LISTA DE EXERCICIOS - ALGEBRA LINEAR

Tecnologia em Sistemas de Computac~ao- CEDERJ

Mauro Rincon & Marcia Fampa

SEC ~AO 1: VETORES

1. Sejam P (1=2; 1=3) e Q(4; 6) pontos no plano. Determine as coordenadas doponto R do segmento PQ tal que:

(a) jPRj=jPQj = 1=2

(b) jPRj=jPQj = 4=5

2. Seja S = [u1; u2; u3] IR5 subespaco vetorial, onde u1 = (0; 1; 3; 0; 4), u2 =(1;2; 0; 1; 6) e u3 = (0; 0; 0; 1; 1).

(a) Verique se existem vetores de S, dois a dois, que s~ao ortogonais ou para-

lelos.

(b) Calcule o a^ngulo formado pelos vetores fu2; u3g

3. a) Determine a projec~ao ortogonal de u sobre v (Projvu).

b) Calcule a dista^ncia entre os vetores u e v.

SEC ~AO 2: ESPACOS VETORIAIS

4. Seja S = fx; y; zg um conjunto de vetores do IR3. Em cada caso abaixo,prove que S e um subespaco vetorial do IR3 ou de^ um contra exemplo em caso

contrario.

(a) x = y = z; (b) z = 2x; y = 0; (c) x y+ z = 1; (d) jx yj = jy zj

5. Seja S = f(x; y; z; w) 2 IR4=x + w = 0 e y 2z = 0g. Verique se S e umasubespaco vetorial do IR4, e em caso armativo determine uma base.

6. Quais dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes ao P2 s~ao LD?

(a) f2 + x x2;4 x+ 4x2; x+ 2x2g

(b) f1 x+ 2x2; x x2; x2g

(c)f1 + 3x+ x2; 2 x x2; 1 + 2x 3x2;2 + x+ 3x2g

7. Considere o conjunto B = fv1; v2; v3g, onde v1 = (1;1; 0), v2 = (2; 1; 1) ev3 = (2; 0; 1).

a) Verique se o conjunto B e uma base do IR3.

b) Usando o processo de Gram-Schmidt, determine a partir da base B, uma

base ortogonal do IR3.

c) Determine a partir de B uma base ortonormal do IR3.

d) Seja B^ o conjunto formado pelos vetores v1 e v2 de B substituindo-se o vetor

v3 pelo vetor v^3 = (3; 3; 2). Verique se o conjunto B^ e LI ou LD.

e) Verique se v^3 = (5;1;2) e uma combinac~ao linear dos vetores v1 e v2de B.

f) Determine o espaco gerado pelos vetores v1 e v2 de B.

8. a) Determine o subespaco vetorial do S IR4 gerado por u e v.

b) Verique se o vetor w = (1; 0;4; 2) 2 S.

c) Determine uma base ortogonal para S.

9. Dados v1 = (2; 1; 3) e v2 = (2; 6; 4).

a) Os vetores v1 e v2 geram o IR3? Justique.

b) Encontre um vetor v3 que complete junto com v1 e v2 uma base do R3.

c) Use o processo de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal para

R3, a partir da base fv1; v2; v3g.

d) Determine a projec~ao ortogonal do vetor v1 sobre v2 (Projv2v1)

10. Encontre uma base ortonormal para o plano x+ y + z = 0.

SEC ~AO 3: SISTEMAS LINEARES E METODO DE GAUSS

11. Uma industria produz tre^s produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo,

A e B. Para a manufatura de cada kg de X s~ao utilizados 2 gramas do insumo

A e 1 grama do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 3

gramas de insumo B e, para cada kg de Z, 3 gramas de A e 5 gramas de B.

O preco de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z e R$ 3; 00, R$

2; 00 e R$ 4; 00, respectivamente. Com a venda de toda a produc~ao de X, Y

e Z manufaturada com 1; 9 kg de A e 2; 4 kg de B, essa industria arrecadou

R$ 2:900; 00. Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram

vendidos.

12. Determine, usando o metodo de Eliminac~ao de Gauss, o valor de de modo

que o sistema linear; 8>>>>>>>>>:x + 4y + z = 6

2x y + 2z = 3x + 3y + z = 5

a) Tenha soluc~ao unica.

b) Tenha innitas soluc~oes.

c) N~ao tenha soluc~ao.

13. Considere o sistema linear:8>>>>>>>>>:2x1 + x2 + 3x3 = 1

x1 + 2x2 + x3 = 22x1 + 5x2 + 3x3 = 1

Resolva o sistema linear pelo metodo de eliminac~ao de Gauss com pivotea-

mento.

SEC ~AO 4: MATRIZES

14. Determine a matriz C = AT 2B, onde AT e matriz transposta de A.

a)Determine, se possvel, a matriz produto: C = A:B

b)Determine, se possvel, a matriz produto: C = B:A

15. Seja

A =

0BBBBB@3 1 0

2 2 11 2 0

1CCCCCA e B =0BBBBB@

1 0

2 4

3 2

1CCCCCAcalcule A1 e use-a para:

(a) encontrar uma matriz X32 tal que AX = 5B.

(b) encontrar uma matriz Y23 tal que Y A = 5BT .

onde BT e matriz transposta de B.

16. Calcule, se possvel, a matriz indicada:

A =

264 2 06 7

375 ; B =264 0 42 8

375 ; C =264 6 9 7

7 3 2

375

D =

26666646 4 01 1 4

6 0 6

3777775 ; E =2666664

6 9 91 0 46 0 1

3777775 :Se for possvel calcule:

(i) AB BA, (ii) 2C D, (iii) (2Dt 3Et)t, (iv) D2 DE.

SEC ~AO 5: RESOLUC ~AO DE SISTEMAS: GAUSS JORDAN

17. Uma empresa fabrica tre^s diferentes tipos de camisas: A, B e C. Faz-se uma

estimativa do custo de produc~ao de cada camisa. A camisa A custa R$ 10,00, a

camisa B e a camisa C custam R$ 5,00 cada. Faz-se tambem, uma estimativa

do numero de horas de m~ao-de-obra necessarias para produzir uma camisa de

cada tipo, sendo necessarias 1 hora para a camisa A, 3 horas para a camisa

B e 2 horas para a camisa C. A empresa tem disponvel para gastar em sua

produc~ao um total de R$ 25,00 e 10 horas de m~ao-de-obra. Sabendo-se que a

empresa devera produzir um total de 4 camisas dentre os tre^s tipos, construa

um sistema para determinar quanto de cada tipo de camisa a empresa devera

produzir e em seguida resolva o sistema linear pelo metodo de Gauss-Jordan.

18. Considere o seguinte sistema linear:8>>>>>>>>>:x1 x2 x3 + 2x4 = 12x1 2x2 x3 + 3x4 = 3x1 + x2 x3 = k

Determine, se possvel, o valor de k de forma que o sistema linear tenha

soluc~ao(c~oes), usando o metodo de Gauss-Jordan. Mostre a(s) soluc~ao(c~oes).

19. Considere o seguinte sistema linear:8>>>>>>>>>:2x1 + 4x2 + x3 = 1

3x1 2x2 x3 = 2x1 + 2x2 + 2x3 = 5

a) Resolva-o, se possvel, metodo de Gauss-Jordan.

b) O que podemos armar se substituirmos somente a terceira componente do

vetor dos termos independentes b = (1; 2; 5) pelo vetor bb = (1; 2; 1=2):

SEC ~AO 6: MATRIZES INVERSAS E DETERMINANTES

20. Considere o sistema linear Ax = b;8>>>>>>>>>>>>>>>:

x1 x2 + x3 = 12x1 + 3x2 2x3 = 3

+ x2 + x4 = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 = 2

(a) Resolva o sistema linear pelo metodo de eliminac~ao de Gauss.

(b) Calcule o determinante da matriz dos coecientes, usando a expans~ao de

Cofatores (Formula de Laplace).

(c) Determine, se existir, a matriz inversa A1 da matriz A, utilizando o

conceito de matriz adjunta.

21. Existe alguma matriz invertvel, de tamanho 2 2, que satisfaca a condic~aoA1 = A ?. Se a resposta for positiva; de^ um exemplo e em caso contrario,prove que tal matriz pode n~ao existir.

22. Seja k 2 IR e a matriz A dada por:

A =

26666640 k + 1 1

k k 3k 8 k 1

3777775 ;

(a) Calcule o determinante da matriz dos coecientes, usando a expans~ao de

Cofatores(Formula de Laplace).

(b) Determine os valores de k para os quais a matriz A e invertvel.

(c) Considere o vetor dos termos independentes b = (1; 0;1) e k = 1. Deter-mine a soluc~ao do sistema linear Ax = b, usando o metodo de eliminac~ao

de Gauss com pivoteamento.

23. Seja A =

2666666664

0 0 1 1

0 0 1 0

0 1 1 01 1 0 1

3777777775(a) Calcule o determinante da matriz A

(b) Calcule, se existir, a inversa de A, usando a matriz Adjunta.

(c) Determine a soluc~ao do sistema Ax = b = (0; 0; 0; 1)t

SEC ~AO 7: TRANSFORMAC ~OES LINEARES, NUCLEO E

IMAGEM

24. Seja T : IR3 ! IR3 uma transformac~ao linear, denida por

T (x; y; z) = (0; z; y z).

(a) Determine uma base e a dimens~ao da Im(T ).

(b) Determine uma base e a dimens~ao da N(T ) = Ker(T ).

25. Considere a transformac~ao linear T : IR2 ! IR3, tal que T (2; 3) = (1; 0; 1)e T (1;2) = (0;1; 0)

(a) Determinar T (x; y).

(b) Determinar N(T ) = Ker(T ) e Im(T )

(c) Verique se T e injetora e sobrejetora.

SEC ~AO 8: AUTOVALORES E AUTOVETORES

26. Considere matriz A =

26666643 0 40 3 5

0 0 1

3777775(a) Determine os autovalores e autovetores da matriz.

(b) Mostre que os autovetores formam uma base do IR3

27. Determine os autovalores e autovetores da matriz inversa de A.

A =

26666643 0 40 3 5

0 0 1

3777775