logarithme d’une puissance. de ridder manon.. ln aⁿ = n ln a n = 0 ln aº = 0 ln a ln 1 = 0 0 =...
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Logarithme d’une puissance.
De Ridder Manon.
ln aⁿ = n ln a
n = 0
ln aº = 0 ln aln 1 = 0 0 = 0
Ok
n = 1
ln a ¹ = 1 ln aln a = ln a
Ok
• La règle de calcul est évidente dans le cas où :
ln aⁿ = n ln a
• Si n est un nombre strictement positif,
Alors aⁿ = a. … .a n facteurs
Et ln aⁿ = ln a + … + ln a
n termes
ln aⁿ = n ln a
ln aⁿ = n ln a• Si n est un nombre strictement négatif,
Alors q = - n est un nombre entier positif,
et aⁿ =
D’où :
ln aⁿ = ln 1 –
ln aⁿ = n ln a
= - q ln a = n ln a
ln aⁿ = n ln a
• Si n est un nombre rationnel non nul,
Alors n peut s’écrire r/s
r étant un nombre entier non nul et s un naturel non nul.
D’où :
aⁿ =
ou encore =
On a mis à l’exposant s les 2 égalités
ln aⁿ = n ln a
Égalons les logarithmes des deux membres de la dernièreégalité après avoir appliqué les règles de calcul déjàdémontrées:
ln = r ln a (car r Є Z)
et ln = s ln aⁿ (car s Є N)
D’où : r ln a = s ln aⁿ
et ln aⁿ = r/s ln a = n ln a
ln aⁿ = n ln a
La formule est démontrée dans les rationnels et acceptée dans les irrationnels.
ln aⁿ = n ln a (avec n Є Q)
ln aⁿ := n ln a (avec n Є R\Q)
égal de définition
ln aⁿ = n ln a
J’espère que cela vous a aidé àcomprendre la démonstration.
De Ridder Manon.