UNIVERSIDADE DE BRASLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

Disciplina Introduo Anlise de Sistemas Ambientais Perodo: 1/2014

Lista de Exerccios Parte I (Prof. Nestor)

Exerccio 1

Numa rea de 5000 ha propcia para irrigao podem ser explorados dois tipos de culturas. A cultura A

requer 0,002 hm3/ha de gua e um investimento de R$1000/ha, para gerar um benefcio lquido de

R$300/ha. A cultura B consome 0,0015 hm3/ha de gua, demanda um investimento de R$500/ha e gera

uma renda de R$200/ha. O volume disponvel de gua de 8 hm3 e o investimento total no deve

superar R$ 3.106.

a) Determine a alocao tima dos recursos disponveis de modo a maximizar o lucro total da rea de irrigao;

b) Resolver o problema Dual;

c) Fazer a anlise de sensibilidade dos coeficientes.

Exerccio 2

Uma fbrica produz elementos filtrantes de papel, circulares, mdios e grandes, de 0,05 e 0,08

m de dimetro, respectivamente. A tarefa principal na elaborao desses filtros o corte desses

elementos circulares sobre pranchas de papel filtro de 0,280 x 0,100 metros. A fbrica deseja

uma produo diria mnima de 500 filtros mdios e 350 grandes. Os custos por prancha pelo

uso de cada matriz de corte so respectivamente: R$1, R$2, R$3, e R$2. Elabore o modelo para

definir o esquema de produo de modo a minimizar o custo.

Exerccio 3

A qualidade do ar em uma regio depende principalmente das emisses de gases (e.g., CO2,

SOx, CH4 , etc.) na atmosfera pelas 4 indstrias existentes. Cada instalao industrial pode

utilizar 3 diferentes tipos de combustvel. Suponha que a energia total necessria indstria j bj

calorias por dia e que cij a emisso de gases por tonelada do combustvel i pela indstria j. Alm disso, suponha que o combustvel do tipo i custa ci dlares por tonelada e que cada tonelada deste

tipo de combustvel gera ij calorias na indstria j. O nvel de poluio do ar na regio no pode

exceder 100microgramas por metro cbico. Finalmente, seja j um parmetro meteorolgico que relaciona emisses da indstria j qualidade do ar da regio. A tabela apresentada a seguir fornece

os dados numricos. Formule este problema para que as indstrias minimizem seus custos com

combustvel e respeitem os limites impostos.

Indstria Energia

necessria

bj (cal/dia)

Calorias gerada por tonelada, ij Parmetro j Comb. 1 Comb. 2 Comb. 3

J=1 1.000.000 12.000 5.000 3.000 0,3

J=2 500.000 5.000 1.000 4.000 0,5

J=3 2.000.000 2.000 1.000 2.500 0,1

J=4 4.000.000 1.500 2.000 2.000 0,1

Exerccio 4

Uma empresa da construo civil deve estimar os recursos humanos (operrios) necessrios para

concluir uma obra que tem atualmente em curso. Esta obra requer ainda 80.000 horas de trabalho,

pretendendo a empresa conclu-la num prazo mximo de trs semestres.

Os contratos de pessoal podem ter durao de um, dois ou trs semestres consecutivos. Cada

contrato representa um custo fixo para a empresa de R$400, independentemente da sua durao

(este custo inclui um seguro de acidentes de trabalho, entre outras parcelas) ao qual acrescido o

custo de cada homem-hora que varia ao longo do tempo, sendo de R$6, R$6.5 e R$7

respectivamente para o primeiro, segundo e terceiro semestre de execuo da obra.

Foi estabelecido que o nmero de operrios por semestre na obra no deve ser inferior a 25 e que o

nmero de contratos de trs semestres no deve ultrapassar 15.

Considerando que cada operrio trabalha em mdia 1050 horas por semestre, estimar quantos

operrios devero ser contratados, por tipo de contrato (sendo necessrio especificar o semestre em

que os contratos so iniciados, no caso dos contratos de um e dois semestres).

Exerccio 5

Uma empresa petrolfera possui uma refinaria no Norte e duas unidades de produo de

leos lubrificantes, uma no Norte, junto refinaria, e outra no Sul, que produzem trs tipos

de leos lubrificantes, o Normal, o Super e o Hiper, cuja composio a indicada no

quadro seguinte:

leo

lubrificante

Composio (% de volume) Rendimento (litros/hora)

leo Base Aditivo A Aditivo B Unidade Norte Unidade Sul

Normal 90 10 0 1.800 2.000

Super 80 15 5 1.600 1.500

Hiper 60 10 30 1.400 1.000

As duas unidades tm uma capacidade de produo de 2000 horas anuais cada uma, que se

dividem pela produo dos trs tipos de leo lubrificante, com os rendimentos de produo

representados no quadro anterior. Cada hora de produo da unidade Norte tem um encargo

de R$1.000, e na unidade Sul de R$900.

O leo base produzido na refinaria (junto unidade Norte) com um custo de R$ 2/litro. O

seu transporte para a unidade Sul acarreta um custo adicional de R$0.2/litro. A refinaria

tem uma capacidade de produo de 6 milhes de litros de leo base por ano. Quanto aos

aditivos, so adquiridos a fornecedores e custam R$15/litro e R$20/litro respectivamente

para os aditivos A e B.

Cada litro vendido pela empresa a R$6/litro, R$7/litro e R$10/litro respectivamente para

os leos Normal, Super e Hiper, e se admite que o mercado tem capacidade anual para

absorver 3 milhes de litros de leo Normal, 2,5 milhes de litros de leo Super e 1,5

milhes de litros de leo Hiper.

a) Formule o problema de otimizao que maximize a receita das vendas.

b) Qual a nova funo objetivo caso se pretenda maximizar o lucro ?

Exerccio 6

Estudos esto sendo realizados para a construo de um novo imvel destinado a

escritrios, com um total de 3 pisos, possuindo no pavimento trreo uma rea de 2.000 m2 e

cada um dos dois pavimentos elevados uma rea de 2.350 m2, destinadas exclusivamente a

escritrios.

H ento a necessidade de determinar o nmero de fraes autnomas a criar no edifcio

dentro das tipologias j pr-definidas, e do nmero que cada uma destas possuir no interior

do mesmo. Estas fraces sero servidas por uma zona comum que no permite mais do

que 25 portas nos pisos elevados e 10 portas no trreo, considerando que cada frao ter

acesso apenas por uma porta.

As tipologias j pr-definidas possuem reas de 40, 80, 150, 300 e 400 m2, sendo que a

empresa pretende construir um mnimo de trs, e um mximo de vinte fraes de cada tipo.

Os preos de venda para as diversas tipologias j foram estimados, variando de acordo com

o piso em que o escritrio vier a estar implantado. Assim, para os escritrios colocados no

trreo os preos de venda so de 550, 530, 495, 480 e 460 R$/m2 respectivamente para as

tipologias de 40, 80, 150, 300 e 400 m2, aumentando estes valores em 10% e 18% quando

estes mesmos escritrios se situam no 1 e 2 andares.

Quanto distribuio dos espaos, a empresa construtora entende que desejvel que as

diversas tipologias no apresentem globalmente reas muito diferentes pelo que estabeleceu

que as reas alocadas a cada tipologia nunca ultrapassem a relao 4:1 entre quaisquer duas

tipologias.

Formular um problema de otimizao para solucionar o problema, isto , definir a

quantidade de fraes autnomas a serem construdas.

Exerccio 7 A prefeitura de uma cidade dispe de R$ 30.000 para desenvolver uma campanha de preveno de

enchentes. Os mdios de comunicao considerados so: TV, radio, jornais e revistas. O objetivo

maximizar a exposio publicitaria da campanha, isto , o nmero de vezes que uma pessoa estaria

exposta mensagem publicitaria.

Dispe-se de estimativas da exposio mdia por cada R$ gasto em publicidade em cada meio de

comunicao e com base nisso foram fixadas a quantidades mximas a serem gastas em cada um

desses mdios.

Meio Publicitrio Exposio por cada

R$ gasto

Investimento

mximo (R$)

TV 9 18.000

Radio 5 5.000

Jornais 6 9.000

Revistas 4 10.00

Alm disso, foi estabelecido que o gasto em publicidade televisiva no deve ser superior ao gasto

conjunto nos restantes mdios.

Pede-se estimar como deve ser feita a distribuio dos recursos disponveis entre os quatro mdios

de comunicao a fim de maximizar a exposio da campanha de preveno de enchentes.

Exerccio 8

Um fabricante de filtros de gua estima que o custo mensal da fabricao de x aparelhos dado por:

( )

Cada aparelho vendido por R$2.800,00. Que produo mensal maximizar o lucro? Qual o

mximo lucro mensal possvel?

Exerccio 9

Deseja-se construir um galpo cuja rea deve ver igual a 80 m2 (base retangular). O material

empregado no cho custa R$20,00/m2 e o material empregado nas paredes custa R$15,00/m

2. Que

dimenses minimizaro o custo? Considere as paredes com altura h = 3m.

Exerccio 10

300 metros de gradeado vo ser usados para cercar 6 reas conforme ilustra a figura. Determine

as dimenses (x e y) que maximizam a rea cercada.

Exerccio 11

Minimizar a funo

( )

Sujeita seguinte restrio: