lógica formal -...

Anotações de aula – Michiko Raciocínio Lógico – Prof. Josimar Padilha

Lógica formal

A) Sentenças

I) Expressão

II) Subdivisão

1. Aberta

2. Fechada

III) Representação

IV) Simbolização

1. Simples

2. Composta

B)Leis do pensamento

I) Princípio da Identidade

II) Principio do não-contraditório

III) Princípio do 3º. Excluído

C)Método da experimentação

D)Método da Contradição

E) Método da associação


Lógica formal

Lógica Formal Trabalha apenas com a estrutura da informação e a forma do pensamento

Não interessa a interpretação do conteúdo apenas como funciona a estrutura

Possui linguagem própria para impedir as interpretações subjetivas

Lógica Estudo da lógica é o estudo de princípios e métodos que visam diferenciar o que é certo do errado.

Existem diversos métodos

A) Sentenças Expressão de um pensamento COMPLETO

Obs: Pensamento proposição premissas ou hipóteses

SENTENÇA = sujeito + predicado

EX: Hoje Choveu

Algo declarado Aquilo a que se refere o sujeito

EX: Se Lula é pernambucano (V), então Pelé é maratonista (F)

(E) Essa proposição é verdadeira Errada pela interpretação do conteúdo, a semântica.

EX: Todo cachorro é verde

Todo verde é vegetal

Logo, todo cachorro é vegetal

(V) Essa proposição é verdadeira

Obs: Quando o examinador der o conceito ao qual deve-se fazer a comparação com as proposições determinadas, para se atribuir valor,

aí considera-se o conteúdo. Ex: De acordo com o artigo 5º. Da CF...


I) Expressão Como expressar os pensamentos completos ou sentenças?

a) Sentença Afirmativa EX: José passou no concurso

b) Sentença Negativa EX: Não gosto de futebol

c) Sentença Exclamativa EX: Que dia lindo!

d) Sentença Interrogativa EX: Qual o seu nome?

e) Sentença Imperativa EX: Estude bastante.

Obs: Existem sentenças que não podem ser valoradas (sentença é apenas um pensamento completo). VALORAR é

interpretar como VERDADEIRA ou FALSA.

Obs: Lógica de 1ª. Ordem = lógica das sentenças

Obs: Proposição funcional pode substituir a incógnita por uma quantidade pré-determinada

Obs: Se tem quantificador lógico é uma proposição EX: Existir, Se...então, Todo...

II) Subdivisão de sentenças

1. Aberta

Não se pode determinar o sujeito

Não se pode determinar se VERDADEIRAS ou FALSAS

Quando não é possível valorar

Foram retomadas no séc XIX, com a idéia de quantificadores lógicos.

EX: ELE não passou no concurso

EX: X + 3 = 9

Obs: Os quantificadores lógicos de X + 3 = 9 são: x; x; x.


2. Fechada

Chamadas de proposições

Expressam pensamento em sentido completo

EX: JOÃO passou no concurso

Tipo das sentença

Afirmativas Fechadas Pode ocorrer ABERTA

Negativas Fechadas Pode ocorrer ABERTA

Exclamativas Abertas Pode ocorrer FECHADA (se conseguir contextualizar)

Imperativas Abertas -

Interrogativas Abertas -


III) Representação

Por letras maiúsculas ou minúsculas. EX: p, q, r, s.

IV) Simbolização

1. Simples

Pensamento completo

Básicas, primitivas, átomos

Expressam apenas 1 pensamento

2. Composta

Fórmulas proposicionais, fórmulas, moléculas.

Expressam mais de 1 pensamento

B) Leis do pensamento

São sentenças que quando valoradas se tornam proposições

Princípios fundamentais da lógica proposicional

I) Princípio da Identidade se qualquer enunciado é VERDADEIRO, então ele é VERDADEIRO

II) Principio do não-contraditório Nenhum enunciado é VERDADEIRO E FALSO

III) Princípio do 3º. Excluído Um enunciado é VERDADEIRO OU FALSO (não existe um 3º. Valor; se existir é excluído)


C) Método da experimentação

Em questão de VERDADE e MENTIRA

1º.) Verifico as possibilidades

2º.) Perceber que todos podem fazer parte de um mesmo grupo

3º.) Experimeta-se – pegando-se a sentença mais simples e começando a atribuir valor a ela

4º.) Use sempre a informação mais simples para começar a análise

5º.) Nesse método, pode-se ter todas as possibilidades, pois não há certeza do tipo que fala a verdade e do que mente.

D) Método da contradição

Quando existe uma contradição é impossível ter 2 verdades ou 2 mentiras. Só poderá haver VF ou FV.

Ex: A diz X B diz não-X

A diz que B mente

1º.) Aqui se tem certeza de que tem verdades e mentiras

2º.) Quando aparecerem argumentos que nitidamente estão em contradição (A diz X e B diz não-X, ou A diz que B mente)

E) Método da associação

Feito por tabela, na qual se cruzam todos as variáveis fornecidas (tipo aquelas revistinhas de lógica)

P

Sentença mais simples

Q

V Verifica-se se P for VERDADEIRA, então qual a função de Q

F Idem


Conectivos lógicos na linguagem formal

A) Revisão

I) Sentenças

II) Princípios

III) Métodos

IV) Proposição

V) Argumentos

B) Operadores lógicos – Linguagem da lógica formal

I) Conjunção

II) Disjunção

III) Disjunção exclusiva

IV) Condicional

V) Bicondicional

VI) Negação



A) Revisão

I) Sentenças

1) Afirmativas – fechadas

2) Negativas – fechadas

3) Exclamativas – abertas ou fechadas

4) Imperativas – abertas

5) Interrogativas – abertas

II) Princípios

1) Não-contradição

2) Terceiro excluído

3) Identidade

III) Métodos

1) Experimentação

2) Contradição


IV) Proposição

1) Simples (apenas 1 idéia)

2) Compostas (mais de uma idéia)

V) Argumentos

Argumento válido – as verdades das premissas garantem a verdade da conclusão

Argumento inválido – se tudo que falou for verdade, mas a conclusão for falsa

1) Argumento dedutivo – a conclusão não tem idéia de amplitude; ela é fruto exclusivo das premissas

(não inclui nada novo)

2) Argumento indutivo – é o que a ciência precisa; não é trabalhado na lógica

Dentro da lógica existem os argumentos:

1) Premissas ou hipóteses

2) Conclusões ou teses

B) Operadores lógicos – Linguagem da lógica formal

Na matemática existem operadores para se trabalhar com números: +, -, . ,

Dentro dessa idéia, na lógica dos operadores matemáticos, existem aqueles que a partir da conexão de proposições

simples produzirão proposições compostas (a 3ª. proposição)

Operadores lógicos conectam e até modificam os pensamentos

A linguagem da lógica formal não apode mudar (o conteúdo não interessa)


Conectivos lógicos são utilizados para produzir novas proposições:

SIMPLES COMPOSTA

DO conectivo mais forte para o mais fraco:

+

-

Esses conectivos determinam a relação entre os termos. E pela hierarquia se define os parênteses antes ou depois do

conectivo. Na mesma hierarquia, se coloca no termo que se deseja das destaque (ênfase).

I) Conjunção

“E”

“MAS”

“TANTO...QUÃO (QUANTO)”

Símbolo ^

Na matemática “x (multiplicação)”

Nos conjuntos “ ”

P^Q Q^P

Possui propriedade comutativa, pois o símbolo indica equivalência, ou seja, as operações produzem os mesmos

resultados.

v ^ v

¬


EX:

P: José passou no concurso

Q: Maria foi ao comércio

P^Q: José passou no concurso E Maria foi ao comércio

II) Disjunção ou disjunção inclusiva

“OU”

Símbolo v

Na matemática “+ (soma)”

Nos conjuntos “ ”

PvQ QvP

Possui propriedade comutativa, pois o símbolo indica equivalência, ou seja, as operações produzem os

mesmos resultados.

EX:



PvQ: José passou no concurso OU Maria foi ao comércio

III) Disjunção exclusiva

“OU...OU”

Símbolo v ,

Na matemática “+ (soma)”

Nos conjuntos “(P-Q) (Q-P)”

PvQ QvP


Possui propriedade comutativa, pois o símbolo indica equivalência, ou seja, as operações produzem os

mesmos resultados.

Aqui não entra quem faz as duas proposições (os elementos na intersecção dos conjuntos)

Cespe só utiliza quando cita no comando da questão, e usualmente o faz com o símbolo (caso contrário é

apenas ou – v)

EX:



PvQ: OU José passou no concurso OU Maria foi ao comércio

IV) Condicional

“SE...ENTÃO”

“QUANDO”

Símbolo

P Q : PCQ (SE P então Q, logo P está contido em Q)

Parece que tem relação entre antecedente e consequente, mas NÂO TEM.

Pode ser estruturada com os termos: Q é consequente de P; Quem P Q (Ex: Quem estuda passa)

No CESPE, quando o consequente (após o conectivo) é composto, ele vem entre parênteses; (e colocar entre

parênteses o que está dentro do parênteses não faz diferença)

Pela ordem, resolve-se o antecedente primeiro, pois é ele que determina o consequente

SE – anuncia o antecedente; ENTÃO – anuncia o consequente

Pelo diagrama dos conjuntos, pelo símbolo e nem pela ordem dos termos é possível comutar é o ÚNICO que

não tem a propriedade comutativa


De P para Q = Condição suficiente

(antecedente) P Q (consequente)

De Q para P = condição necessária

EX:



P Q: SE José passou no concurso ENTÃO Maria foi ao comércio

QUANDO José passou no concurso , Maria foi ao comércio

V) Bicondicional

“SE E SOMENTE SE”

Símbolo (a condicional vai e volta)

Na linguagem formal “(P Q) ^ (Q P)”

Na linguagem dos conjuntos “(PCQ) (QCP)”

(P Q) (Q P)

Aqui os conjuntos são iguais

Possui propriedade comutativa

P é condição necessária E suficiente para Q

Pode ocorrer isso na prova: Maria fez X como condição necessária para Y.


EX:



P Q: José passou no concurso SE E SOMENTE SE Maria foi ao comércio

VI) Negação

“NÃO” (use somente para negar proposições simples)

“É FALSO QUE”

“NÂO É VERDADE QUE”

Símbolo “~” “¬” (a condicional vai e volta)

NÂO CONECTA apenas MODIFICA – É um modificador lógico

Tanto faz a diagramação: (¬Q ^ ¬P) ou a diagramação: ¬ (Q^P)

¬ (P^Q) – para negar uma proposição composta use apenas os modificadores: “É FALSO QUE” e “NÃO È

VERDADE QUE”, para impedir ambiguidades

.

EX:



¬ (P^Q): NÃO É VERDADE QUE José passou no concurso E Maria foi ao comércio

É FALSO QUE José passou no concurso E Maria foi ao comércio


Tabela-verdade

A) Linhas

B) A tabela

1) Com 2 termos

2) Com 3 ou mais termos

C) Tabela-verdade

1) Conjunção

2) Disjunção

3) Disjunção exclusiva

4) Condicional

5) Bicondicional

6) Negação



A) Linhas

Números de linhas de uma tabela 2n

Proposições Numero de valorações

Onde n é o números de proposições na questão; e 2n é o numero de linhas na tabela (= o resultado da potenciação)

Exemplos:

1) Apenas um termo – P

2n = 21 = 2

São 2 linhas:

P

V

F


2) P^Q

2n = 22 = 4

São 4 linhas:

P Q

V V

V F

F V

F F

3) (P^Q) Q

2n = 22 = 4

São 4 linhas

4) (P^Q) ¬ R

2n = 23 = 8

São 8 linhas

5) (P Q) ^(SvR)

2n = 24 = 16

São 16 linhas


B) A tabela

1) Com 2 termos

Não importando a ordem de colocação das valorações – porém, é interessante começar com V (sempre)

2) Com 4 ou mais linhas

Ex: (P Q) ^(SvR)

2n = 24 = 16

São 16 linhas

Independente do numero de linhas:

1º. Numero de linhas da coluna 1 2 = numero a ser preenchido com V (a outra parte com F)

2º. Numero de linhas da coluna 1 com V 2 = numero a ser preenchido com V (a outra parte com F)

3º. Numero de linhas da coluna 1 com F 2 = numero a ser preenchido com V (a outra parte com F)

4º. Numero de linhas da coluna 2 com V 2 = numero a ser preenchido com V (a outra parte com F)

5º. Numero de linhas da coluna 2 com F 2 = numero a ser preenchido com V (a outra parte com F)

6º. ....

P Q

V V

V F

F V

F F


P Q S R

V V V V

V V V F

V V F V

V V F F

V F V V

V F V F

V F F V

V F F F

F V V V

F V V F

F V F V

F V F F

F F V V

F F V F

F F F V

F F F F


C) Tabela-verdade

1) Conjunção

E

MAS

TÃO...QUANTO

^

P^Q Q^P

P Q

P Q P^Q Elemento no conjunto

V V V Pq o elemento Z esta na área comum dos conjuntos

V F F Pq é uma intersecção, e o elemento X não está na área comum

F V F Pq é uma intersecção, e o elemento Y não está na área comum

F F F Pq o elemento W não está em nenhum dos conjuntos

Propriedade

Comutativa


2) Disjunção

OU

v

PvQ QvP

P Q

P Q PvQ Elemento no conjunto

V V V Pq o elemento Z esta na área comum dos conjuntos

V F V Pq é uma união, e o elemento X está na área comum

F V V Pq é uma união, e o elemento Y está na área comum


Propriedade

Comutativa


3) Disjunção exclusiva

OU...OU

v

PvQ QvP

(P-Q) (Q-P)


V V F Pq o elemento Z esta na área comum dos conjuntos

V F V Pq é uma união de diferenças, e o elemento X está na área comum

F V V Pq é uma união de diferenças, e o elemento Y está na área comum


Propriedade

Comutativa


4) Condicional

SE...ENTÃO

CONSEQUENTEMENTE

P Q Q P

P C Q


V V V Pq o elemento X pertence ao conjunto P, que pertence ao conjunto Q

V F F Pq é uma relação de inclusão, e o elemento X pertence a P e Q

F V V Pq o elemento Y pertence apenas ao conjunto Q

F F V Pq o elemento W não está em nenhum dos conjuntos


5) Bicondicional

SE E SOMENTE SE

P Q Q P

P=Q

(PCQ) (QCP)


V V V Pq o elemento X esta na área comum dos conjuntos

V F F Pq os conjuntos são iguais, não há possibilidade de X ser apenas do P

F V F Pq os conjuntos são iguais, não há possibilidade de X ser apenas do Q

F F V Pq o elemento W não está em nenhum dos conjuntos

Propriedade

Comutativa


6) Negação

P ¬P

V F

F V

Obs: Em relação aos conjuntos:

Conjunção

Disjunção

Disjunção exclusiva

Condicional

Bicondicional

Relação de pertinência

Relação de inclusão


Tautologia e afins

A) Tautologia

B) Contradição

C) Contingência



A) Tautologia

Proposição composta = fórmula

Proposição composta (2 ou mais proposições simples) será SEMPRE afirmativa Tautológica se for SEMPRE V

Proposição composta é sempre V, independente dos valores que se atribui aos seus termos

Ou não apresenta saída a sua própria lógica interna (é circular)

Ou fala a mesma coisa com outras palavras (paráfrase)

Exemplo:

(A B) (¬A v B) Se V, então tautologia

1º. Primeiro passo – verificar o numero de linhas = 2 termos, então 22 = 4 linhas

2º. Montar tabela com coluna para todos os termos

3º. verificar pela tabela-verdade se CADA afirmativa COMPOSTA é verdadeira

4º. Verificar se a afirmativa composta que se afirma ser tautologia, realmente é uma, também verificando a tabela-

verdade, entre os termos compostos que a COMPÕEM

A B ¬A A B ¬A v B (A ) B (¬ ) A v B

V V F V V V

V F F F F V

F V V V V V

F F V V V V

Como todas as

possibilidades são

verdadeiras, então é uma

AFIRMATIVA

TAUTOLÓGICA


Quando a tabela for muito grande (exigir muitas linhas), faça por conjunto (conforme conectivo lógico exigir) – ver exercício 5 da

pagina 108 do livro:

[(P Q) ^ (Q R)] (P R)

1º. A tabela precisaria ter 8 linhas, pois são 3 termos simples = 23= 8

2º. Pela proposição, e pensando em conjuntos – PCQ e QCR, pois o conectivo lógico é o “Se...então”.

3º. No termo antecedente tem-se PCQCR, e todo esse termo está para PCR, do termo consequente:

PCQ ^QCR PCR PCQ ^QCR PCR

V V V

F F V


B) Contradição

É a negação da tautologia

Uma proposição composta, formada por 2 ou mais proposições, é uma contradição ou contraválida se ela for SEMPRE F,

independente da verdade de seus termos.

C) Contingência

Sempre que a proposição composta não for uma tautologia e nem uma contradição

Verifica-se pela construção da tabela-verdade

Preposições contingentes ou proposições indeterminadas


Equivalências lógicas

A) Conceito

B) Leis

1) Distributiva

2) Condicional

3) Comutativa

4) DeMorgan

5) Dupla negação

6) Bicondicional

7) Associativa



A) Conceito

Sempre cai em provas

Duas proposições, ou dois pensamentos, são equivalentes quando produzem o mesmo efeito, ou o mesmo resultado (TEM AS

MESMAS VALORAÇÔES)

Ex: 2 x 3 = 3 x 2 (produzem os mesmos resultados, mas são operações matemáticas diferentes)

São equivalentes quando formadas PELAS MESMAS PROPOSIÇÕES SIMPLES

Ex: Os resultados produzidos nas tabelas-verdade são iguais em:

E P ¬E ^ P

Só produzir resultados idênticos não é suficiente – é preciso que as proposições simples sejam as mesmas

Símbolo “ ”

B) Leis

Existem leis que verificam a equivalência:

V

F

V

V

V

F

V

V


1) Distributiva

A v (B^C) (A v B) ^ (A v C)

A ^ (B v C) (A ^ B) v (A ^ C) – demonstração:

A B C B v C A ^ (B v C) A ^ B A ^ C (A ^ B) v (A ^ C)

V V V V V V V V

V V F V V V F V

V F V V V F V V

V F F F F F F F

F V V V F F F F

F V F V F F F F

F F V V F F F F

F F F F F F F F


2) Condicional

A B ¬B ¬A

A B ¬A v B

A B ¬B ¬A: também é chamada de contra positiva ou contra recíproca

É a que mais cai em provas.

Quando aparecer o OU (v) na questão, pode-se pensa primeiro na lei condicional

3) Comutativa

A ^ B B ^ A

A v B B v A

A v B B v A

A B B A

A B B A

A B ¬A ¬B A B ¬B ¬A ¬A v B

V V F F V V V

V F F V F F F

F V V F V V V

F F V V V V V

Demonstração:


4) De Morgan

¬ (A v B) (¬A) ^ (¬B)

¬ (A ^ B) (¬A) v (¬B) – demonstração:

5) Dupla negação

¬(¬A) A

A B ¬A ¬B A ^ B ¬(A^B) (¬A) v (¬B)

V V F F V F F

V F F V F V V

F V V F F V V

F F V V F V V

A ¬A ¬(¬A)

V F V

F V F


6) Bicondicional

A B (A B) ^ (B A)

7) Associativa

Segundo professor, ele nunca viu cair em prova.

(A ^ B) ^ C A ^ (B ^ C)

(A v B) v C A v (B v C)

A B A B B A A B (A B) ^ (B A)

V V V V V V

V F F V F F

F V V F F F

F F V V V V

lógica formal -...

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