Lógica proposicional

Lorenzo Mandow, Ezequiel López Rubio, Enrique Domínguez

Dpto. Lenguajes y Ciencias de la Computación

Universidad de Málaga

Contenidos

1. Motivación

2. Sintaxis

3. Semántica

4. Demostración automática

1. Motivación

Representación de espacios de estados: Procedural (atómica)

Factorizada (variables/valores/restricciones)

¿Estructurada? (¿objetos, relaciones, leyes?)

¿Cómo podemos expresar mejor nuestro conocimiento para razonar sobre el mismo?

1. Motivación

En la representación procedural (atómica) la descripción del problema queda encapsulada en un conjunto de procedimientos,

Problem.GoalTest(node.STATE) //cond. objetivo

Problem.Actions(node.STATE) //precondiciones

CHILD-NODE(problem, node, action) //efectos

El conocimiento del dominio queda encapsulado en una función de evaluación

f(n) = g(n) + h(n)

1. Motivación

El modelo CSP (variables/dominios/restricciones) establece una estructura básica.

No es necesario programar cada espacio de estados.

Admite procedimientos de inferencia independientes del dominio.

Pero…

No todos los problemas admiten fácilmente el formalismo CSP.

1. Motivación

¿Sería posible una representación estructurada de nuestro conocimiento en términos de objetos, relaciones y leyes, que admitiera procedimientos de inferencia independientes del dominio?

El uso de la lógica como lenguaje para la representación del conocimiento ha cautivado a muchos investigadores de IA.

Conocimiento = estruct. simbólicas + procedimientos

1. Motivación

Contenidos

1. Motivación

2. Sintaxis ←

3. Semántica

4. Demostración automática

2. Sintaxis

Define las fórmulas bien formadas (proposiciones, sentencias, o expresiones):

Proposiciones simples (átomos): A, B, C…

Proposiciones compuestas, emplean paréntesis y conectivas lógicas:

¬ , , , , Por ejemplo: A

¬A

A B

(A B C) (¬B A)

2. Sintaxis

Argumento:

1 2 3…n → Premisa ______________

→ Conclusión

Contenidos

1. Motivación

2. Sintaxis

3. Semántica ←

4. Demostración automática

3. Semántica

Los significados de las expresiones de la lógica proposicional son los valores de verdad {true, false}.

Una interpretación es una función que a cada expresión le asigna un valor de verdad. La interpretación de las conectivas viene dada por

3. Semántica

Un modelo de una expresión es una interpretación que la hace verdadera.

Una expresión puede ser: tautología (válida): si toda interpretación es modelo de

satisfacible: si existe al menos un modelo de

contradicción: si no existe ningún modelo de

Consideremos las proposiciones atómicas = {A,B}, ¿podemos dar algunos ejemplos…?

3. Semántica

Un argumento 1 2 3…n

______________

es válido si todo modelo de = {1 2 3…n} es modelo de .

Del mismo modo, se dice que se infiere de :

|=

3. Semántica

Un argumento 1 2 3…n

______________

es válido si y solo si: 1 2 3 … n es una tautología

{1, 2, 3,… n, } es insatisfacible

1 2 3 … n es una contradicción

3. Semántica

Ejemplo 1:

Wet (Rain Flooding)

¬Wet

3. Semántica

Ejemplo 1:

Wet (Rain Flooding)

¬Wet

¿Rain?

3. Semántica

Ejemplo 2:

Wet (Rain Flooding)

Hot (Summer Sunny Fire)

¬Summer

¬Wet

Hot

3. Semántica

Ejemplo 2:

Wet (Rain Flooding)

Hot (Summer Sunny Fire)

¬Summer

¬Wet

Hot

¿Rain?

Contenidos

1. Motivación

2. Sintaxis

3. Semántica

4. Demostración automática ←

4. Demostración por resolución

Una demostración es una secuencia de fórmulas obtenida por aplicación de reglas de inferencia a un conjunto de fórmulas.

Sólo consideraremos una regla de inferencia, la regla de resolución.

La resolución se aplica a dos cláusulas (disyunciones de literales).

Para aplicar resolución hay que pasar todas las fórmulas a forma normal conjuntiva (CNF) (conjunción de cláusulas). Siempre es posible.

Conversión a CNF

Eliminar reemplazando por () ()

Eliminar reemplazando por ¬

Mover ¬ hacia dentro aplicando repetidamente: ¬(¬)

¬() ¬ ¬

¬() ¬ ¬

Aplicar la distributividad de respecto a siempre que sea posible: () () ()

Ejemplo

[ Wet (Rain Flooding) ] ¬Wet

Ejemplo

[ Wet (Rain Flooding) ] ¬Wet

[ Wet (Rain Flooding) ] [ (Rain Flooding) Wet ] ¬Wet

[ ¬Wet Rain Flooding ] [¬(Rain Flooding) Wet ] ¬Wet

[ ¬Wet Rain Flooding ] [ (¬Rain ¬Flooding) Wet ] ¬Wet

( ¬Wet Rain Flooding ) (¬Rain Wet ) (¬Flooding Wet ) ¬Wet

Demostración por resolución

La resolución se aplica a dos cláusulas (disyunciones de literales) tales que hay un literal li en la primera cláusula que es la negación de un literal mj de la segunda cláusula

Produce una disyunción de todos los literales de las dos cláusulas originales excepto los dos literales li , mj

Por ejemplo:

A B C

A D E

B C D E

njjkii

nk

mmmmllll

mmll

............

...,...

111111

11

Algoritmo

Demostraremos que |= por reducción al absurdo, es decir, que ¬ es insatisfacible

Primero convertimos ¬ a CNF Después aplicamos la regla de resolución

repetidamente Hay dos posibles resultados:

No se pueden añadir más cláusulas, lo que significa que no se infiere de

Se produce la cláusula vacía, lo que significa que se infiere de

Algoritmo

Si la regla de resolución produce una cláusula en la que aparecen dos literales complementarios, la descartamos porque es lógicamente equivalente a True

Propiedades

La demostración por resolución es correcta, es decir, nunca produce una fórmula que no

se infiera de las formulas iniciales. es completa, es decir, cuando se combina con cualquier

algoritmo de búsqueda completo, es capaz de alcanzar cualquier fórmula que pueda inferirse de las fórmulas iniciales

Volvemos al ejemplo

( ¬Wet Rain Flooding ) (¬Rain Wet ) (¬Flooding Wet ) ¬Wet

Queremos demostrar = ¬Rain

Volvemos al ejemplo

¬FloodingWet ¬WetRainFlooding ¬RainWet ¬Wet Rain

¬WetRainWet

RainFlooding¬Flooding

¬WetFloodingWet

RainFlooding¬Rain

¬Flooding

¬Rain

KB ¬