locally divergence-free galerkin methods.pdf

36

Upload: truongmien

Post on 18-Jan-2017

227 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

������� ���� ���� ����� �� ���� ������ ������ ��� �� ������

������� �

�������� ������� ������� ��� ��� �������� ����

��������

�� ���� ����� �� ������� ��� ������ �������������� ������������ ������� ����� ���

�� ������� ������� ��� !�"���� �#�������$ %�� ���������� ������� �� ��� ����� �� ��� ��� ��

�����"� ��� ��������� ���� ��� �"���� �������������� ������ ��� ��� ���$ &� � ����#����

���� ����� ��� � � ����� � ���������� ��� ���� ��� ��� �� ��� ������������ �������

����� ���� �������� �������� ������ ��� �����$ �� ���� ���� �� ����� �� ���� ���

�� ������� �����"� ������ �� ��� �� � �����$ �� ���� ���� ���� ���� ����� �� ���

����� ���� ��� ������������ ������� ����� ����� �������� �������������� ��������

������ ��� �����$ ������� � �������������� �����#�� �� ���� �� ������ '(�)*+��� ����� ��

����� ���� �������� ������ ���� �� ������ � ��� ����$

������� ,����������� ������� ����� �������������� ��������� !�"���� �#�������

������� �� ������� � ����� �� �� ���� ��� ��������� � �� ������ ������� �����

������������� �� ! ���� ����� �� ��� �� ��" #��� $���%&%'(%)��$��� ��� �� *���� ������� � +��,� ����� ��� -���� ��� !. %/)&/� ������� ��#����

�� ������,�� �� ��� ������,�� �� ! ���� ����� �� *!0 #��� $**$&)�%%�&�%�%�� ��" #���

$���%/%'��&� �*�* 1��#�� #��� �22&�%&%3� �� *"0�! #��� "�)(/%�%/�&�%&&3�

*

Page 2: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

� ����������

%���� ��� ��� ������� ��-�������� �#������� ���� ��������� ���� ��� ��������������$ ."�

� ���� ������ ��� ��� ��������� .���� ��� /����������� �#������� ��� ������������

���� �� �#������� ��� ��� !�"���� �#�������$ ��� �� � �� ��� ������ � ��� �� ���

��� ��������� .���� ��� /����������� �#������� ��� �������������� �������� �� �� �"�

����� ���� �� ��� �#�������$ ��� �� � ������ ��� �� ��� ��������������� �� �#���

����� ��� ��� !�"���� �#������� ��� ��������� �� ��� 0,. ������ ���� ������� ������� ���

�������������� �������� �� ��� ������� ���� �� �������������� ��� �� �� ������� � �������� ��

���� ��� �� ����� ��������� ���� ������� ���� �������������� �������� '�"���� �� ���� ���

������+$ %���� �� �� �"������� ���������� �� ��������� ��� �� ����� ������ ��� �"� ���

�� ���� ����� �� 1(23 ��� ��� ��� ��������� .���� ��� /����������� �#������� 1(3 ��� ���

��������������� �� �#������� ��� 1((3 ��� ��� !�"���� �#������� � ��� ��� ������$

�� ���� ����� �� ������� ��� ������ �������������� ������������ ������� ������

�#������ ���� %4, 5�����6���� �� � �������7����� '56,�+ 18 *9 *:3 ��� ������� ���

�� �������� !�"���� �#������� �� ��� �������� ����� �� �"����� ��� �-����� ����� ��� ��

��� �������������� �������� ���� ������������ ������� ������$

��� �� ����;� ������ ��� ������������ ������� ����� ��� ��� �������$ %�� ���������

���� ������� ����� �� � ���� �� <���� ��� ��� ������ ����� � ������� ������������

�������� ������ ��� ���� ��� ��� �� ����� �������� ��� ��� ���� ��������$ =�� �����

���� �� ��� ��� ������� �� ������ ��� ��� �� � ����� �� ����� � ������ ���� ���

������� <���� ��� ��� ������ ������� ��� �������������� �� ��� ��� ��� ��������� �����

��� ������ �� �������� ��������� ��� �������� ����� ���� '��� �������� �� ����� ;�"��+ ��

������ ������ ������ ��� ������ ������ �� ��� ����� ����������$

%�� <��� ������������ ������� ����� ��� ��������� �� *>?@ �� 5��� ��� A��� 1(@3

�� ��� ��� ���� �� ������� ��������� '������ ����� ������ ��������� �#�������+$ �������

���� ��� ��� ������ ��� ������ �� �$�$ 1(*3$ & �B�� ������� ��� �� ��� ������������

������� ����� ��� ������ ��� �� ������ �� ��$ �� � ������ �� ������ 1*@ *( *2 8 *93 ��

(

Page 3: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

���� � ��� ���� ��� ����������� �� ������ ����� ��������� �� � ��������� ��������� ���

��������� ���� ����� �"����� ������������ ������ ���� ����� 5�����6���� �� � �������7�����

1(:3 ��� ������������ ������� �������7����� �� ���� ���� �"�� �� �����"� ��� 5�� ���

������� �� �������� ;�"�� ��� %4� '����� ��������� �������+ ��������� �� ����� 1(C3 ��

������ �������������� ���������� ��� ������ ����$ ��� ������ ��� �������� �� �� ���

5�����6���� ������������ ������� '56,�+ ������$ ���� ��������� ��� ��� ���������

���� ������� ����� ��� ��� ��������� ���������� ������ ��� ������ ����� 1?3 ��� ������

����� 1>3 ��� ����� ������ �� ���� �������� ���� � ��� ��� ������ ����� 1*:3$

%�� ������������ ������� ����� ��� ��� � ���� ������� �� ����� ����� ��� �������

�������� �� ������ ������ �$ �� ��� ������� ������� ����������$ �� �� �� ������ ��������

��� ��� ����� �� �����$ �� ��� ��� ����� �� ����� �� �� ������ ����� ���� �� ���

��� ���� �������� ��� ����� � ����������$ �� �� �� ���� �� ��������� ��������������

���� ����� ���� ������� ����� ���� �������� ��� ����� � ����������$ �� �� �"��� ��� ����

�� ���� � ���������$ %�� ��������� �� ��� �������� �� ��� ��� ����� �� � ������

���� ���� ��� � ������ ��������� ���������� �� ��� ����� �� ����� ���� �������� ���

����� �������� � ��� ��������� 1@3$ ������� �� ��� �"������ �������� ��������� ���������$

&� �"� ��� �� ���� ��� ������� ����� ��������� ����������� ���� ��� �� ����� � ������

������������ ��� � ��� ������� ���#������ ��� ��� �#���� ������� ��� ��� ������ �� �����

�� ��������� �������������� �� ��� ���� �� ������ ������� ��� ���� ��� ��������� �� �����

1*>3$

.����� ������� �� ��� ���������� ���� �� ��� ������������ ������� ����� � ���

��� ����� �����$ �� 1*83 ��� ������������ ������� ����� ���� ��� �������� �����

���� ������ ��� ����� �� ���� �� ����� !�"���� �#������� �� ����������� �����$ %��

�������������� �������� �� ��� �"������� ������� ��� �� ���� �� ��� ����� �� ��� ������$

=�� �� �"��� ��� ���� ������� ������ ��������� ������ ���� ��� ���� ����� � ��� ����

�������� ������ ���� �� ������ � ��� ����$

&��� ��� ���� ���� ��� �� ��� ���������� �� ������ �"������� ��� �������������� ���

@

Page 4: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

������$ %�� ��������� ��� ������ <��� ��������� �������� ��� <��� �������� �� D��

1(?3 ��� ��� ��������� �� ������ ������ <���� ���� ��� ���� �� �������� � ��������� ���� ��

������� ��� �������������� ��������$ &������ ������� �� �� ����� ��� 0,. �� �����

�������� ����������$ �� 1((3 !��7 �� ��$ ����������� ��� ��������7�� �������� ���������

�������$ %��� ������� ��� ���������� ��� ������� �� ��� !�"���� �#������� �� ������ �

������� ��� ���� �����E� ��� ���� �������� �� � ������ ��������� ���� ����� $

���� �� ��$ 1* (23 ��������� � ������������ ������� ����� ��� ������� ��� �����

�#������� ��� ��� ���������� /����������� �#�������$ %��� ���� �� �������� ������� �����

���� ������ �������������� �����"� ��� ���������$ =��� �� ����� ���� ���� ���� ������$

�� ������ ��� ������� �� ���� �� ��$ 1* (23 ��� ��� ��� ������ �������������� �������

���� �� ����� ���� �� ��� ������������ ������� ����� �� ����� !�"���� �#�������$ /���

���� �������� ��� ��������� �����"� ������ ��� �������������� ������ ��� ��� ��� ���� ���

��� �������� �������������� ���� ����� ��� �� � ������ ����� ��� ��� ��������� ��� ���

���������� ���������$ �� ������ ��� ��������� ������ �� ��� <��� �� � ��� � �� � ������

���� ��������� ��� �� �������� �� ������� ���� ���� ��� ���� ����� � ��� ���� ��������

������ ���� �� ������ � ��� ����$ �� ���� ���� ���� �� �� ���B�� ��� �����"� ��� ��������

�� ��� <��� �� � ���� ��� ���� �� �������� �������������� �������� ������ ���� ��� ������

�� ���� '�)*+��� ����� ������ �� ��� ��� ��� ������ �F �� ��� �� �� ���� ��� ������

���� ������ ��� ���B�����$ ������� �� ���� ���� ��� ������������ ������� ����� ���

��� ������ �������������� ����� �� �� ������� �� ����� ���� ��� ��� ����� ������������

������� ����� ���� �������� ��������� ���� �������� ������ ��� �����$

& �������������� �����#�� 1** (93 �� ���� ������� �� ��� �� ����� ��������� �� ������

������� ������� ������ ����� ������ �������������� ������ ��� ����� ���� �� �������

��� ���B����� �� ��� ��� �� ���� �� ��� ��� ����� ��� �������� �������������� ������ ���

�����$ �� ��� ����� ���� ��� ����� �� ������� ��� '�)*+��� ����� �� '(�)*+��� �����

���� � � ��� ���� ��� ���� ��������� ���� � ������ ����� �� ����� �� ��������������

��� � �� �������� �� ��� ����� ������$

9

Page 5: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

%�� ����� �� ������7�� �� �������$ �� ������ ( �� �������� ��� ������ ��������������

���� ��� ��� �� ����� ��� ������� �� ��� �������� $ �� ��� �� � ������ � ��� �� ���

���� ��� ��������� �� � �������� � ���� ������� �� ���� �������� ��� ��� ������B�����

�� ��<��� ��� ��� ���� �� ������ �������������� ������������ �������� ������ ���� �� �

������� ���� ������� ��� �������� �������������� �������� ������ ����$ �� ���� �������

� ���������� ������ �� ������������ �� ���� �� ����� ���� ���� �� ������ ($ ������ @ �������

�� ����� ������� �� �� �������� ��� ����� �� ��� �������� ��� ��� ���B�����$ ����

������ �� ��� ��� ����� �� ������ 9$ �� ��� �������" �� ����� �� � ������� ������� �� ���

� ��� �������� �� ��� ������B����� ��� ��� ������ �������������� �������� ������ ���

����� �� ��� �������� �������������� �������� ������ ��� ����� ��������� �� ������ ($

� �� ��� ������������� ���������� � ����� ������

%�� ��������� ��� �� �������� ������ !�"���� �#������� ���� �� ���������G

���

��H �

��

��

���

��H��

���

��

��H���

������

� '($*+

%��� �� � ��������� ����� ���� � �������������� �������� '��� ��+ ��� ��� �� � �� ���������

�� �� ��������������$ %�� �������� 56,� ����� ��� ������� '($*+ ����� ����� ���� �

������������� �� �� ��� �� ��� I ���� ��� ��� ��� ����� ������� �� � ��� ���� �� �

� H ������� ������ �� ��� ������� ���� ������ �� ��� ��� ������� ���� ��� �� �� H

'��� ��+$ %�� ��������� �� ��� ��� ��� ���� ��� ����� ��� ������� �� � ��� � �����������$

%�� �������� ���� ���� �� ��� �� � �� ��� ���� ���� �� ����� ��

J!� H J!�� H � G �� � "�'�+� � � �� H J!�

��� �� G ��� � � �'�+� � � �� '($(+

����� "�'�+ H '� �'�++� ��� � �'�+ ������� ��� ���� �� ������ ���� �� � �� ������ ��

��� �$ �� ����� ��� �����"� ����� ���� J!���� ��� '��� ��+ ���������� ��� ���� ��� � ��

�� ����� ��� �� ������ ��� ���� J!� �� '($(+ ��

!� H !�� H � � J!�

� G

������)����

������

H 2� H !���� �� G ��� � � �'�+� � � �� '($@+

C

Page 6: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

%��� �� ��� ����� '��� ��+ �� � ������ �������������� ������ ��� �����$ /���� ���� ���

�� ������ �� !������ ��

�����������

���� ����� ���� �� ���� �� ��� �� ������ �� J!������ ���� ��

'�)*+'�)(+$ �� �� ���� ���� � ��� �� � ���������� ��� �� ����� ��� ������ ����������

���� ���� '($@+ ������� �� ��� �������� �������� ������ ��� ���� '($(+$ �� �� ���� ���� ��

����� ��� � ���� ����� ��� !������$ ��� �"� ��� �� � �� � �������� ���� ����� '��� + ���

����� K���K �� �� ������ J� H������

� J� H������ ��� ��� �� ����� �� !�

����� ����� �� ����

� H * �*2

��

�K�� J��K J�

��

�J�2

��

�2*

��

�2J�

��� � H ( �� ���� �� ����K��'*( J�

� � *+�(9K J� J�

��

��(9K�� J� J�K'*( J�

� � *+

��

�*( J� � � *

2

��

�2

*( J�� � *

&�� �� ������ ��� ��������� <�� ��� ������ ��� ����� �� ��� ��� ����� ��� � H @�K��'9 J�

� � J�+�K'*( J�

� � *+ J�

��

�K��'*( J�

� � *+ J��K J�'*( J�

� � *+

��

��K�� J�'*( J�

� � *+K'9 J�

� � J� +

���

(2 J� � � @ J�2

��

�2

(2 J�� � @ J�

�� ������� �#������� '($*+ �� ��� ����������� ���

� ) � �'�+ H 2 '($9+

����� � H '��� ��� �+� $ ��������� ��� ����� ��<������ �� ������������ ������� ������

��� ����������� ���� �$�$ 18 *93 �� ������ ��� 56,� ��� ������� ��� '($9+G <�� �� � !�

��� ������

�� ���)��� �

��

�'����������

������ + ����

��

�'��+ ��� H 2� � � !�� '($C+

����� �'�������������� �+ �� ��� ��������� ;�" ��������� ���� �'�+ �

�'�������������� + H

�� ��' J� ����1��3 )

���1��3+

���' J� ����1��3 )

���1��3+

�� J�� � �� J�� �����

� '($:+

���� J� H ���������������

� 1�3 H ������ � ������ ��� ������� ������ ��� ��� �� ��� �� � �� ��������

� ��� ��� �������� ��� �"������ �� � �����������$

:

Page 7: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

��� � ��� � ��� �� ��� ����������

&������� � ������ �������������� ���� �� ���� ��� �����"� ����� �� '��� ��+ ���� ����

������ �� ��� ��������� ����� �� ��� B� �� �� ��� ��� �� �������� ����� ��� ��� ���������$

%��� � � ������� ������ ��� �� ��� ������ ��������� ����� �� �� ��<���$

=�� ��� �� �� ��� ������ ��� �� ��� ��������� �� ��� �������$ L������������ �� �� ����

����� �� � ���� ��� ��� ��� �� � �������$ !������ ���� �#�������� �� ��� ��� ���

�� �� � ����� ��� �"� ��� �� 193 ����� � �������� �� � ���� ��� � ������ ��� ��

�������� ������� ������� � ������ �#������ ���� ��� ��������� �����$

A��� �� �������� � �� ���� ������ ���$ ��� � ����� ������� � ���� �� � ����

������ ��� ��� ��� � � �� ��� ��������� �� ����� �� ��<���

�������� H����

��

�1� � 3���)����

��

� � ����

�� ����� ���� �� � ����� �� � ��� �� ��� ��������� �� �$ /���� ���� ��� � ����� ��������

� ���� ������� �� ��� ��������� �� ��� ��� ��� �� 7��� ���� �� �� �������� �������������� ��

��� ���� �� ��� ��� �� � ������ �� ��� ������� ����� ��� �������� � �� ���������$ A���

�� ����� �� ������ ��� ������ ��������� �� � ������� ��� B� � �� ��� ��� �� � ������

�� ��� ������� ����� ����� ����� ����� �� �� ���������$

�� �� ������ �� ���� ��� ��� ��� � �� ��� ��<������ �� �� � ����� ��� �� ��� �� � ����$

�� �� ����� ��� ��� ��<������ �� ��� ��� ��� �� ��� ��������� �� � �������

����

'�� �+

������

����� � ���� ������� ��� ��� � ���� ������� �� I ���� � ��� ������� ��� ������ ���

�� ��� �� � ��� ���� �� ���� ������ �� ��� �� ��� �� ���� ���

����

'�� �+

������H ���

*

������

����

'

� �

� � � ���

��

� �� ��+

� ��������

=�� �� ����� �� �� ������� �� �#������ �� ����� �� ��������� � ��#���� ���� ����

?

Page 8: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

�����"� ����

�'�+ H

����' � �'�++ �� � ��

����'�'��+ � �������

����) �'��+ � ��

�������

������ � � H � �� ��

����� � �� ��� ������� ���� ��� �� �� ���� � ��� ��� ��� �$ �� ���� ��� �� ���� ���

��<������ �� �� � �����$

��� �� �/���������

.��� �� �� ��� ��� ������ �������������� ���� ��� �� ����� �������� �� ����� ��� �����

���� �������������� ������ �� ��� �������������� �� ��� ��� �� � ������ ����� ��� ���

���������$ A��� �� �������� ��� ������B����� ��� ��� ������ �������������� ��������

������ ��� ���� �� ��� �������� �������������� �������$

%�� �������� ���� �� ��� ���B����� �� �������� ��� 1C3 ���� ��� ����� ��� ��<������

�� ���<�� �� ��� ��� ����$ %� �� ����� ��� ��������� �� ������� ���� ��� ����������

��� ����$ &�������� ���������� ��� ���� �� ���� �� ������� �� � �� ���� �������$ �� ��

��� �� 1C3 �� <��� ��� ��� '� �'�++� ��� ������ ��� ���� ���� ������ �� ��� � ��

����'����'����+� ����'����++ � ��� �� �������� ������� �� '� ���'�++�$

�� �������� ��� ��������

#��� H#���� H �� H '�� �+ G ��� � !�

���'�+ � �M��N���

#� H#�� H#�

��� �� G ��� � � �'�+� � � ��

�#� H �#�� H �� � #�

��� G � � � ���

����� M��N� � !������ '�+ � !�

���'�+ ��� M��� ������� ��� ��� J���� N��� ������� ���

��� J� ���$ ��� �"� ���

M� H

�K��'*( J�

� � *+�(9K J� J�

�� N� H

��(9K�� J� J�K'*( J�

� � *+

M� H

�K��'9 J�

� � J�+�K'*( J�

� � *+ J�

�� N� H

��K�� J�'*( J�

� � *+K'9 J�

� � J� +

8

Page 9: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

���

M� H

�K��'82 J�

� � (9 J�� ) *+�*:K'(2 J�

� � @ J�+ J�

�� N� H

��*:K��'(2 J�

� � @ J� + J�K'82 J�

� � (9 J� � ) *+

/���� ���� � ������� � � #��� ���� ������� �� �#� �� ��� ���� �� � � ��� ��� �� � ���

���� �� � �� ��������� ����� ��� ��������� � �� ��$

%�� ���B����� $� H $�� �� ���� ��� ���� �� ��� �

�����B����� ���� �#��$ �� �� ���

���������� �� ��� ���� �� � ������ ���B����� ���� ��� �������������� �������� �� � ������

��������$

�� ��� �������" �� ���� ����� �� � ������� ������� �� ��� � ��� �������� �� ���� ����

B�����$ �������� �� ����� ��� ��� �� � ������ ����� ��� � �� ������� �� ������ ��

��������� ��� ���������$

��� �/���������� ��� �� ���� �������

�� ������� �� ���� ��������� ��� ���������� ������� �� ������������ ��� �� ����� ���� ���$

"��%������ &'( '������������+ ��� �� H '����� ����� ���+ �� ��� �������� �� '($C+�'($:+$

%��� ��

'����'�� �+� )����'�� �+

� ) ���'�� �+�+�� )

��

��

'��1����3� ��1����3+� ) 1���3

������

H

��

'����'�� 2+� )����'�� 2+

� ) ���'�� 2+�+��

"��%������ &'& '.���� ���� ���+ ��� � H '��� ��� �+ �� ��� � ���� �"�� �������� ��

'($*+ ��� �� H '����� ����� ���+ ��� �������� �� '($C+�'($:+ �� !�

��� #�

�$ %���

���� ����� ������������ �

0����������� ($* ��� ($( �� �� ������ �� ��� �������� �����#��� �� ��� ������������

��� ��������� �� �� �������� ,� ��� ��� �"� ��� 1*C3$ �� ���� ��� ������ ��� ����

>

Page 10: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

��� ������ ���� ��� ��� ����� ���� ��� �� ���� ���� ��� �����"� ����� ������� ��� ���

��������� �� �$

�))� &'* '&����"� ����� �������+ ��� � �� � ���� ������� ��<��� �� � ����������

� � H 2 ��� ��� �� �� ��� ������B����� ���� !�

����� '�� #������+$ %���

��� � ������� ��������������

��� � ������ � ���������������

%�� <��� ���� �� �� � ($@ �� � ����� ����#���� �� ��� �����"� ����� ������ �� 1*3G

����� ��� �� � �������� �� � ����� �� � ������� �� � !������ ��� ����

��� � ������� ���������������� 2 � � ) *

��������� ��� �������� ��� ��� ������B����� �� ���� ��� �� ������ ���� ���� ��� ��$ %��

����� ���#������ �� � �� ��� ���������� �� ��� ��� ����A������ �� � '��� ������� 1:3+$

"��%������ &'+ '.���� ���� ��� ���� ��� ������ ���B����� �� ���� �� ��� ��� �� � �����

����+ �� � H '��� ��� �+ H '��� �+ �� ��� � ���� �"�� �������� �� H '����� ����� ���+ H

'����� ���+ �� ��� �������� �� '($C+�'($:+ ���� ��� ���������� ���� !� H !�� �� #� H #�

��� � H '$�'����� ����+� ���+ H '$�'����+� ���+ HG "�'��+ ����� $� H $�� �� ��� �

��

���B����� ���� ��� �������� �������������� ������� ���� �� ����

���� ���� ������������ �

"���� �����

���� ���� H ����"�'��+���

����"�'�+��� ) ��"�'�+�"�'��+���

����"�'�+��� ) ���� �����

*2

Page 11: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

��� ���� ���#������ �� ������ "� �� �� ������B����� ���� �� ����� ��� ������� ��� ������ $

�� 0���������� ($( �� ����

���� ����� ������������ �

=� ��� ����� ���� �� ��� ����

����"����� ��������������

���� �� ������ �� ���� ��� ��� ���B����� ��������� �� 1C3 ���� ������� ������ �� ���

��� ����� �� ���� ��� ��� ������B����� "� ����� ���� � � ����� ����� ���� ��� �����

���B�����$

� ����� � �� �����

/���� ���� ��� !�"���� �#������� '($*+ �� �� ��� ��������� �"�� ���������� ��

��

� H�� ��

�*

� �'�� '�) �� ) �++ '@$*+

����� � �� �� ��������� ������� �� �� ��� �������� ��� �� ) �� H *$

�� ���� ������ �� ���� �������������� �"� ���� �� ��� � ���������� ������� ��������

���� ��� ��������� ��� �������� � �� '@$*+G

�'�+ H ��� '@$(+

���� �� � ���� ���

�'�+ H

�� ��� ��� �� � �H 22 �� � H 2�

'@$@+

���� ��� � ����������� �� � H 2 '��� �� ����� ��������� �����+$ �� ���� ��� ��� ��� � ����

�������� ��� ��� �������� �������� ����������� �� ��� ��������� �"� ����$ %�� � ����������

�� ��� �� ������ ���� �� I H 12� ����3 � 12� ��

��3 ��� ��� ������� �������� �������� ��

����$ �� ��� H * � H ��'2 @!+ ��� � H ���'2 @!+ �� ���� �� ��� <��� �� � � H *9 �� ���

�� ����� �"���� ����$

**

Page 12: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

%���� @$*G 5���� �� ��� � ���"����� ��� �� � ���� ��� ��� ��� �� ��� 56,� ������$

* ( @ 9 C : ? 8 > *2�'+ *$(? *$99 *$C: *$:C *$?( *$?? *$8( *$8: *$8> *$>(

�� ��� ���� ��� ������ ��� ���������� '����� �� ��������� ��� � ������ ��� ��

�� *2O+ ���������� ����� ��� ��� ������ ������ ��������� ���������� '��0+ 5�����6����

�� � �������7����� 1*?3 �� ����� � ������� �� ��� ������� �����$

��� ������� � �� ! ����� ���� ������ ���������������

�� ��� �������� � � �����

�� <��� � ���� ��� ������� �������� ���� ��� � � 56,� ����� ����� ��� ������ ����������

���� ����� ���� ����� ����� ��� ����� ������ ��� �����$ /��� ���� ��� �� ��� �� ������� ��

������ ��� ��� ��� ��� ��� <��� ����� �� �����������

) �����������

������� ��� ��� ����� ��

�����������

) '� ) *+'� ) (+$ %��� ���� ���� �� � �������� ��� ����� �� ��� � ���"��� ��

����� ������ ��� �� � ���� ��� ��� ��� ��� �� ���

��'�+ GH

������������

�������������

�) ����������

�� ������ �� >"9$ %��� ���� ���� �� � �������� ��� ����� ����� ������ �������������� �����

�� ��� ���� ���� ������ ��� ��� �� � ���$ �� %���� @$* �� ������� ��� ������� ������ ��

��� ������ ��� ������ � ��� ����� �� ��� � ���"��� �� ��� ������ ��'�+$

%�� ������� ��� ��� � ���� �������� �� ���������� ����� ��� ����� �� %����� @$( ���

@$@$ ��� %���� @$( �� �� ��� ���� ��� �������� � � ��� ������ �������������� � � ����

���� ��� �� � ��������� ����� ��� �� ��� ��� �� � ��������� �� �� ��� �� ������ ��

��� �� � ���$ %�� ������ �� � ��� ��� ������ ���� ���� ���� ����� ���� �� ��� ��� �� �

�������$

������� ��� ������ �� � ���������� ��� ������� ��������� �� ����� ��� ������ ����������

���� ����� �� �� �������� �� ��� �������� �� ������ ��������� ������ �� %���� @$@$ &�������

*(

Page 13: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

%���� @$(G �� ��� �� ������ �� ,

"� ������ �������������� "�

��� �� ����� ����� �� ����� ����� �������� ����� �� ����� ������ �

(2� (2 ?$9*.�2( *$8C.�2* ?$9*.�2( *$8*.�2*92� 92 *$:@.�2( ($*> 9$C9.�2( ($2( *$:@.�2( ($*> 9$98.�2( ($2*82� 82 @$9:.�2@ ($(@ *$2?.�2( ($2> @$9:.�2@ ($(@ *$2?.�2( ($2?

*:2� *:2 8$*(.�29 ($2> ($?(.�2@ *$>8 8$*(.�29 ($2> ($?2.�2@ *$>8@(2� @(2 *$>8.�29 ($29 :$>8.�29 *$>: *$>8.�29 ($29 :$>(.�29 *$>:

� �

*2� *2 @$?C.�2( >$92.�2( @$8?.�2( >$@(.�2((2� (2 @$*C.�2@ @$C8 *$C@.�2( ($:( @$*8.�2@ @$:* *$>2.�2( ($(>92� 92 ($C9.�29 @$:@ ($9(.�2@ ($:: ($9?.�29 @$:> ($>9.�2@ ($:>82� 82 ($8C.�2C @$*: ($>:.�29 @$2@ ($:>.�2C @$(2 @$?C.�29 ($>?

*:2� *:2 @$C8.�2: ($>> @$?C.�2C ($>8 @$(?.�2: @$29 9$::.�2C @$2*� �

*2� *2 @$>9.�2@ ($8*.�2( 9$2@.�2@ @$28.�2((2� (2 *$9C.�29 9$?? ($:?.�2@ @$92 *$92.�29 9$8C ($>>.�2@ @$@?92� 92 8$8@.�2: 9$29 *$8>.�29 @$8( 8$9@.�2: 9$2C ($*?.�29 @$?882� 82 C$C8.�2? @$>8 *$@*.�2C @$8C C$(>.�2? 9$22 *$C*.�2C @$89

*:2� *:2 @$C9.�28 @$>8 8$2*.�2? 9$2@ @$@*.�28 9$22 >$92.�2? 9$2*

��� ������ ��������� ������ ��� ����� �� ����� � ��� �������� �� ������ �� ��� ���� � �

������ ���� ��� ������� ����� ��� ����� ������ ��� �����$

��� "�� �#��� � ��� �������� � ������� ��������������� � ��

������ �� ��� ��� � ��� ���� �����

�� ���� ��������� �� ����� ��� �� ��� ��� �-�� �� ��� ����� �� ��� �� ����� �������� ��

� ������ ���������� �� ��� ���B����� ���� ��� ������� �� �������� �������������� �������� ��

��� ���� ��� �� ��� ���������$ %��� �� �� ��������� �� �� � �� ��� �������������� ����

����� ������� �� �� ������� � �������� �������������� �� ����� �������� ���� �� �� ��� ��

������� �� �����������$

�� ��� ����� �� ��� ��� �� ��� � ���� �������� �� ���������� �����$ �� <��� ��� !��

�� ��� ����� ���� ��� ��� 56,� ���� �� ��� ���� ��� �� ��� � �������� ��� , � ������

*@

Page 14: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

%���� @$@G .����� �� ��� ��������� �� , �,

"� ������ �������������� "�

��� �� � ����� ����� ����� �� � ����� ����� ������ �

(2� (2 8$>(.�22 ?$:C.�2292� 92 9$?:.�22 2$>* 9$29.�22 2$>(82� 82 ($9(.�22 2$>8 ($2?.�22 2$>:

*:2� *:2 *$(8.�22 2$>( *$*2.�22 2$>*@(2� @(2 :$8C.�2* 2$>2 C$8:.�2* 2$>*

� �

*2� *2 9$?8.�22 ($(2.�22(2� (2 *$CC.�22 *$:@ :$C2.�2* *$?:92� 92 9$*(.�2* *$>* *$:C.�2* *$>?82� 82 *$28.�2* *$>9 9$*9.�2( ($22

*:2� *:2 ($8:.�2( *$>* *$2@.�2( ($22� �

*2� *2 8$88.�2* @$C?.�2*(2� (2 *$@8.�2* ($:> 9$C:.�2( ($>?92� 92 *$8*.�2( ($>@ C$@2.�2@ @$*282� 82 ($@8.�2@ ($>@ :$92.�29 @$2C

*:2� *:2 @$(C.�29 ($8? ?$>(.�2C @$2*

*9

Page 15: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

%���� @$9G �� ��� �� ������ �� ,

������ �������������� 0��B����� ���� ��� ����� ���� ��� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� �����

� �

*2� *2 ($(8.�2* C$(2.�2* ($(:.�2* C$2(.�2*(2� (2 ?$9*.�2( *$:( *$8*.�2* *$C( ?$@(.�2( *$:( *$:>.�2* *$C?92� 92 *$:@.�2( ($*> 9$98.�2( ($2* *$C>.�2( ($(2 @$>:.�2( ($2>82� 82 @$9:.�2@ ($(@ *$2?.�2( ($2? @$@9.�2@ ($(C 8$*@.�2@ ($(8

*:2� *:2 8$*(.�29 ($2> ($?2.�2@ *$>8 ?$??.�29 ($** *$>@.�2@ ($28� �

*2� *2 @$8?.�2( >$@(.�2( @$8@.�2( >$*?.�2((2� (2 @$*8.�2@ @$:* *$>2.�2( ($(> ($>9.�2@ @$?2 >$@>.�2@ @$(>92� 92 ($9?.�29 @$:> ($>9.�2@ ($:> *$8(.�29 9$2* *$**.�2@ @$2882� 82 ($:>.�2C @$(2 @$?C.�29 ($>? *$:C.�2C @$9: *$@9.�29 @$29

*:2� *:2 @$(?.�2: @$29 9$::.�2C @$2* *$>2.�2: @$*( *$?@.�2C ($>:� �

*2� *2 9$2@.�2@ @$28.�2( 9$2*.�2@ *$8:.�2((2� (2 *$92.�29 9$8C ($>>.�2@ @$@? *$@*.�29 9$>9 *$92.�2@ @$?@92� 92 8$9@.�2: 9$2C ($*?.�29 @$?8 8$28.�2: 9$2( *$2(.�29 @$?882� 82 C$(>.�2? 9$22 *$C*.�2C @$89 C$*9.�2? @$>? :$?>.�2: @$>*

*:2� *:2 @$@*.�28 9$22 >$92.�2? 9$2* @$(@.�28 @$>> 9$(8.�2? @$>>

�� ��� �� ����� �������� �� ���B���� �� ��� ��� ����� ���� #��$

�� ����� ��� ���� ��� ���B����� �� � ���� ���� P�������������Q ��� %���� @$9 �� ���

����� ���� �� � ������ ��� �� ����� �������� �� ��� ����G �� ��� ������ ��� ��������� �����

�� ��� �� ����� �������� ���� �� �"����� �� ��� ���B����� �� �������� ��� ���� �������

��� �� ������ ��� �� ��� �� ������ ��� ��� �� ����� �������� ���� �� ��� ����������

�"�����$ ������ ���� �� ��� ���B����� ���� � ������� � ����������� �� ��� #������ ��

��� �����"� ����� �� �� �"�����$ A������ ��� ��� ���� ���� ���B����� ��� ������ ���

����� �� ��� ��������� ��� �� ����������� ������ ��� �� ��� �� ������ �������� ���� ���

�������� �� ����� �������� �� ��� 56,� ����� ���� ������ �������������� ������ ����

�� ������� ������ ������ ���� �� ��� ����� �� ��� �� ������ ��� �� ��� ��������� �����$

%�� ���B����� ����� ������ ��� �������� ��� ������ �� ��� ����� ����� �� ��� �������

����� ������ �� ��� �� ����� ��������$

*C

Page 16: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

��� ������� � ������ ��� ������� ��������������� �� !

�����

�� ���� ��������� �� � ���� ��� ������� �������� ��� ����� 56,� ������ �� ��� ���

��� ����� ��� ������ �������������� ������ ��� ����� ��� ��� ����� ��� ������ ����������

���� ������ ��� ����� ���� � ���B����� ���� ��� �������� �������������� ���� �� ��� ��� ��

��� � ��������� ��� ��� ��� ����� ��� �������� �������������� ������ ��� �����$

%�� ���� ����� �� � ��� ����� �� �������� ��� � �������� �������������� �� �����

������� �������� �������� �� �� ����� ����� �� ��� 5�����6���� ����� �� ��� ,� �����

���� ���� ���B����� �� �� ��� �������� �������������� ����$ %��� �� ������ �#�������� ��

������ �� ��� 56,� ����� ����� ��� �������� �������������� �������� ������ ��� ����

���� �� �� �'�#�+$ /��� ���� �� ���� ��� ��� ���B����� ���� ��� �������� ��������������

���� �� ��� �� ������� ����� � ����� ������ ������ ����� $ ��� ���� ������ ���� �����

�� � ������������ #���� �����$ �� �� ��� ������� �� �� � ������� �� ����� �����F ��

������ �� ���� ����� ��� ��� ������� �� � �������$

�� ����� ��� ��� ��� �� ��� � ���� �������� �� ���������� �����$ %�� ����� ���� ��

��� 56,� �� ��� ���� �� #�� �� ����� �� �� ���� �� � ��� ��� ��� ������ ���B����� ��

����� 5�����6���� ����� �����$

��� %����� @$C ��� @$: �� �� ��� ���� �� �� ��� ��� ���B����� �� ��� ��� �� ��� 56,�

���� ���� ��� �� ��� �� ������ �� , ��� ������ ��� ��� ��� ������ ��� ���B�����$ %��� ��

��������� ���� ���� �� ���� �������� �� ��� �������� ��������� �� ��� ��� ���� ��-�����

���� �� ���� ��� ����� ���� ��� ��� 56,� �� �������� ������$ �� �� � ���� ��� �������

����� ��� ���B����� �� ��� ��� �� � �������� ��� ������� ����� ��� �������� ����������

���� ������ ��� ���� '�� � ��� ���� �� ��� ���� �������� �������������� �������� ,+

���� ���� ��� �� � ����� �� ����� �� �� ��� �� ��� ��� ������ ��� ���� �� �� ���

� ������������ �"������� ���� ��� ���� �� ������ ������� ���� ��� ��� �� ��� ���������

��� ��� � ������ � '��� %���� @$?+$

*:

Page 17: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

%���� @$CG ��������� �� , 'P�,�)/� 0�� �,�)����� 0�� �,�Q ����� ���G 56,� ����������� �������������� ������ ��� ����� ����� ������ �������������� ������ ��� ����� �������B����� �� ��� ��� ��� ����� �������� �������������� ������ ��� �����+

�,�)/� 0�� �,�)����� 0�� �,� ��� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� �����

� �

*2� *2 ($@@.�2* ($@(.�2* ($(>.�2*(2� (2 ?$(*.�2( *$:> ?$*>.�2( *$:> ?$2@.�2( *$?292� 92 *$C(.�2( ($(9 *$C(.�2( ($(C *$C*.�2( ($((82� 82 @$(?.�2@ ($(( @$(C.�2@ ($(( @$(C.�2@ ($(*

� �

*2� *2 @$@C.�2( @$@(.�2( @$>9.�2((2� (2 ($??.�2@ @$:2 ($C9.�2@ @$?* ($*>.�2@ 9$*?92� 92 ($(8.�29 @$:* *$:>.�29 @$>* *$9:.�29 @$>*82� 82 ($C9.�2C @$*? *$:(.�2C @$@8 *$CC.�2C @$(@

� �

*2� *2 @$>9.�2@ @$?8.�2@ C$@C.�2@(2� (2 *$:8.�29 9$CC *$@(.�29 9$89 *$(@.�29 C$9C92� 92 *$2C.�2C 9$22 8$*8.�2: 9$2* ?$8>.�2: @$>:C2� C2 9$@(.�2: 9$22 @$@:.�2: @$>> @$(8.�2: @$>@:2� :2 ($2>.�2: 9$22 *$:(.�2: @$>> *$:2.�2: @$>C

*?

Page 18: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

%���� @$:G ��������� �� ,

�,�)/� 0�� �,�)����� 0�� �,� ��� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� �����

� �

*2� *2 9$>?.�2* 9$88.�2* 9$?>.�2*(2� (2 *$::.�2* *$C8 *$C>.�2* *$:( *$C?.�2* *$:*92� 92 9$2(.�2( ($2C @$:8.�2( ($** @$::.�2( ($*282� 82 8$C?.�2@ ($(@ ?$?:.�2@ ($(C ?$?:.�2@ ($(9

� �

*2� *2 8$9>.�2( ?$>:.�2( >$?C.�2((2� (2 *$9*.�2( ($C> 8$?@.�2@ @$*> >$@(.�2@ @$@>92� 92 ($*9.�2@ ($?( *$29.�2@ @$2? *$2*.�2@ @$(282� 82 ($:>.�29 ($>> *$(8.�29 @$2( *$@@.�29 ($>@

� �

*2� *2 @$2*.�2( *$>2.�2( ($(8.�2((2� (2 ($>(.�2@ @$@: *$99.�2@ @$?@ *$(?.�2@ 9$*?92� 92 ($28.�29 @$8* *$2(.�29 @$8( >$9C.�2C @$?CC2� C2 8$C>.�2C @$>? 9$((.�2C @$>C 9$(:.�2C @$C?:2� :2 9$*:.�2C @$>8 *$>:.�2C 9$*> *$>?.�2C 9$(@

%���� @$?G �� ��� �� ������ �� �

�,�)/� 0��R����� 0�� �,� ��� ������� ����� �� ����� ����� ������� ����� �� ����� �����

� �

*2� *2 ($9*.�2* C$*?.�2* ($@8.�2* C$28.�2*(2� (2 ?$@*.�2( *$?( *$?:.�2* *$CC ?$*:.�2( *$?@ *$?9.�2* *$C992� 92 *$CC.�2( ($(9 9$*8.�2( ($28 *$C9.�2( ($(( 9$*?.�2( ($2:82� 82 @$@(.�2@ ($(( >$?(.�2@ ($** @$@(.�2@ ($(* >$:>.�2@ ($**

� �

*2� *2 @$(?.�2( 8$2*.�2( @$>?.�2( >$>(.�2((2� (2 ($C?.�2@ @$:? *$*@.�2( ($8@ ($(8.�2@ 9$*( *$(C.�2( ($>>92� 92 *$8@.�29 @$8* *$?(.�2@ ($?( *$:8.�29 @$?: *$8>.�2@ ($?(82� 82 *$88.�2C @$(8 ($*C.�29 @$22 *$8>.�2C @$*C ($9:.�29 ($>C

� �

*2� *2 @$C@.�2@ *$>2.�2( C$99.�2@ ($:2.�2((2� (2 >$*>.�2C C$(? *$?:.�2@ @$9@ *$@>.�29 C$(> ($2:.�2@ @$::92� 92 C$*(.�2: 9$*? *$(9.�29 @$8( *$22.�2C @$?> *$::.�29 @$:@C2� C2 ($2>.�2: 9$2( C$@9.�2C @$?> 9$(C.�2: @$89 ?$(9.�2C @$?(:2� :2 *$22.�2: 9$2* ($C9.�2C 9$2> ($*2.�2: @$88 @$C8.�2C @$8:

*8

Page 19: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

��$ %������������ � ������� ��� �����

�� ���� ��������� �� ����� ��� �� ��� ��� ����� �� ��� ����� 56,� ������G ����� ���

������ �������������� ������ ��� ����� ����� ��� ������ �������������� ������ ��� �����

���� � ���B����� �� ��� �������� �������������� ���� �� ��� ��� ��� ����� ��� ��������

�������������� ������ ��� ����� �� ��� ���� ������ ����� ��������� ����� �� ���������

����� ��� �$ �� ��� ������ ����� �� ���� ��������� ��� ��� � ���� �������� ��� ������

� ���� �������������� �����#�� 1** (93 �� ��� �� ����� ��������� �� ��� ����� 56,�

������ �������� ����� �� ��� �� ��� ����� �� �� ������� ��� '�)*+��� �����

�� '(�)*+��� ����� ���� � � ��� ���� ��� ����$ �� ������ ��� ��� %����� @$8�@$*( ����

'(�)*+��� ����� ����� �� ������� ����� ��� �������������� ��� ��� ����� ����$ & ������

��������� �� %����� @$8�@$> ������� ���� 56,� ����� ������ ��������� ���� ������ ���

���� ���� �� ������� ���B����� �� ��� ��� ���� �� ��� ��� �� � �� ��� �� ����� ��� ,

����� �������������� ���� �� �� � ���� �� � ����� ���� ��� ��� ��� ��� 56,� �����

�������� �������������� ������ ��� ����� ����� ��������������$ %��� ��� � ���� �� �� ���

��� ��� �$

���� ���� �������������� �����#�� �� ����� �� ��� ���� ����� �� � '(�)*+��� �����

��������� ���� �� ��� �������������� � ��� �� ��� �� ����� �������� � �������� ���

���� ��� ����� ��� �������������� �� '(�)*+��� ����� ����� �� �� ��������� ���� ���

������ ���B����� �� ��� �������������� ������� ������� �� ��� ��� �� � �������� ���� ���

�-�� ��� ���� ����� ��������� ���� �� ��� �������������� ��� $ %��� �� ��� ���������� ����

��� ���B����� �������� �� �� ������B����� ���� ������ ��� �-�� �������������� ��� �$

%�� � ���������� ������� ��� ��� � ���� �������� '@$*+�'@$(+ �� �� �� ���7�� ��

�������G

*$ %�� 56,� ������ ����� ��� ������� �������� ������ ��� ����� ��� ��� ������

�������������� �������� ������ ��� ����� ���� � ������� �� ��� �� ������ ��������

��� ������ ���� �� ����� ������� �� ������ ��� ����� � ����� ������ ��������� ������$

*>

Page 20: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

%���� @$8G �� ��� �� ������ �� , ���� �,�)/� 0��

������ �������������� ����� �������������� ��� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� �����

� �

*2� *2 ($2@.�2* 9$?*.�2* ($2(.�2* 9$9*.�2*(2� (2 C$?9.�2( *$8( *$9>.�2* *$:: C$:>.�2( *$8@ *$@*.�2* *$?C92� 92 >$8@.�2@ ($CC @$2*.�2( ($@2 >$CC.�2@ ($C8 ($@8.�2( ($9C82� 82 *$9@.�2@ ($?> C$*@.�2@ ($CC *$(8.�2@ ($>2 @$@2.�2@ ($8C

*:2� *:2 ($(8.�29 ($:9 >$2>.�29 ($C2 *$:(.�29 ($>8 9$(2.�29 ($>?� �

*2� *2 @$2*.�2( ?$@(.�2( @$2:.�2( :$8>.�2((2� (2 ($@*.�2@ @$?* *$(8.�2( ($C( *$89.�2@ 9$2: 9$?@.�2@ @$8:92� 92 *$>>.�29 @$C@ *$??.�2@ ($8C :$?2.�2C 9$?8 *$82.�29 9$?*82� 82 ($@8.�2C @$2? ($(C.�29 ($>? ($*?.�2: 9$>C C$8>.�2: 9$>9

*:2� *:2 ($>:.�2: @$22 ($8(.�2C @$22 :$8C.�28 9$>> *$8:.�2? 9$>8� �

*2� *2 @$>:.�2@ ($9(.�2( C$>@.�2@ *$@:.�2((2� (2 *$?>.�29 9$9? ($9@.�2@ @$@( :$2C.�2C :$:( *$:9.�29 :$@?92� 92 *$*(.�2C 9$22 *$:2.�29 @$>( @$?C.�2? ?$@@ *$2C.�2: ?$(>82� 82 ?$2*.�2? @$>> >$>C.�2: 9$2* @$2(.�2> :$>: ?$:8.�2> ?$*2

*:2� *:2 9$@8.�28 9$22 :$(*.�2? 9$22 C$2C.�** C$>2 *$*(.�*2 :$*2

(2

Page 21: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

%���� @$>G �� ��� �� ������ �� , ���� �,�)����� 0��

������ �������������� ����� �������������� ��� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� �����

� �

*2� *2 ($2@.�2* 9$:(.�2* ($2(.�2* 9$9*.�2*(2� (2 C$?@.�2( *$8( *$9(.�2* *$?2 C$:>.�2( *$8@ *$@*.�2* *$?C92� 92 >$??.�2@ ($CC ($?C.�2( ($@? >$CC.�2@ ($C8 ($@8.�2( ($9C82� 82 *$@>.�2@ ($8* 9$@?.�2@ ($:C *$(8.�2@ ($>2 @$@2.�2@ ($8C

*:2� *:2 ($*(.�29 ($?* :$>>.�29 ($:9 *$:(.�29 ($>8 9$(2.�29 ($>?� �

*2� *2 ($>:.�2( :$8>.�2( @$2?.�2( :$>(.�2((2� (2 *$>>.�2@ @$8> ?$(*.�2@ @$(C *$89.�2@ 9$2: 9$?9.�2@ @$8?92� 92 *$*8.�29 9$2? ?$?8.�29 @$(* :$?2.�2C 9$?8 *$8*.�29 9$?*82� 82 *$(2.�2C @$@2 >$((.�2C @$28 ($*?.�2: 9$>C C$8>.�2: 9$>9

*:2� *:2 *$9:.�2: @$29 *$*9.�2C @$2( :$8C.�28 9$>8 *$8:.�2? 9$>8� �

*2� *2 @$?@.�2@ *$::.�2( C$>9.�2@ *$@?.�2((2� (2 *$@9.�29 9$82 *$*:.�2@ @$89 :$2C.�2C :$:( *$:C.�29 :$@892� 92 8$(8.�2: 9$2* ?$(8.�2C @$>> @$?@.�2? ?$@9 *$2C.�2: ?$(>82� 82 C$(@.�2? @$>> 9$:2.�2: @$>> ($:C.�2> ?$*@ ?$9?.�2> ?$*9

*:2� *:2 @$(8.�28 9$22 ($8>.�2? @$>> @$2C.�** :$99 *$2*.�*2 :$(*

(*

Page 22: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

%���� @$*2G �� ��� �� ������ �� , ���� �,�$

������ �������������� ����� �������������� ��� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� �����

� �

*2� *2 *$>9.�2* 9$9:.�2* *$>9.�2* 9$(@.�2*(2� (2 C$98.�2( *$8( *$@?.�2* *$?2 C$9C.�2( *$8@ *$(C.�2* *$?C92� 92 >$C8.�2@ ($C( ($?2.�2( ($@9 >$@:.�2@ ($C9 ($@@.�2( ($9@82� 82 *$@8.�2@ ($?> 9$@C.�2@ ($:9 *$(?.�2@ ($88 @$(8.�2@ ($8@

� �

*2� *2 @$?9.�2( 8$82.�2( @$?>.�2( ?$88.�2((2� (2 *$?:.�2@ 9$9* :$:*.�2@ @$?@ *$:2.�2@ 9$C? 9$*(.�2@ 9$(:92� 92 *$2@.�29 9$2> ?$@?.�29 @$*: 9$2@.�2C C$@* *$**.�29 C$((82� 82 *$*8.�2C @$*@ >$*(.�2C @$2* *$*8.�2: C$*2 @$(*.�2: C$**

� �

*2� *2 C$(C.�2@ *$8*.�2( ?$(2.�2@ *$:(.�2((2� (2 *$(@.�29 C$9( *$2*.�2@ 9$*? :$(*.�2C :$8: *$?(.�29 :$CC92� 92 ?$>:.�2: @$>C :$>>.�2C @$8C 9$8(.�2? ?$2* *$@9.�2: ?$2*C2� C2 @$@(.�2: @$>( ($>(.�2C @$>2 *$2?.�2? :$?9 ($>8.�2? :$?9

($ ���� ��� 56,� ����� ����� ��� ������ �������������� ������ ��� ����� ��� ���

���B����� ���� ��� �������� �������������� ������� �� ��� ��� �� ������ ����

�� ��� �� ������ ���� ������ ���� ���B�����$ %���� ������ ��� �� ����� ���� �����

�������� ���� ��� 56,� ����� ����� ��� �������� �������������� ������ ��� ����

���� �� �� ��� � ���������� �"�������$

@$ & �������������� �� 1** (93 ����� ��� ������ ���B����� ����� ������� '(�)*+��� �����

����� ��������� ���� ��� �� ���� �� ��� ����� �� ��� ��������� ��� ��� <���

�� ����� �������� ������� �������� '�� ���� ��������+ ��� �� ��� �� ������ ���

�-��� ��� ������ ��������� �� ��� �������������� � ��� $

��& "�� �'���� ���� ��� ���� ��� �� ����

%�� ����������� �� � H 2 ���������� ����� ��� ������������$ �� ���� ��� �� ��� ������ ��

��� � ���� ������ ��� �������� �� ��� ������� �� ������������ ��� ��� �����������$ %��

���� ���� �� � ����� �� � H 2 9 �� ��� ���������� ���� �'�� + G � '��)�)�+� $ 2 >�$ ���

((

Page 23: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

%���� @$**G �� ��� �� ������ �� � ���� �,�)/� 0��R ����� 0��$

������ �������������� ����� �������������� ��� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� �����

� �

*2� *2 ($2:.�2* 9$8(.�2* ($2C.�2* 9$9C.�2*(2� (2 C$??.�2( *$89 *$9?.�2* *$?* C$:8.�2( *$8C *$@*.�2* *$??92� 92 >$>>.�2@ ($C@ @$2*.�2( ($(> >$C9.�2@ ($C? ($@>.�2( ($9C82� 82 *$9>.�2@ ($?9 C$2(.�2@ ($C8 *$(8.�2@ ($>2 @$@2.�2@ ($8C

*:2� *:2 ($C(.�29 ($C? *$C2.�2@ *$?9 *$:(.�29 ($>8 9$(2.�29 ($>?� �

*2� *2 ($>@.�2( ?$22.�2( @$29.�2( :$8?.�2((2� (2 ($29.�2@ @$89 >$C?.�2@ ($8? *$89.�2@ 9$2C 9$?@.�2@ @$8:92� 92 *$92.�29 @$8? *$(>.�2@ ($8> :$?*.�2C 9$?8 *$82.�29 9$?*82� 82 *$CC.�2C @$*? *$:@.�29 ($>8 ($*8.�2: 9$>C C$8>.�2: 9$>9

*:2� *:2 *$>(.�2: @$2* ($2@.�2C @$22 :$8:.�28 9$>> *$8:.�2? 9$>8� �

*2� *2 @$9>.�2@ *$:(.�2( C$>@.�2@ *$@:.�2((2� (2 >$*9.�2C C$(C *$((.�2@ @$?@ :$2@.�2C :$:( *$:9.�29 :$@892� 92 9$>>.�2: 9$(2 ?$2@.�2C 9$** @$?*.�2? ?$@9 *$2C.�2: ?$(>82� 82 @$28.�2? 9$2( 9$@*.�2: 9$2@ ($:C.�2> ?$*@ ?$9C.�2> ?$*9

*:2� *:2 *$>(.�28 9$22 ($:>.�2? 9$22 ($2@.�** ?$2@ C$C@.�** ?$2?

(@

Page 24: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

%���� @$*(G �� ��� �� ������ �� � ���� �,�$

������ �������������� ����� �������������� ��� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� �����

� �

*2� *2 *$>8.�2* 9$:?.�2* *$>:.�2* 9$(?.�2*(2� (2 C$C@.�2( *$89 *$9@.�2* *$?* C$99.�2( *$8C *$(:.�2* *$?:92� 92 >$8(.�2@ ($9> ($>:.�2( ($(? >$@C.�2@ ($C9 ($@9.�2( ($9@82� 82 *$9>.�2@ ($?( C$22.�2@ ($C? *$(?.�2@ ($88 @$(8.�2@ ($8@

� �

*2� *2 @$?8.�2( >$22.�2( @$?>.�2( ?$>2.�2((2� (2 *$8?.�2@ 9$@9 >$2>.�2@ @$@* *$:2.�2@ 9$C? 9$*(.�2@ 9$(:92� 92 *$@2.�29 @$89 *$(>.�2@ ($8( 9$2@.�2C C$@* *$*2.�29 C$((82� 82 *$C9.�2C @$28 *$:@.�29 ($>> *$*8.�2: C$*2 @$(*.�2: C$**

� �

*2� *2 C$@C.�2@ ($@*.�2( ?$(2.�2@ *$:(.�2((2� (2 *$@8.�29 C$(8 *$:9.�2@ @$8* :$(*.�2C :$8: *$?(.�29 :$CC92� 92 >$89.�2: @$8* *$(9.�29 @$?( 9$8(.�2? ?$2* *$@9.�2: ?$2*C2� C2 9$(2.�2: @$8* C$(>.�2C @$8@ *$2?.�2? :$?9 ($>?.�2? :$?9

%����� @$*@�@$*C$ �� ��� ������ ����� ���� ��� ��� �� ��� ������ ���� ������ ��� �����

��� ��������������$ %�� ������� ��� ���� �� ���� �� ����� �������� ������ ��� �������� � ����

��������� ���� ��� ������ ���B����� �� ��� ���� �� ���� �� �� ���� ���� ��� �� ��� ���

��������� ���� ��� ������ ���B����� �� ��� �������������� ������� ���� ���� �� ��� ���

��� ��� �������� ��� ������ ��������$ A������ ���� ��� �������� �������������� ������ ���

���� �� ���� ��� 56,� �� �� ������� �� � ��������� ��������� �� ��� ������ ����� � �

���$ %��� �������� ���� �� ���� ��� �� � ���� ���� �� ��� �� ��� �������� ��������� ����

���� ��� ������ ���� �������� ��������� �� �������� �� �� ��� ��� ������$

�� �� �� ��������� �������� �� ������ ��� ��7� �� ������ ��������� �� ��� 56,� ��������

����� ��� ������ �������������� ����� ������ ��� ���B����� �� ������ ��$ �� ���� ����� ��

����� ������ ���� ��� ���B����� ��� � ���� �� �� ����� �� ������� �-����� �����

���������$ �� ������ @$* �� ���� ��� ������ ��������� ����� �� � ,����� ������� �� � �

���� !� �� ��� �������� ����$ �� �� ��� ����� �� � ���� ����� �� ��� �������� �� ���

��������� ���� �� ���� ��� ��� ��� �������� ���������$

(9

Page 25: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

%���� @$*@G �� ��� �� ������ �� , ���� �,�)/� 0��$

������ �������������� ����� �������������� ��� �� ����� ����� ��� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� �����

� �

*2� *2 @$:9.�2( *$9:.�2* @$9@.�2( C$>?.�2((2� (2 :$:9.�2@ ($9: ($28.�2( ($8* ?$:9.�29 C$9> 9$@?.�2@ @$??92� 92 *$:>.�2@ *$>? 9$CC.�2@ ($*> ($>:.�29 *$@? ?$>(.�29 ($9:82� 82 9$@9.�29 *$>: *$*>.�2@ *$>@ >$:>.�2: 9$>@ *$29.�29 ($>@

*:2� *:2 *$28.�29 ($2* @$2@.�29 *$>8 *$C8.�2: ($:( 8$C:.�2: @$:2� �

*2� *2 *$@8.�2( ?$*8.�2( ($(9.�2( 9$?:.�2((2� (2 *$C9.�2@ @$*: :$?*.�2@ @$9( *$**.�2@ 9$@9 9$:?.�2@ @$@C92� 92 *$8C.�29 @$2: *$C@.�2@ ($*@ *$2@.�29 @$9@ 9$(?.�29 @$9C82� 82 *$@(.�2C @$82 8$:?.�2C 9$*C @$?9.�2: 9$?8 *$8>.�2C 9$C2

*:2� *:2 *$:C.�2: @$2: *$(2.�2C ($8C @$92.�28 :$?8 9$8?.�2? C$(8� �

*2� *2 8$2C.�2@ C$?*.�2( ($:2.�2( 9$8:.�2((2� (2 @$:*.�29 9$98 ($*?.�2@ 9$?( *$*@.�2@ 9$C( :$*@.�2@ ($>>92� 92 ($8@.�2C @$:8 ($9>.�29 @$*@ ($@8.�2C C$C? >$(2.�2C :$2:82� 82 *$*C.�2: 9$:( C$C?.�2: C$98 >$9:.�2? 9$:C C$*>.�2: 9$*C

*:2� *:2 9$C2.�28 9$:8 @$@*.�2? 9$2? 8$C>.�2> :$?8 *$(*.�2? C$9(

(C

Page 26: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

%���� @$*9G �� ��� �� ������ �� , ���� �,�)����� 0��$

������ �������������� ����� �������������� ��� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� �����

� �

*2� *2 ($?8.�2( *$22.�2* @$9*.�2( C$:?.�2((2� (2 C$@:.�2@ ($@? *$@@.�2( ($>* >$2*.�29 C$(9 9$8(.�2@ @$C:92� 92 *$CC.�2@ *$?> 9$*2.�2@ *$?2 ($>>.�29 *$C> 8$2C.�29 ($C882� 82 9$*:.�29 *$>2 *$2?.�2@ *$>9 >$:(.�2: 9$>: *$2(.�29 ($>8

*:2� *:2 *$29.�29 ($22 ($?2.�29 *$>8 *$C?.�2: ($:* 8$:*.�2: @$C?� �

*2� *2 ($@9.�2( >$*>.�2( ($9:.�2( 9$>?.�2((2� (2 *$92.�2@ 9$2: 9$*?.�2@ 9$9: *$*?.�2@ 9$92 9$>*.�2@ @$@992� 92 *$9C.�29 @$(? *$2C.�2@ *$>> *$2:.�29 @$9: 9$@9.�29 @$C282� 82 :$>8.�2: 9$@8 @$?>.�2C 9$?> 9$2>.�2: 9$?2 ($@:.�2C 9$(2

*:2� *:2 ?$8>.�2? @$*9 C$2(.�2: ($>* @$?C.�28 :$?? C$9C.�2? C$99� �

*2� *2 :$(@.�2@ ($:8.�2( ($:*.�2( 9$89.�2((2� (2 @$:?.�29 9$28 *$:9.�2@ 9$2@ *$*8.�2@ 9$9? :$(?.�2@ ($>C92� 92 ($C8.�2C @$8@ *$((.�29 @$?9 ($@(.�2C C$:? 8$?(.�2C :$*?82� 82 *$2C.�2: 9$:( C$@C.�2: 9$C( >$@:.�2? 9$:@ C$2>.�2: 9$*2

*:2� *:2 @$@?.�28 9$>: *$?*.�2? 9$>: >$:2.�2> :$:* *$(?.�2? C$@@

(:

Page 27: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

%���� @$*CG �� ��� �� ������ �� , ���� �,�$

������ �������������� ����� �������������� ��� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� ����� �� ����� �����

� �

*2� *2 ($:@.�2( 8$@*.�2( @$@:.�2( C$99.�2((2� (2 C$C>.�2@ ($(@ *$@9.�2( ($:@ *$?>.�2@ 9$(@ 9$(*.�2@ @$:>92� 92 *$C:.�2@ *$89 9$*(.�2@ *$?2 ($(@.�29 @$22 9$>?.�29 @$2882� 82 9$*:.�29 *$>* *$2?.�2@ *$>9 *$@*.�2C 9$2> *$@?.�29 *$8:

*:2� *:2 *$29.�29 ($22 ($?2.�29 *$>> *$C*.�2: @$*( 8$@:.�2: 9$2@� �

*2� *2 ($9?.�2( 8$>?.�2( ($@?.�2( 9$88.�2((2� (2 @$*@.�2@ ($>8 *$::.�2( ($9@ *$:@.�2@ @$8: C$*8.�2@ @$(992� 92 @$2>.�29 @$@9 ($((.�2@ ($>* *$:9.�29 @$@( ?$9C.�29 ($8282� 82 ?$9:.�2: C$@? C$*9.�2C C$9@ *$8:.�2: :$9: C$>?.�2: :$>:

*:2� *:2 ?$89.�2? @$(C C$**.�2: @$@@ :$28.�2> 8$(: @$9*.�28 ?$9C� �

*2� *2 *$98.�2( C$*C.�2( ($C> .�2( 9$8:.�2((2� (2 @$((.�2@ ($(2 >$(*.�2@ ($98 *$C(.�2@ 9$2> :$:*.�2@ ($8892� 92 @$9*.�29 @$(9 *$92.�2@ ($?( >$(@.�2C 9$29 @$2C.�29 9$9982� 82 @$*2.�2C @$9: ($*(.�29 ($?( *$29.�2C @$*C C$C(.�2C ($9?

Time

||Div

H||

0 25 50 75 100

10-1

100

P1: 80*80

P1: 120*120

P2: 40*40

P2:80*80

P3: 40*40

P3:80*80

������ @$*G %�� ��������� �� , ������� �� � � ��� ��� �������� ��������$

(?

Page 28: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

� �������� ��� ���

,����������� ������� ������ ����� � ������ �������������� ������ ��� ����� ��� � ��

�� ���� �-����� ��� ������� ��� !�"���� �#�������$ &���� � <��� ���B����� ���� � ��������

�������������� ������� ��� �� ����� �������� �������� '�)*+��� ����� ����� �� ���

��� ��� ������ � ��� '(�)*+��� ����� ����� ����� �������������� ��� �� �� �� �����

���� ����� ��� �������� �������������� ������ ��� �����$ %��� � ����� ���� ��� ��������

�������� ������� ��� <��� ���B����� �� ������� ���� ������ ���� �� ��� ��� ��� ������ �

��� �� ��������� ����� ��� ��� �� ���� �� ��� ������ ���� ��� ������� ��� ��� ��$

��������

1*3 �$&$ ���� �$/$ S�������� ��� =$&$ 6��������� � �� � ���� �� ����� ��� ���

�� ����� ����� ��&! S������ �� /� ����� &������� �(? '*>>2+ ��$*9::�*98C$

1(3 ,$�$ ������� ��� ,$�$ ����� � ������� ��� ���� ��� �� �� � �� ���� �������

���� �� ���� ���� �� ����� � ��� � ���������������� � � ���� ��� S������

�� �� ���������� 0����� �*9> '*>>>+ ��$(?2�(>($

1@3 5$ ������ 6$,$ ,����� ��� S$ �������� ����� ����� � �� � ��� ������ ���

�������� �� ��� &������ /� ����� !���� ���� �*9 '*>>9+ ��$(CC�(8@$

193 S$ ��� ��� ��� %$ ��� � ���� � ���� ��� �!���� ����� ��� " ���� # �� �

���� !���� ���� �� �� �������� �:? '*>>8+ ��$>2*�>*:$

1C3 �$ ���77� S$ ,������ S�$ ��� �$,$ !����� $�� ��� � �� � �� �� � ���� ���

����� ���� �� � ������ /� ������ !���� ��� �9? '*>8C+ ��$(*?�(@C$

1:3 0$ ������� $� �� � ��� ������ ��� �� � ������ /�����A������ & ������

*>?C$

(8

Page 29: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

1?3 �$ ������ % ����� ����� ���� � ������ ��� ������ �� ��� ���� ������ ��

& �� '��� #����� ��� (������� ��� ���� �� %$S$ ����� ��� A$ ,����� �������

������ /���� �� �� ���������� ����� ��� .���������� ���� � > �������� *>>>

:>�((9$

183 �$ ������ �$ A�� ��� �$��$ ��� $� "��� )���� ��� ���*�� �� � ����� �����

���� � �� � ��� ����� ��� �������� �� ��� +,- �� ��� � ��� ��� ���

!���� ���� �� �� �������� �C9 '*>>2+ ��$C9C�C8*$

1>3 �$ ������ �$ 6��������� ��� �$��$ ��� $� ������� �� � ����� �����

���� � ������ �� % ����� ����� ���� � #�����- $����� (������� �� ��� ��

� ��� ��� �$ ������ �$ 6��������� ��� �$��$ ��� ������� ������ /���� �� �� �

���������� ����� ��� .���������� ���� � ** �������� (222 0��� �G =������� @�C2$

1*23 �$ ������ �$�D$ ��� ��� �$��$ ��� $,. "��� )���� ��� ���*�� �� � ����� ��

��� ���� � �� � ��� ����� ��� �������� �� ��� +++- �� � ��� ��� ������

S������ �� �� ���������� 0����� �89 '*>8>+ ��$>2�**@$

1**3 �$ ������ !$ ����� �$��$ ��� ��� .$ �T��� /������ �������� �� ���� ������ ��

��� �� � ��� ������ ��� ������ � !��� ��� !���� ���� �� �� �������� �?(

'(22@+ ��$C??�:2:$

1*(3 �$ ������ ��� �$��$ ��� $,. "��� )���� ��� ���*�� �� � ����� ����� ���� �

�� � ��� ����� ��� �������� �� ��� ++- ���� �������� !���� ���� �� �� �

�������� �C( '*>8>+ ��$9**�9@C$

1*@3 �$ ������ ��� �$��$ ��� $� "��� )���� ��� ���*�� �� �0 � ����� �����

���� � �� � ��� ����� ��� ����� �������� �� ��� !���� ����� !��������

��� /� ����� &������� '%�&'+ �(C '*>>*+ ��$@@?�@:*$

(>

Page 30: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

1*93 �$ ������ ��� �$��$ ��� $� "��� )���� � ����� ����� ���� � ����� ��� ���

����� �� ��� ,- ��� � ��� ��� ������ S������ �� �� ���������� 0����� �*9*

'*>>8+ ��$*>>�((9$

1*C3 �$ ������ ��� �$��$ ��� $� ��� � ����� ����� ���� � ����� ��� � �

������ ������ �� � 1�� �� ������ ��&! S������ �� /� ����� &������� �@C

'*>>8+ ��$(992�(9:@$

1*:3 �$ ������ ��� �$��$ ��� "��� )���� % ����� ����� ���� � ������ ���

������ �� ��� ���� ������ S������ �� ������< �� ������ �*: '(22*+ ��$*?@�

(:*$

1*?3 �$ �������� �$��$ ��� ��� .$ %�� �� ������ ���� �� ����� �� � �� ���� � �

� ���� 2�� �� ������ ��&! 5����� �9@ '(22*+ ��$8>�**($

1*83 S$�$ A�������� ��� %$ ��������� ���� � �� ���� ������ �� ����������� �� ��3 +3

� � ���� � ���� �� �� #���4� !��� ��� S������ �� �� ���������� 0����� �*8*

'(22(+ ��$*8:�((*$

1*>3 �$��$ S���� ��� �$��$ ��� '� � ������ �!�� �� ��� � ����� ����� ���� � ���

��� !���� ���� �� �� �������� �:( '*>>9+ ��$C@*�C@8$

1(23 =$&$ 6��������� ��� �$/$ S�������� � ���������� �� �� � ��� ����� ��� ��

���� ����� ��� � ����� !��� ��� ��&! S������ �� /� ����� &������� �@C '*>>8+

��$>@�*(2$

1(*3 0$ ������� ��� 0$&$ 5������ '� � �� � ��� ����� ��� ��� �� �� ������ �����

���� !��� �� !���� ����� ������ �� <���� ��� ���� �� ������� ��-�������� �#�������

'�$ �� ���� ��$+ &��� � 0���� *>?9 ��$8>�*9C$

@2

Page 31: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

1((3 �$�,$ !��7 0$ = ��� 5$ �������� .$ ��������T��� ��� L$ 4�� % ����� ���

��� �� ���� !�� ��� #��� ����� ���� �� � ������ � ��� S������ �� �� ���

�������� 0����� �*:* '(222+ ��$989�C**$

1(@3 �$A$ 5��� ��� %$ 5$ A��� $� ������ ��� ������ ��� ������ ��������� !��� ��

%��$ 5����� �&�L5�?@�9?> ��� &�� �� ������< ���������� *>?@$

1(93 S$ 5��� �$��$ ��� ��� A$ &���� /���� �� �� � ���� ������ �� ���� !� ��� �� � �

���� ����� ���� � ����� ��� ������ � !��� ��� � �� ��� ��� �� �� �� ��������� �

����� ��� ����� �� ��&! S������ �� ������< �� ������$

1(C3 �$��$ ��� $,. �� ����� � �� ���� ����� ��� �������� �� ��� !���� ���� ��

�� �������� �9> '*>8?+ ��$*2C�*(*$

1(:3 �$��$ ��� ��� �$ =���� /� �� ������� �� �� ���� �� ��� ��� ����� �����

������ �� ����� S������ �� �� ���������� 0����� �?? '*>88+ ��$9@>�9?*$

1(?3 6$�$ D�� ���� �� ���� �� �� � � � �������� ��� ������ ���� �� #���4�

!��� ��� � ������ � �� � �... %���������� �� &������ 0���������� &0�*9

'*>::+ ��$@2(�@2?$

! "������

�� ���� �������" �� ������� � ��� �� ������� ������� �� ��� � ��� �������� �� ��� ���

���B����� ���� ��� �������� �������������� �������� ������ ��� ����� ��������� �� ������

($ %�� ���� ���� �� �� ����� ��� ��� �� � ������� ����� ��� ����� �� ������� �� ������

�� �� �� ���� �� ��������� ��� ���������$

&�� "�� � & ����

�� <��� ��� �� ��� ���������� ��� ��� � ���� ����� '��� + ���� ������� K���K ���

����� ��� ��� ��� �� �������� ��� ��� ����� ��� ������� ���������������$

@*

Page 32: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

& ������� � � �#�� ��������� �� ���� ��� ��� � �� �� ������� ��

� H �

���

��U�

H ��

�*2

�) ��

�K�� J��K J�

�) ��

�J�2

�) ��

�2*

�) ��

�2J�

�) ��

�K��'*( J�

� � *+�(9K J� J�

�) �

��(9K�� J� J�K'*( J�

� � *+

��

��� ��� ��� �� � ������� ����� ��� � H *� � � � � 9 ��� (�))� J� (�))� J� (�))� J� (�))� J� $

%��� ��� ��������� ���������

�� H(� ) (�(

� (�� K��� �� H(� � (�K��

� �� H(� ) (�(

� (� K

�� H)� ) )�(

� � H)� � )�(9 K��

� �� H)� ) )�(

� �� H)� � )�(9 K

�� ���� �� ��� ���������

'(� � (�+ K ) '(� � (�+ K�� H 2

���� � �� ��� ��� ��� ���� � �� �������������� �� ���� ��� ���� �� �� �����<��$ %���

�� ���� ��������� ��� �� �� ����� (�� )� �� � H *� � � � � 9 �� ��� ������� �� ������ ��� ����

��� ��������� �� (�$

�� ��� ������� ��� ����� �� ��� I ��� ���� � ������� �������� ��������� ���

�� ������ '���� ���� ����� �� ��� ���������+$ ��� ��� ���� � � � �� ���� ��� �����������

������ �� ������ ��� V)E ����� )� �� �� ����� ����� ��� (�*�� '���� ��� ����� ��� *��

���������� ��� ����+ ������� �� ������ ������������ �� V)E$

&� ��� V(E ��� ��������� �� � ������ ��� ��� � �������$ ��� ��� � � � <��� �� (� ��

�� ��������$ A������ �� ��� ��� ��� ����� �� ��� ��������� ��� ��� ���� (�� ������� �� ����

��� �� �� <����� ���� �� ���� ����� ��� *� �) * ������� �� ������ ��� V(E ��� ��������� ��

'����� �� ��� � ����� ������ �� (�*� ��*� � ������� �� ������ ��� ����� ����� ���

������� ���� *��� * ����������� ���������� ���� ��� ������� �� �������������� �� ���

���+$ �� �������� �� �� ����������� �� �� � ��� �� ����� ��� �� ���� *� � ) * �����

����� ��� ������� �� ������ ��� V(E$

@(

Page 33: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

=�� ��� ������� �� ������ ��� ����� �� �� ��<�� ��� ����� ��� �#�� �� ��� �� �������

��� ������ �� ������ �� * ��� ��� ���� �� 2$ /���� � ����� ������� ������� �� ��� )�

B��� ��� � ������� �� ������� ���� ��� ��� ��� ������� �� V(E �� #���� ������F ���� ��;��� ���

������ ������ �� ��� �������������� ��������$

��� ����� ����� �������� ������� �� V)E �� �� �� ��� ����� ��� ������ �� ��� ��� ����

������� ��� ����$ &� ��� ��� ����� �������� ������� �� V(E ���� ���� ���� ���� ������

������� ����� �� � ������ �� ��� �� ����� ��� ����� ����� �������$ �� ��� ��� ������

����" ������� �����#�� �� ����� ��� ������� ��� ��� ������������ ������ �� ���

����� �������$ %�� �� � �����#�� �� ���� ���� �� ����� ��� ���B����� ����" ��� �� ���

���������� ��� ����� ��7�$ %�� ���B����� ����" �� �� ����� �� ���� �������� ��<����

���� ������� �� �� ��� ��� ������������� ��B������ �������� '��+ ����� �� ���� ���

��� ���B�����$ %���� �����#��� ��� ���� ���� ��� ��� � � ���� �������� ����� ���� � + *$

&�� "�� � / ����

%�� � � ��� ��� �������� ��� �� � ������� �� ��� � � ���$

&��� ��� � � �#�� ��� ��� ��������� ��� �� �� ��� ��� �G

� H������

��U�

H ��

�*2

�) ��

�K�� J��K J�

�) ��

�J�2

�) ��

�2*

�) ��

�2J�

�) ��

�K��'*( J�

� � *+�(9K J� J�

�) �

��(9K�� J� J�K'*( J�

� � *+

�) ��

�*( J� � � *

2

�) ��

�2

*( J�� � *

�) ���

�K��'9 J�

� � J�+�K'*( J�

� � *+ J�

�) ���

��K�� J�'*( J�

� � *+K'9 J�

� � J� +

��

��� ��� ��� �� � ������� ����� ��� � H *� � � � � 9 ��� (� ) )� J� ) ��'*( J�� � *+ (� ) )� J� )

��'*( J��� *+ (�) )� J� ) ��'*( J�

�� *+ (�) )� J� ) ��'*( J��� *+ ���� ��� ��������� ���������

@@

Page 34: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

���� �� �� �����<��

�� H(� ) (�(

� (�� K��� �� H(� � (�K��

� �� H(� ) (�(

� (� K

�� H)� ) )�(

� � H)� � )�(9 K��

� �� H)� ) )�(

� �� H)� � )�(9 K

�� H�� ) ��(

� ��� H�� � ��K��

� �� H�� ) ��(

� ��� H�� � ��K

�� ���� �� ��� �� � ��������� �� �� ��� � � ���

'(� � (�+ K ) '(� � (�+ K�� H 2

%��� �� �� ����� (�� )� �� #� ,� � H *� � � � � 9 �� ��� ������� �� ������ ��� ���� ���

��������� �� (�$

/�� ����� ��� ����� ������ �� ������� �� ������ ������������ �� V(E V)E V�E$ %�� �����

�������� ������� �� V(E ����� ��������� ��� ������ ������ �� ��� �������������� �������� ���

���� ���� ���� ���� �������F ����� ������� �� V)E ��� V�E ��� ���� ��� ��� �� ��� ��� �

��� ��� ��� �������$ %�� �� ������ �� �#�� �� C�*� � ) *$

/���� ���� �� � � ��� V�E ����� ����� �������� ���� ��� �� � ������� �� ������� �� ���

V)E ����� �� �������� �� B��� ���� �� ����� ��� ������� �� ��� V(E ����� ��� ���� �� ��� V)E

�����$

@9

Page 35: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

&�� "�� � 3 ����

&��� ��� � � �#�� ��� ��� ��������� ��� �� �� ��� ��� �G

� H������

��U�

H ��

�*2

�) ��

�K�� J��K J�

�) ��

�J�2

�) ��

�2*

�) ��

�2J�

�) ��

�K��'*( J�

� � *+�(9K J� J�

�) �

��(9K�� J� J�K'*( J�

� � *+

�) ��

�*( J� � � *

2

�) ��

�2

*( J�� � *

�) ���

�K��'9 J�

� � J�+�K'*( J�

� � *+ J�

�) ���

�K��'*( J�

� � *+ J��K J�'*( J�

� � *+

�) ���

��K�� J�'*( J�

� � *+K'9 J�

� � J� +

�) ���

�(2 J� � � @ J�

2

�) ���

�2

(2 J�� � @ J�

�) ���

�K��'82 J�

� � (9 J�� ) *+�*: K'(2 J�

� � @ J�+ J�

�) ���

��*: K��'(2 J�

� � @ J� + J�K'82 J�

� � (9 J� � ) *+

���� ��� ��� �� � ������� ����� ��� � H *� � � � � 9 ���

(� ) )� J� ) ��'*( J�� � *+ ) ��'(2 J�

� � @ J�+�

(� ) )� J� ) ��'*( J�� � *+ ) ��'(2 J�

� � @ J� +�

(� ) )� J� ) ��'*( J�� � *+ ) ��'(2 J�

� � @ J�+�

(� ) )� J� ) ��'*( J�� � *+ ) ��'(2 J�

� � @ J� +�

�� ���� ���� ��� ��������� ���������

�� H(� ) (�(

� (�� K��� �� H(� � (�K��

� �� H(� ) (�(

� (� K

�� H)� ) )�(

� ( K������ � H)� � )�(9 K��

� �� H)� ) )�(

) ( K���� �� H)� � )�(9 K

�� H�� ) ��(

� ��� H�� � ��K��

� �� H�� ) ��(

� ��� H�� � ��K

��� H�� ) ��(

� ��� H�� � ��*: K��

� ��� H�� ) ��(

� ��� H�� � ��*: K

��� ���� ��� �� � ��������� �� �� ��� � � ���

'(� � (�+ K ) '(� � (�+ K�� H 2

@C

Page 36: Locally Divergence-Free Galerkin Methods.pdf

�� ��� � ���� �� �� ��� ��<�� ���� ������ �� ����� �������� ������� �� V(E V)E V�E ���

V�E B��� ��� �� ��� � � � � ����$ A������ �� �� ��� ��� ����� (�� )� ��� �� #� ,� �� � H *� � � � � 9

�� 7���� ��� ��������� ���� �� ����

�� H �( K������ �� H ( K���

%��� �� �� ��� ������� E������E ����� ������� ����� ������� �� B��� � ������ ��� ���

��� ���� ����� ������� ���� ��� � � ��� ��� ��������� �� ��� ��� �� � ������ �� ���

������� �$ %��� ����� ������� �� �� ������� ��

�( K��

�J�2

�) ( K

�2J�

�)

�K��'*( J�

� � *+ J��K J�'*( J�

� � *+

�H

�K��'*( J�

� � @+ J��K J�'*( J�

� � @+

%�� ���� �� ��� �� � �� �� ��� � �� � � ����$ %�� �� ������ �� �#�� �� 8�*� � ) *$

&� ��� ���� ������ � �� � � �� ���� �������� �� �� ��������$ �� ����� ������� ���

�� �� �� �� ��� ������G ���� � �� ������� ������ ��� �� ��� �� ������ ����� ��������

���� ������� ������� ��� �������� �� �#�� ���� ���� �� ����� ���� �������� ������ ���

��� ���$ &������ ����� �� ���� ��� ��������� �� ��������� ��� ��� � ���������� ����� ��

���� �� ���� ���� � ��� �� ������ �� ����� �� ��� V(E �� ��� ���� ����� ���� ���� ����

��� ������ ������� �� ���� �� <���� ��� ��� ����� ��� �� ��<�� ��� ������� �� ������ �����

��� ����$ �� ��� �� ��� ���������� ��������� �� �� �� ��� ����� ��� ��� �� � ������

�� � ������� ����

�����-� ����� �-������ ��� ��� ���������� ����� �� ��� �� �������� �

�$

%��� �������� ��� ��� ����� ������� �� ������ �� ��� ������ ���$

@: