Satuan Pendidikan: SMA

Mata Pelajaran : Matematika

Materi : Program Linier

Kelas/ Semester : XI/ 1

Alokasi Waktu : 20 menit

MODEL MATEMATIKA

II. Petunjuk Penggunaan LKS Tulislah nama, kelas, dan nomor presensi kalian pada kolom

yang tersedia

Bacalah LKS dengan baik dan cermat

Kerjakan secara teliti dan tanyakan pada guru apabila ada

yang kurang jelas.

Jawablah pertanyaan dengan benar dan tepat.

Model Matematika adalah suatu rumusan (dapat berupa persamaan, pertidaksamaan atau fungsi) yang diperoleh dari suatu penafsiran ketika menerjemahkan suatu soal verbal.

1

Tujuan Pembelajaransiswa diharapkan dapat menuliskan konsep persamaan dan pertidaksamaan linier dua variabel dengan benar

siswa diharapkan dapat menentukan langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah

tersebut dengan benar.

siswa diharapkan dapat menuliskan model matematika berdasarkan konsep sistem

persamaan dan pertidaksamaan linier dengan tepat.

Nama Kelompok:

1. 4.

2. 5.

3.

CONTOH SOAL

2

1. Untuk membuat roti A diperlukan 200 gram tepung terigu dan 25 gram mentega.

Sedangkan untuk membuat roti B diperlukan 100 gram tepung terigu dan 50

gram mentega. Tepung yang tersedia hanya 4 kg dan mentega yang ada hanya

1,2 kg. Jika harga roti A Rp 4.000,- dan roti B harganya Rp 5.000,-. Buatlah model

matematikanya.

Model matematika pada persoalan program linier pada umumnya membahas

beberapa hal yaitu :

Model matematika berbentuk sistem persamaan atau pertidaksamaan

linier dua peubah yang merupakan bagian kendala-kendala yang harus

dipenuhi oleh peubah itu sendiri.

Model matematika yang berkaitan dengan fungsi sasaran yang hendak

dioptimalkan (minimal atau maksimalkan).

Penyelesaian :

Misalkan banyak roti A = ...., dan banyak roti B =..., berarti variabel lain adalah tepung terigu dan mentega. Sehingga tabel yang diperoleh sebagai berikut :

VariabelRoti A (....)Roti B (....)Persediaan...........................................Terigu dan mentega paling banyak tersedia 4 kg = 4.000 gram dan 1,2 kg = 1.200 gram artinya dalam menggunakan tepung

terigu untuk membuat roti A dan roti B tidak boleh lebih dari 4 kg atau paling banyak menghabiskan 4 kg, sehingga dalam model matematikanya menggunakan tanda ≤. Demikian juga dalam menggunakan mentega untuk membuat roti A dan roti B tidak boleh lebih dari 1,2 kg atau paling banyak menghabiskan 1,2 kg, sehingga dalam model matematikanya menggunakan tanda

≤. Dari tabel di atas dapat di buat pertidaksamaan yaitu :

3

Pak Toni, seorang pengrajin perabot rumah tangga mendapat pesanan membuat rak buku yang

kerangkanya terbuat dari besi siku lubang yang dipotong-potong kemudian dirangkai dengan sekrup.

Untuk membuat rak itu, diperlukan potongan besi sepanjang 250 cm sebanyak 8 potong, sepanjang

70 cm sebanyak 12 potong, dan sepanjang 37,5 sepanjang 20 potong. Ternyata batangan besi siku

lubang yang dijual di toko mempunyai panjang standar 3 m, sehigga Pak Toni harus berpikir, cukup

berapa potong besi batangan yang akan dibeli dan bagaimana caranya mengatur pemotongannya

supaya panjang total sisa pemotongan menjadi minimal (dengan demikian kerugian Pak Toni

minimal). Dapatkah kamu membantu Pak Toni untuk memotong besi batangan tersebut?

200 x + 100y ≤ 4000 disederhanakan menjadi ..............................................(1)

................................ disederhanakan menjadi ..............................................(2)

Karena x dan y adalah bilangan bulat yang tidak negatif maka

x ≥ 0

y ≥ 0

Keempat pertidaksamaan di atas merupakan persyaratan yang harus dipenuhi yang disebut dengan fungsi kendala. Harga roti A Rp 4000,- per buah dan roti B Rp 5.000,- per buah, maka hasil penjualannya dapat dirumuskan dengan model matematika di bawah ini

Z = ..............+...................

Z disebut fungsi obyektif atau fungsi sasaran yang dapat dimaksimumkan atau diminimalkan.

Penyelesaian :

Dari persoalan diatas, ada berapa jenis pola potongan besi batangan yang diperlukan Pak Toni? Mari perhatikan gambar berikut ini

4

Dari dua pola di atas, kamu bisa menampilkan pola yang lain. Temukan pola pemotongan yang lain, kemudian bandingkan hasil teman-temanmu.Setelah lengkap, tuliskan pola-pola pemotongan besi tersebut seperti pada tabel berikut

Pola Pemotongan ke-300123456DipesanPanjang potongan kawat2501870037,51Sisa12,5Dengan demikian terdapat 6 peubah yang muncul yaitu x1, x2, x3, x4, x5, dengan xi merupakan banyak

batang besi yang dipotong menurut kombinasi pola ke i. Oleh karena itu kita temukan rumusan berikut ini

x1 ≥ 8...................................... ≥ 12..................................... ≥ 20Untuk setiap x1, x2, x3, x4, x5 dan x6 ≥ 0Dengan meminimumkan 12,5x1 + 20x2 + 15x3 +10x4 + 5x5 + 0x6

Persamaan terakhir dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi yang tergantung pada nilai x1, x2, x3, x4, x5, dan x6 sebut fungsi Z(x1, x2, x3, x4, x5 dan x6) = 12,5x1 + 20x2 + 15x3 +10x4 + 5x3 + 0x6Merupakan fungsi sisa pemotongan dari semua pola pemotongan besi.

LATIHAN SOAL Sebuah agen sepeda bermaksud membeli 25 buah sepeda untuk persediaan. Harga sepeda biasa Rp 600.000,- per buah dan sepeda federal Rp 800.000,- per buah. Dia merencanakan untuk tidak membelanjakan uangnya lebih dari Rp 16.000.000,- dengan mengharap keuntungan Rp 100.000,- per buah dari sepeda biasa dan Rp 120.000,- per buah dari sepeda federal. Buatlah model matematikanya.Seorang petani memerlukan paling sedikit 30 uni zat kimia A dan 24 unit zat kimia B untuk pupuk kebun sayurnya. Kedua zat kimia itu dapat diperoleh dari pupuk cair dan pupuk kering. Setiap botol pupuk cair yang harganya Rp 20.000,- mengandung 5 unit zat kimia A dan 3 unit zat kimia B, sedangkan setiap kantong pupuk kering yang berharga Rp 16.000,- mengandung 3 unit zat kimia A dan 4 unit zat kimia B. Buatlah model matematikanya sehingga petani dalam membeli dua jenis pupuk tersebut mengeluarrkan biaya seminimal mungkin

KUNCI JAWABAN

1. Dari persoalan nomor satu, maka misalkan banyak sepeda biasa = x, dan banyak sepeda federal = y, sehingga dapat diperoleh tabel seperti berikut ini :

Variabel Sepeda biasa (x) Sepeda federal (y) Persediaan

Jumlah sepeda 1 buah 1 buah 25

Modal 600.000 800.000 16.000.000

Persediaan sepeda dan modal paling banyak tersedia 25 buah dan Rp.16.000.000,- artinya jumlah sepeda (biasa dan federal) yang akan dibeli untuk memenuhi persediaan sepeda keseluruhan tidak boleh lebih dari 25 buah atau paling banyak 25 buah. Demikian juga dengan dalam menggunakan modal untuk membeli sepeda biasa dan sepeda federal tidak boleh lebih dari Rp 16.000.000,- atau paling banyak Rp 16.000.000,- sehingga dapat dibuat pertidaksamaan yaitu :x + y ≤ 25 ........(1)600.000 x + 800.000 y ≤ 16.000.000 atau disederhanakan menjadi 3x + 4y ≤ 80 .........(2)Karena x dan y adalah bilangan bulat yang tidak negatif, maka :x ≥ 0 .........(3)y ≥ 0 .........(4)Fungsi obyektifnya adalah Z= 100.000x + 120.000y

2. Misalkan banyak botol pupuk cair = x dan banyak kantong pupuk kering = y, berarti variabel yang lain adalah zat kimia A dan zat kimia B. Sehingga diperoleh tabel sebagai berikut ini :

Variabel Pupuk cair (x) Pupuk kering (y) Persediaan

Zat kimia A 5 3 30

Zat kimia B 3 4 24

Zat kimia A dan zat kimia B dibutuhkan paling sedikit 30 unit dan 24 unit, artinya jumlah zat kimia A yang dibutuhkan tidak boleh kurang dari 30 unit, artinya jumlah zat kimia A boleh lebih atau sama dengan 30 unit. Sedangkan pada zat kimia B juga tidak boleh kurang dari 24 unit artinya jumlah zat kimia A boleh lebih dari atau sama dengan 30 unit. Sehingga dari kedua variabel dapat menggunakan tanda ≥.Dari tabel diatas, maka model matematikanya adalah 5x + 3y ≥ 30 ........(1)3x + 4y ≥ 24 ........(2)Karena x dan y adalah bilangan bulat yang tidak negatif maka :x ≥ 0 ........(3)y ≥ 0 ........(4)Fungsi obyektifnya adalah Z = 20.000x + 16.000y