localização de raizes (zeros de função)jamhour/pessoal/...valor de x para diferentes valores de...
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Edgard Jamhour
Uma equação linear com n variáveis tem a seguinte forma:
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b
onde a1, a2, ..., an e b são constantes reais.
Um sistema de equações lineares é um conjunto de m equações do tipo:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
...
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
Um sistema de m equações e n incógnitas para ser representado na seguinte forma matricial: A x = b
Se m = n o sistema é dito quadrado
Matrix de coeficientes (m x n)
Vetor de incógnitas (n x 1)
Vetor independente (m x 1)
Existe uma única solução que satisfaz a todas as equações simultaneamente Número de equações independentes deve ser igual ao número de incógnitas Se o determinante de A for 0, o sistema possui equações linearmente
dependentes Se b = ( 0 0 0 .. 0)T
, o sistema é dito homogêneo pois x = ( 0 0 0 .... 0).
Existem inúmeras soluções que satisfazer as equações Isso acontece quando o número de equações é menor que o número de incógnitas Isso acontece também com matrizes quadradas com equações linearmente dependentes
(determinante de A = 0)
Não possui solução O determinante de A é nulo
Permitem resolver o sistema através de substituições sucessivas :
Inferior Superior
Passo 1: X4 = 1 Passo 2: X3 = 2 (usando x4) Passo 3: X2 = -1 (usando x3 e x4) Passo 4: X1 = 3 (usando x2, x3 e x4)
Diretos: Fornecem solução exata do sistema linear, caso
exista, após número finito de operações ▪ Método de Gauss ▪ Método da Eliminação de Jordan ▪ Fatoração LU
Iterativos: Geram uma sequência de valores x(k) a partir de uma
aproximação inicial: x(o). Sob certas condições, esta solução converge para x*, caso exista. ▪ Método de Jacobi ▪ Método de Gauss-Siedel
Estratégia: Transforar o sistema dado num sistema triangular
superior equivalente efetuado operações sucessivas de produto e adição entre as equações. ▪ Combinação linear entre equações
Sistema Original Sistema Equivalente
Matriz Aumentada:
Não altera o sistema de equações:
Multiplicar ou dividir todos os elementos de uma linha da matriz aumentada pela mesma constante
Somar linhas da matriz aumentada
Trocar a posição das linhas da matriz aumentada
3 2 1 61 3 1 52 2 3 7
1
2
3
1
32
1 3 1 52 2 3 7
L1=L1/3 L2=L2-L1 12
3
1
32
07
3
2
33
2 2 3 7
3 2 1 61 3 1 52 2 3 7
L2=L2-L1/3
3 2 1 6
07
3
2
33
2 2 3 7
OU
Eliminar os elementos a21... an1
Li = Li - (ai1/a11).L1 onde: i=2 ... n
Eliminar os elementos a32... an2
Li = Li - (ai2/a22).L2 onde: i=3 ... n
...
Eliminar o elemento an,n-1
Ln = Ln - (an,n-1/an-1,n-1).Ln-1
1 2 3
a11 a12 a13 a14 b1a21 a22 a23 a24 b2a31 a32 a33 a34 b3a41 a42 a43 a44 b4
Pivô
Elimina o elemento (l,c) da matrix Ab:
𝑛𝑜𝑣𝑎𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑙𝑏, 𝑙, 𝑐 = 𝐴𝑏 𝑙 − 𝐴𝑏(𝑙𝑏) ∙𝐴𝑏 𝑙,𝑐
𝐴𝑏(𝑙𝑏,𝑐)
lb: linha de referência (contém o pivot)
l: linha que será modificada
c: coluna que será modificada
Ab(l): linha l
Ab(l,c): elemento da linha l, coluna c
Ab(lb): linha lb
Ab(lb,c): elemento da linha lb, coluna c
Elimina todos os elementos de uma coluna abaixo da diagonal:
eliminacoluna(lb,c) =
Repetir de l=c+1 até n: Ab(l) = novalinha(lb, l, c)
Transforma o sistema em triangular superior:
Repetir de l=1 até n: eliminacoluna(l,l)
Resolver o seguinte sistema de equações: 2 x1 + 3x2 - x3 =5
4 x1 + 4x2 - 3x3 = 3
2 x1 - 3x2 + x3 = -1
Matrix aumentada:
novalinha(1,2,1)
novalinha(1,3,1)
novalinha(2,3,2)
2 x1 + 3x2 - x3 = 5 - 2x2 - x3 = -7 5 x3 = 15
x3 = 3 x2 = 2 x1=1
Resolver o seguinte sistema de equações:
x1 + 4 x2 + 52 x3 = 57
27 x1 + 110 x2 - 3 x3 = 134
22 x1 +2 x2 + 14 x3 = 38
Matrix aumentada:
novalinha(1,2,1) novalinha(2,3,2) novalinha(1,3,1)
x1 + 4x2 -52x3 = 57 2x2 -1407x3 = -1405 -61631 x3 = -61631
x3 = 1 x2 = 1 x1 =1
Resolver o seguinte sistema de equações:
3 x1 + 0 x2 + x3 = 6
x1 + 0 x2 + x3 = 134
2 x1 +2 x2 + 3 x3 = 7
Matrix aumentada:
novalinha(1,2,1)
novalinha(1,3,1)
Permutação de linhas
Método semelhante ao de Gauss, mas utilizar como pivô a cada passo o elemento de maior valor absoluto abaixo da diagonal.
O objetivo desta estratégia é minimizar a amplificação de erros de arredondamento durante as eliminações.
Aprimoramento do método de Gauss onde a eliminação de elementos da matriz é feita até obter-se uma matriz do tipo diagonal
a11 0 ... 0 b1 0 a22 ... 0 b2 ... ... ... ... ... 0 0 ... ann bn
novalinha(2,1,2)
novalinha(3,1,3)
novalinha(3,2,3)
2 x1 = 2 -2 x2 = -4 5 x3 = 15
x3 = 3 x2 = 2 x1=1
Seja A uma matriz quadrada. A decomposição LU transforma a matriz a no
produto de duas matrizes:
A = L.U
A L U
Sistema Original: A x = b Sistema Fatorado: A x = (L U) x = b Propriedade Comutativa: A x = L (U x) = b Supondo U x = y Novo sistema de equações: L y = b Solução em duas etapas:
Encontrar y resolvendo L y = b
Encontrar x resolvendo U x = y
x1 + 6 x2 +1x3 = 5 2x1 +2x2 + 3 x3 = 7 3x1 + 5x2 + 1x3 =6
=
A x b
= .
.
A L U
=
L y b
. . =
b U x
i=2,...,n i=n-1,...,1
O método de decomposição LU oferece uma forma eficiente para calcular determinantes, pois: Det(A) = Det(L).Det(U) Devido a forma da matriz: Det(L) = 1 Det(U) = produto dos elementos da diagonal
a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44
A =
Det(A) = 1*-10*-(33/10) = 33
= .
A L U
A matriz U corresponde a matriz A transformada em triangular superior, o que pode ser feito pelo método de Gauss.
A matriz L determina-se impondo-se a condição:
=
l21=a21/u11 , l31=a31/u11 , l41=a41/u11
l32=(a32 - l31 u12)/u22, l42=(a42 - l41 u12)/u22
l43=(a43 - l41 u13 - l42 u23 )/u33
=
Se i<j: lij=0 Se i=j: lij=1
Se j=1 e i>1: 𝑙𝑖𝑗 =1
𝑢𝑗𝑗𝑎𝑖𝑗
Demais casos: 𝑙𝑖𝑗 =1
𝑢𝑗𝑗𝑎𝑖𝑗 − 𝑙𝑖𝑘
𝑗−1𝑘=1 𝑢𝑘𝑗
6/5
12/5
(-28/5)/(-14/5)=2
Em algumas aplicações, deseja-se calcular o valor de x para diferentes valores de b, mas usando a mesma matriz A.
Utilizando apenas o método de eliminação de Gauss, é necessário transformar a matriz aumentada que inclui o vetor b em triangular superior.
Como as matrizes L e U são independentes de b, não é necessário recalculá-las quando b é alterado.
Objetivo: resolver o sistema linear A x = b de forma iterativa.
A partir de uma solução inicial x0 gera-se uma
sequência de soluções x1, x2, ..., xk que aproxima de forma interativa a solução do sistema.
Forma iterativa:
xk = g(xk-1)
Sistema original:
Isolando xi na linha i:
Assumindo-se uma solução inicial:
𝒙𝑘 = 𝑥1
𝑘 𝑥2
𝑘 … 𝑥𝑛𝑘
Calcula-se uma solução mais aproximada:
Forma compacta:
Critério de Convergência:
A convergência independente do vetor inicial escolhido.
Critério de linhas: critério suficiente de convergência
O sistema possua diagonal principal estritamente dominante, ou seja:
Considerando o seguinte sistema de equações:
Considerando uma solução inicial x0:
Solução exata:
x = [1 2 3]
Aproximações:
Semelhante ao método de Jacobi, mas procura reutilizar os valores já calculados em uma interação para estimativa dos termos seguintes.
x(k+1) = [ x1k x2
k x3k ... xn
k ]
x1(k+1) = f(x2
k ... xnk)
f(x1(k+1) x3
k ... xnk)
f(x1(k+1)
x2(k+1) x4
k ... xnk)
f(x1(k+1)
... xn-1(k+1))
Forma estendida:
Forma compacta:
O critério das linhas pode ser aplicado ao método de Gauss-Seidel.
A condição de Sassenfeld define uma condição suficiente para convergência do método.
Convergência se M < 1