logica e test di ammissione all’università · 2018. 11. 7. · la logica proposizionale nei...
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Logica e test di ammissione all’UniversitàEliana Francot 15 marzo 2018
Frase della lingua italiana
Non Proposizione Proposizione
Una PROPOSIZIONE LOGICA è una frase
della quale si può dire se è
VERA oppure FALSA
Senza alcun dubbio
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Proposizione
Atomica Molecolare
Oggi c’è il sole
Anna è mia sorella
Domani vado in bici o al cinema
Oggi c’è il sole ed è ventoso
Vado in bici se e solo se oggi c’è il sole
Vado al cinema
Oggi è ventoso
Vado in bici
Non è vero che Anna è mia sorella
Se oggi è ventoso allora vado al cinema
Proposizioni
Molecolari
Atomica
Atomica
E
O
NON
Atomica Atomica
Atomica
Atomica AtomicaalloraSe
Atomica AtomicaSe e solo se
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Proposizioniatomiche Connettivi
A
B
C.
.
.
Contenuti del corso
La logica Proposizionale nei Curriculi di Matematica.
La logica nei test di ammissione all’Università
Cenni di Logica proposizionale: connettivi, quantificatori e loro negazione. Le
regole di inferenza.
II Parte
Congiunzione, disgiunzione e negazione
Condizionale e Bicondizionale
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Definizione 1.1
Una espressione W è detta ben formata secondo il calcolo proposizionale quando W
è atomica oppure esistono espressioni ben formate X e Y tali che W ha una delle
seguenti forme:
( X)
(X Y)
(X Y)
(X Y)
(X Y)
Nient’altro è una formula ben formata (fbf) secondo il calcolo proposizionale.
( X Y ) Z
( X ( Y Z )) (( X Y ) Z )
( X Y ) ( ( (X ) (Y )))
Esempi di fbf
( (X ) (Y ))
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Consideriamo le seguenti proposizioni logiche:
1. Carlo e Marco stanno venendo insieme alla festa
2. Carlo e Marco stanno venendo alla festa
3. Roma e Livorno sono in Italia
4. Paolo e Francesca sono fratelli.
5. Andrea e Luca sono compaesani
6. Paolo e Franco pesano ciascuno 80 Kg
7. Paolo e Franco pesano insieme 160 Kg
LA CONGIUNZIONE
Che si può dire circa la proposizione:
Roma è la capitale d’Italia e 4 è minore di 2
a) Vera
b) Falsa
c) Metà vera e metà falsa
d) Né vera né falsa
e) Priva di senso
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Ancora:
Ti regalo il pallone e un videogioco.
Se ti regalo solo il pallone ho mantenuto la promessa?
TABELLA DI VERITÀ DEL CONNETTIVO e
A B A e B
V V V
V F F
F V F
F F F
Torniamo all’isola dei cavalieri e dei furfanti
In un paese abitano solo furfanti, che mentono sempre, e cavalieri, che dicono sempre la
verità. Un giornalista intervista quattro abitanti che fanno le seguenti dichiarazioni:
Arturo: Bernardo è un cavaliere.
Bernardo: Io sono un furfante e 3+3 = 9.
Carlo: Almeno uno tra Arturo e Dario è un furfante.
Dario: Siamo quattro cavalieri.
Quanti tra i quattro sono cavalieri?
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Ho la tosse e il raffreddore
Ho il raffreddore e la tosse
Riempio la piscina e faccio un tuffo
Faccio un tuffo e riempio la piscina
Il connettivo e è commutativo?
A B A B B A
V V V V
F V F F
V F F F
F F F F
Verifica della commutatività della congiunzione
A B equivale a B A? SI
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Consideriamo le seguenti proposizioni che fanno uso della “o”
1. Possono salire in ascensore i bambini maggiori di 12 anni o accompagnati da un
adulto.
2. Paolo sposerà Marina o Monica.
3. O si mangia o si dorme.
4. Avrò l’esito della partita tramite Carlo o tramite Mario
5. Oggi è martedì o Lecce è in Spagna
LA DISGIUNZIONE
In quali casi la o è inclusiva?
Stabilire se le proposizioni logiche che seguono sono Vere o False
6 è multiplo di 2 o 10 è un numero pari
Roma è in Inghilterra o Lecce è in Europa
Il gatto miagola o il gatto pigola
Siamo nel mese di maggio oppure oggi è domenica
La mela è rossa o la mela non è rossa
V
V
V
F
V
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TABELLA DI VERITÀ DEL CONNETTIVO O
A B A o B
V V V
V F V
F V V
F F F
Ti regalo il pallone o un videogioco.
Se ti regalo solo il pallone ho mantenuto la promessa?
Domani esco con Anna oppure vado a giocare a calcio con
Marco
Domani vado a giocare a calcio con Marco oppure esco con
Anna
Guardiamo la tv o andiamo al cinema
Andiamo al cinema o guardiamo la tv
Il connettivo o è commutativo?
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A B A B B A
V V V V
F V V V
V F V V
F F F F
Verifica della commutatività della disgiunzione
A B equivale a B A? SI
Proprietà associativa della Congiunzione
Esempio:
Nella seconda guerra mondiale gli Stati Uniti erano alleati con la Francia, oltre ad essere alleati con la
Russia e l’Inghilterra.
A (B C)
Nella seconda guerra mondiale, gli Stati Uniti erano alleati con la Francia e la Russia, oltre che con
l’Inghilterra.
(A B) C
VERIFICHIAMO CHE : A (B C) è equivalente a (A B) C
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A B C B C A (B C) A B (A B) C
V V V V V V V
V V F F F V F
V F V F F F F
F V V V F F F
V F F F F F F
F V F F F F F
F F V F F F F
F F F F F F F
Analogamente si verifica che
A (B C) è equivalente a (A B) C
LA NEGAZIONE : P P
: P x P P
: P x P P
(A,B) A B
(A,B) A B
A A
Binarie
Unaria
Proposizioni
logiche
P
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TABELLA DI VERITÀ DELLA NEGAZIONE
A A
V F
F V
La doppia negazione
In logica, la negazione di una negazione è un’affermazione.
Se A è una proposizione
( A) = A
Non è vero che non hai vinto la corsa = (logicamente equivalente a) Hai vinto la corsa
ATTENZIONE E nella lingua comune?
Non c’è nessuno in questa stanza
Linguaggio comune: Nella stanza non ci sono persone
Logica: C’è qualcuno in questa stanza
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Negazione della congiunzione di due proposizioni
Maria: «Sei stato a Roma e ci sei andato con Giulia!!!»
Antonio: «Non è vero!»
Può sentirsi rassicurata Maria?
Antonio può essere stato a Firenze con Giulia o a Roma con Cristina …
La mia lavatrice è a basso consumo ed è economica
Non è vero che la mia lavatrice è a basso consumo ed è economica.
Significa
La mia lavatrice non è a basso consumo oppure non è economica
(A B) equivale a ( A) ( B) I legge di De Morgan
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A B A B (A B) A B ( A) ( B)
V V V F F F F
F V F V V F V
V F F V F V V
F F F V V V V
Verifica della I legge di De Morgan
(A B) equivale a ( A) ( B)
(A B) equivale a ( A) ( B)
Domani andrò al cinema o a mangiare una pizza
Non è vero che domani andrò al cinema o a mangiare una pizza
Significa
Domani non andrò al cinema e non andrò a mangiare una pizza
II legge di De Morgan
Provate a verificarla
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Esempi:
QUAL E’ LA NEGAZIONE DELLA PROPOSIZIONE “MANGIO E BEVO”?
NON MANGIO E BEVO
NON MANGIO E NON BEVO
NON MANGIO O NON BEVO
MANGIO E NON BEVO
QUAL E’ LA NEGAZIONE DELLA PROPOSIZIONE “DORMO O SON DESTO”?
NON DORMO E SON DESTO
NON DORMO E NON SON DESTO
NON DORMO O NON SON DESTO
NON DORMO O SON DESTO
Determinare la negazione delle seguenti proposizioni molecolari?
1. Silvia e Sara vanno alla festa.
2. Oggi piove o fa freddo.
3. 40 è pari ed è multiplo di 6
4. Luca va in piscina con la mamma o con la baby sitter.
5. Anna è francese ed è insegnante di matematica
6. Andrea studia al liceo e suona al conservatorio
7. Anna e Chiara sono insegnanti
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La frase: “Non è vero che la giornata è calda e senza vento” è
equivalente a quale delle seguenti frasi?
a. la giornata è calda e ventosa;
b. se la giornata non è calda allora è ventosa;
c. la giornata non è calda oppure è ventosa;
d. non è vero che la giornata non è calda nè ventosa;
e. nessuna delle precedenti.
CONDIZIONALE o IMPLICAZIONE
A B
Come si legge?
A implica B
da A segue B
se A allora B
condizione sufficiente per B è A
A BAntecedente Conseguente
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CONDIZIONALE o IMPLICAZIONE
A B
Nel linguaggio comune è implicito un nesso causale fra A e B (o almeno un
collegamento di senso), in logica non è necessario.
Se piove esco con l’ombrello.
Se 4 è minore di 10, allora il treno parte da Roma.
ATTIVITA’ CON I CARTONCINI
Consideriamo questi cartoncini:
“Dietro ogni vocale c’è un numero multiplo di 7”
Quanti e quali cartoncini devo girare per stabilire se la
regola è soddisfatta oppure no?
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“Dietro ogni vocale c’è un numero multiplo di 7”
Se c’è una vocale allora dietro
deve esserci un numero multiplo di 7
V M
Quando è vera?
• Quando dietro ogni vocale c’è un multiplo di 7
• Quando dietro un non multiplo di 7 non c’è una vocale
ATTIVITA’ CON I CARTONCINI
Consideriamo questi cartoncini:
Perché non giro il cartellino con la C?
V M
Perché non giro il cartellino con il 28?
V M V M
V V V
V F F
F F V
F V V
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ATTIVITA’ CON I CARTONCINI
Consideriamo un altro esempio che può essere utile per far comprendere agli
studenti il connettivo in questione:
PER GUIDARE DEVI AVERE LA PATENTE
Tale proposizione può essere riscritta nel seguente modo:
SE VUOI GUIDARE ALLORA DEVI AVERE LA PATENTE
G P
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Per stabilire il valore di verità di questa proposizione proviamo a fare riferimento ad un
concetto che i ragazzi conosco già: il permesso come forma di contratto.
La proposizione
G P
PER GUIDARE DEVI AVERE LA PATENTE
rappresenta un “contratto” (proposizione logica) che è violato (FALSO) solo quando
UNO GUIDA SENZA AVERE LA PATENTE
ossia quando G è Vera pur essendo P Falsa.
Se invece
uno guida avendo la patente
o
non guida affatto
il contratto non è violato, cioè la proposizione
PER GUIDARE DEVI AVERE LA PATENTE
G Pè Vera G P G P
V V V
V F F
F F V
F V V
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L.Carrol«Alice nel Paese delle meraviglie»
Allora ci devi dire ciò che pensi – continuò la Lepre Marzolina.
Certo – rispose Alice molto in fretta – per lo meno … per lo meno penso quello che
dico … è la stessa cosa, ecco.
Niente affatto la stessa cosa! – disse il Cappellaio – perché allo stesso
modo potresti dire che «io vedo ciò che mangio» è la stessa cosa di «io mangio ciò che vedo»!
E potresti anche dire –aggiunse la Lepre Marzolina – che «mi piace quello che
prendo» è la stessa cosa di «prendo quello che mi piace»!
Allora potresti dire ancora – aggiunse il Ghiro, che sembrava parlare nel sonno –
che «io respiro quando dormo» è la stessa cosa di «io dormo quando respiro»!
Ha ragione Alice o il Cappellaio è meno matto di quanto sembri?
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Esempio
A: La rosa è un fungo
B: Livorno è in Toscana
A B Se la rosa è un fungo allora Livorno è in Toscana.
B A Se Livorno è in Toscana allora la rosa è un fungo.
Sono proposizioni equivalenti?
Qual è il loro valore di verità?
Il condizionale
è commutativo?
A B A B B A
V V V V
F V V F
V F F V
F F V V
A B equivale a B A? NO
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BICONDIZIONALE o DOPPIA IMPLICAZIONE
a) Se sbagliate il compito allora sarete bocciati. (S B)
b) Solo se sbagliate il compito sarete bocciati. (S B)
a) Si ammette che potreste essere bocciati anche per altri motivi;
b) La bocciatura dipende solo dall’esito negativo del compito, quindi
S e B devono avere lo stesso valore di verità
S B
Si chiama «doppia implicazione» perché è la congiunzione di due implicazioni.
(S B) (B S)
UN TRIANGOLO E' EQUILATERO (L) SE E SOLO SE E' EQUIANGOLO (A)
SE UN TRIANGOLO E' EQUILATERO ALLORA E' EQUIANGOLO
E
SE UN TRIANGOLO E' EQUIANGOLO ALLORA E' EQUILATERO
L A L A
V V V
V F F
F F V
F V F
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Possiamo allora concludere che la proposizione A B è vera solo nel caso in
cui le proposizioni A e B hanno lo stesso valore di verità, cioè solo se sono
equivalenti da un punto di vista logico.
Esempi di proposizioni equivalenti che abbiamo incontrato fino ad ora:
(A B) ( A) ( B)
(A B) ( A) ( B)
(A B) C A (B C)
(A B) C A (B C)
(A B) (B A)
(A B) (B A)Commutatività di ,
Associatività di ,
Leggi di De Morgan
(A B)
A B A B B A ( B) ( A)
V V V F F V
F V V F V V
V F F V F F
F F V V V V
(B) ( A)
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Siano date le affermazioni “Se domenica c'è il sole allora vado al mare” e “Ogni
volta che vado al mare torno a casa con il mal di testa”. Quale tra le seguenti
affermazioni è l’unica che non segue dalle precedenti?
a. se domenica non ho mal di testa allora non sono andato al mare;
b. se domenica vado al mare allora torno a casa con il mal di testa;
c. se domenica non c'è il sole allora non vado al mare;
d. se domenica c'è sole allora torno a casa con il mal di testa;
e. se domenica non ho il mal di testa allora non c'è sole.
Formalizziamo le seguenti proposizioni introducendo i connettivi logici necessari:
Respirare è condizione necessaria per vivere
Saltare è sufficiente per abbandonare il suolo
Essere dispari è condizione necessaria per un numero primo maggiore di 2
Avrai superato l’esame se e solo se il tuo voto sarà maggiore o uguale 18
Essere divisibile per 6 è sufficiente per essere un numero pari
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Condizione necessaria ma non sufficiente
1) Respirare (R) è condizione NECESSARIA per vivere (V)
V R
2) Essere dispari (D) è condizione NECESSARIA per un numero primo maggiore di 2
(P)
P D
Si tratta di condizioni necessarie ma non sufficienti. Infatti:
non è vero che respirare è sufficiente per vivere
non è vero che essere dispari è sufficiente per essere primi (21 è dispari ma non è
primo)
Condizione sufficiente ma non necessaria
3) Saltare (S) è sufficiente per abbandonare il suolo (A)
S A
4) Essere divisibile per 6 (D) è sufficiente per essere un numero pari (P)
D P
Condizione necessaria e sufficiente
5) Avrai superato l’esame (S) se e solo se il tuo voto sarà maggiore o
uguale 18 (M)
S M
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Determinare quale delle seguenti situazioni non è compatibile con l'affermazione:
«Per superare questo test è necessario, ma non sufficiente, conoscere la
matematica e non arrivare in ritardo»
Carlo conosce la matematica, arriva puntuale, e supera il test
Massimo non conosce la matematica, arriva puntuale, e supera il test
Riccardo conosce la matematica, arriva puntuale, e non supera il test
Mimma non conosce la matematica, arriva in orario, e non supera il test
Lucia arriva puntuale e non supera il test
GRAZIE PER L’ATTENZIONE