loa automa 1 ingenieria de control moderna-ogata 105155
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resumen del libro ogata por el profesor Hector Muñoz de la universidad de santiagoTRANSCRIPT
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ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROLResumen del libro “Ingeniería de Control Moderno; Katsuhiko Ogata”
PROF. HC!OR M"#O$ ROMRO
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INDICE
Capitulo 1 Introducción a los sistemas de control
Capítulo La trans!ormada de Laplace
Capítulo " Modelo matem#tico de sistemas lineales
Capítulo $ An#lisis de la respuesta transitoria
Capítulo % Acciones &#sicas de control ' respuesta de sistemas de control
Capítulo ( An#lisis del lu)ar )eom*trico de las raíces
Capítulo + Dise,o de sistemas de control mediante el m*todo del lu)ar )eom*trico de las raíces
Capítulo - An#lisis de la respuesta en !recuencia
Capitulo . Dise,o de sistemas de control mediante la respuesta en !recuencia
Capítulo 1/ Controles 0ID e introducción al control ro&usto
Capítulo ll An#lisis de sistemas de control en el espacio de estados
Capítulo 1 Dise,o de sistemas de control en el espacio de estados
Capítulo 1" An#lisis de esta&ilidad de Liapuno ' control óptimo cuadr#tico
Ap*ndice Antecedentes necesarios para el uso e!ectio de MATLA2
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l3l INTROD4CCI5N 6De!inición de t*rminos &#sicos78
Variable controlada: Es la %antidad o %ondi%i&n 'ue se mide ( %ontrola. Por lo %om)n* es lasalida +el resultado, del sistema.
9aria&le manipulada: E s la %antidad o %ondi%i&n 'ue el %ontrolador modi-i%a ara a-e%tar el /alorde la /ariable %ontrolada.
Controlar signi-i%a medir el /alor de la /ariable %ontrolada del sistema ( ali%ar la /ariablemaniulada al sistema ara %orregir o limitar una des/ia%i&n del /alor medido a artir de un /alordeseado.
Planta "na lanta uede ser una arte de un e'uio* tal /e0 un %on1unto de las artesde una m2'uina 'ue -un%ionan 1untas* el ro&sito de la %ual es e1e%utar una oera%i&n arti%ular.n este libro* llamaremos lanta a %ual'uier ob1eto -ísi%o 'ue se /a a %ontrolar +tal %omo un
disositi/o me%2ni%o* un horno de %ale-a%%i&n* un rea%tor at&mi%o o una na/e esa%ial,.
Procesos. l Diccionario Merriam-Webster de-ine un ro%eso %omo una oera%i&n o undesarrollo natural rogresi/amente %ontinuo* mar%ado or una serie de %ambios graduales 'uese su%eden unos al otros en una -orma relati/amente -i1a ( 'ue %ondu%en a un resultado oro&sito determinado; o una oera%i&n arti-i%ial o /oluntaria rogresi/a 'ue %onsiste en unaserie de a%%iones o mo/imientos %ontrolados* sistem2ti%amente dirigidos ha%ia un resultado o
ro&sito determinado.
CA0IT4LO 1 INTROD4CCI5N A LOS SISTEMAS DE CONTROL
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l3l INTROD4CCI5N 6De!inición de t*rminos &#sicos78
n este libro se llama proceso a %ual'uier oera%i&n 'ue se /a a %ontrolar. 3lgunose1emlos son los ro%esos 'uími%os* e%on&mi%os ( biol&gi%os.
Sistemas. "n sistema es una %ombina%i&n de %omonentes 'ue a%t)an 1untos ( reali0an unob1eti/o determinado. "n sistema no ne%esariamente es -ísi%o. l %on%eto de sistema se ali%aa -en&menos abstra%tos ( din2mi%os* tales %omo los 'ue se en%uentran en la e%onomía. Por lo
tanto* la alabra sistema debe interretarse %omo una imli%a%i&n de sistemas -ísi%os* biol&gi%os*e%on&mi%os ( similares. Perturbaciones. "na erturba%i&n es una se4al 'ue tiende a a-e%tar negati/amente el /alor de lasalida de un sistema. 5i la erturba%i&n se genera dentro del sistema se denomina interna, entanto 'ue una erturba%i&n externa se rodu%e -uera del sistema ( es una entrada.
Control realimentado. l %ontrol realimentado se re-iere a una oera%i&n 'ue* en resen%ia deerturba%iones* tiende a redu%ir la di-eren%ia entre la salida de un sistema ( alguna entrada dere-eren%ia ( lo %ontin)a ha%iendo %on base en esta di-eren%ia. 3'uí s&lo se ese%i-i%an %on estet6rmino las erturba%iones imrede%ibles* dado 'ue las erturba%iones rede%ibles o %ono%idassiemre ueden %omensarse dentro del sistema.
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13 E:EM0LO DE SISTEMAS DE CONTROL
Re)ulador de elocidad de ;att8 7a %antidad de %ombustible 'ue se admite ara lam2'uina se a1usta de a%uerdo %on la di-eren%ia entre la /elo%idad de la m2'uina 'uese retende al%an0ar ( la /elo%idad real o medida.
CA0IT4LO 1 INTROD4CCI5N A LOS SISTEMAS DE CONTROL
<om
<o
Contro-
lador
Driver
Sitemas de
medición
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13" CONTROL EN LA=O CERRADO EN COM0ARACI5N CON EL CONTROL ENLA=O A2IERTO
Sistema de control realimentado8 s un sistema 'ue mantiene una rela%i&n res%ritaentre la salida ( la entrada de re-eren%ia* %omar2ndolas ( usando la di-eren%ia %omomedio de %ontrol en %ombina%i&n %on una a%%i&n de %ontrol ade%uada ara redu%ir elerror del sistema.n la r2%ti%a* los t6rminos %ontrol realimentado ( %ontrol en la0o %errado se usan
indistintamente.
Sistema de control en la>o a&ierto8 5on sistemas en los %uales la salida no a-e%tala a%%i&n de %ontrol ali%ada. n otras alabras* no se mide la salida ni se realimentaara %omararla %on la entrada."n e1emlo r2%ti%o es una la/adora. l remo1o* el la/ado ( el en1uague en la la/adoraoeran %on una base de tiemo. 7a m2'uina no mide la se4al de salida* 'ue es lalimie0a de la roa.
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13" CONTROL EN LA=O CERRADO EN COM0ARACI5N CON EL CONTROL ENLA=O A2IERTO
Las enta?as de los sistemas de control en la>o a&ierto son las siguientes89. "na %onstru%%i&n sen%illa ( un mantenimiento -2%il.:. 5on menos %ostosos 'ue un sistema e'ui/alente en la0o %errado.. <o e=iste el roblema de estabilidad.>. 5on %on/enientes %uando es di-í%il medir la salida o no son -a%tibles en el ase%to
e%on&mi%o. +Por e1emlo* en el sistema de una la/adora* sería mu( %ostoso o-re%er undisositi/o ara medir la %alidad de la salida ?la limie0a de la roa? de la la/adora.,
Las desenta?as de los sistemas de control en la>o a&ierto son las siguientes89. 7as erturba%iones ( los %ambios en la %alibra%i&n ro/o%an errores ( la salida uedeser di-erente de lo 'ue se bus%a.:. Para %onser/ar la %alidad re'uerida en la salida* es ne%esaria una -re%uentere%alibra%i&n.
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Sistema de control de niel de lí@uido
Dia)rama de &lo@ues8
Dia)rama !ísico
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CA0T4LO LA TRANSBORMADA DE LA0LACE
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CA0T4LO LA TRANSBORMADA DE LA0LACE
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CA0T4LO " MODELAMIENTO MATEMATICO DE SISTEMAS DINÁMICOS
"31 INTROD4CCI5N
"n modelo matem#tico de un sistema din2mi%o se de-ine %omo un %on1unto dee%ua%iones 'ue reresentan la din2mi%a del sistema. @i%has e%ua%iones di-eren%ialesse obtienen a artir de las le(es -ísi%as 'ue gobiernan un sistema determinado* %omolas le(es de <eAton ara sistemas me%2ni%os ( las le(es de Kir%hho-- ara sistemasel6%tri%os.
7a din2mi%a de mu%hos sistemas* (a sean me%2ni%os* el6%tri%os* t6rmi%os*e%on&mi%os* biol&gi%os* et%.* ueden ser des%ritas or un mismo modelo matem2ti%o.
Obtener un modelo matem2ti%o ra0onable es la arte m2s imortante de todo an2lisisde sistemas din2mi%os* (a 'ue se debe %on1ugar el grado de %omle1idad del modelo (el error del mismo.
Sistemas lineales8 "n sistema es lineal si es ali%able el rin%iio de suerosi%i&n.Por tanto* la resuesta a /arias entradas se %al%ula tratando una entrada a la /e0 (sumando los resultados.
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CA0T4LO " MODELAMIENTO MATEMATICO DE SISTEMAS DINÁMICOS
"31 INTROD4CCI5N 6continuación7
Sistemas lineales8 5on sistemas din2mi%os -ormados or %omonentes dear2metros %on%entrados lineales in/ariantes %on el tiemo se des%riben mediantee%ua%iones di-eren%iales lineales in/ariantes %on el tiemo +de %oe-i%ientes%onstantes,.
Sistemas no lineales8 "n sistema es no lineal si no se ali%a el rin%iio de suerosi%i&n. Por tanto*ara un sistema no lineal la resuesta a dos entradasno uede %al%ularse tratando %ada una a la /e0 (sumando los resultados.
3un'ue mu%has rela%iones -ísi%as se reresentan a menudo mediante e%ua%ioneslineales* en la ma(or arte de los %asos las rela%iones reales no son /erdaderamentelineales. @e he%ho* un estudio %uidadoso de los sistemas -ísi%os re/ela 'ue in%luso losllamados “sistemas lineales” s&lo lo son en rangos de oera%i&n limitados. n lar2%ti%a* mu%hos sistemas ele%trome%2ni%os* hidr2uli%os* neum2ti%os* et%.* in/olu%ran
rela%iones no lineales entre las /ariables.
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CA0T4LO " MODELAMIENTO MATEMATICO DE SISTEMAS DINÁMICOS
"31 INTROD4CCI5N 6continuación7
Sistemas lineales e@uialentes”. stos sistemas s&lo son /2lidos en un rangolimitado de oera%i&n. "na /e0 'ue se aro=ima un sistema no lineal mediante unmodelo matem2ti%o lineal* mediante la “Lineali>ación de sistemas no linealesueden ali%arse las herramientas lineales ara el an2lisis ( el dise4o del sistema.
Cur/as %ara%terísti%as ara di/ersas no linealidades.
Á
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CA0T4LO " MODELAMIENTO MATEMATICO DE SISTEMAS DINÁMICOS
"3 B4NCI5N DE TRANSBERENCIA
Bunción de trans!erencia8 7a -un%i&n de trans-eren%ia de un sistema des%rito
mediante una e%ua%i&n di-eren%ial lineal e in/ariante %on el tiemo se de-ine %omo el%o%iente entre la trans-ormada de 7ala%e de la salida +-un%i&n de resuesta, ( latrans-ormada de 7ala%e de la entrada +-un%i&n de e=%ita%i&n, ba1o la suosi%i&n de'ue todas las %ondi%iones ini%iales son %ero.
DondeF 'F es la salida del sistema. GF es la entrada.B+s,8Fun%i&n de trans-ren%ia
Á
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CA0T4LO " MODELAMIENTO MATEMATICO DE SISTEMAS DINÁMICOS
"3 B4NCI5N DE TRANSBERENCIA
Comentarios acerca de la !unción de trans!erenciaF
9. 7a H6s7 de un sistema es un modelo matem2ti%o 'ue e=resa la e%ua%i&ndi-eren%ial 'ue rela%iona la /ariable de salida %on la /ariable de entrada* +an#lisis delsistema,.:. 7a H6s7 es una propiedad del sistema* indeendiente de la magnitud ( naturale0ade la entrada o -un%i&n de e=%ita%i&n.. 7a H6s7 rela%iona la entrada %on la salida; sin embargo* no roor%iona in-orma%i&na%er%a de la estru%tura -ísi%a del sistema. 3sí* la H6s7 de mu%hos sistemas -ísi%amentedi-erentes ueden ser id6nti%as.>. 5i se %ono%e la H6s7 de un sistema* se estudia la salida o resuesta ara /arias-ormas de entrada* %on la inten%i&n de %omrender la naturale0a del sistema.. 5i se des%ono%e la H6s7 de un sistema* uede estable%erse e=erimentalmenteintrodu%iendo entradas %ono%idas ( estudiando la salida del sistema* 6síntesis delsistema78D.7a H6s7 roor%iona una des%ri%i&n %omleta de las %ara%terísti%as din2mi%as delsistema* a di-eren%ia de su des%ri%i&n -ísi%a.
Á
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CA0T4LO " MODELAMIENTO MATEMATICO DE SISTEMAS DINÁMICOS
"3 B4NCI5N DE TRANSBERENCIA
O&tención de la Bunción de trans!erencia8 Para obtener la -un%i&n de trans-eren%ia*
ro%edemos de a%uerdo %on los asos siguientes89. s%riba la e%ua%i&n di-eren%ial ara el sistema.:. !ome la trans-ormada de 7ala%e de la e%ua%i&n di-eren%ial* suoniendo 'ue todaslas %ondi%iones ini%iales son %ero.. !ome el %o%iente entre la salida Eo+s, ( la entrada Er+s,. ste %o%iente es la -un%i&nde trans-eren%ia.
E?emploFF(t)/2: Fuerza de empuje de cada reactor
T(t): ar T(t) = F*L
8 Momento de iner%ia alrededor del e1ede rota%i&n en el %entro de la masa
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CA0T4LO " MODELAMIENTO MATEMATICO DE SISTEMAS DINÁMICOS
"3 B4NCI5N DE TRANSBERENCIA
Inte)ral de conolución8 Para un sistema lineal e in/ariante %on el tiemo* la -un%i&n
de trans-eren%ia B+s, es8
@onde8 G+s, es la trans-ormada de 7ala%e de la entrada. E+s, es la trans-ormada de 7ala%e de la salida5uoniendo 'ue todas las %ondi%iones ini%iales in/olu%radas son %ero* se obtiene 'uela salida E+s, se es%ribe %omo <6s7 H6s7JK6s7
7a multili%a%i&n en el dominio %omle1o es e'ui/alente a la %on/olu%i&n en el dominiodel tiemo* or lo 'ue la trans-ormada in/ersa de 7ala%e de la e%ua%i&n anterior seobtiene mediante8
Con g+t, ( =+t, ara t J .
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CA0T4LO " MODELAMIENTO MATEMATICO DE SISTEMAS DINÁMICOS
"3 B4NCI5N DE TRANSBERENCIA
Respuesta3impulso8 Para una entrada imulso unitario %on %ondi%iones ini%iales
nulas es <6s7 H6s7
7a trans-ormada in/ersa de 7ala%e de H6s7 reresenta la resuesta del sistema anteun imulso unitario.
"3" DIAHRAMAS DE 2LO4ES7a reresenta%i&n en diagrama de bloques muestra las rela%iones e=istentes entrelos di/ersos %omonentes. E a di-eren%ia de una reresenta%i&n matem2ti%auramente abstra%ta* un diagrama de blo'ues tiene la /enta1a de indi%ar en -orma m2srealista el -lu1o de las se4ales del sistema real.
Elemento del dia)rama de &lo@uesF7a unta de -le%ha 'ue se4ala el blo'ueindi%a la entrada* ( la unta de -le%ha 'uese ale1a del blo'ue reresenta la salida.
7a se4al s&lo uede asar en la dire%%i&n de las -le%has. Por tanto* un diagrama deblo'ues de un sistema de %ontrol muestra e=lí%itamente una roiedad unilateral.
B+s,K6s7 <6s7
<6s7H6s7JK6s7
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CA0T4LO " MODELAMIENTO MATEMATICO DE SISTEMAS DINÁMICOS
Punto suma. U n %ír%ulo %on una %ru0 es el símbolo 'ueindi%a una oera%i&n de suma. l signo de m2s o de menosen %ada unta de -le%ha indi%a si la se4al debe sumarse orestarse.
Punto de ramiicaci!n: " s a'uel a artir del %ual la se4al deun blo'ue /a de modo %on%urrente a otros blo'ues o untossuma.
Dia)rama de &lo@ues de un sistema en la>o cerradoF
sta -ormado or un %omarador* “unto suma”* unalanta “B+s,” ( una retroalimenta%i&n “H+s,”.
C(s) = G(s)*E(s)
E(s) = R(s) - B(s)
E(s) = R(s) - H(s)C(s)
C6s7R6s7H6s71H6s7JP6s7Q
"3" DIAHRAMAS DE 2LO4ESF Cual'uier sistema de %ontrol lineal uedereresentarse mediante un diagrama de blo'ues -ormado or untos suma* blo'ues (untos de rami-i%a%i&n.
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"3" DIAHRAMAS DE 2LO4ES
Sistema en la>o cerrado su?eto a una pertur&aciónF Cuando se resentan dos
entradas +la entrada de re!erencia ' la pertur&ación, en un sistema lineal* el e-e%toen la salida de %ada una de ellas ueden sumarse ara obtener la salida %omleta.
5i8 se tiendea surimir el e-e%to de la erturba%i&n
5i8or lo 'ue /aria%iones de B9+s, ( B:+s, noa-e%tan la Fde! en la0o %errado
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"3" DIAHRAMAS DE 2LO4ES
0rocedimientos para di&u?ar un dia)rama de &lo@ues.
1.s%ribir las e%s. 'ue des%riben el %omortamiento din2mi%o de %ada %omonente.. !omar las !r. de 7. de estas e%s* %on %ondi%iones ini%iales son %ero". Reresentar en -orma de blo'ues %ada e%. trans-ormada or el m6todo de 7ala%e.$. Integrar los elementos en un diagrama de blo'ues %omleto.1emlo8
Circuito #C
dia)rama de &lo@ues del circuito#C
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CA0T4LO " MODELAMIENTO MATEMATICO DE SISTEMAS DINÁMICOS
"3" DIAHRAMAS DE2LO4ES
Reducción de undia)rama de&lo@ues8 "ndiagrama de blo'ues%omle1o 'ue%ontenga mu%hosla0os derealimenta%i&n sesimli-i%a mediante unreordenamiento asoa aso mediante lasre)las del #l)e&ra delos dia)ramas de&lo@ues.
re)las del #l)e&ra de los dia)ramas de &lo@ues.
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"3" DIAHRAMAS DE 2LO4ES
E?emplo de reducción de un dia)rama de &lo@ues
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"3" DIAHRAMAS DE 2LO4ES
E?emplos de modelamiento matem#tico de sistemas 6a desarrollar en clases7
CA0T4LO " MODELAMIENTO MATEMATICO DE SISTEMAS DINÁMICOS
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CA0T4LO " MODELAMIENTO MATEMATICO DE SISTEMAS DINÁMICOS
"3" DIAHRAMAS DE 2LO4ES
Lineali>ación de modelos matem#ticos 6a desarrollar en clases7
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CA0T4LO $ ANÁLISIS DE LA RES04ESTA TRANSITORIA
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CA0T4LO $ ANÁLISIS DE LA RES04ESTA TRANSITORIA
$3 SISTEMAS DE 0RIMER ORDEN BdeTF
$881F Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden8
r+t, δ+t,
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CA0T4LO $ ANÁLISIS DE LA RES04ESTA TRANSITORIA
$88F Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden8
C+s,+9L+!sN9,s
t C+t, e+t,
. 9.
.D: .DQ
: .QD .9
. .
> .Q: .9Q
. .S
D .Q .:
S . .9
r+t,u+t,
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$88"F Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden8
r+t,tt
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CA0T4LO $ ANÁLISIS DE LA RES04ESTA TRANSITORIA
$88$F Respuesta sinusoidal de sistemas de primer orden8
C+s, 9+!5N9,LA+ssNAA,R+s,A+ssNAA,
r+t,sen+:T-t, %+t, L+9!,: N- :e?+t!,NL9U+9!,:N- :V+.,sen+:T-t?θ, θatn+:T-!,
θ
r+t,
%+t,
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CA0T4LO $ ANÁLISIS DE LA RES04ESTA TRANSITORIA
$3" SISTEMAS DE SEH4NDO ORDEN BdeTF
R+s, 9
$8"81FRespuesta de un sistemas de se)undo orden ante pertur&ación impulsoF
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$8"81FRespuesta de un sistemas de se)undo orden ante pertur&ación impulsoF
r+t, δ+t,
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l error resenta una os%ila%i&nsenoidal amortiguada.
n el in-inito* el error tiende a %ero
CA0T4LO $ ANÁLISIS DE LA RES04ESTA TRANSITORIA
Primer %aso8 oJ J9; An#lisis del error
Para ; Resuesta no amortiguada* os%ila%iones inde-inidamente.
$8"81F Respuesta de un sistema de se)undo orden ante pertur&ación impulso
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Primer %aso8 oJ J9; sub?amortiguado os%ila%iones amortiguadas
Para tW
$8"8FRespuesta de un sistema de se)undo orden ante una pertur&ación escalón
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C 4 O S S S 4 S S O
Primer %aso8 oJ J9; %ontinua%i&n
$8"8FRespuesta de un sistema de se)undo orden ante una pertur&ación escalón
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$8"8FRespuesta de un sistema de se)undo orden ante una pertur&ación escalón
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Para 9; Críti%amente amortiguado
Para W 9; Caso sobre?amortiguado
5i W: 7a resuesta es similar a la deun sistema de rimer orden.
resuesta es%al&n unitario aro=imada* %uando uno delos olos se uede desre%iar.
$8"8F Resumen de las respuestas de un sistema de se)undo orden ante pertur&ación escalón
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$8"8F Resumen de las respuestas de un sistema de se)undo orden ante pertur&ación escalón
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$8"8F Resumen de las respuestas de un sistema de se)undo orden ante pertur&ación escalón
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$8"8"FRespuesta de sistemas de se)undo orden ante pertur&ación rampaF
R+s, 9
c(t)= t-[2.ξ/f n]+ [1/f n(1-ξ2)0.5].e-(ξ.fn.t) .sen{2π.f n(1-ξ2)0.5t-θ}
Con:
θ=2.arc.cos[-(1-ξ2)0.5/ξ]
r(t)=t2Para: 0< >
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R+s,-+ssN--,
r+t,sen+:T.-.t,
θ
r+t,
%+t,
L-+s.sN-.-,
$8"8$FRespuesta de sistemas de se)undo orden ante pertur&ación sinusoidalF
c(t)= [(f 2*f n2)/(f n
2-f 2)0.5]*[(1/f )sen(2πft-φ1)+[1/{f n(1-ξ2)0.5}]e-ξfnt *sen{2πf n(1-ξ2)0.5t-φ2}]
Con:
φ1=atn[(2π2ξff n)/ (f n2-f 2)]
φ2=atn[{-2π2ξf n2(1-ξ2)0.5}/{f 2-f n
2(1-2ξ2)}]
Para: 0< >
CA0T4LO - ANÁLISIS DE LA RES04ESTA EN BREC4ENCIA
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-31 INTROD4CCI5N5e llama resuesta en -re%uen%ia a la resuesta de un sistema en estado estable anteuna entrada senoidal.
Mediante este ensa(o se uede obtener la F.de !. +e'uio %omle1o,s relati/amente simle.Permite dise4ar desre%iando los ruido así %omo e=tender este an2lisis ( dise4o aalgunos sistemas de %ontrol no lineales.
Salida en estado esta&le para una entrada senoidalFPara sistemas estables %on entrada “=+t,3.sen+A.t,” la resuesta esta%ionaria es
“%+t,X.sen+A.tNφ,“; Con8 X3YB+1A,Y; ( φ3ngLB+1A,
salida senoidal de la misma-re%uen%ia 'ue la entrada.la amlitud ( la -ase de la salida ser2ndi-erentes de las de la entrada.
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-31 INTROD4CCI5N
7a F.de!. 5enoidal H6?7R6?7C6?7 es una %antidad %omle1a* reresentado or unm&dulo ( un 2ngulo de -ase en -un%i&n de la -re%uen%ia.
"n φ negati/o se denomina atraso de -ase."n φ ositi/o se denomina adelanto de -ase.B+1A, se obtiene sustitu(endo 1A or s en la F. de !. del sistema.
0resentación de las características de la respuesta en !recuencia en !orma)r#!ica87a -un%i&n de trans-eren%ia senoidal* se %ara%teri0a or su magnitud ( 2ngulo de -ase.se usan tres reresenta%iones gr2-i%as89. 7as tra0as de Xode o tra0as logarítmi%as:. 7a tra0a de <('uist o tra0a olar . 7a tra0a de magnitud logarítmi%a %ontra la -ase
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-381 El !actor )ananciaF G(!) = "
%ur/a de 2ngulo de -ase
Cur/a de magnitud logarítmi%a
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G(!)=!(-+1)
-38 Bactores inte)ral ' deriadoF 6polos ' ceros en el ori)en78
Para G(!)=!(-+n)
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G(!)= (1+!#) (-1)
-38"3a Bactor de primer orden en atraso
Cur/a de magnitud ( -ase
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G(!)= (1+!#) (+1)
-38"3& Bactor de primer orden en adelanto
Cur/a de magnitud
Cur/a de -ase
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2ngulo de -ase
G(!)=[1+2ξ(!/!n) +(!/!n)2] (-1)
-38$ Bactor de se)undo orden en atraso
magnitud logarítmi%a
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-38$ Bactor de se)undo orden en atraso +%ontinua%i&n,
Brecuencia de resonancia ;r ' el alor de la amplitud de resonancia Mr
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