LISTA DE EXERCÍCIOS 2

Prof. Glênio A. Gonçalves

Obs.: Veja exemplos e respostas de alguns exercícios no final da lista.

1) Nos exercícios a seguir são dados f(x), a e L, bem como . Usando as

propriedades da desigualdade, determine um δ > 0, tal que a definição de limite seja verdadeira para o valor dado de ε

L)x(flim ax =→

a) para ε = 0,02 ( ) 7431 =−−→ xlimx

b) para ε = 0,05 ( ) 2351 =−→ xlimx

c) para ε = 0,005 923 =→ xlimx

d) 4242

2 −=+−

−→ xxlimx para ε = 0,01

2) Nos exercícios a seguir, ache o limite, quando aplicável, indique as leis de limite usadas, considerando as proposições: axlim ax =→ e cclim ax =→ (onde c é uma constante).

Exemplo: [ ] 5321 =−−→ xlimx

[ ] [ ]xlimlim xx 2 11 3−+ −→−→ foi usada a lei da soma de funções

xlimx 132 −→− foi usada a lei do produto

( ) 5132 =−−

a) ( )832 +−→ zlimz b)

625

3

2

2+−

→ ttlimt c)

318

1 ++

→ rrlimr

3) Nos exercícios seguintes, encontre o limite das funções abaixo.

a) 7

2

7 −−

→ xxlimx

49 b) 3294 2

23 +

−−→ x

xlimx

c) 492

832

2

4 −−

→ hhhhlimh

16+−

d) 283

2 ++

−→ yylimy e)

3+729

2

2

3+−

−→ yyylimy f)

11

1 −−

→ xxlimx

g) x

xlimx22

0−+

→ h) h

hlimh113

0−+

→ i) 562

223

2

1++−−

−→ xxxxlimx

3+x

j) 34134

25223

23

3 +−−−

→ xxxxlimx

3−−

xx k)

xxlimx

−−+−

→ 5153

4 l) 033

≠−−

→ a,ax

axlim ax

m) ( )x

xlimx164 2

0−+

→ n) t

tlimt5325

0−+

→ o) ( )2

33 2

11

12−

+−→

xxxlimx

4) Sejam ( e definidas pelos gráficos: )xf ( )xg

Intuitivamente, encontre se existir:

a) b) ( )xflimx −→3 ( )xflimx +→3 c) ( )xflimx 3→

c) d) ( )xglimx −→5 ( )xglimx +→5 e) ( )xglimx 5→

5) Nos exercícios a seguir faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir o limite, indique a razão, isto é, a condição para a existência do limite que não foi satisfeita.

⎩⎨⎧

−>−−≤+

=4444

tsettset

)t(f ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−=<+

=12712132

rserrserser

)r(g

a) b) ( )tflimt −−→ 4 ( )tflimt +−→ 4 c) ( )tflimt 4−→

c) d) ( )rglimt −→1 ( )rglimt +→1 e) ( )rglimt 1→

6) Seja ( ) |x|xF 152 −+= . Calcule os limites indicados se existirem:

a) ( )xFlimx

+

→51 b) ( )xFlim

x−

→51 c) ( )xFlim

x51

→

7) Ache as assíntotas verticais das funções a seguir, indicando quais condições estão satisfeitas para sua ocorrência e esboce o gráfico de cada função, indicando a assíntota.

a) ( )( )22

1+

=x

xf b) ( ) ( )92

2 −=

xxf c) ( )

12

12 +−

=xx

xf

8) Dada ( ) . Ache o valor de k, tal que exista o limite ⎩⎨⎧

≥+<+

=45423

xsekxxsex

xf ( )xflimx 4→

9) Dada ( ) . Ache os valores de a e b, tais que existam os

limites e .

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−<<−+

−≤=

26222

22

xsexxsebax

xsexxf

( )xflimx 2−→ ( )xflimx 2→

10) Ache o limite de 32

3

0 3542

xxxlimx +

−−→ .

Exemplos:

1) 4

232

3

2−+−

−→ xxxlimx ; Neste caso, fatora-se o numerador e o denominador fazendo-se a

seguir as simplificações possíveis. Temos,

( )( )( )( )

( )( )

( )( ) 49

212

212

22212

423

2

22

2

2

2

22

3

2

/xlim

xxlim

xxxlim

xxxxxlim

xxxlim

x

x

xxx

−=−

+−=

−+−

=+−

++−=

−+−

−→

−→

−→−→−→

2) x

xlimx22

0−+

→ ; Para este exemplo usaremos o artifício da racionalização do

numerador da função. Segue então,

( )( )( )

( )[ ]( )

( ) ( )( )

( ) 221

221

221

22

2222

22222222

0

0

00

000

=++

=

++=

++=

++−+

=++

++−+=

−+

→

→

→→

→→→

xlimlim

xlim

xxxlim

xxxlim

xxxxlim

xxlim

x

x

xx

xxx

3) 113

1−−

→ xxlimx ; Neste caso faremos uma troca de variáveis para facilitar os cálculos. Por

exemplo, , . Quando . Portanto, 6tx = 0≥t 16 →t

11

1

111

3

2

16

3 6

1

3

1−−

=−

−=

−−

→→→ ttlim

t

tlimxxlim ttx ;

Como t = 1 é raiz dos polinômios tanto do numerador quanto do denominador, podemos fatorar ambos usando , isto é, ( 1−t )

( )( )( )( )

( )( )

( )( )

./ttlim

tlimtt

tlim

tttttlim

ttlim

xxlim

t

tt

ttx

321

11

111

1111

11

21

121

213

2

1

3

1

=++

+=

+++

=

++−+−

=−−

=−−

→

→→

→→→

00 +11

100

11100

2

2

23

223

+−−+−

−+++−

++−

−++

tt

tt

tt.tt

ttt|t.t.t

Respostas dos exercícios:

1) a) 0,005; b) 0,01; c) 1/1400; d) 0,01.

2) a) 0; b) -1/22; c) 3/2.

3) a) 14; b) –6; c) 16/7; d) 12; e) 30 /5; f) 1/2; g) 2 /4; h) 1/3; i) –1; j) 11/17; k) –1/3;

l) ( )3 231 a/ ; m) 8; n) 3/10; o) 1/9.

6) a) 2; b) 2; c) 2.

7) a) x = -2 e ( ) ∞=→ xflimx 2 ; b) x = ±3, ( ) ±∞=±→ xflimx 3 e ( ) ±∞=±−→ xflimx 3 ; c) x = 1 e

. ( ) ±∞=±→ xflimx 1

8) k = -6.

9) a = -3/2 e b = 1.

10) +∞.