UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PAR CENTRO DE CINCIAS SOCIAIS E EDUCAO DEPARTAMENTO DE MATEMTICA, ESTATSTICA E INFORMTICA. LICENCIATURA EM MATEMTICA MODALIDADE A DISTNCIA

DISCIPLINA: TEORIA DOS NMEROS

CONTUDO PROGRAMTICO: INTRODUO AO ESTUDO DA TEORIA DOS NMEROS: UNIDADE I NMEROS INTEIROS: 1.1 - Nmeros inteiros. 1.2 - Propiedades dos inteiros; 1.3 - Valor absoluto de um inteiro; 1.4 - Questes Resolvidas e Propostas. UNIDADE II INDUO MATAMTICA: 2.1 - Elemento mnimo de um conjunto de inteiros. 2.2 - Princpio da boa ordenao; 2.3 - Princpio de induo finita; 2.4 - Induo matemtica; 2.5 - Exemplos de demonstrao por induo matemtica e outras formas de induo matemtica; 2.6 - Questes Resolvidas e Propostas. UNIDADE III DIVISIBILIDADE: 3.1 - Relao de divisibilidade em Z. 3.2 - Conjunto dos divisores de um inteiro; 3.3 - Divisores comuns de dois inteiros; 3.4 - Algoritmo da diviso; 3.5 - Paridade de um inteiro; 3.6 - Questes Resolvidas e Propostas. UNIDADE IV MXIMO DIVISOR COMUM: 4.1 - Mximo divisor comum de dois inteiros. 4.2 - Existncia e unicidade do mdc; 4.3 - Inteiros primo entre si; 4.4 - Caracterizao do mdc de dois inteiros; 4.5 - Mdc de vrios inteiros; 4.6 - Questes Resolvidas e Propostas. UNIDADE V ALGORITMO DE EUCLIDES MNIMO MLTIPLO COMUM: 5.1 - Algoritmo de EUCLIDES. 5.2 - Mltiplos comuns de dois inteiros; 5.3 - Mnimo mltiplo comum de dois inteiros; 5.4 - Relao entre o mdc e o mmc; 5.5 - Mmc de vrios inteiros; 5.6 - Questes Resolvidas e Propostas. UNIDADE VI NMEROS PRIMOS: 6.1 - Nmeros primos e compostos. 6.2 - Teorema fundamental da Aritmtica; 6.3 - Formula que do primos; 6.4 - Crivo de ERATSTENES; 6.5 - Primos gmeos; 6.6 - Seqncias de inteiros consecutivos compostos; 6.7 - Conjectura de GOLDBACH; 6.8 - Mtodo de fatorao de FERMAT; 6.9 - Questes Resolvidas e Propostas.

UNIDADE VII EQUAES DIOFANTINAS LINEARES: 7.1 - Generalidades. 7.2 - Condio de existncia de soluo; 7.3 - Soluo da equao ax + by = c; 7.4 - Questes Resolvidas e Propostas. UNIDADE VIII CONGRUNCIAS: 8.1 - Inteiros congruentes. 8.2 - Caracterizao de Inteiros congruentes; 8.3 - Propriedades das congruncias; 8.4 - Sistemas completos de restos; 8.5 - Questes Resolvidas e Propostas. UNIDADE IX CONGRUNCIAS LINEARES: 9.1 - Generalidades. 9.2 - Condio de existncia de soluo; 9.3 - Soluo da congruncia a x b(mod. m); 9.4 - Resoluo de equaes diofantinas lineares por congruncias; 9.5 - Inverso de um inteiro; 9.6 - Questes Resolvidas e Propostas. UNIDADE X SISTEMAS DE CONGRUNCIAS LINEARES: 10.1 - Generalidades. 10.2 - Teorema do resto chinez; 10.3 - Questes Resolvidas e Propostas. UNIDADE XI TEOREMA DE FERMAT E WILSON: 11.1 - Teorema de Fermat. 11.2 - Teorema de Wilson; 11.3 - Questes Resolvidas e Propostas. BIBLIOGRAFIA:

INTRODUO AO ESTUDO DA TEORIA DOS NMEROS Embora existam diversos tipos de nmeros em Matemtica (reais, complexos, etc.), o nome "Teoria dos Nmeros" tradicionalmente reservado para o estudo dos Nmeros Inteiros, isto , -3, 2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Tambm usado o nome Aritmtico, proveniente de arithms, que em grego significa nmero". A Teoria dos Nmeros, a mais pura disciplina dentro da mais pura das Cincias a Matemtica e tem uma longa histria, originando-se nas antigas civilizaes da humanidade. Listamos primeiro alguns nomes famosos de matemticos que contribuiro para o estudo da teoria dos nmeros: Pitgoras (569-500 a. C.) Euclides (_ 350 a. C.) Eratstenes (276-196 a. C.) Diofante (_ 250 d. C.) Plutarco (_ 100 d. C.) Marin Mersenne (1588-1648) Pierre de Fermat (1601-1665) Blaise Pascal (1623-1662) Christian Goldbach (1690-1764) Leonhard Euler (1707-1783) Joseph Louis Lagrange (1736-1813) John Wilson (1741-1793) Adrien Marie Legendre (1752-1833) Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Augustin Louis Cauchy (1789-1857) Peter Gustav Dirichlet (1805-1859) P. L. Tchebychef (1821-1894) Frederick Nelson Cole (1861-1927) Axel Thue (1863-1922) Jacques Salomon Hadamard (1865-1963) Charles de la Vall e Poussin (1866-1962) Dentre outros.... A teoria dos nmeros veio a ocupar-se com uma classe mais vasta de problemas que surgiram naturalmente do estudo dos nmeros inteiros. A teoria dos nmeros pode ser subdividida

em vrios campos, de acordo com os mtodos que so usados e das questes que so investigadas, a saber: 1) Teoria elementar dos nmeros: utiliza somente os mtodos elementares da aritmtica para a verificao e comprovao das propriedades essenciais do conjunto dos nmeros inteiros e em particular as propriedades dos nmeros primos. 2) Teoria analtica dos nmeros: utiliza a anlise real e anlise complexa, especialmente para estudar as propriedades dos nmeros primos. 3) Teoria algbrica dos nmeros: utiliza lgebra abstrata e estuda os nmeros algbricos. 4) Teoria geomtrica dos nmeros: utiliza mtodos geomtricos, algbricos e analticos. Nesta notas faremos o estudo da primeira Teoria, um conceito chave em Teoria elementar dos Nmeros o conceito de divisibilidade. Enquanto nos nmeros reais, por exemplo, pode-se dividir qualquer nmero por outro (no nulo), obtendo como resultado um nmero real, nos inteiros diferente. Um inteiro a s divisvel pelo inteiro b quando existir um inteiro c tal que a = bc. Nesse caso, diz-se tambm que b um divisor de a, ou que b divide a, ou ainda que a mltiplo de b. Por exemplo, 8 divisvel por 2, mas no por 3. Mesmo que a no seja divisvel por b, pode-se sempre encontrar, de modo nico, inteiros c (quociente) e r (resto) tais que a = bc + r. Todo inteiro a divisvel por 1, -1, a, -a. Estes so os divisores triviais de a. Um inteiro dito primo quando s possui os divisores triviais. Um inteiro de valor absoluto maior que 1 e que no seja primo (isto , possua divisores no triviais) dito composto. Por exemplo: So primos: 2, 2, 3, -3, 17, .... So compostos 6 = 2x3, -8 = (-2) x 4, ... Os nmeros 0, 1 e 1 no so primos nem compostos. Euclides foi o primeiro a demonstrar que existe uma infinidade de nmeros primos. O mximo divisor comum dos inteiros no nulos a e b tem a propriedade de ser mltiplo de qualquer divisor comum de a e b e pode ser encontrado pelo algoritmo de Euclides. Quando o mximo divisor comum de a e b for 1, ento seus nicos divisores comuns so 1 e 1. Nesse caso, a e b so ditos primos entre si, ou relativamente primos. Por exemplo, 9 e 14 so primos entre si. As propriedades mais cruciais dos nmeros inteiros, e que no tm similares nos reais ou nos complexos, so o Princpio da Boa Ordenao, segundo o qual qualquer conjunto no vazio de inteiros limitado inferiormente possui um elemento mnimo, e o Princpio de Induo, segundo o qual se uma propriedade P(n), referente ao inteiro n, for verdadeira para n = a, e a veracidade de P(n) acarretar a veracidade de P(n + 1), ento P(n) verdadeira para todo inteiro maior que ou igual a a. A partir das propriedades usuais da adio e da multiplicao de inteiros, da relao b . 13) Suponha que ab , e seja c um inteiro qualquer. Ento

a + c b+c ac bc se c > 0, mas ac bc, se c < 0.

Destas propriedades podem ser deduzidas muitas outras propriedades dos inteiros. 1.3 - Valor absoluto de um Inteiro: Definio: Chama-se valor absoluto de um inteiro a, o inteiro que se indica por a , tal que:

a

a se a -a se a

o oa a2

0 a2 a . a a2

A partir da definio de a , para todo inteiro a, temos:

-a a a

Teoremas: Se a e b so dois inteiros, quaisquer ento: 1) a 2)a 0e a a a . 0 se a = 0 .

3) ab 4) a

a b.

b

a

b.

5) a + b

ab .

Questes Resolvidas 01) Calcular a soma dos n primeiros inteiros positivos. Soluo: Vamos escrever a soma dos n primeiros nmeros inteiros positivos em ordem crescente e a mesma soma em ordem decrescente, temos: S=1 S=n + 2 + n1 + 3 + n2 + 4 + ........ + n 3 + ........ + n3 + 4 +n2 + n1 + 3 + 2 + n + 1

Somando as duas igualdades: 2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ..............

+ (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)

Observe que sero n parcelas iguais a (n + 1). Portanto, 2S = n(n + 1) S = n(n + 1)/2. 02) Calcular o inteiro positivo n, sabendo que 3n+2 2n+3 = 2592. Soluo: Decompondo 2592, obtm-se 34.25. Portanto, n + 2 = 4 n = 2, ou 5 = n + 3 n = 2. Pois a forma de decomposio em fatores primos nica. 03) Achar um inteiro positivo de dois algarismos que seja igual ao qudruplo da soma dos seus algarismos. Soluo: Um nmero de algarismos a e b, na base 10 expresso por 10a + b. Portanto, 10a + b = 4(a + b) 6a = 3b b = 2a. Ou seja, qualquer nmero de dois algarismos, onde o algarismo das unidades o dobro do algarismo das unidades. Assim, temos: 12, 24, 36, etc. 04) Achar o menor e o maior inteiro positivo de n algarismos. Soluo: Menor: 1 algarismo igual a 1 e os demais (n 1) iguais a zero. Portanto, 1 x 10 n 1. Maior: todos os n algarismos iguais a 9, ou 1 seguido de n zeros menos 1 1.10n 1 Observao: Considerando, n = 5. Menor 10000 = 1.105 1 = 1.104 Maior 99999 = 100000 1 = 1.105 1. 05) Achar todas as solues inteiras e positivas da equao: x2 y2 = 88. Soluo: x2 y2 = 88 (x + y) (x y) = 88. Como x e y so inteiros positivos, (x + y) e (x y) so dois nmeros inteiros cujo produto 88. Assim, (1) x + y = 88 e x y = 1; (2) x + y = 44 e x y = 2; (3) x + y = 22 e x y = 4; (4) x + y = 11 e x y = 8. Cada par de duas equaes formam um sistema. Para resolver o sistema basta somar as duas equaes, o que resultaria em 2x = soma dos nmeros. Como essa soma tem que ser par (x inteiro), resulta apenas as possibilidades 2 e 3. Portanto, 2x = 46 x = 23 e y = 44 23 = 21 ou 2x = 26 x = 13 e y = 22 13 = 9. Resposta: (x = 23, y = 21) e (x = 13, y = 9). 06) O produto de um inteiro positivo de trs algarismos por 7 termina direita por 638. Achar esse inteiro.

Soluo: Para facilitar o raciocnio, construamos a tabela de multiplicao por 7. 7 x 1 = 7, 7 x 2 = 14, 7 x 3 = 21, 7 x 4 = 28, 7 x 5 = 35, 7 x 6 = 42, 7 x 7 = 49, 7 x 8 = 56, 7 x 9 = 63. Como o algarismo das unidades 8, o nico valor possvel para o algarismos das unidades do nmero 4. Ao efetuar a multiplicao do algarismo das unidades, que 4 por 8, vo duas unidades para a casa das dezenas. Assim, o algarismo das dezenas deve ser tal que ao multiplicar por 7 e somar 2, resulte num final igual a 3. Portanto, o algarismo das dezenas 3, pois 7 x 3 + 2 = 23. Da mesma forma vo duas unidades para a casa das centenas. O algarismo a deve ser de forma que, ao somar 2 (vindo das dezenas) resulte em 6. Portanto, deve ser um mltiplo de 7 terminado em 4. Isto permite concluir que o algarismo das centenas 2 , pois 2 x 7 + 2 = 16. Portanto, o nmero 234. 07) Um livro tem 1235 pginas. Determinar o nmero de vezes que o algarismo 1 aparece na numerao da pginas deste livro. Soluo: De 1 a 100, o algarismo 1 aparece 10 vezes nas unidades (1, 11, 21,... 91) e 10 vezes nas dezenas (10, 11, 12, ...19). Portanto a cada centena o algarismo 1 aparece 20 vezes. Em 1235 temos 12 centenas. Portanto o algarismo 1 aparecer 20 x 12 = 240 vezes na posio das unidades e dezenas. De 100 a 200, o algarismo 1 aparece 100 vezes na posio das centenas. Isto se repete de 1100 a 1200. Portanto, 200 vezes na posio das centenas. De 1200 a 1236, o algarismo 1 aparece 4 vezes nas unidades e 10 vezes nas dezenas. Totalizando 14 vezes. De 1000 a 1235, o algarismo 1 aparece 236 vezes na posio dos milhares. Portanto: 240 + 200 + 14 + 236 = 690 vezes. 08) Achar o inteiro que deve ser somado a cada um dos inteiros 2, 6 e 14 para que, nesta ordem, formem uma proporo contnua. Soluo: Uma proporo contnua aquela que tem os meios ou os extremos iguais. Pela definio podemos ter (a) (2 + x)/(6 + x) = (6 + x)/(14 + x) ou (2 + x)/(6 + x) = (14 + x)/(2 + x). Na situao (a), (6 + x) 6 + x) = (2 + x) (14 + x) => 36 + 12x + 2x = 28 + 16x + 2x 4x = 8 x = 2. Na situao (b) (2 + x) (2 + x) = (6 + x) (14 + x) 4 + 4x + 2x = 84 + 20x + 2x 16x = - 80 x = - 5. R: 2 ou 5. 09) Achar o menor inteiro cujo produto por 21 um inteiro formado apenas por 4 algarismo. Soluo: O nmero o menor mltiplo de 21 maior que 1000. Portanto: 1000 = 47 x 21 + 13. Portanto, o nmero 48 x 21 = 1008. 10) Escreve-se a seqncia natural dos inteiros positivos, sem separar os algarismos:

123456789101112131415... Determinar: (a) O 435 algarismo. Soluo: De 1 a 9 so escritos 9 algarismos. De 10 a 99, so dois algarismos em cada nmero 2 x 90 = 180 algarismos. Portanto, at 100 so escritos: 9 + 180 + 3 = 192. Para chegar ao algarismo que ocupa o 435 lugar sero necessrios mais 435 192 = 243 algarismos. Como a partir de 100 so usados 3 algarismos teramos 243 3 = 81 nmeros aps o 100. Portanto, o nmero 181 e o algarismo que ocupa a posio o 1. (b) O 1756 algarismo. Soluo: Da mesma forma 1756 192 = 1564 1564 3 = 521 e sobra 1 algarismo. Portanto teramos at a 100 + 521 = 621. Como sobra 1 algarismo, o prximo o 6 do nmero 622. (c) O 12387 algarismo. Soluo: At 1000 seriam 9 + 90 x 2 + 900 x 3 + 4 = 2889. 12387 2889 = 9498 9498 4 = 2374 e sobram dois algarismo. Portanto, o ltimo nmero inteiro 1000 + 2374 = 3374. A sobra de dois algarismos implica que o ltimo algarismo ser 3, o segundo algarismo de 3375. 11) Mostrar que o produto de dois fatores entre 10 e 20 o dcuplo da soma do primeiro com as unidades do segundo mais o produto das unidades dos dois. Soluo: Sejam os nmeros 10 + b e 10 + c, com 0 < b < 10 e 0 < c < 10. Nestas condies 10 + b e 10 + c estaro compreendidos entre 10 e 20 e b e c sero os algarismos das unidades. Efetuando o produto temos: (10 + b) (10 + b) = 100 + 10b + 10c + bc = 10[(10 + b) + c] + bc. (10 + b) + c a soma do primeiro com as unidades do segundo, bc o produto dos dois e 10[(10 + b) + c] o dcuplo da soma do primeiro com as unidades do segundo.

Questes Propostas 01) Calcule o inteiro positivo n, sabendo-se que: 3n + 3n+1 + 3n+2 + 3n+3 = 1080. R: n = 3. 02) Decompor o inteiro 575 numa soma de cinco inteiros mpares consecutivos. R: 109, 113, 115, 117, 119. 03) Achar todas as solues inteiras e positivas da equao (x + 1) (y + 2) = 2xy. R: os valores so (x = 2, y = 6), (x = 3, y =4) e (x = 5, y = 3). 04) Verificar se o quadrado de um inteiro pode terminar em 2, 3, 7 ou 8. R: Portanto, no pode terminar em 2, 3, 7 ou 8. 05) A soma dos quadrados de dois inteiros 3332 e um deles o qudruplo do outro. Achar os dois inteiros. R: 14 e 56. 06) A mdia aritmtica de dois inteiros positivos 5 e a mdia geomtrica 4. Achar os dois inteiros. R: 8 e 2. 07) Calcular a soma dos trs maiores nmeros inteiros de, respectivamente, trs, quatro e cinco algarismos. R: 110997. 08) Determinar a diferena entre o maior nmero inteiro com seis algarismos diferentes e o menor inteiro com cinco algarismos tambm diferentes. R: 977420. 09) Mostrar que o produto de quatro algarismos consecutivos, aumentado de 1, um quadrado perfeito. 10) Sejam a e b dois inteiros. Demonstrar: (a) Max (a, b) = (a + b + |a b|)/2. (b) Min (a, b) = (a + b |a b|)/2. 11) Achar cinco inteiros positivos consecutivos cuja soma dos quadrados igual a 2010. R: 18, 19, 20, 21 e 22. 12) Escreve-se a seqncia natural dos inteiros positivos pares, sem separar os algarismos: 24681012141618...

Determinar o 2574 algarismo que se escreve. R: algarismo o 6. 13) Os inteiros a e b so tais que 1 < a < 3 e 2 < b < 0. Mostrar que 1 < a b < 5. R: 1 < a b < 5. 14) Os inteiros a e b so tais que -2 < a < 2 e - 2 < b < 2. Mostrar que 4 < a b < 4. R: 4 < a b < 4. 15) Achar o menor inteiro positivo que multiplicado por 33 d um produto cujos algarismos so todos 7. R: 777777: 33 = 23569. 16) No planeta Mong o nmero de horas por dia igual a nmero de dias por semana, que igual ao nmero de semanas por ms, que igual ao nmero de meses por ano. Sabendo que em Mong h 4096 horas por ano, quantas semanas h por ms? R: 17) A soma de trs nmeros naturais consecutivos igual ao produto desses trs nmeros. A soma dos quadrados desses nmeros : R: 18) Sejam a, b e c inteiros e positivos. Entre as opes abaixo, a expresso que no pode representar o nmero 24 : a) ab3 b) a2b3 c) acbc d) ab2c3 e) acbccc

19) Efetuando as operaes indicadas na expresso abaixo obtemos um nmero de quatro22007 algarismos. Qual a soma dos algarismos desse nmero: 2006 2 22005 22004 2006 .

R: 20) Qual a soma dos algarismo do nmero: R:22 2 23 22 24 22005 2004 23 2 22006 ? 22005

21) Quantos so os possveis valores inteiros de x para que R: 20.

x 99 seja um nmero inteiro? x 19

22) Um pai tem 33 anos e seu filho, 7 anos. Depois de quantos anos a idade do pai ser o triplo da idade do filho? R: 6.

UNIDADE II INDUO MATEMTICA 2.1 - Introduo: O Princpio da Induo um eficiente instrumento para a demonstrao de fatos referentes aos nmeros naturais. Por isso deve-se adquirir prtica em sua utilizao. Por outro lado, importante tambm conhecer seu significado e sua posio dentro do arcabouo da Matemtica. Entender o Princpio da Induo praticamente o mesmo que entender os nmeros naturais. Apresentamos abaixo uma breve exposio sobre os nmeros naturais, onde o Princpio da Induo se insere adequadamente e mostra sua fora terica antes de ser utilizado na lista de exerccios propostos ao final. 2.2 - A Seqncia dos Nmeros Naturais: Os nmeros naturais constituem um modelo matemtico, uma escala padro, que nos permite a operao de contagem. A seqncia desses nmeros uma livre e antiga criao do esprito humano. Comparar conjuntos de objetos com essa escala abstrata ideal o processo que torna mais precisa a noo de quantidade; esse processo (a contagem) pressupe, portanto o conhecimento da seqncia numrica. Sabemos que os nmeros naturais so 1, 2, 3, 4, 5, A totalidade desses nmeros constitui um conjunto, que indicaremos com o smbolo N e que chamaremos de conjunto dos naturais. Portanto N = {1, 2, 3, 4, 5,}. Evidentemente, o que acabamos de dizer s faz sentido quando j se sabe o que um nmero natural. Faamos de conta que esse conceito nos desconhecido e procuremos investigar o que h de essencial na seqncia 1, 2, 3, 4, 5 . Deve-se a Giussepe Peano (1858 - 1932) a constatao de que se pode elaborar toda a teoria dos nmeros naturais a partir de quatro fatos bsicos, conhecidos atualmente como os axiomas de Peano. Noutras palavras, o conjunto N dos nmeros naturais possui quatro propriedades fundamentais, das quais resultam, como conseqncias lgicas, todas as afirmaes verdadeiras que se podem fazer sobre esses nmeros. 2.3 - Elemento Mnimo: Definio 1.1 - Seja A um conjunto de inteiros. Chama-se elemento mnimo de A um elemento a A tal que a x para todo x A. Notao: a = min A. x).

min A = a se, e somente se, (a A e ( x A) a

Teorema: Se a elemento mnimo de A, ento este elemento nico. 2.4 - Princpio da Boa Ordenao (PBO). Todo conjunto no vazio A, de inteiros no negativos, possui elemento mnimo. A Z+, A , existe min A.

2.5 - Induo Matemtica: Teorema: Seja P(n) uma proposio associada a cada inteiro positivo n e que satisfaz s duas seguintes condies: 1) P(1) verdadeira. 2) Para todo inteiro k, se P(k) verdadeira, ento P(k + 1) tambm verdadeira. Nestas condies, a proposio P(n) verdadeira para todo inteiro positivo n. 2.6 - Princpio da Induo Finita (PIF). Teorema: Seja S um subconjunto do conjunto N dos inteiros positivos (S seguintes propriedades: 1) 1 pertence a S (1 S). 2) Para todo inteiro positivo k, se k S, ento (k + 1) S; N) que satisfaz as duas

3) Nestas condies, S o conjunto N dos inteiros positivos: S = N. 2.7 - Outra Forma da Induo Matemtica: Teorema: Seja r um nmero inteiro positivo fixo e seja P(n) uma proposio associada a cada inteiro n r e que satisfaa s duas seguintes condies:

1) P(r) verdadeira. 2) Para todo inteiro k r, se P(k) verdadeiro, ento P(k + 1) verdadeiro; r.

3) Nestas condies, P(n) verdadeira para todo inteiro n Questes Resolvidas

01) Demonstrar por "induo matemtica", as questes abaixo: n(n 1)(2n 1) 1) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n N. 6 1.2.3 Soluo: P(1) verdadeira, pois 12 = . Suponhamos que para P(k) verdadeira: 6 k(k 1)(2k 1) 12 + 22 + 32 + ... + k2 = . Somando (k + 1)2 a ambos os membros: 6 k(k 1)(2k 1) 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (1 + k)2 = + (k + 1)2 6 k (k 1)(2k 1) 6(k 1) 2 = 6 (k 1) k(2k 1) 6(k 1) = 6 2 (k 1)(2k k 6k 6) = 6 (k 1)(k 2)(2k 3) = Logo P(k + 1) verdadeira. 6

2) 13 + 23 + 33 + ... + n3 =

n 2 (n 1) 2 4

n

N.

Soluo: P(1) verdadeira, pois 13 = 13 + 23 + 33 + ... + k3 =

12 (1 1) 2 . Suponhamos que para P(k) verdadeira: 4

k 2 (k 1) 2 Somando (k + 1)3 a ambos os membros 4 k 2 (k 1) 2 3 3 3 3 3 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = + (k + 1)3 4 2 k (k 1) 2 4(k 1) 3 = 4 2 2 (k 1) k 4(k 1) = 4 2 2 (k 1) (k 4k 4) = 4 2 (k 1) (k 2) 2 = Logo P(k + 1) verdadeira. 4 n (4n 2 1) 3) 1 + 3 + 5 + ... + (2n 1) = n N. 3 1( 4.12 1) Soluo: P(1) verdadeira, pois 12 = Suponhamos que para P(k) verdadeira: 3 k (4k 2 1) 12 + 32 + 52 + ... + (2k 1)2 = Somando (2k + 1)2 a ambos os membros 3 k (4k 2 1) 12 + 32 + 52 + ... + (2k 1)2 + (2k + 1)2 = + (2k + 1)2 3 k (2k 1)(2k 1) 3(2k 1) 2 = 3 (2k 1) k (2k 1) 3(2k 1) = 3 2 (2k 1)(2k 5k 3) = 3 (2k 1)(k 1)(2k 3) = 3 (k 1)(2k 1)(2k 3) = Logo P(k + 1) verdadeira. 32 2 2 2

4) 13 + 33 + 53 + ... + (2n 1)3 = n2(2n2 1) Soluo: P(1) verdadeira, pois 13 = 12(2.12 1). Suponhamos que para P(k) verdadeira: 13 + 33 + 53 + ... + (2k 1)3 = k2(2k2 1). Somando (2k + 1)3 a ambos os membros 13 + 33 + 53 + ... + (2k 1)3 + (2k + 1)3 = k2(2k2 1) + (2k + 1)3 = 2k4 k2 + 8k3 + 12k2 + 6k + 1 = 2k4 + 8k3 + 11k2 + 6k + 1 = (k + 1)(2k3 + 6k2 + 5k + 1) = (k + 1)(k + 1)(2k2 + 4k + 1) = (k + 1)2(2(k + 1)2 1) Logo P(k + 1) verdadeira.

n(n 1)(n 2) . 3 Soluo: P(1) verdadeira, pois 1(1 + 1)= 1(1 + 1)(1 + 2)/35) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = Suponhamos que para P(k) verdadeira: 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) = Somando (k + 1)(k + 2) a ambos os membros: 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) =

k(k 1)(k 2) 3

k(k 1)(k 2) + (k + 1)(k + 2) 3 k (k 1)(k 2) 3(k 1)(k 2) = 3 (k 1)(k 2)(k 3) = Logo P(k + 1) verdadeira. 3

a (q n 1 1) 6) a + aq + aq + ... + aq = ,q q 12 n

1.

Soluo: P(1) verdadeira, pois a + aq = a + aq + aq2 + ... + aqk =

a (q 1 1 1) Suponhamos que para P(k) verdadeira. q 1

a (q k 1 1) Somando aqk+1 a ambos os membros q 1 a (q k 1 1) a + aq + aq2 + ... + aqk + aqk+1 = + aqk+1 q 1 a (q k 1 1) aq k 1 (q 1) = q 1 k 1 aq 1 q k 1 (q 1) = q 1 k 1 a (q 1 qk 2 qk 1) = q 1 k 2 a (q 1) = Logo P(k + 1) verdadeira. q 102) Demonstrar por induo matemtica: 1) 2n < 2n+1 n N. Soluo: P(1) verdadeira, pois 21 < 21+1. Suponhamos que para P(k) verdadeira: 2k < 2k+1 Multiplicando por 2 ambos os membros 2.2k < 2.2k+1 ou 2k+1 < 2k+2 logo, P(k + 1) verdadeira. 2) n ! > n2 n 4. Soluo: P(4) verdadeira, pois 4! > 42 ou 24 > 16. Suponhamos que para P(k) verdadeira: k! > k2 Multiplicando por k + 1 ambos os membros k!(k + 1) > k2(k + 1) ou (k + 1)! > k3 + k2 como k3 > k2 e k2 > 2k + 1 temos (k + 1)! > k2 + 2k + 1 ou (k + 1)! > (k + 1)2 Logo P(k + 1) verdadeira. 3) 2n > n2 n 5. Soluo: P(5) verdadeira, pois 25 > 52. Suponhamos que para P(k) verdadeira: 2k > k2 Multiplicando por 2 ambos os membros 2.2k > 2.k2 ou 2k+1 > k2 + k2 > k2 + 2k + 1 (pois k2 > 2k + 1) ou 2k+1 > (k + 1)2. Logo P(k + 1) verdadeira.

4) 24 | (52n 1) n N. Soluo: P(1) verdadeira, pois 24 | (52.1 1) Suponhamos que para P(k) verdadeira, 24 | (52k 1). Logo 52k 1 = 24t ou 52k = 24t + 1 Multiplicando ambos os membros por 52.52.52k = 52 (24t + 1) = 52.24t + 25 = 52.24t + 24 + 1 52k+2 = 24(25t + 1) + 1 ou 52(k+1) 1 = 24q onde q = 24t + 1 ou 24 | (52(k+1)1). 5) 5 | (8n 3n) n N. Soluo: P(1) verdadeira, pois 5 | (81 31) Suponhamos que para P(k) verdadeira 5 | (8k 3k) Logo 8k 3k = 5t, onde t um nmero inteiro. Vamos mostrar que P(k + 1) verdadeira: 8k+1 3k+1 = 8.8k 3.3k = 8.8k (8.3k 5.3k) = 8.8k 8.3k + 5.3k = 8(8k 3k) + 5.3k = 8.5t + 5.3k = 5(8t + 3k) fazendo 8t + 3k = q = 5q Logo 5 | (8k+1 3k+1). 6) 4n > n4 n 5. Soluo: P(5) verdadeira, pois 45 > 54 Suponhamos que para P(k) verdadeira, k > 5 4k > k4 Multiplicando por 4 ambos os membros 4.4k > 4k4 ou 4k+1 > k4 + 3k4 Vamos usar a desigualdade n4 > 4n3 + 6n2 + 4n + 1 4k+1 > k4 + 3k4 > k4 + 4k3 + 6k2 + 4k + 1 ou 4k+1 > (k + 1)4 Logo P(k + 1) verdadeira 7) Demonstrar que 10n + 1 9n 10 um mltiplo de 81 para todo inteiro positivo n. Soluo: P(1) verdadeira, pois 81 | (101+1 9 1 10) ou 81 | 81. Suponhamos que para P(k) verdadeira: 81 | (10k+1 9k 10) Logo 10k+1 9k 10 = 81t Multiplicando ambos os membros por 10. 10.10k+1 10.9k 10.10 = 10.81t 10k+2 9k 81k = 10.81t + 102 10k+2 9k 9 = 10.81t + 102 + 81k 9 10k+2 9(k + 1) 10 = 10.81t + 102 + 81k 9 10 10k+2 9(k + 1) 10 = 10.81t + 81k + 81 10k+2 9(k + 1) 10 = 81(10t + k + 1) 10k+2 9(k + 1) 10 = 81q fazendo 10t + k + 1 = q Logo 81 | [10k+2 9(k + 1) 10 }].n 3 n 5 7n 8) Demonstrar que um inteiro positivo para todo n N. 3 5 15 n 3 n 5 7n 5n 3 3n 5 7 n , Soluo: = isto : 15 | (5n3 + 3n5 + 7n) n N. 3 5 15 15 3 P(1) verdadeira, pois 15 | (5 1 + 3 15 + 7 1) ou 15 | 15. Suponhamos que para P(k) verdadeira: 15 | (5k3 + 3k5 + 7k) ou 5k3 + 3k5 + 7k = 15t. Vamos mostrar que. P(k + 1) verdadeira. Somando a expresso 15k4 + 30k3 + 45k2 + 30k + 15 a ambos os membros da igualdade acima, temos: 5k3 + 3k5 + 7k + 15k4 + 30k3 + 45k2 + 30k + 15 = 15t + 15k4 + 30k3 + 45k2 + 30k + 15. Arranjando os termos convenientemente, temos: 5k3 + 15k2 + 15k + 5 + 3k5 + 15k4 + 30k3 + 30k2 + 15k + 3 + 7k + 7 = 15(t + k4 + 2k3 + 3k2 + 2k + 1). 5(k3 + 3k2 + 3k + 1) + 3(k5 + 5k4 + 10k3 + 10k2 + 5k + 1) + 7(k + 1) = 15(t + k4 + 2k3 +3k2 + 2k + 1). 5(k + 1)3 + 3(k + 1)5 + 7(k + 1) = 15q fazendo t + k4 + 2k3 +3k2 + 2k + 1 = q Assim. 15 | [5(k + 1)3 + 3(k + 1)5 + 7(k + 1)] o que queramos provar.

Questes Propostas 01) Demonstrar por induo matemtica, as questes abaixo: 1 1 1 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n 1) = n2 n . 10) 1 ... 4 9 n2 2)

2

1 , n n

.

1 21

1 1 n 2 2 2

1

1 2n

n ..

11)

2 31

2 2 n 2 3 3

1

1 , n . 3n

3) 1 r r 2 r n

1 rn + 1 , n 1 r

12) 1 2 3 n

n(n 1) , n . 21

4) 2 5 8 (2 3n) 5) 12 22 32 n 2 6) 6 | n(n +1)(n + 2) 7) 2 | (n2 + n) 8)1 1 2

(n 1)(4 + 3n) , n 2

. 13) 20 21 22 2n

2n 1, nn(n 1) 22

. .

n(n 1)(2n + 1) , n . 14) 13 23 33 n 3 6n . 15) 13 23 33 n 3 16) (1 a)n 1 na,n n 1 , n 17) 3 | (22n 1) .18) 3 | (n3 + 2n)

n

n .

n4 , n . 4 n , a , a

1.

1 1 1 2 3 3 4 n (n+1)1 2 1 1 1 1 3 n

n . n .

9) (1 1) 1

n 1, n

02) Usando o principio da "induo matemtica", demonstrar: 1) O nmero de diagonais de um polgono convexo de n lados : d n

n(n 3) . 2

2) A soma das medidas dos ngulos internos de um polgono convexo de n lados : Sn (n 2) 1800 . 3) Se A um conjunto finito com n elementos, ento elementos.(A) , conjunto das partes de A, tem 2n

4) Prove que a soma de uma PG ou razo q de n termos e primeiro termo a1 dado por a1 (q n 1) . Sn q 1 5) Prove que uma P.G. de primeiro termo a1 e razo q o produto (Pn) dos n primeiros termos dado por Pnn a1 q n(n - 1) 2

,

n 1.

6) Prove que numa PA. de primeiro termo a1 e razo r a soma (Sn) dos n primeiros termos dado n(n 1) por Sn na1 r. 2 7) Para r + , e n 0, mostre que r (cos + isen )n

r n (cos n + isen n) , onde i2 = -1.

8) Sendo z um nmero complexo no-nulo e n 0 , mostre que ( z n ) ( z ) n .

9) Prove que numa o termo geral da P. A. dado pela formula a n 10) Prove que (a + b)n

a1 (n 1)r .

Ca Casen cos

0 n n

1 n-1 n n

b

C b , para n1.

n n n

.

11) Seja A

cos sen

. Determine An, para n

12) Para x e n

1, mostre que sen nxB) '

n sen x .A' B' , sobre n conjuntos.

13) Demonstrar a lei de De Morgan (A

UNIDADE III DIVISIBILIDADE 3.1 - Introduo: Sabemos, desde a escola bsica, que quando um nmero inteiro e dividido por um segundo nmero inteiro no nulo, o quociente pode ou no ser um numero inteiro. Esta observao nos leva a seguinte definio. 3.2 - Divisibilidade: Definio 3.2 - Sejam a e b dois inteiros, com a um inteiro q tal que b = aq. Se a divide b tambm se diz que a divisor de b, que b mltiplo de a, que a um fator de b ou que b divisvel por a. Notao: a | b (a 0 divide b e portanto, a notao a | b significa que a 0 no divide b). 0. Diz-se que a divide b se, e somente se, existe

A relao a divide b (a | b) denomina-se relao de divisibilidade em . Observao: Se a | b, ento a | b. Teorema 3.1: Quaisquer que sejam os inteiros a, b e c tem-se: (1) a | 0, a 0, 1 | a e a | a, a 0. (2) Se a | 1, ento a = 1.

(3) Se a | b e se c | d, ento ac | bd. (4) Se a | b e se b | c, ento a | c. (5) Se a | b e se b | a, ento a = (6) Se a | b com b 0, ento | a | b. | b |.

(7) Se a | b e se a | c, ento a |(bx + cy) para todos x e y em . 3.3 - Conjunto de divisores de um inteiro: D(a) = {x *| x | a}. 3.4 - Divisores comuns de dois inteiros: Definio 3.3: Chama-se divisor comum de dois inteiros a e b todo inteiro d Notao: D(a, b) = {x 0 tal que d | a e d | b.

* | x | a e x | b}D(b).

Propriedade; D(a, b) = D(a) Obs.: D(a, b)

; D(0, 0) = *.

3.5 - Algoritmo da Diviso: Teorema 3.2: Se a e b so dois inteiros, com b > 0, ento existem e so nicos os inteiros q e r que satisfazem s condies: a = bq + r e 0 r < b. 0, existem e so nicos os inteiros q e r que

Corolrio 3.2: Se a e b so dois inteiros com b satisfazem s condies: a = bq + r, 0 r < | b |.

3.6 - Paridade de um Inteiro: Na diviso de um inteiro qualquer a por b = 2 os possveis restos so r = 1 e r = 0. Se r = 0 ento, o inteiro a = 2q denominado par; e se r = 1, ento o inteiro a = 2q + 1 denominado mpar. Questes Resolvidas 01) Mostrar que, se a um inteiro qualquer, ento um dos inteiros a, a + 2, a + 4 divisvel por 3. Soluo: Quando dividimos um inteiro a qualquer por 3 , os restos so 0, 1 ou 2. Assim a = 3q ou a = 3q + 1 ou a = 3q + 2. Se a = 3q, ento 3 | a Se a = 3q + 1, a + 2 = 3q + 1 + 2 ou a + 2 = 3(q + 1) ento 3 | (a + 2). Se a = 3q + 2, a + 4 = 3q + 2 + 4 ou a + 4 = 3(q + 2) ento 3 | (a + 4). 02) Sendo a um inteiro qualquer, mostrar: a) 2 | a(a + 1). Soluo: Como a e a + 1 so inteiros consecutivos, ento um dos dois par, sendo o outro mpar; ento a(a + 1) = 2k1(2k2 + 1) onde 2k1 representa o nmero par e 2k2 + 1 representa o nmero mpar. Assim 2 | a(a + 1). 03) 3 | a(a + 1)(a + 2). Soluo: Dividindo a por 3, temos trs hipteses. a = 3q ou a = 3q + 1 ou a = 3q + 2 Se a = 3q ento 3 | a e por conseguinte 3 | a(a + 1)(a + 2) Se a = 3q + 1 ento a + 2 = 3q + 1 + 2 ou a + 2 = 3(q + 1); logo 3 | (a + 2) e por conseguinte 3 | a(a +1)(a + 2) Se a = 3q + 2 ento a + 1 = 3q + 2 + 1 ou a + 1 = 3(q + 1); logo 3 | (a + 1) e por conseguinte 3 | a(a + 1)(a + 2) 04) Mostrar que todo inteiro mpar da forma 4k + 1 ou 4k + 3. Soluo: Quando dividimos um inteiro por 4 os restos possveis so: 0, 1, 2 ou 3. Se o nmero for mpar, os restos s podero ser 1 ou 3 e, assim, n = 4k + 1 ou n = 4k + 3 onde n o nmero mpar. 05) Mostrar que o quadrado de um inteiro qualquer da forma 3k ou 3k + 1. Soluo: Dividindo um inteiro por trs, obtemos os restos 0, 1 ou 2. Sendo assim podemos escrever: a = 3k1, a = 3k1 + 1 ou a = 3k1 + 2, onde a um inteiro qualquer Se a = 3k1, a2 = 9 k12 ou a2 = 3(3k12). Fazendo 3k12 = k, temos a = 3k Se a= 3k1 + 1, a2 = 9k12 + 6k1 + 1 ou a2 = 3(3k12 +2k1) + 1. Fazendo 3k12 +2k1 = k temos a2 = 3k + 1 Se a = 3k1 + 2, a2 = 9k12 + 12k1 + 4 ou a2 = 9k12 + 12k1 + 3 + 1; assim a2 = 3(3k12 +4k1 + 1) + 1. Fazendo 3k12 +4k1 + 1 = k temos a2 = 3k + 1.

06) Mostrar que

n( n 1)(2 n 1) um inteiro qualquer que seja o inteiro positivo n. 6

Soluo: Devemos provar que n(n + 1)(2n + 1) mltiplo de 6. Como n e n + 1 so inteiros consecutivos, ento um dos dois par, logo mltiplo de 2. Vamos mostrar que um dos nmeros n, n + 1, 2n + 1 mltiplo de 3. Se n no for mltiplo de 3, ento n = 3q + 1 ou n = 3q + 2. Se n = 3q + 1, 2n + 1 = 6q + 2 + 1 ou 2n + 1 = 3(2q + 1). Logo 2n + 1 mltiplo de 3. Se n = 3q + 2, n + 1 = 3q + 2 + 1 ou n + 1 = 3(q + 1). Logo n + 1 mltiplo de 3. Ento podemos concluir que um dos trs nmeros n, n + 1, 2n + 1 mltiplo de 3. Podemos, ento, escrever: n(n + 1)(2n + 1) = 2t13t2t3, substituindo o fator mltiplo de 2 por 2t1 e o fator mltiplo de 3 por 3t2, sendo t3 outro inteiro qualquer. Conclumos que n(n + 1)(2n + 1) = 6t1t2t3 mltiplo de 6, como queramos demonstrar. Demonstrar: 07) Se a um inteiro mpar, ento 24 | a(a2 1). Soluo: a(a2 1) = a(a 1)(a + 1). Como a mpar, a = 2t + 1, a 1 = 2t e a + 1 = 2t + 2. Ento a(a2 1) = (2t + 1)2t(2t + 2) ou a(a2 1) = (2t + 1) 2t2(t + 1) ou a(a2 1) = 4t(t + 1)(2t + 1).t(t + 1)(2t + 1) mltiplo de 6. Portanto a(a2 1) = 4.6 k ou a(a2 1) = 24 k; conclumos que 24 | a(a2 1). 08) Se a e b so inteiros mpares, ento 8 | (a2 b2). Soluo: a2 b2 = (a - b)(a + b). Como a e b so mpares a = 2q + 1 e b = 2k + 1. Onde q e k so inteiros quaisquer. Ento: a2 b2 = 2q + 1 (2k + 1) (2q + 1 + 2k + 1) a2 b2 = (2q 2k)(2q + 2k + 2) ou a2 b2 = 2(q k)2(q + k + 1) ou a2 b2 = 4(q k)(q + k + 1). Quaisquer que sejam as paridades de q e k, q k e q + k tem a mesma paridade: deste modo q - k e q + k + 1 tm paridades diferentes, isto , um par e o outro mpar. Assim (q k)(q + k + 1) = 2t(2t + 1). Substituindo na expresso acima, obtemos: a2 b2 = 4.2t(2t + 1) ou a2 b2 = 8t(2t + 1) e logo 8 | (a2 b2 ). 09) Mostrar que a diferena entre os cubos de dois inteiros consecutivos nunca divisvel por 2. Soluo: Sejam os inteiros consecutivos n e n + 1. Achemos a diferena entre os cubos destes nmeros: (n + 1)3 n3 = n3 + 3n2 + 3n + 1 n3 = 3n2 + 3n + 1 = 3n(n + 1) + 1. Como n e n + 1 so consecutivos, um dos dois par e, portanto, o produto 3n(n + 1) tambm par e 3n(n + 1) + 1 mpar. Logo no divisvel por 2.

10) Na diviso do inteiro a = 427 por um inteiro positivo b o quociente 12 e o resto r. Achar o divisor b e o resto r. Soluo:: De acordo com o algoritmo da diviso 427 = 12b + r, 0 b o divisor , 12 o quociente e r o resto. Desta igualdade tiramos: 427 12b = r e da 0 12b 427 12b < b. Somando 12b aos trs membros da desigualdade, obtemos: 427, tiramos b 35, 5 ou b 35.r b ; onde 427 o dividendo,

427 < 13b. Da desigualdade 12b

Da desigualdade 427 < 13b tiramos b > 32,8 ou b intervalo 33,35 ou 33, 34 e 35.

33. Assim os valores para b so os inteiros no

Para b = 33, r = 427 12 x 33 = 31. Para b = 34, r = 427 12 x 34 = 19. Para b = 35, r = 427 12 x 35 = 7. 11) Achar um inteiro de quatro algarismos, quadrado perfeito, divisvel por 27 e terminado em 6. Soluo: Se a, b, c ... so fatores primos, os expoentes desses fatores devem ser par. Como 27 = 33, deve-se ter pelo menos mais um 3 como fator. Portanto, o nmero deve ser mltiplo de 27 x 3 ou de 81. Para que o nmero termine em 6, devemos multiplicar 81 por um quadrado (pois 81 j quadrado), terminado em 6, pois 81 termina em 1. Assim, temos as possibilidades 81 x 16 = 1296 e 81 x 36 = 2916. Se o nmero tivesse 6 fatores iguais a 3, ele deveria ser mltiplo de 729. Para que terminasse em 6, deveriamos ter 729 x a, com a terminado em 4. Como os menores quadrados terminados em quatro so 4 e 64, teramo: 729 x 4 = 2916 e 729 x 64 = 46656 que tem 5 algarismos. Para 8 fatores iguais a 3, o nmero deveria ser mltiplo de 6561 = 38. Para que o nmero terminasse em 6, deveriamos ter 6561 x a, com a terminado em 4. Como os menores quadrados terminados em quatro so 4 e 64, teramos 6561 x 4 = 26244 que contm cinco algarismos. Para 10 fatores iguais a 3, teramos 310 > 10000, que ter mais de 4 algarismos. Portanto, os nicos nmeros so 1296 e 2916. 12) Demonstrar que se m e n so inteiros mpares, ento 8 | (m4 + n4 2). Soluo: se m e n so mpares, podemos escrever: m = 2k + 1 e n = 2k + 1. Temos ento: m4 + n4 - 2 = (2k + 1)4 + (2k + 1)4 2 = [(2k)4 + 4(2k)3 + 6(2k)2 + 4(2k) + 1] + [(2k)4 + 4(2k')3 + 6(2k)2 + 4(2k)+1] 2 = 16(k4 + k4) + 32(k3 k3) + 24(k2 + k2) + 8(k + k) + 2 2 = 8[2(k4 + k4) + 4(k3 k3) + 3(k2 + k2) + (k + k)]. Como 2(k4 + k4) + 4(k3 k3) + 3(k2 + k2) + (k + k)]. um inteiro (multiplicao e adio de inteiros), podemos escrever: m4 + n4 - 2 = 8q, q inteiro 8 | (m4 + n4 2).

Questes Propostas 01) Mostrar que, se a | b, ento (-a) | b e a | (-b) e (-a) | (-b). 02) Sejam a, b e c inteiros. Mostrar: a) se a | b, ento a | bc. b) Se a | b e se a | c, ento a2 | bc. c) a | b se, e somente se, ac | bc, (c 0).

03) Mostrar que um inteiro qualquer da forma 6k + 5 tambm da forma 3k + 2. 04) Mostrar que o cubo de um inteiro qualquer de uma das formas: 9k, 9k + 1 e 9k + 8. 05) Mostrar que, se a | (2x 3y) e se a | (4x 5y), ento a | y. 06) Determinar os inteiros positivos que divididos por 17 deixam um resto igual ao quadrado do quociente. R: 18, 38, 60 e 84. 07) Na diviso do inteiro 525 por um inteiro positivo o resto 27. Achar os inteiros que podem ser o divisor e o quociente. R: b = 498 e q = 1; b = 249 e q = 2; b = 166 e q = 3 e b = 83 e q = 6. 08) Na diviso de dois inteiros positivos o quociente 16 e o resto o maior possvel. Achar os dois inteiros, sabendo que a sua soma 341. R: a = 322, b = 19. 09) Achar os inteiros positivos menores que 150 e que divididos por 39 deixam um resto igual ao quociente. R: q = 1, 2, 3 e a = 40, 80, 120. 10) Seja d um divisor de n (d | n). Mostrar que cd | n se, e somente se, c |

n . d

11) Mostrar que para todo inteiro n, existem inteiros k e r tais que n = 3k + r e r = 1, 0, 1. 12) Mostrar que todo inteiro mpar, quadrado perfeito, da forma 4n + 1. 13) Na diviso de 392 por 45, determinar: a) o maior inteiro que se pode somar ao dividendo sem alterar o quociente. R: 12. b) o maior inteiro que se pode subtrair do dividendo sem alterar o quociente. R: 32. 14) Numa diviso de dois inteiros, o quociente 16 e o resto 167. Determinar o maior inteiro que se pode somar ao dividendo e ao divisor sem alterar o quociente. R: 11. 15) Achar o maior inteiro de quatro algarismos divisvel por 13 e o menor inteiro de cinco algarismos divisvel por 15. R: maior 9997 e o menor 10.005.

UNIDADE IV MXIMO DIVISOR COMUM - M. D. C 4.1 - Introduo: Fazem parte do ensino fundamental, entre outras, as noes de Mximo Divisor Comum (MDC), Mnimo Mltiplo Comum (MMC), Nmeros primos e Fatorao, que compem uma parcela significativa da Teoria Elementar dos Nmeros. No caso especfico M.D.C, pretendemos mostrar a relevncia destes atravs da abordagem de exerccios para o aprofundamento terico e aps o estudo do M.M.C veremos aplicaes de forma contextualizada. 4.2 - Mximo Divisor Comum: Definio 4.1 - Dados dois ou mais nmeros inteiros no nulos denominamos mximo divisor comum destes nmeros ao maior nmero inteiro que divisor simultaneamente de todos os nmeros dados. O mdc o maior elemento da interseco dos conjuntos dos divisores positivos dos nmeros dados. Definio 4.2 - Sejam a e b dois inteiros no conjuntamente nulos (a 0 ou b 0). Chama-se

mximo divisor comum de a e b o inteiro positivo d (d > 0) que satisfaz s condies: 1) d | a e d | b. 2) Se c | a e c | b, ento c Notao: d = mdc(a, b). 4.3 - Existncia e Unicidade do MDC: Teorema 4.1 - Se a e b so inteiros no conjuntamente nulos (a 0 ou b 0), ento existe e nico d.

o mdc(a,b); alm disso, existem inteiros x e y tais que mdc(a, b) = ax + by, isto , o mdc(a, b) uma combinao linear de a e b. Teorema 4.2 - Se a e b so dois inteiros no conjuntamente nulos (a de todos os mltiplos do mdc(a, b) = d T = {ax + by | x,y 4.4 - Inteiros Primos entre si: Definio 4.3 - Sejam a e b dois inteiros no conjuntamente nulos (a so primos entre si se, e somente se, o mdc(a, b) = 1. Teorema 4.3 - Dois inteiros a e b, no conjuntamente nulos (a e somente se, existe inteiros x e y tais que ax + by = 1. Corolrio 4.1 - Se o mdc(a, b) = d, ento mdca b , d d

0 ou b

0), ento o conjunto

Z}.

0 ou b

0). Diz-se que a e b

0 ou b

0), so primos entre si se,

= 1.

Corolrio 4.2 - Se a | b e se mdc(b, c) = 1, ento o mdc(a, c) = 1. Corolrio 4.3 - Se a | c, se b | c e se mdc(a, b) = 1, ento ab | c. Corolrio 4.4 - Se mdc(a, b) = 1 = mdc(a, c), ento o mdc(a, bc) = 1.

Corolrio 4.5 - Se mdc(a, bc) = 1, ento mdc(a, b) = 1 = mdc(a, c). Teorema 4.4 - (de Euclides) Se a | bc e se o mdc(a, b) = 1 ento a | c. 4.5 - Caracterizao do MDC de dois Inteiros: Teorema 4.5 - Sejam a e b dois inteiros no conjuntamente nulos (a positivo d (d > 0) o mdc(a, b) se, e somente se, satisfaz s condies: 1) d | a e d | b. 2) Se c | a e c | b, ento c | d. 4.6 - Caracterizao do MDC de dois Inteiros: O conceito de mximo divisor comum, definido para dois inteiros a e b, estende-se de maneira natural a mais de dois inteiros. No caso de trs inteiros a, b e c, no todos nulos, o mdc (a, b, c) o inteiro positivo d (d > 0) que, satisfaz s condies: 1) d | a, d | b e d | c. 2) Se e | a, se e | b e se e | b, ento e 4.7 - MDC de Vrios Inteiros: Teorema 4.6 - O mdc(a,b,c) = mdc(mdc(a,b), c). Questes Resolvidas 01) Determinar: (a) mdc(11, 99). Soluo: 99: 11 = 9, resto zero mdc(11,99) = 11 R: 11. (b) mdc(-21, 14). Soluo: mdc(-21, 14) = mdc(21, 14) 21: 14 = 1 resto 7. 14:7 = 2, resto zero mdc(-21, 14) = 7 R: 7. (c) mdc(17, 18). Soluo: 18: 17 = 1, resto 1 17: 1 = 17 resto 0 mdc(17, 18) = 1. R: 1. 02) Achar o menor inteiro positivo c da forma c = 22x + 55y onde x e y so dois inteiros. Soluo: Como o menor inteiro da forma 22x + 55y o mdc(22, 55) ento c = 11. 03) Calcular mdc(n, n + 2), sendo n um inteiro par. d. 0 ou b 0). Um inteiro

Soluo: Seja d = mdc(n, n+2). Ento d | n e d | (n+2). Como d | n e d | (n+2), ento, d | 2 e portanto, d = 1 ou d = 2 e como n par a resposta ser d = 2 (o maior dos divisores). 04) Calcular mdc(n, n + 2), sendo n um inteiro mpar. Soluo: Seja d = mdc(n, n+2). Ento, usando o mesmo raciocnio anterior, d = 1 ou d = 2. Mas como n mpar, conclumos que d = 1. 05) Sendo n um inteiro qualquer, calcular o mdc(n, n + 1) Soluo: Seja d = mdc(n, n+1). Ento d | n e d | (n+1). Como d | n e d | (n+1), ento d | 1. Logo d = 1. Sejam a, b e c inteiros. Demonstrar: 06) Existem inteiros x e y tais que c = ax + by se, e somente se, mdc(a, b) | c. Soluo: Demonstraremos primeiramente, a ida: Seja d = mdc(a, b). Ento d | a e d | b e logo d | (ax + by) quaisquer que sejam os inteiros x e y. Portanto d | c, desde que c = ax + by por hiptese. Soluo: Demonstraremos agora a volta: Seja d = mdc(a, b). Como d | c, temos c = dq. Sendo d o mdc(a, b) existem inteiros x e y tais que d = ax + by. Substituindo este valor na igualdade c = dq obtemos: c = (ax + by )q. Da tiramos valor c = a(xq) + b(yq). Fazendo xq = x e yq = y temos c = ax + by. 07) Se existem inteiros x e y tais que ax + by = mdc(a, b), ento o mdc(x, y) = 1 Soluo: Seja d = mdc(a, b). Ento existem inteiros x e y tais que d = ax + by, onde d | a e d |b. Dividindo ambos os membros por d ( d > 0), obtemos:a x d b y = 1 Como d | a e d | b as d

expresses entre parntesis so inteiras, que representaremos por k1 e k2 obtendo assim: xk1 + yk2 = 1, donde conclumos que mdc(x, y) = 1. Determinar inteiros positivos a e b sabendo: 08) a + b = 63 e o mdc(a, b) = 9. Soluo: Se 9 = mdc(a, b), temos que 9 | a e 9 | b ou a = 9q1 e b = 9q2. Substituindo estes valores na igualdade a + b = 63 temos: 9q1 + 9q2 = 63; da, dividindo por 9 obtemos: q1 + q2 = 7. Como q1 e q2 so primos entre si, devemos procurar inteiros positivos primos entre si que somem 7. Temos os seguintes valores: q1 = 1 e q2 = 6; q1 = 2 e q2 = 5 e q1 = 3 e q2 = 4. Assim obtemos para a e b os seguintes valores: a = 9 e b = 54; a = 18 e b = 45 e a = 27 e b = 36. 09) ab = 756 e o mdc(a, b) = 6.

Soluo: Se 6 = mdc(a, b) temos que 6 | a e 6 | b ou a = 6q1 e b = 6q2. Substituindo na igualdade a b = 756, temos 6q16q2 = 756. Da obtemos que q1q2 = 21. Do mesmo modo, como q1 e q2 so primos entre si, devemos encontrar inteiros positivos cujo produto d 21. Os valores so: q1 = 1 e q2 = 21 e q1 = 3 e q2 = 7. Destes valores tiramos os valores de a e b: a = 6 e b = 126 e a = 18 e b = 42. 10) Demonstrar que, se n = abc + 1, ento o mdc (n, a) = mdc(n, b) = mdc(n, c) = 1. Soluo: Provemos que mdc(n, a) = 1. O mesmo pode ser feito para b e c. Seja d = mdc(n, a). Ento d | n e d | a. Podemos dizer, portanto, que d | abc, mltiplo de a. Como d | n e d | abc, ento d | 1, pois n abc = 1. Logo d = 1. 11) O mdc(a, 4) = 2 = mdc(b, 4). Demonstrar que o mdc(a + b, 4) = 4. Soluo: Temos mdc(a, 4) = 2 e mdc(b, 4) = 2. Conclumos que a e b so nmeros pares e no so mltiplos de 4 , pois se o fossem, 2 no seria o mdc entre eles. Logo o resto da diviso de a e b por 4 2. Assim a = 4q1 + 2 e b = 4q2 + 2. Somando membro a membro estas desigualdades, temos a + b = 4q1 + 2 + 4q2 + 2 ou a + b = 4 (q1 + q2 + 1). Logo, 4 | (a + b) e por conseguinte mdc(a + b, 4) = 4. 12) Sendo a e b dois inteiros no conjuntamente nulos (a mdc(a, b) = mdc(-a, b) = mdc(a, -b) = mdc(-a, -b). Soluo: Se c | a ento a = qc. Temos que - a = (-q)c c | (-a) todo divisor de a divisor de (-a) maior divisor de a tambm o maior divisor de a. O mesmo ocorre com b e b. Portanto, podemos concluir que o maior divisor comum de (a e b), tambm de (a e b), de (a e b) e o de (a, -b). Assim, mdc(a, b) = mdc(-a, b) = mdc(a, -b) = mdc(-a, -b). 13) Demonstrar que mdc(mdc(a, b), b) = mdc(a, b). Soluo: A definio do mdc de trs nmeros mdc(a, b, c) = mdc(mdc(a, b), c), quaisquer que sejam a, b e c. Fazendo c = b, temos mdc(mdc(a, b), b) = mdc(a, b, b) = mdc(a, mdc(b, b)) = mdc(a, b) pois mdc(b, b) = b. 14) Demonstrar que o mdc(n + k, k) = 1 se e somente se o mdc(n, k) = 1. Soluo: Se mdc(n + k, k) = 1, ento existem os inteiros x e y, tais que (n + k)x+ ky = 1 nx + k(a + b) = 1 (n, k) = 1. Por outro lado, se mdc(n, k) = 1, ento existem a e b tais que na + kb = 1. Fazendo a = x e b = x + y, teremos nx + k(x + y) = 1 (n + k)x + ky = 1 mdc(n + k), k) = 1. 15) Calcular o mdc(a + b, a b) sabendo que a e b so inteiros primos entre si. Soluo: Se a e b so primos entre si, no podem ser ambos pares, pois o mdc seria 2 ou mltiplo de 2. Portanto, a e b so ambos mpares ou so de paridades diferentes. 0 ou b 0), mostrar:

(1 caso) a e b com paridades diferentes (a = 2k + 1 b = 2k) Temos ento: a + b = 2k + 1 + 2k = 2(k + k) + 1 = 2n + 1 a + b mpar. a b = 2k + 1 2k = 2(k k) + 1 = 2m + 1 a b mpar. Portanto, o mdc(a + b, a b) um nmero mpar. Seja ento mdc(a + b, a b) = 2k + 1 existem x e y tais que (a + b)x + (a b)y = 2k + 1 [(a + b)/(2k+1)]x + [(a b)/(2k + 1)]y = 1 (a + b)/(2k + 1) e (a b)/(k + 1) so primos entre si. Fazendo r = (a + b)/(2k + 1) e s = (a b)/(2k + 1), resulta: a + b = r(2k + 1) (i) e a b = s(2k + 1) (ii).Como (a + b), (a b) e (2k + 1) so mpares, r e s tambm so mpares. Alm disso r e s mpares, r + s e r s so pares. Somando membro a membro as igualdades (i) e (ii), resulta: (1) 2a = (2k + 1)(r + s) a = (2k + 1)[(r + s)/2] pois s + r par (inteiro), portanto 2 | (r + s). Assim, existe o inteiro (r + s)/2, tal que a = (2k + 1)[(r + s)/2) 2k + 1 | a. Subtraindo membro a membro as igualdades (i) e (ii), (2) 2b = (2k + 1)(r s) b = (2k + 1)[(r s)/2]. (r s) par. Portanto, (r s)/2 inteiro. Assim, existe o inteiro (r s)/2, tal que b = (2k + 1)[(r s)/2] 2k + 1 | b. Ora, a e b so primos entre si. Portanto, o nico divisor comum 2k + 1. Disto permite-se escrever 2k + 1 = 1 1 = mdc(a + b, a b). (2 caso) a e b so mpares a = 2k + 1 e b = 2k + 1. Temos, ento: (a + b) = 2k + 1 + 2k + 1 (a + b) = 2(k + k + 1) (a b) = 2k + 1 2k 1 = 2(k k) Das igualdades acima, conclumos que (a + b) e (a b) so pares. Portanto, o mdc da forma 2k. Assim, existem x e y, tais que: (a + b)x + (a b)y = 2k r = (a + b)/2k e s = (a b)/2k so primos entre si. (a + b) = 2kr (i) e (a b) = 2ks (ii). Somando membro a membro, 2a = 2k(r + s) a = k(r + s) k | a. Subtraindo membro a membro, 2b = 2k(r s) b = k(r s) k | b. Como a e b so primos entre si, o nico divisor comum de a e b 1. Portanto, k = 1 e Mdc(a + b, a b) = 2k mdc(a + b, a b) =2.1 = 2. Portanto, se a e b so primos ento mdc(a + b, a b) 1 ou 2. 16) O mdc de dois inteiros positivos 10 e o maior deles 120. Determinar o outro inteiro. Soluo: Seja a o outro nmero. a deve ser um mltiplo de 10 que no divide 120. Como o maior dos nmeros e 120, a deve ser menor que 120. Os mltiplos de 10 que no dividem 120 so: 50, 70, 90 e 110.

17) O mdc(a, b) = p, sendo p um primo. Achar os possveis valores do: ( a ) mdc(a2, b). Soluo: Sejam a = p.a1.a2.a3 ...an, onde p, a1, a2, a3, ... an so os fatores primos de a e b = p.b1.b2.b3...bn, onde p, b1, b2, b3, ...bn so os fatores primos de b. Assim, a2 = p.p.a1.a2.a2.a3a3...an.an que a2 e b so divisveis ao mesmo tempo apenas por p. mdc(a2, b) = p. ( b ) mdc(a3, b) = p, mesma concluso acima. ( c ) mdc(a2, b3) = p2. Pois aparecem 2 fatores iguais a p em a2 e 3 fatores iguais a p em b3. 18) Sejam a e k inteiros no conjuntamente nulos. Demonstrar que mdc(a, a + k) | k. Soluo: Seja m o mdc(a, a + k). Assim, existem os inteiros x e y tais que: a = mx e a + k = my. Subtraindo primeira igualdade da segunda resulta: (a + k) a = my mx k = m(y x). Como x e y so inteiros, y - x inteiro. Portanto, existe o inteiro (y x) tal que k = m(y x) m | k ou mdc(a, a + k) | k. 19) Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3 cm. Quantos quadradinhos de 1cm cabem no quadrado?

R: 9 quadradinhos. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3. R: 3 = 9. 20) De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto , um centmetro cbico, precisaremos para construir um cubo com 3cm de comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura?

R: 27 cubinhos.

Questes Propostas 01)Achar os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} que so primos com 8. R: 1, 3 e 5. 02) Sabendo que o mdc(a, 0) = 13, achar todos os valores do inteiro a. R: 13 03) Sendo n um inteiro qualquer, calcular o mdc(n, n + 1). R: 1. 04) Sendo n um inteiro qualquer, achar os possveis valores do mximo divisor comum dos inteiros n e n + 10. R: 1, 2, 5, 10. 05) Sendo n um inteiro qualquer, calcular o mdc(n 1, n2 + n + 1). R: 1 ou 3. 06) Sejam a, b e c inteiros. Demonstrar: ( a ) se o mdc(a, b) = 1 ento o mdc(ac, b) = mdc(b, c) Portanto, todo divisor de d divisor de ac. ( b ) Se o mdc(a, b) = 1 e se c | (a + b), ento o mdc(a, c) = 1 e o mdc(b, c) = 1. ( c ) se b | c, ento o mdc(a, b) = mdc(a + c, b). ( d ) Se mdc(a, b) = 1, ento mdc(am, bn) = 1, onde m e n so inteiros positivos. 07) Achar o maior inteiro positivo pelo qual se devem dividir os inteiros 160, 198 e 370 para que os restos sejam respectivamente 7, 11 e 13. R: 17. 08) Os restos das divises dos inteiros 4933 e 4435 por um inteiro positivo n so respectivamente 37 e 19. Achar o inteiro n. R: n = 96 ou n = 48. 09) Demonstrar que, se a | bc e se mdc(a, b) = d, ento a | cd. 10) Demonstrar que, se a | c, se b | c e se o mdc(a, b) = d ento ab | cd. 11) Demonstrar que se mdc(a, b) = 1 e se mdc(a,c) = d,ento mdc(a, bc) = d. 12) O inteiro mpar d um divisor de a + b e de a b. Demontrar que d tambm um divisor do mdc(a, b). 13) Os inteiros positivos m e n so tais que o mdc(m, n) = d. Mostrar que o mdc(2m 1, 2n 1) = 2d 1. 14) Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, b, a + b). 15) Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, b, ax + by), quaisquer que seja os inteiros x e y. 16) Demonstrar que se o mdc(a, b) = d ento o mdc(a2, b2) = d2. 17) Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, c) implica mdc(a2, b2) = mdc(a2, c2). 18) Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, c) implica mdc(a, b) = mdc(a, b, c).

19) Demonstrar que mdc(a, b, c) = mdc(mdc(a, b), mdc(a, c). 20) Sejam a e b inteiros positivos tais que ab um quadrado perfeito e o mdc(a, b) = 1. Demonstrar que a e b so quadrados perfeitos. 21) Demonstrar que mdc( a + b, a b) > mdc(a, b). 22) Sejam a, b, c, d (b no um inteiro. 23) Determinar os inteiros positivos a e b, sabendo que a2 b2 = 7344 e mdc(a, b) = 12. R: a = 312 e b = 300, ou a = 120 e b = 84. 24) Dividindo-se dois inteiros positivos pelo seu mdc, a soma dos quocientes 8. Determinar os dois inteiros, sabendo-se que sua soma 384. R: 48 e 336 ou 144 e 240. 25) Trs rolos de arame farpado tm, respectivamente, 168 m, 264m e 312 m. Deseja-se cort-los em partes de comprimentos iguais, de maneira que cada parte seja a maior possvel. Qual o comprimento e o nmero de partes? R: 24 m e 31 partes. 26) Um terreno retangular de 221 m por 117 m ser cercado. Em toda a volta deste cercado sero plantadas rvores igualmente espaadas. Qual o maior espao possvel entre as rvores? R: 13 m. 27) Em uma excurso ao parque do Caraa, em Minas Gerais, viajaram dois nibus um com 42 pessoas e outro com 30. Os guias queriam organizar grupos com o mesmo nmero de pessoas, mas sem misturar as pessoas que vieram nos dias nibus. Eles queriam tambm que esse nmero de pessoas por grupo fosse o maior possvel. Quantos grupos e de pessoas, foram formadas em cada nibus? R: Foram formados 12 grupos de 6 pessoas sendo 7 grupos no 1 nibus e 5 grupos no 2 nibus. 28) Uma tecelagem fabrica peas de tecidos em trs metragens diferentes: 45m, 60m e 105m. Desejando cortar as peas em partes de mesmo comprimento e que esteja e que este seja o maior possvel, qual dever ser o comprimento de cada parte? Em quantas partes cada pea ser cortada? R: Cada parte dever ter 15m de comprimento. A pea 45m ser cortada em 3 partes, a pea de 60m ser cortada em 4 partes e a pea de 105m em 7 partes. 29) De um aeroporto, partem todos os dias, 3 avies que fazem rotas internacionais. O primeiro avio faz a rota de ida e volta em 4 dias, o segundo em 5 dias e o terceiro em 10 dias. Se num certo dia os trs avies partem simultaneamente, depois de quantos dias esses avies partiro novamente no mesmo dia? R: 20 dias. d) inteiros tais que mdc(a, b) = mdc(c, d) = 1. Mostrar que a soma a/b + c/d

UNIDADE V ALGORITMO DE EUCLIDES: MNIMO MLTIMPLO COMUM M.M.C 5.1 - Introduo: Fazem parte do ensino fundamental, entre outras, as noes de Mximo Divisor Comum (MDC), Mnimo Mltiplo Comum (MMC), Nmeros primos e Fatorao, que compem uma parcela significativa da Teoria Elementar dos Nmeros. No caso especfico M.M.C, pretende-se mostrar a relevncia destes atravs da abordagem de temas atuais onde aparecem e sua conexo com outras reas do conhecimento. Com isso, visamos a contextualizao e a interdisciplinaridade, ambas importantes para que o aluno veja a matemtica como uma aliada na vida prtica e sua relao com outras disciplinas. Neste sentido, busca-se que o aluno perceba que os nmeros e a lgebra formam um sistema de cdigos ligados especialmente a diversas aplicaes. Definio 5.1 - Dados dois ou mais nmeros inteiros no nulos denominamos mnimo mltiplo comum destes nmeros dados ao menor nmero inteiro positivo que mltiplo simultaneamente te todos os nmeros dados. O mmc o menor elemento da interseco dos conjuntos dos mltiplos positivos dos nmeros dados. Lema: 5.2 - Se a = bq + r, ento mdc(a, b) = mdc(b, r): 5.3 - Algoritmo de Euclides: Sejam a e b dois inteiros no conjuntamente nulos (a cujo mximo divisor comum se deseja determinar. 1) Se a 2) Se a 0, ento mdc(a,0) = |a|. 0, ento mdc(a,a) = |a|. 0 ou b 0)

3) Se b | a, ento o mdc(a,b) = |b|. 4) Se a no divide b e b no divide a, ento a = bq + r e mdc(a, b) = mdc(b, r). Dispositivo prtico para o clculo do Mximo divisor comum de dois inteiros positivos a e b denominado Algoritmo de Euclides. a r1 q1 b r2 q2 r1 r2 q3 r2 r4

qn rn - 1 0

qn - 1 rn

Teorema 5.1 - Se k > 0, ento o mdc(ka, kb) = k mdc(a, b). Corolrio 5.1 - Para todo k 0, o mdc(ka, kb) = |k| mdc(a, b).

5.4 - Mltiplos Comuns de dois Inteiros: M(a) = {x Z | a | x} = {aq | q Z}.

M(1) = M(1) = Z. Definio 5.2 - Sejam a e b dois inteiros diferentes de zero (a comum de a e b todo inteiro x tal que a | x e b | x. M(a, b) = M(a) 0eb M(b). 0). Chama-se mltiplo

5.5 - Mnimo Mltiplo Comum: Definio 5.3 - Sejam a e b dois inteiros diferentes de zero (a 0eb 0). Chama-se mnimo

mltiplo comum de a e b o inteiro positivo m (m > 0) que satisfaz s condies: 1. a | m e b | m. 2. se a | c e b | c, com c > 0, ento m Notao: m = mmc(a, b). Observao: a) mmc(a, b) ab. b) Se a | b, ento mmc(a, b) = |b|. c.

5.6 - MMC de Vrios inteiros: O conceito de mnimo mltiplo comum, definido para dois inteiros a e b, estende-se de maneira natural a mais de dois inteiros. No caso de trs inteiros a, b e c, diferentes de zero, o m.m.c(a, b, c) o inteiro positivo m(m > 0) que satisfaz s condies: 1) a | m, b | m e c | m. 2) Se a | e, b | e, e se c | e, com e > 0, ento m 5.7 - Relao Entre o MDC e o MMC: Teorema 5.2 - Para todo par de inteiros positivos a e b subsiste a relao mdc(a, b) mmc(a, b) = ab. Corolrio 5.2 - Para todo par de inteiros positivos a e b, o mmc(a, b) = ab se, e somente se mdc(a, b) = 1. 5.7 - Regra Prtica para obteno do MDC e MMC de Vrios inteiros: Podemos determinar o mdc e o mmc de dois ou mais nmeros inteiros positivos procedendo do seguinte modo: 1) Fatoramos os nmeros, decompondo-se em fatores primos positivos; 2) Calculamos o mdc multiplicando os fatores comuns aos nmeros, tomando cada fator uma s vez e com o menor expoente que ele apresenta nas decomposies dos nmeros dados; 3) Calculamos o mmc multiplicando os fatores comuns e os no comuns aos nmeros, tomando cada fator uma s vez e com o maior expoente que ele apresenta nas decomposies dos nmeros dados; Exemplo: Dados as seguintes decomposies de inteiros a = 32.19.712, b = 2.35.19.61 e c = 24.192.71, determine: a) MDC(a, b) = 32.19 b) MMC(a, b) = 24. 35.192.61.712 c) MMC(a, c) = 24. 32.192.712 d) MDC(a, b, c) = 19 e) MDC(b, c) = 2.19 e.

Questes Resolvidas 01) Usando o algoritmo de Euclides, achar os inteiros x e y que verifiquem cada uma das seguintes igualdades: a) mdc(56, 72) = 56x + 72y mdc(56, 72) = 8 8 = 56x + 72y 72 = 56.1 + 16 56 = 16.3 + 8 16 = 8.2 + 0 b) mdc(24, 138) = 24x + 138y 138 = 24.5 + 18 24 = 18.1 + 6 18 = 6.3 + 0 (mdc = 6) Tomando a penltima igualdade; 8 = 56 16.3. Tirando o valor de 16 na primeira igualdade e substituindo na penltima: 8 = 56 (72 56.1).3 8 = 56 + 56.3 72.3 8 = 56.4 + 72(-3). Portanto, x = 4 e y = -3. 6 = 24 18.1 6 = 24 (138 24.5).1 6 = 24 + 24.5 138.1 6 = 24.6 + 138(-1) x = 6 e y = -1

02) Achar inteiros x, y e z que verifiquem as seguintes igualdades: 1) 11x + 19y + 3z = 1 2) 56x + 6y + 32z = 2 3) 6x + 3y + 15z = 9 4) 14x + 7y + 21z = 4 Soluo: 01) Achando o mdc(11, 19) 1 1 2 19 11 8 3 8 3 2 1 Usando o algoritmo da diviso, podemos escrever: 19 = 11 x 1 + 8 11 = 8 x 1 + 3 8=3x2+2 3=2x1+1 2=1x2 Desprezando a ltima igualdade, eliminemos os restos, a partir da penltima igualdade: 1=32 1 = 3 (8 3 x 2) 1=3x38 1 = (11 8) x 3 8 1 = 11 x 3 8 x 4 1 = 11 x 3 (19 11) x 4 1 = 11 x 7 19 x 4 1 2 0 2 1

Achemos agora o mdc(3, 1). Como mdc(3, 1) = 1, vamos escrever este mdc em funo de 3 e 1: 1 = 3 x 1 + 1 x (-2). Agora substituamos o valor de 1, dado na igualdade acima, nesta ltima igualdade: 1 = 3 x 1 + (11 x 7 19 x 4) (2) 1 = 3 x 1 + 11 (14) + 19 x 8 ou 1 = 11 (14) + 19(8) + 3(1). Logo x = 14, y = 8 e z = 1. 02) 56x + 6y + 32z = 2. Achando o mdc(56, 32) 56 24 Usando o algoritmo da diviso, podemos escrever: 56 = 32.1 + 24 32 = 24.1 + 8 24 = 8.3 Desprezando a ltima igualdade e eliminando os restos a partir da penltima: 8 = 32 24 8 = 32 (56 32) 8 = 32.2 + 56(1) (1) Achemos o mdc(8, 6) 1 8 6 2 0 Usando o algoritmo da diviso, podemos escrever: 8=6+2 2 = 8 + 6(1) Agora, substituamos o valor de 8 na expresso (1) 2 = 32(2) + 56(1) + 6(1) 2 = 56(1) + 6(1) + 32(2) .Logo, x = 1, y = 1 e z = 2. 03) 6x + 3y + 15z = 9 Achando o mdc(15, 6) 3 2 1 32 8 1 24 0 3 8

15 3

2 6 0

2 3

Usando o algoritmo da diviso, podemos escrever: 15 = 6.2 + 3 3 = 15(1) + 6(2) (1) Achemos o mdc(3, 3).Como o mdc(3, 3) = 3,vamos escrever 3 como combinao de 3 e 3: 3 = 3(2) + 3(1) Substituamos o valor de 3 encontrado na igualdade (1) nesta ltima igualdade: 3 = 3(2) + [15(1) + 6(2)](1) 3 = 3(2) + 15(1) + 6(2). Como escrever 9 como combinao linear de x, y e z, devemos multiplicar por 3 esta ltima igualdade, obtendo:

9 = 3(6) + 15(3) + 6(6) 9 = 6(6) + 3(6) + 15(3). Logo, x = 6, y = 6 e z = 3 04) 14x + 7y + 21z = 4 Como o mdc(14, 7, 21) = 7 e 7 no divide 4, ento a equao no tem soluo inteira. Calcular: 5) mmc (45, 21). 6) mmc (83, 68). 7) mmc (120, 110). Soluo: 5) Como o mdc(45, 21) = 3, ento, 3.mmc(45, 21) = 45.21. Logo, mmc(45, 21) = 315. 6) Como mdc(83, 68) = 1, ento, 1.MMC(83, 68) = 8.8. Logo, mmc(83, 68) = 5644. 7) Como mdc(120, 110) = 10 , ento, 10.mmc(210, 110) 210.110. Logo, mmc(210, 110) = 1320 08) O mdc de dois inteiros positivos a e b 8 e na sua determinao pelo algoritmo de Euclides os quocientes sucessivamente obtidos foram 2, 1, 1 e 4. Calcular a e b. Resoluo: Temos o seguinte esquema: 4 8 Sabemos que se o mdc 8, o ltimo resto zero e o penltimo 8. Assim, temos: 2 1 1 4 8 8 0 Como 8 o divisor, 4 o quociente e zero o resto, achamos o dividendo desta diviso: 4 x 8 + 0 = 32. Logo o nmero anterior a oito 32. Deste modo 32 ser o outro resto Temos o seguinte esquema: 1 4 32 8 32 8 0 Tendo 32 para divisor, 1 para quociente e 8 para resto, o prximo dividendo ser: 32 x 1 + 8 = 40. De modo semelhante, encontramos os outros nmeros: 184 40 Logo a = 184 e b = 72. 09) Usando o algoritmo de Euclides, determinar: a) mdc(624, 504, 90). Soluo: 2 72 32 1 40 8 1 32 0 4 8 2 1 2 1 1

Pelo processo anterior acha-se o mdc(624, 504) que 24. A seguir acha-se o mdc(24, 90) que 6. R: 6. Determinar os inteiros positivos a e b sabendo: 10) ab = 4032 e o mmc(a, b) = 336. 11) mdc(a, b) = 8 e o mmc(a, b) = 560. Solues: 10) Como mmc(a, b) = 336, temos 336 = a k1 e 336 = b k2 .Multiplicando membro a membro estas duas igualdades, temos: 336 x 336 = a b k1 k2. Substituindo o valor de a b = 4032 nesta ltima igualdade, temos: 112896 = 4032 k1 k2 ou k1 k2 = 28. Assim, como k1 e k2 so primos entre si, devemos procurar dois inteiros primos entre si, cujo produto 28. Encontramos k1 = 1 e k2 = 28, k1 = 4 e k2 = 7. Com estes valores temos a = 336 e b = 12 e a = 84 e b = 48. 11) Temos: mdc(a, b) mmc(a, b) = a b. Ento a b = 8 560. Temos, portanto um problema j resolvido sobre mdc. A resposta ser: a = 8, b = 560; a = 16, b = 280; a = 40, b = 112; a = 56, b = 80. 12) Se a soma de dois nmeros 320 e o mnimo mltiplo comum entre eles 600, quais so esses nmeros? Qual o mximo divisor comum entre eles? Soluo: Se X e Y so os nmeros procurados, eles devem ser divisores de 600, logo devem pertencer ao conjunto D(600): R: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 75, 100, 120, 150, 200, 300, 600}. Pares de nmeros deste conjunto que somam 320, so: 300 e 20 ou 200 e 120. O primeiro par no serve, pois MMC (300, 20) = 300. Os nmeros que servem so X = 200 e Y = 120, pois MMC (200, 120) = 600 e MDC (200, 120) = 40. 13) Se a diferena entre dois nmeros naturais 126 e o mximo divisor comum entre eles 18, quais so esses nmeros? Soluo: Se X e Y so os nmeros procurados, eles devem ser mltiplos de 18 e podem ser escritos na forma X = 18a e Y = 18b onde a e b devem ser determinados. Assim: 18a - 18b = 126, de onde segue que 18(a - b) = 187, o que equivalente a: a - b = 7. Tomando a = 8 e b = 1 teremos X = 144 e Y = 18. 14) Se a soma de dois nmeros naturais 420 e o mximo divisor comum entre eles 60, quais so esses nmeros? Soluo: Sejam X e Y os nmeros procurados. Se MDC(X, Y)=60, os nmeros X e Y devem ser mltiplos de 60, logo podem ser escritos na forma X = 60a e Y = 60b onde a e b so nmeros

inteiros positivos. Assim: 60a + 60b = 420, o que garante que a + b = 7. Devemos escolher nmeros naturais tal que a + b = 7, e assim, temos vrias opes. Se a = 6 e b = 1 ento X =360 e Y = 60 Se a = 4 e b = 3 ento X = 240 e Y = 180 Se a = 2 e b = 5 ento X = 120 e Y = 300 Se a = 5 e b = 2 ento X = 300 e Y = 120 Se a = 3 e b = 4 ento X = 180 e Y = 240 Se a = 1 e b = 6 ento X = 60 e Y = 360

Questes Propostas 01) Usando o algoritmo de Euclides, determinar o mdc (306, 657). 02) Usando o algoritmo de Euclides, determinar: a) mdc(285, 675, 405). R: 5. b) mdc(209, 299, 102). R:- 1. c) mdc(69, 398, 253). R: 23. 03) Usando o algoritmo de Euclides, achar inteiros x e y que verifiquem a seguinte igualdade: mdc(56, 72) = 56x + 72y. 04) Achar inteiros x e y que verifiquem a seguinte igualdade: a) 78x + 32y = 2 b) 104x + 91y = 13 c) 31x + 19y = 7 d) 42x + 26y = 16 e) 238x + 51y = 3 f) 52x + 13y = 1 g) 145x + 58y = 87 h) 17x + 5y = -2

05) Achar inteiros x, y e z que verifiquem a igualdade 198x + 288y + 512z = mdc(198, 288, 512). R: x = -5, y = -217, z = 124. 06) Calcular as solues de todos os itens abaixo podendo ser obtidas a partir da propriedade mdc(a,b).mmc(a, b) = a.b. a) mmc(83, 68) c) mmc(86, 71) e) mmc(1287, 507) g) mmc(306, 657) 07) Determinar a e b se, a + b = 589 e R: a = 57 e b = 532; a = 217 e b = 372. 08) Demonstrar que se a e b so inteiros positivos tais que o mdc(a, b) = mmc(a, b) ento a = b. 09) Sendo a e b inteiros positivos, demonstrar quo o mdc(a, b) sempre divide o mmc(a, b). R: 5644 R: 6106 R: 16731 R: 22338mmc(a , b) mdc(a , b) 84 .

b) mmc( 120, 110) d) mmc(224, 192) f) mmc(143, 227)

R: 1320 R: 1344 R: 32461

10) Quais os dois menores nmeros pelos quais devemos dividir 252 e 234 para que os quocientes obtidos sejam iguais? R: 7 e 9. 11) Quais os nmeros compreendidos entre 100 e 300 divisiveis ao mesmo tempo por 6, 9 e 15? R: 180 e 270. 12) Quais os dois nmeros de trs algarismo divisiveis ao mesmo tempo por 8, 9 e 10? R: 360 e 720. 13) Quais os dois menores nmeros pelos quais devemos multiplicar 30 e 54 para que os produtos obtidos seja iguais? R: 9 e 5. 14) Calcular o nmero que, dividido por 12, 40 e 60 deixa sempre o mesmo resto 5? R: 125. 15) A editora do livro Matemtica recebeu pedidos de trs livrarias sendo que um pedido de 1300 livros, o segundo pedido de 1950 livros e o terceiro pedido de 3900 livros. A editora deseja remeter em n pacotes iguais de tal forma que n seja o menor possvel. Calcule o valor de n. R: 650 livros em cada pacote, num total de 11 pacotes. 16) Trs peas de tecido medem respectivamente, 180m, 252m e 324m. Pretende-se dividir em retalhos de igual comprimento. Qual dever ser esse comprimento de modo que o nmero de retalhos seja o menor possvel? Em quantos pedaos as peas sero dividas? R: O comprimento de 36 m e o nmero de peas sero de 5, 7 e 9 pedaos. 17) Duas rodas dentadas se engrenam uma a outra, a primeira tem 48 dentes e demora 4 segundos em cada volta, a segunda tem 104 dentes. Colocam-se em movimento e se pergunta ao cabo de quanto tempo, se encontram na mesma posio inicial? R: 52 segundos. 18) Dois ciclistas correm sobre uma pista circular, partindo ao mesmo tempo de uma mesma linha. O primeiro realiza uma volta completa, em 30 minutos e o segundo em 36 minutos. Quantas voltas devero dar cada um, para que tornem a encontrar-se, sobre a linha de partida? R: 6 e 5. 19) Um remdio deve ser tomado diariamente em intervalos regulares. O fabricante quer que a durao desses intervalos seja um nmero inteiro de horas (como 3 horas, por exemplo, e nunca trs horas e meia). Alm disso, o fabricante quer que os horrios em que se deve tomar o remdio no mudem de um dia para outro. Existem vrias possibilidades para a durao dos intervalos que satisfazem essas exigncias do fabricante. Quais so elas? R: D(24)1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 .

20) Os planetas Jpiter, Saturno e Urano tm perodo de translao em torno do Sol de aproximadamente 12, 30 e 84 anos, respectivamente. Quanto tempo decorrer, depois de uma observao, para que eles voltem a ocupar simultaneamente as mesmas posies em que se encontram no momento de observao? R: 420 anos. 21) Duas pessoas fazendo seus exerccios dirios partem de um mesmo ponto e contornam, andando, uma pista oval que circula um jardim. Uma dessas pessoas andando de forma mais acelerada d uma volta completa na pista em 12 min, enquanto a outra, andando mais devagar, leva 20 min para completar a volta. Depois de quantos minutos essas duas pessoas voltaro a se encontrar no ponto de partida? R: 60 minutos ou 1 hora. 22) Em um certo pais as eleies para presidente ocorrem de 6 em 6 anos e para senador de 4 em 4 anos. Em 1992 essas eleies coincidiram. D os anos das quatro prximas vezes em que elas voltaram a coincidir. R: 2004, 2016, 2028, 2040. 23) Jos daquelas pessoas que gostam de complicar as coisas. Quando lhe perguntam a sua idade, ele responde Tenho mais de 40 anos, menos de 50 e minha idade um mltiplo de 3 e de 8. Qual a idade do Jos? R: 48 anos. 24) De uma rodoviria, parte um nibus da empresa X a cada 20 minutos e um da empresa Y a cada 45 minutos. Supondo que esses dois nibus partem juntos s 8 horas da manh, depois de quanto tempo os nibus das duas empresas partiram juntos novamente? R: 180 minutos ou 3 horas. 25) Numa estao rodoviria, os nibus para a cidade A partem de 6 em 6 horas, e para a cidade B, de 8 em 8 horas. Numa ocasio, um nibus para a cidade A partiu junto com outro para cidade B. Quanto tempo depois isso acontecer de novo? R: 24 horas. 26) Da Praa da Repblica partem, s 6 horas da manh, dois bondes das linhas X e Y, iniciando o servio do transporte de passageiros. Sabendo-se que o bonde X volta ao ponto de partida ao cabo de 50 minutos, e o Y, ao cabo de 45 minutos, pergunta-se a que horas os dois bondes partiro novamente juntos da praa da Repblica? 27) Tenho trs rguas divididas em partes iguais. Cada parte da primeira tem 3 mm, da segunda, 5 mm, e da terceira, 12 mm. Coloco as trs rguas uma do lado da outra, de modo que as suas extremidades coincidam. Quais so os traos de diviso das trs rguas que coincidem?

Questes Propostas Envolvendo M.D.C e M.M.C 01) Determine s e t inteiros tais que MDC (a, b) = sa + tb para os seguintes pares de inteiros: a) a = 145; b = 72 b) a = 896; b = 143 c) a = -123; b = 32 d) a = -75; b = -15 e) a = 102; b = 49 f) a = 138; b = 24 R: s = 1 e t = -2. R: s = 64 e t = -401. R: s = 13 e t = 50. R: s = 0 e t = 1. R: s = -12 e t = 25. R: s = -1 e t = 6.

02) Classifique cada afirmao abaixo em Verdadeira ou Falsa, justificando: a) MDC de dois nmeros naturais expressos por n e 2 + 1 sempre 1, para qualquer natural n. (V). b) Considere a e b nmeros naturais. Ento MDC(a, ab + 1) = 2. (F). c) MDC de dois nmeros naturais sempre um divisor do MMC destes mesmos nmeros. Se a e b so relativamente primos, MMC(a, b) = |a.b|. (V). 03) Seja aN:

Determine o mdc (a, a 1) . Quais as possibilidades para o mdc (a, a 2) ? Quais as possibilidades para o mdc (a, a 6) ? Quais as possibilidades para o mdc (a, 3a 5) ?

R: d = 1. R: d = (1, 2). R: d = (1, 2, 3, 6). R: d = (1, 5).

04) Determine todos os nmeros de trs algarismos divisveis por 8, 11 e 12, simultaneamente. R: 264, 528 e 792. 05) Encontre todos os possveis pares de nmeros naturais cujo produto 3600 e cujo mmc 1200. R: a = 3 e b = 1200 ou a = 48 e b = 75. 06) Determine dois nmeros cuja soma 120 e o mmc 144. R: a = 12 e b = 108 ou a = 24 e b = 96. 07) Achar o menor nmero natural que satisfaa simultaneamente as condies: a) quando dividido por 2 tem resto 1. b) quando dividido por 3 tem resto 2. c) quando dividido por 4 tem resto 3. d) quando dividido por 5 tem resto 4. e) quando dividido por 6 tem resto 5. f) quando dividido por 7 tem resto 6. g) quando dividido por 8 tem resto 7. R: 3. R: 5. R: 7. R: 9. R: 11. R: 13. R: 15.

h) quando dividido por 9 tem resto 8. 08) Determine todos os possveis nmeros naturais n tais que: a) mmc(n, 54) = 54 b) mmc(n, 26) = 26 R: D(54) R: D(26)

R: 17.

1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 1, 2, 13, 26

09) O mmc dois nmeros naturais a e b igual a 1260 e quando dividimos este mmc pelos nmeros a e b o produto dos quocientes obtidos igual a 90. Determine todos os nmeros naturais a e b satisfazendo esta condio. R: a = 1260 e b = 14, a = 630 e b = 28 e a = 252 e b = 70. 10) O mmc dois nmeros naturais 300. Dividimos este mmc por a e b, os quocientes obtidos so tais que o seu produto vale 50. Determinem todos os pares de nmeros a e b que satisfazem estas condies. R: a = 300 e b = 6 e a = 150 e b = 12. 11) Prove que o produto de trs nmeros consecutivos divisvel por 6. 12) Se o resto da diviso de um nmero primo por 3 1, mostre que na diviso deste nmero por 6 o resto tambm 1. 13) Prove: se o resto da diviso de um nmero inteiro n por 6 5, ento o resto da diviso de n por 3 2. 14) Considere a e b nmeros naturais no primos entre si, cujo produto 420. Determine mdc(a, b). R: 2. 15) Sejam m = 26.33.52, n = 2r.3s.5t e p = 25.54.73. Escreva as condies que devem satisfazer r, s e t para que n seja divisor comum de m e p. R: r = 5, s = 0 e t = 2. 16) Seja x2 5 3 17 4 41 , y

3 4 17 6 312 e z

2 3 5 41 6 47 2 . Determine:

a) mdc (x,y) . b) mdc (x,z) . c) mdc (x,y,z) . d) mmc (x,y,z) . e) mmc (x,y) . f) mmc (x,z) .

R: 17 4 R: 2.5 R: 2.41 R: 23.34.53.176.312.41.472 R: 2.34.53.176.312.41 R: 23.53.174.416.472

17) Encontre mdc (a,b) e mmc (a,b) , atravs da decomposio em fatores primos: 1) a = 20.600, b = 3.300. 2) a = 147.875, b = 166.725. R: mdc (a, b) = 22.52 e mmc (a, b) = 23.3.52.11.103. R: mdc (a, b) = 52.13 e mmc (a, b) = 53.7.132.19.

18) Encontre os valores de x para os quais mdc(20 + x, x) = 4. R: os valores de x devero ser divisvel por 4. 19) Um professor d aulas numa 7 srie, de 30 alunos, e numa 8 srie, de 18 alunos. Em cada sala, ele formou grupos, e de todos os grupos (tanto na 7 como na 8) tinham o mesmo nmero de alunos. Qual o maior nmero de alunos que cada grupo pode ter? R: Cada grupo pode ter no mximo 6 alunos. 20) Na minha escola, h 180 alunos na 5 srie, 168 na 6 srie, 144 na 7 srie e 120 na 8. Para uma feira de cincias, todas esses alunos sero organizados em grupos com o mesmo nmero de elementos, sem misturar alunos de srie diferentes. a) Qual o nmero mximo de alunos que pode haver em cada grupo? R: Pode ter no mximo 12 pessoas. b) Quantos grupos sero formadas em cada uma das sries? R: 15 grupos na 5 srie; 14 grupos na 6 srie; 12 grupos na 7 srie e 10 grupos na 8 srie. 21) Um pas tem eleies para presidente de 5 em 5 anos, e para governador de 4 em 4 anos. Em 1998, essas duas eleies coincidiram. D os anos das trs prximas vezes em que elas voltaro a coincidir. R: 2018, 2038 e 2058. 22) Um pas tem eleies para presidente de 4 em 4 anos, e para senador de 6 em 6 anos. Em 1997, houve eleies para presidente, e em 1988 para senador. As eleies podero cair alguma vez no mesmo ano? Explique sua resposta. R: no. 23) Muitos cometas nos visitam de tempos em tempos. Um certo cometa passa pela terra de 12 em 12 anos. Outro passa de 32 em 32 anos. Em 1913, os dois passaram por aqui. Qual a prxima ocasio em que os dois passaro pela Terra no mesmo ano? R: 2009. 24) Um cometa A passa pela terra de 26 em 26 anos. O cometa B passa de 32 em 32 anos. Ambos visitaram a Terra em 1930. Pergunta-se: a) Qual ser a prxima ocasio em que os dois visitaro a Terra no mesmo ano? R: 2346. b) Depois de 1930, quantas sero as passagens do cometa a at que os dois visitem a Terra ao mesmo ano? R: 16 passagens o cometa A e 13 passagens o cometa B.

25) Alguns cometam visitam a Terra periodicamente. Um cometa A visita terra de 12 em 12 anos. O cometa B passa de 32 em 32 anos. Ambos visitaram a Terra em 1910. Qual a prxima ocasio em que os dois passaro pela Terra no mesmo ano? R: 2006. 26) Uma rvore de Natal tem trs tipos de luzes. As vermelhas acendem a cada 8 segundos, as verdes a cada 10 segundos e as amarelas a cada 12 segundos. Se elas acenderem todas juntas num determinado momento, depois de quantos segundos ascendero juntas novamente? R: 120 segundos. 27) Numa competio, partiram juntos dois ciclistas. O primeiro leva 20 segundos para dar uma volta completa na pista e o segundo leva 18 segundos. Eles estaro juntos novamente depois de quantos segundos? R: 180 segundos. 28) Uma certa Irm recebe periodicamente a visita de seus trs filhos, Srgio a visita a cada 15 dias, Marta a cada 20 dias e Rodrigo a cada 24 dias. Como hoje dia de seu aniversrio, os trs filhos foram v-la. Daqui a quantos dias coincidira a visita dos trs filhos? R: 120 dias. 29) No terminal de nibus ABCD, chegam nibus da Vila Romana a cada 30 minutos e da Vila Inglesa a cada 40 minutos. De quanto em quanto tempo os horrios dos nibus coincidem? R: 120 minutos. 30) Uma avenida mede 4500 metros. A partir do inicio da avenida, a cada 250 metros h uma parada de nibus, e a cada 225 metros uma para de bonde. Pergunta-se: a) A que distncia do inicio da avenida ocorre a primeira coincidncia das paradas de nibus e de bonde? R: 2250m. b) Quantos so os pontos comuns de paradas de nibus e de bonde? R: 2 paradas comuns. 31) Durante um evento, o organizador pretende distribuir, como brindes, a alguns dos participantes, caixas (kits), com o mesmo contedo, formado de camisetas e chaveiros. Sabe-se que ele possui exatamente 200 camisetas e 120 chaveiros. a) Decomponha os nmeros 200 e 120 em fatores primos? R: 200 = 23.52 e 120 = 2.3.5 b) Determine os nmeros mximos de caixas, com o mesmo contedo, que o organizador conseguir formar utilizando todos os chaveiros e camisetas disponveis? R: 40. 32) (UnB) Quatro pessoas saem de uma praa a caminhar numa mesma hora. Elas repetiro vrias vezes o mesmo percurso, e seus percursos duram respectivamente, 5 min, 9 min, 10 min e 15 min. Aps quantos minutos elas estaro juntas na praa pela primeira vez? R: 90. 33) (UFRJ) Uma escola deseja distribuir cadernos entre os seus 480 alunos, de forma que cada um deles receba o mesmo nmero de cadernos e no haja sobras. Os cadernos so adquiridos pela

escola em pacotes de uma dzia e meia cada. Determine o nmero de pacotes que a escola deve adquirir para que cada aluno receba a menor quantidade possvel de cadernos. R: 80. 34) (UNICAMP) Trs lquidos diferentes, A, B e C, devem ser distribudos em barris iguais. H 108 litros do lquido A, 96 litros do B e 72 litros do C. Para que o nmero de barris seja o menor possvel, qual deve ser a capacidade de cada barril? Quantos barris sero necessrios para conter cada um dos lquidos? R: 12 litros, nmeros de barris: 9, 8 ou 6. 35) (PUC) Dois livros, um dos quais tem 256 pginas e o outro com 160 pginas, so formados por fascculos com o mesmo nmero de pginas (superior a 10 e inferior a 50). Cada fascculo pode ter? R: Pode ter 32 pginas. 36) (PUC) Um lojista dispe de trs peas de um mesmo tecido, cujos comprimentos so 48 m, 60 m e 80 m. Nas trs peas, o tecido tem a mesma largura. Ele deseja vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a largura das peas e o maior comprimento possvel, de modo a utilizar todo a tecido das peas. Quantos retalhos ele dever obter? R: 47. 37) (UNESP) Trs cidades brasileiras, A, B e C, realizam grandes festas; de 5 em 5 meses em A, de 8 em 8 em B e 12 em 12 meses em C. Essas festas coincidiram em setembro de 1982. Coincidiro novamente em? R: Setembro 1992. 38) (UFES) Trs vergalhes, medindo 400 cm, 480 cm e 720 cm, devem ser cortados em pedaos iguais, de maior tamanho possvel, de modo que cada um deles tenha, por medida, um nmero inteiro de centmetros. Desse modo, sero obtidos. Quantos pedaos? R: 20 pedaos. 39) (UFMG) As medidas tomadas sobre as divisas de um campo de formato triangular so 595 m, 459 m e 340 m. O proprietrio deseja plantar cajueiros nessas divisas, de tal modo que as distancia entre eles sejam iguais e as maiores possveis. Se h um cajueiro em cada canto do campo, a quantidade de cajueiros necessria ao plantio ? R: 82. 40) (UFRN) Para as festas natalinas, uma fbrica de doces lanar uma caixa de chocolates. O nmero de chocolates poder ser dividido igualmente (sem fracion-las) entre 2, 3, 4, 5 e 6 pessoas, no havendo sobra. O menor nmero de chocolates que essa caixa dever conter ser: R: 60. 41) (UFCE) Dois relgios tocam uma msica periodicamente, um deles a cada 60 segundos e o outro a cada 62 segundos. Se ambos tocassem (simultaneamente) s 10 horas, que horas estaro marcando os relgios quando voltaro a tocar juntos (simultaneamente) pela primeira vez aps as 10 horas? R: 10 horas e 31 minutos.

42) (UFMG) Numa repblica hipottica, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa repblica, houve eleio para os trs cargos em 1989. A prxima eleio simultnea para esses trs cargos ocorrer, novamente, em: R: 2001. 43) (VUNESP) Uma concessionria vendeu no ms de outubro n carros do tipo A e m carros do tipo B, totalizando 216 carros. Sabendo-se que o nmero de carros vendidos de cada tipo foi maior do que 20, que foram vendidos menos carros do tipo A do que do tipo B, isto , n < m, e que MDC(n, m) = 18, os valores de n e m so, respectivamente: R: 90, 126. 44) (UFMG) De uma praa partem, s 6 horas da manha, dois nibus A e B. Sabe-se que o nibus A volta a ponto de partida a cada 50 minutos, e o nibus B, a cada 45 minutos. O primeiro horrio, aps as 6 horas, em que os nibus partiro juntos : R: 13 horas e 30 minutos. 45) (U. E. Londrina - PR) Existem para doao a escolas, 2000 ingressos de um espetculo e 1575 de outro. Cada escola deve receber ingressos para somente um dos espetculos e todas as escolas devem receber a mesma quantidade de ingressos. Distribuindo-se todos os ingressos, o nmero mnimo de escolas que podem ser contemplados nessa doao : R: 143. 46) (U. E. Londrina - PR) Para levar os alunos de certa escola a um museu, pretende-se formar grupos que tenham iguais quantidades de alunos e de modo que em cada grupo todos sejam do mesmo sexo. Se nessa estudam 1350 rapazes e 1224 garotas e cada grupo dever ser acompanhado de um nico professor, o nmero mnimo de professores necessrios para acompanhar todos os grupos nessa visita : R: 143. 47) (UFMG) Entre algumas famlias de um bairro, foi distribudos um total de 144 cadernos, 192 lpis e 216 borrachas. Essa distribuio foi feita de modo que o maior nmero possvel de famlias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo nmero de cadernos, o mesmo nmero de lpis e o mesmo nmero de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o nmero de cadernos que cada famlia ganhou foi de: R: 6. 48) (UE-RJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos abertos. O nmero mnimo de segundos necessrios, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez de: R: 200. 49) (UE-RJ) o nmero de fitas de vdeo que Marcela possui est compreendido entre 100 e 150. Grupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre resta uma fita. A soma dos trs algarismo do nmero total de fitas que ela possui igual a: R: 4.

50) (UFMG) Trs atletas correm numa pista circular e gastam, respectivamente, 2,4 min, 2,0 min e 1,6 min, para completar uma volta na pista. Eles partem do mesmo local e no mesmo instante. Aps algum tempo, os trs atletas se encontram, pela primeira vez, no local da largada. Nesse momento, o atleta mais veloz estar completando: R: 15 voltas. 51) (Cesgranrio-RJ) Certo botnico desenvolveu em laboratrio 3 variedades de uma mesma planta V1, V2 e V3, que se desenvolvem cada uma a seu tempo, de acordo com a tabela abaixo. Plantandose as 3 variedades no mesmo dia, confiando-se na exatido, no ocorrendo nenhum fato que modifique os critrios da experincia tabulada e levando-se em conta que, a cada dia de colheita, outra semente da mesma variedade ser plantada, o nmero mnimo de sementes necessrio para que a colheita das trs variedades ocorra simultaneamente ser:Variedades Tempo de germinao semanas aps o plantio) (em Tempo de florao (em semanas aps a germinao) Tempo para nica colheita (em semanas aps a florao)

V1 V2 V3 R: 24

4 2 1

3 3 2

1 1 1

52) Numa escola pretende-se distribuir, em partes iguais, 36 puzzles e 90 livros pelas bibliotecas das varias turmas. Qual o nmero Maximo de turmas que a escola pode ter, para que essa distribuio possa ser feita? Para esse numero Maximo, quantos puzzles e quantos livros recebero cada biblioteca de turma? R: 53) Trs amigas, a Ana, a Patrcia e a Lena tiveram folga dos respectivos empregos no sbado passado. Sabendo que a Ana tem folga a um sbado de 6 em 6 semanas, a Patrcia de 3 em 3 semanas e a Lena de 4 em 4 semanas, quantas semanas vo passar at que as trs amigas estejam de folga, em simultneo, a um sbado? R: 54) Duas rodas gigantes comeam girar, num mesmo instante, com uma pessoa na posio mais baixa em cada uma. A primeira d uma volta em 30 segundos e a segunda d uma volta em 35 segundos. As duas pessoas estaro ambas novamente na posio mais baixa aps: R: 55) Trs cidades A, B e C, realizam grandes festas: de 5 em 5 meses em A, de 8 em 8 meses em B e de 12 em 12 meses em C. Essas festas coincidiram em setembro de 1982. Coincidiro novamente em: R:

UNIDADE VI NMEROS PRIMOS 6.1 - Introduo: No ano de 2002 trs matemticos indianos descobriram um algoritmo de primariedade, que informa se um dado nmero primo ou no. Essa descoberta divulgada pela imprensa causou uma preocupao mundial devido os cdigos criptogrficos que utilizam os nmeros primos. J tinha lido sobre criptografia e sabia da sua importncia para a proteo das informaes, o que despertou o meu interesse sobre o alcance desta descoberta, e na medida que a pesquisa se desenvolvia outros movimentos em torno dos nmeros primos apareciam, envolvendo desde matemticos e tcnicos de computao profissionais at usurios de computadores domsticos. O nmero a entidade mais importante da Matemtica estando na origem de diversos ramos desta cincia. Entre os seres vivos, o homem um dos poucos que possui senso numrico. Por isso, desde os primrdios da raa humana os nmeros j estavam presentes, tendo surgido para auxiliar o homem a controlar quantidades a partir do contraste entre pouco e muito, resultando na criao dos primeiros sistemas de contagem. Juntamente com a linguagem, a escrita e outras habilidades, o nmero est no conjunto das criaes humanas em que se baseou o desenvolvimento das nossas sociedades. Nesta unidade, falaremos sobre nmeros, mas de um tipo especial os nmeros primos. um assunto em que muitos especialistas em segurana eletrnica de dados tem conhecimento, e a grande maioria das pessoas no sabem que a inviolabilidade dos seus dados pessoais depende em parte destes nmeros. Os nmeros primos, um conhecimento sem aplicao desde as civilizaes mais antigas, so a base dos cdigos de segurana de informao para computadores. Como estamos vivendo, segundo alguns historiadores e socilogos na "Era da Informao" pode-se perceber sua importncia para a nossa vida diria, embora no apaream de forma explcita. A propsito, podemos citar a frase do matemtico Nicolai Lobachevsky (1793-1856) "No h ramo da Matemtica, por abstrato que seja, que no possa um dia vir a ser aplicado nos fenmenos do mundo real". Os primos so apresentados pela primeira vez aos alunos na 5a srie e depois so quase esquecidos. No nvel mdio, apesar do aluno estar mais amadurecido para a Matemtica, eles no reaparecem, embora pudessem ajudar na fixao do contedo especfico, assim como devido ao fascnio que exercem por conta das curiosidades e mistrios que os envolvem, despertar no aluno o gosto por problemas da Teoria dos Nmeros. Cabe ressaltar, que os nmeros primos tem ganhado importncia por causa das aplicaes na criptografia, deixando de ser uma mera curiosidade. Desta forma, um papel de destaque est reservado para o conhecimento matemtico, j que ele a "porta de entrada" para o mundo tecnolgico. Segundo Ubiratan D' Ambrosio (1996)" a

educao para a cidadania, que um dos grandes objetivos da educao de hoje, exige uma apreciao do conhecimento moderno, impregnado de cincia e tecnologia". Os nmeros primos so um exemplo para os alunos, de como podemos a partir de uma definio antiga e relativamente simples, construir uma teoria que foi sendo enriquecida ao longo do tempo de outros conhecimentos, culminando no seu aproveitamento em aplicaes tecnolgicas de ltima gerao. 6.2 - Nmeros Primos: Definio 6.1 - Dizemos que um nmero inteiro positivo p maior que 1 primo, se, e somente se, p possui exatamente dois divisores positivos distintos, ou seja, 1, p . Exemplo: O nmero 2 primo, pois os divisores positivos de 2 so1, 2 . E mais, 2 o nico

nmero primo par, pois se existe primo par maior que 2, seria da forma N = 2q (q 1). Portanto, 1, 2 e q so divisores de N, o que torna absurdo, pois N primo. Um inteiro maior que 1 e que no primo diz-se composto. Teorema 6.1: Se um nmero primo p no divide um inteiro a, ento a e p so primos entre si. Corolrio 6.1: Se p um primo tal que p | ab, ento p | a ou p | b. Corolrio 6.2: Se p um primo tal que p | a1a2a3 ... an, ento existe um ndice k, com 1 que p | ak.. Corolrio 6.3: Se os inteiros p, q1,q2 ,..., qn so todos primos e se p | q1q2 ... qn, ento existe um ndice k, com 1 k n tal que p = qk.. k n tal

Teorema 6.2: - Todo inteiro composto possui um divisor primo. 6.3 - Teorema Fundamental da Aritmtica: Teorema 6.3 Todo inteiro positivo n > 1 igual a um produto de fatores primos. Corolrio 6.4: A decomposio de um inteiro positivo n > 1 como produto de fatores primos nica, a menos da ordem dos fatores. Corolrio 6.5: Todo inteiro positivo b > 1 admite uma nica decomposio da forma n =k p1 1 p k 2 ... p k r onde, para i =1,2,..., r cada ki um inteiro positivo e cada pi um primo, com p1 < p2 < 2 r

... < pr, denominada decomposio cannica do inteiro positivo n > 1. Exemplo 6.1: Definir mdc e mmc dos nmeros 588 e 936 pela decomposio cannica. Teorema 6.4 - (de Euclides) - H um nmero infinito de primos. Teorema 6.5 - Se um inteiro positivo a > 1 composto, ento a possui um divisor primo p 6.4 - Crivo de Eraststenes:

a.

A construo de uma tabela de primos que no um dado inteiro n faz-se usando o processo conhecido pelo nome de crivo de Eraststenes, e que consiste no seguinte: escrevem-se na ordem natural todos os inteiros desde 2 at n e, em seguida, elimin