logica simbolica

Apuntes del Prof. Luis Eduardo Falcón

Prof. Luis Eduardo Falcón

Matemáticas Computacionales

ITESMCampus Guadalajara

Lógica Simbólica


Proposición Lógica

o simplemente

Proposición:

Enunciado que puede ser verdadero o falso, pero no ambos.


Los conectivos lógicos se utilizan para combinar proposiciones y obtener nuevas proposiciones.

Proposiciones

Simples o Atómicas

Compuestas


Negación

0 1

1 0

P P~


Conjunción

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Q QP P


Disyunción

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Q QP P


Condicional

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Q QP P


Si P entonces Q

P implica Q

P es suficiente para Q

P sólo si Q

Q si P

Q siempre que P

Q es necesario para P

QP

Condicional o ImplicaciónSe lee:


Bicondicional

0 0 1

0 1 F

1 0 F

1 1 1

Q QP P


P si y sólo si QP es necesario y suficiente para Q

QP

Bicondicional o Doble Implicación

Se lee:

Definición: P Q ≡ P Q Q P


Disyunción Excluyente

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Q QPP


Fórmula Bien Formada: f bf

1. Un átomo es una fórmula bien formada.

2. Si P es una fórmula bien formada, también es una fórmula bien formada.

3. Si P y Q son fórmulas bien formadas

QPQPQPQP ,,,

también son fórmulas bien formadas.

P~

4. Todas las fórmulas bien formadas se obtienen aplicando las reglas 1, 2 y 3.


Tautología y Equivalencia

Una fbf se dice que es una tautología si es verdadera para cualquier valor de verdad de sus átomos.

Dos fbf A y B se dice que son equivalentes si es una tautología, y se denota BA BA


Deducción Natural [Gentsen, 60s]

Reglas de la Conjunción (AND) -Intro -Elim

(b) Reglas del Condicional -Intro -Elim (modus ponendus ponems)

…

Reglas de Inferencia


(c) Reglas de la contradicción

-Intro -Elim

~

(d) Reglas de la Negación

~ -Intro ~ -Elim (Regla de la Doble Negación)

~ ~

…

~



(e) Reglas de la Disyunción

-Intro -Elim



() v

(b) Contraposition Law:

(c) Distributive Laws:

(i) v ( ) ( v ) ( v )(ii) ( v ) ( ) v ( )

(e) DeMorgan’s Laws: (i) ( v )

(ii) ( ) v

Identidades Lógicas


Disjunctive Syllogism p v q~p q

Resolution rule [Robinson, 1965] p v q1 v q2 v … v qn

~p v r1 v r2 v … v rm

q1 v … v qn v r1 v … v rm

Otras reglas importantes


Formas Normales

Una fórmula F está en forma normal conjuntiva si tiene la forma

mfff 21

donde cada es una fbf constituida por disyunciones de proposiciones atómicas y/o sus negaciones.

kf

Una fórmula F está en forma normal disyuntiva si tiene la forma

mfff 21

donde cada es una fbf constituida por conjunciones de proposiciones atómicas y/o sus negaciones..

kf

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