FAÇA A DIFERENÇA - LOGARÍTMOS

Tópicos de ajuda – ( T.A )

Neste T.D. você terá tópicos de ajuda para resolução em algumas questões. Cada tópico possui o seu código apresentado logo aqui abaixo e, após o enunciado de cada questão.

Definição (Def.): log a b = x a x = b. Em que a, b R, b > 0 e 0 < a ≠ 1.

Nomenclatura (N): a e c são base do logaritmo; b logarítmando ou antilogarítmo; x logaritmo.

Conseqüências da definição (C.Def.):1.°) log a 1 = 0 2.°) log a a = 1 3.°) loga a n = n 4.°) a log

a b = b

5.°) loga b = loga c b = c

Condição de existência (C.E): b > 0 Existe loga b e 0 < a ≠ 1

Propriedades dos logaritmos e decorrências

Sejam 0 < a ≠ 1, b > 0 e 0 < c ≠ 0, temos:

A.1 – logaritmo de um produto loga ( b . c) = loga b + loga c

A.2 – logaritmo de um quociente log a (b / c) = loga b – loga c

A.3 – logaritmo de uma potência loga bp = p. loga b

A.4 – log ap b = ( l/p).log a b

A.5 – log a b-1 = loga (1/b) = - loga b

A.6 – log (1/a) b = log a-1 b = -1. loga b

A.7 – cologarítmo colog a b = - log a b = log a (1/b)

A.8 – logaritmo de uma raiz log a n√ b = (1/n) log a b

A.9 – Mudança de base: log a b = (log c b / log c a)

A.10 – Conseqüências da mudança de base: 1.°) log a b . log c a = log c b 2.°) log a b = 1 / log b a A.11 - log a b. log b a = 1 log b a = 1 / log a b

A.12 – Usar artifício, por exemplo: log a x = y

EXERCÍCIOS DE REVISÃOExerc í cios de revis ã o . Com certeza você já ouviu falar nisso. Pois é. Habitue-se a rever, periodicamente, os estudos feitos. Reler e refazer cuidadosamente lições já estudadas é um exercício de revisão. Agindo assim, você está colhendo frutos que não estavam ainda maduros na primeira leitura.

01. (Ccvest) Calcule x = log a b nos seguintes casos:a) b = 625 e a = 5 b) b = 81 e a = 1/3 c) b = 0,0001 e a = 100

d) b = 4√32 e a = 0,125 (T.A Def.) Resp: a) 4 b) -4 c) -2 d) -5/12.

02. (Ccvest) Calcule: a) o logaritmo de 256 na base 2 √ 2 b) o logaritmo de 9/16 na base 2 / √ 3. (T.A Def.) Resp: a)16/3 b) -4

03. (Ccvest) Calcule o valor da expressão: log5 1 + 4 log4

5 + log3 (log5 125) (T.A C.Def.) Resp: 6

04. (Ccvest) Se log 2 = a e log 3 = b, calcule em função de a e b o valor da expressão:

1

E = 10 log (log 3 ) + log (1 + log 2 / log 3 ) (T.A C.Def.) Resp: E = a + b

05. (Ccvest) Calcule A sendo A = 49 log7

2 – 25 log5

3 . (T.A C.Def.) Resp: A = -5

06. (Ccvest) Determinar o campo de existência da expressão log x-3 (7 - x) . (T.A C.E) Resp: S = {x R / 3 < x < 7 e x ≠ 4}

07. (Ccvest) Determinar o domínio da função f(x) = log x-1 (x² - 5x ) . (T.A C.E) Resp: D = { x R / x > 5 }

08. (Ccvest) Resolva as equações: a) log 5 (x² + 3) = log 5 (x + 3) (T.A C.Def) Resp: S = {0,1}

b) log x (14-5x) = 2 (T.A C.Def. e Def.) Resp: S = {2} c) log 1/5 (x² - 4x +4) = 0 (T.A Idem (b) ) Resp: S = {1,3}

d) log 1/3 (x² + 3x -1 ) = -2 (T.A Idem (b) ) Resp: S = {-5,2}

e) log4 [log2 (log3 x)] = 1 /2 (T.A CE, Def.) Resp: S = {81} f) ( log8 x)² - 4 log8 x + 4 = 0 (T.A Ce. Def) Resp: S = {64}

g) log²4 x - 15 = 2 log4 x (T.A CE, Def) Resp: S = {1 /64; 1024}

09. (Ccvest) Sabendo que a, b e c são números reais e positivos e que log10 (a. b) = 12,6 e log10 (a . c) = 0,2, calcule log10 b / c . (T.A A.1 e A.2 ) Resp: 12,4

10. (Ccvest) Resolva as equações:a) log2 (x – 3) + log2 (x – 4) = 1 (T.A CE e A.1) Resp: S = {5}

b) log ( 3m² + 7 ) – log (3m – 2 ) = 1 (T.A CE e A.2) Resp: S ={1,9}

c) log (x + 1) + 2 = log (4x² -500) (T.A CE, A.1 e C.Def) Resp: S = {30}

d) 2 log5 x4 = 10 + log5 x³ (T.A CE, A.3) Resp: S= {25}

e) log (10x² + 5) – 2.log (1 – x ) = 1 (T.A CE, A.3, A.2) Resp: S ={1/4}

f) log2 (4x + 4) = x + log2 ( 2 x+1 – 3 ) (T.ACe, A.2, Def) Resp: S = {2}

g) (2/5) (log x)² + 1 = (5/2) 3 – log x 4 (T.A CE, C.Def.) Resp: S = {100}

11. (Ccvest) Transforme em um só logaritmo: log a + log b – 2 log c . (T.A A.1 e A.2) Resp: log a b / c ² .

12. (Ccvest) Sabendo que log a = 2 , log b = 3 e log c = -6, calcule: log 5√ a ² b ² / c ³ (T.A A.3, A.2 e A.1) Resp: 28 / 5 .

13. (Ccvest) Calcule x Z , tal que : log x + log x + 4 = 24 Log x + 1 log x - 2 5 (T.A CE, A.12 , Def.) Resp; S = {10 000 }

14.(Ccvest) Calcule M, sabendo que M = colog2 8 - colog3 √ 27 . (T.A A.7) Resp: M = -3/2

15.(Ccvest) Sabendo que log a x = 2, log b x = 4 e log c x = 5, calcule log abc x. (T.A A.9 e A.10) Resp: 20/19

16.(Ccvest) Se log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, calcule log √ 140 . (T.A A.3, A.1 e A.3) Resp: 1,073

17.(Ccvest) Sabendo que a, b e c são números reais e positivos e que log (ab) = 12,6 e log (ac) = 0,2, calcule log (b/c).

2

(T.A A.1) Resp: 12,4

18.(Ccvest) Dado que x = log2 3, calcule: a) A = log 36 64 b) B = log 6 9 ( T.A A.3, A.9) Resp; 20/19

19.(Ccvest) Resolva as equações: a) log (2x² + 4x – 4) + colog (x + 1) = log 4 (T.A CE,A.7,C.Def) Resp: S = { 2 } b) log x + 2 log x 10 = 3. (T.A CE, A.9,A.12) Resp: S = {3} c) log √ 2 (x+1) = log 2 (x² - 1) + 1 (T.A CE, A.9,C.Def) Resp:S ={3}

d) log x 2 . log x/16 2 = log x/64 2 (T.A CE,A.9,C.Def) Resp: S={4,8}

e) log 4 (x-3) – log 16 (x-3) = 1 (T.A CE, A.9,A.12) Resp: S = {19}

f) log x 3 + 1 = 5 (T.A CE,A.9,A.12,Def) Resp: S={9,27} 5 – log 3 x 6

g) log 4 (log 2 x) + log 2 (log 4 x) = 2 (T.A CE,A.9,A.12,Def) Resp: S= {16}

20.(Ccvest) Construir o gráfico das funções f(x) = log 2 x e g(x) = log ½ x de R R.

21.(Ccvest) Resolva as inequações : a) log 5 (4x-1) < log 5 3 S = { x R / 1/4 < x < 1} b) log ½ (-x + 4) ≤ log ½ (2x – 2) S = { x R / 1 < x ≤ 2}

c) log ½ (x² - 2x) ≥ -3 S = {x R / -2 ≤ x ≤ 0 ou 1 < x ≤ 4}

d) log 2 (x-3) + log 2 (x-2) < 1 S + { x R / 3 < x < 4 }

22.(Ccvest) Resolva as equações: a) 2 x = 7 b) 9 x – 7.3 x + 10 = 0 (T.A C.Def, A.12, Def) Resp: a) S = {log 7 / log 2} b) S = {0,625; 1,458}

25.(UFC) Se log 7 875 = a, então log 35 245 é igual a: Resp: (a+5) / (a+2)

26.(Uni for) Se 16 x-1 = 1/8, então log 8 x é igual a : Resp: -2/327.(Uni for) O conjunto solução da equação (log x)² - 2 log x + 1 = 0, no universo R, é: Resp ; {10}

28.(UECE) Sejam a e b números reais positivos, b ≠ 1. Se log 2 a + 1 = 6 . Então a.b é igual a : Resp: 64 log b 2

29.(PUC) Se log a + log b = p, então log (1/a) + log (1/b) vale: Resp: -p

30.(C.Chagas) Se log 3 a = x, então log 9 a² é igual a : Resp: x

31.(ABC - Sp) Sendo a, b e c números positivos e diferentes de 1, o valor da expressão Log a b . log b c . log c a é: Resp: 1

32.((Mack) Se log a 2 = m e log a 3 = n, então log 1/a (2/3) vale: Resp: n – m

33.(Fuvest) Se x = log 4 7 e y = log 16 49, então x – y é igual a: Resp: 0

34.(Mack) Se log 2 x + log 4 x = 1 , o valor de x é: Resp: ³√ 4

35.(UEMT) o conjunto solução da inequação ( 1/2) log 2

x < (1/2) ³ é: Resp: { x R / x > 8}

3

36.(Unilus-SP) Ao chegar na sala de aula, Carine pergunta ao professor de matemática: “qual o valor numérico da expressão x + y + z?” Este a responde com certa ironia: “Como queres saber o valor numérico de uma expressão, sem atribuir valores às variáveis?” Agora, eu é que quero saber o valor numérico daquela expressão quando: x = log 2 √ 32 , y = log 0,001 e z = log 2 0,125 ? Resp: -3/2.

37.(UFS.Carlos) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina a produção de madeira, evolui, desde plantada, segundo o seguinte modelo matemático: h(t) = 1,5 + log 3 (t+1), com h(t) em metros e t em anos. Se uma destas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo em anos transcorrido do momento da plantação até o corte foi? Resp : 8

38.( PUC) Um laboratório iniciou a produção de certo tipo de vacina com lote de x doses. Se o planejado é que o número de doses produzidas dobre a cada ano, após quanto tempo esse número passará a ser igual a 10 vezes o inicial? Resp: 3 a e 4 m.

39.(UFG) Suponha que o total de sapatos produzidos por uma pequena indústria é dado aproximadamente, pela função S(t) = 1 000 log 2 (1+t), onde t é o número de anos e S o número de sapatos produzidos, contados a partir do início de atividade da indústria.Determine: a) o número de sapatos produzidos no primeiro ano de atividades da indústria; b) o tempo necessário para que a produção total seja o triplo da produção do primeiro ano. Resp: a) 1 000 b) 7 a.

40.(FGV) Um automóvel vale hoje R$ 20 000,00.Estima-se que seu valor (y) daqui a x anos seja dado pela função exponencial y = a . bx. Sabendo-se que o valor estimado daqui a 3 anos é R$ 15 000,00, pergunta-se: Qual o valor estimado daqui a 6 anos? Resp: R$ 11 250,00.

41.(FMTM) Uma cultura bacteriana apresenta inicialmente uma população de 10 000 bactérias . Após t horas, sua população será de 10 000(1,2) t bactérias. A população da cultura será de 30 000 bactérias após um número de horas igual a: Adote: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48 Resp: 6 horas.

42Resolva os sistemas: a)(UFRN) y – x = 9 log x – log y = - 1 Resp: x = 1 e y = 10

b) (Acafe) log 2 x + log 2 y = log 2 12 x + y = 7 Resp: { (3,4),(4,3)}

c) (Fatec) 3 x+y = 729 log x + log y = log 8 Resp: {(2,4),(4,2)}

d) (FGV) 2 x = 1 / (2 4 + y) log 2 (2x + y) = 1 Resp: {(6,-10)}

“O que você usa muito, deve fazer com alta competência”

ANOTAÇÕES __________________________________

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