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Repaso de Teoría de ConjuntosRepaso de Lógica Booleana
Idea de Conjunto Difuso
Lógica Difusa
Hugo Franco, PhD
25 de abril de 2011
Hugo Franco, PhD Lógica Difusa
Repaso de Teoría de ConjuntosRepaso de Lógica Booleana
Idea de Conjunto Difuso
Conjuntos Clásicos
Conjunto: colección de objetos de características similares extraídosde un universo de elementos
Relación de pertenencia ∈: indica que un elemento es parte de unconjunto
Relación de contenencia ⊂: indica que todos los elementos de unconjunto son también elementos de un conjunto mayor. ⊆indica contenencia no estricta (el subconjunto puede serigual al conjunto). A = B ⇐⇒ A ⊂ B∧ B ⊂ A,
Conjunto universal U: todos los objetos del universo en cuestión
EjemplosU = N, U = RA = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . }, B = {1, 3, 5, 7, 9, 11 . . . }
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Idea de Conjunto Difuso
Notación
Representación por extensión: se indican todos los elementos delconjunto en secuencia
Representación por comprensión: dada una propiedad P común a todoslos elementos de un conjunto A, éste se puede representarmediante la descripción
A = {x|x satisface P}
Conjunto vacío ∅: conjunto que carece de elementos
Notación (ejemplos):U = NB = {1, 2, 3, 5, 7, 11, . . . }A = {a ∈ N|a es primo},
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Idea de Conjunto Difuso
Operaciones entre conjuntos clásicos I
Unión ∪ : Conjunto que tiene todos los elementos que están en unou otro de los conjuntos operados,A = {1, 2, 4, 8, 16}, B = {1, 3, 5, 7, 11, 13}A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16}
Intersección ∩: Conjunto que tiene todos los elementos que están a la vezen el primer conjunto y en el segundo conjunto operadosA = {1, 2, 4, 8, 16}, B = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13}A ∩B = {1, 2}
Diferencia entre conjuntos A\B := {x|x ∈ A ∧ x /∈ B}Complemento de A, A : El complemento es el conjunto construido con
todos los elementos del universo que no están en elconjunto, es decir, U\AU = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 5, 7},A = {0, 4, 6, 8, 9}
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Idea de Conjunto Difuso
Notación y Propiedades de la Unión y la Intersección
Theorem
Dados los conjuntos A, B y C de U, se tienen las propiedades
Conmutatividad: A ∪B = B ∪A; A ∩B = B ∩AAsociatividad: (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Distributividad: (A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C);(A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
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Idea de Conjunto Difuso
Colección de Conjuntos y Generalización de Operaciones
Sea Λ ⊆ N un conjunto de índices y λ ∈ Λ un elemento cualquiera de eseconjunto. Una familia de conjuntos es una colección Aλ, potencialmentein�nita, de conjuntos en U
Generalización de la Unión:⋃λ∈Λ
Aλ = {x|∃λ ∈ Λ, x ∈ Aλ}
Generalización de la intersección⋂λ∈Λ
Aλ = {x|x ∈ Aλ∀λ ∈ Λ}
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Idea de Conjunto Difuso
Leyes de de Morgan
En general, se puede probar que
(A ∪B) = A ∩B
y(A ∩B) = A ∪B
Generalizando: (⋃λ∈Λ
Aλ
)=⋂λ∈Λ
Aλ
y (⋂λ∈Λ
Aλ
)=⋃λ∈Λ
Aλ
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Idea de Conjunto Difuso
Producto Cartesiano
Dados dos conjuntos universales U y V, el producto cartesianoU×V se de�ne como el conjunto de todas la parejas{(u, v)|u ∈ U, v ∈ V}. Ejemplo
U = {0, 2, 4},V = {1, 2}U×V = {(0, 1), (0, 2), (2, 1), (2, 2), (4, 1), (4, 2)}
Los subconjuntos de U×V de�nidos a partir de característicasespecí�cas de pertenencia se conocen como Relaciones. Ejemplo (delanterior)
R = {(2, 1), (4, 2)}
que equivale a escribir
R = {(u, v) ∈ U×V|v = 2u}
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Idea de Conjunto Difuso
Función Característica
Dado un conjunto A y un elemento x ∈ U, en lógica booleana
(binaria) se tiene que ∀x, x ∈ A ∨ x /∈ AAsí, la función característica de un conjunto A, denotada por µA(x),se de�ne como
µA(x) =
{0 si x /∈ A1 si x ∈ A
Ej, sea U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3, 5}, B = {2, 4}
1 2 3 4 5
1 1 1 0 1
0 1 0 1 0
μ (u)A
μ (u)B
U={ }
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Idea de Conjunto Difuso
Representaciones mediante la Función Característica �
Producto Cartesiano I
Se puede representar matricialmente una relación mediante la funcióncaracterística asociada a la misma. Del ejemplo anterior
U = {0, 2, 4},V = {1, 2}U×V = {(0, 1), (0, 2), (2, 1), (2, 2), (4, 1), (4, 2)}
R = {(u, v) ∈ U×V|v = 2u}
Entonces
U,V 1 2
0 0 02 1 04 0 1
µR(u, v)
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Idea de Conjunto Difuso
Representaciones mediante la Función Característica �
Producto Cartesiano II
Ejemplo: sobre el anterior, sea la relación
S = {(u, v) ∈ U×V|u+ v ≤ 4}
Entonces
UV 1 2
0 1 12 1 14 0 0
U,V 1 2
0 1 12 1 14 0 1
U,V 1 2
0 0 02 0 04 1 1
µS(u, v) µR∪S(u, v) µS(u, v)
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Idea de Conjunto Difuso
Composición
Se dice que dos espacios U y V están �relacionados� si existe unarelación R de�nida sobre U×V. Al de�nir un conjunto A ⊂ U, sepuede establecer el conjunto B ⊂ V �re�ejado� por la relación R
B = A ◦REn términos de la función característica, se tiene que
µB(v) = max (min (µA(u), µR(u, v)))
Ejemplo: Haciendo sobre el ejemplo anterior A = {0, 2}V
µA(u) U 1 2
1 0 0 0
1 2 1 0
0 4 0 1
µR(u, v)
µB(v) 1 0
Luego el re�ejo (imagen) de A a través de R se de�ne, según sufunción característica como B ⊂ V , B = {1}
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Idea de Conjunto Difuso
Proposiciones, Valores de verdad, Disyunción
Sea U un universo y A ⊂ U. Dado un x ∈ A se de�ne la función deverdad V como
V (x es A) =
{0 si x /∈ A1 si x ∈ A
Disyunción: Sea a la vez B ⊂ U, x ∈ A ∪B ⇐⇒ (x es A) ∨ (x es B),luego
V ((x es A) ∨ (x es B)) =
{0 si x /∈ A ∪B1 si x ∈ A ∪B
luego
V ((x es A) ∨ (x es B)) = max {µA(x), µB(x)}= max {V ((x es A), (x es B))}
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Idea de Conjunto Difuso
Proposiciones, Valores de verdad, conjunción y negación
Conjunción: x ∈ A ∩B ⇐⇒ (x es A) ∧ (x es B), luego
V ((x es A) ∧ (x es B)) =
{0 si x /∈ A ∩B1 si x ∈ A ∩B
y
V ((x es A) ∧ (x es B)) = min {µA(x), µB(x)}= min {V ((x es A), (x es B))}
Negación: x /∈ A ⇐⇒ x no es A, luego
V (x no es A) = 1− µA(x)
= 1− V (x es A)
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Idea de Conjunto Difuso
Sentencias condicionales
Permiten establecer relaciones de dependencia lógica entre proposicionesEstructura: SI [antecedente] ENTONCES [consecuente]Notación: p→ qInferencia clásica: V (p→ q) = V (∼ p ∨ q), esto es:
p q ∼ p ∼ p ∨ q0 0 1 10 1 1 11 0 0 01 1 0 1
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Idea de Conjunto Difuso
Inferencia Clásica
Sean U y V dos espacios, tal que A ⊂ U y B ⊂ V.La sentencia x es A→y es B, según la inferencia clásica, es
evaluada como:
V (x es A→ y es B) = V ((x no es A) ∨ (y es B))
= max{1− µA(x), µB(y)}
La inferencia clásica de�ne una relación
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Idea de Conjunto Difuso
Inferencia Mínimo
Inferencia mínimo: V (p 99K q) = {p, q}, esto es:
p q p 99K q
0 0 00 1 01 0 01 1 1
Sean U y V dos espacios, tal que A ⊂ U y B ⊂ V.La sentencia x es A 99Ky es B, según la inferencia mínima, es
evaluada como:
V (x es A→99K y es B) = min{V (x no es A), V (y es B)}
La inferencia mínimo es más exigente que la inferencia clásica(equivalente a una conjunción)
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Idea de Conjunto Difuso
Conjunto Difuso
Cuando se piensa en conjuntoscuyos elementos tienen una funcióncaracterística que no es binaria, sehabla de conjuntos borrosos odifusos
µA : U→ [0, 1]
De los elementos de tales conjuntosse dice que pertenecen al conjuntoen una cierta proporción (grado depertenencia)
Ej:
µA(a) = 0
µA(b) = 0,4
µA(c) = 1
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