = 115 elementos.

Na região VI, teremos: 200 - 40 - 25 - 65 = 70 elementos.

Dessa forma, o diagrama figura preenchido com os seguintes elementos:

Com essa distribuição, poderemos notar que 205 pessoas lêem apenas o jornal A.


Verificamos que 500 pessoas não lêem o jornal C, pois é a soma 205 + 30 + 115 + 150.

Notamos ainda que 700 pessoas foram entrevistadas, que é a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 150.

QUADRO SINÓTICO representação Diagramas Lógicos cálculo da quantidade de elementos

Exercícios de fixação 1. Num levantamento realizado por um agente de saúde e saneamento, verificou-se que de um grupo de 900

pessoas, 450 tinham sintomas de uma doença A, 280 tinham sintomas de uma doença B e 80 tinham sintomas dessas duas doenças. O número de pessoas que não tinham sintomas nem de A nem de B corresponde a:

a) 150 b) 200 c) 250 d) 350

2. Entrevistando-se 1000 pessoas, verificou-se que todas utilizavam os produtos A ou B. O produto B é usado por 400 pessoas e 160 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A?

a) 760 b) 625 c) 560 d) 600 e) 660

3. Foram consultadas 1000 pessoas sobre as rádios que costumam escutar. O resultado foi o seguinte: 450 pessoas escutam a rádio A, 380 escutam a rádio B e 270 não escutam nem A nem B. O número de pessoas que escutam as rádios A e B é:

a) 100 b) 300 c) 350 d) 400 e) 450

4. Numa turma de 42 recrutas onde todos praticam futebol ou basquete, 36 gostam de futebol e 28 gostam de basquete. Quantos recrutas gostam, ao mesmo tempo; de futebol e de basquete?

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24

EF05. Numa comunidade constituída de 1.800 pessoas, há três programas de TV favoritos: Esporte (E), Novela(N), e Humorismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas:


Programas Número de telespectadores

E 400

N 1220

H 1080

E e N 220

N e H 800

E e H 180

E, N , H 100

Através destes dados, verifica-se o número de pessoas da comunidade que não assistem a nenhum dos três programas. a) 100 b) 200 c) 900 d) os dados estão incorretos

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES E DE CONCURSOS

Diagramas Lógicos

1. De um total de 30 agentes administrativos sabe-se que: I. 18 gostam de cinema II. 14 gostam de teatro III. 2 não gostam de cinema, nem de teatro

O número de agentes que gostam de cinema e de teatro corresponde a: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8

2. De um grupo de N auxiliares técnicos de produção, 44 lêem jornal A, 42 o jornal B e 18 lêem ambos os jornais. sabendo que todo auxiliar deste grupo é leitor de pelo menos um dos jornais, o número N de auxiliares é:

3. Em uma turma, 45% dos alunos falam inglês e 33% falam francês. Se 25% dos alunos não falam nenhuma duas línguas, a porcentagem de alunos que falam francês, mas não falam inglês é de:

a) 3% b) 15% c) 27% d) 30% e) 33%


4. Realizou-se uma pesquisa e verificou-se que, das pessoas consultadas, 200 ouviam a rádio A, 300 ouviam a rádio B, 20 ouviam as duas rádios (A e B) e 220 não ouviam nenhuma das duas rádios. Quantas pessoas foram consultadas?

a) 520 b) 560 c) 640 d) 680 e) 700

5. Em uma pesquisa, foram entrevistados 100 telespectadores. 60 assistiam à televisão à noite e 50 assistiam à televisão de dia. Quantos assistiam à televisão de dia e de noite?

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

6. Em uma pesquisa, foram entrevistadas 200 pessoas. 100 delas iam regularmente ao cinema, 60 iam regularmente ao teatro e 50 não iam regularmente nem ao cinema nem ao teatro. Quantas dessas pessoas iam regularmente a ambos?

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

7. (NCNB_02) Uma professora levou alguns alunos ao parque de diversões chamado Sonho. Desses alunos: 16 já haviam ido ao parque Sonho, mas nunca andaram de montanha russa. 6 já andaram de montanha russa, mas nunca haviam ido ao parque Sonho. Ao todo, 20 já andaram de montanha russa. Ao todo, 18 nunca haviam ido ao parque Sonho.

Pode-se afirmar que a professora levou ao parque Sonho: a) 60 alunos b) 48 alunos c) 42 alunos d) 366alunos e) 32 alunos

8. (ICMS_97_VUNESP) Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de alunos da classe é:

a) 30 b) 35 c) 37 d) 42 e) 44

9. Suponhamos que numa equipe de 10 estudantes, 6 usam óculos e 8 usam relógio. O numero de estudantes que usa ao mesmo tempo, óculos e relógio é:


a) exatamente 6 b) exatamente 2 c) no mínimo 6 d) no máximo 5 e) no mínimo 4

10. Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produtos: A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que:

210 pessoas compram o produto A. 210 pessoas compram o produto N. 250 pessoas compram o produto C. 20 pessoas compram os três produtos. 100 pessoas não compram nenhum dos 3 produtos. 60 pessoas compram o produto A e B. 70 pessoas compram os produtos A eC. 50 pessoas compram os produtos B e C.

Quantas pessoas foram entrevistadas: a) 670 b) 970 c) 870 d) 610 e) 510

11. No problema anterior, calcular quantas pessoas compram apenas o produto A; apenas o produto B; apenas o produto C. a) 210;210;250 b) 150;150;180 c) 100;120;150 d) 120;140;170 e) n.d.a.

12. (A_MPU_ESAF_04) Um colégio oferece a seus alunos à prática de um ou mais de um dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, 20 alunos praticam vôlei e basquete; 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei; 17 alunos praticam futebol e vôlei; 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei;

O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a: a) 93 b) 114 c) 103 d) 110 e) 99


13. (ESAF_97) Uma pesquisa entre 800 consumidores - sendo 400 homens e 400 mulheres- mostrou os seguintes resultados:

Do total de pessoas entrevistadas: 500 assinam o jornal X 350 têm curso superior 250 assinam o jornal X e têm nível superior

Do total de mulheres entrevistadas: 200 assinam o jornal X 150 têm curso superior 50 assinam o jornal X e têm nível superior

O número de homens entrevistados que não assinam o jornal X e não têm curso superior é, portanto, igual a:

a) 100 b) 200 c) 0 d) 50 e) 25

14. No diagrama abaixo, considere os conjuntos A, B, C e U ( universo ).

A região sombreada corresponde à seguinte operação:

a) A B C

b) (A B) C c) A BC

d) (A B) C


QUESTÕES CERTO / ERRADO (CESPE / UNB)

15. (UNB) Numa entrevista realizada pelo Departamento de Ciências Econômicas da UCG com 50 pessoas, da classe média de Goiânia, acerca de suas preferências por aplicações de seus excedentes financeiros, obteve-se o seguinte resultado: 21 pessoas disseram que aplicam em fundos de renda fixa; 34 em cadernetas de poupança e 50 não aplicam em nenhuma das modalidades. Deste modo, 10 pessoas aplicam nas duas modalidades (obs.: uma mesma pessoa pode aplicar em mais de uma modalidade).

16. (MPU_99UNB) Em exames de sangue realizados em 500 moradores de uma região com péssimas condições sanitárias foi constatada a presença de três tipos de vírus: A, B, C . O resultado dos exames revelou que o vírus A estava presente em 210 moradores; o vírus B, em 230; os vírus A e B, em 80; os vírus A e C, em 90; e os vírus B e C, em 70. Além disso, em 5 moradores não foi detectado nenhum dos três vírus e o numero de moradores infectados pelo vírus C era igual ao dobro dos infectados apenas pelo vírus B.

Com base nessa situação, julgues os itens abaixo: I. O número de pessoas contaminadas pelo três vírus simultaneamente representa 9% do total de

pessoas examinadas. II. O número de moradores que apresentam o vírus C é igual a 230. III. 345 moradores apresentam somente um dos vírus. IV. Mais de 140 moradores apresentaram pelo menos, dois vírus. V. O número de moradores que não foram contaminados pelos vírus B e C representa menos de

16% do total de pessoas examinadas.

17. Pedro, candidato ao cargo de Escrivão de Polícia Federal, necessitando adquirir livros para se preparar para o concurso, utilizou um site de busca da Internet e pesquisou em uma livraria virtual, especializada nas áreas de direito, administração e economia, que vende livros nacionais e importados. Nessa livraria, alguns livros de direito e todos os de administração fazem parte dos produtos nacionais. Alem disso, não há livro nacional disponível de capa dura. Com base nas informações acima é possível que Pedro, em sua pesquisa, tenha:

I. Encontrado um livro de administração de capa dura. II. Adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexível. III. Selecionado para compra um livro nacional de direito de capa dura. IV. Comprado um livro importado de direito de capa flexível.

Gabarito dos Exercícios de Fixação:

1.C 2.A 3.A 4.B 5.B

Gabarito dos

Exercícios Complementares.

1. B 2. C 3. D 4. E 5. B 6. A 7. B 8. E


9. E 10. D 11. C 12. E 13. A 14. C 15. C(certo) 16. C.E.C.C.E. 17. E.C.E.C.

EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU

A equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade que contém incógnitas, ou seja,

letras que representam valores desconhecidos.

Resolver uma equação é determinar os valores das incógnitas (também chamadas de variáveis ) que tornam a igualdade verdadeira.

Chamamos primeiro membro da equação tudo o que está à esquerda do sinal de igualdade e segundo membro da equação tudo o que está à direita do sinal de igualdade.

Na equação 3x + 4 = 19, por exemplo, o primeiro membro é 3x + 4 e o segundo, 19. Nessa equação, temos apenas uma incógnita, que é a letra x. Essa incógnita está elevada à primeira potência, ou seja, possui expoente igual a 1 ( lembre-se que x = x1). É por isso que a equação que contém é chamada de equação do primeiro grau. Contivesse x2 , seria equação do segundo grau; x3 , equação de terceiro grau, etc.

Resolver a equação 3x + 4 = 19 significa determinar o valor variável de x que faz com que tal sentença fique verdadeira. Podemos adiantar que esse valor é 5, isto é, x = 5.

De fato, se substituirmos a letra x pelo valor 5 na equação acima, encontraremos que:

3 • 5 + 4 = 19 ,

que é uma sentença matemática verdadeira, pois 3 vezes 5 dá 15, que somado com 4 dá 19.

Na equação dada, 3x + 4 = 19, a incógnita x estava acompanhada pelos números 3 e 4 no membro esquerdo da igualdade. Já na resposta final x = 5, a letra x está sozinha no membro esquerdo.


Isso nos mostra o caminho que devermos seguir para resolver uma equação de primeiro grau: toda vez que formos resolver uma equação de primeiro grau, teremos de deixar a incógnita x sozinha em um dos membros da equação; em outras palavras, devemos isolar a variável x.

A equação é uma igualdade e as igualdades podem ser verdadeiras ou falsas.

A igualdade 5 = 5, por exemplo, é verdadeira.

Mas, se subtrairmos o número 2 do primeiro membro, obteremos 5 - 2 = 5, que é uma igualdade falsa.

Podemos, todavia, torna-la verdadeira subtraindo o número 2 também do segundo membro, isto é, fazendo 5 - 2 = 5 - 2 .

Concluímos, então que, se efetuarmos uma mesma operação nos dois lados de uma igualdade verdadeira (desde que não seja uma divisão por zero), essa igualdade continua verdadeira.

Podemos utilizar a conclusão acima para resolver nossa equação. Voltemos a ela:

3x + 4 = 19

Vamos subtrair 4 em cada membro da equação:

3x + 4 - 4 = 19 - 4

Resultara: 3x = 15

Ainda não conseguiremos isolar a incógnita. Vamos dividir, por três cada um dos membros.

Resultara: 3

3x3

15

Donde concluímos que : x = 5

Podemos dispensar o uso dessa forma de resolução de uma equação de primeiro grau, substituindo-a por regrinhas práticas.

Já que o nosso objetivo é isolar a incógnita, podemos fazê-la passando para o segundo membro da igualdade os valores conhecidos, de tal forma que, se o valor estiver multiplicando, passa pra o outro lado da igualdade dividindo e vice-versa e, se estiver somando, passa para o outro lado da igualdade subtraindo e vice-versa.

Considere, como exemplo, a equação dada anteriormente:

3x + 4 = 19

Vamos passar o +4, que está no primeiro membro, para o segundo membro como -4. Obteremos:

3x = 19 - 4

que é equivalente a: 3x = 15

Vamos, agora, passar o "3" do primeiro membro para o segundo; como ele está multiplicando a incógnita no primeiro membro, vai passar

dividindo: x = 3

15

que resulta em : x = 5

Na resolução das equações de primeiro grau, é muito importante não só que você saiba utilizar as regrinhas, mais também guarde o conceito que foi explicado inicialmente.

Vejamos mais um exemplo. Vamos resolver a equação

34

122

133

1

xxx

Neste caso, devemos colocar todos os elementos da equação sobre os membros denominados, determinando o mínimo múltiplo comum de (3,2,4) que é 12. Em seguida, dividimos o número o número 12 por cada um dos denominadores das frações acima e multiplicamos pelos respectivos numeradores, obtendo:

123:12)12(3

12)13(6)1(4

xxx


Multiplicando os dois lados da igualdade por 12:

1212

3:12)12(31212

)13(6)1(4

xxx

Os dois denominadores podem ser cancelados resultando:

4(x+1) + 6(3x-1) = 3(2x+1)-36

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicativa em relação à adição nos parênteses, temos:

4x + 4 + 18x . 6 = 6x + 3 - 36

Colocando todos os termos com incógnitas no primeiro membro e os sem incógnita no segundo membro, obtemos:

4x + 18x - 6x = + 3 - 36 - 4 + 6

Somando os termos semelhantes, fica:

16x = -31

Passando o 16 para o lado esquerdo, temos:

1631

x

QUADRO SINÓTICO resolução Diagramas Lógicos situação problema

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES E DE CONCURSOS

1. A solução da equação 3(x+2) = 2(x-7) é: a) 0 b) -10 c) -20 d) -30 e) -40

2. A solução da equação 3

1x21x

é:

a) 0 b) 5 c) -20 d) 30 e) 40

3. A solução da equação 1)(2x51

2)(x41

é:

a) 0

b) 35


c) 314

d) 317

e) 320

4. A solução da equação 4

7xx

1217

31x

2x

é:

a) 0 b) 3 c) 14 d) 17 e) 20

SITUAÇAÕ PROBLEMA

5. Eu sou 26 anos mais velho que minha filha. Qual a minha idade se ó o triplo da minha filha? a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40

6. Minha geladeira custou o quádruplo do preço de meu rádio. A geladeira custou R$ 150,00 mais que o rádio. Quanto custou, em R$, o rádio? a) 50,00 b) 60,00 c) 70,00 d) 80,00 e) 90,00

7. Quando eu nasci, meu pai tinha 30 anos. Quantos anos tenho hoje se minha idade é a terça parte de meu pai? a) 15 b) 20 c) 25 d) 40 e) 45

8. Um pai tem 50 anos e seus três filhos, 5, 7 e 10 anos, respectivamente. Daqui a quantos anos os filhos, juntos, terão a mesma idade do pai? a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

9. (AFC_02) Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, casa uma num bairro diferente. Em cada uma das lojas pagou R$ 2,00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao a) R$ 220,00 b) R$ 204,00


c) R$ 196,00 d) R$ 188,00 e) R$ 180,00

10. (TFC_96) Uma viúva recebeu um terço da herança de seu marido e cada um de seus três filhos recebeu um terço do restante. Sabendo-se que a soma da parte da viúva com a de um de seus filhos foi igual a R$ 45.000,00, o montante total da herança foi de: a) R$ 50.625,00 b) R$ 67.500,00 c) R$ 81.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 101.250,00

11. (TFC_96) Em uma maratona, um dos participantes desiste ao completar 52 do percurso total da prova.

No entanto, se tivesse corrido mais 40 km, teria cumprido a metade do percurso total. Assim, o percurso total da prova era de: a) 400 km b) 500 km c) 600 km d) 700 km e) 800 km

Gabarito 1. C 2. B 3. C 4. A 5. D 6. A 7. A 8. C 9. D

10. C 11. A

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