LÍMITESDE

FUNCIONES

GBG - 2010 1

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Sea f una función real de variable real y a un punto de acumulación del dominio de f.

x ( )f x

1x ( )1f x

2x ( )2f x

3x ( )3f x nx ( )nf x ↓ ↓ a L

Decimos que ( )lim Lx a

f x→

= si y sólo si para cualquier sucesión { }nx de elementos del

dominio, distintos de a, y que tenga por límite a, la sucesión de las imágenes ( ){ }nf x tiene por límite L.

( ) { } ( ){ }lim L , , , lim lim Ln n f n n nx af x x x D x a x a f x

→= ⇔ ∀ ∈ ≠ = ⇒ =

{ } ( ){ } Ln nx a f x→ ⇒ →

GBG - 2010 2

LÍMITES LATERALES Sea f una función real de variable real y a un punto de acumulación del dominio de f. LÍMITE POR LA IZQUIERDA

LÍMITE POR LA DERECHA

Decimos que ( )lim Lx a

f x−→

= si y sólo si para cualquier sucesión { }nx de elementos del

dominio, menores de a, y cuyo límite sea a, la sucesión de las imágenes ( ){ }nf x tiene por límite L.

( ) { } ( ){ }lim L , , , lim lim Ln n f n n nx af x x x D x a x a f x

−→= ⇔ ∀ ∈ < = ⇒ =

Decimos que ( )lim Lx a

f x+→

= si y sólo si para cualquier sucesión { }nx de elementos del

dominio, mayores de a, y cuyo límite sea a, la sucesión de las imágenes ( ){ }nf x tiene por límite L.

( ) { } ( ){ }lim L , , , lim lim Ln n f n n nx af x x x D x a x a f x

+→= ⇔ ∀ ∈ > = ⇒ =

GBG - 2010 3

LÍMITE POR LA IZQUIERDA LÍMITE POR LA DERECHA

nx a< nx a>

x ( )f x x ( )f x

1x ( )1f x 1x ( )1f x

2x ( )2f x 2x ( )2f x

3x ( )3f x 3x ( )3f x

nx ( )nf x nx ( )nf x

↓ ↓ ↓ ↓ a− L a+ L

{ } ( ){ } Ln nx a f x−→ ⇒ → { } ( ){ } Ln nx a f x+→ ⇒ →

( )lim Lx a

f x−→

= ( )lim Lx a

f x+→

=

GBG - 2010 4

RELACIÓN ENTRE EL LÍMITE Y LOS LÍMITES LATERALES Sea f una función real de variable real y a un punto de acumulación del dominio de f.

( )( )( )

( ) ( )

lim

lim L lim

lim lim L

x a

x a x a

x a x a

f x

f x f x

f x f x

−

+

+ −

→

→ →

→ →

∃∃ = ⇔ ∃ = =

El ( )limx a

f x→

existe si y sólo si existen los límites laterales ( )limx a

f x−→

y ( )limx a

f x+→

,

y se verifica que: ( ) ( )lim lim

x a x af x f x

− +→ →=

GBG - 2010 5

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES DE FUNCIONES

1. El límite de una suma es igual a la suma de los límites

( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x→ → →

+ = +

2. El límite de una diferencia es igual a la diferencia de los límites

( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x→ → →

− = −

3. El límite de un producto es igual al producto de los límites

( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x→ → →

⋅ = ⋅

4. El límite de un cociente es igual al cociente de los límites

( )( )

( )( )

limlim

limx a

x ax a

f xf xg x g x

→

→→

= si ( )lim 0x a

g x→

≠

5. El límite de una potencia es igual a la potencia de los límites

( ) ( ) ( )( )lim

lim lim x ag xg x

x a x af x f x →

→ → = si ( )lim 0

x af x

→>

En los cinco casos siempre y cuando ambos límites existan y tenga sentido la operación correspondiente.

GBG - 2010 6

Consideramos a∈ , siendo la recta real completada: { } { }= −∞ +∞ . O sea, a puede ser finito o infinito (–∞ ó +∞). Igualmente, si ( )lim L

x af x

→= y ( )lim

x ag x M

→= , podemos considerar que L, M R∈ , o sea,

tanto L como M pueden ser finitos o infinitos (–∞ ó +∞). Debes aprender a “operar” con el infinito (–∞ ó +∞). Algunas operaciones no tienen sentido, son las que llamamos indeterminaciones.

INDETERMINACIONES

∞ −∞ 0k

00

∞∞

0 ⋅∞ 1∞ 0∞ 00

GBG - 2010 7

RECUERDA: Si k R∈

( ) ( )+∞ + +∞ = +∞ ( ) ( )−∞ + −∞ = −∞ ( )k + +∞ = +∞ ( )k + −∞ = −∞

( ) ( ) ( ) ( )+∞ ⋅ +∞ = −∞ ⋅ −∞ = +∞ ( ) ( ) ( ) ( )+∞ ⋅ −∞ = −∞ ⋅ +∞ = −∞

( )( )

0k

kk

⋅ +∞ = +∞> ⇒ ⋅ −∞ = −∞

( )( )

0k

kk

⋅ +∞ = −∞< ⇒ ⋅ −∞ = +∞

0k=

+∞ 0k

=−∞

0 kk

k

+∞ = +∞> ⇒ −∞ = −∞

0 kk

k

+∞ = −∞< ⇒ −∞ = +∞

si 0 0 si 0

kkk+

+∞ >= −∞ <

si 0

0 si 0

kkk−

−∞ >= +∞ <

0+

+∞= +∞

0+

−∞= −∞

0−

+∞= −∞

0−

−∞= +∞

GBG - 2010 8

si 1

0 si 0 1

kk

k+∞

+

+∞ >= < <

0 si 1

si 0 1

kk

k

+−∞

>= +∞ < <

( )si 0

0 si 0k k

k+

+∞ >+∞ = <

( )+∞+∞ = +∞ ( ) 0−∞ ++∞ =

( ) 0 si 00

si 0

k k

k

++

>= +∞ <

( )+0 0+∞ += ( )+0

−∞= +∞

GBG - 2010 9

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ( ) 2 4 5f x x x= − +

( )4

limx

f x→

4x −→ 4x +→

x ( )f x x ( )f x 3 2 5 10 3,9 4,61 4,1 5,41 3,99 4,9601 4,01 5,0401 3,999 4,996001 4,001 5,004001 ↓ ↓ ↓ ↓ 4− 5 4+ 5

( )4

lim 5x

f x−→

= ( )4

lim 5x

f x+→

=

( ) ( )

4 4lim limx x

f x f x− +→ →

=

( )

4lim 5x

f x→

=

GBG - 2010 10

( ) 2 4 5f x x x= − +

( ) ( )2 2

4 4lim lim 4 5 4 4 4 5 5x x

f x x x→ →

= − + = − ⋅ + =

GBG - 2010 11

LÍMITES EN EL INFINITO

El límite de una función polinómica P(x) cuando x tiende hacia a (a∈) es igual al valor numérico de P(x) para x = a.

( ) ( )limx a

P x P a→

=

( ) ( )2 2

4 4lim lim 4 5 4 4 4 5 5x x

f x x x→ →

= − + = − ⋅ + =

LÍMITES EN UN PUNTO

El límite de una función polinómica en el infinito (+∞ ó –∞) es igual al límite del término demayor grado.

( ) ( )2 2lim lim 4 5 limx x x

f x x x x→+∞ →+∞ →+∞

= − + = = +∞

( ) ( )2 2lim lim 4 5 limx x x

f x x x x→−∞ →−∞ →−∞

= − + = = +∞

GBG - 2010 12

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

( )22 3 2

2x xf x

x− −

=−

{ }Dom 2f = − 2 Dom f∉ ( )2f∃

2 es un punto de acumulación de Dom f

Estudiemos ( )2

limx

f x→

2x −→ 2x +→

x ( )f x x ( )f x

1 3 3 7

1,9 4,8 2,1 5,2

1,99 4,98 2,01 5,02

1,999 4,998 2,001 5,002

↓ ↓ ↓ ↓

2− 5 2+ 5

( )2

lim 5x

f x−→

= ( )2

lim 5x

f x+→

=

( ) ( )2 2

lim limx x

f x f x− +→ →

=

( )2

lim 5x

f x→

=

GBG - 2010 13

( )22 3 2

2x xf x

x− −

=−

( ) ( )( ) ( )2

2 2 2 2

2 2 12 3 2lim lim lim lim 2 1 52 2x x x x

x xx xf x xx x→ → → →

− +− −= = = + =

− −

( )2

2 2

2 3 2 0lim lim INDETERMINACIÓN2 0x x

x xf xx→ →

− −= =

−( )( )2

2 3 22 4 2

2 1 0

2 3 2 2 2 1x x x x

− −

− − = − +

GBG - 2010 14

LÍMITES EN EL INFINITO

( )22 3 2

2x xf x

x− −

=−

El límite de una función racional (cociente de dos polinomios) cuando x tiende a infinito (+∞ ó −∞) es igual al límite del cociente de los términos de mayor grado del numerador y del denominador, respectivamente.

( )22 3 2lim lim INDETERMINACIÓN

2x x

x xf xx→+∞ →+∞

− − ∞= =

− ∞

( ) ( )2 22 3 2 2lim lim lim lim 2

2x x x x

x x xf x xx x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− −= = = = +∞

−

( )22 3 2lim lim INDETERMINACIÓN

2x x

x xf xx→−∞ →−∞

− − ∞= =

− ∞

( ) ( )2 22 3 2 2lim lim lim lim 2

2x x x x

x x xf x xx x→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

− −= = = = −∞

−

GBG - 2010 15

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

( )

3 210 24 si 64 24

5 si 6

x x x xxf x

x

− +≠ −=

=

Dom f =

Obsérvese que ( )6 5f = Estudiemos

( )6

limx

f x→

6x −→ 6x +→

x ( )f x x ( )f x 5 1,25 7 5,25 5,9 2,8025 6,1 3,2025 5,99 2,980025 6,01 3,020025 5,999 2,99800025 6,001 3,00200025

↓ ↓ ↓ ↓ 6− 3 6+ 3

( )6

lim 3x

f x−→

= ( )6

lim 3x

f x+→

=

( ) ( )6 6

lim limx x

f x f x− +→ →

=

( )6

lim 3x

f x→

=

Límite finito en un punto finito GBG - 2010 16

( )

3 210 24 si 64 24

5 si 6

x x x xxf x

x

− +≠ −=

=

( ) ( )( )

( )( )( )

( )23 2

6 6 6 6 6

10 24 4 6 410 24lim lim lim lim lim 34 24 4 6 4 6 4x x x x x

x x x x x x x xx x xf xx x x→ → → → →

− + − − −− += = = = =

− − −

( )3 2

6 6

10 24 0lim lim INDETERMINACIÓN4 24 0x x

x x xf xx→ →

− += =

−( )( )2

1 10 246 6 24

1 4 0

10 24 6 4x x x x

−−

−

− + = − −

GBG - 2010 17

GBG - 2010 18

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

( )2

1 si 321 si 3

10 17 si 3

x x

f x x

x x x

+ <= − =− + − >

Estudiemos ( )3

limx

f x→

3x −→ 3x +→

x ( )f x x ( )f x 2 1,5 4 7 2,9 1,95 3,1 4,39 2,99 1,995 3,01 4,0399 2,999 1,9995 3,001 4,003999

↓ ↓ ↓ ↓ 3− 2 3+ 4

( )3

lim 2x

f x−→

= ( )3

lim 4x

f x+→

=

( ) ( )3 3

lim limx x

f x f x− +→ →

≠

( )3

limx

f x→

∃

No existe el límite de f cuando x tiende a 3

( )2

1 si 321 si 3

10 17 si 3

x x

f x x

x x x

+ <= − =− + − >

( )3 3

1 3 1lim lim 22 2x x

xf x− −→ →

+ += = =

( ) ( )2 2

3 3lim lim 10 17 3 10 3 17 4x x

f x x x+ +→ →

= − + − = − + ⋅ − =

( ) ( )3 3

lim limx x

f x f x− +→ →

≠ ( )3

limx

f x→

∃⇒

Límites en un punto finito

Límites en el infinito

( ) 1lim lim2x x

xf x→−∞ →−∞

+= = −∞

( ) ( ) ( )2 2lim lim 10 17 limx x x

f x x x x→+∞ →+∞ →+∞

= − + − = − = −∞

GBG - 2010 19

GBG - 2010 20

LÍMITES INFINITOS EN UN PUNTO Y LÍMITES EN EL INFINITO.

Estudia los límites en 4, –∞ y +∞ de la función ( ) 2 14

xf xx+

=−

4x −→ 4x +→ x →−∞ x →+∞

x ( )f x x ( )f x x ( )f x x ( )f x 3 –7 5 11 -10 1,357142857 10 3,5 3,9 –88 4,1 92 -100 1,913461538 100 2,09375 3,99 –898 4,01 902 -1000 1,991035857 1000 2,009036145 3,999 –8998 4,001 9002 -10000 1,99910036 10000 2,00090036 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 4− −∞ 4+ +∞ −∞ 2 +∞ 2

( )4

limx

f x−→

= −∞ ( )4

limx

f x+→

= +∞ ( )lim 2x

f x→−∞

= ( )lim 2x

f x→+∞

=

( ) ( )4 4

lim limx x

f x f x− +→ →

≠

( )4

limx

f x→

∃

CÁLCULO DE LÍMITES

Estudia los límites en 4, –∞ y +∞ de la función ( ) 2 14

xf xx+

=−

( )4 4

2 1 9lim lim INDETERMINACIÓN4 0x x

xf xx→ →

+= =

−

Estudiamos los límites laterales:

( )

( )( ) ( ) ( )4 4

44 4

4 4

2 1 9lim lim4 0 lim lim lim

2 1 9lim lim4 0

x x

xx x

x x

xf xx f x f x f xxf x

x

− −

− +

+ +

−→ →

→→ →

+→ →

+ = = = −∞− ⇒ ≠ ⇒ ∃+ = = = +∞−

( ) 2 1lim lim INDETERMINACIÓN4x x

xf xx→−∞ →−∞

+ ∞= =

− ∞

( ) 2 1 2lim lim lim lim 2 24x x x x

x xf xx x→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

+= = = =

−

( ) 2 1lim lim INDETERMINACIÓN4x x

xf xx→+∞ →+∞

+ ∞= =

− ∞

( ) 2 1 2lim lim lim lim 2 24x x x x

x xf xx x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+= = = =

−

GBG - 2010 21

( )4

limx

f x−→

= −∞

( )4

limx

f x+→

= +∞( ) ( )

4 4lim limx x

f x f x− +→ →

≠ ( )4

limx

f x→

∃

( )lim 2x

f x→−∞

= ( )lim 2x

f x→+∞

=

GBG - 2010 22

( ) 2 14

xf xx+

=−

Asíntota Horizontal2y =

Asíntota vertical4x =

GBG - 2010 23

( ) 2 14

xf xx+

=−