Lista 01Uni-BH

Instituto de Engenharia e TecnologiaCálculo de Várias Variáveis – Lista de Exercícios

Prof. Laurito

1) Determine a equação da elipse:a) Com focos em (±2 ,0) e eixo maior de comprimento 10b) Com focos em (±2 ,0) e eixo menor de comprimento 10c) Com focos em (±2 ,5) e eixo maior de comprimento 10d) Com focos em (±2 ,5) e eixo menor de comprimento 10e) Com eixos maior e menor medindo, respectivamente, 4 e 3, centro na

origem e focos no eixo x.f) Com eixos maior e menor medindo, respectivamente, 4 e 3, centro na

origem e focos no eixo y.g) Com eixos maior e menor medindo, respectivamente, 4 e 3, centro no

ponto (2,-4) e focos no eixo x.h) Com eixos maior e menor medindo, respectivamente, 4 e 3, centro no

ponto (2,-4) e focos no eixo y.i) Com focos em (±5,0) e excentricidade 2/3

2) Considere a elipse 3x2 + 5y2 = 8. Mostre que o ponto (1,1) pertence a essa elipse. Determine o valor de k para que o ponto (k,3) pertença a essa elipse.

3) Um ponto P da elipse x2

400+ y2

100=1 dista 18 de um dos focos. Qual a

distância de P ao outro foco ?

4) Determine as coordenadas dos vértices do quadrado inscrito na elipse 9x2 + 16y2 = 144.

5) Determine as coordenadas dos pontos de interseção entre a elipse 9x2 + 16y2 = 144 e a reta y = x + 1.

6) Em uma órbita lunar, o ponto mais próximo da superfície da Lua é chamado de perilúnio e o ponto mais distante da superfície lunar é chamado de apolúnio. A nave espacial Apolo 11 foi colocada em uma órbita lunar elíptica com o centro da lua em um dos focos. O perilúnio era de 110km e o apolunio de 314km (altitude em relação à superfície da Lua). Sabendo que o raio da Lua é de 1728km, determine a excentricidade dessa órbita.

7) Uma elipse possui as extremidades do eixo maior nos pontos (±10,0) e passa pelo ponto (5,2). Determine sua excentricidade.

8) Considere a elipse x2

100+ y

2

64=1. Chamaremos de F1 ao foco dessa elipse

com abscissa positiva e P é um ponto dessa elipse, do primeiro quadrante, com abscissa 3. Seja r a reta vertical de equação x = 50/3.

Determine a excentricidade dessa elipse. Chamando de d1 a distância entre P e F1 e chamando de d2 a distância entre P e r, determine o que é maior: a razão d1/d2 ou a excentricidade da elipse. Refaça esse exercício considerando que P é um ponto dessa elipse, no quarto quadrante, com ordenada 3.

9) Uma elipse possui focos nos pontos (3,2) e (9,2). Sabendo que os pontos P(8,5) e Q(7,K), com K negativo, pertencem a essa curva, determine o valor de K.

10)A figura abaixo mostra uma elipse representada no plano cartesiano.

Determine:

a) as coordenadas dos extremos do eixo maior b) as coordenadas dos extremos do eixo menorc) a medida do eixo maior d) a medida do eixo menore) as coordenadas do centro da elipsef) a excentricidade dessa curvag) a distância entre os focos da elipseh) as coordenadas dos focosi) a equação dessa curvaj) represente, na figura acima, os focos dessa elipse

11)Uma elipse possui centro no ponto (3,2), um de seus focos é o ponto (9,12) e seu eixo menor mede 8. Determine

a) As coordenadas do outro foco

b) A medida do eixo maior dessa elipsec) As coordenadas dos extremos do eixo maiord) As coordenadas dos extremos do eixo menore) A equação dessa curva

12)Considere as elipses E1 : ( x−2 )2

36+

( y+1 )2

4=1 e E2:

x2

9+

( y−3 )2

16=1.

a) Determine o valor de a2 e b2 na elipse E1.b) A elipse E1 possui eixo maior horizontal ou vertical ?c) Determine o valor de a2 e b2 na elipse E2.d) A elipse E2 possui eixo maior horizontal ou vertical ?e) Qual é o centro da elipse E1 ?f) Qual é o centro da elipse E2 ?g) Represente essas duas elipses em um mesmo plano cartesiano.

13)Considere a elipse

a) Quais são as coordenadas do centro dessa elipse ?b) Quais são os valores de a e b ?c) O eixo maior é horizontal ou vertical ?d) Determine a equação dessa curva.

14)Represente no plano cartesiano as elipses (faça um plano cartesiano para cada item)

a) x2

25+ y

2

9=1

b) x2

16+ y

2

36=1

c)( x−2 )2

25+

( y+3 )2

4=1

d) x2

9+ y

2

8=1

e)( x+1 )2

5+

( y−3 )2

7=1

15)Considere a elipse de equação x2

25+ y

2

16=1 e a reta de equação x =

253

.

a) Represente essa elipse e essa reta em um mesmo plano cartesianob) Chame de F ao foco da elipse que está mais próximo da reta. Quais

são as coordenadas de F ?c) Considere os vértices da elipse. Qual é a razão entre a distância de

cada vértice até F e a distância desse mesmo vértice até a reta ?d) Determine as coordenadas de um outro ponto P qualquer da elipse.

Determine a razão entre a distância de P até F até a distância de P até a reta.

e) Qual é a excentricidade da elipse ?

Questões para o trabalho

1) Uma escada de 6m de comprimento está verticalmente apoiada em uma parede. Em um degrau a 2/3 da altura total da escada está dormindo um inocente gatinho. O pé da escada começa a escorregar no chão e a escada desce, sempre apoiada na parede, até ficar totalmente no chão, ainda com seu ponto mais alto encostado na parede. O gatinho, dormindo que estava, só acordou quando bateu no chão. Qual é a trajetória seguida pelo assustado gatinho durante a queda ?

2) Consultada a Wikipédia, descobri que a correta distância mínima da Terra ao Sol é 147,1 milhões de km e a máxima é 152,1 milhões de km. Descobri, também, que o Sol pode ser considerado como sendo uma esfera de raio 6,96 x 108 m e que a Terra e uma esfera de raio 6378 km. Inicialmente, determine as medidas de a, b e c da elipse que caracteriza a órbita da Terra. Determine, também, a excentricidade dessa órbita. A seguir, suponha que você quer representar todos esses valores em escala, em uma maquete. Considerando que a Terra, na maquete, será uma esfera de raio 1mm, quais seriam as outras medidas apresentadas ?

3) Como vimos em sala de aula, qualquer corpo celeste que orbita o Sol o

faz em uma órbita que é uma elipse, com o centro do Sol em um dos focos dessa curva. A Terra e os outros sete planetas que orbitam o Sol têm órbitas com excentricidade muito baixa. Já os planetas anões recebem esse nome não apenas por serem muito menores que os demais, mas, principalmente, por possuírem órbitas muito mais excêntricas. Por exemplo, Eris é um planeta anão que orbita o Sol com uma excentricidade e = 0,4418. Eris está muito distante do Sol. Para se ter uma ideia, no ponto da órbita em que Eris está mais próximo de Sol, a distância entre eles é de 5,65 bilhões de quilômetros. Qual é a maior distância entre Eris e o Sol ?

4) Pesquise na internet e diga qual é a excentricidade da órbita dos oito planetas do nosso sistema solar. A seguir, determine a excentricidade da órbita de Plutão, que perdeu seu status de planeta. Você acredita que o valor da excentricidade da órbita de Plutão pode ter contribuído para sua perda de status ? Justifique.