lista de exercicios

GABARITO

1Matemtica E

Matemtica E Extensivo v. 3

Exerccios

01) Octgno tem 20 e decgono tem 35.

Nmero de vrtices de um octgono: 8 vrtices.

D = n n( )3

2

D = 8 8 3

28 52

402

20( ) .

= = =

Nmero de vrtices de um decgono: 10 vrtices.

D = n n( )3

2

D = 10 10 32

10 72

702

35( ) .

= = =

02) a) 28 b) 56 c) 56 d) 21 e) 14

a) Dois pontos definem uma nica reta.

C82 =

88 2 2

86 2

8 7 66 2

8 72

!( ) !

!! !

. . !!

.

= = =

C82 = 56

2 = 28 retas.

b) No vetor o sentido importa, ento:

A82 =

88 2

86

!( )!

!!

= = 8 . 7 = 56 vetores.

c) Trs pontos definem um tringulo:

C83 =

88 3 3

85 3

8 7 6 55 3

!( )! !

!! !

. . . !! !

= = = 8 . 7 = 56 tri-

ngulos.d) Como o ponto D fixo, ento temos de combinar 2

vrtices dentre 7 pontos.

C72 =

77 2 2

75 2

7 6 55 2

!( )! !

!! !

. . !! !

= = = 7 62

422

.= = 21.

e) Em vetores o sentido importa e que dois pontos definem um vetor.

Com o ponto B fixo, ento sobram sete, portanto o total de vetores 14.

03) 20

Para o 1 buraco podemos alojar C63=20 modos. Colo-

cando 3 turistas na 1 barraca, restam 3 modos para colocar na 2 barraca, ou seja, 1 modo para 2 barraca.

Pelo PFC, temos: 20 . 1 = 20 modos.

04) C

Note que qualquer tringulo que formamos ter base em s e um ponto em r, ou ento ter a sua base em r e um ponto em s.

r

s

Nmero de bases em r: C32 = 3. Como cada uma das 3

bases podem ser ligadas a 4 pontos sobre s, ento temos 3 . 4 = 12 tringulos com bases sobre r.

Nmero de bases em s: C42 = 6. Como cada uma das 6

bases podem ser ligadas a 3 pontos sobre r, ento temos 6 . 3 = 18 tringulos com bases sobre s.

Portanto, o total de tringulos dado por: 12 + 18 = 30 tringulos.

05) B

O nmero total de tringulos dado pela diferena da combinao de 9 pontos tomados 3 a 3 (vrtice) pela combinao entre os pontos colineares.

Nmero total de combinaes: C93 = 84.

Vamos calcular o total de combinaes dos pontos colineares: Pontos 1 2 3: C3

3 = 1

Pontos 7 5 3: C33 = 1

Pontos 7 8 9: C33 = 1

Pontos 2 6 9: C33 = 1

Pontos 1 4 5 8: C43 = 4

O total de pontos : 1+1+1+1+4=8 combinaes. Portanto, o nmero de lotes distintos que so possveis

demarcar dado por: 84 8 = 76 lotes.

06) A

O nmero total de tringulos cujo os vrtices esto sobre esses pontos so dados por:

Nmero de combinao de 12 pontos colineares toma-dos 3 a 3.

Nmero total de combinao: C123 = 220.

Combinao dos pontos colineares: C53 = 10.

Portanto, o nmero de tringulos com vrtices nos 12 pontos : 220 10 = 210.

GABARITO

2 Matemtica E

07) 420

Note que qualquer quadriltero ter uma das suas bases sobre a reta r e outra sobre s.

Nmero de base sobre a reta s: C82 = 28.

Nmero de base sobre a reta r: C62 = 15.

Pelo PFC, temos: 28 . 15 = 420 quadrilteros.

08) A

Nmeros de alunos mulheres: 25 . 0,28 = 7. Nmeros de alunos homens: 25 7 = 18. O total de modos que podemos escolher 3 mulheres

em 7 : C73 = 35 modos.

O total de modos que podemos escolher 3 homens entre 18 : C18

3 = 816 modos. Pelo PFC, temos: 35 . 816 = 28 560 modos de escolher

3 homens e 3 mulheres.

09) E

O complementar de uma "comisso de 5 pessoas contendo, no m, um diretor" "comisso de 5 pessoas contendo nenhum diretor", isto , comisso formada com apenas gerentes.

O valor obtido C55 = 1. Alm disso, o total de comisses

contendo gerentes e diretores dado por C85 = 56.

Portanto, o total de comisses 56 1 = 55.

10) E

Como dois pontos definem um nico segmento de retas, devemos escolher 2 dentre 8 pontos (vrtice).

C82 =

8 72.

= 28.

11) 78

Total de retas formadas por 15 garotas:

C152 =

15 142.

= 105.

Do valor total de retas devemos retirar as retas con-gruentes, isto , retas definidas entre as garotas AE-

ROBICA, ento C82 =

8 72.

= 28.

Por fim, devemos somar uma reta, pois retiramos a reta que passa por AEROBICA.

Portanto, 105 28 + 1 = 78 retas.

12) C

Queremos no mximo 2 sais minerais de forma anloga a obter no mnimo 1 vitamina. O complementar obter 3 nutrientes com nenhuma vitamina.

Total sem restries: C73 = 7 6 5

6. . = 7 . 5 = 35.

Total de combinao com somente sais minerais C33 = 1.

Portanto, o total de composio com t nutrientes conten-do no mximo 2 sais minerais : 351=34 composies.

13) D

O complementar "de comisses de 3 profissionais que contenha no mnimo 1 com capacitao referida". Esse

total obtido por C93 =

9 8 76

. .=84. Alm disso o total

de comisses sem restries dado por

C123 =12 11 10

6. . =220.

Portanto, o total de 3 profisses que contenha no mnimo 1 com capacidade referida dado por: 22084=136.

14) D

Vencedor: C155 =3003.

Escolhidos os 5 jogadores para compor a 1a equipe, sobram 10 jogadores para compor os demais times.

Vitria: C105 =252.

Escolhidos os 5 jogadores, restam 5 para compor o time Confiana.

Confiana: C55=1.

Pelo P.F.C., temos: 3003.252.1=756756.

15) A

Primeira duplo: C42=

4 32.

=6.

Formada a primeira dupla, restam 2 jogadores para formar a segunda dupla.

Segunda dupla: C22=1.

Portanto, o nmero total de grupos com duas duplas sem considerar a posio delas dado por:

C C42

22

26 12

62

. .= = = 3.

16) 280

Formao da 1 equipe C93=84.

Formada a 1 equipe, sobram 6 pessoas para compor as demais equipes.


Formada a 2 equipe sobram 3 pessoas para compor a terceira equipe.

GABARITO

3Matemtica E


Como as 3 equipes podem permutar entre si, devemos dividir o resultado total por 3. Assim, pelo PFC, temos:

84 20 13

16806

. .!

= = 280 equipes.

17) 40

De cada vrtice da base superior partem 8 diagonais, mas 3 dessas diagonais no podem ser contadas:

1) O vrtice imediatamente abaixo est ligado por uma aresta, logo esta diagonal no conta.

2) Os dois vrtices consecutivos (um esquerda e outro direita) esto em faces contguas, logo as diagonais sero das faces e no do prisma.

Assim, restam 5 diagonais para cada vrtice superior. Como so 8 vrtices, temos: 5.8=40 diagonais.

18) B

Barra de metal de comprimento 5m est fixa na 1 posio. Qualquer das barras de comprimentos 6, 7, 8, 9 devem ficar na 5 posio, pois as barras devem estar em ordem crescente.

1 posio 2 posio 3 posio 4 posio 5 posio

fixapossibilidades

1, 2, 3, 4

possibilidades

6, 7, 8, 9

5 4p

Nosso problema se resume em: Ordenar os algarismos 1, 2, 3, 4 em ordem crescente

em 3 posies.

1 posio 2 posio 3 posio

Vamos analisar fixando os nmeros: Barra 1 fixa.


fixa

1

Se a barra 2 estiver na 2 posio, temos 2 possibilida-des (3 e 4).

Se a barra 3 estiver na 2 posio, temos 1 possibilidade (4).

Se a barra 4 estiver na 2 posio, no teremos nenhu-ma possibilidade.

Barra 2 fixa.


fixa

2

Para 2 posio temos somente uma possibilidade (3), e tambm uma possibilidade para a 3 posio (4).

Logo, temos 1 possibilidade de dispor as barras para a barra 2 fixa na 1 posio.

Com as barras 3 e 4 fixas no existem possibilidade de disp-las as barras.

Logo, o total de possibilidades : 2+1+0+1+0=4. Pelo PFC: 4.4=16 possibilidades.

19) 120

P5=5!=120.

20) 24

P4 = 4! = 24.

21) Verdadeiro

fixo

B 4p 3p 2p 1p

fixo

L

restam:

R, A, S, I

Pelo PFC: 4 . 3 . 2 . 1 = 24 anagramas.

22) 48

2 3

Como 2 e 3 devem estar juntas, ento podemos consider-las como um nico bloco.

Assim, tivemos 4 algarismos para permutar. Da vem: P4 = 4! = 24 Porm, os 2 nmeros podem se agrupar de P2=2modos. Portanto, o total de permutaes, tal que 2 e 3 estejam

juntas, dado por: P4.P2=24.2=48 permutaes.

23) a) 6 sequncias. b) 48 sequncias.

a) Como A e B devem ficar juntas nesta ordem, devemos permutar as 3 etapas restantes, isto : 3!=6.

b) Como A e B devem ficar juntas, elas funcionam como uma nica letra, que deve ser permutada com as 3 outras. Note que ainda podemos ter as ordens AB e BA. Assim, 2.4!=48 sequncias.

GABARITO

4 Matemtica E

24) E

Vogais: E, O, I. Consoantes: X, P, L, D, R. Como E, O, I devem ficar juntas, elas funcionam como

se fosse uma letra. Ento o nmero de permutaes dado por: P6=6!=720.

Note que as vogais podem permutar entre si, veja alguns exemplos: EOI, DEI, IOE...

Logo temos P3=6 maneiras de permutar as vogais. Portanto, o nmero de permutaes com as vogais juntas : P6.P3=720.6=4320.

25) 720

Sejam A, B, C, D, E, F e G, em que A, B e C so de fico cientfica.

1 dia-

A

2 dia-

B

3 dia-

C

4 dia- 5 dia- 6 dia- 7 dia-

Como A, B e C devemos considerar como um ni-co "bloco", temos 5 filmes para permutar. Dai vem: P5=5!=120.

Porm, A, B e C podem permutar entre si. P3=3!=6. Portanto, pelo PFC temos: P5.P3=120.6=720.

26) B

1 alternativa: A primeira tarefa ser levar seu neto escola e no ter ordem em traz-lo de volta. 4.3!=24.

2 alternativa: Levar o neto ser a segunda tarefa, mas peg-lo no pode ser a primeira 3.3!=18.

3 alternativa: Desta vez levar o neto ser a terceira tarefa e a pag-lo ser a penltima ou ltima tarefa: 2.3!=12.

4 alternativa: A quarta tarefa ser levar o neto es-cola, ento ser a ltima: 1.3=6.

Portanto, o total de possibilidades de o aposentado fazer a tarefa : 24+18+12+6=60.

27) D

I. Correta. 2 vogais 3 consoantes Colocado a 1 vogal restam 4 letras sem restries.

2p 4p 3p 2p 1p

PFC, temos: 2 . 4 . 3 . 2 = 48.II. Correta.

i L

Como i e L devem permanecer juntas, podemos consider-las como um "bloco", isto , nica letra.

Da, temos 4 letras para permut-las P4=4!=24.III. Incorreta. Vamos comear pelas casas mais proble-

mticas.

1 posio

3

consoantes

(F, L, Z)

3p

5 posio

2

vogais

(E, i,)

2p

Colocadas as consoantes na 1 posio e a vogal na 5 posio restam 3 letras para permuta-las, logo:

3 . 3! . 2 = 3 . 6 . 3 = 36

28) 1728

Podemos permutar as disciplinas de matemtica, portugus e fsica. P3=3!=6.

Porm, podemos permutar os livros entre si (mesma disciplina):

Matemtica: P4 : 4! = 24. Fsica: P3 = 3! = 6. Portugus: P2 = 2! = 2. Portanto, pelo PFC, temos: 6 . 24 . 6 . 2 = 1728.

29) D

Devemos permutar 6 vages.

posio que

no pode

o vago do

restaurante

5p

1 vago

inclui o

vago de

restaurante

5p

2 vago

4p

3 vago

3p

4 vago

2p

5 vago

1p

6 vago

Pelo PFC, temos: 5 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 600 modos.

30) 72

Comear com consoante.

consoante

(B, N, T)

3p

vogal

(O, E, A)

3p

consoante

2p

vogal

2p

consoante

1p

vogal

1p

Pelo PFC: 3 . 3 . 2 . 2 . 1 . 1 = 36 modos. Portanto, o total de anagramas : 36 + 36 = 72.

GABARITO

5Matemtica E

31) 3840

Podemos considerar cada casal como "bloco" e permut-las entre si.

5p 4p 3p 2p 1p

PFC: 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 No entanto, podemos permutar cada um dos 5 casais,

isto , P2 . P2 . P2 . P2 . P2 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25 . 32.

Portanto, o nmero total de modos para dispor os casais : 120 . 32 = 3840.

32) 11520

Consideramos os livros grandes, livros pequenos e o exemplar de Descobrindo o Pantanal como 3 blocos que podemos permutar. Com o livro de Descobrindo o Pantanal fixo (1 ou ltima coluna), podemos permutar os livros grandes e pequenos de dois modos.

Alm disso, os livros grandes e pequenos podem permutar entre si.

Livro pequenos: P5 = 5! = 120. Livro grandes: P4 = 4! = 24. Por fim, o Descobrindo o Pantanal pode permutar de

dois modos (extremos). Portanto, pelo PFC, temos: 2.P5.P4.2=2.120.24.2=11520.

33) a) 14! verses diferentes da prova. b) As questes sero assim dispostas:

PPPPPPP MGMGGGM PPPPPPP MGGMGGM PPPPPPP MGGGMGM PPPPPPP GMGMGGM PPPPPPP GGMGMGM PPPPPPP GMGGMGM 7! . 4!. 3! . 6 = 4.354.560

34) E

Temos 2 modos de dispor o casal em um banco e tambm podemos permut-los entre si, ento existem 2.2=4 modos. Como temos 3 bancos, logo 3.4=12 modos para dispor o casal.

Colocado o casal, restam dois bancos para dispor a famlia, como podemos permut-los entre si, temos 3! modos. Logo, o total de maneiras em dispor 2.3!=2.6=12 modos.

Por fim, restam 4 lugares para colocar 4 pessoas que so dispostas de 4!=24 modos.

Portanto, pelo PFC, temos: 12.12.24=3456 modos.

35) 46721

fixo

1

P4

P4 = 4! = 24

fixo

2

P4

P4 = 4! = 24

fixo fixo

4 1

P3

P4 =

No exato momento contamos os nmeros at a posio 24+24+6+6=60.

Os demais nmeros em ordem crescente so: 61 46127 62 46172 63 46217 64 46271 65 46712 66 46721

36) 76

Vamos analisar a contagem separadamente fixando os algarismos em ordem crescente.

fixo

2

P4

P4 = 4! = 24

Note que qualquer nmero comeado com o algarismo 2 menor que 72584.

fixo

4

P4

P4 = 4! = 24

Note ainda que qualquer nmero comeado com o algarismo 4 menor que 72584.

fixo

5P4 = 4! = 24

Qualquer nmero comeado com o algarismo 5 menor que 72584.

fixo

7P2 = 2! = 2

fixo

2

fixo

4

P2

GABARITO

6 Matemtica E

Ainda com raciocnio anlogo aos anteriores, fixando os algarismos 7 e 2 nesta ordem ser menor que 72584. No exato momento temos o nmero da posio 24+24+24+2=74. As posies seguintes so: 75 72548 76 72584 Portanto, a posio que se encontra o nmero 72584 76.

37) 840

Vogal A fixa.

1 posio

A

2 posio 3 posio 4 posio 5 posio 6 posio 7 posio

Podemos dispor a letra E em 6 posies. Iniciamos a contagem fixando a letra E na 2 posio.

1 posio

A E


5 possibilidades

1 posio

fixo

2 posio

E

5

possibilidades

3 posio

E

4

possibilidades

4 posio

E

3

possibilidades

5 posio

E

2

possibilidades

6 posio

E

1

possibilidade

7 posio

O total de anagramas com A fixa na 1 posio 5+4+3+2+1=15. Note que a letra E no pode ocupar a 7 posio, pois, caso contrrio, as vogais no estavam em ordem alfabtica.

Vogal A fixa na 2 posio.


E

4

possibilidades

4 posio

E

3

possibilidades

5 posio

E

2

possibilidades

6 posio

E

1

possibilidades

7 posio

A



E

4

possibilidades

4 posio

E

3

possibilidades

5 posio

E

2

possibilidades

6 posio

E

1

possibilidade

7 posio

A

Total de possibilidades com A fixa na 2 posio 4+3+2+1=10.

GABARITO

7Matemtica E


1 posio 2 posio 3 posio 4 posio

E

3

possibilidades

5 posio

E

2

possibilidades

6 posio

E

1

possibilidade

7 posio

A

Total de possibilidades com A fixa na 3 posio 3+2+1=6.


1 posio 2 posio 3 posio 4 posio 5 posio

E

2

possibilidades

6 posio

E

1

possibilidade

7 posio

A

Total de anagramas 2+1=3.



E

1

possibilidade

7 posio

A

Portanto, o total de anagramas com as vogais em ordem alfabtica 15+10+6+3+1=35. Como as 4 consoantes podem permutar entre si, temos P4=4!=24 anagramas. Pelo PFC, o total de anagramas da

palavra CADERNO com as vogais em ordem alfabtica : P4.35=24.35=840 anagramas.

38) 604 800

Colocamos as letras E, I, U, A como mostrado a seguir (4! = 24 modos)

E I U A

Agora vamos decidir quantas letras devemos colocar em cada espao x1, x2, x3, x4 e x5 (xi = nmero de letras que colocamos no i simo) inteiros no negativos tais que:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 6

Com x2 1, x3 1 e x4 1

Sejam y2 = x2 + 1; y3 = x3 + 1 e y4 = x4 + 1.

Da vem:x1 + y2 + y3 + y4 + x5 = 3

Resolvendo acima, temos:

CR C53

73 7 6 5

635= = =

. .

Escolhido o nmero de letras que iro em cada espao temos que colocar as letras V, S, T, B, L, R, o que pode ser feito de:P6 = 6! = 720 maneiras

Portanto, o nmero de anagramas da palavra VESTI-BULAR que no possuem vogais juntas :4! . CR5

3 . P6 = 24 . 35 . 720 = 604 800

GABARITO

8 Matemtica E

39) 60

P62 3 6

2 37202 6

, !! . ! .

= = = 60 anagramas.

40) 210

P72 2 3 7

2 2 350402 2 6

, , !! . ! . ! . .

= = = 210 nmeros.

41) 20

P63 3 6

3 36 5 4 3

3 36 5 43 2

, !! . !

. . . !! . !

. ..

= = == 5 . 4 = 20

mensagens diferentes.

42) 15

P64 2 6

4 26 5 44 2

6 52

302

, !! . !

. . !! .

.= = = =

= 15 modos.

43) 208

P106 4 10

6 410 9 8 7 6

6 410 9 8 74 3 2 1

504024

, !! . !

. . . !! . !

. . .. . .

= = = = =

210 maneiras.

Portanto, alm daquelas maneiras, temos: 210 2 = 208 maneiras.

44) 120

A A A

Como as 3 letras A devem permanecer juntas, deve-mos considerar como um nico "bloco", isto , uma nica letra.

Da vem: Temos 5 letras para permutar entre si. P5 = 5! = 120 anagramas

45) 540

(A, A, O)

3p

Colocado a vogal na primeira casa, restam 6 letras para permutar entre si.

P6 = 6! = 720

Pelo PFC, temos: 3 . P6 = 3 . 720 = 2160

Note que existem letras repetidas. So elas: A repete 2 vezes R repete 2 vezes

Logo, o total de anagramas iniciado por uma vogal :

21602 2

21602 2

21604! . ! .

= == 540 anagramas.

46) 600

Q U

Como as letras Q e U devem permanecer juntas, devemos considerar com um nico "bloco", isto , uma nica letra.

P6

Logo, temos 6 letras para permutar. P6 = 720

Note que as letras Q e U podem permutar: P2 = 2! = 2 modos

Portanto, o total de anagramas dado por: como a letra A repete 3 vezes, ento devemos divi-

dirpor3!

P P2 63

2 7206

14406

.!

.= =

= 240 anagramas

Segue, o total de anagramas sem restries :

P73 7

350406

= =

!!

= 840

Portanto, total de anagramas sem as letras Q e U juntas: 840 240 = 600 anagramas.

47) 3

Observe que a nica consoante para dispor na primeira

posio a letra G.

Colocado a consoante na primeira posio, restam 3 letras para permut-las com a letra A se repetindo 2 vezes.

Portanto, o nmero de anagramas que iniciam com co-soantes :

P32 3

2=

!!

= 3

GABARITO

9Matemtica E

48) a) 84

No trajeto de A para B devemos andar 6 ruas para direita e 3 ruas para cima.

Portanto,

P96 3 9

6 39 8 7 6

6 39 8 7

65046

, !! . !

. . . !! . !

. .= = = =

= 84modos.

b) 40

No trajeto de A para C devemos andar 3 quarteires para esquerda e 2 para cima.

Portanto,

P53 2 5

3 21206 2

12012

, !! . ! .

= = == 10.

No trajeto de C para B devemos andar 3 quarteires para esquerda e um quarteiro para cima.

Portanto,

P43 4

34 33

= =

!!

. !!

= 4.

Pelo PFC, temos: P P5

3 243, .

=10.4=40 trajetosdeAparaBpassandoporC.

c) 44

Trajetos de A para B menos os trajetos de A para B passando em C.

P P P96 3

53 2

43, , . = 84 40 = 44 trajetos de A para B sem

passar por C.

49) V V F

I. Verdadeira. Podemos mover 4 casas para esquerda e 4 para baixo.

Portanto,

P84 4 8

4 440 32024 24

40 320576

, !! . ! .

= = = = 70 maneiras.

II. Verdadeira. Em algum momento faremos o movimento no sentido diagonal, restando 3 casas para a esquerda e 3 para baixo.

P73 3 7

3 350406 6

504036

, !! . ! .

= = = = 140 maneiras

III. Falso. Em algum momento faremos os 3 movimentos no sentido diagonal, restam 2 movimentos para esquerda e 2 movimentos para baixo.

P72 3 2 7

2 2 350402 2 6

, , !! . ! . ! . .

= = = 210

50) Verdadeiro.

Combinao completa (com repetio).

CR Cnp

n pp

= + 1

x + y + z = 6

n

p

=

=

3

6

CR C C36

3 6 16

86 8

8 6 68

2 6= = =

= =+

!( )! . !

!! . !

= 8 7 62 6

8 72

. . !! . !

.=

= 28

Portanto, alternativa correta.

51) 10

Queremos os valores de x, y e z tal que:x 1, y 1 e z 1que satisfazx + y + z = 6

Sejam a, b e c, tal quex = a + 1; y = b + 1 e z = c + 1

Da vem:a + b + c = 3


CR C33

53 5 4 3

3606

10= = = =. .

!

52) 84

Combinao completa com n = 4 e p = 6.

CR C46

96 9

9 6 69

3 6= =

=

!( )! !

!! . !

= 9 8 7 63 6

9 8 76

5046

. . . !! . !

. .= =

= 84

53) E

Durante a partida foram marcados 8 gols, 5 pelo time A e 3 pelo time B. Para caracterizar uma manei-ra de evoluo do placar, basta escolher, entre os 8 gols, quais os 5 sero do time A (os 3 gols do time B sero os restantes). O nmero de subconjuntos de 5 elementos de um conjunto de 8 elementos.

C85 8

8 5 58

3 58 7 6 5

6 5=

= =

!( )! !

!! . !

. . . !. !

GABARITO

10 Matemtica E

54) 7350

Colocamos a letra I (1 modo)

I I I I

Agora decidimos quantas letras devemos colocar em cada espao x1, x2, x3, x4 e x5 (xi = nmero de letras que colocamos no i simo espao) inteiros no negativos tais que,

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7

com x2 1, x3 1, x4 1

Sejam y2, y3 e y4, tal que:x2 = y2 + 1x3 = y3 + 1x4 = y4 + 1

Da vem,x1 + y2 + y3 + y4 + x5 = 4


CR CR54

84 8

8 4 48

4 470= =

= =

!( )! !

!! !

Escolhido o nmero de letras que iro em cada espao, temos que colocar as letras M, S, S, S, S, P, P nessas casas, o que pode ser feito de:

P74 2 7

4 2105,

!! . !

= = maneiras

Portanto, o nmero de anagramas nos quais no h 2 letras I consecutivas :

1 . CR P54

74 2= , = 70 . 105 = 7350

55) 360

Colocamos as letras N, R e G com o mostrado abaixo (3! maneiras)

N R G

Agora decidimos quantas letras devemos colocar em cada espao x1, x2, x3 e x4 (xi = nmero de letras que colocamos no i simo espao) inteiros no negativos, tais que:

x1 + x2 + x3 + x4 = 4

com x2 1 e x3 1

Sejam y2 = x2 + 1 e y3 = x3 + 1

Da vem:x1 = y2 + y3 + x4 = 2

Resolvendo, temos:

CR C42

52 5 4

210= = =

.

Escolhido o nmero de letras que iro em cada espao, temos de colocar as letras E, E, IA, o que pode ser feito de:

P42 4

2=

!! = 12 maneiras

Portanto, o nmero de anagramas da palavra ENERGIA que no apresentam consoantes juntas :3 . CR P4

242. = 3 . 10 . 12 = 360

56) 120

(PC)6 = (6 1)! = 5! = 120 rodas de ciranda.

57) 1440

Errata: 1440

J

M

Joo e Maria devem permanecer sempre juntos, ento podemos consider-los como um nico "bloco".

(PC)7 = (7 1)! = 6! = 720

Note que Joo e Maria podem permutar de 2! modos.

Portanto, 720 . 2 = 1440 modos de sentar na mesa.

58) 250

terminadospor 2 ou 4

2p

Colocando o ltimo algarismo, no existem restries para os demais.

5p 5p 5p 2p

Pelo PFC, temos: 5 . 5 . 5 . 2 = 250 nmeros pares.

GABARITO

11Matemtica E

59) S = {8}

( )!( )!nn

+

+=

54

13

( ) . ( )!( )!

n nn

+ +

+=

5 44

13

n + 5 = 13 n = 13 5 n = 8

60) a) 42

C72 7 6

2=

. = 7 . 3 = 21 modos

Sem perda de generalidade, suponha que presen-teamos Marco com o livro L1 e Ananias com o livro L2. Note que diferente presente-los com os livros L2 e L1, respectivamente.

Portanto, o total de modos de presente-los so: 2 . C7

2 = 2 . 21 = 42 modos.

b) 21

C72 7 6

2=

. = 7 . 3 = 21 modos

c) 5040

7p 6p 5p 4p 3p 2p 1p

PFC: P7 = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040

d) 720

L1

L2

L3

Como os livros L1, L2 e L3 devem permanecer juntos, podemos considerar com um nico "bloco", isto , temos 5 livros para permutar.

P5 = 5! = 120

Note que L1, L2 e L3 podem permutar entre si de:

3! = 6 maneiras.

Portanto, o total de maneiras para dispor os livros na estante :

6 . 120 = 720.

e) 720 (PC)7 = (7 1)! = 6! = 720

61) 1728

Como as nacionalidades devem permanecer sempre juntas, ento permutamos as 3 nacionalidades:

P3 = 3! = 6

Porm as pessoas de mesma nacionalidade podem permutar entre si, logo:

Brasileiro: P3 = 3! = 6 Franceses: P4 = 4! = 24 Italianos: P2 = 2! = 2

Pelo PFC, temos: P3 . P3 . P4 . P2 = 6 . 6 . 24 . 2 = 1728

62) 350

Modos de escolher 3 homens entre 7:

C73 7 6 5

3=

. . = 7 . 5 = 35

Modos de escolher 2 mulheres entre 5:

C52 5 4

2=

. = 5 . 2 = 10

Pelo PFC, teremos: C73 . C5

2 = 35 . 10 = 350.

63) 1680

P84 8

4=

!! = 8 . 7 . 6 . 5 = 1680

64) E

Nmero de carpas no tanque: 40% de 15 0,4 . 15 = 6 carpas.

Logo, existem 9 peixes de espcies diferentes. O nmero de maneiras que podemos escolher as car-

pas.

C64 6 5 4 3

2436024

= =

. . . = 15

O nmero de maneiras que podemos escolher os de-mais peixes:

Como j escolhemos 4 peixes, restam escolher 6 entre 9 peixes.

C96 9

9 6 69

3 69 8 7 6

3 69 8 7

6=

= = =

!( )! !

!! . !

. . . !! . !

. . = 84

Portanto, pelo PFC, temos:

C C64

96. = 15 . 84 = 1260.

GABARITO

12 Matemtica E

65) A

O nmero de maneiras que podemos escolher 15 ho-mens entre 30 :

C3015

Escolhidos os homens, faltam 6 mulheres entre 20 para compor o jri. Assim, o nmero de maneiras :

C206

Pelo PFC, temos: C3015 . C20

6 .

66) 65

fixo

14! = 24

4p 3p 2p 1p

fixo

44! = 24

4p 3p 2p 1p

Com o algarismo 5 fixo. No segundo algarismo podemos colocar 1 e 3.

fixo

52 . P = 2.6 = 12

3

2p

P3

Fixando os algarismos 5 e 8, restam apenas os alga-rismos 1 e 3 para dispor na terceira posio.

Fixando os algarismos 5, 8 e 9, resta apenas o algarismo 1 para dispor na quarta posio.

fixofixofixo

9851

1p 1p

Portanto, o total de nmeros menores que 58 931 24 + 24 + 12 + 4 + 1 = 65.

67) 243

Suponha que o dgito 3 aparece na 1 engrenagem.

Fixando-se o dgito 3, temos 9 possibilidades (0 a 9,exceto3 para 2 e 3 engrenagens.

Pelo PFC, temos: 9 . 9 = 81

Note que podemos fixar o dgito 3 na 2 e 3 engrena-gens.

Portanto, o total de senhas : 3 . 81 = 243 senhas.

68) B

C525 52 51 50 49 48

552 51 50 49 48

120= =

. . . .!

. . . .

= 2 598 960

Logo, 3 000 000 > 2 598 960 > 2 000 000

69) D

O conjunto {1995, 1996, ..., 2008} possui 13 elementos.

Conjunto com 4 elementos.

C144 14

14 4 414 13 12 11

42402424

1001=

= = =

!( )! !

. . .!

Conjuntos com 5 elementos

C145 14

14 5 5145 9

2002=

= =

!( )! !

!! !

Resolvendo as combinaes abaixo, temos:

C146 14

14 6 6148 6

3003=

= =

!( )! !

!! !

C147 14

7 73432= =

!! !

C148 3003=

C149 2002=

C1410 1001=

C1411 364=

C1412 91=

C1413 14=

C1414 1=

SomandoC C C C C C C C C

C C144

145

146

147

148

149

1410

1411

1412

1413

14

+ + + + + + + + +

+ + 114 15 914=

GABARITO

13Matemtica E

70) A

Nmero de permutaes sem restries:(PC)n = (n 1)!(PC)n = (6 1)! = 5! = 120

Nmeros de permutaes de modo que duas delas esto em posies opostas.

Como duas pessoas esto fixas, restam 4 pessoas para permut-las.P4 = 4! = 24

Portanto, o total de possibilidades de colocar seis pessoas de modo que duas delas no possam ficar em posies opostas : (PC)6 P4 = 120 24 = 96

71) C

Primeira escolha: pea A da loja L1. Podemos escolher qualquer pea de qualquer loja

que o valor no exceder o custo mximo de R$ 1930,00.

Logo, o nmero de maneiras de fazer a compra 3.2=6.

Se escolhermos a pea A da loja L2. Ao escolhermos a pea B da loja L1, no podemos

escolher a pea C da loja L1, pois exceder o valor mximo. Ento o nmero de maneiras de fazer a escolha de 2 maneiras.

Mas se escolhermos a pea B da loja L2, temos 3 possibilidades de efetuar a compra.

Primeira pea: pea A da loja L3. Ao escolhermos a pea B da loja L1, temos duas

possibilidades de escolha, pois no podemos com-prar na loja L1 (excede o valor mximo).

J se a compra da pea B for na loja L2, temos 3 maneiras para efetuar a compra.

Logo, o total de maneiras de fazer a compra das 3 peas de tal forma que o custo no exceda R$1930,00 de:

2 + 2 + 3 + 2 + 3 = 16

72) D

Sem perda de generalidade, suponha que dois times sul-americanos esto no grupo A.

Temos C32 maneiras de escolher os times sul-

-americanos. Restam duas vagas no grupo A a serem ocupadas por times Europeus. Essa escolha pode ser feita de C5

2 = 10 maneiras.

Como temos dois grupos (A e B), ento o nmero de maneiras que podemos dividir 8 times dado por: 2 . C C3

252. = 2 . 3 . 10 = 60

73) B

Se pintarmos o quadrado , no podemos pintar os demais com a mesma cor, pois , , e so quadrados que possuem lados comuns, e o quadrado oposto ao .

Sem perda de generalidade, se pintarmos com uma segun-da cor o quadrado s podemos pintar com essa mesma cor o quadrado . Porque pintado o quadrado no podemos pintar o (oposto ao ) e nem o quadrado (oposto ao ).

Restam os quadrados , e para serem pintados, como no h restries para eles podemos pintar da mes-ma cor.

Portanto, foram necessrias 3 cores diferentes.

74) A

Fazer um sorteio de 6 nmeros entre 60 disponveis signi-fica fazer uma combinao de 60, 6 a 6. Estamos conside-rando um conjunto de 60 elementos e tirando subconjuntos de 6 elementos. Em um conjunto, no h a noo de ordens dos elementos, assim como neste sorteio no importan-te, o que pode ser representado das seguintes maneiras: C60

6 .

Agora, para calcular a probabilidade de premiao de cada um dos jogadores, precisamos saber quantas combinaes de 6 nmeros cada um dos jogadores tem. Como a quan-tidade de cartela que cada um deles comprou j dada, a informao de preo de cada uma delas irrelevante, j que R$ j foram gastos na compra das cartelas.

Sendo assim, a probabilidade de premiao do Arthur dada por:

P(Arthur)quantidade de combinaess de nmerosquantidade total

=

6dde combinaes possveis

P AC

C C C( )

.,

, , ,

= = =250 250 1 2506 6

60 6 60 6 60 6

Probabilidade de premiao do Bruno dada por:

P BC C

C C C C( )

. ., ,

, , , ,

=+

=+

=+

=41 4 4 7 4 1 287 4 2917 6 6 6

60 6 60 6 60 6 60 6

GABARITO

14 Matemtica E

A de Caio dada por:

P CC C

C C C C( )

. ., ,

, , ,

=+

=+

=+

=12 10 12 28 10 1 336 10 3468 6 6 6

60 6 60 60 60 6 600 6,

A de Douglas dada por:

P DC

C C C( )

. . .,

, , ,

= = =4 4 3 4 7 3369 6

60 6 60 6 60 6

E, finalmente, a probabilidade de premiao do Eduardo dada por:

P EC

C C C( )

. . .,

, , ,

= = =2 2 10 3 7 12010 6

60 6 60 6 60 6

Portanto, os apostadores que apresentam maior probabilidade de vencer so Eduardo e Caio.

75) 36

1 caso: usando apenas uma cor. Basta escolher a cor que ser utilizada: 4 possibilidades

2 caso: usando apenas 2 cores.Escolha das cores: C4, 2 = 6.Sejam A e B as cores escolhidas, podemos ter:AABB, AAAB, ABBB, 3 possibilidades.

Em todos os casos existe apenas uma maneira de formar o tetraedro, logo temos 6 . 3 = 18 possibilidades.

3 caso: usando 3 cores.Escolha das cores: C4, 3 = 4.Escolhadascoresqueirrepetir:3possibilidades.Existe apenas uma maneira de formar o tetraedro.Logo, 3 . 4 . 1 = 12 possibilidades.

4 caso: 44 3

!.

= 2 possibilidades.

Total: 4 + 18 + 12 + 2 = 36

76) E

Com os dados fornecidos, poucas concluses (seguramente verdadeiras) podem ser obtidas.

C1: A mdia de jogos no campeonato de 12 jogos por dia.

C2: O maior valor possvel para uma quantidade de jogos em um mesmo dia 63.

Haveria, por exemplo, 63 jogos no dia inicial e 1 jogo no dia final da competio (32 dias depois). O valor possvel para uma quantidade de jogos em um mesmo dia em particular , portanto, 0 (zero).

C3: O menor valor possvel para uma mesma quantidade de jogos em um mesmo dia em geral 2 com 2 jogos em cada um dos 32 dias da competio.

Logo, em ao menos um dos dias teremos ao menos 2 jogos.

77) A

Candidato x. O candidato x teve 52% dos votos, ou seja, mais

da metade da populao vota no candidato x. Isso equivale a 10% dos votos de 5 estados mais 2% do sexto estado. Portanto, os votos recebidos por ele foram dados pelo menos de 6 estados diferentes.

78) D

Devemos permutar 3 pessoas, de modo que duas pessoas no sentem juntas.

1 caso: ocupa a primeira posio. Ento as demais pessoas ocupam a 3 e a 5 posio.

Pelo P. F. C., temos: 3 . 2 . 1 = 6 maneiras.

2 caso: ocupa a 2 posio. Ento as demais pessoas ocupam a 4 e a 6 posio.

Pelo P. F. C., temos: 3 . 2 . 1 = 6 maneiras.

Portanto, o total de maneiras de sentarem 3 pessoas em 6 fileiras, de modo que entre duas pessoas sempre tenha exatamente uma cadeira vazia, :6 + 6 = 12 maneiras.

GABARITO

15Matemtica E

79) 15

O resultado pedido igual ao nmero de solues inteiras e positivas da equao x y + z = 7, em que x, y e z representam o nmero de bolas em cada caixa.

Como x 1, y 1 e z 1, faamos x = a + 1, y = b + 1 e z = c + 1. Desse modo, a + b + c = 4.

O nmero de solues dessa equao dado por:

CR C( ) = =

= = =34

64 6

6 4 46

2 46 5 4

2 46 5

2!

( )! !!

! !. . !! !

.

CR C( ) = = =34

64 3 5 15.

80) B

Sejam x, y, z, k e w nmeros de cotas que cada investidor comprou. Ento:x + y + z + k + w = 9

Sabemos que os 4 investidores fizeram compra, logo: x 1; y 1; z 1; k 1 e w 1.

Da, sejam:x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1; k = d + 1 e w = e + 1.

Desse modo,a + b + c + d = 4

Resolvendo:

CR C54

84 8

4 48 7 6 5 4

4 48 7 6 5

2470= = = = =

!! . !

. . . . !! . !

. . .

lista de exercicios

Documents