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Disciplina: Estatística 2
Professora: Renata Estrella
Lista de Exercícios 1
PARTE I - REVISÃO
1) Numa região existem 2000 consumidores dentre as quais 600 têm preferência
por determinado artigo. Um experimento consiste em perguntar a 4
consumidores desta região, escolhidos ao acaso, se o mesmo tem ou não
preferência por este artigo.
i) Construa o espaço amostral deste experimento.
ii) Determine a variável aleatória discreta X que associa a cada realização
do experimento o número de consumidores com preferência pelo
referido artigo. Construa o espaço amostral gerado pela variável
aleatória X e sua função de probabilidade.
iii) Construa a distribuição de probabilidade acumulada de X.
2) Num teste tipo certo-errado, com 3 questões apenas, qual é a probabilidade
de que um aluno que as responde ao acaso acerte:
i) exatamente 1 questão; R: 3/8
ii) pelo menos 2 questões; R: 0,5
iii) no máximo 1 questão; R:0,5
iv) no mínimo 1 questão. R: 7/8
3) Em um experimento binomial com 3 provas, a probabilidade de 2 sucessos é
12 vezes a probabilidade de 3 sucessos. Determine o valor de "p". R: 0,2
4) As vendas diárias de um restaurante têm distribuição normal com média igual
a 53 unidades monetárias e desvio padrão igual a 12 u.m.:
i) Qual a probabilidade das vendas excederem 70 u.m. em um dia? R:
0,0778
ii) Esse restaurante deve vender no mínimo 30 u.m. por dia, para não ter
prejuízo. Qual a probabilidade de que, em certo dia haja prejuízo? R:
0,0274
5) Seja
<≤+−
<≤
=
valoresoutros para 0
;31 para13
;10 para 3
2
)( xx
xx
xf
a) Calcule a mediana e a esperança da distribuição. R: 1,33 / 1,268
b) Determine a função de distribuição acumulada.
c) Calcule P(X>2|X>1). R: 0,25
d) Calcule a variância da distribuição. R: 0,389
6) A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma
distribuição normal, com média µ e desvio um padrão 10g. a) 512,80 b) 0,0052
a) Em quanto deve ser regulado o peso médio para que apenas 10% dos
pacotes tenham menos de 500g?
b) Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso
total de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 2kg?
7) A altura dos homens em uma determinada população segue uma distribuição
normal com média 170 cm e desvio padrão 10 cm, enquanto que a altura das
mulheres também segue uma distribuição normal com média 160 cm e desvio
padrão 20 cm. Determine a probabilidade de:
a) Um homem ter altura superior a 180 cm (R: 0,16)
b) Calcule o intervalo simétrico em torno da média que contem 70% das
alturas dos homens. R: [159,6;180,4]
c) Um homem ser mais alto que uma mulher (R: 0,67)
d) Num grupo de 4 homens pelo menos 1 ter altura superior a 180 cm (R:0,50)
8) Um vendedor recebe uma comissão de 50,00 por uma venda. Baseado em
suas experiências anteriores ele calculou a distribuição de probabilidades das
vendas semanais, Responda:
X 0 1 2 3 4
p(x) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
a) Qual o valor esperado de vendas por semana? R:2
b) Qual a probabilidade de ganhar pelo menos 150,00 por semana?R:0,3
PARTE II – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS
9) Considere a seguinte função de probabilidade conjunta:
0 2 4
0 1/8 1/4 3/8
1 0 1/4 0
Determine:
a) E[X] e E[Y]; E(X)= 1/4 ; E(Y)= 5/2
b) Cov[X,Y]; -1/8
c) Calcule a distribuição de X dado Y=0;
d) Calcule a E[X|Y=2]: 0,5
e) Correlação de X e Y. –0,218
10) Tendo o par aleatório (X ,Y) a seguinte função de probabilidade conjunta:
a-6 -a a 2a
0 K/2 K/2 k 0
2 K/2 0 k K/2
a) Determine o valor do parâmetro k ; 1/4
b) Determine o valor de a sabendo que E[Y ] = 2E[X ]; 4
c) Calcule a Cov[X ,Y]. 3/2
11) A função de probabilidade conjunta de (X,Y) é dada pelo seguinte quadro:
0 1 2
5 0,1 0,2 0,1
6 0,04 0,08 0,1
7 0,06 0,12 0,2
a) Verifique que se trata de uma função de probabilidade conjunta;
b) Deduza as funções de probabilidades marginais;
c) Deduza a função de distribuição acumulada conjunta;
d) Calcule P[X ≤1,Y ≤7]; 0,6
e) São as variáveis independentes? Em caso negativo, calcule a respectiva
covariância. X e Y não são independentes; Cov(X,Y) = 0,144.
Y X
Y X
Y X
12) Uma indústria produz ventoinhas para o sistema de arrefecimento de
computadores. As ventoinhas podem sair com 0, 1 ou 2 defeitos, com
probabilidades 0.7, 0.2 e 0.1. Se uma ventoinha apresentar dois defeitos é
automaticamente retirada e substituída por uma perfeita, antes de passar à
fase de embalamento. Representemos por X o número original de defeitos no
artigo produzido e por Y o número de defeitos no correspondente artigo que
segue para a secção de embalamento.
a) Determine a função de probabilidade conjunta do par aleatório (X ,Y);
b) Determine a função de probabilidade marginal de Y;
c) Se uma ventoinha revela ser perfeita, qual a probabilidade que tivesse sido
substituída? P(X =2|Y =0)=0,125.