23 = x

2x = 64

- gradivo drugog razreda srednjih škola -

U mnogim školama mnogi se profesori susreću sa činjenicom da su logaritmi učenicima

teško razumljivi i da im stvaraju velike probleme. Razlog toga leži u mnogim formulama

i nedostatnom objašnjenju zašto logaritmi uopće postoje i zašto se uče. Profesori

nerijetko podcjenjuju mlade umove koji su pred njima i zakidaju ih za informacije koje

su im bitne. Naravno, ne postoji uvijek samo jedan krivac, na učenicima je odgovornost

da postave pitanje ako im nešto nije jasno. Zašto oni to ne čine i koji su krivi načini kako

to učiniti je sasvim druga tema. Krenimo rješavati problem logaritama, sada znaš da

nisi jedini/jedina koji s njima ima problema

1. ZAŠTO NAM TREBAJU LOGARITMI?

Sjećaš li se potencija? Tada si rješavao/rješavala zadatke tipa:

pitali smo se što je taj naš x. No što kada imamo ovakav zadatak:

želimo rješiti jednadžbu odnosno otkriti što je naš x?

Sada dolazimo do logaritamske funkcije koja je obrnutog smjera od eksponencijalne.

I otkrili smo zašto nam u stvari logaritmi trebaju, sada tek možemo ići dalje na njihovo

definiranje i rješavanje.

EKSPONENCIJALNA I

LOGARITAMSKA FUNKCIJA

SU MEĐUSOBNO INVERZNE

FUNKCIJE.

2x = 32

2x = 25

x = 5

log232 = 5

2. DEFINICIJA LOGARITMA

Nakon što smo odredili svrhu logaritama vrijeme je da ih definiramo. Pokazat ćemo

kako možemo iz eksponencijalnog zapisa doći u logaritamski.

EKSPONECIJALNI LOGARITAMSKI

To ćemo za eksponencijalni zapis pročitati: „Baza a na x potenciju je y“, za

logaritamski zapis ćemp čitati; „logaritam po bazi a od y je x“.

Evo primjera:

No taj primjer nam samo govori kako iz potencija preći u logaritme, još nismo došli do

zadataka, zar ne? Evo najjednostavnijeg primjera zadatka vezanog uz definiciju logaritma:

1.Zadatak:

Izračunaj logaritme:

a) log232 b) log5125 c) log381

Riješit demo a) primjer:

Bazu stavimo na prvo mjesto, a kao njenu potenciju stavimo x, jer nam je to nepoznanica odnosno

rješenje zadatka do kojeg trebamo dodi, a izjednadimo sa 32 s druge strane:

Sada broj 32 trebamo napisati kao neku potenciju broja 2, možemo se poslužiti i

kalkulatorom no prvih nekoliko potencija brojeva 2,3,4,5 uvijek je dobro znati.

Kada smo u ovom zapisu prisjetimo se pravila u računanju sa potencijama koje nam

kaže da ako su baze jednake, jednake su i potencije, pa brojke 2 možemo maknuti.

Kada smo konačno otkrili koliko je naš x trebamo ga još samo zapisati kao rješenje

logaritma.

Ovo je sada pravilno zapisano rješenje zadatka:

Probaj sam/sama rješiti primjere pod b) i c).

ax = y logay = x

32 = 9 -> log39 = 2

logx = logy - iz ovoga...

x = y - slijedi ovo, ako su iste baze

logaa = 1 - logaritam po svakoj bazi od baze je 1

3. VRSTE LOGARITAMA

Logaritme djelimo na vrste ovisno o njihovoj bazi, ta baza može biti bilo koji pozitivni

broj veći od 1. Ako je baza logaritma 10 tada taj logaritam nazivamo „DEKADSKI“ i ne

pišemo mu bazu. Dakle, ako vidiš slićan zapis ovome: log6 to je isto kao da piše log106.

Dekadski su logaritmi ti koje možemo računati uz pomoć kalkulatora.

Drugi poseban slučaj je kada je baza 2,7182818 odnosno e, taj logaritam nazivamo

„PRIRODNI“ . Njegov zapis izgleda ovako ln6 što je isto kao da piše loge6.

4. PRAVILA LOGARITAMA

Kada smo definirali i objasnili logaritme vrijeme je da krenemo sa njima i računati. To

radimo pomoću pravila koje ćemo podjeliti na osnovna i dodatna.

OSNOVNA PRAVILA :

loga1 = 0 - logaritam po svakoj bazi od broja 1

je 0

DODATNA PRAVILA

Rješit ćemo po jedan primjer vezan uz svako od ovih pravila

1.) log30 = log(3*5*2) = log3 + log 5 + log2 = (iskoristimo kalkulator kako bi došli do

slijedećih rješenja za pojedine logaritme) =0.47712 + 0.69897 + 0.30103

2.) log 1.5 = log (15/10) = log15 – log10 = 1.17609 – 1 = 0.17609

3.) log154 = log (3*5)

4 = 4 * log (3*5) = 4* (log3 + log5) = 4* (0.47712 + 0.69897) =

= 4* 0.47712 + 4* 0.69897 = 1.90848 + 2.79588

4.) log37 = 1 / log73

5.) log43 želimo napisati sa bazom 10 kao dekadski logaritam, tada pišemo:

= log3/log4

6.) log325 = (1/2) * log35

Sada kao i sa svakim drugim gradivom iz matematike treba vježbati, vježbati i samo vježbati.

Kako bih ti i u tome pomogla, u sljedećem dokumentu možeš vidjeti brojne zadatke koji ti mogu

poslužiti za vježbu. Sretno!

1. logax + logay = loga (x * y)

2. logax – logay = loga (x/y)

3. logaxr = r * logax

4. logba = 1 / logab

5. logax = logbx / logba

6. logarx = (1/r)* logax