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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN

LOCALIZACIÓN Y SEGUIMIENTO DE AERONAVES MEDIANTE SISTEMAS DE MULTILATERACIÓN DE ÁREA EXTENSA

TESIS DOCTORAL

Jorge José Abbud Momma

Ingeniero de Telecomunicación

Madrid, 2015

Dpto. de Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones

Grupo de Procesado de Datos y Simulación

E.T.S.I. DE TELECOMUNICACIÓN

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

LOCALIZACIÓN Y SEGUIMIENTO DE AERONAVES MEDIANTE SISTEMAS DE MULTILATERACIÓN DE ÁREA EXTENSA

TESIS DOCTORAL

Autor: Jorge José Abbud Momma

Ingeniero de Telecomunicación

Director: Gonzalo de Miguel Vela

Doctor Ingeniero de Telecomunicación

Madrid, 2015

TRIBUNAL

Tribunal nombrado por el Magnífico y Excelentísimo Sr. Rector de la Universidad Politécnica de Madrid, el día .

Presidente:

Vocal:

Vocal:

Vocal:

Secretario:

Suplente:

Suplente:

Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis el día en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación.

CALIFICACIÓN:

EL PRESIDENTE LOS VOCALES

EL SECRETARIO

i

A Carolina, Teruyo y José Luis.

iii

AGRADECIMIENTOS

A mi director, Gonzalo de Miguel, por su apoyo y colaboración, sabiendo que compagino esta Tesis con mi actividad profesional.

A él y a Jesús Besada por informarme de la existencia del ESAV2011. Allí presenté mi primer artículo en un congreso.

A Hiromi Miyazaki por informarme de la existencia del congreso EIWAC2013. A Shigeru Ozeki y el equipo de ENRI por la organización del mismo.

A mi padre, que fue el primero en mencionar el Doctorado. A mi madre, que desde la paciencia ha estado apoyándome en este camino.

A mi familia, tanto los que están como los que estuvieron, que siempre ha tenido la formación como un pilar básico para el crecimiento y el desarrollo del ser humano.

A mis Sensei José Manuel, Juan y Juan Antonio, por enseñarme la disciplina, la constancia y el esfuerzo desde otra perspectiva, a través del Karate.

A Carolina, que con su cariño y su amor me ha apoyado desde el primer día en este camino, sobre todo en los momentos más difíciles, dejando que dedique casi todo el tiempo posible a esta Tesis. Sin ella, seguramente no hubiese ni empezado. Gracias por aguantarme.

v

ÍNDICE

ÍNDICE DE TABLAS .............................................................................................................. xii

RESUMEN ............................................................................................................................ xiv

SUMMARY ............................................................................................................................ xv

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................... 1

1.1. Necesidades presentes y futuras del espacio aéreo ................................................................... 1

1.1.1. Crecimiento del transporte de pasajeros y de carga ........................................................... 1

1.1.2. Usuarios civiles y militares .................................................................................................. 3

1.1.3. Los aviones no tripulados ................................................................................................... 3

1.2. La gestión de un bien escaso: el espacio aéreo .......................................................................... 4

1.2.1. La fragmentación conduce a la ineficiencia ........................................................................ 4

1.2.2. El objetivo: un único espacio aéreo europeo ...................................................................... 7

1.3. El concepto CNS/ATM ............................................................................................................... 13

1.3.1. Descripción de los sistemas ............................................................................................. 14

1.3.2. La convergencia de los sistemas ...................................................................................... 26

CAPÍTULO 2. FUNCIONAMIENTO BÁSICO DEL SISTEMA WAM ............................ 28

2.1. Descripción del sistema WAM ................................................................................................... 28

2.1.1. Definición .......................................................................................................................... 28

2.1.2. Historia de los sistemas de localización hiperbólica ......................................................... 28

2.1.3. Principio de funcionamiento de la multilateración ............................................................. 30

2.1.4. Arquitecturas existentes ................................................................................................... 31

2.2. Planteamiento del caso ideal ..................................................................................................... 39

2.2.1. Definiciones ...................................................................................................................... 39

2.2.2. Caso ideal ......................................................................................................................... 40

2.3. Errores que afectan a la determinación de posición .................................................................. 42

2.3.1. Efecto de los errores aleatorios ........................................................................................ 42

2.3.2. Efecto de los errores sistemáticos .................................................................................... 53

2.3.3. Concepto de pseudodistancia........................................................................................... 60

2.4. Planteamiento del problema matemático .................................................................................. 62

vi

CAPÍTULO 3. SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE MULTILATERACIÓN EN PRESENCIA DE ERRORES DE PROPAGACIÓN Y SINCRONISMO ..................................................... 63

3.1. Necesidades del sistema ........................................................................................................... 63

3.2. Análisis del sistema de ecuaciones para el sistema de localización hiperbólico ....................... 64

3.3. Solución al problema muestra a muestra .................................................................................. 64

3.3.1. Mediante calibración ......................................................................................................... 64

3.3.2. Mediante tráfico de oportunidad ....................................................................................... 65

3.4. Solución al problema de seguimiento ........................................................................................ 69

3.4.1. Técnicas de seguimiento de blancos ................................................................................ 69

3.4.2. Seguimiento de los errores sistemáticos .......................................................................... 76

3.4.3. Arquitectura del sistema ................................................................................................... 79

3.4.4. Implementación ................................................................................................................ 80

CAPÍTULO 4. EXPERIMENTOS .................................................................................. 86

4.1. Diseño de los experimentos ...................................................................................................... 86

4.2. Ajustes experimentales ............................................................................................................. 88

4.2.1. Configuración de las estaciones base .............................................................................. 88

4.2.2. Análisis del intervalo de confianza de la media ................................................................ 90

4.2.3. Configuración del filtro de seguimiento ............................................................................. 91

4.2.4. Configuraciones de las aeronaves .................................................................................... 92

4.3. Resultados experimentales ....................................................................................................... 95

4.3.1. Escenario A ...................................................................................................................... 95

4.3.2. Escenario B ...................................................................................................................... 98

4.4. Discusión ................................................................................................................................. 102

4.4.1. Acerca de las hipótesis ................................................................................................... 102

4.4.2. Acerca del cumplimiento de los requisitos ...................................................................... 103

4.4.3. Otras consideraciones .................................................................................................... 104

CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS ...................................... 105

5.1. Conclusiones ........................................................................................................................... 105

5.2. Trabajos futuros ...................................................................................................................... 107

5.2.1. Mejoras del sistema de seguimiento ............................................................................... 107

5.2.2. Siguiente fase de los experimentos ................................................................................ 107

5.2.3. Otras líneas de investigación .......................................................................................... 107

vii

CAPÍTULO 6. BIBLIOGRAFÍA .................................................................................... 108

ANEXO I. SISTEMAS DE COORDENADAS Y TRANSFORMACIONES ................... 116

I.1. Sistema geodésico mundial - WGS ......................................................................................... 116

I.1.1. Elipsoide WGS84 ............................................................................................................ 116

I.1.2. Sistemas de coordenadas .............................................................................................. 117

I.1.3. Relación entre el nivel del mar y el elipsoide WGS84 .................................................... 120

I.2. Transformaciones de coordenadas ......................................................................................... 121

I.2.1. Llh – ECEF ..................................................................................................................... 121

I.2.2. ECEF – ENU................................................................................................................... 123

ANEXO II. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LOCALIZACIÓN HIPERBÓLICA 125

II.1. Método iterativo ....................................................................................................................... 126

II.1.1. Procedimiento ................................................................................................................. 126

II.1.2. Ejemplos ......................................................................................................................... 127

II.2. Métodos algebraicos ............................................................................................................... 128

II.2.1. Algoritmo de Bancroft ..................................................................................................... 128

II.2.2. Algoritmo de Chan, Ho ................................................................................................... 131

ANEXO III. UNSCENTED KALMAN FILTER ................................................................. 136

III.1. Introducción ............................................................................................................................. 136

III.2. Planteamiento del problema .................................................................................................... 136

III.3. Unscented Transform .............................................................................................................. 137

III.4. Unscented Kalman Filter ......................................................................................................... 139

III.5. Ejemplo ................................................................................................................................... 141

III.5.1. Problema ........................................................................................................................ 141

III.5.2. Resolución mediante EKF: desarrollo ............................................................................. 142

III.5.3. Resolución mediante UKF .............................................................................................. 142

III.5.4. Experimento.................................................................................................................... 143

ANEXO IV. COTA DE CRAMÉR-RAO PARA LOCALIZACIÓN HIPERBÓLICA ....... 145

IV.1. Localización esférica ............................................................................................................... 145

IV.2. Localización hiperbólica .......................................................................................................... 146

viii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1. Tráfico anual de pasajeros a nivel mundial (en billones de PKT). ............................. 2

Figura 1.2. Efecto de las zonas militares en las rutas aéreas. .................................................... 3

Figura 1.3. Trayectoria de un vuelo regular Madrid – Múnich. .................................................... 5

Figura 1.4. Sistemas constituyentes del la red europea de gestión del tráfico aéreo. ................ 8

Figura 1.5. Esquema con los problemas existentes en la gestión del tráfico aéreo europeo. .. 11

Figura 1.6. Esquema (ideal) del espacio aéreo europeo tras la implementación de SESAR. .. 11

Figura 1.7. Mapa con los nueve bloques funcionales de espacio aéreo (FAB). ........................ 12

Figura 1.8. Precisión (2D) de los sistemas de navegación. ....................................................... 14

Figura 1.9. El ASR-23SS (Raytheon) está compuesto por un PSR (abajo, con sus iluminadores y su reflector en rejilla) y un SSR (arriba). .................................................................................. 16

Figura 1.10. Estación SSR. ........................................................................................................ 17

Figura 1.11. Principio de funcionamiento de la multilateración. ................................................. 22

Figura 1.12. Papel del sistema de WAM como constituyente del sistema de vigilancia en el esquema del control de tráfico aéreo. ......................................................................................... 23

Figura 1.13. Esquema de intercambio de datos de vigilancia. .................................................. 24

Figura 2.1. Geometría de multilateración en 2D con tres estaciones receptoras. ..................... 30

Figura 2.2. Obtención de TDOA a partir de las medidas de TOA [13]....................................... 32

Figura 2.3. Obtención de TDOA mediante correlación cruzada de las señales recibidas [13]. 33

Figura 2.4. Topologías existentes para la sincronización de los receptores [13, 18]. ............... 34

Figura 2.5. Arquitectura de reloj común [13, 18]. ....................................................................... 35

Figura 2.6. Esquema de arquitectura distribuida [13, 18]. ......................................................... 36

Figura 2.7. Arquitectura de sincronismo “stand-alone” mediante GNSS [13, 18]. ..................... 37

Figura 2.8. Arquitectura de reloj acoplado con GPS [20]. .......................................................... 38

Figura 2.9. Arquitectura de sincronismo mediante GNSS "common-view" [13, 18]. ................. 38

Figura 2.10. Ramas de una familia de hipérbolas definidas por múltiplos enteros de σi. .......... 44

Figura 2.11. Desviación típica del error horizontal de posicionamiento para un ruido de medida de TDOA de 10ns (unidad: m). ................................................................................................... 44

Figura 2.12. Desviación típica del error horizontal de posicionamiento para un ruido de medida de TDOA de 33ns (unidad: m). ................................................................................................... 45

Figura 2.13. Influencia de la geometría de la constelación en la localización. .......................... 45

ix

Figura 2.14. Mapa de HDOP para la constelación C. ................................................................ 47

Figura 2.15. Mapa de VDOP para la constelación C. ................................................................ 47

Figura 2.16. Mapa de HDOP para la constelación H. ................................................................ 47

Figura 2.17. Mapa de VDOP para la constelación H. ................................................................ 48

Figura 2.18. Cota inferior del error cuadrático medio – componente horizontal (m). ................ 51

Figura 2.19. Cota inferior del error cuadrático medio – componente vertical (m). ..................... 51

Figura 2.20. Método de Bancroft: cociente de la desviación típica de la componente horizontal de error por Hmin. ......................................................................................................................... 52

Figura 2.21. Método de Bancroft: cociente de la desviación típica de la componente vertical de error por Vmin. ............................................................................................................................... 52

Figura 2.22. Método de Chan-Ho: cociente de la desviación típica de la componente horizontal de error por Hmin. ......................................................................................................................... 53

Figura 2.23. Método de Chan-Ho: cociente de la desviación típica de la componente vertical de error por Vmin........................................................................................................................... 53

Figura 2.24. Temperatura y presión de la atmósfera en función de la altitud. ........................... 54

Figura 2.25. Valor del coíndice de refracción (N) en función de la altitud. ................................ 55

Figura 2.26. Ley de Snell entre dos medios con diferente índice de refracción. ....................... 56

Figura 2.27. Diferencia entre la trayectoria recorrida por una onda radioeléctrica y la distancia entre transmisor y receptor, en función de la altitud del transmisor. .......................................... 58

Figura 2.28. Cociente de la división de ∆P para una aeronave a una altitud determinada entre ∆P para una aeronave a una altitud de 14000m, para una misma distancia euclídea............... 58

Figura 2.29. Cociente de la división de ∆P para una aeronave a una altitud determinada entre ∆P para una aeronave a una altitud de 14000m, para una misma distancia euclídea............... 59

Figura 3.1. Función densidad de probabilidad de la aceleración en el modelo de Singer. ....... 73

Figura 3.2. Concepto de propagación de la media y la varianza: Monte Carlo, EKF y UT [78]. 76

Figura 3.3. Arquitectura del sistema. ......................................................................................... 79

Figura 3.4. Diagrama de bloques de la etapa de predicción del blanco [78]. ............................ 81

Figura 4.1. Diagrama de bloques del protocolo experimental. .................................................. 87

Figura 4.2. HDOP de la constelación empleada en los experimentos. ..................................... 89

Figura 4.3. VDOP de la constelación empleada en los experimentos. ...................................... 90

Figura 4.4. Escenario en base a los datos de la Tabla 4.1 y de la Tabla 4.4. ........................... 93

Figura 4.5. Escenario en base a los datos de la Tabla 4.1 y de la Tabla 4.5. ........................... 94

Figura 4.6. Sesgo de localización en el escenario A. ................................................................ 96

x

Figura 4.7. Desviación típica del error de localización en el escenario A. ................................. 96

Figura 4.8. Media del error de localización horizontal (unidad: m). ........................................... 97

Figura 4.9. Desviación típica del error de localización horizontal (unidad: m). .......................... 97

Figura 4.10. Valor absoluto de la media del error de localización vertical (unidad: m). ............ 98

Figura 4.11. Desviación típica del error de localización vertical (unidad: m). ............................ 98

Figura 4.12. Sesgo de localización en el escenario B. .............................................................. 99

Figura 4.13. Desviación típica del error de localización en el escenario B. ............................... 99

Figura 4.14. Media del error de localización horizontal (unidad: m). ....................................... 100

Figura 4.15. Desviación típica del error de localización horizontal (unidad: m). ...................... 100

Figura 4.16. Media del error de localización vertical (unidad: m). ........................................... 101

Figura 4.17. Desviación típica del error de localización vertical (unidad: m). .......................... 101

Figura 4.18. Cociente de la desviación típica de la componente horizontal del error entre Hmin. ................................................................................................................................................... 102

Figura 4.19. Cociente de la desviación típica de la componente vertical del error entre Vmin. 102

Figura I.1. Definición del sistema de coordenadas WGS 84. .................................................. 117

Figura I.2. Sistema de coordenadas geodésicas. .................................................................... 118

Figura I.3. El punto P es el centro del sistema de referencia local ENU. ................................ 119

Figura I.4. Ilustración de los distintos conceptos. .................................................................... 120

Figura I.5. Relación entre la altitud ortométrica y la altitud elipsoidal. ..................................... 120

Figura I.6. Altitud del geoide EGM2008 respecto del elipsoide WGS84. ................................ 121

Figura III.1. Principio de la Unscented Transform [69]. ............................................................ 137

Figura III.2. Valor de las medidas en función del tiempo. ........................................................ 143

Figura III.3. Comparación de las soluciones EKF y UKF con el valor real. ............................. 144

Figura III.4. Error en la estimación de posición con EKF y UKF. ............................................. 144

xii

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1.1. Comparativa del tráfico aéreo en 2010 entre Europa y EEUU. ................................... 6

Tabla 1.2. Cuadro resumen de los sistemas de vigilancia. ......................................................... 22

Tabla 3.1. Relación entre N y el valor mínimo de M. .................................................................. 65

Tabla 4.1. Posición de las estaciones base. ............................................................................... 88

Tabla 4.2. Parámetros característicos de los errores de sincronismo. ....................................... 88

Tabla 4.3. Parámetros del modelo de Singer. ............................................................................. 92

Tabla 4.4. Trayectorias de las aeronaves en el escenario A. ..................................................... 92

Tabla 4.5. Trayectorias de las aeronaves en el escenario B. ..................................................... 93

Tabla II.1. Estimación de la posición en cada iteración – caso convergente. .......................... 128

Tabla II.2. Estimación de la posición en cada iteración – caso divergente .............................. 128

Tabla III.1. Condiciones experimentales. .................................................................................. 143

xiv

RESUMEN

El continuo crecimiento de la demanda del transporte aéreo, junto con los nuevos escenarios de intervención militar, están obligando a una optimización en el uso del espacio aéreo. De este modo, la UE y los EEUU (a través de SESAR y NextGen respectivamente) han asentado las bases para una nueva gestión del tráfico aéreo (ATM). Con ello, se pretende aumentar la capacidad de aeropuertos y rutas aéreas, otorgando mayor flexibilidad al uso del espacio aéreo sin comprometer la seguridad de los usuarios.

Desde un punto de vista puramente técnico, la clave de este cambio de modelo está en el conocimiento de la posición de cada aeronave en cada instante. En este sentido, la tendencia en ATM es el uso de ADS-B como fuente principal de posicionamiento. Sin embargo, debido a que este sistema está basado en la difusión de la posición obtenida a través de GPS, es necesario un sistema de seguimiento independiente. Actualmente, la intención es migrar del radar secundario de vigilancia (SSR) a la multilateración de área extensa (WAM), con el fin de mejorar la integridad de la posición para aplicaciones en ruta.

Aprovechando el rápido despliegue de ADS-B, se pretende reutilizar sus estaciones base para WAM. Cada estación base que recibe el mensaje ADS-B de la aeronave envía conjuntamente la medida del tiempo de llegada (TOA) de dicho mensaje al centro de tráfico aéreo. La posición de la aeronave se obtiene mediante multilateración, cuya técnica consiste en utilizar las medidas de TOA de un mismo mensaje ADS-B obtenidas en las distintas estaciones base.

El objetivo es estimar la posición de cada aeronave con la mayor precisión posible.

Para poder diseñar el sistema que permite alcanzar este objetivo, son dos los aspectos básicos a estudiar. Por una parte, la identificación y posterior caracterización de los errores (tanto sistemáticos como aleatorios) que afectan a la medida de TOA. Por otra parte, es necesario el estudio de los sistemas de seguimiento, basados en versiones sofisticadas del filtro de Kalman (IMM, UKF).

Una vez establecidos estos dos pilares, la presente tesis doctoral propone un sistema que permite efectuar el seguimiento de las aeronaves, corrigiendo los efectos de las principales distorsiones que afectan a la medida de TOA: la refracción troposférica y el error de sincronismo. La mejora en la precisión de la localización ha sido evaluada mediante simulación de escenarios hipotéticos.

xv

SUMMARY

The ever-growing demand in the air transportation and the new military intervention scenarios, are generating a need to optimize the use of the airspace. This way, the EU and the USA (through SESAR and NextGen respectively) have set the ground to overhaul the current air traffic management. The intention is to enhance the capacity of airports and air routes, providing greater flexibility in the use of airspace without jeopardizing the security of the end-users.

From a technical perspective, the key for this change lies in the knowledge of the aircraft position. The trend in Air Traffic Management (ATM) is to rely on ADS-B as the main source for aircraft positioning. However, this system is based on the aircraft’s self-declaration of its own (often GPS-based) navigation solution. It is therefore necessary to have an independent surveillance system.

Nowadays, the intention is to gradually migrate from Secondary Surveillance Radar (SSR) towards Wide Area Multilateration (WAM) in order to enhance surveillance integrity for en-route applications.

Given the fast deployment of ADS-B, the aim is to use its base stations for WAM. Each station sends the Time of Arrival (TOA) of the received ADS-B messages to the air traffic center (ATC). The aircraft position is obtained through multilateration, using the TOA of the same message measured by each station.

The aim is to accurately estimate the position of each aircraft.

Knowledge from two key areas has to be gathered prior to designing such a system. It is necessary to identify and then characterize the errors (both systematic and random) affecting the TOA measurements. The second element is the study of tracking systems based on sophisticated versions of the Kalman filtering (e.g. IMM, UKF).

Based on this knowledge, the main contribution of this Ph.D. is an aircraft tracking system that corrects the effects of the main errors involved in the TOA measurement: tropospheric refraction and synchronization issues. Performance gains in positioning accuracy have been assessed by simulating hypothetical WAM scenarios.

1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

La multilateración de área extensa (WAM) es una técnica de vigilancia independiente y cooperativa basada en la diferencia en los tiempos de llegada de la señal transmitida por la aeronave a una serie de estaciones base. Esta técnica, que está empezando a ser empleada en distintos puntos del planeta, está llamada a sustituir los sistemas de radar secundario. Este capítulo presenta la multilateración de área extensa desde la perspectiva de la gestión del tráfico aéreo.

1.1. Necesidades presentes y futuras del espacio aéreo Las necesidades relacionadas con la gestión del espacio aéreo vienen determinadas por dos fenómenos: el continuo crecimiento del tráfico aéreo civil y las necesidades de los distintos usuarios.

1.1.1. Crecimiento del transporte de pasajeros y de carga

En las dos últimas décadas, se ha observado el desarrollo económico en distintos países de nuestro planeta, por ejemplo:

• los países del sudeste asiático, una vez que Japón y Corea del Sur han llegado a cierta madurez económica y demográfica.

CAPÍTULO 1

2

• los BRIC (Brasil, Rusia, India y China), países con un fuerte crecimiento del PIB. El caso de China es notable, dado que su PIB es ya el segundo a nivel mundial.

• los MINT (México, Indonesia, Nigeria y Turquía), que teniendo menor peso en PIB que los mencionados anteriormente, están experimentando un mayor crecimiento.

• ciertos países exportadores de petróleo que buscan diversificar su industria, véanse Emiratos Árabes Unidos o Qatar.

• los países de Europa oriental, que han adaptado sus industrias tras la caída de la URSS, e intentan tener cierto peso dentro de la Unión Europea.

Durante las últimas cuatro décadas, la demanda del transporte aéreo ha desafiado a los distintos escenarios adversos. Prueba de ello es la evolución del tráfico aéreo, que se ha visto multiplicado por diez1 (Figura 1.1) entre 1970 y 2010, a pesar de los contratiempos en forma de crisis.

En este sentido, la OACI prevé un crecimiento medio anual del 4,6% para el tráfico aéreo de pasajeros, y un 6,6% para el tráfico aéreo de carga para el horizonte de 2025.

Figura 1.1. Tráfico anual de pasajeros a nivel mundial (en billones de PKT) 2.

1 PKT (Pasajero-kilómetros transportados), en inglés RPK (Revenue Passenger-Kilometre): es el resultado de multiplicar los asientos ocupados por pasajeros de pago en un tramo por la distancia en kilómetros de dicho tramo. Se trata de una medida comercial de la demanda, que pondera el número de pasajeros con la distancia recorrida.

2 Fuentes: OACI/ICAO (International Civil Aviation Organization), Airbus

INTRODUCCIÓN

3

1.1.2. Usuarios civiles y militares

Otro aspecto a optimizar es la segregación del espacio aéreo según la naturaleza del usuario: avión civil o avión militar. Actualmente, las aeronaves no siguen rutas directas, debido - entre otras razones - a la existencia de zonas reservadas de espacio aéreo, principalmente para fines militares. Estas restricciones impiden la creación de trayectorias óptimas, disminuyendo la capacidad de las rutas aéreas y aumentando los costes (tiempo y combustible).

Figura 1.2. Efecto de las zonas militares en las rutas aéreas. 3

1.1.3. Los aviones no tripulados

Asimismo, una nueva “especie” empieza a participar en la saturación del espacio aéreo. Los aviones no tripulados han de compartir a su vez el espacio aéreo. Si bien actualmente su uso es limitado (misiones de ataque, vigilancia de carreteras, o supervisión de cosechas agrícolas), es de esperar que el espectro de servicios a los que pueden dar soporte siga ampliándose en las próximas décadas.

3 Fuente: Dirección General de la Aviación Civil (DGAC)

CAPÍTULO 1

4

1.2. La gestión de un bien escaso: el espacio aéreo Del apartado anterior se puede concluir que el número de usuarios del espacio aéreo seguirá creciendo en las próximas décadas. Este apartado empieza describiendo la situación actual del espacio aéreo europeo, comparándolo con el estadounidense. Ante la ineficiencia en la gestión de su espacio aéreo, la UE lanzó una iniciativa para gestionar el tráfico aéreo a nivel europeo mediante cuatro regulaciones [1-4]. Esta iniciativa se concretó con la creación del proyecto SESAR[5, 6]: un proyecto tecnológico y operativo con el fin de modernizar la infraestructura de control de tráfico aéreo.

1.2.1. La fragmentación conduce a la ineficiencia

1.2.1.1. Europa: un espacio aéreo fragmentado y saturado

Europa se encuentra actualmente con un espacio aéreo fragmentado, implicando un uso ineficiente de la capacidad. Dicha fragmentación es el resultado de la historia de Europa, en la que el control del tráfico aéreo ha estado estrechamente asociado a la soberanía y por tanto confinado dentro de las fronteras nacionales4.

Esta falta de eficiencia puede constatarse en distintos puntos del sistema:

• en la actual red de rutas, optimizadas para las necesidades domésticas

• en los propios centros de control, en su mayoría sobredimensionados

• en los programas sobre la gestión del tránsito aéreo

• en la duplicación de sistemas, debido a la adopción no sincronizada de los avances tecnológicos y de la adquisición no sistemática

Para poder gestionar el tráfico aéreo de manera segura y eficiente, es necesario que los controladores de tráfico aéreo dispongan de la información relativa a las aeronaves:

• que se encuentren dentro del espacio aéreo bajo su responsabilidad.

• que tengan previsto cruzar el espacio aéreo bajo su responsabilidad.

4 Durante el siglo XX, Europa ha sido testigo de las dos Guerras Mundiales (1914-1918 y 1939-1945) y de la Guerra Fría (1947-1989).

INTRODUCCIÓN

5

A modo de ejemplo (Figura 1.3), una aeronave que cubre el trayecto entre Madrid y Múnich ha de cruzar el espacio aéreo de cuatro países (España, Francia, Suiza y Alemania). Es decir, a lo largo de su trayecto, esta aeronave será detectada por distintos sistemas de vigilancia, dependiendo de la posición y del área de cobertura de los mismos (segmento aeronave - sistema de seguimiento).

Para que la información suministrada por dichos sistemas sea de utilidad para la gestión del tráfico aéreo a nivel europeo, los sistemas de seguimiento que dan soporte a la vigilancia han de ser transparentes al ATC.

Figura 1.3. Trayectoria de un vuelo regular Madrid – Múnich.

1.2.1.2. Comparación con el espacio aéreo estadounidense

Al contrario que su homólogo europeo, el espacio aéreo de los EEUU es único (debido también a razones históricas). En este sentido, no es sorprendente el hecho de que el espacio aéreo esté gestionado de manera más eficiente.

La Tabla 1.1 compara el tráfico aéreo entre Europa y EEUU, de la que se puede destacar lo siguiente:

• la saturación de la capacidad, que afecta a más de 90 aeropuertos en Europa, frente a únicamente 3 aeropuertos en EEUU.

• en Europa se controla un 40% menos de horas de vuelo, aun teniendo un 60% más de controladores de tráfico aéreo que en EEUU.

Esta falta de eficiencia en la gestión del espacio aéreo europeo obligó a los países de la UE a actuar, tal y como se describe en el siguiente apartado.

CAPÍTULO 1

6

Europa EEUU

Extensión (millones de km2) 11,5 10,4

Número de ANSP5 38 1

Controladores (operadores) de tráfico aéreo 16700 14600

Empleados totales 57000 35200

Vuelos controlados - IFR6 (millones) 9,5 15,9

Proporción de vuelos de/a los 34 aeropuertos principales 66% 63%

Proporción de vuelos de Aviación General7 4% 23%

Horas de vuelo controladas (millones) 13,8 23,4

Densidad relativa (horas de vuelo / km2) 1,2 2,2

Distancia media de vuelo dentro del espacio aéreo (NM) 557 493

Centros de ruta 63 20

Aeropuertos con servicios de ATC ≥450 509

denominados “coordinados“8 >90 3

Tabla 1.1. Comparativa del tráfico aéreo en 2010 entre Europa y EEUU9.

5 ANSP (Air Navigation Service Providers): Proveedores de Servicio de Navegación Aérea

6 Es decir, vuelos donde no es necesario tener contacto visual con el terreno.

7 Se trata del conjunto de vuelos civiles, excluyendo los vuelos instrumentales (Instrumental

Flight Rules).

8 Es aquel aeropuerto en el que la demanda de operación por parte de las compañías aéreas supera la capacidad de las infraestructuras del aeropuerto para satisfacerla, por lo que se hace necesaria la aplicación de procesos que determinen la prioridad en la autorización de los vuelos.

9 Fuentes: EUROCONTROL, FAA

INTRODUCCIÓN

7

1.2.2. El objetivo: un único espacio aéreo europeo

1.2.2.1. Un nuevo marco regulatorio: el “Cielo único europeo”

La respuesta a la falta de eficiencia mencionada en el apartado anterior fue la creación del “Cielo único europeo” (Single European Sky - SES). Se trata de una iniciativa comunitaria, encuadrada dentro de los tratados de la UE, que pretende reformar la arquitectura del sistema de gestión de tránsito aéreo europeo, gestionado en aras de la eficiencia global del sistema, empezando por el espacio aéreo superior, y de forma coherente con el espacio aéreo inferior.

El marco legal de SES pretende garantizar el cumplimiento de las necesidades futuras de capacidad y de seguridad, así como con unos requisitos medioambientales cada vez más exigentes. Dicho marco se erige sobre cuatro reglamentos básicos [1-4], abarcando la provisión de servicios de navegación aérea (ANS), la organización y uso del espacio aéreo, y la interoperabilidad de la red europea de gestión del tráfico aéreo (EATMN).

El reglamento EC 552/2004 [4] (actualizado mediante EC 1070/2009 [7]), perteneciente a SES, trata de definir los requisitos comunes para garantizar la interoperabilidad entre los distintos sistemas utilizados para la gestión del tráfico aéreo, estableciendo así un sistema armonizado de certificación de sus componentes y sistemas.

Este reglamento persigue dos objetivos de manera simultánea:

• por una parte, conseguir la interoperabilidad entre los distintos sistemas, componentes y procedimientos correspondientes de la red europea de gestión del tráfico aéreo

• y a su vez, garantizar la introducción de nuevos conceptos de explotación, acordados y validados, y tecnologías en el ámbito de la gestión del tráfico aéreo.

Este reglamento también incluye la división de la red europea de gestión del tráfico aéreo en ocho sistemas (Figura 1.4), enunciados a continuación:

1. sistemas y procedimientos de gestión del espacio aéreo (ASM)

2. sistemas y procedimientos de gestión de la afluencia del tránsito aéreo (ATFM)

3. sistemas y procedimientos para los servicios del tránsito aéreo (ATS), en particular sistemas de tratamiento de datos de vuelo (FDPS), sistemas de tratamiento de datos de vigilancia (SDPS) y sistemas de interfaz hombre-máquina (HMIS)

4. sistemas y procedimientos de comunicaciones (COM):

CAPÍTULO 1

8

a. para comunicación tierra-tierra (G/G)

b. para comunicación aire-tierra (A/G)

c. para comunicación aire-aire (A/A)

5. sistemas y procedimientos de navegación (NAV)

6. sistemas y procedimientos de vigilancia (SUR)

7. sistemas y procedimientos de servicios de información aeronáutica (AIS)

8. sistemas y procedimientos para la utilización de información meteorológica. (MET)

Entre ellos, los sistemas que componen el núcleo de la gestión del tránsito aéreo son: los sistemas de comunicación (COM), navegación (NAV), y vigilancia (SUR), que abarcaremos en el apartado 1.3.

Figura 1.4. Sistemas constituyentes del la red europea de gestión del tráfico aéreo.

Por otra parte, cabe destacar que la UE aprobó el reglamento (CE) 2150/2005 del 23 de diciembre de 2005 [8], por el que se establecen las normas comunes para la utilización flexible del espacio aéreo10, eliminando así una restricción importante asociada a este problema.

10

"[…] En particular, el presente Reglamento establece normas destinadas a potenciar la

cooperación entre los entes civiles y militares encargados de la gestión del tránsito aéreo que

operan en el espacio aéreo bajo la jurisdicción de los Estados miembros. […]"

INTRODUCCIÓN

9

1.2.2.2. El proyecto tecnológico y operativo: SESAR

Con el fin de concretar la iniciativa del SES, se creó en 2004 el proyecto SESAR 11 . El objetivo de este programa es la modernización de la infraestructura de control de tráfico aéreo en Europa, con el fin de satisfacer las necesidades futuras del espacio aéreo en términos de capacidad y seguridad.

El concepto de SESAR se basa en la divulgación de los mismos datos a todos los entes involucrados (líneas aéreas, controladores, aeropuertos e incluso centros meteorológicos) en el proceso de ATM, con el fin de mejorar drásticamente la planificación y la toma de decisiones para cada vuelo. De este modo, se espera conseguir una mayor flexibilidad sin provocar retrasos o distorsiones. La planificación puede hacerse más rápidamente, y más importante aún, puede ser adaptada a las necesidades en tiempo real. Esto conlleva a una mayor flexibilidad en la elección de la ruta aérea.

Otro aspecto importante es la divulgación de esta información a los ejércitos, con el fin de eliminar la segregación del espacio aéreo12.

Así, los cuatro objetivos a largo plazo de SESAR son:

• Triplicar la capacidad del espacio aéreo

• Reducir a la mitad los gastos en gestión de tráfico aéreo

• Mejorar la seguridad en un factor 10

• Reducir el impacto medioambiental de cada vuelo en un 10%

El programa SESAR consta de tres fases:

• Definición (2005-2008): esta etapa concluyó con la entrega del plan maestro de ATM, donde se define el contenido, al igual que los planes de desarrollo y despliegue de los futuros sistemas de gestión de tráfico aéreo. Esta fase fue liderada por EUROCONTROL13, cofinanciada por la

11 Single European Sky ATM Research

12 Cabe destacar que EUROCONTROL ha elaborado la especificación para la aplicación del uso flexible del espacio aéreo [91] Posteriormente, esta misma entidad ha elaborado una introducción a la trayectoria de misión [92].

13 EUROCONTROL: nombre abreviado de la Organización Europea para la Seguridad de la Navegación Aérea (European Organisation for the Safety of Air Navigation). Fundada en Bruselas en 1960, se trata de una organización civil y militar integrada por 38 estados miembros que tiene como objetivo el desarrollo de un sistema seguro, eficaz y coordinado del tráfico aéreo europeo: “Un cielo único europeo”.

CAPÍTULO 1

10

Comisión Europea, y ejecutada por un consorcio formado por las partes implicadas en el transporte aeronáutico:

o autoridades aeroportuarias

o ANSP (AENA, DSNA, DFS)

o aerolíneas (Iberia, Air France-KLM, Lufthansa)

o constructores aeronáuticos (AIRBUS)

o principales proveedores de equipos (Indra, Selex, Thales).

• Desarrollo (2008-2016): se espera que en esta fase se produzcan los sistemas tecnológicos de nueva generación establecidos en la fase de definición. La financiación de esta fase (2100 M€ de presupuesto total) se ha repartido a partes iguales entre EUROCONTROL, la CE, y la Industria. Un total de 70 organismos participan en esta fase.

• Despliegue (2014-2020): esta tercera y última fase consiste en la construcción e instalación a gran escala de la infraestructura definida en la fase de desarrollo. Por ello, la responsabilidad recaerá íntegramente sobre la Industria, que financiará los 20000 M€ previstos.

Se espera que SESAR produzca un cambio radical en la gestión del tráfico aéreo en Europa.

Las dos figuras siguientes ofrecen una comparativa del estado del espacio aéreo a día de hoy (Figura 1.5), donde se destacan los cuellos de botella existentes, frente al estado del esquema del espacio aéreo donde las soluciones han sido implementadas (Figura 1.6).

A modo de ejemplo, aspectos como la congestión - tanto en tierra como en las TMA – y la espera en pista, son fáciles de percibir para el usuario final (pasajero).

INTRODUCCIÓN

11

Figura 1.5. Esquema con los problemas existentes en la gestión del tráfico aéreo europeo. 14

Figura 1.6. Esquema (ideal) del espacio aéreo europeo tras la implementación de SESAR.

14 Fuente: SESAR Joint Undertaking

CAPÍTULO 1

12

1.2.2.3. El FAB como paso intermedio

Más recientemente, con el fin de estrechar la cooperación entre los distintos estados (y por ende, entre sus respectivas autoridades de navegación aérea), la Comisión Europea definió el concepto de bloque funcional de espacio aéreo (FAB15), obligando a todos los países miembros de la UE a pertenecer a un FAB antes del final de 2012. Dicha cooperación afecta a las relaciones entre los países pertenecientes al mismo FAB en tres niveles: a nivel de Estado (incluyendo la cooperación civil-militar), a nivel de autoridades nacionales de supervisión (NSA16) y a nivel de ANSP.

Figura 1.7. Mapa con los nueve bloques funcionales de espacio aéreo (FAB). 17

15 Functional Airspace Block. Este concepto fue definido en el paquete normativo de SES-II (se denomina así a la revisión de las normativas de SES efectuada en junio de 2008) del siguiente modo: “un bloque de espacio aéreo basado en exigencias operativas y establecido con

independencia de las fronteras existentes, donde la prestación de servicios de navegación

aérea y las funciones conexas estén basadas en exigencias de rendimiento y optimizadas con

vistas a introducir, en cada bloque funcional de espacio aéreo, una cooperación reforzada entre

proveedores de servicios de navegación aérea o, cuando proceda, un proveedor integrado.”

16 National Supervision Authorities. En la fecha de redacción de la presente Tesis Doctoral, existen 3 NSAs en España: la AESA (Agencia Estatal de Seguridad Aérea, perteneciente al Ministerio de Fomento) por la parte civil, el Estado Mayor del Aire por la parte militar, y la Secretaría de Estado de Cambio Climático representando el ámbito medioambiental.

17 Fuente: EUROCONTROL

INTRODUCCIÓN

13

Cumpliendo con esta legislación, España y Portugal propusieron componer el bloque funcional de espacio aéreo del sur-oeste (SW FAB) ante la CE.

De este modo, ambos países tienen asignadas las siguientes tareas[9]:

• aumentar la cooperación en los servicios de CNS18/ATM y otros servicios de soporte

• rediseñar los límites del espacio aéreo en la frontera hispano-portuguesa

• rediseñar el espacio aéreo superior mediante el estudio de un conjunto de rutas con el fin de aumentar la capacidad, mejorar la eficiencia de los vuelos y reducir el impacto medioambiental

Acuerdos similares han sido firmados en cada bloque aéreo, con el fin de optimizar el espacio aéreo confinado en cada uno de ellos (Figura 1.7). Se trata de una etapa intermedia en el largo camino hacia el espacio único europeo.

1.3. El concepto CNS/ATM El concepto CNS/ATM consiste en los sistemas de comunicación, navegación y vigilancia que emplean tecnología digital, incluyendo sistemas de satélites junto con varios niveles de automatización, son empleados para dar soporte a un sistema global de gestión de tráfico aéreo[10].

Los sistemas de comunicación, navegación, y vigilancia son la clave del control de tráfico aéreo. La mejora en las técnicas (constituyentes), la convergencia de estos tres sistemas, y la interoperabilidad, permiten aumentar la capacidad del espacio aéreo, manteniendo (o incluso mejorando) los niveles de seguridad.

La gestión de las aeronaves será finalmente una actividad de colaboración entre el controlador, el piloto, y el centro de operaciones de la línea aérea. La aeronave tendrá mayor autonomía y las tareas del controlador de tránsito aéreo se desarrollarán aprovechando al máximo la automatización.

En este apartado describiremos los sistemas de comunicación, navegación, y vigilancia, haciendo hincapié en este último y sus constituyentes. Analizaremos también la convergencia de estos tres sistemas, y enunciaremos los beneficios esperados en la gestión del tránsito aéreo gracias a las mejoras en los sistemas CNS.

18 Comunicación, Navegación, y Vigilancia (Communications, Navigation and Surveillance).

CAPÍTULO 1

14

1.3.1. Descripción de los sistemas

1.3.1.1. Comunicación

Los sistemas de comunicación ofrecen el intercambio de datos aeronáuticos y transmisión de datos entre usuarios y/o sistemas automatizados. Estos sistemas también se emplean para dar soporte a funciones específicas de navegación y vigilancia.

Existen diferencias fundamentales entre los sistemas aeronáuticos convencionales de comunicación y los que forman parte de los nuevos sistemas CNS/ATM, como por ejemplo:

• la mayoría de las comunicaciones rutinarias se efectúan mediante intercambio de datos

• las comunicaciones por voz se emplean mayormente en situaciones excepcionales y de emergencia

• las metas son la conectividad y la operativa a nivel global

De este modo, se espera un aumento en el tráfico de datos y un declive en la comunicación por voz. Además, en aspectos como la comunicación tierra-tierra, se está efectuando la migración hacia VoIP, que surgió del sector de las telecomunicaciones, reflejando la transición de las comunicaciones analógicas a las digitales.

1.3.1.2. Navegación

El elemento de navegación en los sistemas CNS/ATM está pensado para determinar la posición de la aeronave de manera precisa y fiable a nivel mundial mediante la introducción de la navegación basada en satélite (GNSS).

Esta mejora en exactitud y precisión permite (en teoría) - a los usuarios optimizar las trayectorias, sin necesidad de sobrevolar puntos fijos.

Figura 1.8. Precisión (2D) de los sistemas de navegación.

INTRODUCCIÓN

15

La Figura 1.8 muestra una comparación de la precisión de las distintas técnicas de ayuda a la navegación (tanto inercial como radionavegación).

La tendencia actual es el uso de sistemas de navegación inercial (ya sea mediante láser o fibra óptica) con corrección periódica mediante un sistema de navegación vía satélite (por ejemplo, GPS).

1.3.1.3. Vigilancia

El desarrollo habitual de las operaciones de vuelo en un cierto espacio aéreo requiere que el ATC (desde tierra) disponga de medios para vigilar que la separación (horizontal o vertical) entre aeronaves próximas no se reduzca por debajo de un cierto valor. Unido a este concepto está el de la comunicación directa rápida entre el ATC y cualquier aeronave que pueda estar en riesgo por haber reducido su separación mínima con alguna otra aeronave19.

1.3.1.3.1. Técnicas de vigilancia (constituyentes)

Los sistemas de vigilancia se caracterizan mediante dos propiedades: si se trata de un sistema independiente o no, y si se trata de un sistema colaborativo.

En el caso de los sistemas de vigilancia independientes, la posición de la aeronave se calcula a partir de las medidas de los sensores en tierra, para ser transmitida a los centros de control de tráfico aéreo (ATC).

La otra característica es si necesita que la aeronave emita señales para que el sistema de vigilancia pueda funcionar. En caso afirmativo, se denomina que el sistema es colaborativo.

Los sistemas de localización son los encargados de localizar las aeronaves con precisión y exactitud. Son la clave para poder aumentar la capacidad del espacio aéreo sin poner en riesgo la seguridad. En esta sección se presentan las fuentes de información de posicionamiento que dan soporte al control de tráfico aéreo. Estos sistemas son denominados como los constituyentes del sistema de vigilancia, aplicando la terminología definida en SES.

1.3.1.3.1.1. Radar Primario de vigilancia (PSR)

Utilizados por primera vez durante la Segunda Guerra Mundial, estos radares emiten señales en el sector de cobertura que tienen asignado. Los ecos (reflexiones generadas por los blancos) de dichas señales permiten detectar los blancos que se encuentren dentro del volumen de cobertura, y localizarlos horizontalmente (latitud y longitud) mediante la combinación de distancia y azimut.

19 Este asunto ha sido resuelto en Europa y EEUU, mediante el seguimiento obligatorio por parte de las tripulaciones de los mensajes de resolución de conflictos generados por el ACAS instalado en cada aeronave.

CAPÍTULO 1

16

Figura 1.9. El ASR-23SS (Raytheon) está compuesto por un PSR (abajo, con sus iluminadores y su reflector en rejilla) y un SSR (arriba).

Sin embargo, en el ámbito civil, los PSR no son utilizados para obtener la altitud de los blancos, por dos motivos principales: una resolución en elevación insuficiente (cuyo efecto en el cálculo de la altura es un error creciente con la distancia), y el hecho de que el canal vertical empleado en el tráfico aéreo es la altitud barométrica.

Por otra parte, los PSR no son capaces de identificar los blancos.

Desde la perspectiva del control de tráfico aéreo, al tratarse de un sistema no colaborativo20, el PSR es utilizado principalmente para la detección de objetos móviles que puedan afectar al ATC y no lleven transpondedor21 (idea reforzada tras los atentados del 11 de septiembre de 2001), verificando así la integridad de la información enviada por las aeronaves equipadas a través de sus transpondedores (SSR o ADS-B).

20 Es decir, sin que el blanco (la aeronave) emita una señal de contestación a la interrogación al sistema.

21 No hay que olvidar que los radares detectan y localizan cualquier objeto capaz de reflejar la señal emitida. Dependiendo del diseño y de las características atmosféricas, los objetos candidatos pueden ser por ejemplo: aeronaves, pájaros, helicópteros, globos aerostáticos, etc.

INTRODUCCIÓN

17

1.3.1.3.1.2. Radar secundario de vigilancia (SSR)

La necesidad de identificar aeronaves de un modo sencillo y fiable hizo que el sistema IFF22 viera la luz. Este sistema, rebautizado SSR23 para el uso civil, está basado en una estación de tierra y un equipo integrado a bordo de la aeronave, conocido como transpondedor (equipo que combina un transmisor y un receptor).

Figura 1.10. Estación SSR.

La estación de tierra transmite (1030MHz) un tren de pulsos denominado “interrogación” a medida que el haz de su antena está rotando en azimut. En el momento en que la aeronave reciba esta interrogación, ésta enviará una respuesta (1090MHz) a la estación de tierra.

El contenido de la información enviada a la estación de tierra depende del modo de interrogación:

• en el modo A, la aeronave se identifica ante la estación de tierra con un código de los 4096 posibles (12 bits). Es evidente que de cara a un centro de control, cada aeronave ha de tener un código único. Idealmente, una aeronave podía completar un vuelo utilizando el mismo código a lo largo de la duración del mismo.

Si bien en el momento en que se introdujo esta tecnología dicha cantidad parecía suficiente, el hecho de que muchos de los códigos estuviesen reservados para identificar aeronaves en operaciones

22 Identification Friend or Foe: creado durante la 2ª G.M., este sistema se basa en la identificación positiva de una aeronave, con el fin de evitar el “fuego amigo”. Si una aeronave con un transpondedor IFF respondía (automáticamente) a las interrogaciones (cierto patrón de señales) de una estación de control, se consideraba “amigo”. Sin embargo, en caso negativo, no se puede determinar si la aeronave es “enemiga” o “desconocida”.

23 Siglas del término inglés: ”Secondary Surveillance Radar”

CAPÍTULO 1

18

específicas, junto con el continuo crecimiento del tráfico aéreo internacional, han hecho que esta cantidad se convierta en un factor limitante de la capacidad del espacio aéreo, obligando a que la aeronave cambie de código durante el vuelo.

• el modo B fue utilizado durante un tiempo en Australia de un modo similar al modo A, pero no se emplea en la actualidad.

• en el modo C, la aeronave transmite la altitud barométrica en que se encuentra. Únicamente se emplea un rango de 1280 posibles valores (entre -1200ft y +126700ft) con una granularidad de 100ft24.

Si bien esta distribución era suficiente para monitorizar aeronaves separadas por más de 1000ft, la creciente congestión en el espacio aéreo hizo que fuera más importante determinar si un avión dejaba de volar al nivel de vuelo que tenía asignado. Este hecho creó la necesidad de que la información de la altitud barométrica tuviera una granularidad más pequeña (25ft), que se incorporó en el radar secundario modo S, junto con la interrogación selectiva.

• el modo D nunca ha sido utilizado a nivel operativo.

• el modo S (denominado “selectivo”) fue introducido por la OACI en 1983, con el fin de paliar las carencias de los modos A y C [11].

Las interrogaciones pueden ser cortas (short squitter, 56 bits) o largas (extended squitter, 112 bits). Los 24 bits iniciales contienen la dirección de la aeronave25. Este campo ha sido dimensionado de tal modo que cada aeronave tenga una única identificación (resolviendo así el problema originado con el modo A).

Este modo S parte del principio de que cada interrogación está dirigida a una única aeronave. Sin embargo, para que la estación SSR pueda interrogar de modo selectivo, primero debe conocer la presencia de la aeronave. Esta situación se resuelve alternando los períodos de interrogación general (all-call), con los de interrogación selectiva (roll-

call). En los períodos all-call, las interrogaciones se efectúan con el fin

24 ft (foot): pie, unidad de medida de distancia equivalente a 0,3048m (pie internacional)

25 La dirección de la aeronave viene determinada por la ICAO, y está compuesta por 24 bits (un total de 16777216 códigos posibles). El valor está definido por la autoridad responsable de registrar las aeronaves en un país. A cada país le ha sido otorgado un bloque de códigos, basándose en su tamaño y el volumen del tráfico aéreo. Internamente, cada país puede decidir la distribución de estos códigos entre aeronaves civiles, militares, y vehículos aeroportuarios para multilateración. Por ejemplo, España tiene otorgado un bloque de 262144 códigos, de tal modo que las aeronaves registradas tienen una dirección ICAO que comienza por ‘001101’.

INTRODUCCIÓN

19

de vigilar las aeronaves con transpondedores de modo A y C, así como para descubrir aeronaves con transpondedores modo S que acaban de entrar en la zona de cobertura del SSR, con el fin de adquirir su identidad.

Cabe destacar del modo S que existe una modalidad en la que hasta 16 interrogaciones largas pueden ser encadenadas, con el fin de transmitir un máximo de 1280bits. Las respuestas de la aeronave pueden ser encadenadas del mismo modo. El contenido detallado de los mensajes transmitidos en modo S está especificado en [12].

Así, el modo S es el canal de comunicación más reciente entre aeronave y estación de tierra. Su aplicación es cada vez mayor, y la información transmitida desde la aeronave es más detallada (velocidad, cambios de rumbo, identificación, nivel de servicio, eventos) debido al continuo aumento del tráfico aéreo.

Desde la perspectiva del control de tráfico aéreo, la información adicional proporcionada por la propia aeronave mediante SSR complementa a la obtenida mediante el PSR. Es por ello que durante décadas, la combinación PSR/SSR ha proporcionado las soluciones de identificación y posicionamiento al control del tráfico aéreo.

1.3.1.3.1.3. ADS-B

ADS-B26 es un sistema de transmisión de datos en el que la aeronave difunde su identidad y vector de estado (coordenadas, velocidad, etc.) a las estaciones de tierra situadas dentro del área de cobertura.

Utilizando la perspectiva de la aeronave, se denomina “ADS-B out” a la dirección de salida del enlace de datos (posición y datos). La información del vector de estado viene determinada por el propio sistema de navegación de la aeronave.

El uso de “ADS-B out”, complementado con los sistemas de localización, otorga a los ATC la capacidad de obtener en tiempo real las posiciones de las aeronaves con una mayor precisión (derivadas de GNSS) que si empleara tecnología radar. Por otra parte, se cataloga como “ADS-B in” a la recepción de mensajes ADS-B (emitidos por otras aeronaves), permitiendo visualizar el tráfico aéreo cercano a las aeronaves equipadas con esta tecnología y en el que se basan los sistemas anticolisión.

A nivel operativo, cabe destacar que el programa CASCADE de EUROCONTROL está impulsando el uso de ADS-B en Europa, utilizando Modo S Extended Squitter (ES) como el canal de comunicación. 26 Siglas de Automatic Dependent Surveillance-Broadcast

CAPÍTULO 1

20

1.3.1.3.1.4. Los sistemas de multilateración (MLAT/WAM)

Los sistemas de multilateración (MLAT) están basados en la localización de emisores mediante el procesado de las señales transmitidas. Algunas técnicas emplean la diferencia del tiempo de llegada (TDOA27) de la señal emitida en las diferentes estaciones de tierra situadas en el área de cobertura. Otras técnicas están basadas en la diferencia de frecuencia de la señal recibida (FDOA28). Lo más importante de estas técnicas es que son capaces de estimar la posición de la aeronave independientemente del contenido de la transmisión.

Debido a las mejoras en las prestaciones de los sistemas de multilateración, su espectro de aplicación se ha visto extendido, abarcando aplicaciones de corta distancia como la vigilancia aeroportuaria, y de media distancia como el Área Terminal de Maniobras (TMA29). Esta mejora permite extender el espectro de aplicaciones al control del tráfico aéreo, a través de la multilateración de área extensa (WAM30).

Esto es obvio en las zonas continentales. Si a esto se añade el hecho de que WAM es más asequible (menor inversión inicial, y coste de mantenimiento inferior) que los sistemas PSR y SSR, es lógico que la introducción de WAM sea favorecida en detrimento de la renovación de los sistemas SSR existentes31, como en el caso de la República Checa[13].

WAM es también la elección para la vigilancia aérea en los valles: una inversión en PSR o SSR sería demasiado elevada y desperdiciada, debido a las limitaciones en cobertura a baja cota por culpa del terreno. A modo de ejemplo están Innsbruck (Austria)[14] o Colorado (EEUU)[15].

WAM se está empleando también para la vigilancia aérea costera, donde se pueden aprovechar las plataformas petrolíferas para instalar receptores WAM; es el caso de los sistemas desplegados en el Mar del Norte o en el Golfo de México[16].

Sin embargo, aún no existen ejemplos de sistemas WAM desplegados en litorales o archipiélagos, con el fin de localizar y vigilar las aeronaves situadas fuera de la constelación. En este sentido, [17] se encargó de presentar un 27 Time Difference Of Arrival

28 Frequency Difference Of Arrival

29 Terminal Maneuvering Area: se trata del área que rodea a un grupo de aeropuertos. Los límites de ésta son variables, en función de las necesidades del tráfico, y a su vez pueden estar divididas en sectores de control. En este espacio todos los vuelos deben estar controlados

30 Wide Area Multilateration

31 Aun siendo una inversión mucho mayor, la adquisición y renovación de los PSR puede justificarse mediante criterios de seguridad nacional.

INTRODUCCIÓN

21

escenario donde todas las aeronaves se encuentran fuera de la constelación. Dicho escenario se describe en el apartado 4.2.4.2.

Los sistemas de multilateración pueden ser pasivos o activos. Los sistemas pasivos emplean las emisiones de las aeronaves que han sido generadas bien como respuestas a interrogaciones efectuadas por otros equipos, o bien como emisiones de modo ADS-B (se puede denominar también ADS-B out). Esto tiene dos ventajas en el uso del espectro: primero, no es necesaria una licencia de transmisión para el uso de este sistema; segundo, no hay un aumento en el número de interrogaciones (1030MHz), y por ende, de respuestas (1090MHz).

Según [13], estos sistemas son la mejor solución para ser empleados en los escenarios con un intercambio importante de datos en la banda de SSR, como por ejemplo:

• zonas con mucho tráfico y una cantidad importante de aeronaves equipadas de TCAS32

• zonas con infraestructura existente de vigilancia mediante MSSR

• zonas donde el uso del modo S es obligatorio

Por otra parte, los sistemas activos pueden solicitar respuestas dedicadas a sus interrogaciones, además de tener la misma funcionalidad que los sistemas pasivos. El interrogador WAM puede estar constituido por una antena omnidireccional o a base de antenas sectoriales.

Estos sistemas son muy útiles en las aplicaciones de TMA, o zonas de aproximación, puesto que se pueden obtener datos con mayor frecuencia, incrementando la probabilidad de detección y mejorando así la precisión.

Actualmente, los ATC requieren el identificador (obtenido mediante modo A o modo S) y la altitud barométrica (Modo C).

Adicionalmente, los sistemas WAM activos pueden ser utilizados para obtener datos específicos de una aeronave. Por ejemplo, estos sistemas pueden efectuar el seguimiento pasivo mediante TDOA comprobando la dirección modo S, mientras que las interrogaciones pueden emplearse para obtener el identificador modo A y la altitud barométrica.

32 Siglas de los términos “Traffic Collision Avoidance System” y “Traffic alert and Collision

Avoidance System”, se trata de los sistemas anticolisión equipados en aeronaves.

CAPÍTULO 1

22

Figura 1.11. Principio de funcionamiento de la multilateración.33

Sistema de vigilancia

¿Independiente? ¿Colaborativo?

PSR SÍ: datos obtenidos por el radar NO: no es necesario que la aeronave emita señales

SSR Parcialmente: es independiente para la localización horizontal, pero la altitud barométrica procede de la aeronave

SÍ: se requiere que la aeronave utilice un transpondedor

SSR Modo S NO : datos proporcionados por la aeronave

SÍ: se requiere que la aeronave utilice un transpondedor

ADS-B NO : datos proporcionados por la aeronave

SÍ: se requiere que la aeronave tenga la función ADS-B out

MLAT/WAM SÍ : datos obtenidos a partir del tiempo de llegada de la señal

SÍ: se requiere que la aeronave emita señales compatibles con SSR o ADS-B

Tabla 1.2. Cuadro resumen de los sistemas de vigilancia.

El sistema de vigilancia tiende a combinar ADS-B con un sistema independiente colaborativo (siendo MLAT el más económico), más un radar primario en las zonas cercanas a los aeropuertos.

33 Fuente: THALES (Global Surveillance Solution Booklet)

INTRODUCCIÓN

23

1.3.1.3.2. Papel del sistema de vigilancia en el ATC

La vigilancia es una función clave en el control del tráfico aéreo. Los sistemas de vigilancia son los “ojos” de los controladores de tráfico, mostrándoles quién (qué aeronave), dónde y cuándo está en el cielo. Estos sistemas están en el origen del proceso del control de tráfico aéreo, detectando las aeronaves y enviando información detallada al sistema de ATC, permitiendo a los controladores guiar el avión de manera segura. De esta manera, el control del tráfico aéreo no es posible sin los sistemas de vigilancia, especialmente en las áreas con un tráfico intenso.

El control de tránsito aéreo tiene tres aspectos: la planificación, la monitorización, y el guiado.

La planificación proporciona las hojas de ruta de los distintos usuarios, como plantilla para comprobar las trayectorias de los blancos detectados (monitorización), y en caso de resolución de conflictos.

La monitorización consiste en comprobar que el comportamiento de las aeronaves es acorde a dicha planificación. Así, los sistemas de vigilancia permiten detectar, identificar y localizar las aeronaves, con el fin de vigilar su comportamiento.

En caso de conflicto, el ATC necesita resolverlo mediante indicaciones al piloto para evitar colisiones (guiado y control). En algunos casos, es necesario considerar la actualización, retroalimentando a la fase de planificación.

La Figura 1.12 muestra cómo encaja el sistema de vigilancia (con WAM como ejemplo de sistema independiente) en el esquema del control del tránsito aéreo.

Figura 1.12. Papel del sistema de WAM como constituyente del sistema de vigilancia en el esquema del control de tráfico aéreo34.

34 Fuente: ERA

CAPÍTULO 1

24

1.3.1.3.3. ASTERIX: el intercambio de datos de vigilancia a

nivel europeo

Con el fin de proporcionar la vigilancia de blancos de manera transparente al usuario, ASTERIX 35 fue introducido en 1986 por EUROCONTROL para establecer un único formato para el intercambio de datos de vigilancia.

La comunicación entre dos sistemas diferentes - situados incluso en países diferentes (Figura 1.13) - es posible debido al empleo de un formato común de datos de vigilancia.

Figura 1.13. Esquema de intercambio de datos de vigilancia.

ASTERIX es un estándar relativo a los niveles de Presentación y Aplicación (niveles 6 y 7) del modelo OSI36. El medio de transmisión de la información codificada mediante ASTERIX puede ser cualquier medio de comunicación: redes de área extensa (WAN), redes de área local (LAN), IP, etc.

La documentación de ASTERIX está dividida en Partes, donde cada Parte agrupa los datos empleados para un propósito específico. Cada Parte contiene

35 All purpose STructured Eurocontrol suRveillance Information eXchange

36 El modelo de interconexión de sistemas abiertos (ISO/IEC 7498-1), también llamado OSI (en inglés, Open System Interconnection) es el modelo de red descriptivo, que fue creado por la Organización Internacional para la Estandarización (ISO) en el año 1984. Es un marco de referencia para la definición de arquitecturas en la interconexión de los sistemas de comunicaciones.

INTRODUCCIÓN

25

una o más categorías de datos. La información contenida en una categoría está dedicada a un área específica de aplicación, estableciendo el formato en el que los datos han de ser transmitidos entre los usuarios de estas aplicaciones.

Existen un máximo de 256 categorías, donde:

• las categorías 000 a 127 se utilizan para aplicaciones civiles y militares

• las categorías 128 a 240 están reservadas para aplicaciones civiles y militares

• las categorías 241 a 255 se utilizan para aplicaciones extraordinarias (tanto civiles como militares)

La Figura 1.13 presenta un ejemplo de intercambio de datos de vigilancia, donde:

• las categorías 019 (mensajes de servicio para configurar la estación) y 020 (mensajes con informes de posición de aeronaves) definen los datos de salida de multilateración.

• la categoría 021 (mensaje de datos de aeronave) define los datos de salida de ADS-B.

• la categoría 023 (mensajes de servicio de las estaciones de tierra) define los mensajes de servicio enviados por una estación de tierra CNS/ATM. Estos mensajes son emitidos por estaciones de tierra que ofrecen diferentes tipos de servicio, como por ejemplo: ADS-B, TIS-B37, FIS-B38, y MLAT.

• las categorías 034 (mensajes de servicio) y 048 (mensajes de notificación de blancos) definen los formatos de los datos que se obtienen desde los siguientes equipos: PSR, PSR con procesado MTD39, SSR y MSSR (SSR modo S)40.

• la categoría 062 (mensajes de pistas) define el formato de los datos de salida de los sistemas de procesado de datos de vigilancia.

37 Traffic Information Service-Broadcast: servicio ofrecido por una estación de tierra, que consiste en ofrecer la información de tráfico aéreo a las aeronaves equipadas con ADS-B. Es especialmente importante cuando no todas las aeronaves están equipadas con ADS-B.

38 Flight Information Services-Broadcast: se trata de la difusión (tierra-aire) de información meteorológica y aeronáutica

39 Moving Target Detection: detección de blancos móviles

40 SSR Modo S: se trata de un SSR que emplea interrogación selectiva a cada aeronave

CAPÍTULO 1

26

1.3.2. La convergencia de los sistemas

1.3.2.1. CNS como sistema de sistemas

Históricamente – incluso hoy en día, en algunos aspectos – los sistemas de comunicación (COM), navegación (NAV) y vigilancia (SUR) no han estado operando como un solo ente, parcialmente por razones de seguridad. La separación COM-NAV-SUR garantizaba que si el sistema de vigilancia fallaba, los aviones podían emplear COM y NAV.

Sin embargo, la evolución en los constituyentes del sistema de vigilancia (ADS-B, WAM) y un control de tráfico aéreo basado cada vez más en los datos obtenidos a partir de la fusión de sensores (en vez de los datos proporcionados por un único sensor), están consiguiendo que CNS se establezca como un sistema de sistemas.

La introducción de los sistemas de navegación vía satélite al mundo civil (constituyente del sistema de navegación), junto con la introducción de ADS-B (sistema de comunicación mencionado como constituyente del sistema de vigilancia) como enlace de datos, muestran un ejemplo de la ruptura de las fronteras que separan a los tres sistemas, que permite a las aeronaves declarar su propia posición (en 3 dimensiones) de una manera más precisa, enviando estos datos de navegación a la función de vigilancia.

1.3.2.2. Expectativas a nivel operacional

Se espera que los sistemas CNS aplicados a la gestión del tránsito aéreo mejoren el manejo y la transferencia de la información, amplíen la vigilancia, y mejoren la precisión en la navegación. Esto conduce a la reducción en la separación entre aeronaves, permitiendo un aumento de capacidad en el espacio aéreo.

Se espera también que los sistemas en tierra de CNS/ATM intercambien datos directamente con los sistemas de gestión de vuelo a bordo de la aeronave mediante un radioenlace de datos, ofreciendo mejoras en la detección y resolución de conflictos mediante procesado, al igual que pasillos para evitar conflictos, adaptándose rápidamente a los cambios en los requisitos de tráfico.

De este modo, se espera que el sistema de gestión de tránsito aéreo tenga más flexibilidad para alojar el perfil de vuelo preferido por cada usuario, ayudando a los operadores a reducir retrasos y costes operacionales.

1.3.2.3. Impacto en los constituyentes del sistema de vigilancia

Debido a esta convergencia, el papel de los sistemas PSR se verá reducido al de la detección de aeronaves de manera independiente (tarea que sigue siendo fundamental), y en menor medida a la localización de las mismas, dado que su precisión es considerablemente menor a largas distancias.

INTRODUCCIÓN

27

Por otra parte, debido a la introducción del modo S (que proporciona el soporte físico a ADS-B), los sistemas SSR seguirán dando paso a ADS-B.

La ventaja consiste en que se obtienen las posiciones de las aeronaves en tiempo real con la precisión que otorga la navegación vía satélite. Sin embargo, no hay que olvidar que ADS-B no hace más que transmitir la posición determinada por el propio sistema de navegación de la aeronave (aviónica). Es por ello necesario comprobar la integridad de esta información en todo momento.

Dicha comprobación puede conseguirse mediante redundancia, es decir, empleando diferentes tecnologías de localización mediante satélite (GPS, GLONASS, Galileo, etc.), o mediante una técnica independiente (WAM).

De este modo, a medida que la gestión del tráfico aéreo se vaya apoyando en ADS-B, más importante va siendo el papel de las técnicas de multilateración.

Este capítulo ha presentado la multilateración de área extensa (WAM) desde la perspectiva de la gestión del tráfico aéreo. En el siguiente capítulo se describe el principio de funcionamiento de WAM, se plantea el caso ideal, y se abordan los errores que afectan a la determinación de la posición de los blancos.

28

CAPÍTULO 2. FUNCIONAMIENTO BÁSICO DEL SISTEMA WAM

2.1. Descripción del sistema WAM

2.1.1. Definición

WAM proviene de las siglas del término inglés Wide Area Multilateration (multilateración de área extensa). Se trata de una técnica colaborativa de vigilancia basada en la localización hiperbólica, que permite localizar las aeronaves a partir de la diferencia de los tiempos de llegada (TDOA) de una misma señal. El tiempo de llegada de la misma señal emitida por la aeronave depende de la distancia entre la estación de tierra y la aeronave.

A diferencia de los sistemas MLAT, pensados para las aplicaciones aeroportuarias (tales como la monitorización de aproximación, o la supervisión de la superficie aeroportuaria), los sistemas WAM están concebidos para la vigilancia y el seguimiento del tráfico aéreo, tanto en ruta, como en el Área Terminal de Maniobras.

2.1.2. Historia de los sistemas de localización hiperbólica

Los sistemas de localización hiperbólica fueron introducidos como sistemas de radionavegación basados en la diferencia entre los tiempos de recepción de dos señales en una misma estación. Esta diferencia es proporcional (en el caso ideal) a la diferencia entre las distancias del receptor (aeronave) a las estaciones transmisoras.

FUNCIONAMIENTO BÁSICO DEL SISTEMA WAM

29

El lugar geométrico donde esta diferencia es constante es una hipérbola. El cruce entre dos hipérbolas ofrece dos soluciones, con lo que es necesario eliminar esta ambigüedad para obtener la posición. La solución puede ser una tercera hipérbola, o la correlación con otros sistemas de navegación.

El primer sistema de localización hiperbólica fue “Gee”, introducido por la Royal Air Force41 en 1941 durante la 2ª Guerra Mundial, tanto para los bombardeos sobre Alemania, como para la navegación en el Reino Unido, especialmente para los aterrizajes nocturnos. La diferencia de tiempos se medía a partir de un osciloscopio situado en la aeronave. A partir de la fundación de la ICAO en 1946, Gee fue considerado como base de la norma mundial para la navegación, pero la combinación de sistemas VOR y DME fue elegida a cambio: Gee fue desmantelado en 1970.

A continuación apareció el sistema DECCA (1944), empleado por la Royal Navy 42 para que los dragaminas pudieran preparar el desembarco de Normandía. Este sistema estaba basado en la diferencia de fases entre señales en tiempo continuo, en vez de la diferencia de tiempos. Sin embargo, era necesario emplear otro sistema complementario para eliminar la ambigüedad en la posición creada por la ambigüedad en fase.

Por otra parte, el sistema LORAN, empleado por la US Navy para navegación marítima a larga distancia fue una versión de Gee (diferencia de tiempos), aprovechando la propagación por onda de superficie.

En las décadas de los años 50 y 60 aparecieron dos sistemas derivados del DECCA – basados en la diferencia de fase de las señales – que proporcionaron una solución de navegación sin ambigüedad:

• LORAN-C, gracias a la introducción de los PLL43

• Omega, donde la desambiguación se pudo efectuar gracias a la introducción de los sistemas de navegación inercial

Por su parte, la URSS desarrolló el sistema CHAYKA (equivalente a LORAN-C) y el Alpha (una versión de Omega).

Todos estos sistemas están siendo sustituidos por los sistemas de navegación por satélite (GPS, GLONASS, GALILEO, etc.), también basados en localización hiperbólica.

41 Ejército del Aire del Reino Unido

42 Marina del Reino Unido

43 Phase-locked loop (lazo de seguimiento de fase): se trata de un sistema de control que genera una señal cuya fase está relacionada con la fase de la señal de entrada.

CAPÍTULO 2

30

2.1.3. Principio de funcionamiento de la multilateración

El principio de funcionamiento de la multilateración (constituyente del sistema de vigilancia según la definición de la EC 552/2004[4]) es el mismo que el de los sistemas de navegación mencionados en el apartado anterior, reforzando el aspecto de la convergencia de CNS (descrito en el apartado 1.3.2).

Aun siendo la multilateración también un sistema de localización hiperbólica, la configuración es opuesta a los sistemas descritos en el apartado anterior: en este caso es la aeronave la que transmite las señales, y las estaciones de tierra son receptoras.

De este modo, este sistema consiste en un número de antenas que reciben una misma señal transmitida por la aeronave, y un centro de procesado que calcula la posición de la aeronave basándose en la diferencia de tiempos de llegada (TDOA) de dicha señal en cada antena.

Partamos de la base de que la posición del emisor es desconocida. La obtención de la diferencia del tiempo de llegada de una misma señal en dos estaciones diferentes permite restringir el espacio a una rama de hiperboloide. De este modo, en un caso ideal, la intersección de tres ramas de hiperboloide define de manera unívoca la posición del emisor.

La Figura 2.1 ilustra el principio de funcionamiento para la localización de la aeronave en dos dimensiones, utilizando tres receptores. La diferencia del tiempo de llegada entre dos receptores de la misma señal emitida (rojo) permite obtener una rama de hipérbola (azul), denominada de TDOA constante.

Figura 2.1. Geometría de multilateración en 2D con tres estaciones receptoras44.

44 Fuente: Electronic Navigation Research Institute, Japón


31

De este modo, tres estaciones son necesarias para determinar la posición en dos dimensiones (latitud, longitud). En este caso, dicha posición horizontal se complementa con la altitud barométrica, que ofrece una medida de altitud que puede diferir significativamente de la altitud geométrica. Sin embargo, cabe destacar que la normativa vigente relativa al tráfico aéreo sigue empleando la altitud barométrica45.

De manera equivalente, al menos cuatro receptores son necesarios para obtener la posición del emisor en tres dimensiones. Conociendo la posición de la estación y los tiempos de llegada, se puede estimar la posición de la aeronave (hasta en tres dimensiones).

2.1.4. Arquitecturas existentes

Los sistemas WAM pueden clasificarse empleando dos criterios:

• en función del método empleado para calcular el TDOA.

• en función del método de sincronización de los receptores.

El apartado 2.1.4.1 describe los métodos de cálculo de TDOA (a partir del tiempo de llegada, o mediante correlación de las señales recibidas). Por su parte, el apartado 2.1.4.2 ahonda en los métodos de sincronización de los receptores.

2.1.4.1. Implementaciones existentes para calcular el TDOA

Según [13], existen principalmente dos métodos para calcular el TDOA: a partir del TOA, o mediante correlación de las señales recibidas.

2.1.4.1.1. A partir del tiempo de llegada (TOA) de cada señal

El primero (Figura 2.2) consiste en medir los tiempos de llegada de la misma señal (TOA), y calcular sus diferencias. Este método se emplea cuando se puede medir con facilidad un flanco determinado, como es el caso de las señales enviadas por los transpondedores (SSR) de las aeronaves.

El proceso de obtención de TDOA se describe a continuación:

• El bloque demodulador (“Down converter”) recibe la señal de radiofrecuencia a 1090MHz, y la convierte en una señal de banda base. La salida puede ser una señal I-Q, o una señal de vídeo.

45 La normativa existente hace referencia a los niveles de vuelo (Flight Level), basados en altitud de presión, donde cada nivel corresponde a 100ft. Así, FL300 significa 30000ft de altitud barométrica.

CAPÍTULO 2

32

• El bloque de digitalización (“Digitisation”) emplea un conversor A/D, o similar, con el fin de digitalizar la señal obtenida a la salida del bloque anterior.

• Una vez digitalizada la señal, el sistema TOA asociado al receptor calcula el tiempo de llegada de la señal. El contenido del mensaje es extraído para poder efectuar la correlación.

• Una vez obtenidas las medidas de TOA para cada receptor, el bloque de correlación de TDOA agrupa las señales con el mismo contenido, puesto que estas pertenecen a una misma transmisión de una aeronave determinada. Así pueden calcularse las diferencias entre los tiempos de llegada (TDOA).

• El algoritmo de localización (“TDOA algorithm”) calcula la posición de la aeronave (X, Y, Z) a partir de las medidas de TDOA.

• Finalmente, dichas medidas de posición alimentan un filtro de seguimiento (“tracker”), encargado de crear una pista para cada aeronave, mejorando la precisión mediante filtrado y desestimando los datos erróneos.

Figura 2.2. Obtención de TDOA a partir de las medidas de TOA [13].

2.1.4.1.2. Mediante correlación cruzada

El segundo método (Figura 2.3) consiste en obtener directamente el TDOA mediante procesado, sin medir el TOA de cada señal. Estos sistemas se


33

emplean mayormente en entornos militares (ESM46), o para la localización de teléfonos móviles durante las llamadas de emergencia.

El proceso de obtención de TDOA se describe a continuación:

• Las etapas de conversión a banda base y digitalización son análogas a las descritas en 2.1.4.1.1, convirtiendo la señal de radiofrecuencia a banda base, para luego digitalizarla.

• Tras la digitalización, el bloque de correlación cruzada (‘Cross-

Correlation’) combina las señales digitalizadas para cada pareja de estaciones. Asumiendo que la misma señal ha sido recibida en ambas estaciones, puede calcularse la diferencia de tiempos de llegada. La precisión de este proceso está determinada por el tipo de señal digitalizada y el multitrayecto, entre otros factores. Cabe destacar que los algoritmos empleados deben garantizar que la correlación cruzada de señales no produzca resultados ambiguos o incorrectos, especialmente cuando las señales recibidas son respuestas SSR que intrínsecamente no ofrecen buenas propiedades de autocorrelación y correlación cruzada.

• El algoritmo de localización y el filtro de seguimiento son análogos a los descritos en la sección 2.1.4.1.1.

Figura 2.3. Obtención de TDOA mediante correlación cruzada de las señales recibidas [13].

46 Electronic Support Measures - Medidas de vigilancia electrónica. Dícese del apartado de guerra electrónica encargado de detectar, interceptar, localizar, registrar y/o analizar las fuentes de radiación electromagnética con el fin de localizar una amenaza de manera inmediata (corto plazo), o bien con el fin de planificar operaciones (largo plazo).

CAPÍTULO 2

34

2.1.4.2. Métodos de sincronización de receptores

El sincronismo es fundamental para los sistemas de multilateración descritos en el apartado anterior. Con el fin de calcular la posición, es necesario conocer la diferencia de tiempos de llegada de una determinada señal a dos estaciones receptoras en el sistema.

La señal recibe la marca de tiempo durante el proceso de digitalización. Desafortunadamente, esta marca de tiempo no está asociada al instante en que la señal llega a la antena del receptor. Dicha marca se ve afectada por el retardo de grupo inherente al proceso de conversión a banda base. Este retardo ha de ser conocido y considerado a la hora de calcular el TDOA.

Adicionalmente, con el fin de calcular el TDOA correctamente, las marcas de tiempo han de estar referidas a una base de tiempos común. Es por ello necesario un mecanismo para sincronizar los relojes locales, o en su defecto, estimar el error para poder corregirlo a la hora de estimar la posición de cada aeronave.

2.1.4.2.1. Topologías existentes

El árbol de la Figura 2.4 a continuación clasifica los métodos existentes para la sincronización de los receptores.

Figura 2.4. Topologías existentes para la sincronización de los receptores [13, 18].

2.1.4.2.1.1. Sistemas de reloj común

Por una parte, los sistemas de reloj común (Figura 2.5) emplean receptores sencillos, dejando la parte compleja en el centro de procesado. Estos sistemas reciben las señales de RF de la aeronave, convirtiéndolas a frecuencia intermedia (FI). La señal de FI es transmitida de cada receptor a la central de procesado (ubicada normalmente en el centro de la constelación) a través de un enlace analógico, mediante radioenlace o fibra. La conversión a banda base y la digitalización se producen en dicha central de procesado empleando un


35

único reloj. Con esta arquitectura, no es necesario sincronizar los receptores situados en cada estación, debido a que la marca de tiempo asociada a cada señal se genera en un mismo punto del proceso. Sin embargo, el retardo de grupo existente entre la recepción de la señal en la antena y la central es significativo, al incluir la conversión a frecuencia intermedia y el enlace analógico. Según [13], la incertidumbre en la medida del retardo es proporcional al propio retardo total, dado que éste depende de las condiciones atmosféricas. Por ello, estos sistemas suelen emplearse en constelaciones pequeñas.

Figura 2.5. Arquitectura de reloj común [13, 18].

2.1.4.2.1.2. Sistemas de relojes distribuidos

Los sistemas de relojes distribuidos (Figura 2.6) emplean receptores más complejos con el fin de evitar las incertidumbres derivadas del enlace a frecuencia intermedia. El receptor se encarga de procesar la señal RF con el fin de obtener el tiempo de llegada de la señal, tal y como se enuncia en 2.1.4.1.1.

Esta filosofía puede emplearse reutilizando un conjunto de estaciones ADS-B, dado que los propios receptores ADS-B se encargan de decodificar la señal RF y establecer la marca de tiempos. Esto es posible gracias a que los datos de salida de los receptores ADS-B contienen el tiempo de llegada de la señal ADS-B enviada por la aeronave (ASTERIX CAT-021, Data Items I021/073 e I021/074)[19]. La región de cobertura resultante sería la intersección de las regiones de cobertura asociadas a cada estación.

CAPÍTULO 2

36

Figura 2.6. Esquema de arquitectura distribuida [13, 18].

Aun así, es necesario un mecanismo que sincronice los relojes ubicados en cada estación (ya sea dedicada a WAM, o ADS-B). Existen dos métodos de sincronismo: mediante transpondedor, o mediante la señal de un sistema de navegación por satélite (GNSS).

Por una parte, los sistemas sincronizados mediante transpondedor utilizan las emisiones de un transpondedor (con un reloj de referencia) para calibrar el retardo existente en cada receptor, y sincronizar los relojes asociados. Esto implica que el transpondedor de referencia ha de tener línea de vista con cada uno de los receptores, siendo necesarias las instalaciones de mástiles y torres. Además, cuanto más importantes sean las distancias entre las estaciones base, peor es el calibrado, debido a los cambios en el retardo inducidos por la propagación troposférica.

La alternativa es el sincronismo empleando fuentes externas de tiempo, como los existentes en los sistemas de navegación por satélite (Figura 2.7). Se trata de aprovechar los requisitos de precisión asociados a las marcas de tiempo de las señales GNSS, dado que dichas señales son básicas para los sistemas de navegación47. Por ejemplo, el sistema GPS permite obtener marcas de tiempo con un error inferior a 100ns. Puesto que lo importante en los sistemas de

47 Los satélistes GPS son controlados y operados por el Departamento de Defensa de los EEUU.


37

multilateración es el TDOA y no el TOA de las señales, es posible sincronizar los receptores de manera que el error en la medida del TDOA esté por debajo de 20ns empleando osciladores acoplados con GPS.

Esta técnica emplea un oscilador de cuarzo termoestabilizado o de rubidio. Los principales factores que afectan a la deriva de dicho oscilador son la antigüedad y la temperatura. El mecanismo de acoplo se efectúa de manera similar al bucle de enganche de fase (PLL)48.

En la mayoría de estos osciladores, el bucle de filtrado es sustituido por un microcontrolador que analiza y compensa los cambios de fase y frecuencia del oscilador local, los efectos del envejecimiento, temperatura y otros parámetros ambientales que a la deriva de dicho reloj (Figura 2.8) [20].

Figura 2.7. Arquitectura de sincronismo “stand-alone” mediante GNSS [13, 18].

El sincronismo entre las estaciones puede refinarse obligando a que los distintos receptores reciban la señal GNSS de un mismo satélite (Figura 2.9). Esto permite eliminar muchas fuentes de error, obteniendo errores de sincronismo inferiores a 1ns.

48 Siglas del término inglés, phase-locked loop.

CAPÍTULO 2

38

Figura 2.8. Arquitectura de reloj acoplado con GPS [20].

Figura 2.9. Arquitectura de sincronismo mediante GNSS "common-view" [13, 18].


39

2.1.4.2.2. Topologías aplicables

En relación a los mecanismos de sincronización mencionados en el apartado anterior, hay que recordar que la presente tesis doctoral está enfocada hacia la localización y el seguimiento de aeronaves en ruta, con lo que el tamaño de la constelación de receptores se presume importante.

Quedan por ello descartados, el uso de un sistema de reloj común (2.1.4.2.1.1), y el uso de un transpondedor de referencia en un sistema de relojes distribuidos.

De este modo, podemos determinar que el sistema bajo estudio requiere un sincronismo mediante GNSS. Debido a la extensión de la constelación, no se puede garantizar que los distintos receptores puedan ver simultáneamente al mismo conjunto de satélites. Por ello, lo más razonable es asumir que la arquitectura de sincronismo es mediante GNSS “stand-alone”.

Puesto que se espera que este sistema funcione en ausencia de GNSS, es necesario considerar aspectos como las derivas de los relojes en cada receptor49, y la manera de mitigar sus efectos.

2.2. Planteamiento del caso ideal

2.2.1. Definiciones

2.2.1.1. Sistema de coordenadas de referencia

El sistema de coordenadas de referencia que se va a emplear a lo largo de esta tesis es ENU (eje x: Este – eje y: Norte – eje z: Arriba), cuyo centro es un punto situado en latitud (φ0) y longitud (λ0), en el baricentro de la constelación de las estaciones base (tomando sus latitudes y longitudes respectivas), y a nivel del mar.

2.2.1.2. Ubicación de los actores

Es necesario definir las siguientes magnitudes basándose en el sistema de referencia ENU definido anteriormente:

• Una determinada estación (i-ésima) base está ubicada en (φi,λi,hi), perfectamente conocida. Para obtener la posición relativa (xi,yi,zi) al sistema de coordenadas de referencia ENU definido en el apartado anterior, se remite al lector al ANEXO I.

• Una determinada aeronave (j-ésima) está ubicada en (xj,yj,zj). La posición de dicha aeronave es a-priori desconocida para el sistema de vigilancia.

49 Más concretamente, a todas las estaciones menos una, que se empleará como referencia

CAPÍTULO 2

40

2.2.2. Caso ideal

El problema de la localización mediante WAM puede ser considerado como un simple problema geométrico: se trata de encontrar el punto de concurrencia entre las ramas hiperboloide de la constelación, donde cada rama es generada por una TDOA.

El caso ideal asume el cumplimiento de los siguientes supuestos:

• el escenario en cuestión carece de atmósfera (vacío)

• el sincronismo entre relojes es perfecto (sin errores, sin deriva)

• los receptores de las estaciones base son perfectos y el sistema no introduce ruido (no existe ruido)

2.2.2.1. Sistema de ecuaciones

El primer supuesto enunciado en 2.2.2 permite establecer la relación de proporcionalidad entre la distancia euclídea (Rij) que separa la estación i de la aeronave j, y el tiempo de llegada (TOA) de la señal transmitida por la aeronave j y recibida por la estación i:

ijij Rc

⋅=0

1τ

( 2.1 )

En el caso de una única aeronave y un número N de estaciones, la ecuación anterior pasa a ser el siguiente sistema de ecuaciones:

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

NjNj

jj

jj

jj

Rc

Rc

Rc

Rc

0

3

0

3

2

0

2

1

0

1

1

1

1

1

τ

τ

τ

τ

M

( 2.2 )

Con el fin de obtener una expresión en función de la incógnita (xj,yj,zj), se emplea la definición de la distancia euclídea entre cada estación y la aeronave, obteniendo así el siguiente sistema de ecuaciones TOA, donde cada una de ellas define una esfera:


41

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

−+−+−=

−+−+−=

−+−+−=

−+−+−=

222

0

2

3

2

3

2

3

0

3

2

2

2

2

2

2

0

2

2

1

2

1

2

1

0

1

1

1

1

1

NjNjNjNj

jjjj

jjjj

jjjj

zzyyxxc

zzyyxxc

zzyyxxc

zzyyxxc

τ

τ

τ

τ

M

( 2.3 )

Para obtener el sistema de ecuaciones TDOA, es necesario tomar una de las medidas de TOA como referencia, obteniendo así el siguiente sistema compuesto por N-1 ecuaciones, siendo N el número de estaciones. Cada ecuación del sistema define una rama de hiperboloide:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−+−+−−−+−+−=−

−+−+−−−+−+−=−

−+−+−−−+−+−=−

2

1

2

11

2

1

222

0

1

2

1

2

11

2

1

2

3

2

3

2

3

0

13

2

1

2

11

2

1

2

2

2

2

2

2

0

12

1

1

1

zzyyxxzzyyxxc

zzyyxxzzyyxxc

zzyyxxzzyyxxc

jjNjNjNjjNj

jjjjjjj

jjjjjjj

ττ

ττ

ττ

M

( 2.4 )

2.2.2.2. Solución para el sistema de ecuaciones determinado

La solución al sistema de ecuaciones anterior depende del número de estaciones. Dado que la solución necesaria es tridimensional, el número de estaciones ha de ser mayor o igual que 4.

Con el fin de aprovechar los recursos existentes, es importante evitar que tres o más estaciones sean colineales. La colinealidad de tres estaciones supone que una ecuación sería redundante, al poder definirse como combinación lineal de las otras.

La solución analítica al caso ideal, definida en [21], se detalla a continuación:

+−

+−

+−

+

−=

−

14

2

1,4

13

2

1,3

12

2

1,2

1

1,4

1,3

1,2

1

1,41,41,4

1,31,31,3

1,21,21,2

2

1

KKr

KKr

KKr

r

r

r

r

zyx

zyx

zyx

z

y

x

j

j

j

( 2.5 )

donde:

−=

−=

−=

11,

11,

11,

zzz

yyy

xxx

ii

ii

ii

( 2.6 )

CAPÍTULO 2

42

y:

( ) ( )

++=

++−++=−=222

2

1

2

1

2

1

222

11,

iiii

iiiii

zyxK

zyxzyxrrr ( 2.7 )

Si el sistema está sobredeterminado, la solución puede obtenerse empleando cuatro de las ecuaciones, siendo las restantes empleadas para corroborar la solución.

Si la solución obtenida empleando 4 de las ecuaciones no pertenece al espacio de soluciones definido por alguna de las ecuaciones restantes, significa que no estamos en el caso ideal.

Para resolver dichos sistemas, hay que estudiar los fenómenos físicos que nos impiden considerar el caso ideal, y entender sus efectos. En ello consiste el siguiente apartado (2.3).

2.3. Errores que afectan a la determinación de posición Puesto que la principal aportación de esta tesis está concebida para ser utilizada en sistemas reales, ninguno de los supuestos enumerados en el apartado 2.2 se cumple. Es por ello necesario identificar el impacto de los distintos fenómenos físicos, para poder mitigar su efecto.

Los errores pueden clasificarse en dos categorías: aleatorios, y sistemáticos.

2.3.1. Efecto de los errores aleatorios

2.3.1.1. Fuentes de error

Los errores aleatorios varían de manera aleatoria en función del tiempo. Si bien no se puede estimar el valor de una muestra en concreto en un instante de tiempo determinado, es posible caracterizar su comportamiento mediante una distribución de probabilidad.

Las principales fuentes de errores aleatorios son: el ruido en la señal recibida (debido al ruido del transmisor, del receptor y del canal), y el ruido de cuantificación inherente a la medida del TDOA.

Según [13], los errores aleatorios inducen un error en la estimación del tiempo de llegada que puede llegar a ser de 10ns (equivalente a una pseudodistancia de 3m), valor que usaremos como referencia en este estudio.


43

2.3.1.2. Influencia del error

2.3.1.2.1. Influencia según la magnitud del error

En un sistema de localización hiperbólica, la influencia del error aleatorio en la medida de TDOA se refleja mediante el término adicional n1i, donde los subíndices 1 e i definen los miembros de la pareja de estaciones base a la que se asocia el error aleatorio:

( )

( )

( )

+−⋅=−

+−⋅=−

+−⋅=−

NjNjjNj

jjjj

jjjj

nRRc

nRRc

nRRc

11

0

1

1313

0

13

1212

0

12

1

1

1

ττ

ττ

ττ

M

( 2.8 )

Asumiendo una determinada constelación de estaciones, cada ecuación de este sistema, define una familia de hiperboloides, cuya posición en el espacio depende del valor del parámetro n1i.

Se asume además, que el error en la medida de TOA (y por ende, de TDOA) es debido al ruido térmico asociado al receptor50.

Definiendo el ruido aleatorio mediante una v.a. gaussiana de media nula y desviación típica σi, la probabilidad de que el objeto esté situado en una de las ramas de la familia de hiperboloides está definida mediante una función densidad de probabilidad gaussiana.

De este modo, la Figura 2.10 representa la región definida por una de las ecuaciones51. La presencia del ruido aleatorio nos impide afirmar que el blanco se encuentra en la rama verde. Lo único que se puede afirmar es que con un 95% de probabilidad, el blanco está situado entre la rama definida por Ni=-2σi y la rama definida por Ni =2σi. Así, cuanto mayor sea la magnitud del error, mayor será la región de incertidumbre. Cuanto mayor sea el valor de σ, mayor será la separación entre las diferentes ramas de hipérbola.

El ruido aleatorio asociado a la medida del TOA induce un error de carácter aleatorio en la posición. La varianza de dicho error aumenta con la magnitud del ruido asociado a la medida. La Figura 2.11 muestra la varianza del error de posición horizontal (proyección del error en el plano xy) para un error de medida de TOA con una desviación típica de 10ns (equivalente a 3m), mientras

50 Esto implica que el conversor A/D (empleado para obtener el flanco de subida de la señal, con el fin de medir su tiempo de llegada) tiene una resolución suficiente para poder asumir que el ruido de discretización es insignificante respecto a la magnitud del ruido término.

51 Con el fin de simplificar la visualización, se ha ejemplificado con un sistema bidimensional.

CAPÍTULO 2

44

que la Figura 2.12 muestra la varianza del error de posición horizontal para un error de medida de TOA con desviación típica de 33ns (aproximadamente 10m).

Figura 2.10. Ramas de una familia de hipérbolas definidas por múltiplos enteros de σi.

Figura 2.11. Desviación típica del error horizontal de posicionamiento para un ruido de medida de TDOA de 10ns (unidad: m).


45

Figura 2.12. Desviación típica del error horizontal de posicionamiento para un ruido de medida de TDOA de 33ns (unidad: m).

2.3.1.2.2. Influencia según la geometría de las estaciones

El apartado anterior describió la influencia de la magnitud del error aleatorio en la localización del blanco, para una determinada geometría de estaciones base. Este apartado aborda la influencia que tiene una determinada distribución del error aleatorio, en función de la geometría de la constelación.

La Figura 2.13 muestra la intersección de familias de ramas, es decir, la solución a dos de las ecuaciones del sistema definido en (2.8). En ambos casos (A y B), el error aleatorio asociado a cada ecuación tiene la misma magnitud. Debido a la constelación de las estaciones del caso B, la incertidumbre en la intersección (definida en verde) es mayor. De este modo, se puede afirmar que el error de una determinada magnitud es más perjudicial en el caso B que en el caso A.

Figura 2.13. Influencia de la geometría de la constelación en la localización.

CAPÍTULO 2

46

Para analizar este hecho de manera cuantitativa, nos apoyaremos en el concepto de GDOP 52 [22, 23], que especifica el efecto multiplicativo de la geometría de las estaciones en el error en la medida del TDOA. Dicho concepto fue introducido por los usuarios del sistema de navegación LORAN53, siendo de especial utilidad para los sistemas de posicionamiento basados en multilateración (GPS, WAM, etc.). La clave reside en que este valor únicamente depende de la posición relativa del blanco y las estaciones base.

Por definición, GDOP es el cociente de la división del error de localización entre el error en la medida de TDOA. Para separar la influencia del error en la medida en la localización horizontal y la determinación de la altura del blanco, se han definido dos parámetros auxiliares: HDOP y VDOP.

Con el fin de ilustrar estos conceptos, se han efectuado pruebas con dos constelaciones formadas por 6 estaciones situadas a nivel del mar:

• la primera (constelación C), con 4 de las estaciones formando un cuadrado de 100km de lado, y las dos restantes, en el punto medio de dos de los lados opuestos.

• la segunda (constelación H), en la que las estaciones forman un hexágono inscrito en un círculo de radio 50km.

La Figura 2.14 y la Figura 2.15 muestran respectivamente el HDOP y el VDOP para la constelación C, mientras que la Figura 2.16 y la Figura 2.17 muestran ambos valores para la constelación H. En cada figura, una cruz marca la ubicación de una estación.

Los valores de HDOP y VDOP han sido calculados, asumiendo que la posición del blanco se encuentra en una rejilla de 300km por 300km, con una granularidad de 1km, y una altitud de 10km sobre el nivel del mar.

52 GDOP (Geometric Dilution Of Precision)

53 LORAN (LOng RAnge Navigation) es un sistema de navegación terrestre que permite mediante un receptor, que los barcos y las aeronaves estimen su propia posición y velocidad a partir de señales de baja frecuencia transmitidas por estaciones terrestres.


47

Figura 2.14. Mapa de HDOP para la constelación C.

Figura 2.15. Mapa de VDOP para la constelación C.

Figura 2.16. Mapa de HDOP para la constelación H.

CAPÍTULO 2

48

Figura 2.17. Mapa de VDOP para la constelación H.

De estas figuras, puede constatarse que un error en la medida de TDOA, es a-

priori más perjudicial en la constelación H que en la constelación C en la mayoría de los puntos de la región bajo estudio.

Esta constatación puede explicarse desde un punto de vista matemático: en las cercanías del centro de la constelación, los TOA de la señal emitida por la aeronave son similares. El sistema de ecuaciones de los TDOA tiene menos ecuaciones linealmente independientes. Cuando el blanco se encuentra en el centro de la constelación, el sistema únicamente dispone de una ecuación.

En una situación real, la elección de la constelación C (en detrimento de la constelación H) se efectúa en la etapa de planificación de un sistema WAM.

2.3.1.2.3. Métodos de resolución

[24] recopila los métodos de resolución del sistema de ecuaciones (2.8). Estos métodos son de dos tipos:

• un método iterativo, presentado en [23, 25]

• métodos algebraicos, como los presentados en [21, 26]

El lector puede encontrar el desarrollo de los algoritmos en el ANEXO II.

2.3.1.2.3.1. Método iterativo

Cronológicamente, el primer método en aparecer fue el método iterativo de resolución de ecuaciones no lineales [23, 25]. El método, basado en el desarrollo en serie de Taylor de las ecuaciones del sistema (2.8), empieza con


49

una estimación inicial que se refina mediante la minimización del error de mínimos cuadrados asociado a la aproximación lineal.

Este método asume que el error de linearización es limitado. Sin embargo, [26] mostró que los términos de orden alto son significativos a la hora de determinar la solución en escenarios con GDOP desfavorable. Así, aunque la relación señal a ruido sea elevada, no hay garantías acerca de que la solución obtenida sea precisa.

Resumiendo, las desventajas más importantes de este método son:

• la necesidad de una estimación inicial

• el hecho de que la convergencia no está garantizada

• el coste computacional del proceso

Por otra parte, este método presenta las siguientes ventajas:

• las medidas independientes a una estación pueden ser ponderadas.

• la información obtenida a través de las medidas no basadas en TOA - sino en DOA (dirección de llegada) – se combinan correctamente, es decir, con el factor geométrico adecuado, al poder ser ponderadas con sus precisiones a-priori.

• la distribución estadística de la solución (DOP) puede calcularse de manera sencilla.

• es sencillo detectar la no convergencia.

2.3.1.2.3.2. Método algebraico (Bancroft)

[26] presenta un algoritmo empleado originalmente para el cálculo inicial de la posición de un receptor del sistema GPS, basado en la localización hiperbólica, y que por ello podemos reutilizar.

Este método ofrece dos posibles soluciones a la ecuación cuadrática, de la que únicamente una es la correcta. La principal ventaja de este método es que es algebraico y no iterativo, siendo numéricamente más eficiente.

Sin embargo, las simulaciones muestran que la precisión en el eje vertical es paupérrima, siendo utilizable la solución obtenida únicamente en el plano horizontal (latitud, longitud). Esto es debido a que las estaciones de WAM están ubicadas en la superficie de la Tierra.

2.3.1.2.3.3. Método algebraico (Chan, Ho)

Por su parte, [21] aproxima el estimador de máxima verosimilitud cuando el ruido asociado a la medida del TDOA es pequeño. Las ecuaciones TDOA se

CAPÍTULO 2

50

transforman en una serie de ecuaciones lineales, asumiendo que la posición de la aeronave y la distancia de la aeronave a la estación de referencia son magnitudes independientes. Esto es posible asumiendo que la aeronave se encuentra lejos de la constelación. El método de mínimos cuadrados ofrece una primera solución a este problema.

En el caso de que ambas magnitudes sean comparables, se introduce la relación entre ellas, y se obtiene la solución al problema. Sin embargo, las simulaciones han mostrado errores de gran magnitud empleando esta segunda iteración (campo cercano). No en vano, [24] sugiere que se emplee únicamente la solución de campo lejano, para luego refinarlo con el algoritmo iterativo. Por estos motivos, el cálculo empleado para obtener la posición del blanco – y así inicializar el sistema de seguimiento (3.4.2) – se efectúa en dos etapas: la primera consiste en el cálculo de campo lejano, y la segunda, en un algoritmo iterativo.

2.3.1.2.4. Cota de Cramér-Rao

En estadística, la cota inferior de Cramér-Rao (CRLB54) expresa una cota inferior para la covarianza de un estimador insesgado. Según [27], la expresión del CRLB para un sistema de localización hiperbólico es:

( )[ ] 11

CRLB−−

= MCMRMMC TTT

( 2.9 )

donde:

−−−

−−−

−−−

=

Nj

Nj

Nj

Nj

Nj

Nj

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

R

zz

R

yy

R

xx

R

zz

R

yy

R

xx

R

zz

R

yy

R

xx

cMMM

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

0

1C

−

−

−

=

10001

0

0101

0011

OM

L

M

( 2.10 )

y R es la matriz de covarianza de las medidas de TOA.

54 CRLB: siglas del término en inglés Cramér-Rao Lower Bound. Este término es llamado así en honor a Harald Cramér y Calyampudi Radhakrishna Rao


51

A partir de dicha matriz pueden calcularse, la cota inferior asociada a la desviación típica de la componente horizontal de error, y la cota inferior asociada a la desviación típica de la componente vertical de error:

( )

=

+=

3,3min

2,21,1min

CRLBabsV

CRLBCRLBH ( 2.11 )

Las siguientes figuras muestran las magnitudes Hmin (Figura 2.18) y Vmin (Figura 2.19), con la constelación H, para una aeronave ubicada a 10km de altitud, y una desviación típica en la medida del TOA de 10ns.

Figura 2.18. Cota inferior del error cuadrático medio – componente horizontal (m).

Figura 2.19. Cota inferior del error cuadrático medio – componente vertical (m).

Con el fin de comparar la eficiencia de los métodos de resolución algebraicos, se han evaluado la desviación típica del error horizontal y vertical, empleando

CAPÍTULO 2

52

las mismas condiciones experimentales: constelación H, una única aeronave ubicada a 10km de altitud, y desviación típica en la medida del TOA de 10ns).

Se observa que ambos métodos no son óptimos desde la perspectiva de la cota de Cramér-Rao.

Por una parte, el método presentado por Bancroft [26] (Figura 2.20 y Figura 2.21), tiene un mejor rendimiento dentro de la constelación y a lo largo de cada eje, empeorando cuando la componente x de la posición de la aeronave se encuentra fuera de la constelación. Esta observación es válida tanto para la componente horizontal, como para la componente vertical.

Figura 2.20. Método de Bancroft: cociente de la desviación típica de la componente horizontal de error por Hmin.

Figura 2.21. Método de Bancroft: cociente de la desviación típica de la componente vertical de error por Vmin.


53

Por otra parte, el algoritmo para campo lejano empleado en el método presentado por Chan y Ho [21] (Figura 2.22 y Figura 2.23), ofrece un mejor rendimiento fuera de la constelación, y lejos de los ejes x e y. Sin embargo, su rendimiento es nefasto para la componente vertical.

Figura 2.22. Método de Chan-Ho: cociente de la desviación típica de la componente horizontal de error por Hmin.

Figura 2.23. Método de Chan-Ho: cociente de la desviación típica de la componente vertical de error por Vmin.

2.3.2. Efecto de los errores sistemáticos

Los errores sistemáticos son sesgos en la medida que conllevan a que la media de las medidas difiera del valor real del elemento medido. Cualquier medida es proclive a tener errores sistemáticos, incluso de distinta naturaleza.

CAPÍTULO 2

54

Los errores sistemáticos pueden estar presentes a su vez, en el resultado de una estimación basada en un modelo matemático o una ley física.

El apartado siguiente repasa los conceptos básicos de la propagación troposférica, para entender su impacto en la medida del tiempo de llegada. A partir de ahí, estudiaremos cómo se puede modelar dicho impacto.

2.3.2.1. Propagación troposférica

2.3.2.1.1. Propiedades de la atmósfera terrestre

Un aspecto fundamental en la propagación es el índice de refracción radioeléctrica (n). Si bien en la Tierra dicho valor es muy cercano a la unidad, [28] establece el concepto de coíndice de refracción (N). La relación entre ambos es la siguiente:

6101 −⋅+= Nn ( 2.12 )

donde N depende de la presión atmosférica (P, en hPa), la temperatura (T) y la presión del vapor de agua (e, en hPa). El comportamiento de la temperatura, y de la presión del vapor de agua en función de la altitud pueden apreciarse en la Figura 2.24.

Figura 2.24. Temperatura y presión de la atmósfera en función de la altitud.


55

Por ello, [28] recomienda utilizar la siguiente expresión para modelar N en función de la altitud (Figura 2.25):

( )

−⋅⋅+= −

0

6

0 exp101h

hNhn

( 2.13 )

siendo N0=315 y h0=7,35km.

Figura 2.25. Valor del coíndice de refracción (N) en función de la altitud.

2.3.2.1.2. Método de trazado de rayos

El problema básico de la refracción es la predicción de la trayectoria de un rayo en un medio de propagación refractivo. Se puede probar que si la dirección del rayo es conocida en un punto concreto del espacio, y el índice de refracción es conocido en cualquier punto del espacio, se puede determinar la trayectoria completa del rayo.

La ley de Snell relaciona la dirección del rayo en cualquier punto a lo largo de su trayectoria, con la dirección del gradiente del índice de refracción (Figura

2.26). Si el medio tiene un gradiente con una dirección constante, dicha ley enuncia que si ψ es el ángulo entre el rayo y la dirección del gradiente del índice de refracción, se cumple:

constantesin =ψn ( 2.14 )

CAPÍTULO 2

56

Figura 2.26. Ley de Snell entre dos medios con diferente índice de refracción.

Según [29], el gradiente del índice de refracción de la atmósfera puede considerarse vertical. Así, empleando un modelo esférico de la Tierra, cuyo origen está situado en el centro de la misma, se puede reformular la ley de Snell tal y como sigue:

Csin =ψnr ( 2.15 )

donde r es la distancia euclídea que separa un punto dado del rayo y el centro de la Tierra.

Definiendo el ángulo θ – llamado ángulo de elevación local del rayo - como el ángulo complementario de ψ, la expresión puede reescribirse:

000 coscos θθ rnnr = ( 2.16 )

donde los valores con subíndice son los respectivos valores iniciales.

Caracterizando la atmósfera mediante un modelo de estratificación por capas (donde sus propiedades únicamente varían con la altitud), y según [28, 30], un haz radioeléctrico que atraviesa la porción inferior (no ionizada) de la atmósfera experimenta curvaturas debidas al gradiente del índice de refracción.

Así, la propagación de la onda radioeléctrica a través de la troposfera hace que la distancia recorrida por la luz sea mayor que la distancia que separa el transmisor del receptor. Este recorrido (s) se calcula mediante la integración numérica de la siguiente expresión, descrita en [29, 31] :

( ) ( )

( ) ( )( )[ ]{ }∫

+−=

jz

rzhnn

dzznzs

0 2

000

0

1cos1,

θθ

( 2.17 )


57

donde θ0 es el ángulo de elevación del rayo en el receptor, n0 el índice de refracción en el receptor, r0 el radio de curvatura de la Tierra, y zj la altitud de la aeronave.

Dicha integral se resuelve numéricamente, tal y como se describe en [29].

La Figura 2.27 muestra la distorsión atmosférica, definida como diferencia entre la trayectoria recorrida por la onda (tiempo de vuelo dividido por la velocidad de la luz en la atmósfera estándar a nivel del mar) y la distancia euclídea (∆P) debido a la propagación troposférica55. De dicha figura, puede observarse lo siguiente:

• para una determinada altitud del transmisor, la distorsión atmosférica puede aproximarse mediante una función parabólica de la distancia entre transmisor y el receptor.

• para una determinada distancia euclídea, la distorsión atmosférica es mayor cuanto menor sea la altitud del transmisor.

2.3.2.1.3. Modelo de la distorsión atmosférica

Como continuación al modelo de primer orden empleado en [32], [33] sugiere el uso de un modelo de orden 2, argumentando que captura mejor la dependencia de ∆P con la distancia euclídea para distancias mayores de 100km.

Así, [33] establece la siguiente ecuación:

( ) 2

210

, ijijzz

jij

j

i RRzRPj

αα +≈∆=

( 2.18 )

donde Rij es la distancia euclídea entre transmisor (aeronave) y receptor (estación base), mientras que los parámetros α1 y α2 son los coeficientes de orden uno y dos.

Un trabajo posterior [17] compara las diferentes ramas de la familia de parábolas, efectuando el cociente (C) de la división de ∆P a una altitud determinada entre ∆P para una altitud de 14000m, para una misma distancia euclídea.

Dicho cociente está representado en función de la distancia euclídea en la Figura 2.28, pudiendo apreciarse que para una determinada altitud de la aeronave, el cociente es prácticamente constante. Cabe destacar que la línea roja discontinua en las dos figuras siguientes muestra el horizonte radioeléctrico de la señal transmitida, siendo éste el límite de aplicabilidad del cálculo del sesgo.

55 En este análisis, se asume que el receptor se encuentra al nivel del mar

CAPÍTULO 2

58

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Slant range (km)

Ran

ge

bia

s, m

3km

4km

5km

6km

7km

8km

9km

10km

11km

12km

13km

14km

Limit of applicability(Radio−wave horizon)

Figura 2.27. Diferencia entre la trayectoria recorrida por una onda radioeléctrica y la distancia entre transmisor y receptor, en función de la altitud del transmisor.

La Figura 2.29 es otra representación del mismo cociente, pero esta vez, en función de la altitud de la aeronave.

15 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5001

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

Rat

io b

etw

een t

he

Ran

ge

bia

s at

a g

iven

alt

itude

com

par

ed t

o t

he

Ran

ge

bia

s at

14km

alt

itude

(equal

sla

nt

range

consi

der

ed),

no u

nit

Slant range, km

3km

4km

5km

6km

7km

8km

9km

10km

11km

12km

13km

Limit of applicability

(Radio-wave horizon)

Figura 2.28. Cociente de la división de ∆P para una aeronave a una altitud determinada entre ∆P para una aeronave a una altitud de 14000m, para una misma distancia euclídea.


59

Figura 2.29. Cociente de la división de ∆P para una aeronave a una altitud determinada entre ∆P para una aeronave a una altitud de 14000m, para una misma distancia euclídea.

En la Figura 2.29, establecemos una interpolación lineal para los valores de altitud entre 3000m y 14000m, obteniendo los siguientes parámetros:

• función: C = -0.075z + 2.000

• coeficiente de determinación56: R2=0.982

con lo que podemos modelar C mediante una función afín, tal y como se enuncia en [17]:

( )( )

( )

−+≈

∆

∆=

=

=

0

3

0

11,

,

z

z

zRP

zRP

zCj

ij

j

i

jij

j

i

j

kij

kij α

ρρ

ρρ

( 2.19 )

Así, la contribución de la propagación troposférica a la pseudodistancia puede modelarse mediante el producto de las ecuaciones (2.8) y (2.9), resultando:

( ) ( ) ( ) ( )

−+⋅+≈⋅∆≈∆

=0

3

2

21 11,,0 z

zRRzCzRPzRP

j

ijijjzz

jij

j

ijij

j

ij

ααα

( 2.20 )

A través de esta expresión, podemos observar que el sesgo debido a la propagación troposférica puede modelarse mediante el producto de dos factores: el primero se trata de una corrección para una altura de referencia, que depende únicamente de la distancia euclídea; el segundo factor corresponde a la corrección de la altura, dependiendo α3 de la altura de referencia.

56 Este coeficiente indica la calidad del ajuste de una serie de datos a un modelo estadístico. Si el ajuste es perfecto, este valor es 1, mientras que si el valor es 0, la serie de datos es independiente del modelo.

CAPÍTULO 2

60

2.3.2.2. Error de sincronismo

El error de sincronismo existente entre dos estaciones base en un determinado instante - ∆T(t) - puede definirse como la suma de los siguientes términos:

• el error existente en una observación previa: ∆T(t0)

• la deriva del reloj entre la observación previa (t0) y el instante actual (t): ∆T(t)-∆T(t0)

Asumimos que las estaciones base emplean osciladores de cuarzo termo-estabilizado (OCXO57), cuya deriva del reloj es de 100ps para un intervalo de medida de un segundo [34].

De este modo, en un intervalo de un segundo, la deriva de un OCXO puede inducir un error en la pseudodistancia de menos de 3cm (caso peor).

Así, si bien [33] presenta un polinomio de segundo orden para caracterizar ∆T

basado en las evaluaciones de [35], [17] sugiere que la magnitud de la deriva (determinada por los coeficientes de orden uno y orden dos) durante el intervalo de estimación de los errores sistemáticos sea limitada.

Por ello, esta tesis caracteriza el error de sincronismo entre dos estaciones mediante un escalar, tal como se define en la siguiente expresión:

1,01, ii TcS ∆⋅≈∆

( 2.21 )

donde ∆Ti,1 es el error de sincronismo existente entre el reloj de una estación determinada y el reloj de la estación de referencia.

2.3.3. Concepto de pseudodistancia

Con el fin de aglutinar los efectos de los errores definidos en la sección 2.3, se define el concepto de pseudodistancia. La pseudodistancia es el producto de la velocidad de la luz en el vacío por el tiempo de llegada de una señal, y su unidad es el metro.

Dicho valor únicamente puede ser igual a la distancia que separa al transmisor del receptor en el caso ideal, mencionado en 2.2.2.

Matemáticamente, la pseudodistancia puede expresarse mediante la suma de los siguientes términos:

• la distancia euclídea entre transmisor y receptor (Rij)

• el efecto de la incertidumbre en el tiempo de emisión de la señal (εe)

57 Del ingles, Oven-Controlled Crystal Oscillator


61

• el efecto de los errores sistemáticos, compuestos por la propagación troposférica (εp) y el error de sincronismo (εs)

• el efecto de los errores aleatorios (εr)

ij

r

i

s

ij

p

j

eij

j

i

j

iij RcTOAc εεεετρ ++++=⋅=⋅= 00 ( 2.22 )

Dado que la medida principal es el TDOA (entre dos estaciones) – equivalente a la diferencia de pseudodistancias - de la misma señal emitida por una determinada aeronave, el término εe desaparece, tal como se aprecia en la expresión (2.13):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )j

r

ij

rs

i

s

j

p

ij

p

j

e

j

ejijjij RR111

11 εεεεεεεερρ −+−+−+−+−=−

( 2.23 )

que puede ser reescrita del siguiente modo:

( ) ij

r

i

s

ij

pjijjij RR '''11 εεερρ +++−=−

( 2.24 )

donde εr’ es una v.a. gaussiana con el doble de varianza que εr, debido a que se trata de la diferencia entre dos v.a. gaussianas de misma varianza.

CAPÍTULO 2

62

2.4. Planteamiento del problema matemático Incorporando (2.18) y (2.19) en los términos de error de (2.24), obtenemos la siguiente expresión:

( ) ( ) ( )[ ] j

ii

j

jjijijjij

jij

j

i

nTcz

zRRRRRR

TDOAc

1,1,0

0

3

2

1211

2

211

11,0

11 +∆⋅+

−++−++−

=−=⋅

ααααα

ρρ

( 2.25 )

donde c0 es la velocidad de la luz en el vacío y z0 es una altitud de referencia.

Así, nuestro problema de localización se convierte en un problema de estimación estadística de los siguientes parámetros:

• las posiciones de las aeronaves (xj,yj,zj)

• los parámetros empleados en el modelo de distorsión atmosférica (αk)

• las estimaciones de los errores de sincronismo (c·∆Ti).

donde la función de transferencia es una función no lineal.

Adicionalmente, es necesario que la solución obtenida minimice el efecto del error aleatorio, modelado mediante una v.a. gaussiana de media nula.

Este capítulo ha presentado el sistema WAM, ha planteado el caso ideal, y ha analizado los errores que afectan a la determinación de la posición, desembocando en el planteamiento del problema matemático. El siguiente capítulo describe la solución a este problema.

63

CAPÍTULO 3. SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE MULTILATERACIÓN EN PRESENCIA

DE ERRORES DE PROPAGACIÓN Y SINCRONISMO

3.1. Necesidades del sistema El sistema bajo estudio ha de ofrecer una solución al problema planteado en el CAPÍTULO 2. De este modo:

• el sistema ha de ser capaz de localizar y seguir las pistas de las aeronaves, basándose en las señales que éstas han emitido.

• el sistema ha de ser capaz de mitigar el efecto de la propagación troposférica, modelado mediante una función no lineal.

• el sistema ha de ser capaz de corregir los errores de sincronismo entre las estaciones base.

• el sistema ha de ser capaz de reducir la varianza del error de posicionamiento integrando medidas de una misma aeronave en distintos instantes (mediante el filtrado de trayectorias).

• las únicas entradas al sistema serán los TOA de las señales emitidas por el tráfico de oportunidad (se supone que no existen emisores de calibración).

CAPÍTULO 3

64

3.2. Análisis del sistema de ecuaciones para el sistema de localización hiperbólico

En un escenario genérico con una cantidad M de aeronaves y una cantidad N de estaciones base en el área de cobertura, el sistema de ecuaciones (2.23) está compuesto por:

• M(N-1) ecuaciones, al haber (N-1) medidas de TDOA por cada aeronave

• 3M+N+2 incógnitas:

o 3M provenientes de la posición (xj,yj,zj) de cada aeronave

o 3 debido a los parámetros α1, α2 y α3.

o N-1 provenientes de los errores de sincronismo

El apartado siguiente muestra dos métodos de resolución del problema para las muestras de TDOA obtenidas en un instante.

3.3. Solución al problema muestra a muestra Este apartado describe las dos técnicas presentadas en [32] para resolver el sistema de ecuaciones (2.23).

3.3.1. Mediante calibración

La primera técnica consiste en determinar primero los parámetros del modelo de distorsión atmosférica (α1, α2 y α3) a partir de las medidas de calibración, es decir, a partir del TDOA de las señales generadas por una serie de emisores fijos en posiciones conocidas. Una vez determinados, estos parámetros se aplican a las ecuaciones asociadas a las medidas de TDOA de las señales generadas por cada aeronave, con el fin de calcular su posición.

Esta técnica presenta dos inconvenientes: por una parte, es necesario que cada emisor de calibración tenga línea de vista con cada estación base de la constelación WAM. Por otra parte, debido a que dichos emisores son fijos y se encuentran a muy baja altura, los parámetros α1, α2 y α3 se estiman a partir de una serie de medidas que no permiten caracterizar los errores de propagación a alturas mayores que las de la superficie de la tierra.

Por ello, esta técnica no es útil para nuestro problema. Es necesario recurrir a un método que emplee las señales enviadas por las propias aeronaves. Este método se presenta a continuación.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE MULTILATERACIÓN EN PRESENCIA DE ERRORES DE PROPAGACIÓN Y SINCRONISMO

65

3.3.2. Mediante tráfico de oportunidad

3.3.2.1. Descripción de la técnica

La segunda técnica consiste en aumentar el número de estaciones base, y por ende, el número de medidas en un instante. Con este aumento, se pretende estimar simultáneamente la posición de cada aeronave, los errores de sincronismo asociados a cada estación, y los parámetros α1, α2 y α3.

Con el fin de evitar que dicho sistema sea indeterminado, es necesario que el número de ecuaciones sea mayor o igual que el número de incógnitas. Esto es, la siguiente desigualdad ha de cumplirse:

( ) 231 ++≥− NMNM

( 3.1 )

es decir:

−

+≥

4

2

N

NM

( 3.2 )

La expresión (3.2) introduce dos restricciones por si sola:

• el sistema ha de estar compuesto por al menos 5 estaciones base

• el número mínimo de aeronaves depende del número de estaciones base, según la relación definida en la Tabla 3.1

N valor mínimo de M

5 7

6 4

7 3

8 3

Tabla 3.1. Relación entre N y el valor mínimo de M.

De este modo, no es suficiente con tener una única aeronave para poder corregir los efectos de los errores sistemáticos. Afortunadamente, desde la perspectiva de la vigilancia aérea para el tráfico en ruta (donde es primordial garantizar la separación entre aeronaves), la realidad juega a nuestro favor: en caso de tener un número muy reducido de aeronaves en la zona de cobertura, el efecto del error sistemático será de poca importancia en el control y monitorización de posición, ya que la distancia entre las propias aeronaves será grande. En el caso opuesto, una región con tráfico denso cumple sobradamente con la restricción.

CAPÍTULO 3

66

Apoyándonos en este razonamiento, el sistema a desarrollar deberá basarse en las medidas de TDOA obtenidas a partir del tráfico de oportunidad.

3.3.2.2. Descripción de la solución

Dado que la función que relaciona la medida de TDOA con la posición de la aeronave no es lineal, [32] abre una línea de investigación con el fin de obtener la solución al sistema tal y como sugiere [24].

Esta propuesta consiste en obtener la solución para cada punto de la trayectoria en dos tiempos. Primero, se trata de encontrar una solución inicial basada en la localización hiperbólica [21], tal y como se menciona en 2.3.1. Si bien este paso obvia la existencia de errores sistemáticos, la estimación inicial que se obtiene es un buen punto de partida para el siguiente paso.

El segundo paso consiste en el uso de un algoritmo iterativo basado en la minimización del error cuadrático medio (MMSE58) [25]. Este método parte de la solución inicial anterior, y a través de una aproximación de primer orden de la expresión (2.23), trata de converger a la solución.

En un instante determinado, el vector de incógnitas es el siguiente:

[ ]TNMMM TcTczyxzyx 3211,1,2111 ,,,,...,,,,,...,,, ααα∆∆=x

( 3.3 )

donde (xj,yj,zj) es la posición de la aeronave j-ésima, c∆Ti,1 es el error de sincronismo entre la estación i-ésima y la estación de referencia (estación 1) α1, α2 y α3 son los parámetros del modelo del error de propagación.

Cada iteración actualiza el vector definido en (3.3) del siguiente modo:

kkkxδxx += −1

( 3.4 )

En cada iteración, se estiman las TDOA a partir del vector 1−kx . El vector de error, definido como la diferencia entre las medidas de TDOA y las estimaciones, es:

( )1−−= kk xfε τ ( 3.5 )

donde ( )1−kxf es el vector compuesto por las estimaciones de TDOA, y τ el

vector compuestos por las medidas de TDOA.

El incremento diferencial ( kxδ ) se obtiene resolviendo los términos de primer

orden del desarrollo en serie de Taylor del sistema de ecuaciones (2.23). Así, la expresión (3.5) puede reescribirse del siguiente modo:

58 Minimum Mean Square Error


67

kkkδxJε = ( 3.6 )

donde la matriz Jk es el jacobiano del sistema de ecuaciones (2.23) en la iteración k-ésima.

Para un instante determinado, la matriz J se obtiene empleando las siguientes expresiones59:

∇

∇

∇

∇

=

,1sN

i,1

3,1

2,1

,1sN,1sN,1sN

i,1i,1i,1

3,13,13,1

2,12,12,1

Z

Z

Z

Z

BA100

0

BA000

BA010

BA001

JM

L

MMLMMM

L

L

L

( 3.7 )

donde:

=∇

A/CN

i,1i,1i,1

i,1

j

i,1i,1

i,1i,1

1

i,1

i,1

∆00

0∆0

00∆

L

MLMM

L

L

[ ]000=i,10

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂=

j

j

j

ij

j

j

j

ij

j

j

j

ij

zzyyxx

111,,

ρρρρρρj

i,1∆

( )jiji zr 31, 1 α+=A

( )jiji zr 3

2

1, 1 α+=B

( )2

211, ijijji rrz αα +=Z

( 3.8 )

siendo:

( ) ( )

j

ij

ij

j

ijz

rxx

x32

1 121

αααρ

+

+

+−=

∂

∂ ( 3.9 )

59 El índice i corresponde a la estación i-ésima, mientras que el índice j corresponde a la aeronave j-ésima

CAPÍTULO 3

68

( ) ( )j

ij

ij

j

ijz

ryy

y32

1 121

αααρ

+

+

+−=

∂

∂

( ) ( ) ( )2

213321 12

1ijijj

ij

ij

j

ijrrz

rzz

zααααα

αρ+++

+

+−=

∂

∂

( ) ( ) ( )222

ijijijij zzyyxxr −+−+−=

Dado que este sistema suele ser sobredeterminado, se utilizará una solución de minimización del error cuadrático medio para su solución. El incremento diferencial se calcula tal y como sigue:

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] kTTkkkkkk εSJJSJδx ⋅⋅⋅⋅⋅= −−− 111

( 3.10 )

donde S es la matriz de covarianzas asociada a las medidas de TDOA.

3.3.2.3. Ventajas e inconvenientes de la solución

Trabajos como [32, 33] han buscado la forma de encontrar la solución a dicho problema centrándose únicamente en las medidas de TDOA en un instante de tiempo. Esto tiene la ventaja de que no es necesario tener conocimiento de las trayectorias de los blancos. Sin embargo, el uso de este método con el fin de efectuar el seguimiento de aeronaves contiene una serie de problemas.

3.3.2.3.1. Problema de convergencia

Cuando la magnitud del error aleatorio es importante, el algoritmo iterativo efectuado en los procesadores tiene dificultades a la hora de converger. El cálculo del paso (diferencia entre el vector solución entre una iteración y la siguiente) requiere la inversión de matrices, como es el caso de la matriz de gradiente A, definida en la expresión (15) de [33].

Supongamos el siguiente sistema de ecuaciones, donde el vector x es la incógnita:

yxH =

( 3.11 )

H, x, y son definidos de la siguiente manera:

=

3

2

1

2

1

3231

2221

1211

y

y

y

x

x

hh

hh

hh

( 3.12 )


69

Siendo conceptualmente diferentes las magnitudes descritas por cada dimensión del vector de solución x60, es posible que dichos valores difieran en órdenes de magnitud. En esta situación, es muy probable obtener una matriz mal condicionada, dificultando así la convergencia del algoritmo de MMSE.

Un método sencillo para mitigar este problema consiste en ponderar una de las columnas de H, y la dimensión del vector x asociada, con el fin de no alterar la ecuación, tal como aparece en la siguiente expresión:

=

⋅

3

2

1

2

1

3231

2221

1211

y

y

y

xK

x

Kh

h

Kh

h

Kh

h

( 3.13 )

3.3.2.3.2. Problema a nivel conceptual

Analizando esta solución a nivel conceptual, nos encontramos ante un método que - en caso de converger - obtiene el valor óptimo del vector x para un determinado vector de medidas de TDOA. Sin embargo, no existe relación alguna entre las componentes del vector x entre un instante y el siguiente.

De este modo, si el nivel de ruido (error en la medida) es suficientemente elevado, es posible que tanto la posición de cada aeronave, como los parámetros que caracterizan el modelo de la propagación troposférica, o incluso los errores de sincronismo, varíen significativamente de una serie de medidas a la siguiente (menos de 5 segundos de tiempo de experimento).

Se pueden mejorar las prestaciones si se incorpora un filtro de seguimiento para relacionar estas medidas y las de las siguientes exploraciones (o si el sistema es pasivo, de las siguientes respuestas de cada aeronave).

3.4. Solución al problema de seguimiento

3.4.1. Técnicas de seguimiento de blancos

La mayoría de las técnicas de seguimiento de blancos están basadas en derivados del filtro de Kalman[36]. Dicho filtro opera de manera recursiva, empleando las medidas (formalmente denominadas “observaciones”) con el fin

60 Un ejemplo es que una dimensión del vector solución sea la posición del blanco en metros, mientras que otra dimensión del mismo vector sea un parámetro α asociado al modelo de propagación troposférica

CAPÍTULO 3

70

de producir una estimación óptima (desde el punto de vista estadístico) del estado del blanco.

De esta forma, el filtro deberá estar compuesto por la combinación de un modelo de la dinámica del blanco y de un modelo de observación del mismo. Mientras que el primero permite predecir el estado del blanco en un instante a partir del anterior, el segundo estima la observación (sin ruido) partiendo del estado del blanco.

En nuestro problema, el vector de estado del blanco está compuesto por: su posición, su velocidad, y su aceleración en un sistema ENU, donde la latitud y la longitud corresponden al centro de la constelación WAM, y la altitud es nula respecto al elipsoide WGS84.

La clave para efectuar un seguimiento correcto consiste en extraer la información necesaria del vector de estado del blanco (posición, velocidad, etc.) a partir de las observaciones. En este sentido, un buen modelo del blanco facilita en gran medida el proceso de extracción de la información. La elección de dicho modelo tiene más peso en el éxito (o fracaso) del sistema de seguimiento, cuanto más limitadas sean las observaciones del blanco. Debido a su importancia, la discusión acerca de los modelos de dinámica de blanco acontecerá en 3.4.1.1.

Por otra parte, en el marco de esta tesis, el modelo de observación es justamente la función que estima la medida de TDOA a partir de la posición del blanco. Puesto que dicha función no es lineal, tal como sugiere la expresión (2.23), el apartado 2.3 analiza los distintos métodos existentes para aproximar el comportamiento de esta función.

En el marco de esta tesis, tanto el cálculo de la posición del blanco como las observaciones se ejecutan con un intervalo aproximadamente constante. Por ello, podemos emplear las expresiones que caracterizan la dinámica del blanco como las observaciones, en tiempo discreto.

3.4.1.1. Modelos de dinámica del blanco

Siguiendo la literatura [37, 38], la expresión clásica del modelo de dinámica del blanco en tiempo discreto es:

[ ] [ ] [ ]( ) [ ]kwkukxfkx k +=+ ,1

( 3.14 )

donde [ ] [ ] [ ]kwkukx ,, son respectivamente, el vector de estado, el vector de

control del blanco, y el error de proceso en el instante de tiempo k. A nivel de notación, hay que destacar que el vector de estado del blanco [ ]kx , está

compuesto por la posición, la velocidad, y la aceleración a lo largo de una dirección concreta.


71

[ ] ( )Tkxkxkxkx ][],[],[ &&&=

( 3.15 )

Hay que especificar que el blanco se considera como un punto en el espacio. Esto simplifica el enfoque acerca de las ecuaciones de movimiento, ya que únicamente es necesario caracterizar la dinámica del punto, sin mencionar la dinámica de momentos.

Tal y como menciona [38], el proceso de control definido mediante el vector u[k] - que podría contener información como la posición del acelerador, de los alerones o del timón - responsable de la maniobra del blanco es de naturaleza determinista, pero es a menudo desconocido para el sistema de seguimiento.

Una consecuencia lógica es modelar los elementos de dicho vector de estado mediante variables deterministas que serían estimadas a partir de las observaciones efectuadas durante el seguimiento. Este razonamiento dio pie a métodos de estimación de los parámetros de entrada [39-47].

Alternativamente, se puede modelar el proceso de control como un proceso estocástico, idea que ha sido mayoritariamente adoptada en el campo del seguimiento de blancos. Estos modelos pueden clasificarse en los siguientes tres grupos: los modelos de ruido blanco, los modelos de Markov, y los procesos semi-Markovianos.

3.4.1.1.1. Modelos de ruido blanco

Los modelos de ruido blanco, son aquellos donde el proceso de control está modelado como ruido blanco. Esto abarca los modelos polinómicos (de grado n, donde los coeficientes de grado n+1 son modelados mediante ruido). Dos casos particulares importantes son los modelos de velocidad constante, donde la aceleración se modela mediante ruido (n=1) y los modelos de aceleración constante, donde la sobreaceleración61 se modela mediante ruido (n=2). Si bien estos modelos son sencillos y de aplicación directa, los cambios de rumbo, o de aceleración de una aeronave son debidos a las maniobras de los pilotos (manuales o automáticas), y por ello, modelar la sobreaceleración como ruido blanco no es lo más apropiado.

3.4.1.1.2. Modelos de Markov

Los modelos de Markov son aquellos donde el estado del proceso de control estocástico depende del estado del mismo únicamente en m instantes anteriores (sistemas de memoria m), siendo m=1 el caso más sencillo.

61 Conocida también como tirón, sacudida o pique, se trata de la tasa de cambio de la aceleración, es decir, la derivada de la aceleración con respecto al tiempo.

CAPÍTULO 3

72

De entre ellos, destacamos el modelo de Singer [48], que asume que la aceleración del blanco a(t) está correlada en el tiempo: es decir, si el blanco está acelerando (es decir, en una maniobra) en un instante de tiempo t, es probable que esté acelerando en un instante posterior (t+τ) para un valor suficientemente pequeño de τ. Por ejemplo, un giro lento (típico de aviones comerciales) dará lugar a valores correlados de aceleración de hasta un minuto, una maniobra evasiva dará lugar a períodos de entre 10 y 30 segundos, mientras que las turbulencias pueden dar lugar a períodos de 1 ó 2 segundos.

El modelo representativo de la función de autocorrelación de la aceleración es:

( ) ( ) ( )[ ] 0 , 2 >=+=− ασττ τα

etataEr m ( 3.16 )

donde 2

mσ es la varianza de la aceleración del blanco y α es la inversa de la

constante de tiempo de la maniobra.

[48] demuestra que la función definida en (3.16) corresponde al comportamiento de la sobreaceleración modelada mediante el siguiente sistema LTI62:

( ) ( ) ( ) 0 , >+−= αα twtata& ( 3.17 )

donde w(t) es un ruido blanco de media nula y densidad espectral de potencia 2

2 mασ . Así, la representación en tiempo continuo en modelo de variables de

estado del modelo de Singer es:

( ) ( ) ( )twtxtx

+

−

=

1

0

0

00

100

010

α

&

( 3.18 )

La expresión equivalente a (3.17) en tiempo discreto (siendo T el intervalo de muestra) es la siguiente:

[ ] [ ] 0 , 1 >+=+ − αα a

k

Twkaeka

( 3.19 )

donde a

kw es un ruido blanco de media nula y varianza ( )T

m eασ 22

1−− , mientras

que la expresión equivalente a (3.18) en tiempo discreto es:

[ ] [ ] [ ]( )

( ) [ ] [ ]kwkxkwkxFkx +

+

=+=+T-

T-

2T-

e00

e-110

e1-T1

1α

α

α

α α

αα

( 3.20 )

62 Linear Time-Invariant: lineal e invariante en el tiempo


73

La varianza 2

mσ está distribuida mediante el modelo de densidad de

probabilidad de la Figura 3.1, tendiendo las siguientes características:

• el blanco acelera o decelera un valor Amax con una probabilidad Pmax.

• durante la maniobra, el blanco tiene aceleración nula con una probabilidad P0.

• para los valores de aceleración definidos en el intervalo ( ) { }0, maxmax −− AA , la probabilidad viene definida por una densidad de probabilidad uniforme

de valor ( ) maxmax0 221 APP −− .

Figura 3.1. Función densidad de probabilidad de la aceleración en el modelo de Singer.

Siendo los valores Amax, Pmax y P0 valores de diseño del modelo, la varianza de

la aceleración 2

mσ es:

( )0max

2

max2 413

PPA

m −+=σ

( 3.21 )

En cuanto al comportamiento asintótico del modelo, la expresión (3.20) se aproxima a la de un modelo de aceleración constante para valores grandes de τ (αT<<1), mientras que para valores pequeños de τ (α>>T, αT>>1) se aproxima a un modelo de velocidad constante.

De este modo, el modelo de Singer caracteriza la dinámica del blanco a caballo entre un modelo de velocidad constante y un modelo de aceleración constante, donde el producto αT determina la proximidad del comportamiento a una de sus dos asíntotas.

Debido a esta versatilidad, el modelo de aceleración de Singer es un modelo habitualmente empleado para el seguimiento de blancos, tanto para vigilancia aérea como para el control de misiles aire-aire [17, 37, 49-55].

CAPÍTULO 3

74

3.4.1.1.3. Procesos semi-Markovianos

En la práctica, muchas maniobras de los blancos se deben a aceleraciones de media no nula, que adoptan valores discretos en ciertos períodos de tiempo. Sin embargo, la dificultad se encuentra en que el sistema de seguimiento no conoce ni los instantes en los que la media de la aceleración no es nula, ni los valores discretos que dicha aceleración adopta.

Uno de los procesos aleatorios constantes a trozos, es el llamado proceso de salto semi-Markoviano. Si bien los instantes de los saltos son independientes de los estados anteriores (propiedad de proceso Markoviano), el proceso no será Markoviano durante los instantes de tiempo entre dichos saltos (tiempo de permanencia). Así, su estado en un instante determinado depende de los estados en los instantes anteriores durante el tiempo de permanencia.

Un ejemplo de dicho proceso es el modelo de aceleración que resulta de la combinación de un modelo de salto y el modelo de Singer presentado en 3.4.1.1.2:

( ) ( ) ( ) ( )tatutvta ~++−= β ( 3.22 )

donde ( )ta~ es la aceleración del modelo de Singer, v es la velocidad, u(t) es la

media de la aceleración (desconocida) y β es el coeficiente de arrastre.

Así, la representación en tiempo continuo en modelo de variables de este modelo es63:

( ) ( ) ( ) wtutxtx

+

+

−

−=

1

0

0

0

1

0

00

10

010

α

β&

( 3.23 )

De este modo, la aceleración del blanco se modela mediante un modelo de aceleración de Singer con media no nula, donde la aceleración se modela mediante un proceso semi-Markoviano.

En esta tesis no ahondaremos en estos procesos, remitiendo al lector a la literatura [56-66].

3.4.1.2. Técnicas de aproximación para filtrado no lineal

El filtro de Kalman fue concebido asumiendo que la función que transforma el estado del blanco con su observación y su modelo de planta (de movimiento) son lineales. Sin embargo, la expresión (2.23) - que define la estimación de la

63 La expresión de x(t) viene definida en (3.15)


75

observación (vector de TDOA) a partir del estado (vector posición) de los blancos - es no lineal.

Existen muchas técnicas de aproximación para la estimación del estado en funciones no lineales. La mayoría de ellas puede agruparse en los tres grupos siguientes:

• aproximación de la función de observación

• aproximación de los momentos mediante muestreo

• aproximación del modelo estocástico.

En esta tesis se muestran técnicas pertenecientes a los dos primeros grupos, remitiendo al lector a [67] para el tercer grupo.

3.4.1.2.1. Aproximación de la función de observación

Las técnicas que aproximan la función de observación (determinista y no lineal) están basadas en las aproximaciones mediante series de Taylor. El ejemplo más conocido es el filtro de Kalman extendido (EKF64) de primer orden, que aproxima las funciones no lineales (en nuestro caso, el interés está en la función de observación) mediante funciones lineales.

Dicha aproximación es válida siempre que el error asociado a la estimación del estado del blanco sea suficientemente pequeño. De no ser así, el filtro no convergería, aumentando el error en la estimación.

Estos filtros y sus múltiples variantes han sido estudiados e implementados en numerosas aplicaciones, existiendo una amplia literatura al respecto. Esta tesis presenta el empleo de esta técnica para la estimación de los sesgos, en los apartados 3.4.3.2, 3.4.4.2 y 3.4.4.4.

3.4.1.2.2. Aproximación de los momentos mediante muestreo

Los valores estadísticos más empleados para caracterizar una distribución de probabilidad son la media y la covarianza. Las técnicas que aproximan los momentos de una distribución intentan aproximar directamente la media y la covarianza, en vez de la función de observación. Estas técnicas pueden ser analíticas o numéricas (mediante muestreo).

La gran desventaja de las técnicas analíticas radica en que suelen depender del problema en cuestión. La generalidad de las técnicas basadas en muestreo, combinada con el aumento de la capacidad de procesado en las últimas décadas ha propiciado que éstas hayan sido empleadas en sistemas de seguimiento.

64 Extended Kalman Filter

CAPÍTULO 3

76

El método Unscented Transformation (UT) [68-70] aproxima los momentos (la media y la covarianza) de un vector aleatorio (en nuestro caso, el TDOA) que está caracterizado mediante una función no lineal del vector de estado, empleando una serie de muestras deterministas, denominadas “puntos sigma” (Χ), con sus pesos asociados. La Figura 3.2 compara los conceptos de propagación de los dos primeros momentos de la distribución según el modelo de Monte Carlo, la aproximación de la función de observación de primer orden (base del en EKF) y la UT.

El filtro basado en esta técnica es el denominado Unscented Kalman Filter

(UKF) [71-77]. Dicho filtro, presentado en el ANEXO III, ofrece una solución más robusta que el EKF cuando el modelo de observación es no lineal. Por este motivo, se emplea el UKF para el seguimiento de blancos mediante TDOA en [17]. La implementación se detalla en los apartados 3.4.4.1 y 3.4.4.3.

Figura 3.2. Concepto de propagación de la media y la varianza: Monte Carlo, EKF y UT [78].

3.4.2. Seguimiento de los errores sistemáticos

3.4.2.1. Modelo de dinámica de los errores sistemáticos

Los errores sistemáticos descritos en el apartado 2.3.2 pueden variar en el tiempo debido a los cambios en las condiciones atmosféricas y a las derivas en los relojes situados en las estaciones base. Es por ello necesario efectuar el


77

seguimiento de los errores sistemáticos de manera simultánea al seguimiento de los blancos.

Con el fin de determinar el modelo de dinámica de los errores sistemáticos, analizamos el efecto de los errores sistemáticos para el caso de una aeronave volando a 250m·s-1 con altitud constante, a una distancia euclídea de 100km de una estación base determinada. Asumiendo que la aeronave emite cada 4 segundos, y partiendo de los datos obtenidos a partir del análisis de errores efectuado en el apartado 2.3, la contribución total de los sesgos es de 0,42m (0,3m debido a la refracción65 y 0,12m debido al sincronismo66).

Debido a esta lenta variación que exhibe el sesgo, se emplea un filtro recursivo de orden 1 para corregir el sesgo (deriva lineal).

3.4.2.2. Estimación de los errores sistemáticos

El problema con la estimación de dichos errores en tiempo real consiste en que sus ecuaciones de filtrado están vinculadas a las ecuaciones de seguimiento asociadas a cada blanco.

A-priori, esto implicaría el uso de un sistema de seguimiento donde el vector de estado sería el resultante de la concatenación de los vectores de estado del blanco y de los errores sistemáticos. Este vector de estado está basado en el mencionado en (3.3), al que se añaden la velocidad y la aceleración:

[ ]TNMMM TcTcavxavx 3211,1,2111 ,,,,...,,,,,...,,, ααα∆∆=z ( 3.24 )

donde los primeros 3M elementos corresponden a las posiciones de cada aeronave, los N-1 siguientes corresponden a los errores de sincronismo de cada estación respecto a la primera, y los tres últimos elementos son los parámetros del modelo de distorsión debido a la propagación troposférica.

Según [79], dicho vector puede expresarse como una concatenación del vector de posiciones (s), y el vector de parámetros de error (∆):

[ ]TTT E, Xz ≡

[ ]T

MMM avxavx ,,,...,,, 111≡X

( 3.25 )

65 En 4 segundos, la distancia euclídea varía de 100km a 101km, con lo que el sesgo en la pseudodistancia debido a la refracción atmosférica varía en 0,3m.

66 La deriva de un OCXO es de 100ps para un intervalo de medida de 1s. De este modo, en 4 segundos, el sesgo en la pseudodistancia debido al error de sincronismo varía en 0,12m.

CAPÍTULO 3

78

[ ]TNTcTcE 3211,1,2 ,,,,..., ααα∆∆≡

Definimos la función de transferencia h, que estima las observaciones (TDOAs) a partir de los valores del vector de estado z. Adicionalmente, definimos la función de error aleatorio g. Así, a partir de (3.25), tenemos:

( ) ( ) ( ) iEE nX,gX,hzh ⋅+= ( 3.26 )

Empleando los términos de primer orden del desarrollo en serie de Taylor, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) nEEE GFXXFzhzh X +−+−+≈ ˆˆˆ ( 3.27 )

donde FX es el Jacobiano de la función h respecto al vector X, mientras que FE es el Jacobiano de la función h respecto al vector E. Por otra parte, G es el Jacobiano de la matriz de errores aleatorios respecto a una variable aleatoria gaussiana de media nula y covarianza unidad.

Esta aproximación permite desacoplar las ecuaciones de filtrado en dos pares de ecuaciones: el primero para el seguimiento de los blancos, mientras que el segundo para la estimación de los errores sistemáticos. Dichas etapas de filtrado se efectúan mediante Extended Kalman Filter (EKF).

Aplicando este método a nuestro problema, el sistema de seguimiento puede descomponerse en dos sistemas entrelazados: el primero, efectuando el seguimiento de los blancos, mientras que el segundo efectúa el seguimiento de los parámetros empleados para la estimación del sesgo – αi y ∆Ti en la expresión (2.23).

En este caso, el conjunto de estaciones base proporciona las medidas TDOA que permiten obtener la posición de cada blanco, dando lugar a una única trayectoria. El sistema bajo estudio emplea así, la simplificación propuesta en [80] para el escenario de un único sensor.


79

3.4.3. Arquitectura del sistema

Basándonos en las reflexiones efectuadas en 3.4.1 y 3.4.2, el sistema (presentado en [17]) ha de efectuar el seguimiento tanto de las aeronaves, como de los parámetros utilizados en la caracterización de los errores sistemáticos.

Figura 3.3. Arquitectura del sistema.

Por ello, tal como se avanzó en 3.4.2 [79], el sistema está compuesto por dos filtros de seguimiento entrelazados, ilustrados en la Figura 3.3:

• el primero (en verde), para los vectores de estado67 de las aeronaves

• el segundo (en naranja), para los parámetros empleados en la caracterización de los errores sistemáticos

67 Compuesto por los vectores posición, velocidad y aceleración

CAPÍTULO 3

80

3.4.3.1. Seguimiento de las aeronaves

Dado que la función que caracteriza el TDOA en base a la posición de la aeronave es no lineal, el sistema emplea el Unscented Kalman Filter (UKF) [81] – presentado en 3.4.1.2.2 - para efectuar el seguimiento de las aeronaves.

La etapa de predicción de UKF – desarrollada en 3.4.4.1 - está basada en el modelo de aceleración de Singer [48]. Las entradas a este modelo son el vector de estado de la aeronave y su matriz de covarianza asociada. Por otra parte, la etapa de filtrado – desarrollada en 3.4.4.3 - combina la salida de la etapa de predicción (vector de estado y su matriz de covarianza), la estimación de los parámetros característicos del error sistemático y las medidas de TDOA.

La inicialización de este filtro requiere una estimación inicial del vector de estado. Este aspecto será abordado en el apartado 3.4.4.5.

3.4.3.2. Seguimiento de los errores sistemáticos

Por otra parte, el seguimiento del modelo de errores sistemáticos es efectuado mediante Extended Kalman Filter (EKF). La fase de estimación del EKF - 3.4.4.2 - utiliza la combinación del vector de estado y su matriz de covarianza resultantes de la muestra anterior. En este caso, el vector de estado contiene los errores de sincronismo y los parámetros α característicos del error causado por la propagación.

La inicialización de este filtro de seguimiento se efectúa mediante un vector de error nulo a la entrada (es decir, una estimación inicial sin sesgo). Los valores de la matriz de covarianza estarán definidos como el resultado del compromiso entre un sistema reactivo y un sistema estable.

3.4.4. Implementación

Tal como se definió en el apartado 2.2.1.1, el sistema de referencia se encuentra situado en el centro de la constelación WAM. El vector de estado (X) está compuesto por la combinación de los vectores tridimensionales de posición, velocidad y aceleración para cada aeronave (M en total). La matriz de covarianza del blanco (PX) será inicialmente una matriz diagonal de bloques.

Estos son, respectivamente:

[ ]( )

=

=

Mj XXXX

T

Mj

PPPdiagP

XXXX

.....

.....

1

1

( 3.28 )

siendo:

[ ]( )

=

=222222222

jjjjjjjjjj zzzyyyxxxX

T

jjjjjjjjjj

diagP

zzzyyyxxxX

&&&&&&&&&

&&&&&&&&&

σσσσσσσσσ

( 3.29 )


81

Del mismo modo, el vector de estado que contiene los parámetros del modelo de error sistemático (E), está compuesto por los (3) parámetros empleados en el modelo de distorsión troposférica y los errores de sincronismo entre los relojes de la estación base (N-1, donde N es el número de estaciones base).

Así, el vector E y su matriz de covarianza asociada (PE) se definen a continuación:

[ ]( )

=

∆∆∆∆=

∆∆∆∆2222222

1,1,1,31,2321

1,1,1,31,2321 Ni TcTcTcTcE

T

Ni

diagP

TcTcTcTcE

σσσσσσσ

ααα

ααα LL

LL

( 3.30 )

3.4.4.1. Etapa de predicción (seguimiento del blanco)

Tal y como se adelantó en el apartado 3.4.3.1, la etapa de predicción en el seguimiento del blanco se implementa mediante un UKF[81]. Esta etapa se efectúa en tres fases, tal como aparece en la Figura 3.4:

• la primera fase consiste en generar el vector de estado aumentado

• la segunda fase consiste en la predicción del vector de estado asociado a cada “punto sigma”, empleando el modelo de aceleración de Singer.

• la tercera y última fase consiste en la generación del vector de estado y de su matriz de covarianza asociada a la salida de la etapa de predicción.

Figura 3.4. Diagrama de bloques de la etapa de predicción del blanco [78].

Dado que el vector de estado que caracteriza a cada aeronave está compuesto por 9 elementos, la cantidad de puntos sigma es 18M+1. Estos puntos sigma χi se obtienen mediante la siguiente expresión:

CAPÍTULO 3

82

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+=−−−=−−

=+−−=−−

−−=−−

−−

−−

MMqPkkXkk

MqPkkXkk

kkXkk

kkX

q

kkX

q

18,...,19,1111

9,...,1,1111

1111

11

0

11

0

00

0

0

γχ

γχ

χ

( 3.31 )

siendo:

( )καγ += M9

( 3.32 )

El parámetro de ajuste α determina la dispersión de los puntos sigma alrededor del valor medio (10-3 en la mayoría de los casos), y suele ser un valor ligeramente positivo. κ es un parámetro de escalado secundario que suele ser 0.

La segunda fase consiste en la predicción del vector de estado asociado a cada punto sigma ( )1−kk

qχ , a partir del modelo de maniobra. Como ya se

mencionó en 3.4.1.1.2, el sistema empleado para caracterizar el modelo de maniobra es el modelo de aceleración de Singer.

La tercera fase predice el vector de estado y la matriz de covarianza mediante la siguiente expresión:

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

−−−−−−=−

−=−

∑

∑

=

=

TqM

q

qq

cX

M

q

qq

m

kkXkkkkXkkWkkP

kkWkkX

11111

11

18

0

18

0

χχ

χ

( 3.33 )

donde:

( )

≠

=−=

0 si, 18

1

0 si, 19

2

2

qM

qMW

q

m

α

α

( 3.34 )

y:

( ) ( )

≠

=+−+−=

0 si,18

1

0 si,119

2

22

qM

qMW

q

c

α

βαα

( 3.35 )

El conocimiento a-priori de la distribución de X es incorporado en el parámetro de ajuste β. Un valor de 2 es óptimo para las distribuciones Gaussianas.

3.4.4.2. Etapa de predicción (error sistemático)

Tal y como se adelantó en 3.4.3.2, el seguimiento de los errores sistemáticos se efectúa mediante EKF. Debido a los cambios de las condiciones


83

atmosféricas y los errores de sincronismo, los errores sistemáticos varían con el tiempo. En la presente tesis doctoral, se considera que el modelo dinámico de error presentado en [79] es apropiado, siendo las ecuaciones de predicción (vector de estado y matriz de covarianza respectivamente) las siguientes:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]

−−−+=−

−−−+=−

T

EEEE APkkPAPkkP

EkkEAEkkE

01101

01101

( 3.36 )

donde (k│k-1) corresponde a la predicción en la muestra k en base al instante anterior k-1, y (k-1│k-1) corresponde al estado filtrado en la muestra anterior.

El ajuste de los valores iniciales de E y PE - es decir, E(0) y PE(0) - viene determinado por la evaluación de los errores sistemáticos off-line. En base a los valores típicos de α1, α2, α3, y los errores de sincronismo obtenidos durante los experimentos realizados en [17, 33], los valores de E(0) y PE(0) han sido elegidos del siguiente modo:

• E(0) es un vector nulo, dado que no se conoce el valor de ninguno de los parámetros a-priori

• PE(0) es una matriz diagonal, donde sus elementos tienen un valor dos órdenes de magnitud mayor que el cuadrado de su parámetro asociado, con el fin de que el sistema; si los valores son demasiado pequeños, el filtro tardará en converger

Por su parte, la matriz de pesos A se emplea para ajustar la sensibilidad del filtro en la etapa de predicción.

Tras esta etapa, se han obtenido las predicciones de los parámetros relativos a los blancos (posición, velocidad y aceleración) y a los errores sistemáticos.

3.4.4.3. Etapa de filtrado (seguimiento del blanco)

La etapa de filtrado en el seguimiento del blanco (mediante UKF) se efectúa en dos fases. La primera consiste en la estimación del TDOA reutilizando la filosofía mostrada en la Figura 3.4. De este modo, el proceso de aumento descrito en (3.31) es aplicado a X(k│k-1), obteniéndose χq(k│k-1). El modelo de observación descrito a continuación es aplicado a χq(k│k-1), donde q pertenece al conjunto de números enteros comprendidos entre 0 y 18M (ambos inclusive):

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )mimi

j

mjijmjijmjij

j

i nnTTz

zRRRR

cRR

cTDOA −+∆−∆+

−+−+−+−=

0

3

22

21 1111

ααα

( 3.37 )

Denominamos el resultado de este proceso como ( )1−∆ kkq

τ , con el fin de

enfatizar que el resultado obtenido es un vector de estimaciones de TDOA para

CAPÍTULO 3

84

cada punto sigma. Nótese que los valores asociados a este modelo de

observación están incluidos en ( )1−kkE . Finalmente, se efectúa la media

ponderada de ( )1−∆ kkq

τ mediante la expresión (3.33), con el fin de obtener el

vector ( )1−∆ kkT , que contiene las estimaciones de TDOA.

La segunda fase consiste en el filtrado del vector de estado mediante la incorporación de las medidas de TDOA, tal y como se define en la siguiente expresión:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

−−=

−∆−∆+−=

∆∆T

TTXX KKPkkPkkP

kkTTKkkXkkX

,1

11

( 3.38 )

donde:

1

,,

−∆∆∆= TTTX PPK

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]111118

0

, −∆−−∆−∆−−∆= ∑=

∆∆ kkTkkkkTkkWPq

M

q

qq

cTT ττ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]111118

0

, −∆−−∆−−−= ∑=

∆ kkTkkkkXkkWPq

M

q

qq

cTX τχ

( 3.39 )

3.4.4.4. Etapa de filtrado (error sistemático)

Finalmente, se efectúa la etapa de filtrado (EKF) correspondiente al seguimiento del error sistemático mediante el proceso descrito en [79]. Así, las expresiones para dicha etapa son las siguientes:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

−−−−≈

+−≈

111

1

kkVPkkPkkPkkP

vkkPkkEkkE

T

EEEE

E

( 3.40 )

donde el vector v es la suma por filas de la matriz vm. vm, a su vez, es obtenida del siguiente modo:

[ ] ( )[ ]11 −∆−−= −∆ kkTTDOAFEFFFv l

T

lm ( 3.41 )

siendo:

( ) T

ss

T

sl FFFF1−

=

[ ]TSSSSSSSS

MSNSNMMfffffffF

,1,,31,3,22,21,2............=

( 3.42 )


85

( ) ( ) ( )

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

j

j

i

j

j

i

j

j

iS

z

TDOA

y

TDOA

x

TDOAf

ji,,

,

[ ]TMSNSNMM

fffffffF,1,,31,3,22,21,2

............ ∆∆∆∆∆∆∆∆ =

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

∆∂

∂

∆∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂=∆

1,1,2321

,...,,,,,

s

ji

N

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

T

TDOA

T

TDOATDOATDOATDOAf

ααα

∆= FFF l

S

T

ll PRFFE +=

donde R es la matriz diagonal que contiene las covarianzas de los errores en la

medida de TDOA. PS es la sub-matriz compuesta por los elementos de ( )kkPX

asociados a las posiciones de los blancos. Recordamos al lector que ( )1−∆ kkT

es la estimación de los TDOA, basados en las posiciones de los blancos estimadas, y las estimaciones de los errores sistemáticos.

Por otra parte, la matriz V se obtiene del siguiente modo:

[ ] [ ]FFFEFFFV l

T

l −−= ∆−

∆1

( 3.43 )

Las expresiones (3.40) a (3.43) estiman el vector de estado (E) cuya varianza (PE) es mínima.

3.4.4.5. Cuestiones de implementación

Puesto que este filtro de seguimiento es un filtro recursivo, es necesario emplear un método para obtener el paso inicial (arranque en frío). Siguiendo las indicaciones de [21], esta tesis sugiere el empleo de la técnica descrita en 3.3.2 para obtener una serie de muestras de posición para cada aeronave. Alcanzado un cierto número de muestras, se emplea una regresión cuadrática, con el fin de estimar la posición, la velocidad y la aceleración de cada blanco. Con esta información se confecciona el vector de estado de cada blanco a la hora de inicializar el filtro de seguimiento.

Este capítulo muestra la solución al problema de seguimiento de blancos mediante multilateración, donde las medidas están afectadas por la existencia de errores sistemáticos (propagación y sincronismo) y errores aleatorios asociados a la propia medida.

El siguiente capítulo aborda los experimentos realizados para evaluar el sistema de seguimiento diseñado en este apartado.

86

CAPÍTULO 4. EXPERIMENTOS

4.1. Diseño de los experimentos En primer lugar, es necesario comentar que si bien se ha intentado validar el sistema descrito en el CAPÍTULO 3 mediante tráfico de oportunidad real, únicamente se podía acceder a los datos correspondientes a la posición estimada por los sistemas de vigilancia, y no a los datos de TDOA.

Así, la validación de dicho sistema consiste en experimentos empleando el método de Monte Carlo en un escenario hipotético WAM, donde intervienen una serie de aeronaves y un número de estaciones base. Dicha validación se efectúa midiendo la exactitud y la precisión de las estimaciones de posición de las aeronaves a lo largo del tiempo del experimento.

El diseño del protocolo experimental (Figura 4.1) está compuesto por tres bloques:

• el bloque generador de TDOA, que está compuesto a su vez por:

o la actividad generadora del vector de tiempos, que construye el vector con las muestras de tiempo empleadas en la simulación

o la actividad generadora de las trayectorias, que utiliza los parámetros de las aeronaves (rumbo, velocidad, altitud, etc.), y cuya salida son las posiciones reales de cada aeronave

o la actividad generadora de los tiempos de transmisión68

68 Se ha modelado el intervalo de transmisión para cada aeronave mediante una función gaussiana cuya media es de 4 segundos y desviación típica de 1ms.

EXPERIMENTOS

87

o la interpolación de la posición de cada aeronave, con el fin de obtener su posición en el momento de transmisión de la señal

o la actividad encargada de calcular los TOA de las señales (y por ende, los TDOA), en función de la posición de cada aeronave en su respectivo instante de transmisión, la posición de cada estación base y los errores descritos en los apartados 2.3.1 y 2.3.2.

• el sistema de seguimiento, descrito en el apartado 3.4.4.

• los ajustes del experimento, que permiten al usuario configurar:

o las estaciones base, a través de su posición, el error de sincronismo inicial y la deriva de los relojes

o las trayectorias de las aeronaves, mediante la posición inicial (x, y, y altitud sobre el nivel del mar), la velocidad y el rumbo.

o el funcionamiento del sistema de seguimiento, especificando el número de muestras antes de inicializar los filtros de seguimiento, los parámetros del modelo de maniobra (Singer) y los parámetros de los filtros UKF

Figura 4.1. Diagrama de bloques del protocolo experimental.

CAPÍTULO 4

88

4.2. Ajustes experimentales El escenario de simulación empleado en la presente Tesis Doctoral está compuesto por 6 estaciones base y 8 aeronaves. Cada ensayo tiene una duración de 15 minutos, donde cada aeronave transmite la señal WAM cada 4 segundos. El sistema de seguimiento emplea las medidas obtenidas cada 4 segundos para iterar los filtros de Kalman. Por otra parte, dicho sistema de seguimiento estima la posición de cada aeronave tres de cada cuatro muestras mediante extrapolación.

El experimento consta de 1000 ensayos. Esta sección enumera los ajustes de las estaciones base, las aeronaves y el sistema de seguimiento.

4.2.1. Configuración de las estaciones base

4.2.1.1. Presentación de la configuración

En el apartado 2.3.1.2.2 se analizaron dos configuraciones de las estaciones base, donde se concluyó que la geometría de la constelación C era más favorable que la constelación H. La posición de las estaciones base - en base a la configuración C - está definida en la Tabla 4.1 a continuación. La posición en el eje z ha sido calculada empleando el modelo esférico de la Tierra, con radio 6371km.

Estación x (km) y (km) z (km) Altitud sobre el nivel del mar (km)

1 -50 50 -0.0392 0

2 0 50 0.0804 1

3 50 50 -0.0192 0.2

4 -50 -50 0.0108 0.5

5 0 -50 0.0204 0.4

6 50 -50 -0.0092 0.3

Tabla 4.1. Posición de las estaciones base.

Por otra parte, los ajustes empleados para modelar el error de sincronismo inicial y la deriva de reloj para cada estación se encuentran en la Tabla 4.2.

Error de sincronismo inicial (s) Deriva de reloj (s/s)

N(10-10,10-10) N(3·10-11, 3·10-11)

Tabla 4.2. Parámetros característicos de los errores de sincronismo.

El efecto del ruido del receptor ha sido modelado mediante una v.a. gaussiana de media nula y de desviación típica de 10ns. Esta aleatoriedad en el ruido del receptor induce una aleatoriedad (ruido) en la medida de pseudodistancia de 3m. Los experimentos se efectúan mediante simulación, empleando el método de Monte Carlo.

EXPERIMENTOS

89

4.2.1.2. Impacto de la configuración y expectativas

Este apartado muestra el impacto de la ubicación de las estaciones, a través del concepto de DOP (introducido en 2.3.1.2.2).

La Figura 4.2 presenta la componente horizontal de dicha magnitud (HDOP), mientras que la componente vertical (VDOP) se muestra en la Figura 4.3.

De estas figuras, se observa lo siguiente:

• el valor del HDOP es mayor fuera de la constelación, creciendo rápidamente a lo largo del eje x, que es el eje de simetría de la proyección de la constelación sobre el plano horizontal.

• el comportamiento del VDOP a lo largo del eje x es análogo al comportamiento mostrado por el HDOP.

• lejos del eje x, el comportamiento del VDOP es tal que dicho valor es mínimo cerca de cada estación base, siendo creciente con la distancia la estación base más cercana.

• comparando los valores HDOP y VDOP, se observa que el efecto multiplicativo del error es mayor en el eje vertical. De hecho, el VDOP puede ser mayor que 100 en algunas zonas de la constelación. En dichas zonas, la expectativa acerca de la desviación típica del error en la estimación de altitud mediante localización hiperbólica es superior a 420m 69.

Figura 4.2. HDOP de la constelación empleada en los experimentos.

69 Se asume que el error en la estimación del tiempo de llegada puede modelarse mediante una v.a. gaussiana de media nula y 10ns de desviación típica

CAPÍTULO 4

90

Figura 4.3. VDOP de la constelación empleada en los experimentos.

4.2.2. Análisis del intervalo de confianza de la media

Antes de continuar con la explicación de los parámetros experimentales restantes, es necesario comprobar que las medidas de TDOA simuladas son suficientemente insesgadas. Para ello, se efectúa el análisis del intervalo de confianza de la media.

El efecto del ruido del receptor (en la medida de TOA) se ha caracterizado mediante una variable aleatoria gaussiana de media nula y desviación típica 10ns. Así, dicho efecto en la medida de TDOA se caracteriza mediante una variable aleatoria (también) gaussiana de media nula, con una desviación típica de 14,142ns70.

Dada una variable aleatoria X, la relación entre la varianza de la media de una

v.a. gaussiana ( 2

xσ ) y la varianza de una muestra ( 2

xσ ) es:

N

xx

22 σ

σ = ( 4.1 )

donde N es el número de ensayos.

70 Al tratarse de una diferencia de dos v.a. gaussianas de misma nula y misma varianza, la función densidad de probabilidad resultante es una v.a. gaussiana de media nula y con una desviación típica de 10√2 (ns).

EXPERIMENTOS

91

Partiendo de la base de que el ruido del receptor se modela mediante una v.a. gaussiana de media nula (siendo así también para la medida de TDOA), el intervalo de confianza de la media viene determinado por [82]:

+−

Nz

Nz x

c

x

c

σσ; ( 4.2 )

donde zc es un parámetro que depende del intervalo de confianza definido. La relación entre zc y la probabilidad de que dicho valor esté comprendido entre los dos extremos del intervalo (confianza) es:

( ) α−=≤≤− 1zZzP

( 4.3 )

( ) ( )

21

α−=≤=Φ cc zZPz ( 4.4 )

donde Φ es la función de distribución normal.

De este modo, al definir un nivel de confianza matemática del 95% (α=0,05), el valor de zc de 1,96.

( )( ) ( ) 96.1975.02

1 111 =Φ=

−Φ=ΦΦ= −−− α

zz ( 4.5 )

siendo el intervalo de confianza de la media [-0.877ns; +0.877ns].

Así, tomando un determinado par de estaciones base en un instante determinado del experimento, existe un 95% de probabilidad de que la media de las medidas de TDOA, esté comprendida entre -0.877ns y +0.877ns.

El valor de 0.877ns es inferior a la décima parte de la desviación típica de la deviación típica de una medida de TDOA. Por ello, esta cantidad de ensayos permite afirmar que el efecto del ruido del receptor en la medida observada por un par de estaciones en un momento determinado es insesgado.

4.2.3. Configuración del filtro de seguimiento

Las simulaciones contemplan el arranque en frío del sistema de seguimiento, mediante el mecanismo descrito en 3.4.4.5. En los experimentos, la estimación del vector de estado (del blanco) inicial se efectúa tras la estimación de la novena muestra de posición mediante localización hiperbólica [21] (con el fin de inicializar el filtro en la décima muestra).

CAPÍTULO 4

92

El modelo de maniobra empleado es el modelo de Singer [48]. Los parámetros característicos empleados en este experimento se encuentran en la Tabla 4.3.

Aceleración máxima 19,62 m·s-2 (2G)

Constante de tiempo de la maniobra (s) 16

Probabilidad de aceleración máxima 0,1

Probabilidad de aceleración nula 0,6

Tabla 4.3. Parámetros del modelo de Singer.

Por otra parte, las constantes de ajuste del UKF han sido definidas siguiendo la recomendación de [81], es decir: 10-3 para α, 2 para β y 0 para κ.

4.2.4. Configuraciones de las aeronaves

Dos escenarios diferentes han sido empleados para modelar las trayectorias de las aeronaves: en el primer caso (A), varias aeronaves llegan a estar situadas dentro de la constelación; por otra parte, en el segundo (B) escenario, todas las aeronaves se encuentran fuera de la constelación en todo momento.

4.2.4.1. Escenario A

Las características del movimiento de cada aeronave están descritas en la Tabla 4.5 a continuación. La trayectoria de cada aeronave es tal que la velocidad sobre el suelo, el rumbo y la altitud son constantes. Debido a la curvatura de la Tierra, esto no significa que el vector velocidad sea constante.

La Figura 4.4 a continuación ilustra el escenario definido por la posición de las estaciones base (rojo) y las trayectorias de las aeronaves (negro).

Aeronave x inicial (km) y inicial (km) Altitud (km) Velocidad sobre

el suelo (m/s) Rumbo (º)

1 -150 60 10 250 90

2 100 20 9 200 270

3 80 -20 8 270 270

4 -120 -40 10 230 90

5 20 80 7 190 270

6 -30 0 8 210 90

7 -30 40 8 200 90

8 -120 -60 9 260 90

Tabla 4.4. Trayectorias de las aeronaves en el escenario A.

EXPERIMENTOS

93

Figura 4.4. Escenario en base a los datos de la Tabla 4.1 y de la Tabla 4.4.

4.2.4.2. Escenario B

Del mismo modo, las características del movimiento de cada aeronave están descritas en la Tabla 4.5 a continuación.

Aeronave x inicial (km) y inicial (km) Altitud (km) Velocidad sobre

el suelo (m/s) Rumbo (º)

1 -150 60 10 250 90

2 100 70 9 200 270

3 80 -80 8 270 270

4 -120 -70 10 230 90

5 20 80 7 190 270

6 -30 -90 8 210 90

7 -30 90 8 200 90

8 -120 -60 9 260 90

Tabla 4.5. Trayectorias de las aeronaves en el escenario B.

CAPÍTULO 4

94

La Figura 4.5 a continuación ilustra el escenario definido por la posición de las estaciones base (rojo) y las trayectorias de las aeronaves (negro). Nótese que ninguna aeronave entra en la constelación de las estaciones base. Tal como se explicará en la discusión (apartado 4.4), este escenario ha sido elegido deliberadamente con el fin de retar al sistema de seguimiento.

Figura 4.5. Escenario en base a los datos de la Tabla 4.1 y de la Tabla 4.5.

EXPERIMENTOS

95

4.3. Resultados experimentales Las magnitudes medidas en los experimentos son el sesgo y la desviación típica del error de la posición estimada (a una frecuencia de 1Hz) de las aeronaves. El objetivo es comparar dichos valores empleando el sistema de seguimiento, frente a los valores obtenidos mediante localización hiperbólica.

En un determinado instante de un determinado ensayo, el error en la estimación de la posición de una aeronave determinada (j) es:

( )Tjjjjjjjjj zzyyxxrr −−−=−= ˆ,ˆ,ˆˆε

( 4.6 )

donde jx , jy , jz son las componentes de la posición estimada, mientras que

jx , jy , jz son las componentes de la posición real.

Con el fin de obtener las componentes horizontal y vertical del error, es necesario procesar los valores jε obtenidos mediante la ecuación (4.1).

Teniendo en cuenta las distancias empleadas en el estudio, el error horizontal inducido por el error vertical debido a la curvatura de la Tierra es limitado. De este modo, puede asumirse que:

( )( )

−=

−−=

jjV

T

jjjjH

zz

yyxx

ˆ

ˆ,ˆ

ε

ε

( 4.7 )

Con el fin de evaluar el comportamiento del sistema a nivel global, en vez de centrarnos en una aeronave en concreto, mostramos el mínimo (azul), la mediana (negro) y el máximo (rojo) de las magnitudes medidas.

En los siguientes subapartados, se muestran dos gráficas por escenario: la primera corresponde al sesgo del error de localización, mientras que la segunda muestra la desviación típica. En cada figura, las líneas continuas representan las magnitudes obtenidas mediante el sistema de seguimiento presentado en esta tesis doctoral [17], mientras que las líneas discontinuas representan los valores obtenidos mediante localización hiperbólica.

4.3.1. Escenario A

En base a la Figura 4.6, se observa que el sesgo obtenido mediante el método presentado en esta tesis doctoral [17] es similar al obtenido mediante localización hiperbólica. Por otra parte, el filtro de seguimiento contenido en el sistema presentado reduce las oscilaciones en el sesgo, y disminuye la desviación típica del error en un orden de magnitud (Figura 4.7).

CAPÍTULO 4

96

Figura 4.6. Sesgo de localización en el escenario A.

Figura 4.7. Desviación típica del error de localización en el escenario A.

La Figura 4.8 y la Figura 4.9 a continuación muestran respectivamente el sesgo y la desviación típica de la componente horizontal del error de localización obtenido mediante el sistema de seguimiento introducido en esta tesis para cada aeronave, en función de su ubicación.

Se observa que la componente horizontal del sesgo de la posición crece a medida que la aeronave se aleja de la constelación, especialmente a lo largo del eje x. En cuanto a la exactitud de la medida, la desviación típica del error se mantiene por debajo de los 30m para cada aeronave71, excepto en el caso de la aeronave que sobrevuela el eje x.

71 A modo de referencia, el A320-200 (AIRBUS) mide 37,57m de largo y 34,1m de envergadura.

EXPERIMENTOS

97

Figura 4.8. Media del error de localización horizontal (unidad: m).

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

x 105

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

5

x (m)

y (m

)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Figura 4.9. Desviación típica del error de localización horizontal (unidad: m).

Por su parte, la Figura 4.10 y la Figura 4.11 muestran respectivamente el valor absoluto del sesgo, y la desviación típica del error vertical de localización (obtenidos mediante el sistema de seguimiento introducido en esta tesis) para cada aeronave del escenario A, en función de su ubicación.

En la Figura 4.10 se observa que el sesgo es menor en los puntos cercanos a cada estación base. Se observa además que el sesgo de la estimación de altitud de la aeronave que sobrevuela el eje x es elevado a lo largo de su trayectoria. Ambas observaciones coinciden con las características del comportamiento del VDOP.

La Figura 4.11 muestra que la desviación típica del error de localización vertical es significativamente inferior al valor esperado (mencionado en el apartado 4.2.1.2).

CAPÍTULO 4

98

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

x 105

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

5

x (m)

y (m

)

0

20

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60

80

100

120

Figura 4.10. Valor absoluto de la media del error de localización vertical (unidad: m).

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 105

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

5

x (m)

y (m

)

0

20

40

60

80

100

120

Figura 4.11. Desviación típica del error de localización vertical (unidad: m).

4.3.2. Escenario B

En la Figura 4.12, se observa que empleando el método presentado en esta tesis doctoral, el sesgo del error se reduce hasta una cuarta parte del obtenido mediante localización hiperbólica. Las mejoras significativas pueden observarse en el caso peor (curva que representa el máximo del sesgo).

Al igual que en el escenario A, el efecto del filtro de seguimiento puede observarse mediante la mejora (hasta en un orden de magnitud) de la exactitud de las estimaciones de posición (Figura 4.13), limitando la desviación típica de los errores de localización – tanto horizontal como vertical – a 100m a lo largo del experimento.

EXPERIMENTOS

99

Figura 4.12. Sesgo de localización en el escenario B.

Figura 4.13. Desviación típica del error de localización en el escenario B.

De manera análoga al escenario A, la Figura 4.14 y la Figura 4.15 muestran respectivamente el sesgo y la desviación típica de la componente horizontal del error de localización obtenido mediante el sistema de seguimiento introducido en esta tesis para cada aeronave, en función de su ubicación.

Se observa que el comportamiento de la componente horizontal del sesgo de la posición es similar al caso del escenario A, siendo creciente a medida que la aeronave se aleja de la constelación, especialmente a lo largo del eje x. En cuanto a la exactitud de la medida, la desviación típica del error se mantiene por debajo de los 30m para cada aeronave.

CAPÍTULO 4

100

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 105

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

5

x (m)

y (m

)

0

10

20

30

40

50

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70

80

Figura 4.14. Media del error de localización horizontal (unidad: m).

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 105

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

5

x (m)

y (m

)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Figura 4.15. Desviación típica del error de localización horizontal (unidad: m).

Por su parte, la Figura 4.16 y la Figura 4.17 muestran respectivamente el valor absoluto del sesgo, y la desviación típica del error vertical de localización (obtenidos mediante el sistema de seguimiento introducido en esta tesis) para cada aeronave del escenario B, en función de su ubicación.

En la Figura 4.16 se observa que el sesgo es menor en los puntos cercanos a cada estación base. En cambio, el sesgo de la estimación de altitud para las cuatro aeronaves cuyo valor absoluto en el eje y es de 80km o más, el sesgo es elevado a lo largo de su trayectoria. Ambas observaciones coinciden con las características del comportamiento del VDOP.

La Figura 4.17 muestra que la desviación típica del error de localización vertical se encuentra dentro del valor esperado (mencionado en el apartado 4.2.1.2), excepto en el caso de la aeronave 1 (y=60km).

EXPERIMENTOS

101

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 105

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

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1x 10

5

x (m)

y (m

)

0

20

40

60

80

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Figura 4.16. Media del error de localización vertical (unidad: m).

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 105

-1

-0.8

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-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

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1x 10

5

x (m)

y (m

)

0

20

40

60

80

100

120

Figura 4.17. Desviación típica del error de localización vertical (unidad: m).

De manera adicional, la Figura 4.18 y la Figura 4.19 muestran respectivamente el cociente de la desviación típica de la componente horizontal del error entre Hmin, y el cociente de la desviación típica de la componente vertical del error entre Vmin. Los valores de Hmin y Vmin se han obtenido a partir de la cota de Cramér-Rao, tal y como se efectuó en el apartado 2.3.1.2.472.

Se observa que ambos cocientes - calculados en cada punto de la trayectoria de cada aeronave - son inferiores a los obtenidos mediante los algoritmos de Bancroft y Chan-Ho (Figura 2.20, Figura 2.21, Figura 2.22 y Figura 2.23), confirmándose que el estimador formado por el sistema de seguimiento es más eficiente que los estimadores formados por los métodos de localización hiperbólica de Bancroft (2.3.1.2.3.2) y Chan-Ho (2.3.1.2.3.3).

72 se asume que el estimador del sistema de seguimiento es un estimador insesgado.

CAPÍTULO 4

102

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x 105

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

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1x 10

5

σxy / Hmin

x (km)

y (k

m)

0

5

10

15

20

25

30

Figura 4.18. Cociente de la desviación típica de la componente horizontal del error entre Hmin.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x 105

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

5

x (km)

σz / Vmin

y (k

m)

0

5

10

15

20

25

30

Figura 4.19. Cociente de la desviación típica de la componente vertical del error entre Vmin.

4.4. Discusión

4.4.1. Acerca de las hipótesis

4.4.1.1. Modelo atmosférico

En estos experimentos se ha empleado la atmósfera de referencia para modelar el efecto de la propagación troposférica. Este modelo no tiene en cuenta las diferencias de presión y temperatura existentes en una determinada altitud (como efecto de anticiclones y borrascas).

4.4.1.2. Probabilidad de detección

En la actualidad, los receptores de SSR y 1090ES garantizan una probabilidad de detección del 98%. Partiendo de la base de que las aeronaves transmiten

EXPERIMENTOS

103

cada 4 segundos, esto significa que existe un 2% de probabilidad de que no se reciba la señal durante 8 segundos, en los que una aeronave en ruta puede recorrer hasta 1,2NM73. La separación horizontal mínima de 5NM reduce la criticidad de la probabilidad de no detección, y por ello los experimentos han asumido que todas las señales transmitidas por las aeronaves han sido recibidas y procesadas correctamente.

4.4.1.3. Sistema de coordenadas

El sistema de coordenadas empleado en la navegación aérea está basado en el elipsoide WGS84[83] para la latitud y la longitud, y la altitud de presión. Sin embargo, el sistema de coordenadas de referencia empleado en la presente tesis es ENU (Este, Norte, Arriba), basado en un modelo esférico de la Tierra, y cuyo origen está situado en el centro de la constelación. Si bien este modelo alternativo es suficiente para evaluar el sistema de seguimiento, es necesario emplear el WGS84 si se pretende utilizar este sistema en entornos reales.

4.4.2. Acerca del cumplimiento de los requisitos

Los requisitos de precisión [84] referentes a la localización de aeronaves mediante WAM son los siguientes:

• [R1 - obligatorio] El error de posicionamiento horizontal, incluyendo el error en la medida y el error debido a la latencia de los datos, ha de ser inferior o igual a 500m RMS globalmente, e inferior o igual a 550m RMS por vuelo.

• [R2 - recomendado] El error de posicionamiento horizontal, incluyendo el error en la medida y el error debido a la latencia de los datos, ha de ser inferior o igual a 350m RMS globalmente, e inferior o igual a 385m RMS por vuelo.

En base a los resultados mostrados en los apartados 4.3.1 y 4.3.2, puede deducirse que:

• en el escenario A, ambos requisitos son cumplidos empleando ambos métodos. Hay que recordar que las trayectorias de varias aeronaves se encuentran en zonas con GDOP favorable.

• en el escenario B (GDOP desfavorable), el empleo de la localización hiperbólica no garantiza el cumplimiento del requisito R1. Sin embargo, el sistema de seguimiento presentado en esta tesis doctoral garantiza el

73 Se asume una velocidad sobre el suelo de 1000km/h, siendo 900km/h de TAS y 100km/h de viento de cola.

CAPÍTULO 4

104

cumplimiento de R1 durante el tiempo del experimento, e incluso cumple con R2 durante los 12 primeros minutos.

• el hecho de que el escenario B produzca peores resultados que en el escenario A, concuerda con los valores de GDOP particularizados en los puntos de las trayectorias de las aeronaves.

• el sistema de seguimiento presentado en esta tesis doctoral ofrece mejores resultados que la localización hiperbólica, sobretodo en la exactitud, gracias al filtro de seguimiento.

4.4.3. Otras consideraciones

En el caso de que la ICAO decidiese dar el salto para cambiar la altitud de navegación de la altitud de presión a la altitud elipsoidal (poco factible a corto-medio plazo), sería imperativo reducir el sesgo en la estimación de la altitud, si se pretende que WAM mejore la integridad de la altitud elipsoidal (ofrecida por los GNSS). Esto requeriría un refinamiento del modelo de la estimación de pseudodistancia en función de la altitud de la estación base.

105

CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

5.1. Conclusiones En el capítulo 1 se identifica WAM como uno de los constituyentes del concepto CNS/ATM, cuyo objetivo es dar soporte a un sistema global de gestión de tráfico aéreo. La naturaleza de esta técnica de localización permite su empleo aun en caso de fallo o inhibición de los sistemas de posicionamiento mediante satélite (GPS, Galileo, GLONASS, etc.).

El capítulo 2 analiza el funcionamiento básico del sistema WAM, estudiando los errores – tanto aleatorios (ruido de receptor) como sistemáticos (propagación troposférica y sincronismo) – asociados a las medidas de TDOA.

Con relación a los errores aleatorios, esta tesis demuestra que para una misma caracterización del ruido de receptor, la precisión de la posición del blanco depende de la geometría de la constelación WAM. Este aspecto es capital para los ANSP, a la hora de planificar una instalación WAM.

En cuanto a los errores sistemáticos, esta tesis doctoral aporta un nuevo modelo de sesgo no lineal, en función de la distancia euclídea, y de la altitud de la aeronave sobre el nivel del mar. Este capítulo se cierra mediante el planteamiento del problema matemático.

El capítulo 3 analiza el sistema de ecuaciones mencionado anteriormente, y presenta la solución a los dos problemas de multilateración en presencia de los

CAPÍTULO 5

106

errores identificados anteriormente: la localización muestra a muestra, y el seguimiento.

En cuanto a la localización muestra a muestra, esta tesis ha analizado el uso de un método basado en dos pasos, donde el primero consiste en emplear un método de localización hiperbólica con el fin de estimar una solución inicial, mientras que el segundo refina dicha solución mediante un algoritmo. Además de resaltar el problema de convergencia asociado a cualquier algoritmo iterativo, esta tesis enuncia que este enfoque no permite obtener una serie de soluciones que optimicen las estimaciones (tanto de posición, como de sesgo) para el tiempo total de experimento.

Esta tesis aporta un nuevo sistema que efectúa el seguimiento conjunto de blancos y de errores sistemáticos para WAM, empleando dos filtros de Kalman entrelazados: uno para el seguimiento de blancos, y otro para el seguimiento de los errores sistemáticos.

Por otra parte, hay que destacar que debido a la naturaleza de la localización hiperbólica, la función que caracteriza la medida de TDOA (sin considerar los errores sistemáticos) no es lineal. Por ello, esta tesis aporta además el empleo del Unscented Kalman Filter para el seguimiento de los blancos.

En el capítulo 4, esta tesis presenta un entorno de simulación escalable que permite gestionar las trayectorias de las aeronaves, las posiciones de las estaciones base, y los principales parámetros del sistema de seguimiento.

Los experimentos mediante simulación muestran que este sistema ofrece mejoras en la precisión y la exactitud de la posición estimada, respecto de la localización hiperbólica. Además, dichos resultados experimentales muestran que el sistema de seguimiento presentado en esta tesis cumple con el requisito obligatorio de localización horizontal para garantizar la navegación en ruta en Europa, incluso en escenarios adversos.

La mejora en el eje vertical es notable, teniendo en cuenta los valores de VDOP asociados a los puntos de las trayectorias de cada aeronave.74

Así, se puede afirmar que el nuevo sistema de seguimiento que aporta esta tesis doctoral permite cumplir con los requisitos de navegación en ruta en Europa, en caso de fallo temporal de los GNSS.

74 El requisito obligatorio de localización vertical para garantizar la navegación en ruta en Europa está basado en la medidas de altitud barométrica, con lo que no forma parte del tema de la presente tesis doctoral.

CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

107

5.2. Trabajos futuros

5.2.1. Mejoras del sistema de seguimiento

La arquitectura del protocolo experimental está pensada para poder modificar de manera sencilla las condiciones de ensayo, pudiendo alterar las trayectorias de las aeronaves, los errores de sincronismo y el modelo de maniobra empleado por el filtro de seguimiento.

Al mismo tiempo, la separación en tres bloques bien diferenciados permite que futuras mejoras del sistema de seguimiento puedan ser empleadas reutilizando la arquitectura existente. De este modo, las líneas de investigación propuestas en esta tesis son:

• la mejora del modelo de estimación de la pseudodistancia en función de la altitud de la estación base.

• el empleo de medidas reales de TDOA.

• el empleo de modelos de maniobra más complejos a la hora de simular las trayectorias de las aeronaves.

• el empleo de IMM para detectar y aplicar el tipo de maniobra más apropiado (cambios de rumbo, ascensos, descensos, etc.); el IMM actúa de “mezclador” entre una serie de filtros de seguimiento con la arquitectura del sistema presentado en esta tesis, pero con distintos modelos de dinámica del blanco.

La arquitectura del protocolo experimental está pensada para poder modificar de manera sencilla las condiciones de ensayo, pudiendo alterar las trayectorias de las aeronaves, los errores de sincronismo y el modelo de maniobra empleado por el filtro de seguimiento.

5.2.2. Siguiente fase de los experimentos

Con el fin de dar el salto de la simulación al mundo real, es necesario emplear datos de medidas reales de TDOA para comprobar las prestaciones del sistema de seguimiento, y compararlas con los sistemas ofrecidos por la Industria.

5.2.3. Otras líneas de investigación

El sistema de seguimiento está basado en el empleo de UKF para el seguimiento de blancos, y el EKF para el seguimiento de los parámetros empleados en el modelo de estimación de pseudodistancia. Esta tesis sugiere también el empleo de otras filosofías para la localización, basados en los filtros de partículas [85], o en algoritmos iterativos aplicados al ajuste en secciones cónicas [86].

108

CAPÍTULO 6. BIBLIOGRAFÍA

[1] Comisión Europea, "Reglamento (CE) Nº 549/2004 del Parlamento Europeo y del Consejo de 10 de marzo de 2004, por el que se fija el marco para la creación del cielo único europeo." 2004.

[2] Comisión Europea, "Reglamento (CE) Nº 550/2004 del Parlamento Europeo y del Consejo de 10 de marzo de 2004, relativo a la prestación de servicios de navegación aérea en el cielo único europeo," 2004.

[3] Comisión Europea, "Reglamento (CE) Nº 551/2004 del Parlamento Europeo y del Consejo de 10 de marzo de 2004, relativo a la organización y utilización del espacio aéreo en el cielo único europeo," 2004.

[4] Comisión Europea, "Reglamento (CE) Nº 552/2004 del Parlamento Europeo y del Consejo de 10 de marzo de 2004, relativo a la interoperabilidad de la red europea de gestión del tránsito aéreo," 2004.

[5] Comisión Europea, "Reglamento (CE) No 219/2007 del Consejo de 27 de febrero de 2007, relativo a la constitución de una empresa común para la realización del sistema europeo de nueva generación para la gestión del tránsito aéreo (SESAR)," 2007.

[6] Comisión Europea, "Reglamento (CE) No 1361/2008 del consejo de 16 de diciembre de 2008 por el que se modifica el Reglamento (CE) no 219/2007, relativo a la constitución de una empresa común para la realización del sistema europeo de nueva generación para la gestión del tránsito aéreo (SESAR)," 2008.

[7] Comisión Europea, "Reglamento (CE) nº 1070/2009 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 21 de octubre de 2009, por el que se modifican los Reglamentos (CE) nº 549/2004, (CE) nº 550/2004, (CE) nº 551/2004 y (CE) nº 552/2004 con el fin de mejorar el rendimiento y la sostenibilidad del sistema europeo de aviación." 2009.

BIBLIOGRAFÍA

109

[8] Comisión Europea, "Reglamento (CE) Nº 2150/2005 de la Comisión de 23 de diciembre de 2005, por el que se establecen normas comunes para la utilización flexible del espacio aéreo," 2005.

[9] DGAC and INAC, "SW FAB - Demonstration of Compliance with Commission Regulation (EU) No 176/2011," 21/06/2012, 2012.

[10] ICAO, Global Air Navigation Plan for CNS/ATM Systems, Doc 9750 - AN/963. 2002.

[11] ICAO, "Secondary Surveillance Radar - Mode S. Advisory Circular 174-AN/110," 1983.

[12] ICAO, "Technical Provisions for Mode S Services and Extended Squitter, Doc 9871," 2012.

[13] NLR, "Wide Area Multilateration - Report on EATMP TRS 131/04," 2005.

[14] (May 16, 2011). Austro Control Selects Sensis Wide Area Multilateration For Austria’s Nationwide Surveillance Network. Available: http://www.saabsensis.com/austro-control-selects-sensis-wide-area-multilateration-for-austrias-nationwide-surveillance-network/.

[15] Sensis Multilateration The First FAA-certified Multilateration System For Separation Of En Route Aircraft. Available: http://www.saabsensis.com/sensis-multilateration-the-first-faa-certified-multilateration-system-for-separation-of-en-route-aircraft/.

[16] C. Daskalakis and P. Martone, "Alternative surveillance technology for the gulf of mexico," in Digital Avionics Systems Conference, 2004. DASC 04. the 23rd, Salt Lake City, UT, U.S.A., 2004, pp. 1.D.4-1.1-8.

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[19] EUROCONTROL, EUROCONTROL STANDARD DOCUMENT FOR SURVEILLANCE DATA EXCHANGE, Part 12 : Category 021, ADS-B Reports. 2011.

[20] M. A. Lombardi, "The use of GPS disciplined oscillators as primary frequency standards for calibration laboratories," in 2008 NCSL International Workshop and Symposium, Orlando, FL (USA), 2008, .

CAPÍTULO 6

110

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[22] E. Kaplan and C. Hegarty, Understanding GPS: Principles and Applications. Artech House, 2005.

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CAPÍTULO 6

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CAPÍTULO 6

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[92] EUROCONTROL, "Introduction to the Mission Trajectory," 25/05/2010, 2010.

116

ANEXO I. SISTEMAS DE COORDENADAS Y TRANSFORMACIONES

I.1. Sistema geodésico mundial - WGS El World Geodetic System (WGS), es un sistema comúnmente empleado en cartografía, geodesia y navegación. Está compuesto por un sistema de coordenadas para la Tierra, una superficie elipsoidal de referencia como aproximación de la altitud, y una superficie gravitacional equipotencial (geoide) que define el nivel nominal del mar.

La última revisión del sistema WGS es WGS 84, establecida en 1984 y revisada en 2004. Sus precursores son WGS 60, WGS 66 y WGS 72. WGS 84 es el sistema de coordenadas de referencia empleado en GPS.

I.1.1. Elipsoide WGS84

El elipsoide WGS 84 [87] es un elipsoide de revolución definido por los siguientes parámetros:

• semieje mayor (a): 6378137,0 m

• inversa del achatamiento75 (f): 298,257223563

75 El achatamiento (o elipticidad) es la medida de compresión de un círculo o una esfera a lo largo de su diámetro para formar una elipse o un elipsoide de revolución (esferoide). La notación usual para el achatamiento es f y su definición en términos de los semiejes de la elipse o elipsoide resultante es: (a-b)/a, donde a es la longitud del semieje mayor, y b la longitud del semieje menor

SISTEMAS DE COORDENADAS Y TRANSFORMACIONES

117

• Producto de la Constante Gravitacional (G) y la Masa de la Tierra (M): 3,986004418x1014 m3/s2

• Velocidad Angular de la Tierra (ω): 7,292115x10-5 rad/s

I.1.2. Sistemas de coordenadas

I.1.2.1 Sistema de coordenadas ECEF

El sistema de coordenadas ECEF 76 es un sistema cartesiano ortonormal, ilustrado en la Figura I.1., cuyas propiedades se definen a continuación:

• origen: centro de masas de la Tierra

• plano fundamental: plano ecuatorial medio correspondiente a la eclíptica del año 2000

• eje Z: dirección del polo medio convencional terrestre definido por el IERS 77 , perpendicular al plano fundamental. También es el eje de rotación de esta elipse de revolución

• eje X: intersección del meridiano de referencia IERS con la superficie normal al eje Z que contiene al origen

• eje Y: es el producto vectorial del vector unitario en la dirección y sentido del eje Z y del vector unitario en la dirección y sentido del eje X, completando así el sistema de coordenadas ECEF

Figura I.1. Definición del sistema de coordenadas WGS 84.

76 Earth Centered Earth Fixed

77 International Earth Rotation and Reference Systems Service: http://www.iers.org/

ANEXO I

118

I.1.2.2 Sistema de coordenadas geodésicas

El sistema de coordenadas geodésicas es un sistema de coordenadas en que la posición viene determinada por la 3-tupla de los siguientes elementos:

• la latitud geodésica φ, formada por el ángulo que forma el plano ecuatorial con la perpendicular al elipsoide desde un punto dado. Se toma positiva hacia el norte.

• la longitud geodésica λ, definida por el ángulo que forma el plano meridiano de un punto dado. El meridiano de longitud cero es el meridiano de referencia IERS, situado a 5,31’’ al este del meridiano de Greenwich a la altitud del Royal Observatory de Greenwich (102,5 metros). Se toma positiva hacia el Este.

• la altitud geodésica (o elipsoidal) h, que es la distancia a un punto desde el elipsoide medida a lo largo de la normal al elipsoide por este punto. Este valor es positivo si el punto se encuentra fuera del elipsoide.

Figura I.2. Sistema de coordenadas geodésicas.


119

I.1.2.3 Sistema de coordenadas local ENU

Este sistema de coordenadas está centrado en un punto de referencia P, de coordenadas geodésicas {φ0, λ0, h0}, y sus ejes vienen definidos a continuación:

• U (arriba, del inglés up), cuya dirección viene definida por la recta SP, y su sentido es el que va de S hacia P

• N (norte, del inglés North), cuya dirección y sentido vienen definidos por la proyección del meridiano en el punto P al plano ortogonal al eje U.

• E (este, del inglés East), definido por el producto vectorial NxU

La superficie definida por los ejes E y N se conoce como plano tangente local.

Figura I.3. El punto P es el centro del sistema de referencia local ENU.

ANEXO I

120

I.1.3. Relación entre el nivel del mar y el elipsoide

WGS84

I.1.3.1 Geoide

El geoide es la superficie equipotencial que coincidiría con la superficie media de la Tierra si los océanos y atmósferas estuvieran en equilibrio (relajación) con relación a la Tierra, y extendida a través de los continentes, ilustrado en la Figura I.4. Por ello, este elemento es considerado habitualmente como la verdadera forma física de la Tierra, y no la figura regular definida por el elipsoide de referencia.

La superficie del geoide se encuentra por fuera del elipsoide de referencia cuando hay una anomalía positiva en la gravedad (debido a un exceso de masa), y por dentro en caso de ser la anomalía negativa (déficit de masa). Las diferencias en la gravedad surgen de la distribución heterogénea de la masa en la Tierra.

Figura I.4. Ilustración de los distintos conceptos.

1. Océano; 2. Elipsoide de referencia; 3. Línea de la plomada local; 4. Continente; 5. Geoide

I.1.3.2 Altura ortométrica y altura elipsoidal

La altura ortométrica (H) de un punto P es la distancia de P al geoide, que comparte la misma latitud y longitud que P. Es lo que se conoce comúnmente como altitud sobre el nivel del mar. Por otra parte, la altitud elipsoidal (h) del punto P es la distancia de ese punto al elipsoide de referencia.

Figura I.5. Relación entre la altitud ortométrica y la altitud elipsoidal.


121

En la práctica, se considera que la altitud ortométrica y la altitud elipsoidal son colineales, con lo que:

NhH −≈ ( I.1 )

donde N es la altura del geoide respecto de la elipse de referencia.

El modelo gravitacional terrestre EGM200878 es un modelo geopotencial de la Tierra, completo hasta el harmónico esférico de grado y orden 2159, que contiene coeficientes adicionales hasta grado 2190 y orden 2159 [88].

La Figura I.6 a continuación muestra la altitud del geoide (valor N en la figura Figura I.5), obtenida calculando los coeficientes harmónicos esféricos hasta grado y orden 500.

Figura I.6. Altitud del geoide EGM2008 respecto del elipsoide WGS84.

De este modo, pueden obtenerse las coordenadas geodésicas de un punto definido por su latitud, longitud y altura sobre el nivel del mar. En la sección I.2 se incluyen las transformaciones entre coordenadas geodésicas y ECEF, y entre ECEF y ENU local.

I.2. Transformaciones de coordenadas Este apartado ofrece las herramientas necesarias para poder representar la posición de un punto en los tres sistemas de coordenadas definidos en la sección I.1.2, es decir: geocéntricas (ECEF), geodésicas (latitud, longitud y altura sobre el elipsoide WGS84), y local ENU.

I.2.1. Llh – ECEF

Esta sección incluye las transformaciones necesarias para obtener las coordenadas cartesianas (sistema ECEF) de la posición de un punto a partir de sus coordenadas geodésicas {φ0, λ0, h0}, y viceversa.

78 Earth Gravitational Model 2008, cuyos precursores son las versiones de 1996 y 1984.

ANEXO I

122

I.2.1.1 Llh a ECEF

Esta transformación permite obtener la posición de un punto P en el sistema cartesiano ECEF {x, y, z}, a partir de su definición en las coordenadas geodésicas {φ, λ, h} [89]:

( )( )

( )[ ]

+−=

+=

+=

ϕ

λϕ

λϕ

sine1

sincos

coscos

2hRz

hRy

hRx

N

N

N

( I.2 )

donde el radio de curvatura normal a la dirección del primer vertical de P (RN en la Figura I.3) se obtiene mediante:

ϕ22 sin1 e

aRN

−= ( I.3 )

Por otra parte, el cuadrado de la excentricidad (e2) se calcula:

2

222e

a

ba −= ( I.4 )

siendo a el semieje mayor (ya definido en I.1.1), y b el semieje menor. El semieje menor (b) se obtiene a partir del semieje mayor (a) y del achatamiento (f):

( )fab −= 1 ( I.5 )

Los valores de a y f asociados al elipsoide de referencia definido por WGS84 se encuentran en la sección I.1.1.

I.2.1.2 ECEF a Llh

Esta transformación es la operación inversa a la definida en I.2.2.1, permitiendo obtener las coordenadas geodésicas {φ, λ, h} de un punto P, a partir de su definición en el sistema cartesiano ECEF {x, y, z}.

En este apéndice presentamos un algoritmo basado en el método de Newton-Raphson [90], que emplea el parámetro iterativo θ.

Definimos el valor p del siguiente modo:

22 yxp += ( I.6 )

Por otra parte, inicializamos θ del siguiente modo:


123

pb

zaarctan0 =θ ( I.7 )

En cada iteración, se calcula la latitud en función de dicho parámetro:

i

ii

aep

bez

θ

θϕ

32

32

cos

sinarctan

−

′+= ( I.8 )

El paso de la iteración consiste en actualizar el valor de θ:

=+ ii

a

bθθ tanarctan1 ( I.9 )

Este método suele converger tras dos o tres iteraciones. Las coordenadas geodésicas se calculan del siguiente modo:

−=

=

−

′+=

NRp

h

x

y

aep

bez

ϕ

λ

θ

θϕ

cos

arctan

cos

sinarctan

32

32

( I.10 )

donde RN viene definida en (I.3), y el cuadrado de la segunda excentricidad (e’2) se calcula mediante:

2

222e

b

ba −=′ ( I.11 )

I.2.2. ECEF – ENU

Esta sección incluye las transformaciones necesarias para obtener la posición de un punto P con coordenadas cartesianas {x, y, z} (sistema ECEF) en el sistema de coordenadas local ENU, cuyo origen se encuentra en el punto Q (tal y como viene ilustrado en la Figura I.3) de coordenadas cartesianas {x0, y0, z0}, y viceversa[89].

I.2.2.1 ECEF a ENU

Las componentes del vector QP definen la posición de P en el sistema de coordenadas local ENU centrado en Q. De este modo, la transformación consiste en expresar el vector QP, del sistema ECEF al sistema ENU local.

ANEXO I

124

Esto se obtiene mediante la proyección del vector QP sobre la base de vectores E, N y U definidos en el apartado I.1.2.3.

De este modo:

−

−

−

⋅=

= →

0

0

0

zz

yy

xx

R

u

n

e

P ENUECEFenu ( I.12 )

donde RECEF→ENU es la matriz de rotación de ECEF a ENU a continuación:

−−−

−−

−

=→

00000

00000

00

sinsincoscoscos

cossinsincossin

0cossin

ϕλϕλϕ

ϕλϕλϕ

λλ

ENUECEFR

( I.13 )

I.2.2.2 ENU a ECEF

Esta transformación es la inversa a la descrita anteriormente. Así, para obtener la posición del punto P – ubicado en {e, n, u} en el sistema de coordenadas ENU centrado en Q - en coordenadas ECEF, el cálculo necesario es:

⋅+

=

−

→

u

n

e

R

z

y

x

z

y

x

ENUECEF

1

0

0

0

( I.14 )

donde RECEF→ENU-1 es la matriz inversa de RECEF→ENU.

125

ANEXO II. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LOCALIZACIÓN

HIPERBÓLICA

Este anexo abarca los métodos de resolución del problema de localización hiperbólica definido por el siguiente sistema de ecuaciones:

( )

( )

( )

+−⋅=−

+−⋅=−

+−⋅=−

NjNjjNj

jjjj

jjjj

nRRc

nRRc

nRRc

11

0

1

1313

0

13

1212

0

12

1

1

1

ττ

ττ

ττ

M

(II.1)

donde:

( ) ( ) ( )222

ijijijij zzyyxxR −+−+−= (II.2)

siendo (xi, yi, zi) la posición de cada estación, y (xj, yj, zj) la posición de la aeronave – que es lo que debemos determinar. Dichas posiciones son relativas a un sistema de coordenadas local (ENU), cuyo origen ha de ser especificado por el usuario.

Por otra parte,

11 nnn ii −= (II.3)

y a su vez, n viene definida mediante una variable aleatoria gaussiana de media nula y desviación típica σ.

Dichos métodos, enumerados en [24], están compuestos por un método iterativo [23, 25] y dos métodos algebraicos, [21, 26].

ANEXO II

126

II.1. Método iterativo

II.1.1. Procedimiento

El método iterativo [23, 25] emplea el método del gradiente, basado en el desarrollo en serie de Taylor de la expresión (II.1).

De este modo, la relación entre la posición estimada en una determinada iteración y la estimación en la iteración anterior es:

[ ] [ ] [ ]kkk xδxx +−= 1 (II.4)

Donde x es el vector posición de la aeronave, y ix es el vector posición de la

estación i-ésima:

( )Tjjj zyx ,,=x (II.5)

En cada iteración, se estiman las TDOA a partir de la posición estimada (vector [ ]1−kx ). Definimos el vector de error como la diferencia entre las

medidas de TDOA y sus estimaciones:

[ ] [ ]( )xxf −−−= 1kk τε (II.6)

donde f viene definida del siguiente modo:

( ) ( )T

Njjj fff ,...,, 32=− xxf

( )jijij RRc

f 1

0

1−=

(II.7)

El incremento diferencial [ ]kxδ se obtiene resolviendo los términos de primer

orden del desarrollo en serie de Taylor de la expresión (II.1).

Así, (II.6) puede reexpresarse del siguiente modo:

[ ] [ ] [ ]kkk δxAε ⋅= (II.8)

donde A[k] es el jacobiano del sistema de ecuaciones (II.1) en la k-ésima iteración respecto a las componentes del vector x. Por tanto, la matriz A es:

−−

−−−

−−−

−

−−

−−−

−−−

−

−−

−−−

−−−

−

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

j

j

Nj

Nj

j

j

Nj

Nj

j

j

Nj

Nj

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

Nj

j

Nj

j

Nj

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

R

zz

R

zz

R

yy

R

yy

R

xx

R

xx

R

zz

R

zz

R

yy

R

yy

R

xx

R

xx

R

zz

R

zz

R

yy

R

yy

R

xx

R

xx

z

f

y

f

x

f

z

f

y

f

x

f

z

f

y

f

x

f

1

1

1

1

1

1

1

1

3

3

1

1

3

3

1

1

3

3

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

333

222

MMMMMM

A

(II.9)

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LOCALIZACIÓN HIPERBÓLICA

127

Si el número de estaciones es superior a 4, el sistema de ecuaciones se vuelve sobredeterminado, con lo que éste ha de ser resuelto mediante la expresión del mínimo del error cuadrático medio, utilizando la matriz pseudoinversa a continuación[25]:

( ) εSAASAδx111 −−−= TT

(II.10)

donde la matriz S es la matriz de covarianza de los errores de medida de TDOA. Considerando que dichos errores de medida tienen misma distribución estadística, a partir de la expresión (II.3), podemos deducir que dicha matriz es:

=

2

2

2

200

020

002

σ

σ

σ

L

MOMM

L

L

S

(II.11)

Al tratarse de un algoritmo iterativo, el autor sugiere el fin del bucle:

• cuando la norma de las componentes posicionales de δx se reduce por debajo de un determinado umbral (por ejemplo, 50 metros multiplicado por el número de aeronaves).

• al rebasarse un número de iteraciones (por ejemplo, 10)

• cuando la norma del vector δx en una iteración es superior a la anterior.

II.1.2. Ejemplos

El siguiente ejemplo está destinado a ilustrar la capacidad y las limitaciones de este método. Para ello, consideramos el siguiente escenario bidimensional con una aeronave (emisor) y tres estaciones:

• las estaciones están ubicadas en (-10000; 0), (0; 0) y (10000; 0).

• la aeronave está ubicada en (0; 0), con lo que la posición estimada es exactamente el error en la estimación.

• el error de la medida del tiempo de llegada se modela mediante una variable aleatoria gaussiana, de media nula y desviación típica 10ns.

II.1.2.1 Caso de convergencia

Dado que el algoritmo iterativo requiere una estimación inicial, se parte de la hipótesis inicial de que la aeronave está ubicada en (5000; 5000).

La Tabla II.1 a continuación muestra la posición estimada en cada iteración.

ANEXO II

128

k x[k] y[k]

1 5000.000 5000.000

2 -1908.239 -1908.200

3 75.688 75.748

4 0.994 1.050

5 0.998 1.054

Tabla II.1. Estimación de la posición en cada iteración – caso convergente.

II.1.2.2 Caso de no convergencia

En este caso empleamos otra hipótesis inicial. Asumimos que la aeronave está ubicada en (10000; 10000), y ejecutamos el método iterativo. Las estimaciones en cada paso se reflejan en la siguiente Tabla II.2.

k x[k] y[k]

1 10000.000 10000.000

2 -26180.914 -26171.157

3 669003.193 668834.673

4 -11.772·109 -11.769·109

5 -4.726·1015 -4.724·1015

Tabla II.2. Estimación de la posición en cada iteración – caso divergente

Se observa que la posición estimada diverge desde la primera iteración (k=2).

A partir de ambos ejemplos, se constata que este método de localización hiperbólica no es infalible. En caso de éxito, la convergencia se alcanza rápidamente. Por otra parte, si la hipótesis inicial es desfavorable, la divergencia del algoritmo es fácil de detectar.

II.2. Métodos algebraicos

II.2.1. Algoritmo de Bancroft

El método propuesto por Bancroft [26] asume que las medidas obtenidas son de tiempo de llegada de la señal (TOA).


129

Definiendo la pseudodistancia como el producto del TOA por la velocidad de la luz (ρij = c0·τij) - siendo j el índice de la aeronave que emite la señal, e i es el índice de la estación base - el sistema de ecuaciones es el siguiente:

iijij nR +=ρ (II.12)

Se define el vector a, compuesto por la posición de cada estación base y el error en la medida del TOA:

[ ]iiiii nzyx=a (II.13)

La matriz A, a su vez, está compuesta por los vectores ai mencionados anteriormente:

=

NNNN zyx

zyx

zyx

zyx

ρ

ρ

ρ

ρ

MMMM

3333

2222

1111

A (II.14)

donde N es el número de estaciones base que ha recibido la misma señal.

Por otra parte, se define i0 como el vector columna unidad, cuyo número de elementos es igual al número de estaciones:

=

1

1

1

1

0

M

i (II.15)

y el vector columna r, que se obtiene del siguiente modo:

−++

−++

−++

−++

=

2222

2

3

2

3

2

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

NjNNN

j

j

j

zyx

zyx

zyx

zyx

ρ

ρ

ρ

ρ

M

r (II.16)

La matriz B, es la inversa generalizada:

( ) WAWAAB T-T 1= (II.17)

ANEXO II

130

donde W es la inversa de la matriz de covarianza del error de medida de TOA:

1

2

2

3

2

2

2

1

000

000

000

000−

=

Nσ

σ

σ

σ

L

MOMMM

L

L

L

W (II.18)

Después, se obtienen los vectores u y v mediante:

0iBu ⋅= (II.19)

rBv ⋅= (II.20)

Estos vectores permiten obtener los coeficientes asociados a la siguiente ecuación de segundo orden:

02 =++ GFE λλ (II.21)

donde:

2

4

2

3

22

21uuuuE −++= (II.22)

144332211 −−++= vuvuvuvuF (II.23)

2

4

2

3

22

21vvvvG −++= (II.24)

Definimos λ1 y λ2 a las raíces de la ecuación (II.21). Estas raíces nos permiten obtener el vector aumentado – que contiene la posición y el error en la medida de tiempo - asociado a la aeronave del siguiente modo:

vuy += 2,12,1 λ (II.25)

donde y1 e y2 son los dos vectores candidatos (nótese la ambigüedad), que son vectores columna de 4 elementos. La posición estimada de la aeronave se obtiene mediante identificación de las tres primeras componentes:

=

j

j

j

k

k

k

z

y

x

y

y

y

3,

2,

1,

(II.26)

La ambigüedad se elimina calculando las pseudodistancias reutilizando cada posición estimada.


131

Este método permite obtener la solución de manera cerrada, con lo que el riesgo de la no convergencia está mitigado. Sin embargo, la limitación asociada a este método es que las raíces de (II.21) pueden ser complejas. En este caso, se aconseja emplear la parte real de la solución, y comprobar la validez de dicho resultado, bien mediante un filtro de seguimiento (si el resultado obtenido es muy diferente de la estimación anterior, se rechaza), o bien comprobando el resultado con el obtenido mediante otro método.

II.2.2. Algoritmo de Chan, Ho

Este método [21] permite encontrar la solución de forma cerrada, y es válida tanto para los casos en los que la aeronave está cerca, como para los casos en que se encuentra alejada de la constelación. Cuando los errores asociados a la medida del TDOA son pequeños, este método es una aproximación al estimador de máxima verosimilitud.

Introduciendo:

( )[ ]2

11

2

jjijij RRRR +−= (II.27)

podemos reescribir (II.2) del siguiente modo:

( ) ( ) 2222222

111

2

1 2222 jjjjijijiiiijjjijjij zyxzzyyxxzyxRRRRRR +++−−−++=+−+− (II.28)

Restando la distancia de la aeronave a la estación de referencia a cada lado:

( ) ( ) ( ) ( )2

1

2

1

2

1

222

11

2

1 2222 zyxzyxzzyyxxRRRRR jjjjijijijjijjij ++−+++−−−=−+− (II.29)

En el caso de un sistema determinado ( { }4,3,2,1∈i ), la solución de (II.29) viene

dada por:

( )( )( )

+−−

+−−

+−−

+

−

−

−

−−−

−−−

−−−

−=

−

2

1

2

4

2

14

2

1

2

3

2

13

2

1

2

2

2

12

1

14

13

12

1

141414

131313

121212

2

1

jjjj

jjjj

jjjj

j

jj

jj

jj

j

j

j

RRRR

RRRR

RRRR

R

RR

RR

RR

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

z

y

x

(II.30)

Sin embargo, en presencia de ruido en la medida de TDOA, la solución al problema es aquel punto que mejor se ajuste a las medidas de TDOA. Para ello, definimos la variable za del siguiente modo:

=

j

j

j

j

R

z

y

x

1

az

(II.31)

ANEXO II

132

El vector de errores ψ que se obtiene a partir de (II.29) es:

0

aa zGh −=ψ (II.32)

donde:

( )( )

( )

+−−

+−−

+−−

=

2

1

22

1

2

1

2

3

2

13

2

1

2

2

2

12

2

1

jNjjNj

jjjj

jjjj

RRRR

RRRR

RRRR

Mh

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−=

jNjNNN

jj

jj

jj

RRzzyyxx

RRzzyyxx

RRzzyyxx

RRzzyyxx

1111

14141414

13131313

12121212

MMMM

aG

(II.33)

siendo el superíndice 0 el valor sin ruido (caso ideal).

Considerando que:

( ) ( ) ( )10110 nncRRc ijijjij −⋅+−=−⋅ ττ

( )jjijij RRRR 11 +−=

(II.34)

el vector de error ψ es:

nnBn ⊗+= 2

002

1ccψ

{ }Njjj RRRdiag ,...,, 32=B

(II.35)

donde ⊗ es el producto elemento a elemento.

Para valores elevados de relación señal a ruido, el error asociado a las medidas de TDOA tiende a ser gaussiano. Además, en la práctica se cumple que Rij>>c0·ni, siendo así ψ un vector de error gaussiano, cuya covarianza es:

[ ] TTcE BQB2

0== ψψΨ (II.36)

donde Q es la matriz de covarianzas asociada a las medidas de TDOA.

Los elementos de za están relacionados entre sí mediante (II.2), con lo que (II.34) es un sistema de ecuaciones no lineales, cuyas variables son xj, yj y zj.


133

II.2.2.1 Primera etapa: los elementos de za son independientes.

Este problema se aborda asumiendo primero que las variables xj, yj, zj y R1j son independientes. Este primer paso se resuelve mediante mínimos cuadrados. La solución final al problema se obtiene imponiendo la relación (II.2) a la primera aproximación obtenida, y resolviendo mediante mínimos cuadrados. Este procedimiento en dos pasos es una aproximación al estimador de máxima verosimilitud para la localización de la aeronave transmisora.

Considerando que los elementos de za son independientes, el estimador ML79 del vector za (suponiendo ruido gaussiano) es:

( ) ( ){ } ( ) hGGGzGhzGhz aaaaaaaa

1111minarg −−−− =−−= ΨΨΨTTT

(II.37)

que es la solución generalizada de (II.31) mediante mínimos cuadrados.

Sin embargo, ψ no es conocida, porque B contiene la información de las distancias entre la aeronave y las estaciones base, con lo que es necesario efectuar otra aproximación para resolver el problema.

Esta segunda aproximación consiste en asumir que la aeronave está lejos de la constelación. Esto significa que los valores de Rij son similares para cualquier valor de i, pudiendo efectuarse la aproximación B≈r0I , donde r0 es la distancia de la aeronave a la estación de referencia (estación 1), y la matriz I es la matriz identidad que tiene N-1 elementos, donde N es el número de estaciones.

Puesto que los escalados de la matriz ψ no afectan a la solución, (II.37) se puede aproximar mediante:

( ) hGGGz aaaa

111 −−−≈ QQ TT (II.38)

Si la aeronave se encuentra cerca de la solución, el procedimiento consiste en emplear (II.38) para tener una estimación inicial de la matriz B, y posteriormente emplear (II.37).

II.2.2.2 Segunda etapa: relación entre los elementos de za.

La primera etapa nos permite obtener el vector za, que es la solución al problema asumiendo que sus elementos son independientes. Sin embargo, la estimación debe mejorar al introducir la relación entre la posición de la aeronave, y la distancia entre la aeronave y la estación base de referencia. Por ello, el algoritmo propone la siguiente iteración.

79 ML son las siglas del término inglés “Maximum Likelihood”, que significa “máxima verosimilitud”.

ANEXO II

134

Asumiendo que el ruido en las medidas de TDOA es despreciable, el vector za es un vector aleatorio centrado en la solución, cuya matriz de covarianza asociada se obtiene de la siguiente forma:

( ) ( ) 110cov

−−≈ aaa GGz ΨT

(II.39)

Así, za puede expresarse del siguiente modo:

+=

+=

+=

+=

4

0

14,

3

0

3,

2

0

2,

1

0

1,

eRz

ezz

eyz

exz

ja

ja

ja

ja

(II.40)

Restando la posición de la estación a las tres primeras componentes de za, y elevando al cuadrado, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

0

aa zGh ′′−′=′ψ (II.41)

donde:

( )( )( )

−

−

−

=′

2

4,

2

13,

2

12,

2

11,

a

a

a

a

z

zz

yz

xz

h

=′

111

100

010

001

aG

( )( )( )

−

−

−

=′2

1

2

1

2

1

zz

yy

xx

j

j

j

az

(II.42)

Sustituyendo (II.40) en (II.41), se obtiene80:

80 Las aproximaciones son válidas puesto que se asume que la magnitud del error es despreciable, en comparación a la distancia entre la aeronave y la estación de referencia. Esta es otra aproximación al procedimiento de máxima verosimilitud.


135

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

≈+=′

−≈+−=′

−≈+−=′

−≈+−=′

4

0

1

2

44

0

14

31

02

331

0

3

21

02

221

0

2

11

02

111

0

1

22

22

22

22

eReeR

ezzeezz

eyyeeyy

exxeexx

jj

jj

jj

jj

ψ

ψ

ψ

ψ

(II.43)

Así, la matriz de covarianzas de ψ’ es:

[ ] ( ) T

a

TE BzB ′′=′′=′ cov4ψψΨ

{ }0

11

0

1

0

1

0 ,,,diag jjjj Rzzyyxx −−−=′B

(II.44)

De este modo, la estimación ML de za’ es:

( ) hGGGz aaaa′′′′′′≈′ −−− 111

ΨΨTT

(II.45)

Aunque ψ’ no sea conocido, B’ puede aproximarse a partir de (II.36) y (II.39).

De este modo, la estimación final de la posición ofrece dos candidatos:

( ) ( )TT

jjj zyxzyx 111+′= az

y

( ) ( )TT

jjj zyxzyx 111+′−= az

(II.46)

Al igual que en el método presentado por Bancroft, es necesario comprobar cuál de las dos posibles soluciones es válida. La solución final es aquella que define la posición de la aeronave de tal modo que las TDOA estimadas se acerquen más a las medidas.

Este algoritmo es especialmente útil cuando la aeronave se encuentra lejos de la constelación. Sin embargo, es más costoso que el método presentado por Bancroft. Por otra parte, al igual que en el método de Bancroft es necesario comprobar cuál de las dos soluciones obtenidas es la correcta.

136

ANEXO III. UNSCENTED KALMAN FILTER

III.1. Introducción El filtro de Kalman es la estimación óptima para modelos de sistemas lineales con ruido blanco tanto la fase de transición (vector de estado del blanco de un instante, a partir del anterior), como en las medidas. No en vano, se trata de uno de los métodos más empleados en los problemas de seguimiento y estimación. Sin embargo, su aplicación a sistemas no lineales puede resultar difícil. En estos casos, se suele emplear el Extended Kalman Filter (EKF), que consiste en aproximar cada modelo no lineal empleado en el filtro mediante una aproximación de primer orden, con el fin de poder aplicar el filtro de Kalman.

III.2. Planteamiento del problema El objetivo es aplicar un filtro de Kalman a un sistema discreto no-lineal del tipo:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ( )kkkkk

kkkkk

wuxhz

vuxfx

+=

=+

,,

,,,1 (III.1)

donde:

• X(k) es el vector de estado (de dimensión n) del sistema en el instante k

• u(k) es el vector de control

• v(k) es el vector que caracteriza el proceso de ruido (dimensión q)

• z(k) es el vector de observaciones

• w(k) es el vector de ruido asociado a la medida

UNSCENTED KALMAN FILTER

137

Se asume que los vectores de ruido v y w están compuestos por variables aleatorias gaussianas de media nula. Además, estos vectores son independientes entre sí, y sus matrices de covarianzas son las matrices diagonales Q y R respectivamente.

El filtro de Kalman propaga los dos primeros momentos (media y varianza) de la distribución de X(k) de manera recursiva, en dos etapas: estimación y actualización.

En la práctica, el uso del EKF en sistemas no lineales tiene dos inconvenientes [69]:

• la linearización puede producir filtros altamente inestables si el sistema no tiene un comportamiento cuasi-lineal cerca de la solución.

• la obtención de las matrices jacobianas no es trivial en la mayoría de las aplicaciones, siendo habitualmente una fuente de problemas a la hora de la implementación.

Una de las alternativas al EKF es el empleo del Unscented Kalman Filter [69], que aplica la filosofía de la Unscented Transform (UT) al filtro de Kalman. Este método se presenta en el siguiente apartado.

III.3. Unscented Transform La Unscented Transform (UT) presenta un método para calcular las estadísticas de una variable aleatoria procesada mediante una transformación no lineal. Se basa en la idea de que es más fácil aproximar una distribución gaussiana que una función no lineal.

Figura III.1. Principio de la Unscented Transform [69].

Se escoge una serie de puntos (denominados puntos sigma), de modo que x y Pxx son su media y covarianza respectivamente. Se aplica la función no lineal a cada punto, con el fin de obtener una nube de puntos a la salida. Definimos la media y la varianza de dichos puntos mediante y y Pyy respectivamente.

ANEXO III

138

Si bien a simple vista esta técnica puede parecerse a un método de Monte Carlo, existe una diferencia fundamental: las muestras no se han escogido de manera aleatoria, sino mediante un algoritmo determinista.

La variable aleatoria X de dimensión n, con media x y covarianza Pxx se aproxima mediante los 2n+1 puntos ponderados definidos a continuación:

( )( )( )( )

=+−=

=++=

=

+ nqPn

nqPn

qXXqn

qXXq

,...,1,

,...,1,

0

κ

κ

xX

xX

xX

(III.2)

donde κ es un número real, ( )( )qXXPn κ+ es la fila o columna q-ésima de la

matriz raíz cuadrada de ( ) XXPn κ+ . Por otra parte, las constantes w

corresponden a los pesos asociados a cada punto sigma:

( )

( )

+=

+=

+=

+κ

κ

κ

κ

nw

nw

nw

qn

q

2

1

2

1

0

(III.3)

Así, el proceso de transformación se compone de tres fases:

• la primera consiste en aplicar la función de transformación a cada punto sigma, con el fin de obtener los puntos sigma transformados.

( )ii Xfy = (III.4)

• la segunda fase consiste en obtener la media ponderada de los puntos a la salida de la función de transformación:

∑

=

=n

i

iiw2

0

yy (III.5)

• finalmente, la covarianza se obtiene mediante el producto exterior:

{ }{ }T

i

n

i

iiYY w yyyyP −−=∑=

2

0

(III.6)

Tal y como se adelantó al principio de este apartado, la clave de este algoritmo está en aproximar la distribución de la variable compuesta X, y no la función f.

Una vez explicado este principio, abordaremos su aplicación al filtro de Kalman en el siguiente apartado.


139

III.4. Unscented Kalman Filter

El Unscented Kalman Filter (UKF) es una extensión de la UT a la estimación recursiva. El vector de estado se define como la concatenación del vector de estado y los vectores de ruido:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]TTTTa nvxx kkkk = (III.7)

En el caso particular (pero habitual) en el que tanto el ruido de proceso como el ruido de medida son puramente aditivos, la complejidad computacional del UKF puede reducirse. En este caso, el vector de estado no necesita ser aumentado con los vectores de ruido, reduciendo así el número de dimensiones, y por ende el número de puntos sigma81.

A continuación se presentan los pasos a seguir para una iteración del UKF: los pasos 1 a 4 son necesarios para la etapa de estimación, donde se obtienen

( )1ˆ −kkx y ( )1−kkP . A dicha etapa le sigue la etapa de filtrado, cuyos

resultados son el vector de estado y su matriz de covarianza asociada, una vez incorporada la información proporcionada por las observaciones (pasos 5 a 8).

1. Inicialización (k=0):

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]

−−=

=T

E

E

0ˆ00ˆ00

00ˆ

xxxxP

xx (III.8)

2. Para una muestra dada (k≥1), calcular los puntos sigma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]11ˆ11ˆ1ˆ1 −−−−+−−=− kkkkkk PxPxx γγχ

(III.9)

donde:

( )καγ += n

(III.10)

El parámetro de ajuste α determina la dispersión de los puntos sigma alrededor del valor medio, y suele ser un valor ligeramente positivo (10-3). Por otra parte, κ es un parámetro de escalado secundario que suele ser 0.

81 En el caso en el que el ruido no pueda considerarse puramente aditivo, se invita al lector a referirse a [78]

ANEXO III

140

3. Se transforma cada punto sigma obtenido mediante la función de actualización f:

( ) ( ) ( )[ ]kkkk uf ,1 χχ =− (III.11)

4. Se calcula el vector de estado y la matriz de covarianza empleando las medias ponderadas:

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

+−−−−−−=−

−=−

∑

∑

=

=

QxxP

x

x

Tqn

q

qq

c

n

q

qq

m

kkkkkkkkWkk

kkWkk

1ˆ11ˆ11

11ˆ

2

0

2

0

χχ

χ

(III.12)

donde:

( )

≠+

=+=

0 si, n2

1

0 si, n

q

q

Wq

m

λ

λ

λ

(III.13)

( )

( )

≠+

=+−++=

0 si,n2

1

0 si,1n

2

q

q

Wq

c

λ

βαλ

λ

(III.14)

siendo:

( ) nn −+= καλ 2 (III.15)

El parámetro β se emplea para incorporar la información previa acerca de la distribución de x. En el caso de distribuciones gaussianas, el ajuste óptimo es β=2.

5. Se estiman las observaciones correspondientes a los puntos sigma

generados a partir de ( )1ˆ −kkx y ( )1−kkxP . Para ello, se generan los puntos

sigma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]11ˆ11ˆ1ˆ −−−−+−−= kkkkkkkkkkk xx PxPxx γγχ

(III.16)

6. y se aplica el modelo de observación h a cada punto sigma:

( ) ( )[ ]11 −=− kkkky χh (III.17)


141

7. En este paso, se calcula la media ponderada de la observación asociada a cada punto sigma:

( ) ( )∑=

−=−n

q

qq

m kkyWkk2

0

11y (III.18)

8. Finalmente, se incorpora el vector de observaciones, y(k):

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

−−=

−−+−=

=

−−−−−−=

+−−−−−−=

−

=

=

∑

∑

T

yyxx

yyxy

xy

yy

KKPPP

yKxx

PPK

yxP

RyyP

1

1ˆ1ˆˆ

1ˆ11ˆ1

1ˆ11ˆ1

1

2

0

2

0

kkkk

kkkykkkk

kkkkykkkkW

kkkkykkkkyW

Tqn

q

qq

c

Tqn

q

qq

c

χ

(III.19)

Este apartado ha presentado los pasos del Unscented Kalman Filter. En el apartado siguiente se comparan los resultados a la salida de un Extended Kalman Filter (EKF) y un UKF, dada una función de observación no lineal.

III.5. Ejemplo

III.5.1. Problema

Este problema consiste en estimar la posición de un blanco de movimiento rectilíneo uniforme, a partir de una función de observación que corresponde a la función seno de la posición (unidimensional). Sin embargo, existe un ruido asociado a la medida, que puede asumirse gaussiano y de media nula.

Plasmando el problema matemáticamente, se trata del siguiente par de funciones:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )kkk

kk

wxhz

xfx

+=

=+ 1 (III.20)

donde:

( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) ( )[ ] RkwkwE

vkv

kvkxk

T

xx

T

x

=

≡

=x

(III.21)

En el siguiente apartado se presenta la resolución al problema mediante EKF.

ANEXO III

142

III.5.2. Resolución mediante EKF: desarrollo

El primer paso consiste en la estimación del vector de estado y su matriz de covarianzas asociada, en base a la función de transición y a la solución de la muestra anterior.

Empleando un modelo de maniobra que caracteriza un movimiento rectilíneo uniforme, la matriz de transición F equivalente a la función f es:

∆=

10

1 TF (III.22)

donde ∆T es el tiempo entre dos muestras consecutivas.

Así, el vector de estado se obtiene mediante:

( )

( )( )

( )( )

( )

−

∆=

−

−

∆=

=−

xxx v

kxT

kv

kxT

kv

kxkk

1

10

1

1

1

10

11x (III.23)

Y la matriz de covarianzas asociadas:

( ) ( ) ( )

∆−−

∆=−−=−=

10

111

10

1111

Tkk

Tkkkk xxxxxxxx PFFPPP (III.24)

El segundo paso consiste en incorporar la información de la medida:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ] ( )

−=

−−+−=

=

+=−

1

11ˆˆ

1

kkJkk

kkJkykkkk

J

RJJT

T

xx

xx

xx

PK-IP

xKxx

SPK

PS

(III.25)

donde J es la matriz jacobiana de la función h particularizada en x(k):

( )

( )

∂

∂

∂

∂

=

−=

−=

1

1

kkxxx

kkxx

v

h

x

h

J (III.26)

III.5.3. Resolución mediante UKF

Por otra parte, la resolución del problema mediante UKF se obtiene implementando los pasos descritos en la sección III.4.


143

III.5.4. Experimento

Con el fin de comparar el rendimiento de ambos métodos (EKF y UKF), se ha realizado un experimento en base a los datos del problema expuesto en III.5.1. Las condiciones están detalladas en la siguiente tabla:

Condición Valor unidad

Duración 2 s

∆T 10-2 s

x inicial 0 m

vx π/2 m·s-1

h(x) 0,5 sin(x) no aplica

R 10-4 no aplica 82

Arranque en frío 3 muestras

Tabla III.1. Condiciones experimentales.

Cabe destacar que ambos filtros necesitan al menos 2 observaciones con el fin de estimar la velocidad inicial del blanco. Por ello, ambos filtros únicamente pueden entrar en juego a partir de la tercera muestra de tiempo.

En base a estos datos, la Figura III.2 muestra las observaciones durante una ejecución del experimento.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

t (s)

h(x)

- S

in u

nida

d

Figura III.2. Valor de las medidas en función del tiempo.

Como puede observarse, la función de observación no solamente no es lineal, sino que también consta de un máximo local.

82 La unidad asociada a R es el cuadrado de la unidad asociada a la medida

ANEXO III

144

La Figura III.3 a continuación compara la posición del blanco (x) estimada por cada filtro, junto con el valor real.

Se observa que la solución EKF es ruidosa e inestable para valores de t entre 0,8s y 1,2s. Precisamente, se trata del intervalo de tiempo centrado en t=1s, momento en el que la no linealidad es más fuerte (el valor absoluto de h’’(x) es máximo).

Por otra parte, se puede apreciar la robustez de UKF durante el tiempo del experimento.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

t (s)

Val

or e

stim

ado

de x

(m

)

EKFUKFReal

Figura III.3. Comparación de las soluciones EKF y UKF con el valor real.

La Figura III.4 a continuación permite comparar directamente el error cometido en la estimación de la posición.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t (s)

Err

or e

n la

est

imac

ion

de x

(m

)

EKF

UKF

Figura III.4. Error en la estimación de posición con EKF y UKF.

Este anexo presenta la transformada Unscented (base del UKF), el desarrollo de UKF y un experimento ilustrativo que compara el rendimiento de UKF y EKF con un modelo de observación no lineal.

145

ANEXO IV. COTA DE CRAMÉR-RAO PARA LOCALIZACIÓN HIPERBÓLICA

Este anexo muestra el desarrollo empleado en [27] para obtener la expresión de la cota de Cramér-Rao para localización hiperbólica. La cota (inferior) de Cramér-Rao (abreviada CRB o CRLB83), expresa una cota inferior para la varianza de un estimador de un parámetro determinista.

IV.1. Localización esférica La localización esférica es un método de localización basado en el tiempo de llegada de una misma señal (TOA) transmitida por un emisor, y recibida por varias estaciones base. Matemáticamente, se trata de un problema más sencillo que la localización hiperbólica (basada en TDOA).

En el caso de la localización esférica, la posición del emisor se encuentra (en un caso ideal) en la intersección de las esferas centradas en cada estación base (receptora), y cuyo radio es el producto de la velocidad de la luz en el vacío (caso ideal) por el TOA de la señal a cada estación base.

De este modo, el tiempo de llegada de la señal (TOA) emitida por una aeronave j, y recibida por la estación base i, viene definido mediante:

( ) ( ) ( )

iijijijiijij ezzyyxxc

eRc

+−+−+−⋅=+⋅=222

00

11τ (IV.1)

83 siglas de los términos ingleses: Cramér-Rao Bound y Cramér-Rao Lower Bound, dicha cota es llamada así en honor a Harald Cramér y Calyampudi Radhakrishna Rao.

ANEXO IV

146

donde Rij es la distancia euclídea entre la estación base i y la aeronave j, y ei es el error asociado a la medida del TOA en la estación base i.

El receptor estima la posición de la aeronave (x) en base a las medidas τ, pudiendo establecerse la siguiente relación:

( ) exhτ += (IV.2)

donde h es la función de observación, que permite estimar el TOA en función de la posición del blanco y de las estaciones base, mientras que e es el vector formado por los errores de medida de TOA.

Sea R la matriz de covarianzas asociada al vector e; se presupone que los errores de medida son independientes entre sí y de media nula (dando lugar a que R sea una matriz diagonal).

La cota de Cramér-Rao proporciona el límite inferior de la covarianza asociada a la estimación de la posición. Para calcular este límite, es necesario linearizar la expresión que relaciona el TOA con la posición del blanco, particularizada en la posición estimada del blanco (x0, y0, z0):

eCxτ += (IV.3)

donde C es la matriz jacobiana de τ respecto de x:

o

o

o

o

o

o

zz

yy

xxij

ij

ij

ij

ij

ij

zz

yy

xxiR

zz

R

yy

R

xx

czyx

=

=

=

=

=

=

−−−=

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

0

1τττC (IV.4)

En este caso, la CRLB asociada a la estimación de posición es:

[ ] 11CRLB−−= CRCT

(IV.5)

IV.2. Localización hiperbólica Por su parte, el sistema de localización hiperbólica es un método de localización basado en la diferencia entre los tiempos de llegada de una misma señal transmitida por un emisor, y recibida por varias estaciones base. Definiendo ∆τ como el TDOA de una señal emitida por una aeronave j y recibida en dos estaciones base i y 1.

jij

j

i 11 τττ −=∆ (IV.6)

COTA DE CRAMÉR-RAO

147

La ecuación (IV.2) puede modificarse con el fin de establecer una relación entre la posición del blanco y el TDOA, multiplicando por la matriz M, definida a continuación:

−

−

−

=

10001

0

0101

0011

OM

L

M (IV.7)

De este modo, la ecuación de posicionamiento hiperbólico es:

eMCxMτ += (IV.8)

Finalmente, estableciendo un paralelismo con la relación entre las expresiones (IV.3) y (IV.5), la CRLB asociada a la estimación de la posición mediante localización hiperbólica es:

( )[ ] 11

CRLB−−

= MCMRMMC TTT

(IV.9)

localizaciÓn y seguimiento de aeronaves …oa.upm.es/35037/1/jorge_jose_abbud_momma.pdf · tenido...

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