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Lógica de enunciados
(o lógica proposicional)
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Ejemplos de enunciados
• Cuba es una isla en el Pacífico
• 2 + 2 = 4
• Vicente Fox es el presidente de Guatemala
• Vicente Fox no es el presidente de Guatemala y sí es el presidente de México
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enunciado
• Secuencia de símbolos (oración escrita o emitida oralmente)
+ Proposición (significado del enunciado en virtud del cual el enunciado es verdadero o falso)
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Enunciados simples
• Tegucigalpa es la capital de Honduras
• 2 + 2 = 4
• El Sol es una estrella
• Vincente Fox es el presidente de México en el año 2005
• La UNAM tiene más de 250 mil estudiantes
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Enunciados complejos• Tegucigalpa es la capital de Honduras y San José es
la capital de Costa Rica
• Juan sabe que Tegucigalpa es la capital de Honduras
• Juan cree que San José es la capital de Costa Rica
• Necesariamente 2+2 = 4
• Es posible que Pedro no sepa que Tegucigalpa es la capital de Honduras
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Enunciados complejos
• Se distingue entre enunciados complejos intensionales y enunciados complejos extensionales
• La base de la distinción es el llamado “principio de sustitución de equivalentes”
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Tegucigalpa es la capital de Honduras y Managua la capital de Nicaragua
• “Tegucigalpa es la capital de Honduras” es equivalente a “Lima es la capital de Perú”
• Lima es la capital de Perú y Managua la capital de Nicaragua
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Paris es la capital de Honduras y Managua la capital de Nicaragua
• “Paris es la capital de Honduras” es equivalente a “Lima es la capital de Argentina”
• Lima es la capital de Argentina y Managua la capital de Nicaragua
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Juan cree que Tegucigalpa es la capital de Honduras
• “Tegucigalpa es la capital de Honduras” es equivalente a
“Roma es la capital de Italia”
• Juan cree que Roma es la capital de Italia
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Juan cree que Montevideo es la capital de Argentina
• “Montevideo es la capital de Argentina” es equivalente a “San José es la capital de Chile”
• Juan cree que San José es la capital de Chile
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Principio sustitución de equivalentes
Sea C una oración compleja, A una oración componente de C, B cualquier oración, y C* el resultado de substituir a A por B en C :
Si A tiene el mismo valor de verdad que B, entonces C tiene el mismo valor de verdad que C*.
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Enunciados complejos
• Enunciados complejos extensionales (respetan siempre el principio de sustitución de
equivalentes)
• Enunciados complejos intensionales (no siempre respetan el principio de sustitución de
equivalentes)
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Operadores
• Intensionales : forman enunciados intensionales (ejemplos: “es necesario que”, “es obligatorio que”)
• Extensionales: forman enunciados extensionales (ejemplos: “y”, “o”, “no es el caso que”
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Operadores importantes del lenguaje coloquial
• y
• O
• Si..., entonces
• No es el caso que
• Si y solo si
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Usos que corresponden a funciones lógicas diferentes
• “y” en “Juan y Pedro son hermanos” tiene un función lógica diferente de la usada en “Juan es alto y Pedro es bajo”
• “o” a veces se usa en sentido exclusivo y otras en sentido inclusivo.
• “Si...entonces” tienen usos extensionales e intensionales
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Es necesario expresar en forma precisa la función lógica de ciertos usos de cada uno de los operadores
mencionados. Con este fin, introduciremos un lenguaje formal,
el cual llamaremos LE
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Lenguaje formal LE:símbolos básicos
• Parámetros de enunciados: letras mayúsculas del alfabeto
• Símbolos lógicos : (, ), , , , ,
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Semántica de símbolos lógicos de LE
• Semántica informal: usando el lenguaje coloquial para interpretar cada símbolo. Por ejm., “” habrá de significar lo mismo que “y”. Problema: ambigüedad y falta de precisión de los operadores coloquiales
• Semántica formal: usando tablas de verdad
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Reglas de construcción de fórmulas de LE
• Todo parámetro de enunciado es una fórmula de LE
• Si es una fórmula de LE, entonces • Si y son fórmulas de LE, entonces (
), ( ), ( ) y ( ) son fórmulas de LE
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Ejemplos fórmulas de LE
• (A B)
• ( A M) (H R)
• ((D B) H)
• (I C) ( A M)
• (A B) (C H)
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V V V
V F F
F V F
F F F
Tabla de conjunción
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V V V
V F V
F V V
F F F
Tabla de disyunción
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V F
F V
Tabla de negación
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V V V
V F F
F V F
F F V
Tabla de equivalencia material
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V V V
V F F
F V V
F F V
Tabla de implicación material
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Símbolo para consecuencia lógica
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Ejemplo razonamiento en LE
AB
B
A
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A B AB
B
A
V V V F F
V F F V F
F V V F V
F F V V V
P1 P2 C
Prueba de validez lógica por tablas de verdad
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Prueba de validez lógica de razonamientos en lenguaje coloquial: procedimiento
• Traducir del lenguaje coloquial a LE
• Determinar la validez de la traducción mediante tablas de verdad
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Si aumentan la inflación y quiebran algunas empresas, entonces aumentará la criminalidad.Aumentará la inflación y alguna empresas quebrarán. Por lo tanto, aumentará la criminalidad.
Un razonamiento en lenguaje coloquial
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Traducción del razonamiento
• A: aumenta la inflación• E: algunas empresas quiebran• C: aumentará la criminalidad
• (A E) C• A E C
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A E C (A E) (AE) C
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
C P2 P1
Prueba de validez de la traducción
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Ámbito de confiabilidad del método
Un razonamiento en lenguaje coloquial será válido intuitivamente, si la traducción de ese razonamiento a LE es dictaminada por el método como un razonamiento válido en LE. Si un razonamiento es intuitivamente inválido, entonces ese procedimiento siempre dictaminará su traducción a LE como inválido.
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Limitación del método
Si un razonamiento en lenguaje coloquial es intuitivamente válido, es posible que el método dictamine que la traducción de ese razonamiento a LE es inválido Origen de esta limitación: el análisis de los razonamientos no penetra en la estructura lógica interna de los enunciados simples, lo cual no revela posibles relaciones lógicas entre las expresiones componentes de los enunciados simples
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Todos los gatos son animalesTodos los animales son mortalesPor lo tanto, todos los gatos son mortales
Ejm. de razonamiento válido no cubierto por el método
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Verdades lógicas de LE:
TODA FÓRMULA QUE RESULTA VERDADERA BAJO CUALQUIER
ASIGNACIÓN DE VALORES A LOS PARAMETROS DE
ENUNCIADOS COMPONENTES DE LA FÓRMULA
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A A A
V V
F V
Ejemplo de tautología
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Sistematización de razonamientos válidos y tautologías de LE
• Mediante un sistema formal axiomático: axiomas y reglas
• Mediante un sistema formal de reglas de deducción natural: sólo reglas
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En el caso de LE, se han construido sistemas
formales que
• Permiten derivar todas las tautologías
• Permiten derivar todos los razonamientos válidos en LE
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Y, por otro lado,
• Todo enunciado derivable de tales sistemas formales es una tautología
• Todo razonamiento derivable de tales sistemas es válido