lista de exercicios para a 2a da 1a np de algebra linear - 2
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Lista de Exercícios para a 2a da 1
a NP de Álgebra Linear – 2013.2
1 Dê uma matriz 2X2, que não seja a matriz identidade, tal que seu determinante é 1 e cuja matriz inversa é a sua matriz
transposta.
2. Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes e, justificando, indique se a referida matriz é inversível:
(a) (aij)2x2 tal que aij = i + 2j – 2; (b) (aij)3x3 tal que aij = 3i – 2j; (c)
1002141300012130
; (d)
3100
0001
0243
1201
3. (a) Dada a matriz A =
35
23 determine: (i) cof(A); (ii) adj(A); (ii) A
-1 , com o uso de determinante.
(b) Considere a matriz M =
102754321
. Determine: (i) detM; (ii) adjM; (ii) M–1
(sem escalonar).
(c) Resolva a equação det
x43
3x4 = 0.
(d) Calcule λ sabendo que B – λI é não inversível, onde B =
2110
.
4. (a) A é uma matriz 5X5 e seu determinante é 1/4. Determine det(2A).
(b) P é uma matriz 5x5 e seu determinante é 3. Calcule det(2P)
(c) O determinante de uma matriz A , de ordem 7x7 é 5. Qual é o determinante da matriz –2(At)
–1 .
(d) Q é uma matriz 4x4 tal que adjQ = Q. Calcule detQ.
(e) Q é uma matriz anti-simétrica tal que adjQ = Q. Calcule detQ.
(f) A é uma matriz 2x2, tal que
0132
adj(A) . Determine det(A).
5. Usando a Regra de Cramer, se possível, resolva o sistema:
(a) AX = B onde A =
122754301
e Β = .
(b) AX = B, onde A=
1002141300012130
e Bt = (1,0,0,0);
(c)
5y3x3yx
; (d)
12z2y2x3zyx2zyx
; (e)
42z2y2x3zyx2zyx
; (f) ; (g) ;
(h)
3235254zy
4z3yx132z2yx
wzyxw
ww
;(i)
12w3z5yx 34wzyx 2wz3yx 13w2z2y
;(j)
3wzy82x 12wzy5x
2w3yx 13wz2y
; (k)
1zy1yx
7zyx; (l)
1yx32yx
;
6. Matrizes quadradas gozam da propriedade: det(PQ) = detP detQ. Se P é uma matriz 2X2 e detP = 3, determine det(adjP).
7. R é uma matriz 2X2 tal que det(3R) = 5det(R) + 8. Qual é o valor de det(R)?
8. Matrizes quadradas gozam da propriedade: det(PQ) = detP detQ. Se P é uma matriz 2X2 e detP = 3, determine det(cofP).
9. A é uma matriz 4X4 com e detA = 2. Determine o valor de det[(adjA)(cofA)]
10. O determine da matriz A a seguir é 5. Determine x e a matriz inversa da matriz A: A =
1000000100100x00
11. (a) O determinante da matriz A =
1000000x00x00x00
é – 8. Determine x e a matriz inversa da matriz A.
(b) O determinante da matriz A = é 6. Determine x e a matriz inversa da matriz A.
(c) O determinante da matriz A =
1000000100100x00
é 5. Determine x e a matriz inversa da matriz A.
12. Considere a matriz A = .
(a) Quais são os possíveis valores de x, para que A seja inversível?
(b) Determine a inversa de A, quando possível
13. Usando determinantes, justifique porque o sistema
0yax1ayx
é possível para todo número real a.
14. Considerando A e B matrizes quadradas de mesma ordem, quais das seguintes afirmações são verdadeiras?
(a) det(A – B) pode ser detA – detB;
(b) Se det(A) = 5 e A tem ordem 3, então det(2A) = 40.
(c) Se det(AB) = 0, então ou A não é inversível ou B não é inversível.