logicapredicados-2015

7/16/2019 LogicaPredicados-2015

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Leliane Nunes de Barros – IME USP

MAC239

Lógica de Predicados



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Agenda

• Motivação: – necessidade de uma linguagem mais expressiva

• Lógica de Predicados como uma linguagem formal – Termos (variáveis, funções)

– Fórmulas (predicados, quantificadores) – Variáveis livres e ligadas

• Teoria de Prova da Lógica de Predicados – Regras de dedução natural



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MOTIVAÇÃO

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A Lógica proposicional não é suficientemente expressiva

Lógica Proposicional – Suponha que queremos representar o fato que

“Toda pessoa que está na chuva fica molhada.”

para depois usar esse fato. Por exemplo, suponha que nós tambémsabemos que

“Vitor está na chuva.”

e gostariamos de concluir que “Vitor ficará molhado.“

− Na LP, cada uma dessas sentenças é representada por algumaproposição, por exemplo P, Q and R .

− Qual a relação entre essas proposições?



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Lógica Proposicional – Suponha que queremos representar o fato que

“Toda pessoa que está na chuva fica molhada.”

para depois usar esse fato. Por exemplo, suponha que nós tambémsabemos que

“Vitor está na chuva.”

e gostariamos de concluir que “Vitor ficará molhado.“

− Na LP, cada uma dessas sentenças é representada por algumaproposição, por exemplo P, Q and R .

− Qual a relação entre essas proposições?

P /\ Q → R

Então, dado P /\ Q, podemos de fato concluir R .



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− Agora suponha que nos contaram que “Larissa está na chuva.”

− Gostariamos de concluir que “Larissa ficará molhada” , mas nada do quedeclaramos antes nos ajuda a fazer isso.

− O problema é que não somos capazes de representar os detalhes dentrodessas proposições:

O raciocínio válido é feito pela estrutura interna dessas proposições. Mas na Lógica Proposicional, nós não temos nada além de

proposições!

Precisamos de uma lógica mais expressiva Lógica de Predicados, também chamada de Lógica de

Primeira Ordem (LPO), do inglês, First-ord er log ic (FOL)



Precisamos de uma lógica mais expressiva

Lógica Proposicional

– lida bem com elementos de sentenças: não, e, ou, se … então, …

– mas é limitada para lidar com elementos modificadores: existe, para

todo, somente …

Exemplo: “Todo aluno é mais jovem que algum instrutor”

– Podemos identificar a frase inteira com o símbolo proposicional p.

– No entanto, isso não revela a estrutura interna da frase que declara asseguintes propriedades:

• ser um aluno

• ser um instrutor

• ser mais jovem que alguém



Lógica de PredicadosSintaxe

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Predicados, Variáveis e Quantificadores

Propriedades são expressas por predicados sobre indivíduos: A, I, J

A(carlos): Carlos é um aluno.

I(paulo): Paulo é um instrutor.

J(carlos, paulo): Carlos é mais jovem que Paulo.

Variáveis podem ser usadas no lugar dos valores concretos:

A(x): x é um aluno.I(x): x é um instrutor.

J(x,y): x é mais jovem que y.

Quantificadores permitem modificar a abrangência dos predicados erepresentar formalmente a frase:

“Todo aluno é mais jovem que algum instrutor” Dois quantificadores: Universal (∀) e Existential (∃)

∀ x ( A( x ) → (∃y (I (y ) J ( x ,y ))))∀x : para todo x e

∃

y : existe um y (ou existe algum y)



Exemplo: argumento e função

“Nenhum livro é gasoso. Dicionários são livros. Portanto, nenhum

dicionário é gasoso.“ Denotamos por:

B( x ): x é um livroG( x ): x é gasosoD( x ): x é um dicionário ∃x (B( x ) G(x)), ∀x (D(x) → B(x)) ⊢ ∃ x (D( x ) G( x ))

“Todo filho é mais jovem que sua mãe.“ Denotamos por:

F ( x ): x é um filhoM ( x,y ): x é mãe de y

∀x ∀y (F ( x ) M ( x ,y ) → Y ( x ,y )) Ou então, denotamos pela m( x ): mãe de x

∀ x (F ( x ) → Y ( x ,m( x ))Usar a função m( x ) para denotar “mãe de“ é mais adequado, uma vezque toda pessoa tem apenas uma mãe.



Exemplo: igualdade

“Carlos e Paulo tem a mesma avó materna.“

∀x ∀y ∀u ∀v (M ( x,y ) M (y,carlos) M (u,v ) M (v , paulo) → x=u)

Introduzimos um predicado especial: igualdade.

Na representação alternativa com funções, teriamos:

m(m(carlos) = m(m(paulo)

Considere a relação B( x,y ): x é irmão de y . Essa relação deve sercodificada como um predicado, uma vez que uma pessoa pode termais do que um irmão.



Predicados

Def1. (Relação). Seja D1,D2, ...Dn conjuntos, não necessariamentedisjuntos. R é uma relação de aridade n sobre os conjuntos D1,D2, ...Dn seR é um subconjunto do produto cartesiano D1 × D2 ×···× Dn .

Def2. (Predicado). Seja D1,D2, ...Dn conjuntos, e R uma relação de

aridade n sobre os conjuntos D1,D2, ...Dn . O predicado P associado a Ré a função total de D1 × D2 ×···× Dn para {T, F}, ou seja, P: R → {T, F}.

Na LPO, consideramos um único conjunto de objetos de discurso D, ouseja D1,D2, ...Dn são idênticos.

Um predicado nada mais é que uma proposição paramétrica, cujo valor éverdadeiro para alguns elementos de um determinado conjunto, e falsopara os demais. Iremos agora empregar este conceito para definir a

sintaxe e a semântica da lógica dos predicados.



Lógica de Predicados como uma linguagem formal

O vocabulário define o repertório de símbolos da linguagem da lógica depredicados: – P = {p, q, r, ...} é um conjunto de símbolos de predicados (cada um com uma

aridade fixa); – F = {a, a1, b, ... , f, f’, g, ...} é um conjunto de símbolos de funções (cada um com

sua aridade);

– C = {c1, c2, ...} é um conjunto de símbolos chamados de constantes (também vistocomo uma função de aridade 0); e

– X = {x, x1, ..., x’, ...y, z, ...} é um conjunto de símbolos chamados de variáveis.

Existem dois tipos de elementos em uma fórmula de predicados:

– Objetos tais como carlos (Carlos) e paulo (Paulo)., sendo que símbolos defunções também se referem a objetos. Objetos e funções são modelados portermos .

– Expressões para as quais podemos atribuir valores verdade. Expressões sãomodeladas por fórmulas .



Termos

Termos são definidos como: Qualquer variável x

X é um termo;

Qualquer constante em c

C é um termo; Se t 1, ... , t n, são termos e f

F tem aridade n, então f t 1, ... , t n ) é um termo;

Nada mais é um termo.

BNF:t ::= x | c | f (t, ..., t )

onde x representa variáveis em X ; c representa constantes em C , e f

representa uma função com aridade n.

Exemplo: Suponha que n, f e g são símbolos de função de aridaderespetivamente igual a 0, 1 e 2. Então g(f(n), n) e f(g(n), f(n))) sãotermos, mas g(n) e f(f(n), n) não são termos por violarem as aridadesdos símbolos.



Formulas

Definimos o conjunto de fórmulas sobre (P, F, C, X) indutivamente, usando a definição

anterior de termos. –Se P é um predicado com n≥1 argumentos, e t 1, ... , t n, são termos sobre F , então

P (t 1, ... , t n) é uma fórmula (denotada por fórmula atômica).

–Se Φ é uma fórmula então Φ também é uma fórmula

–Se Φ e Ψ são fórmulas, então Φ Ψ, Φ Ψ, Φ → Ψ também são fórmulas

–Se Φ e Ψ são fórmulas e x é uma variável, então xΦ e xΦ também são fórmulas

BNF:Φ ::= P (t 1, ... , t n) | (Φ) | (Φ Ψ) | (Φ Ψ) | (Φ → Φ) | xΦ | xΦ

ondeP

é um predicado de aridade n, t i são termos, i {1, ..., n}, x é uma variável.

Convenção: Adotaremos a seguinte prioridade entre os operadores:

1. , ,

2. ,

3. →



Exemplo: equivalências

Exemplo 8. Considere a sentença:

“Nem todos os pássaros podem voar .”

Escolhemos os seguintes predicados para expressar esta sentença:

passaro(x): x é um pássaro .

voa(x): x pode voar.

Esta sentença pode ser codificada da seguinte forma:

¬(x (passaro(x) →voa(x)))



Exemplo: equivalências

Uma outra maneira de expressar a mesma idéia da sentença anterior édizer que:

“ Existem alguns pássaros que não podem voar . “

x (passaro(x) → ¬voa(x)))

Veremos que as duas codificações são semanticamente equivalentes. Defato, existem transformações que convertem uma na outra.

¬(x (passaro(x) →voa(x))) x (passaro(x) → ¬voa(x)))



Exemplo: uso de funções

Como expressar a sentença:

“Todo filho de eu pai é meu irmão”

Duas alternativas:

1.“Pai de” é codificada codificado como um predicadoF ( x,y ): x é filho de yP ( x,y ): x é o pai de yM ( x,y ): x é irmão de yme: constante

Tradução: ∀x ∀y (P(x,me) F(y,x) → M(y,me))

2.“Pai de” é codificada codificado como uma função

Tradução: ∀x (F(x,f(me)) → M(x,me))

Escopo das variáveis: como variáveis em linguagens de programação, variáveis da LPOpossuem um escopo determinado pelos quantificadores.



Abrangência dos quantificadores

Definição: A abrangência de x Φ ( ou x Φ) é Φ. Uma ocorrência deuma variável ligada ou presa (bound ) numa fórmula Φ é uma ocorrênciade uma variável x dentro do campo de abrangência de um quantificadorx ou x. Uma ocorrência de uma variável livre é uma ocorrência deuma variável x não ligada.

Exemplo 1: x (p(f(x),y) → q(x))

As 2 ocorrências da variável x são ligadas, enquanto a ocorrência davariável y é livre.

Exemplo 2: xp(f(x),y) → q(x)

A 1ª ocorrência da variável x é ligada, enquanto a 2ª é livre.



Variáveis livres e ligadas

Definição: Seja Φ uma fórmula na lógica de predicados. Uma ocorrênciade x é livre em Φ se ela é um nó folha na árvore de análise de Φ tal quenão há um caminho que vai do nó x para um nó xΦ ou xΦ. Casocontrário, ela é chamada de ligada (bound ).

Fórmula:

∀x ((P(x) → Q(x)) S(x,y))

Escopo de xΦ

x é ligada e y é livre



Exemplo de variável livre e ligada

Fórmula: (∀x (P(x) Q(x))) → (P(x) Q(y))

Árvore de análise:

As 2 primeiras ocorrências de x são ligadas; a 3ª ocorrência de x é livre.



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Variáveis livres e ligadas

• Uma fórmula sem variáveis livres é chamada de fórmulafechada (closed formula)

• Examplo:∀

x∀

y(P(f(x)) → ¬(P(x)) → Q(f(y), x)))



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Substituição

Variáveis podem ser substituídas por termos: isso é fundamental para a aplicação de

regras de inferência.Definição: Dada uma variável x, um termo t e uma fórmula Φ, definimos Φ[t/x] como afórmula obtida após substituir de cada ocorrência livre da variável x em Φ por t.

Por exemplo, considere a fórmula Φ :

(∀x (P(x) Q(x))) → (P(x) Q(y))

Nesse caso temos uma ocorrência livre de x e portanto Φ[f(x,y)/x] resulta em:

(∀x (P(x) Q(x))) → (P(f(x,y)) Q(y))



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Substituição (2)

Exemplo:∀x ((P(x) → Q(x)) S(x,y))

Considere a substituição Φ[f(x,y)/x]

Como todas as ocorrências de x são ligadas, essa substituição não temnenhum efeito em Φ.



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Substituição (3)

As substituições podem produzir efeitos indesejados. Considere o termof(x,y) e a fórmula Φ ∀y (P(x,y)). Então Φ[f(x,y)/x resulta na fórmula:

∀y (P(f(x,y),y)).

Observe que o termo resultante possui uma semântica diferente daesperada porque a variável y do termo f(x,y) não corresponde à variável yquantificada universalmente na fórmula dada. Como resolver esteproblema?



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Substituição (4)

Definição: Dada uma variável x, um termo t e uma fórmula Φ, dizemosque t é livre para x em Φ se nenhuma ocorrência livre de x está noescopo de y ou y para qualquer variável y que ocorra em t.

Exemplo: Considere a fórmula S(x) ∀

y(P(x) → Q(y)), que possuiduas ocorrências livres de x. A ocorrência de x mais a esquerdapoderia, por exemplo, ser substituída pelo termo f(x,y), no entanto aoutra ocorrência não poderia ser substituída por este termo porque talsubstituição acarretaria captura da variável y.

Quando precisamos realizar uma substituição de um termo t que não estálivre para uma variável x em uma fórmula Φ, o que fazemos é renomear

as variáveis ligadas para evitar capturas.



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Substituição (5)

Exemplo. No caso do exemplo anterior, a substituição de x pelo termof(x,y), em S(x) ∀ y(P(x) → Q(y)), pode ser resolvida renomeando a variávelligada y da fórmula para algum nome novo, por exemplo w

S(x) ∀ w(P(x) → Q(w))

Agora a substituição pode ser realizada sem provocar captura devariáveis, no escopo de quantificadores:

S(x) ∀ w(P(f(x,y)) → Q(w))



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Lógica de PredicadosDedução Natural

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Lógica de PredicadosSemantics

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Semantics

• Interpretations

• Models and Satisfiability

• Logical Consequence (Entailment)



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Semantics – Overview

• Interpretation – Maps symbols of the formal language (predicates,functions, variables, constants) onto objects, relations, and functionsof the “world” (formally: Domain, relational Structure, or Universe)

• Valuation – Assigns domain objects to variables – The Valuation function can be used for describing value assignments and

constraints in case of nested quantifiers. – The Valuation function otherwise determines the satisfaction of a formula only in

case of open formulae.

• Constructive Semantics – Determines the semantics of complexexpressions inductively, starting with basic expressions



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Interpretation

Domain, relational Structure, UniverseD finite set of Objects d1, d2, ... , dn

R,... Relations over D R Dn

F,... Functions over D F: DnD

Basic Interpretation Mappingconstant I [c] = d Object

function I [f] = F Function

predicate I [P] = R Relation

Valuation VvariableV(x) = d

D

Next, determine the semantics for complex terms and formulaeconstructively, based on the basic interpretation mapping and thevaluation function above.



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Interpretation (cont’)

Terms with variables

I [f(t1,...,tn)) = I [f] (I [t1],..., I [tn]) = F(I [t1],..., I [tn]) D

where I[ti] = V(ti) if ti is a variable

Atomic Formula

I [P(t1,...,tn)] true if (I [t1],..., I [tn]) I [P] = R

Negated Formula

I [] true if I [] is not true

Complex Formula

I[] true if I [] or I [] true

I [] true if I [] and I [] true

I [→] if I [] not true or I [] true



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Interpretation (cont’)

Quantified Formula (relative to Valuation function)

I [x:] true if is true with V’(x)=d for some dD where V’ is otherwise identical to the prior V.

I [x:] true if is true with V’(x)=d for all dD and

where V’ is otherwise identical to the prior V.

Note: xy: is different from yx:

In the first case xy: , we go through all value assignments V'(x),and for each value assignment V'(x) of x, we have to find a suitable

value V'(y) for y.In the second case yx:, we have to find one value V'(y) for y,such that all value assignments V'(x) make true.



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Models and Satisfiability

Given is an interpretation I into a domain D with avaluation V, and a formula .

We say that:

is satisfied in this interpretation or this interpretation is a model of iff

I[] is true.

That means the interpretation function I into the domain D

(with valuation V) makes the formula true.



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Logical Consequence (Entailment)

Given a set of formulae and a formula α.

α is a logical consequence of iff

α is true in every model in which is true.

Notation:α

That means that for every model (interpretation into adomain) in which is true, α must also be true.



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TECHNICAL SOLUTIONSInference

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Entailment and Derivation

• Entailment: KB ⊧ Q – Entailment is a relation that is concerned with the semantics of

statements

– Q is entailed by KB (a set of premises or assumptions) if and only if

there is no logically possible world in which Q is false while all the

premises in KB are true

– Stated positively: Q is entailed by KB if and only if the conclusion is true

in every possible world in which all the premises in KB are true

• Provability: KB ⊢ Q – Provability is a syntactic relation

– We can derive Q from KB if there is a proof consisting of a sequence of

valid inference steps starting from the premises in KB and resulting in Q



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Important Properties for Inference

• Soundness: If KB ⊢ Q then KB ⊧ Q – If Q is derived from a set of sentences KB using a set of inference

rules, then Q is entailed by KB

– Hence, inference produces only real entailments, or any sentence thatfollows deductively from the premises is valid

– Only sentences that logically follow will be derived

• Completeness: If KB ⊧ Q then KB ⊢ Q – If Q is entailed by a set of sentences KB, then Q can also be derived

from KB using the rules of inference – Hence, inference produces all entailments, or all valid senteces can be

proved from the premises

– All the sentences that logically follow can be derived



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Inference rules for Predicate Logic

• Inference rules for propositional logic apply topropositional logic as well – Modus Ponens, Modus tollens etc.

• New (sound) inference rules for use withquantifiers: – Modus Ponens, Modus Tollens – Universal elimination – Existential elimination – Existential introduction – Generalized Modus Ponens (GMP)



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Modus Ponens and Modus Tollens

• Modus Ponens (Law of Detachment ) – Based on claiming 1.) that P is true, and 2.) the implication P →

Q, we can conclude that Q is true.

– If P, then Q. P, therefore, Q

– Example:

RegularlyAttends(joe, lecture),

RegularlyAttends(joe, lecture) → Pass(joe, lecture)

Allow us to conclude:

Pass(joe, lecture)



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Modus Ponens and Modus Tollens

• Modus Tollens (Denying the consequent) – We again make two claims. 1.) The implication P → Q, and 2.)

that Q is false. We can conclude that P is false as well.

– If P , then Q. ¬Q Therefore, ¬P

– Example:

Detects(alarm, intruder) → GoesOff(alarm),

¬GoesOff(alarm)

Allows us to conclude:

¬Detects(alarm, intruder)



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Universal and Existential elimination

• Universal elimination – If x P(x) is true, then P(c) is true, where c is any constant in the

domain of x

– Variable symbol can be replaced by any ground term

• Example:∀x RegularlyAttends(x, lecture) → Pass(x, lecture)

Allow us to conclude (assuming Joe is in the domain of x):

RegularlyAttends(joe, lecture) → Pass(joe, lecture)



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Universal and Existential elimination

• Existential elimination – From x P(x) infer P(c) – Note that the variable is replaced by a brand-new constant not

occurring in this or any other sentence in the KB – Also known as skolemization; constant is a skolem constant

– In other words, we don’t want to accidentally draw otherinferences by introducing the constant

– Convenient to use this to reason about the unknown object,rather than constantly manipulating the existential quantifier

• Example:x Pass(x) Allows us to conclude:Pass(someStudent) , where someStudent is a new constant



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Existential Introduction

• If P(c) is true, then x P(x) is inferred.• The inverse of existential elimination

• All instances of the given constant symbol are replacedby the new variable symbol

• Note that the variable symbol cannot already existanywhere in the expression

• Example:Eats(Ziggy, IceCream)

x Eats(Ziggy,x)



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Generalized Modus Ponens (GMP)

• Apply modus ponens reasoning to generalized rules

• Combines Universal-Elimination, and Modus Ponens – E.g, from P(c) and Q(c) and x (P(x) Q(x)) → R(x) derive R(c)

• GMP requires substitutions for variable symbols – subst(θ, α) denotes the result of applying a set of substitutions defined by

θ to the sentence α – A substitution list θ = {v1/t1, v2/t2, ..., vn/tn} means to replace all

occurrences of variable symbol vi by term ti

– Substitutions are made in left-to-right order in the list – subst({x/IceCream, y/Ziggy}, eats(y,x)) = eats(Ziggy, IceCream)



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Generalized Modus Ponens (GMP)

• General definition: Given – atomic sentences P1, P2, ..., PN

– implication sentence (Q1 Q2 ... QN) → R• Q1, ..., QN and R are atomic sentences

– substitution subst(θ, Pi) = subst(θ, Qi) for i=1,...,N

– Derive new sentence: subst(θ, R)

• GMP is usually written formally as following:



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Generalized Modus Ponens (GMP) - Example

• A clause is a disjunction of literals – Example: C1 ∨ … ∨ Cn

• A definite clause is a clause containing exactly one positive literal – Example: ¬C1 ∨ … ∨ ¬Cn ∨ H

• GMP is used with a collection of definite clauses

• Example:Person(John) , Rich(x), ( Person(x) Rich(x) → Popular(x))Popular(John)

With the substitution θ = {x/John,y/John} , andRich θ = Popular θ



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Completeness & Decidability (1)

• Completeness: If a knowledge-base KB entails astatement S, we can prove S

• Gödel Completeness Theorem: There exists a completeproof system for FOL – KB ⊨ Q ↔ KB ⊢ Q

– Gödel proved that there exists a complete proof system for FOL.

– Gödel did not come up with such a concrete proof system.

• Robinson’s Completeness Theorem: Resolution is such

a concrete complete proof system for FOL



Completeness & Decidability (2)

• FOL is only semi-decidable: If a conclusion follows frompremises, then a complete proof system (like resolution)will find a proof. – If there’s a proof, we’ll halt with it (eventually)

– However, If there is no proof (i.e. a statement does not follow from a setof premises), the attempt to prove it may never halt

• From a practical point of view this is problematic – We cannot distinguish between the non-existence of a proof or the

failure of an implementation to simply find a proof in reasonable time.

– Theoretical completeness of an inference procedure does not make adifference in this cases

• Does a proof simply take too long or will the computation never halt anyway?

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