وحدة 2الرياضيات تعليمية

طالبي الطاهر محمد

مقدمة

من تعليمي منهاج بناء هما أساسيتين فكرتين من البرنامج يتكون التعلم. يتم كيف تفسير ومحاولة التعليمي، التحويل مفهوم وجهة

إليها مض666افا النظرية األفك666ار بعض على فيش666مل ال666درس أمابحث. أنشطة

بش66كل ال66درس في الموج66ودة النظرية الخلفية دراسة من البد من ن66وع هي البحثية األنش66طة فيه66ا. إن التعمق ومحاولة مرك66ز،

إلى للوص66ول خ66اص بشكل بها العناية من البد التعمق. لذلك هذامنها. المتوخى األثر

والتصورات واألخطاء التعلمات (Apprentissages, erreurs et conceptions)

التعلم حول تصورات.1

محل هي للمع66ارف التلميذ اكتس66اب بها يتم ال66تي الش66روط إن خاصة وبص6666فة والم6666ربين، الفالس6666فة ط6666رف من تس6666اؤل

التلقين على االكتساب هذا يعتمد القدم. هل منذ السيكولوجيين، هل آخ66ر، وبش66كل ال66ذكاء؟ استدعاء على أم الذاكرة؟ واستدعاء

بنائية؟ أم تقليدية تصورات على االكتساب يعتمدأجوبة: ثالث حاليا يتوفر التساؤل، هذا على لإلجابة

(Conception de la tête vide) الفارغ الرأس تصور1.1 ب66الرأس يس66مى وله66ذا بالمعرف66ة، يمأل وع66اء عن عب66ارة التلميذ

أث66را. أو بص66مة فيه المعلم ي66ترك حيث الطري العجين أو الفارغةالتالية: بالمميزات النموذج هذا يتصف

الحفظ. على التعلم يعتمدوثوقية هيكلة للمعارف (Dogmatisme.)

مع66ترف ومؤسسة ومنظمة جاهزة للتالميذ المعرفة تقدم( المجتمع(. طرف من بها

نع66بر المب66دأ: "ما على والتلميذ المعلم بين التخاطب يعتمد جيدا" يفهم جيدا عنه

ويملك66ون محف66زين التالميذ ك66ان إذا مفي66دا النم66وذج ه66ذا يك66ونبالخصوص: يتمثل قصوره موحدة. لكن مرجعية

والتلميذ. المعلم بين الخطاب معنى في جوهري فرق هناكجديدة. معرفة يتناول لما أولية تصورات التلميذ يمتلك

Conception) الص$$غيرة الخط$$وات تص$$ور2.1 des petites marches)

إلى النف6666اذ يمكن ال بأنه الق6666ول على الس6666لوكي التوجه يعتمد محل تك66ون الملحوظة س66لوكاته فقط للتلميذ العقلية البن66اءات

التح66ريض طريق عن تتع66دل أن السلوكات لهذه الدراسة. يمكن يمر الفك666رة: "لكي على النم666وذج ه666ذا اس666تجابة. يرتكز يعقبه

طريق عن إع66داده يكفي آخ66ر، إلى مع66رفي مس66توى من التلميذ على ص66غيرة ص66عوبة على مرحلة كل وس66يطية. تش66مل مراحلتجاوزها". التلميذ

النموذج: هذا مميزات أهم منتحديد طريق عن تعليمية حصص بن6666اء وعقلنة تخطيط

تحققها. المراد األهداففردي تعليم طريق عن المتعلم لنشاط االهتمام إعطاء

الذاتية. القدرات على يعتمد والمه66ارات، المكانيزم66ات اكتس66اب في فع66ال النم66وذج ه66ذا

بالبطاق66ات التعليم طريق عن االستكش66افية الطريقة واستعمالخصوصا: يتمثل قصوره بالحاسوب. لكن المساعد والتعليم

بالمهمة للقي66ام كافيا يك66ون ال قد المرحلية المه66ام معرفة الكلية.

الجديدة. الوضعيات في االستثمار صعوبة

للتعلمات. المعنى إعطاء صعوبة

( Le constructivisme) البنائي التصور3.1

من المس66تعارة الفرض66يات من مجموعة على النموذج هذا يعتمد-Psycho) ال66666666666666وراثي النفس ( وعلمDidactique) التعليمية

génétiqueاالجتم66666666666666666اعي النفس ( وعلم (Psycho-social) االفتراضات: هذه ( وغيرها. أهمEpistémologie) واالبستمولوجية

التلميذ بين التفاعل ع66بر المع66ارف اكتس66اب : يمر1 االفتراضحله. المراد والمشكل

للمفهوم تلقائية تصورات ففيه فارغا ليس الذهن:$ 2 االفتراضتعلمه. المراد

ع66بر أخ66رى إلى ت66وازن حالة من المع66ارف تمر:$$ 3 االفتراض المعارف وضع يتم الالتوازن من مراحل

شك. موضع الداخلية طريق عن االجتم66اعي المع66رفي الص66راع خلق:$$ 4 االف$$تراض

التعلم. يسهل الفوجي العمل ك66أداة تظهر لما للمعرف66ة، مع66نى التلميذ : يعطي5 االف$$تراض

مشكل. حل في أساسية

الفرضيات هذه حول تعاليق1.3.1

للقي66ام يجندها التي الفرد معارف مجموعة بالتصور يقصد معينة. ووضعية ما لحظة في بمهمة "الش66يء ب66أن جامعي الثانية السنة من طلبة : يعتقد1 مثال

قاومت البدائية الفكرة قوة". هذه أية عليه تضغط ال الثابت

أخ666رى بفك666رة تواجه أن دون التعلم من عدي666دة س666نواتتحطمها.

>4,27المتباينة: " بصحة التالميذ من كثير : يعتقد2 مثال من بفكرة تواجه لم ألنها "4,182

" لتزول.5,33 > …> 5,32النوع: " أخرى بفكرة يواجه لم إذا يزول وال يبقى تصور كل

تغيره. الالت$$وازن بمرحلة يقصد (Déséquilibreالش666عور ) بع666دم

في الشك يولد مما بالمهمة للقي66ام المجندة المعارف كفاية س66اذج تص66ور )بين االض66طراب ه66ذا خلق عادة وجاهتها. يتم

) مش$$كل وضعية نس66تعمل أرقى( لما ب66آخر تغي66يره نريدSituation problèmeتجاوزه. يتطلب حاجزا تفرض ( التي

المعارف وبناء تنظيم إلعادة ضرورة إذن فهناك القديم. مع الجديد يدمج حتى

االجتم$$$اعي المع$$$رفي الص$$$راع من القصد (Confli socio-cognitifالمعرفية الخالف666666ات من ن666666وع خلق ( هو

بوض6666عية م66666واجهتهم طريق عن التالميذ بين واالجتماعية من ف66666ترات تخص66666يص طريق عن حال تتطلب مش66666كل

- الص$$$$ياغةالح6666ل( و عن )البحثAction - النش$$$$اطFormulationالتص$$$$$ديقوالمجادل66666ة( و )النق66666اش – Validation التأس$$$$يسوالبره66666ان( و )اإلثب66666ات -

Institutionnalisation( (البن66ائي ش66كلها في المعرفة تنظيم ) Investissement -االس$$تثمارو س66ياقات في التوظيف

.(متنوعةعلى أوال المع66ارف تظهر مش66كل، لوضعية التلميذ حل أثناء

(. فهوObjet) موضوع إلى تتحول أن ( قبلOutil) أداة شكل من يتمكن ح66تى المع66ارف له66ذه والذاتية الس66ياق يعيد أوال

ثم األداة، هيكلة المعرفة تأخذ وبالت66الي وتخصيص66ها، تمثيلها هيكلة المعرفة لتأخذ والذاتية الس66ياق من يتج66رد ذل66ك، بعد

الموضوع.

والتصورات والحوجز . األخطاء2التعلم( ومدارس القواميس )حسب الخطأ 1.2الص666واب. أما ضد هو العرب لسان قاموس حسب الخطأ

Le ق666اموس حسب petit larousseين666اقض حكم فهو الحقيقة.

طرف من كاف غير عمل هو الخطأالتقليدية: المدرسة العالم66ة، طريق عن العق66اب يس66توجب ذنب وهو التلمي66ذ،

االكتس66اب بإع66ادة الخطأ تسيير الطرد. يمكن السنة، إعادةالشرح. وإعادة

عن تصحيحه يجب شذوذ هو الخطأالسلوكية: المدرسة إلى ف66يرجع ح66دث، وإذا مجنب وال66دعم. هو التمارين طريق

مناسب. غير المستعمل التدرج كونالتلمي66ذ. تفك66ير لمس66ار مؤشر الخطأالبنائية: المدرسة

البن66اء. فالخطأ ط66ور في التلميذ معرفة أن على مؤشر وهوالتعلم. سيرورة من جزء هو إذن

الحاجز2.2 معرفة بكونه الحاجز. ويمتاز مفهوم على الخطأ تحليل يرتكز

في صحيحة أجوبة بإنتاج تسمح الحاجز أخرى. يقاوم سياقات في وخاطئة معينة، سياقات بطريقة ويظهر تحويل أو تعديل كل وبالتالي المعرفة، هذه ترفض لما يتم الحاجز تراجعية. تجاوز

جديدة. معرفة ظهور

التصور3.2 الداخلي66ة،..( المعرفة أو التمثيل )أو التص66ور اعتب66ار يمكن بإعادة للفرد يسمح ذهني لنشاط كنتيجة وقناعته وتجربته خبرته على اعتم66ادا المعيش الواقع إنشاء

هو الخطأ أن اآلن القول وتكوينه. يمكن

يتم لم والتي العفوية التصورات من لمجموعة صريح ظهور متناسقة شبكة في مدمجة بعد، بناؤها

( مكونةReprésentations cognitives) المعرفية التمثيالت من جديدة. مفاهيم والتحكم الكتساب حاجزا

(Typologie des erreurs) األخطاء تبولوجية4.2 التلميذ بين العالق66ات يح66دد ال66ذي التعليمي، المثلث على اعتمادا

الشكل: على األخطاء تصنيف يمكن والمعرفة، والمعلم

للتلميذ راجعة أخطاء1.4.2

للتلمي66ذ. فمثال ال66وراثي النمو محدودية إلى راجعة األخط66اء ه66ذه أعم666ال )حسب تتم ال والحج666وم والمس666احات األط666وال حفظ

الح$$واجز أم666ام العقلي. إننا النضج من ف666ترة بعد بي666اجي( إالالطبيعي. بالنمو تزول التي الوراثية

للمعرفة راجعة أخطاء2.4.2

والرياضية عموما العلمية المفاهيم تاريخ في معروفة أخطاء هي بعض أم66ام الرياض66يون لقاها التي الصعوبات تميز خصوصا. وهي

وغيرع66ا. إننا التخيلي والع66دد الس66الب والع66دد الالنهاية المف66اهيم. االبستمولوجية الحواجز أمام

والمعرفة التلميذ بين للعالقة راجعة أخطاء3.4.2

ذهن في موج66ودة أولية تص66ورات إلى األخط66اء ه66ذه أصل يرجع هي العش66رية "األعداد دائما"، تكبر عملية "الضرب التلميذ. فمثال

ثقافية حواجز أمام بفاصلة" ...الخ. إننا مرفوقة طبيعية أعدادالرياضية. المعرفة تكون أثناء منها مفر ال تعليمية أو

للمعلم التعليمية لالختيارات راجعة أخطاء4.4.2

من تزيد التعليم في المطبقة البيداغوجية االختي6666666666ارات بعض المق6ادير كقي6اس العشرية األعداد تقديم الثقافية. فمثال الحواجز

حواجز أمام الحقيقي. إننا المستقيم طريق عن تقديمها من بدال. تعليمية

التعليمية للعالقة راجعة أخطاء5.4.2 والخاصة التالميذ يض66عها ال66تي التوقع66ات إلى األخط66اء هذه ترجع

"يجب ح6666ل"، تم6666رين "لكل منهم. فمثال المعلم ينتظ6666ره بما ح$$واجز عن إذن الح66ل". نتكلم أثن66اء المعطي66ات كل اس66تعمال

.التعليمي العقد

. تطبيقات3العشري العدد مفهوم1.3

أن التلميذ تل66زم الع66دد لمفهوم أعطيت التي المختلفة التوسعات يتح66ول أن خطر هن66اك وبالت66الي الع66دد، لهذا تمثيله يثري أو يعدل

) بروسو بين التعلم. لقد يعيق ح6666666اجز إلى الق6666666ديم التمثيلBrousseauاألع66داد ب6أن العش66رية األع66داد حول تاريخية ( بدراسة

لربطها العش66رية. فنتيجة األع66داد لظهور عائق أكبر هي الطبيعية المق66دار وإنما العش66ري الع66دد ليس اله66دف أص66بح بالقي66اس،

اس6666تعمال في اإلف6666راط خط6666ورة لنا ي6666بين مما الفيزي6666ائيالمحسوس.

وح6666دات عد على تعمل أص6666ليات هي الطبيعية األع6666داد- األع66داد في تختفي الخاصية عاقب. هذه منها ولكل منفصلة

الن66وع: من ألخط66اء يتعرض66ون التالميذ يجعل مما العش66رية".3.14 عاقب3.15 "اعتبار

)على بوح66دة مرفق ط66بيعي بع66دد العش66ري الع66دد تمثيل- إلى ( ي6666ؤدي100 هي والوح6666دة315 هو3.15 الش6666كل

و3.1 بين طبيعية أع66داد وج66ود الن66وع: "ع66دم من أخط66اء3.2."

إلى ي6ؤدي بفاص6لة ط6بيعي ع6دد هو العش6ري الع6دد اعتب6ار- عش66ريا"، ع66ددا ليس الط66بيعي الن66وع: "الع66دد من أخط66اء=666 0.3 "الع666دد =666 9.16" عش666ري"، هو33/10 ²(

("...الخ.3.4

السالب العدد مفهوم2.3

يتعلق ما خاصة الص66حيحة األع66داد لقب66ول ق66رون عدة تطلب لقد=1()-2)-)مث66ل: اإلش66ارات ( وقاع66دة1>-4-)مث66ل: بترتيبها 6)

متض66ادة وض66عيات ش66كل على الص66حيح الع66دد تقديم (. إن(1)+ لجمع مدخول/مخ66روج،...الخ( مناسب صعود/نزول، )تقدم/تأخر،

غ666ير باالنس666حاب. لكنه تمثيلها يمكن ال666تي الص666حيحة األع666دادبالتحاكي. تمثيلها يمكن التي الضرب لعملية مناسب

لذلك: مراحل أربعة هناك الصحيح، العدد إكساب أجل منطبيعية. أعداد وكأنها الصحيحة األعداد : عالج1 المرحلة )الم66وجب منفص66لين كجزئين الصحيحة األعداد : عالج2 المرحلة

والسالب(.الموازنة. طريق ( عن,+Z) الزمرة : عالج3 المرحلة(. , +, Z×) الحلقة : عالج4 المرحلة

التلميذ يعترض حاجز تجاوز يتطلب أخرى، إلى مرحلة من انتقال المخطط يوضحه كما هي ذلك في الوسيلة تكون تعلمه. قد أثناء

التالي: ع66دم/الحس66ابات ثقل في (..الزيادة2الموازنة..) (.. استخدام1)

(4النظير.. ) (..استخدام3المبدأ.. ) تحديد

الحواجز عن األمثلة بعض3.3

جهة من وهي ض6666منية تص6666ورات يش6666مل التلميذ ذهن أن نعلم لبن666اء ض666رورية فهي أخ666رى جهة ومن للتعلم، ح666واجز تش666كلمنها: البعض الرياضية. إليك المعرفة الش$$اقولية المن$$احي اختي$$ار عن ناتجة ح$$واجز1.3.3

والعمودية لكنه عمودي66ا، أو ش66اقوليا إما المس66تقيم األطف66ال يرسم ما عادة يك66ون قد الس66اقين والمتساوي القائم المثلث أن مائال. كما ليس

محور يتطلب الساقين التساوي لكون البعض لدى التصور صعب ش66اقولي من مكونة قائمة زاوية يتطلب والتعامد عم66ودي تن66اظر

يتح66ول مائال رسمه لكن أفقيا المربع رسم يتم ما وعمودي. عادةمعين. إلى البعض لدى

األشكال وخارج داخل حواجز2.3.3

التالميذ فيجد خارجه أما داخله المثلث ارتفاع66ات ترسم ما ع66ادة الش66كٌل ٌخ66ارج و الش66كٌل ذلك. الحواجز:ٌ داخل تصور في صعوبة

النقطي66ة: فالنق66اط التح66ويالت في واضحة نجدها المتبعٌ وٌالمسار أن ما. كما بانسحاب صور لها التي فقط هي مثال لمثلث الداخلية π\3 لت66دوير بالنس66بة واحد الموجهة( هو للزوايا )بالنسبة الدوران

الحركة. نفس ليس لكنπ2±3/π أو

الخطي الحاجز3.3.3الشكل: من هي والتي التالميذ طرف من المرتكبة األخطاء

b+a= (²b+²a)√ , (a+b)²= ²b+²a Sin(a + b) = sin a + sin b , sin 2a = 2 sin a

Log (a + b) = log a + log b , 1/(x+y)=1∕x+1∕y ليست دوال على المطبق الخطية الدالة نم6666وذج إلى ترجع كلها

خطية.

بحث . أنشطة4للتعلم: ثالثة نماذج . إلى(Stordeur, J., 1996) الباحث تعرض1.4ومنظم6666666ة: مبنية المعرفة حيث البص6666666مة نم6666666وذج

خزن.←أنقل←كرر←اسمعأعد←مقطع6666ة: أتمم المعرفة حيث الش6666رطي النم6666وذج

تمرن.←منته منتوج←إنتاجاس66تعمال فيها مركب66ة: يتم الوض66عية حيث البن66ائي النم66وذج

)الح66دس/الفهم( )التعب66ير/الش66رح( والبحث اإلدراك قدراتواالستثمار)التوظيف(.

مكونات6666ه( إلى ع6666دد تحليل )مثال النش6666اط نفس تع6666الج كيفالثالثة؟ النماذج من كل باستعمال

الناتجة األخطاء إلىSuzette Rousset-Bert الباحثة . تعرضت2.4 ط666رف من المتخ666ذة واإلس666تراتيجيات ال666تربيعي الج666ذر عن

المجلة: في موجود األخطاء. الموضوع بهذه للتكفل المدرسينPetit x, N° 25, IREM de Grenoble, 1990

متخ66ذة اس66تراتيجيتن فيها ت66بين حوص66لة وح66رر المق66ال أدرسفيهما. رأيك مبينا األخطاء لمعالجة

الفهرساألول السداسي

I.التحويل نظر وجهة من التعليمية البرامج تطور التعليمي

التعليمي التحويل-المرجعية المعرفة- المعرفة لتكييف المتخذة اإلجراءات-

تعليمية معرفة إلى المرجعيةالمعرفة هيكلة-التعليمي الوقت-

الثاني السداسيII.والتصورات واألخطاء التعلمات

التعلم حول تصورات-والحواجز األخطاء-التصورات عمل-

III.متنوعة تطبيقات

التناول منهجية

المراجع

1. CHEVALLARD Y. et JOHSUA M.L. (1982), Un exemple d’analyse de la transposition didactique, Recherches en didactique des mathématiques, Vol. 3.2, La Pensée Sauvage éditions.2. JOHSUA S. et DUPIN JJ. (1993) , Introduction à la didactique des sciences et des mathématiques, PUF : Paris.3. CONNE G. (1996), Savoir et connaissance dans la perspective de la transposition didactique, in J. Brun, didactique des mathématiques, de lachaux et niestlé.4. HENRY M. (1991), Didactique des mathématiques, Irem de université de Franche conté, France.

5 .ASTOLFI J.P. et al. (1997), Mots clés de la didactique des sciences, De Boeck Université.

6 .STORDEUR J. (1996), Enseigner et/ou apprendre, De Boeck.

7 .ROUSSET-BER S. (1990 ), Stratégies de prise en conte de l’erreur par des enseignants de maths en liaison avec certaines de leurs représentations, Petit x, N° 25, IREM de

Grenoble .