Lista de Exercícios 01 de Cálculo Diferencial e Integral IV(2011.1)

Esta lista de exercícios e todas as que se seguirem visam oferecer material

complementar para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IV. Alguns problemas foram

extraídos de diversos livros e outros sugeridos pelo próprio monitor que esta lista redige. Ela é

especialmente interessante para o estudante que não conseguiu adquirir o livro-texto do

curso, e é do desejo do redator que elas juntamente com as notas de aula do professor

contribuam com o aprendizado do assunto, que é de suma importância na área de exatas.

1-(Próprio) Podemos ver a derivação como uma transformação linear? Prove caso esta

afirmativa seja verdadeira.

2-(Piskunov vol. II) Demonstre que as funções indicadas, dependentes de constantes

arbitrárias indicadas pela letra C, satisfazem as equações diferenciais correspondentes:

a)

.

b)

c)

d)

e)

f)

.

g)

3-(Kaplan vol. II) Ache os fatores integrantes de cada uma das seguintes equações diferenciais

e obtenhas as soluções gerais:

a)

.

b)

c)

4-(Piskunov vol. II) Ache as soluções das seguintes equações diferenciais lineares:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

5-(Piskunov vol. II) Resolver os seguintes problemas geométricos, parte integral do problema é

traduzi-lo para a linguagem das equações diferenciais.

a) Demonstrar que a curva cujo coeficiente angular de suas retas tangentes em cada

ponto é proporcional a abcissa do ponto de tangência é uma parábola.

b) Achar uma curva que passe pelo ponto (0,-2), de tal modo que o coeficiente angular

das retas tangentes desta curva sejam igual a ordenada correspondente deste ponto

aumentada de três unidades.

c) Achar uma curva que passe pelo ponto (1,1) de tal maneira que o coeficiente angular

de suas retas tangentes em cada ponto seja proporcional ao quadrado da ordenada

neste ponto.

d) Demonstrar que a curva cuja propriedade consiste em que todas suas normais passem

por um ponto fixo é uma circunferência.

6-(Próprio) Se uma equação puder ser escrita como

, mostre, com cálculos, que a

substituição

transforma esta equação numa equação linear de primeira ordem.

Questões de Provas Antigas:

1-(2008.1) Em cada item abaixo encontre a solução geral da equação diferencial.

a)

. (Valia 2,0 pontos)

b) . (Valia 1,5 pontos) c) (Valia 2,0 pontos)

2-(2002.2) Resolve com a substituição

o problema de Cauchy abaixo. (Valia 1,0 pontos)

a)

3-(2002.2) Considere a equação diferencial

a) Encontre a solução geral desta equação. (Valia 1,5 pontos) b) Existem soluções da equação acima tais que ? Esta solução pode ser

única? (Valia 1,0 pontos) 4-(2006.1) Resolvas as equações diferenciais abaixo: (Valor da questão não informado)

a)

b)

c)

.

Lista 2 – Resumo de Equações de Primeira Ordem

Parte integral da solução dos problemas em equações diferenciais consiste em identificar o tipo de equação diferencial que se apresenta ao aluno, para desta forma sabermos qual algoritmo de resolução aplicar. 1-Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem

Algoritmo:

a) Integre ; b) Ache a exponencial da primitiva de encontrada em b, este é o nosso fator integrante ; c) Multiplique toda a equação diferencial por ;

d) Pela definição de fator integrante, e) Integre dos dois lados; f) Isole y, atente para o aparecimento de uma constante arbitrária em f;

Simbolicamente:

a)

b)

c)

d)

Observação: A equação de Bernoulli é, em última análise, uma equação deste tipo, uma vez aplicada mudança de variável o que nos leva a e a uma equação linear em u(x). Sempre lembrar que uma vez encontrada u(x), nós devemos devolver a variável original y, para tal, basta lembrarmos-nos da substituição . 2-Equação Separável

Algoritmo:

a) Isole de um lado todos os termos em x, e do outro todos os termos em y; b) Integre cada lado com respeito a sua variável isolada, não esqueça de um lado adicionar uma constante

arbitrária C; c) Manipule algebricamente a expressão para uma forma que mais lhe convenha;

Simbolicamente:

a)

b)

c) Arranje os termos como preferir;

Observação: A equação homogênea é, também em última análise, uma equação separável, uma vez

aplicado mudança de variável , pois isto sempre vai nos levar a uma equação separável em termos de u e de

x. Novamente, uma vez encontrada u(x), retornar a expressão em y.

Prova:

3-Equação Exata

Algoritmo:

a) Verifique se é verdadeiro , e ipso facto, a equação é realmente do tipo exata.

b) Se o fato verificado anteriormente é verdadeiro, é porque existe uma função tal que é verdadeiro .

c) Usando seus conhecimentos de cálculo III, procure , que é essencialmente o mesmo problema de achar

uma função potencial no .

Simbolicamente:

a) Uma vez que integramos apenas com respeito a x, a constante que aparece pode ser muito bem uma função exclusivamente de y;

b)

; Desta forma achamos e com isto nossa função potencial;

c) Arranje como preferir.

Caso Especial: Quando uma equação da forma não for exata, é possível achar uma fator integrante para ela de modo simples de forma a torná-la uma equação exata. O procedimento consiste em assumir que exista um fator integrante que é exclusivamente função de x ou exclusivamente função de y e partindo deste pressuposto desenvolver uma equação diferencial auxiliar que nos leve a e com isto tornemos a equação inicial exata.

Simbolicamente, temos dois jeitos de encontrar :

Testando se nos serve:

a)

b)

Verifique se

é mesmo só função de x;

c)

d) Multiplique por . A equação se tornará exata;

Testando se nos serve:

a)

b)

Verifique se

é mesmo só função de y;

c)

d) Multiplique por . A equação se tornará exata;

Observações:

a) As hipóteses ou podem ser testadas em qualquer ordem, naturalmente; b) Se uma hipótese é verdadeira, já se encontrou um fator integrante, então não faz sentido testar a outra

hipótese; c) Não se esqueça de resolver ;

Observações Gerais: Os alunos devem notar que todas as equações estudadas até o momento se resumem em 3 grupos de equações, mesmo as equações estudadas que, a priori, não parecem pertencer a estes grupos, sob uma substituição adequada cairão nos 3 casos resumidos nesta ficha.

Lista 3 – Exercícios de Revisão (A lista 1 já tem equações lineares o suficiente) 1-Resolva as seguintes equações de Bernoulli:

a)

b)

c)

d)

e)

2-Resolver as equações diferenciais a seguir:

a)

b) c)

d)

e)

f)

3-Achar a família de curvas ortogonais a cada uma das curvas pedidas, tente identificar cada tipo de curva:

a)

b)

c)

d) ; 4-Resolver as seguintes equações diferenciais lineares com coeficientes constantes:

a)

b)

c)

d)

5-Resolver as equações diferenciais separáveis a seguir: a) b) c) d)

e) ; 6-Problemas Mistos: a) Mostre que toda equação diferencial separável é exata;

b) Mostre que toda equação homogênea é separável pela substituição ;

c) Para uma equação diferencial linear homogênea da forma , mostre que: -A soma de duas soluções é uma solução; -O produto de um escalar por uma solução é uma solução; -Conclua que qualquer combinação linear de soluções é solução; -Lembre de Álgebra Linear, da noção de conjunto gerador, o que podemos inferir?

Lista 4 – Cálculo Diferencial e Integral IV

Sugestão para quem estiver com alguma dificuldade no assunto:

Um bom material extra pra quem sabe um pouco de inglês. São aulas ministradas por professores do MIT e que

foram gravadas através da licença OpenCourseWare:

http://academicearth.org/courses/differential-equations

Equações Homogêneas a Coeficientes Constantes

1 - Para as seguintes equações diferenciais de segunda ordem homogêneas:

(i) Escreva o operador diferencial L de cada equação tal que a equação seja da forma L[y] =0;

(ii) Resolva então a equação L[y] =0, escrevendo o polinômio característico associado a estas equações;

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Observação: Não estranhe a forma da resposta, relembre a definição de núcleo.

2-Resolva os seguintes problemas de valor inicial:

a)

b)

Redução de Ordem

3-Usando o método da redução de ordem, primeiro, verifique que é de fato solução das equações abaixo, e

em seguida ache a solução geral das equações:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

4- Verifique que se tivermos uma equação da forma e conhecermos uma solução

particular, não identicamente nula, , ao procurarmos uma solução teremos de fato

uma equação linear em termos de e ache uma expressão geral para esta equação.

Extra: É possível usar o método da redução de ordem de uma forma alternativa, se utilizar a identidade de Abel e

algumas simples considerações sobre as constantes envolvidas. Observe:

Método dos Coeficientes Constantes

5 - Para as seguintes equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas:

(i) Escreva o operador diferencial L de cada equação tal que a equação seja da forma L[y] ;

(ii) Resolva então L[y] = 0 (homogênea associada) e use-a para resolver L[y] = f(x);

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

6 – Dar a solução do problema de valor inicial:

a)

b)

7 – Dar a solução do problema de valor inicial: ;

8-Dar a solução dos seguintes problemas de valor inicial:

a)

b)

Lista 5 – Cálculo Diferencial e Integral IV

Resumo das Equações Lineares de Segunda Ordem:

1-Equações diferenciais de segunda ordem, homogêneas a coeficientes constantes:

Solução:

a) Escrever o polinômio característico associado

b) Achar as raízes de .

c) Temos agora três possibilidades:

2-Método da Redução de Ordem:

Solução:

a) Procurar uma solução da EDO tal que

b) Com isto achar as derivadas de para substituir na equação, saber:

c) Substituir estes valores na EDO, a equação encontrada será em termos de uma equação diferencial

linear de primeira ordem;

d) Então, devido ao item anterior, faça a substituição e resolva a equação em ;

e) Do item anterior, encontre por simples integração, terá duas constantes;

f) Uma vez que substitua os valores e encontre que será a solução geral da equação;

3-Método dos Coeficientes a Determinar:

Solução:

a) Antes de tudo, resolver a equação homogênea associada

b) Uma vez encontrado o espaço solução da homogênea associada, devemos comparar estas soluções com a

função o que nos leva a duas opções:

Nem a função , ou nenhuma de suas partes está contida em , então devemos procurar, via

inspeção uma solução particular para a equação linear, através do que podemos chamar de “chute

consciente”.

Exemplo: A equação tem como , se você resolver a homogênea associada

encontrará que que não se parece em nada com . Como a derivação é uma operação

que só consegue baixar o grau dos polinômios, então o grau máximo de um polinômio que possa servir como

solução vai ser o grau máximo do polinômio em que é 1. Então procure uma solução da forma ;

Exemplo: A equação tem , uma vez resolvida a homogênea associada

vemos que que não se parece com . Uma vez que a derivação da função seno nos leva

na função cosseno e a derivação da função cosseno nos leva na função seno, então a solução que procuraremos

será da forma ;

A função , ou alguma de suas partes está contida em , então devemos procurar, via inspeção

uma solução particular para a equação linear, através do que podemos chamar de “chute consciente”, só

que desta vez devemos multiplicar o nosso “palpite” por x nos termos que apareceram em .

Exemplo: A equação tem , uma vez resolvida a homogênea associada

vemos que , agora observe que aparece de fato em , então pelo mesmo

argumento utilizado no exemplo anterior, a solução procurada será da forma .

Exemplo: A equação tem , uma vez resolvida a homogênea associada vemos

que , mas observe que 1 está contido em . Então, ao invés de fazermos como

no primeiro exemplo, procuraremos uma solução da forma . Observando que se procurássemos

uma solução da forma teríamos que c seria um parâmetro livre das equações obtidas.

4-Método da Variação dos Parâmetros: O método da variação dos parâmetros é um método poderoso, e

extensível a toda ordem de equações lineares, para dele utilizarmos basta conhecermos as soluções da equação

homogênea associada da EDO.

a) Resolver a equação homogênea associada ;

b) Extrair daí duas soluções fundamentais ;

c) A solução da EDO será ;

d) Sabendo que satisfazem o seguinte sistema de equações:

e) O que pela Regra de Cramer nos leva ao seguinte:

f) Desta forma nos é acessível encontrar e por simples integração; g) Ao final basta fazermos que será a solução da homogênea somada a uma

solução particular da EDO.

Exercício – Desafio: Resolver sabendo que é solução, utilizando o seguinte roteiro:

I) Utilize redução de ordem para encontrar todas as soluções da homogênea associada;

II) Use variação de parâmetros para encontrar a solução da EDO;