logika 7. előadás

Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi

LOGIKA

7. Előadás

TECHNIKAI ADATOK

Elérehetőség:• aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/

• [email protected]

Fogadó óra: hétfő 10-12 2.620 szoba

Jegyzet:

Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda:A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ

TÁRGYALÁSA

http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/0046_a_matematikai_logika_alkalmazasszemleletu_targyalasa/adatok.html

http://www.inf.elte.hu/~szilagyi

http://www.inf.elte.hu/~szilagyi

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

TEMATIKA

Bevezetés

A 0. rendű logika (Itéletkalkulus)

• Szintaxis

• Szemantika

• 0. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz)

• Szemantikus következmény

• Normálformák

• Automatikus tételbizonyítás (szemantikus, szintaktikus)

Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus)

• Szintaxis

• Szemantika

• 1. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz)


• Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)

TEMATIKA

Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus) Szintaxis

• abc, term, formula, szintaktikai definíció,

• egyértelmű elemzés, szerkezeti indukció és rekurzió

• Műveletek hatásköre, változó előfordulás-változó-formula minősítése

• Logikai összettetség

• Alapkifejezés, prímformula, prímkomponens

• Változó átnevezés, Termhelyettesítés

Szemantika

• Interpretáció (abc elemei: logikán kívüli rész)

• változó kiértékelés( )

• L-értékelés (term és formula)

• Term és formula értéktáblája

• Quine-féle táblázat

• Kielégíthetőség: kielégíthető, kielégíthetetlen, logikailag igaz, tautológia

• 1. rendű logikai törvények


• Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)

Abc

NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA

Abc

Logikai rész: • , , , , , ,

• Indivídum változók (X, Y, …) – megszámlálhatóan végtelen, adott fajtájúak

• Elválasztó jelek („(„ „)”)

• (ítélet változók)

Logikán kívüli rész:

•Függvény, predikátum és konstans szimbólumok

•Elemfajták halmaza

SZEMANTIKA: Zérusrendben

• A nyelv ábécéjének értelmezése (interpretációja - modellezése).

• Az ítéletlogika ábécéjében csak az ítéletváltozókat kell interpretálni.

• Az ítéletváltozók befutják az állítások halmazát.

• Ha megmondjuk melyik ítéletváltozó melyik állítást jelenti, akkor a változó igazságértékét megadtuk.

• Ennek rögzítését interpretációnak nevezzük:

Emlékeztető: Formula

• minden ítéletváltozó ( Vv) JFF

• ha AJFF akkor AJFF

• ha A,BJFF akkor (A○B)JFF

minden formula előáll az előző három eset véges sokszori alkalmazásával.

Egyszerű állítás Összetett állítás

interpretáció Boole-értékelés

{ i , h } { i , h }

Formula jelentése mindig igazságérték!

Szemantika: 1 rendben

1. Interpretáció (I)

+

2. változó kiértékelés ( )+

3. L-értékelés (I + -n alapuló)

1. Interpretáció : szignaturák

Nyelv szignaturája:

<P1, P2, …, Pn; F1, F2, …, Fk; m1,…, mn ; mn+1 …, mn+k , k1, k2, …, kq>

I

Struktúra szignaturája:

<U, R1, R2, …, Rn; M1, M2, …, Mk; m1,…, mn ; mn+1 …, mn+k c1, c2, …, cq>

x,y, ... Individum változók

A formalizált egyyfajtájú nyelv szignaturája és a matematikai struktúra szignaturája közötti kapcsolat.



+



2. Változó kiértékelés: indivíduum változók

Definíció: : változó kiértékelés( ): VU, ahol V: indivíduum változók halmaza,

U: univerzum

|x|I, jelöli: az U univerzumbeli (x) individuumot

x

u1

V U

y

u2



+



L-értékelés: Informális (I, )

A L-értékelés

Egy olyan leképezés, amely egy formulához hozzárendeli annak jelentését: {i,h}.

A formula valamely L(Vv) = <Tp, Pr , Fn, Kn, > formalizált nyelven

íródott

1. lépés. Választunk egy S = <U, R, M, C> matematikai struktúrát, amelynek a típusa megegyezik az L nyelv típusával

2. lépés. a logikán kívüli szimbólumokat a megfelelő relációkkal illetve műveletekkel azonosítjuk (I)

3. lépés. Kiértékeljük a formulában szereplő termeket, a nem kötött

változóinak az összes lehetséges változókiértékelése mellett

4. lépés. Kiértékeljük a formulát a nem kötött változóinak az összes

lehetséges változókiértékelése mellett

L-értékelés (term)

Definíció: Termek = I, L-értékelése

1. xs individuumváltozó: |xs|I, a (x)U ( egy változókiértékelés)

c konstansszimbólum: |c|I, az U-beli cI elem.

2. |f(t1, t2, ..., tn)| I, = fI (|t1| I, , |t2| I, , ..., |tn| I, )

L-értékelés (Példa: term)

(x) (y) x+ x*y

1 1 2

2 3 8

0 4 0

Példa:logikai nyelv struktúra nyelve

I: L= (=, P1, P2 ; a, b, f1, f2) S= N ( =, <, > ; 0, 1, +, * )

(2, 2, 2 ; 0, 0, 2, 2 ) (2, 2, 2 ; 0, 0, 2, 2 )

= I,

Term interpretációja:t = (f1(x, f2(x,y))) = f1

(x, f2 (x,y)) = + ( x, * (x ,y)) = x+ x*y

L-értékelés (formula)

Definíció: Formulák =I, L-értékelése

1. |P(t1, t2, ..., tn))|I, = i, ha (|t1|I, , |t2|I, , ..., |tn|I,)PI , ahol

PI jelöli a PI reláció igazhalmazát.

2. |A|I, =|A|I,

|AB|I, = |A|I, |B|I, |AB|I, = |A|I, |B|I, |AB|I, = |A|I, |B|I,

3. |xA|I, = i, ha |A|I,* = i minden * x variánsára |xA|I, = i, ha |A|I,* = i legalább egy * x variánsára

(A a formula törzse/mátrixa)

L-értékelés (kvantormentes formula)

Egy kvantormentes formula kiértékelése

(x) (y) (x+ x*y)<( y+ x*y)

A formula minden alap előfordulását generáljuk

1 1 h

és így minden állítás előáll

2 3 i

Példa: Kvantormentes formula interpretációja: =I,

(P1(t, f1(y, f2(x,y)))) = P1 (t, (f1(y, f2(x,y))) )=

P1 (t, f1

(y, f2 (x,y))) =

< (+ (x,* (x,y)),+(y,*(x,y)) = < ( x+ x*y, y+ x*y) = (x+ x*y)<( y+ x*y)

L-értékelés (kvantált formula)

Nézzük meg az értéktábláját (x) 0<(x+x)

0 h

1 i

Nézzük meg az értéktábláját (x) 0<(1+x)

0 i

1 i

Univerzális formula interpretálása: =I,

(x P1(a, f1(b,x))) = i, ha (P1(a, f1(b,x))) (x/u)=i minden uUMivel minden egészre a formula törzse i, ezért a x(0<(1+x)) formula értéke i.

Egzisztenciális formula interpretálása: =I,

(x P1(a, f1(x,x))) =i, ha (P1(a, f1(x,x))) (x/u)=i legalább egy uUebben az interpretációban, ha 0<(x+x) = i legalább egy uNMivel az x=1-re a formula törzse i, ezért a x(0<(x+x)) formula is i.

Term és formula értéktáblája: Ismétlés

X Y Z (ZXYZ)

i i i i

i i h i

i h i i

Egy 1. rendű formula primformulái • az atomi formulák ( p(t1, ..., tn) ) és a • kvantált formulák

Egy 1. rendű formula primkomponensei a formula azon primformulái, amelyekből a formula logikai összekötőjelek segítségével épül fel.

Példa:P(X) prímformula, de csak akkor prímkomponens, ha magában szerepel a formulában:P(X) Q(X) -ben: P(X) prímkomponens isxP(x) Q(X) -ben: P(X) nem prímkomponens, csak prímformula

Az igazságtáblában (0. rendű logika) az első sorba az állításváltozók (ezek a formula prímkomponensei) és a formula kerülnek. A változók alá igazságértékeiket írjuk. A formula alatt a megfelelő helyettesítési értékek találhatók.

Term és formula értéktáblájaEgy 1. rendű formula értéktáblájában az első sorba

• a szabad indivíduum változók

• a primkomponensek és a

• formula kerülne.

Mivel a primformulák több esetben paraméteres állítások, ezért az interpretációban az indivíduum változók kiértékelése után válnak állításokká.

Ezért az értéktábla első sorába még a formulában lévő indivíduum változókat is felsoroljuk a primformulák elé.

• Az indivíduum változók alá azok lehetséges kiértékelései kerülnek

• A primformulák alá a megfelelő helyettesítési értékek kerülnek

• A formula alatt a prímformulák értékeinek megfelelő helyettesítési értékek találhatók.

Term és formula értéktáblájaADOTT INTERPRETÁCIÓBAN EGY ADOTT

VÁLTOZÓKIÉRTÉKELÉS ESETÉN NÉZI A FORMULA ÉRTÉKÉT

Példa

A formula xP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z)

A primkomponensek: xP(x), y(Q(w,y), P(v), zQ(w,z)).

A szabad indivíduum változók: v, w.

Legyen az interpretáló struktúra: U={1, 2, 3}, P={1,3} Q={(1,2),(1,3), (2,1), (2,2), 2,3)},

Ekkor (xP(x)) = h, a többiek paraméteres állítások

Az értéktábla:

(V) (w) (xP(x)) (y(Q(w,y)) P(v) (zQ(w,z))) (xP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z))

1 1….

h y(Q(1,y))=i

P(1)=i zQ(1,z)=h i mivel a feltételrész hamis ….

Formula Quine táblája

A PRIMKOMPONENSEK ÖSSZES LEHETSÉGES ÉRTÉKÉT NÉZI

Példa

A formula xP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z)

A primkomponensek: xP(x), y(Q(w,y), P(v), zQ(w,z)).

A Quine tábla:

xP(x) y(Q(w,y) P(v) zQ(w,z)) xP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z))

i i i i i

… … … … …

h h h h i

KielégíthetőségDefiníció: Kielégíthetőség

Definíció: Kielégíthetetlenség

Azt mondjuk, hogy G formula, illetve F formulahalmaz kielégíthetetlen (nem kielégíthető), ha L-hez nincs olyan I interpretáció, hogy I= G illetve, hogy I= F.

• Más szóval egy G formula kielégíthetetlen ha minden interpretációban a G értéktáblájának minden sorában G helyettesítési értéke h(amis).

• Az F formulahalmaz kielégíthetetlen, ha az F közös érték táblájában minden sorban van legalább egy eleme F-nek, amelynek a helyettesítési értéke h(amis).

Logikailag igaz formula

Definíció: Logikailag igaz formula

Tautológia, Logikailag igaz

Definíció: Tautológia

Azt mondjuk, hogy egy G formula tautológia, ha G Quine táblájában a prímkomponensekhez rendelhető összes lehetséges igazságérték hozzárendelés esetén a formula helyettesítési értéke i.

Jelölés: =0A

TÉTEL:

Definíció: Logikai ekvivalencia

Az A és B elsőrendű formulák logikailag ekvivalensek ha A=B és B=A.

Logikailag igaz, tautológia

Eldöntésprobléma

DEFINICIÓ: Logikai vagy szemantikus következmény

Azt mondjuk, hogy a G formula logikai (szemantikus) következménye az F formulahalmaznak, ha minden olyan I interpretációra amelyre I= F a I= G is fennáll.

Jelölés: F= G.

TÉTEL

F-nek szemantikus következménye G, akkor és csak akkor, ha az F {G} kielégíthetetlen

Eldöntésprobléma: tetszőleges 1.rendű formulahalmazról eldönteni, hogy kielégíthetetlen-e

Eldöntésprobléma megoldás

1. ÉRTÉKTÁBLÁVAL

F= G, ha minden olyan interpretáló struktúrában, ahol az F, G közös értéktáblájában minden olyan sorban, ahol az F elemeinek helyettesítési értéke i(gaz), a G helyettesítési értéke is i(gaz).

2. REZOLÚCIÓVAL

F {G} kielégíthetetlenségének bizonyításával.

AlaprezolúcióAz F1F2...FnG elsőrendű formulát logikailag ekvivalens módon át kell írni elsőrendű klózok konjunkciójává.

Elsőrendű klóz: xy(P(x)Q(x,f(y)) kifejtése U={a,b,c} felett alapklózok konjunkciójává:

(P(a)Q(a,f(a)) (P(a)Q(a,f(b)) (P(a)Q(a,f(c)) (P(b)Q(b,f(a)) (P(b)Q(b,f(b)) (P(b)Q(b,f(c)) (P(c)Q(b,f(a)) (P(c)Q(b,f(b)) (P(c)Q(b,f(c))

Lépések:

1. Prenex alakra hozás

2. Skolem alakra hozás

3. Klózokra bontás (K: Klózhalmaz)

4. A Herbrand univerzum és Bázis: a klózhalmaz alapelőfordulásainak generálása

5. Herbrand tétele alapján pontosan akkor vezethető le az üres klóz, ha K kielégíthetetlen

6. Az alaprezolúció segítségével az üres klóz levezetése


Definíció: Prenex formula

Egy B=Q1x1Q2x2…QsxsA formulát prenex formulának nevezünk, ha az A formula kvantormentes.

A formula Q1x1Q2x2…Qsxs részét a formula prefixumának, az A részét a formula magjának vagy mátrixának nevezik.

Prenex-konjunktív normálformájú illetve prenex-diszjunktív normálformájú egy prenex formula, ha a magja KNF illetve DNF.

• Megmutatjuk, hogy tetszőleges elsőrendű formula átalakítható prenex formulává.

• Ehhez megadunk néhány, a kvantorokra vonatkozó azonosságot,

• majd egy algoritmust, amely biztosítja tetszőleges formula prenex formulává alakítását az említett azonos átalakítások felhasználásával.

1. Prenex alakra hozásÁltalános De Morgan – szabályok:

1. ¬xA=x¬A

2. ¬xA=x¬A

Kvantorkiemelési szabályok: (A[x] jelentése, x szerepel A-ban)

1. xA[x]˄B=x(A[x]˄B), 2. xA[x]˅B=x(A[x]˅B)

3. xA[x]˄B=x(A[x]˄B), 4. xA[x]˅B=x(A[x]˅B)

5. xA[x]˄xB[x]=x(A[x]˄B[x]), a ˅ műveletre nem áll fenn.

6. xA[x]˅xB[x]=x(A[x]˅B[x]), az ˄ műveletre nem áll fenn.

7. Q1xA[x]˄Q2xB[x]=Q1xQ2y(A[x]˄B[x/y]) y nem szerepelt

8. Q1xA[x]˅Q2xB[x]=Q1xQ2y(A[x]˅B[x/y]) a formulában


Algoritmus tetszőleges formula prenex alakra való átírására

• A formulában szereplő logikai összekötőjelek átírása ¬, ˄, ˅ logikai műveletekre.

• A De Morgan- és az általános De Morgan- szabályok alkalmazása addig, amíg a ¬ hatásköre minden esetben atomi formula nem lesz.

• A kvantorkiemelési szabályok alkalmazása addig, amíg az összes kvantor a formula elé nem kerül.

2. Skolem alakra hozás

Definíció: Skolem – formulának

Egy prenex formulát Skolem – formulának nevezünk, ha a prefixumában csak univerzális kvantorok szerepelnek és a formula magja konjunktív normálformájú.

Megjegyzés: Egy olyan prenex formulához amelyben Qj a legkisebb indexű egzisztenciális kvantor, vagyis a formula alakja x1...xj-

1xjQj+1xj+1…QnxnA=x1…xj-1xjB, konstruálhatunk egy olyan f(x1,x2,…,xj-

1) függvényt, amely az interpretáló struktúrában az (x1,x2,…,xj-1) változók által felvett minden értékkombinációhoz hozzárendel egy értéket azok közül, amelyeket az xj helyébe helyettesítve a B igaz lesz.

Ezt a függvényt Skolem függvénynek nevezzük.

2. Skolem alakra hozásMegadunk egy algoritmust, amellyel tetszőleges prenex formulához meg lehet konstruálni egy vele logikailag ekvivalens Skolem-formulát.

Algoritmus Skolem-formula előállítására.

• A prenex formula legyen Q1x1Q2x2…QsxsA.

• Megkeressük az első egzisztenciális kvantort.

• Ha ilyen nincs, akkor a formula Skolem-formula. Az algoritmus befejeződik.

• Legyen az első egzisztenciális kvantor az j-edik. Válasszunk egy olyan f függvényszimbólumot, amely nem szerepel a nyelvben és jelöljük f(x1,x2,…,xj-1)-el a Skolem függvényt. Az új formulát úgy kapjuk meg, hogy elhagyjuk a x j kvantort és a B-ben elvégezzük az (xj/f(x1,x2,…,xj-1)) helyettesítést.

• A kapott formulával következik az 1. lépés.

Tétel:

Legyen B prenex formula és BSN a B alapján előállított Skolem-formula. A B formula logikailag ekvivalens a BSN formulával.

3. Klózókra bontás

Mivel a Skolem forma magja KNF, ezért könnyen klózokra bontható az ˄ műveletek mentés történő szétvágás segítségével

Példa. A formula:

xyz((P(x,y)→¬P(y,x))˄(P(x,z)˅P(z,y))) – átírás ¬, ˄, ˅-ra

xyz((¬P(x,y)˅¬P(y,x))˄(P(x,z)˅P(z,y))) – prenex-konjunktív forma Skolem-formába való átírása.

z-re Skolem függvény bevezetése:

xy((¬P(x,y)˅¬P(y,x)) ˄ (P(x,f(x,y))˅P(f(x,y),y))))

A kapott elsőrendű klózhalmaz:

K={¬P(x,y)˅¬P(y,x) , P(x,f(x,y))˅P(f(x,y),y)}

4. Herbrand UniverzumEgy adott, elsőrendű klózhalmazhoz egyértelműen hozzárendelhető univerzum konstrukciója J. Herbrand nevéhez fűződik

Definíció: Herbrand-univerzum

• Legyen K egy elsőrendű klózhalmaz.

• Legyen H a K-ban szereplő konstansok halmaza.

• Ha K-ban nincs konstans, akkor H={a}, ahol az a egy fiktív konstans.

• Legyen i=0,1,…-re H=HF, ahol F az összes olyan f(t,t,...,t) termek halmaza, amelyekre az f függvényszimbólum szerepel K-ban és tj Hi, (j=1,2,...,n).

Hi-t a K i-edrendű konstansai halmazának, a H-t a K Herbrand-univerzumának nevezzük.

Megjegyzés: A definícióból következik, hogy H legfeljebb megszámlálható számosságú lehet.

4. Herbrand UniverzumPélda 1.

K={P(x)˅Q(x), R(y), T(z)˅Q(z)}

H0={a}, mivel K-ban nincs konstans.

H0=H1=...=H={a},

H véges számosságú, mivel K-ban nincs függvényszimbólum.

Példa 2.

K={P(a), P(x)˅P(f(x))}

H0={a}, ahol a K-beli egyetlen konstans az a.

H1={a, f(a)}

H2={a, f(a), f(f(a))}

...

H={a, f(a),f(f(a)),f(f(f(a))), ...}

H megszámlálható számoságú.

4. Herbrand Bázis

Definíció: Herbrand-bázis

Legyen K egy elsőrendű klózhalmaz.

A K Herbrand-bázisának nevezzük a K-beli literálokban szereplő atomi formulák H feletti összes alapelőfordulását.

Példa. Legyen K={P(x), Q(f(y))˅R(y)} klózhalmaz.

K Herbrand-univerzuma:

H={a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))),...}

K Herbrand-bázisa:

{P(a),Q(f(a)),R(a),P(f(a)),Q(f(f(a))),R(f(a)),...}.

5. Herbrand tételeTÉTEL: Herbrand-tétel

Egy K elsőrendű klózhalmaz akkor és csak akkor kielégíthetetlen, ha a K klózai alapelőfordulásainak van véges kielégíthetetlen K’ részhalmaza.

Példa 1.

Legyen K={P(x), ¬P(f(a))}. A K kielégíthetetlen, mivel K’={P(f(a)), ¬P(f(a))} egy véges kielégíthetetlen részhalmaza K alapklózainak.

Példa 2.

A K={¬P(x)˅Q(f(x),x), P(g(b)), ¬Q(y,z)} kielégíthetetlen, mert K’={¬P(g(b))˅Q(f(g(b)), g(b)), P(g(b)), ¬Q(f(g(b)), g(b))} egy véges kielégíthetetlen részhalmaza K alapklózainak.

Ezek az alapklózok az (x/g(b), y/f(g(b)), z/g(b)) helyettesítéssel álltak elő.

6. Alaprezolúció• A rezolúciós kalkulusra több, a Herbrand-tételeket felhasználó számítógépes

implementáció ismert.

• Az ítéletlogikai rezolúciós kalkulust, valamint az alapklózhalmazon definiált alaprezolúciós kalkulust egyformán lehet végrehajtani.

• Egy elsőrendű K klózhalmazból való rezolúciós levezetés egy olyan

véges k1, k2, ..., kn elsőrendű klózsorozat, ahol minden j=1, 2, ..., n-re

1. vagy kj K2. vagy van olyan 1s,tj, hogy kj a ks, kt klózpár elsőrendű rezolvense.

• Az elsőrendű logikában a probléma abban rejlik, hogy a Herbrand univerzum feletti alapatomok célszerű generálási sorrendjére nincs stratégia, és így a műveletszám becslése lehetetlen.

• A nulladrendű rezolúciós elvben a rezolvensképzés feltétele az volt, hogy két C1, C2 klózban pontosan egy azonos alapú, de ellenkezően negált literál (egy komlemens pár) forduljon elő.

• Azokra a klózokra, amelyek nem tartalmaznak változót, a döntés egyszerű.

• Azonban a változót tartalmazó klózok esetén a helyzet komplikáltabb.

6. Alaprezolúció

Példa

Tekintsük például a következő két klózt:

C1=P(x)˅Q(x)

C2=¬P(f(y))˅R(y)

Látszólag nincs olyan literál C1-ben, amely komplementere lenne a C2 valamelyik literáljának.

Ha viszont előállítjuk a Herbrand-univerzum feletti alapelőfordulástokat,

akkor az x/f(a), y/a helyettesítések mellett előálló P(f(a))˅Q(f(a)),

¬P(f(a))˅R(a) alapklózokban a P(f(a)), ¬P(f(a)) ilyen komplemens pár.

6. AlaprezolúcióPélda alaprezolúcióra

Előállítjuk az első rendű klózok magjainak összes alappéldányát és az alapklózok halmazán ítéletlogikai rezolúcióval levezetjük az üres klózt.

Az elsőrendű klózhalmaz:

{xy(P(x)Q(x,f(y))), zv(P(g(z))P(v)), uQ(g(u),u)}

H univerzum: a, g(a), f(a), g(f(a)), g(g(a)), f(f(a)), f(g(a)), …(A klózhalmaz leíró nyelvének összes alaptermje)

Alapklózok:

alaprezolúció az ítletlogikai megfelelő levezetés

1. Q(g(f(a)), f(a)) u/f(a) 1. X

2. P(g(f(a)))Q(g(f(a)),f(a)) x/g(f(a)), y/a 2. YX

3. P(g(f(a))) 3. Y

4. P(g(f(a))) z/f(a), v/ g(f(a)) 4. Y

5. 5.

x y z v u P(x)Q(x,f(y)) P(g(z))P(v) Q(g(u),u)

a a a a a P(a)Q(a,f(a)) P(g(a))P(a) Q(g(a),a)

g(a) a a g(a) a P(g(a))Q(g(a),f(a)) P(g(a))P(g(a)) Q(g(a),a)

g(a) a a g(a) f(a) P(g(a))Q(g(a),f(a)) P(g(a))P(g(a)) Q(g(f(a)), f(a))

g(f(a))

a f(a) g(f(a)) f(a) P(g(f(a)))Q(g(f(a)),f(a)) P(g(f(a)))P(g(f(a))) Q(g(f(a)), f(a))

1. Rendű rezolúció

Az elsőrendű rezolúcióban a rezolvens képzésnél az illesztő helyettesítéssel dolgozunk, és az alapján próbáljuk levezetni az üres klózt.

Példa

Elsőrendű rezolúciós levezetés a

{xy(P(x)Q(x,f(y))), zv(P(g(z))P(v)), uQ(g(u),u)} klózhalmazból.

1. P(x)Q(x,f(y)) K

2. Q(g(u),u) K u / f(y), x/g(f(y)),

3. P(g(f(y))) rez(1,2)

4. P(g(z))P(v) K faktorizálás (v/g(z)) z/f(y), )

5.

logika 7. előadás

Documents