İlkÖĞretİm matematİk 1 - tanitim(76).pdf · 2017-11-11 · matematİk Öabt İle İlgİlİ...
TRANSCRIPT
2 10 8
kpss
ÖABT
Öncebiz sorduk
50 Soruda
SORU30
GüncellenmişYeni
Baskı
İLKÖĞRETİMMATEMATİK
GEOMETRİİSTATİSTİK ve OLASILIK
Komisyon
ÖABT İlköğretim Matematik Geometri - İstatistik ve Olasılık Konu Anlatımlı
ISBN: 978-605-318-898-8
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.
© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.
4. Baskı: 2018, Ankara
Proje-Yayın: Çağla BardakcıoğluDizgi-Grafik Tasarım: Kezban Yanık
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105
Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)
Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
İnternet: www.pegem.netE-ileti: [email protected]
ÖN SÖZ
Sevgili Öğretmen Adayları,
ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "İlköğretim Matematik Öğretmenliği Geomet-ri-İstatistik ve Olasılık 3. Kitap" adlı yayınımız Geometri - İstatistik ve Olasılık bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) İlköğretim Ma-tematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerek-li bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.
Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanya-zın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek haya-tınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.
Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve de-taylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çö-zümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekil-miştir.
Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin soru-larınızı [email protected] adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numa-rasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır.
Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...
Başarılar...
MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER
MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı
Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.
Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel
olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.
Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası
Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40
a. Analiz
b. Cebir
c. Geometri
d. Uygulamalı Matematik
% 28
% 18
% 18
% 16
Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50
Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu
bilgiler 2014-2015-2016-2017 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklik-
leri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.
İÇİNDEKİLER
1. BÖLÜM
UZAYDA VEKTÖRLER
UZAYDA VEKTÖRLER ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 5
İki Vektörün Paralelliği................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6
Vektörlerin Lineer Bileşimi ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6
Lineer Bağımlılık – Lineer Bağımsızlık ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6
Standart Birim Vektörleri ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 6
Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6
İki Vektör Arasındaki Açı.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................7
Dik İzdüşüm Vektörü ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................7
Vektörel (Çapraz) Çarpım ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................8
Paralelkenarın Alanı ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................9
Paralelyüzün Hacmi ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................10
Çözümlü Test ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................13
Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................15
UZAYDA DOĞRU ve DÜZLEM DENKLEMİ
UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM DENKLEMİ .......................................................................................................................................................................................................................................................................17
İki Noktası Belli Olan Doğru Denklemi ..................................................................................................................................................................................................................................................................................19
Düzlem ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................20
Çözümlü Sorular - I .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................22
Bir Noktanın Düzleme Uzaklığı .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................25
Çözümlü Sorular - II ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................25
Uzayda İki Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları ve Kesişme Noktasının Bulunması ..................................................................................................................................28
Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı ...........................................................................................................................................................................................................................................................................29
Çözümlü Sorular ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................30
İki Düzlemin Birbirlerine Göre Konumu ve İki Düzlem Arasındaki Açı ...................................................................................................................................................................................34
Bir Düzlem ile Bir Doğru Arasındaki Açı .........................................................................................................................................................................................................................................................................34
İki Düzlemin Açıortay Düzlemi ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................34
Çözümlü Sorular ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................34
Bir Doğrudan Geçen Düzlem Demeti ......................................................................................................................................................................................................................................................................................36
Uzayda Simetri .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................37
Çözümlü Sorular ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................38
Çözümlü Test - 1 ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................43
Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................45
Çözümlü Test - 2 ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................47
Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................49
vi
YÜZEYLER
E3 DE YÜZEY .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................55
KÜRE ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................55
Küre Olma Koşulları ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................56
Kürenin Parametrik Denklemi ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................57
Kürenin Teğet Düzlemi ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................57
SİLİNDİR ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................57
KONİ .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................59
Bazı Kuadratik Yüzeyler ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................63
Çözümlü Sorular ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................63
Silindirin İsimlendirilmesi ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................64
Dönel Yüzeyler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................66
SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................68
KÜRESEL KOORDİNATLAR .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................68
Çözümlü Test ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................69
Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................71
KONİKLER
TANIM ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................75
Genel Konik Denkleminde x.y– li Terimi Yok Etme ...............................................................................................................................................................................................................................................75
ELİPS - HİPERBOL - PARABOL
ELİPS .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................79
Elipsin Denklemi ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................79
Elipsin Teğet ve Normal Denklemleri......................................................................................................................................................................................................................................................................................80
Elipsin Parametrik Denklemi...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................81
HİPERBOL ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................83
Hiperbolün Denklemi .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................83
PARABOL ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................86
Parabolün Denklemi ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................86
Çözümlü Test ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................89
Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................91
Karma Test - 1 ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................93
Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................95
Karma Test - 2 ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................97
Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................99
vii
2. BÖLÜM
İSTATİSTİK VE OLASILIK
TEMEL KAVRAMLAR ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................105
Sayısal Bilgi, Veri, Ölçüm ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................105
Değişken ve Türleri .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................105
Fonksiyon ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................105
Evren ve Örneklem..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................107
İstatistik ve Parametre..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................107
Çözümlü Test ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................108
Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................110
VERİNİN DÜZENLENMESİ VE MERKEZE EĞİLME ÖLÇÜLERİ
VERİNİN DÜZENLENMESİ ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................113
Grafik Çizme ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................113
Merkeze Eğilme (Yığılma) Ölçüleri .........................................................................................................................................................................................................................................................................................114
Mod (Tepedeğer) ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................114
Medyan (Ortanca) ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................114
Aritmetik Ortalama ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................115
Mod, Medyan ve Ortalamanın Karşılaştırılması .....................................................................................................................................................................................................................................116
Ağırlıklı Ortalama ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................117
DEĞİŞME (DAĞILMA) ÖLÇÜLERİ ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................118
Ranj (Açıklık) ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................118
Mutlak Kayma .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................118
Varyans ve Standart Kayma ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................118
Bağıl Değişkenlik Katsayısı ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................120
STANDARTLAŞTIRMA (z ve T PUANLARI) ................................................................................................................................................................................................................................................................120
z Puanı ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................120
T Puanı ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................120
Çözümlü Test ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................122
Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................125
viii
OLASILIK
TEMEL KAVRAMLAR ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................129
Olasılık ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................130
Birleşik Olayların Olasılığı ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................131
Ayrık İki Olayın Birleşiminin Olasılığı ..................................................................................................................................................................................................................................................................................131
Olaylar Arasındaki Bağıntılar .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................132
Bağımsız Olaylar ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................133
TESADÜFÎ DEĞİŞKEN, OLASILIK FONKSİYONU VE BEKLENEN DEĞER ...............................................................................................................................................................136
Tesadüfî Değişkenin Beklenen Değeri ...............................................................................................................................................................................................................................................................................142
Varyansın Hesabı ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................145
Momentler ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................148
Çözümlü Test ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................157
Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................160
OLASILIK DAĞILIMLARI
OLASILIK .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................165
Binom Olasılık Dağılımı .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................165
Poisson Olasılık Dağılımı..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................167
Hipergometrik Olasılık Dağılımı ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................168
Normal Olasılık Dağılımı ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................175
Standart Normal Olasılık Dağılımı ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................176
Çözümlü Test ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................178
Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................181
Çözümlü Deneme - 1 .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................184
Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................187
Çözümlü Deneme - 2 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................190
Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................193
5
UZAYDA VEKTÖRLER
R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} kümesine 3 boyutlu vektör uza-yı denir. Vektörlerin başlangıç noktası orijin olmak üzere, R3 ün her noktasına bir vektör karşılık gelir.
z
y
P(a, b, c)
0
x
, ,a b cOP = ` j ise a, b, c sayılarına OP yer vektörünün bileşenleri denir. P noktasının orijine olan uzaklığına, OP vektörünün normu (uzunluğu) denir ve OP ile gös-terilir.
, , .a b c a b c dirOP OP P 2 2 2&= = = + +` j
AB vektörüne eş, başlangıç noktası orijin olan OP vek-törüne, AB vektörünün yer vektörü denir.
A(x1, y
1, z
1) ve B(x
2, y
2, z
2) ise;
, ,x x y y z z
x x y y z zOP
AB
AB
2 1 2 1 2 1
2 12
2 12
2 12
= − − −
= = − + − + −
`
` ` `
j
j j j
Normu 1 olan vektöre birim vektör denir.
z
y0
x
A(x1, y1,z1) B(x2, y2,z2)
P(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
Çıkmış Sorular
Uzayda A(1, 2, 3), B(2, -1, -4) ve C(m, 2, -1) noktaları veriliyor.
AB AC= olduğuna göre m kaçtır?
A) -27 B) -29 C) 14 D) 29 E) 27
, , , ,mAB AC1 3 7 1 0 4= − − = − −` `j j.
.
d rm
mm olur
AB AC AB AC 01 1 3 0 7 4 0
27 027
ı& $
$
= =
− + − + − − =+ ==−
` ` ` `j j j j
Cevap A
ÖrnekA(1, –1, 1) ve B(2, a, –3) noktaları veriliyor.
AB 26= br olduğuna göre a sayısının alabileceği değerleri bulunuz.
, ,a
a
a
aa a veya a
AB
AB
1 1 4
26 1 1 4 26
1 17 26
1 91 3 2 4
2 2 2
2
2
&
&
&
& &
= + −
= + + + − =
+ + =
+ =+ = = =−
`
``
` `
j
jj
j j
Çıkmış Sorular
Dik koordinat düzleminde verilen u ve v vektör-
leri için u v 8$ = , u v u v 16+ + − = olduğuna göre
u v+ değeri kaçtır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13
.
u v u v u v
u v u v u v
u u v u v olurv
2
2
4
2 2
2 2
2
2
2
2&
$ $
$ $
$ $
+ = + +
− = + +
=+ − −
Buna göre;
u v u v u v u v 4 816
$ $+ + − + − − =` `j j1 2 3444444444 444444444
u v u vu v u v
u v
216
+ − − =
+ + + + = +
+ .olur9=Cevap B
6
İki Vektörün Paralelliği
, , 0, ,a b aR k b 003d ! !! olmak üzere,
. //a b a bk += dir.
, , , ,a x y z ve b x y z olmak zereü1 1 1 2 2 2= =` `j j
//a bxx
yy
zz
2
1
2
1
2
1+ = = dir.
Örnek
A(2, 4, 2) ve B(6, 2, 4) noktaları ile
, ,v x y x y2 1= − +` j vektörü veriliyor.
// vAB olduğuna göre, (x, y) ikilisini bulunuz.
Çözüm
2
, ,
, ,
//
, , .
v
v
x yx y
x y x y
x y x y
x y olur
AB
AB
2 1
4 2 2
2 1
4 22
21
1 1
&
&− =
+ =−
= −
= − +
−=
−
+=
= −
`
`
` `
j
j
j j4
Vektörlerin Lineer Bileşimi
, , , ...,, , , ..., R ve k k k k RV V V Vn n1 2 33
1 2 3d d
olmak üzere,
. . .. ...u k k kk V V VV n n2 2 3 311= + + + + vektörüne,
, , , ...,V V V Vn1 2 3 vektörlerinin lineer bileşimi denir.
Lineer Bağımlılık – Lineer Bağımsızlık
, , , ...IR de V V V Vn3
1 2 3 vektörleri verilsin.
. . .. ...c c cc V V V V 0n n1 2 2 3 31 + + + + = denklemi yalnız
c1 = c
2 = c
3 ... = c
n = 0 için sağlanırsa bu vektörlere lineer
bağımsız; c1 = c
2 = c
3 ... = c
n = 0 değerlerinden en az
biri sıfırdan farklı olacak şekilde sağlanırsa bu vektörlere lineer bağımlıdır denir.
Uyarı, , ...V V V V1 2 n= & 0, IR3 uzayının bir alt kü-
mesi olmak üzere , , ...det AV V Vn1 2 =b l
olsun.
I. A = 0 ⇔ V kümesi lineer bağımlı,
II. A ≠ 0 ⇔ V kümesi lineer bağımsızdır denir.
Standart Birim Vektörleri
z
y0
x
e3 = 0,0,1` j
e1 = 1,0,0` j
e2 = 0,1,0` j
R3 vektör uzayında üzerinde bulunduğu eksen ile pozitif yönlü birim vektörlere, standart birim vektörler denir.
, ,
, ,
, ,
e i
e j
e k
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
2
3
=
= =
= =
= `
`
`
j
j
j
Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı
Her , RA B 3! için;
, , , ,x y z ve x y zA B1 1 1 2 2 2= =` `j j olmak üzere,
, x x y y z zA B A B< > 1 2 1 2 1 2$ $ $$ = = + +
şeklinde tanımlanan işleme, "R3 de Öklid iç çarpım işle-mi" denir.
Özellikleri
1. ,A A A A A A2
$ $= =
2. A B B A$ $= (değişme özelliği)
3. A B C A B A C$ $ $+ = +` j (çarpmanın toplama üzeri-ne dağılma özelliği)
7
Örnek
, , , ,a ve aA B3 2 2 10= − =` `j j vektörleri veriliyor.
A B 5$ = olduğuna göre a sayısının kaç olacağını bu-lunuz.
Çözüm
..a aaa
A B 53 2 2 10 5
5 255
=
+ − =
=
=
İki Vektör Arasındaki Açı
, RA B 3! verilsin. veA B vektörleri arasındaki açının ölçüsü a olmak üzere,
cosA B A B$ $ $ a= olur.
A B= ise a = 90° için cosa = 0 olduğundan
.A B A B 0+= = olur.
Örnek
, , , ,veA B1 2 3 1 1 2= − = −` `j j vektörleri arasındaki
açının cosinüsünü bulunuz.
Çözüm
. . .
. .
.
cos
cos
cos
A B A B
1 2 6 1 2 3 1 1 2
14 63
2 213
2 2 2 2 2 2i
i
i
=
− − + = − + + + − +
= =
` `j j
Örnek
, , , ,veA B1 1 2 3 1 3 1 4= = − − −` `j j vektörleri ara-sındaki açının cosinüsünü bulunuz.Çözüm
.
.
.
( ) ( ) ( )
..
cos
cos
cos
olur
A BA B
A B
A
B
3 1 3 1 8 6
1 1 2 16
3 1 3 1 4
4 2 3 4 2 3 1624 2 6
6 2 66
21
2 2 2
2 2 2
i
i
i
=
= − − − + =
= + + =
= − + − − +
= − + + +
= =
=
=
` `j j
Örnek
ileA B vektörleri arasındaki açının ölçüsü 45°,
veA B2 2 3= = olduğuna göre,
. 3 2A B A B+ −` `j j iç çarpımının sonucunu bulunuz.
Çözüm
. . . . . . . .
. . .
. . . .
.
cos
olur
A B A B A A A B A B B B
A A B B
3 2 3 3 2 2
3 2
3 8 2 2 3 45 2 9
24 6 1812
°
2 2
+ − = + − −
= + −
= + −
= + −
=
` `j j
Dik İzdüşüm Vektörü
0 Hu
A
B
, , , , ,x y z x y zA B1 1 1 2 2 2= =` `j j vektörleri verilsin.
A vektörünün B vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü
uOH = olsun. ileA B arasındaki açı a olmak üzere;
..
.cos cosdir u
A B
A
A
Ba a= = yazılırsa
.
. .u uA A B
A
B
A BB&= = dik izdüşüm vektörünün
uzunluğudur.
.u uB
B= olacağından
. .uBA B B2= dik izdüşüm vektörünü verir.