1

Norma operatora, adjungovani operator, spektar i sv. vektori 1. Ispitati ogranicenost, naci normu i spektar operatora translacije 𝑇𝑎𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝑎) na 𝐿2(ℝ).

2. Ispitati ogranicenost, naci normu i spektar operatora 𝐴: 𝑙2(ℂ) → 𝑙2(ℂ),

(𝐴𝜉)𝑛 = {

𝜉2, 𝑛 = 1𝜉𝑛−2, 𝑛 neparno

𝜉𝑛+2, 𝑛 parno

3. U Hilbertovom prostoru 𝑙2 definisan je operator A: (𝐴𝑥)𝑛 = (𝑥)𝑛+2. Dokazati da je A ogranicen i

naci normu i spektar.

4. Odrediti spektar operatora 𝐴𝑓(𝑡) = (−𝑑

𝑑𝑡+ 𝑡) 𝑓(𝑡) ciji je domen 𝐿2(ℝ).

5. Naci izvod raspodele sa integralnim jezgrom: [𝑥2 + 2𝑥]

6. Za operator 𝐴: 𝑙2 → 𝑙2, 𝐴(𝜉0, 𝜉1, 𝜉2, … ) = (𝜉1, 𝜉0 + √2𝜉2, √2𝜉1 + √3𝜉3, … ) naci domen, ispitati

ogranicenost, adjungovanost i spektar.

7. * Neka je linearni operator 𝑇: 𝑙2(ℂ) → 𝑙2(ℂ) definisan na sledeci nacin:

𝑇(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥2𝑛−1, 𝑥2𝑛, … ) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑥2 + 𝑥3, … , 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛+1). Odrediti:

a. normu operatora ‖𝑇‖

b. adjungovani operator 𝑇†

c. spektar i sv. vektore operatora T.

8. * Linearni operator 𝑇: 𝑙2(ℂ) → 𝑙2(ℂ) je definisan na sledeci nacin: 𝑇(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, … ) =

(𝑥2, 𝑥4, … , 𝑥2𝑛, … ). Odrediti normu i (diskretan) spektar operatora 𝑇. Pokazati da su sv.

podprostori operatora 𝑇 beskonacno dimenzionalni.

9. 𝐴(𝑥0, 𝑥1, … ) = (𝑥1, √2𝑥2, … ), da li je ogranicen, odrediti 𝐴†, odrediti spektre od 𝐴 i 𝐴†.

10. 𝐴(𝑥0, 𝑥1, … ) = (0, 𝑥0, √2𝑥1, … ), da li je ogranicen, odrediti 𝐴†.

11. ** Operator 𝑇: 𝑙2 → 𝑙2, definisan je na sledeci nacin: 𝑇(𝜉0, 𝜉1, 𝜉2,…) = (1

2𝜉2,

2

3𝜉3, … ,

𝑛−1

𝑛𝜉𝑛, … ).

a. Odrediti normu operatora ‖𝑇‖,

b. diskretan spektar 𝜎𝑝(𝑇) i odgovarajuce sv. vektore,

c. adjungovani operator 𝑇† i njegov diskretni spektar 𝜎𝑝(𝑇† ).

12. * Fourier-Plancherel-ov operator je u prostoru 𝐿2(ℝ) definisan na sledeci nacin: 𝐹𝑓(𝑡) =1

√2𝜋∫ 𝑒−ⅈ𝑡𝑠𝑓(𝑠) ⅆ𝑠

ℝ. Odrediti mu spektar. Hint: proveriti dejstvo operatora na Hermite-ove

funkcije.

13. * Operator 𝐴: 𝐶[0, 1] → [0, 1] je definisan formulom: (𝐴(𝑥))(𝑡) = 𝑥(0) + 𝑡𝑥(1). Ispitati

osobine operatora 𝐴 i odrediti mu spektar.

14. * Odrediti sv. vrednosti i normirane sv. vektore za sledece operatore:

a. �̂�𝑧 = −ⅈ𝜕

𝜕𝜑

b. �̂�𝑧2 = −

𝜕2

𝜕𝜑2

c. �̂� = −ⅈ𝜕

𝜕𝜑+ 𝑎 sin 𝜑

𝜑 je azimutalni ugao. Da li su navedeni operatori autoadjungovani?

15. * Odrediti sv. vrednosti i sv. vektore operatora (𝐴𝑥)(𝑡) =𝑑2𝑥

𝑑𝑡2, ako je domen definisan sa:

a. 𝐷(𝐴) = 𝑥(𝑡) ∈ 𝐶2[0, 𝜋]: 𝑥(𝜋) = 𝑥(0) = 0;

b. 𝐷(𝐴) = 𝑥(𝑡) ∈ 𝐶2[0, 𝜋]: 𝑥′(𝜋) = 𝑥′(0) = 0;

c. 𝐷(𝐴) = 𝑥(𝑡) ∈ 𝐶2[0, 𝜋]: 𝑥(𝜋) = 𝑥(0), 𝑥′(𝜋) = 𝑥′(0).

Integralno jezgro 16. Naci izvod raspodele sa integralnim jezgrom [𝑥(𝑥 + 2)]

17. * Polazeci od definicije celog dela preko step funkcije, naci izvod raspodele sa integralnim

jezgrom [2𝑡2 − 4𝑡].

18. * Neka 𝐾 oznacava integralni operator u prostoru 𝐿2[−1, 1] sa integralnim jezgrom 𝑘(𝑥, 𝑡) =

𝑥 + 𝑡 + 2𝑥𝑡. Odrediti (diskretni) spektar i sv. vektore operatora 𝐾. Reprezentovati operator 𝐾 u

bazisu Legendre-ovih polinoma.

19. * Ispitati autoadjungovanost, pozitivnost i odrediti spektar operatora 𝐾: 𝐿2[0,1] → 𝐿2[0,1]

definisanog na sledeci nacin: (𝐾𝑓)(𝑡) = ∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)𝑓(𝑠) ⅆ𝑠1

0, pri cemu je 𝑘(𝑡, 𝑠) =

{1 − 𝑡, 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 11 − 𝑠, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑠 ≤ 1

. Hint: diferencirati sv. jednakost.

20. * Ispitati autoadjungovanost, pozitivnost i odrediti spektar operatora 𝐾: 𝐿2[0,1] → 𝐿2[0,1]

definisanog na sledeci nacin: (𝐾𝑓)(𝑡) = ∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)𝑓(𝑠) ⅆ𝑠1

0, pri cemu je 𝑘(𝑡, 𝑠) = max{𝑡, 𝑠} , 0 ≤

𝑡, 𝑠 ≤ 1. Hint: diferencirati sv. jednakost.

21. * Ispitati autoadjungovanost, pozitivnost i odrediti spektar operatora 𝐾: 𝐿2[0,1] → 𝐿2[0,1]

definisanog na sledeci nacin: (𝐾𝑓)(𝑡) = ∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)𝑓(𝑠) ⅆ𝑠1

0, pri cemu je 𝑘(𝑡, 𝑠) = min{𝑡, 𝑠} , 0 ≤

𝑡, 𝑠 ≤ 1. Hint: diferencirati sv. jednakost.

22. * Neka 𝐾 oznacava integralni operator u prostoru 𝐿2[0, 1] sa integralnim jezgrom 𝑘(𝑥, 𝑡) = 𝑥 +

𝑡. Odrediti sv.vrednosti i sv. vektore operatora 𝐾.

Ostalo

23. * Pokazati da niz funkcija 𝑓𝑛(𝑥) =𝑛

𝜋

1

1+𝑛2𝑥2 slabo konvergira ka 𝛿(𝑥) funkciji. Za „dobre“ test

funkcije smatrati ogranicene 𝐶∞(ℝ) funkcije.

24. ** Izjednacavanjem odgovarajucih Fourier-ovih komponenti pokazati da vazi: 𝛿(𝑡) =

𝑙ⅈ𝑚𝜎→0

1

√2𝜋𝜎𝑒

−𝑡2

2𝜎2.

25. * Polazeci od generatrise 𝑒2𝑠𝑡−𝑠2= ∑ 𝐻𝑛(𝑡)

𝑠𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0 odrediti ⟨𝑚|𝑥|𝑛⟩ =

∫ 𝑥𝑒−𝑥2𝐻𝑛(𝑥)𝐻𝑚(𝑥) ⅆ𝑥

∞

−∞.

26. * Pokazati da Fourier-Plancherel-ov operator, u prostoru 𝐿2(ℝ) definisan na sledeci nacin:

𝐹𝑓(𝑡) =1

√2𝜋∫ 𝑒−ⅈ𝑡𝑠𝑓(𝑠) ⅆ𝑠

ℝ, komutira sa Hamiltonijanom linearnog harmonijskog oscilatora.

(𝐻𝐿𝐻𝑂𝑓(𝑡) = −𝑓′′(𝑡) + 𝑡2𝑓(𝑡)).

27. * Pokazati da je Fourier-ov transform step funkcije (𝑢(𝑡) = {0, 𝑡 ≤ 0; 1, 𝑡 > 0}) 𝑈(𝜔) =

𝜋𝛿(𝜔) +1

ⅈ𝜔. Hint: izraziti step funkciju preko antisimetricne funkcije 𝑠𝑔𝑛(𝑡).

28. * Ako je raspodela 𝑔(𝑥, 𝑛) definisana na sledeci nacin (kao n-ta iteracija funkcije 𝑓(𝑥)):

𝑔(𝑥, 1) = 𝑓(𝑥) = ||𝑥| − 1|, 𝑔(𝑥, 𝑛) = 𝑓 (𝑓(… 𝑓(𝑥))), odrediti 𝑔′′(𝑥, 20).

2

Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, faktor grupe i centar 1. ** Za grupu 𝐷3ℎ = 𝐷3 ⊗ 𝐶2 odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, faktor grupe i

centar.

2. * Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, centar, komutant za grupu 𝐶5𝑣, kao i

moguce nacine razlaganja grupe 𝐶5𝑣 na semidirektni proizvod.

3. * Data je grupa 𝐺 = 𝐶4 ∧ 𝐶2. Odrediti klase konjugacije, podgrupe, invarijantne podgrupe i

odgovarajuce faktor grupe.

4. ** Paulijeve matrice {𝜎𝑘}, definisane su na sledeci nacin: 𝜎1 = (0 11 0

) , 𝜎2 = (0 −ⅈⅈ 0

) , 𝜎3 =

(1 00 −1

) , 𝜎𝑘𝜎𝑙 = 𝛿𝑘𝑙𝕀 + ⅈ ∑ 휀𝑘𝑙𝑚𝜎𝑚3𝑑=1 . Pokazati da je skup svih mogucih proizvoda

generisanih sa ⅈ𝜎1 i ⅈ𝜎2 grupa. Odrediti red grupe, klase konjugacije, invarijantne podgrupe i

faktor grupe.

5. * Za grupu generisanu matricama: {(0 11 0

) , (−1 00 1

)} odrediti red, klase konjugacije i

invarijantne podgrupe. Na taj nacin je istovremeno definisana i jedna reprezentacija iste grupe.

Da li je tako definisana reprezentacija reducibilna ili ireducibilna?

6. * Za grupu koja se sastoji od svih mogucih kompozicija funkcija generisanih sa 𝑓(𝑥) =2

2−𝑥 i

𝑔(𝑥) = 2 − 𝑥, odrediti red, klase konjugacije, invarijantne podgrupe, faktor grupe, centar i

komutant.

(a) Klase konjugacije, invarijantne podgrupe i faktor grupe i (b) odrediti IRR 7. **** (a) Indukcijom sa ciklicne podgrupe odrediti neekvivalentne IRR grupe 𝐷3

(b) Zatim odrediti IRR grupe 𝐷3ℎ = 𝐶2 ⊗ 𝐷3.

8. *** (a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu

𝐾8.

(b) Indukcijom sa podgrupe 𝐻 = {1, −1, ⅈ, −ⅈ} naci neekvivalentne IRR grupe 𝐾8.

9. ** Grupa G je zadata preko dva generatora 𝑎 i 𝑏 generatorskih relacija 𝑎𝑏 = 𝑏−1𝑎, 𝑏𝑎 = 𝑎−1𝑏.

Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i faktor grupe za grupu G. Hint: najpre odrediti

red elemenata 𝑎 i 𝑏.

10. ** Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu 𝐷4.

Indukcijom sa podgrupe 𝐻 = {𝑒, 𝐶42, 𝑈𝑥 , 𝑈𝑦}, odrediti neekvivalentne ireducibilne reprezentacije

grupe 𝐷4.

11. * Data je grupa 𝐺 = {𝑒, 𝑎, 𝑎2, 𝑎3} ⊗ {𝑒, 𝑏}. Odrediti sve invarijantne podgrupe, a zatim

indukcijom sa podgrupe {𝑒, 𝑎2, 𝑏, 𝑎2𝑏} naci sve ireducibilne reprezentacije grupe 𝐺.

12. * (a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu 𝐶3𝑣.

(b) Indukcijom sa ciklicne podgrupe naci neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe 𝐶3𝑣.

13. * (a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu 𝐶4𝑣.

(b) Indukcijom sa podgrupe 𝐶4 naci neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe 𝐶4𝑣.

14. * Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, centar, faktor grupe, kao i broj ireducibilnih

reprezentacija za grupu 𝐶6𝑣.

15. ** Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu 𝐷4.

Zatim, indukcijom sa podgrupe 𝐻 = {𝑒, 𝐶42, 𝑈, 𝑈𝐶4

2} naci sve neekvivalentne ireducibilne

reprezentacije za 𝐷4. ~#2.10

16. * Indukcijom sa podgrupe 𝐶6 odrediti dvodimenzione ireducibilne reprezentacije grupe 𝐶6𝑣.

Ostalo 17. * Pokazati izomorfizam grupe (u odnosu na kompoziciju funkcija) generisane funkcijama 𝑔(𝑥) =

1 − 𝑥 i 𝑓(𝑥) = 1/𝑥 i 𝑆3. Zatim pokazati da je dejstvom permutacije 𝜎 ∈ 𝑆4 na elemente 𝑎, 𝑏, 𝑐, ⅆ

u izrazu 𝑥 =𝑎−𝑐

𝑏−𝑐:

𝑎−𝑑

𝑏−𝑑 zadan homomorfizam grupe 𝑆4 na 𝑆3. Sta je jezgro ovog homomorfizma?

3

Standardni bazis (SAB) 1. *** Odrediti st. bazis za reprezentaciju 𝐷(𝐺) = 𝐵0 ⊗ 𝐸1,−1 ⊗ 𝐸1,−1 grupe 𝐶3𝑣

2. ** Metodom grupnih projektora odrediti SAB za representacije grupe 𝑆3 u prostoru ℂ3

definisanu na sledeci nacin: 𝐷 (1 2 33 1 2

) = (

0 √3/2 1/2

−1/2 −√3/4 3/4

√3/2 −1/4 √3/4

), 𝐷 (1 2 31 3 2

) =

(

1 0 0

0 −√3/2 1/2

0 1/2 √3/2

)

3. *** Reprezentacija grupe 𝐷4 je definisana sa 𝐷(𝐶4)(𝑒𝑥, 𝑒𝑦, 𝑒𝑧) = (𝑒𝑦, −𝑒𝑥, −𝑒𝑧) i 𝐷(𝑈) =

(𝑒𝑥 , 𝑒𝑦, 𝑒𝑧) = (−𝑒𝑦, −𝑒𝑥 , −𝑒𝑧). Naci simetrijski adaptirani bazis za ovu reprezentaciju.

4. * Odrediti st. bazis za regularnu reprezentaciju grupe 𝐷3. Regularna reprezentacija grupe 𝐺 reda

𝑛 je matricna reprezentacija 𝐷𝑅(𝐺) u prostoru ℂ𝑛, definisana sa 𝐷ⅈ𝑗𝑅(𝑔𝑘) = 𝛿(𝑔ⅈ𝑔𝑗

−1, 𝑔𝑘) =

𝛿(𝑔ⅈ−1𝑔𝑘𝑔𝑗, 𝑒).

5. * Odrediti st. bazis za podprostor koji odgovara dvodimenzijalnoj IR-i grupe 𝐶4𝑣. Regularna

reprezentacija grupe G reda 𝑛 je matricna reprezentacija 𝐷𝑅(𝐺) u prostoru ℂ𝑛, definisana sa

𝐷ⅈ𝑗𝑅(𝑔𝑘) = 𝛿(𝑔ⅈ𝑔𝑗

−1, 𝑔𝑘) = 𝛿(𝑔ⅈ−1𝑔𝑘𝑔𝑗, 𝑒).

6. * Odrediti st. bazis za permutacionu reprezentaciju grupe 𝐶5𝑣.

7. * Odrediti SAB za subdukciju na ciklicnu podgrupu, tenzorskog kvadrata dvodimenzionalne

ireducibilne reprezentacije grupe 𝐷4.

8. * Naci SAB za tenzorski kvadrat dvodimenzionalne ireducibilne reprezentacije grupe 𝐶4𝑣.

9. * Naci SAB za tenzorski kvadrat dvodimenzionalne ireducibilne reprezentacije grupe

𝐾8 (𝐸1,−1 ⊗ 𝐸1,−1).

CG 10. * Naci Clebsch-Gordan-ove koeficijente za sve kombinacije ireducibilnih reprezentacija grupe 𝑆3.

11. * Za grupu 𝐾8 odrediti CG serije i CG koeficijente.

12. * Odrediti CG koeficijente i CG serije za IR-e grupe 𝐶5𝑣.

Ostalo

13. * Matrice 𝐷(𝐶4) = (

0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0

) i 𝐷(𝑈𝑥) = (

0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0

) definisu permutacionu

reprezentaciju grupe 𝐷4. Naci vektore koji pripadaju podprostoru za ireducibilnu reprezentaciju

𝐸1,−1.

14. ** Metodom grupnih projektora odrediti skup 2x2 matrica iz ℂ22, koje su invarijantne u odnosu

na dejstvo grupe 𝐶3𝑣 definisano sa:

(∀𝐴 ∈ ℂ22)(∀𝑔 ∈ 𝐶3𝑣)𝐷(𝑔)𝐴 = 𝐸(𝑔)𝐴𝐸(𝑔−1)

gde je 𝐸(𝐶3𝑣) dvodimenzionalna ireducibilna reprezentacija grupe 𝐶3𝑣.

15. * Reprezentacija grupe 𝐷4 u ℂ22 je definisana sa: (∀𝐴 ∈ ℂ22)𝐷(𝐶4)𝐴 = (ⅈ 00 −ⅈ

) 𝐴 (−ⅈ 00 ⅈ

),

𝐷(𝜎𝑣) = (0 11 0

) 𝐴 (0 11 0

). Naci matrice koje se pripadaju podprostoru 𝐴0− reprezentacije.

16. Reprezentacija grupe 𝐷3 je definisana sa 𝐷𝑃(𝐶3) = (

0 0 1 01 0 0 00 1 0 00 0 0 1

) i 𝐷𝑃(𝜎𝑣) =

(

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

)