logika & razvedrilna matematika 1

Logika & razvedrilna matematika 1

Spoštovani,

Pred vami je tretja številka 30. letnika revije Logika in razvedrilna matematika. Tudi ta številka se

ne razlikuje veliko od prejšnjih. Zadnjič bomo podelili nagrade za logično nalogo in nalogo v

esperantu, ker je zanimanje za reševanje usahnilo. Spet bi vas radi opozorili na starejše številke

revije, ki so zdaj dostopne na spletu, bodisi v celoti, bodisi le delno. Do teh številk pridete prek

povezave: http://www.logika.si/revija/vsebine.htm

Na spletni strani http://www.logika.si/ smo pripravili štiri sklope nalog, ki bodo lahko služile za

pripravo na tekmovanje iz logike (https://www.zotks.si/ ), iz razvedrilne matematike

(https://www.dmfa.si/ ), na tekmovanje Matemček in na tekmovanje za priznanje logične pošasti

(http://www.mathema.si/ ).

Še bolj so te naloge koristne za vsakdanje urjenje možganov, ki tako kot telo potrebujejo nekaj

vsakdanje telovadbe, potrebujejo kakšno logično nalogo za jutranji zagon naših misli.

Na spletni strani logika.si boste našli še vrsto člankov iz preteklih številk revije, ki dajejo nekaj

teoretičnih izhodišč in definicij, povezanih z logiko, ter več zbirk tipičnih logičnih nalog.

Naredili smo tudi precej zgledov sklopa računanje, kjer bomo objavljali naloge za utrjevanje

osnovnih vsebin matematike v osnovni in srednji šoli.

http://www.logika.si/revija/vsebine.htm

http://www.logika.si/

https://www.zotks.si/

http://www.mathema.si/


Barvni sudoku

V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici,

v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve nastopalo vseh n števil.

1.

1

4

3

4

2

3

4

1

2

3

4 2

1

4

1

3

2

3

4

2

3

3

2

4

3

4

1

2

3

3

3

1

4

4

3

1

5

6

4

1

6

1 5

3

2

2

1

4

4

3

3

4

1

2

2

3

1 3

4


2.

1

4

5

3

3

5

4

2

3

5

2

4

4

2 3

2

1

2

4

4

1

2

2

3

5

1

2

3

1

1

2

3

5

3 1 2

1

4

3

5

4

1

5

2


Latinski kvadrati

V n n kvadratkov moraš vpisati začetne številke 1, 2, 3, … tako, da bo v vsaki vrstici, v

vsakem stolpcu nastopalo vseh n številk.

3 42

5 3 44 2 1

1 32

3 11 2

5

2 4 1

4

2

1

3

1 3

2

1

3 42 3

53 2 54

5 22 4

1

1 4 2

2

3 1

3

1

2

3

4 3

2 45 2 1

1 25

55 2

1 34

4

3 41

35 1

1 4

2 3

5 25 1

5 1


Sudoku s črkami

V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici,

v vsakem stolpcu in v kvadratkih z isto črko nastopalo vseh n števil.

D

D

A

A

B

B

A

D

C

C

C

B

B

C

D

A

4

1

2

D

B

C

B

C

B

C

D

A

A

A

A

D

B

D

C1

4

3B

A

C

A

B

B

D

C

B

A

D

D

C

A

D

C1 2

4

A

B

B

A

D

D

C

D

D

B

A

C

A

B

C

C

1 2

3

D

B

A

C

B

B

C

C

A

D

A

A

B

D

C

D2

4

1

B

C

A

B

A

D

C

A

D

D

B

B

C

A

C

D

4

1 2

D

A

B

D

D

B

C

D

A

A

A

B

B

C

C

C

1 2 4

C

C

B

C

B

C

B

D

A

A

A

D

D

B

A

D

3

1 4

D

B

D

A

C

C

C

B

D

C

D

B

B

A

A

A

2

4

3

A

D

B

A

B

D

C

C

B

A

C

C

D

D

A

B

4

3

2C

A

B

D

C

A

B

B

A

D

D

D

C

C

B

A4

1 2D

D

A

D

A

B

C

C

B

C

A

A

B

D

B

C

4 1 3


Futoshiki

V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici

in v vsakem stolpcu nastopalo vseh n števil ter da bodo izpolnjene vse relacije.

3

1

1

1 4

1

3 5

3

2 1

3

4

3

2

3 2

1

3

1 5

4 2

2

2 3

1

4

4

1

3

3

5

5

1

2 1

3 1


Določi razpored

A JE SOSEDA OD

B.

N

B JE DESNO OD

C.

N

A JE DESNO OD

C.

R

B JE DESNO OD

C.

R

A JE SOSEDA OD

B.

R

B JE SOSEDA OD

C.

R

A JE LEVO OD D. N

C JE DESNO OD D. N

B JE DESNO OD C. N

B JE LEVO OD C. R

A JE SOSEDA OD D. N

A JE DESNO OD C. R

A JE LEVO OD D. R

B JE LEVO OD C. R

B JE SOSEDA OD C. R

A JE LEVO OD E. N

A JE SOSEDA OD C. R

D JE SOSEDA OD E. N

B JE LEVO OD D. R

A JE SOSEDA OD E. N

C JE SOSEDA OD E. R

D JE DESNO OD E. N

A JE DESNO OD D. R

C JE LEVO OD E. N

A JE SOSEDA OD D. R

A JE LEVO OD C. N

B JE DESNO OD D. N

A JE SOSEDA OD B. R

A JE LEVO OD E. R

A JE DESNO OD E. N

D JE DESNO OD E. R

B JE DESNO OD D. R

B JE LEVO OD D. N

B JE LEVO OD C. R


Gobelini Kvadratke v razpredelnici moraš pobarvati sivo tako, da bo zaporedje sivih pasov v vrstici

ustrezalo zaporedju števil na desni in da bo zaporedje sivih pasov v stolpcu ustrezalo

zaporedju števil pod njim.

1, 3, 1

1, 3, 1

1, 3, 1

1, 3, 1

1, 3, 1

1, 3, 1

1

6 6 7 6 6

1, 2, 22, 371, 24, 11, 14, 13, 11, 1

4

1

1

2

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

2

1

1

1

4 8

3, 2

1, 1

2, 1

1, 2

1, 1

2, 3

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

2

1

7

1

1 1 1 3 1 1 1

2

1, 1

2

2

2 1

2

3

3, 3

2, 1, 2

2, 1, 2

1, 1, 1, 1

1, 1, 1, 1

1, 3, 1

2, 2

6 3

1

1

4

2

1

1

4

3

16

4

4

4

2

1, 2

3

1

3 5 5

3, 3

2, 2

1, 1

1, 1

2, 2

3, 3

3

3

2

2

1

1

1

1

2

2

3

3

1, 1

4

4

1

4

1, 3

2, 1

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1, 1, 1

1, 1, 1, 1

1

2 2 1 2

11

1, 2

5

4, 3

1, 1

2, 5

2, 5

1

6 2

2

2 2

2

1

2

1

2

1

1

2

1

5

4

1, 2

3

1, 2

2

1, 2

43

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

2

1

2


Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da je vsota števk v

zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v rdečem

kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke

v posamezni vrstici (stolpcu) različne.

17 1215

1020

197

1413

17

15 1415

1222

1310

711

3

11 6

9

12

8

12

12 24

16

12

22

10

14 15

16

21

17

11

16

12

11 34

1316

1111

124

15

4 9

9

11

11

4

16 1315

7 1613

513

243 17

1215

17

17 1217

6 1210

514

145 13

1715

9

17 917

814

2412

1110

16

8 21

9

13

23

10

15 1712

5 1714

513

179 15

1514

14


Križni produkti

Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 2 do 9 tako, da bo zmnožek števk

v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enak številu, ki je zapisano v sivem

kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke

v posamezni vrstici (stolpcu) različne.

35 20

35

16

160

120

16

24

20

18

21 24

28

18

16 252

8

32 63

56

14

72

72

18 84

32

224

24

18 54 30

108

270

14 45

35

24

108

360

36

12

16

30

8 168

12

42

168

28


Labirint na kocki Poveži točki na kocki:


Labirinti na enostavnih poliedrih

Poveži točki na poliedru:


Labirinti na robovih poliedra

V naslednjih nalogah moramo povezati dve oglišči poliedra, ki je podan z mrežo. Poiskati moramo

pot od oranžne do modre točke. Iz ene točke lahko gremo do druge točke, če je med njima debelejša

črta ali pa točki predstavljata isto oglišče poliedra.

1.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2.

12

3

4

56

7

8

910

11

12

1314

15

16

17

1819


Večdelni labirinti na zemljevidu

1.

2.

3.


Odstranjene kocke Dan je kvader, ki sestoji iz kockic. Odstranimo vse kocke, ki so zaznamovane črno od vrha do

dna, od leve do desne in od spredaj do zadaj. Koliko kock smo odstranili?


Kocki določi mrežo

Vsaki mreži na desni (večja mreža) določi mrežo iste kocke na levi.


Labirint v kvadru

Kvader sestoji iz vodoravnih slojev kockastih oddelkov (zgornji, srednji in spodnji sloj so dani od

leve proti desni). Odebeljene črte preprečujejo prehajanje med sosednjima oddelkoma istega sloja.

Med oddelkom in oddelkom neposredno pod njim lahko prehajamo, če in samo če je prvi pobarvan

belo.

Poišči najkrajšo pot od oddelka s smeškom do oddelka s srcem! Pot označi z zaporednimi

naravnimi števili. Prvi oddelek je že označen z 1, vsak naslednji sosednji oddelek (kocko) pa s

številom, večjim za 1.


Labirinti na ploskvah

Podan je labirint na pravokotniku. Moramo poiskati pot od temnejše do svetlejše pike. Prehod med

sosednjimi kvadratki je možen, če med njima ni odebeljene črte. Skica na levi pomeni, kako sta

nasprotni stranici pravokotnika povezani (miselno ju moramo zlepiti).


Labirinti na projekcijah teles

Telo je projicirano v ravnino. Na projekciji je podan labirint, kjer odebeljene črte preprečujejo

prehod iz projekcije mejne ploskve na projekcijo sosednje mejne ploskve.


Labirinti na mreži valja in stožca

1.

2.

3.


Analiziraj pogoje nalog

Dobro definirana naloga je naloga, pri kateri so njeni pogoji potrebni in zadostni za njeno rešitev.

To pomeni, da noben pogoj ni odveč in da ima naloga enolično rešitev. Pri zastavljeni nalogi imamo

lahko več možnosti:

Naloga nima rešitve, pogoji so protislovni.

Naloga ima več rešitev, to je, pogoji niso zadostni (za enolično rešitev).

Naloga ima enolično rešitev, vendar pogoji niso potrebni (vsaj en pogoj bi lahko izpustili in bi

naloga še vedno imela enolično rešitev).

Naloga ima enolično rešitev in pogoji so potrebni (neodvisni) in seveda zadostni. Naloga je dobro

definirana.

V naslednjih nalogah moramo ugotoviti, kako je s pogoji naloge.

Poiskati moramo imena A, B,C, … likov, ki so označeni z 1, 2, 3, …, če so izpolnjeni pogoji na

desni strani slike. Ugotoviti moramo tudi, ali so pogoji neodvisni.

1

2

4 3

1. Lik D je oranžen. N

2. Lik A je desno od D. R

3. Ali je lik C zelen ali je lik B rumen. R

2

3

4

1

1. Če je lik A kvadrat, potem je lik A rumen. R

2. Lik D je oranžen, če in samo če je lik C petkotnik. N

3. Če je lik D rumen, potem je lik C trikotnik. N

1

3 2

4

1. Lik A je nad D. N

2. Lik D je zelen in lik C je rumen. R

3. Lik D je petkotnik ali je lik A kvadrat. R

3

2

1 4

1. Lik A ni rumen. R

2. Ali je lik D trikotnik ali je lik C trikotnik. N

3. Če je lik A trikotnik, potem je lik D oranžen. N


1

3

4

2

1. Petkotnik D Zelen B R

2. Petkotnik B Rumen B R

3. Zelen C Rumen B N

4

3

1

2

1. Trikotnik A N

2. Rumen C Trikotnik D R

3. Zelen B Oranžen D R

1

4 3

2 1. Trikotnik D R

2. Desno od B, C N

3. Zelen A Trikotnik C R

1

2

3

4

1. Trikotnik C N

2. Kvadrat D Zelen D R

3. Zelen D Rumen A N


Logična naloga Štiri prijateljice (Maja, Dora, Jana, Ada) imajo z različnine konje (Blisk,

Viharnik, Mistral, Reno), ki so različnih pasem (arabec, lisec, vranec, lisjak).

Za vsako določi ime, ime konja in njegovo pasmo.

1. Reno ni ne lisec ne lisjak.

2. Blisk ni ne lisec ne lisjak.

3. Maja nima lisca.

4. Jana nima Mistrala.

5. Mistral ni lisjak.

6. Ada ima konja z imenom Reno.

7. Jana nima vranca.

8. Reno ni vranec.

Maja

Dora

Jana

Ada

arabec

lisec

vranec

lisjak

Bli

sk

Vih

arnik

Mis

tral

Ren

o

arab

ec

lise

c

vra

nec

lisj

ak

Maja

Dora

Jana

Ada

ime konj pasma

Naslednji reševalci nagradne uganke iz 2. številke bodo prejeli nagrado Prizme in piramide: S.L.P.,

ŠMARJE PRI JELŠAH, S.U., RAKEK in Ž.D., PREBOLD.


Naloga v esperantu

Kvar amikinoj (Belindo, Elizabeto, Julia, Kristina) kun diversaj familiaj nomoj

(Gonzalez, Dupont, MacDonald, Schneider) havas diversajn profesiojn (artistino,

bankistino, muzikistino, policistino).

Divenu iliajn nomojn, familiajn nomojn kaj profesiojn.

1. Belindo ne estas muzikistino.

2. La familia nomo de Kristina estas nek Schneider nek Gonzalez.

3. Sinjorino Dupont estas nek policistino nek artistino.

4. Sinjorino Schneider estas nek muzikistino nek policistino.

5. La familia nomo de Julia estas MacDonald.

6. La profesio de sinjorino Gonzalez ne estas policistino.

7. La profesio de sinjorino Dupont ne estas muzikistino.

Naslednji reševalki nagradne uganke v esperantu iz 2. številke bosta prejeli nagrado Prizme in

piramide: R.K. in N.K., Prebold. Knjigo Esperanto prejme OŠ Prebold.


Prizmatični kalejdoskopi

Prizmatični kalejdoskop dobimo, če dve zrcali, katerih ravnini se sekata pod nekim kotom,

postavimo pravokotno na tretje zrcalo. Če je kot med prvima zrcaloma 2/n, dobimo n-kotni

prizmatični kalejdoskop. Pri naslednjih modelih smo uporabili zrcalno folijo, ki smo jo nalepili na

pravokotne ploščice Polydron. Kote smo merili s posebnim kotomerom. Ker je najmanjši kot med

dvema ploščicama 45=2/8=/4, lahko dobimo 3-8 kotne kalejdoskope.


Drugi poliedrski kalejdoskopi iz ploščic Tri ploščice v obliki zlatega romba, ki imajo skupno oglišče tvorijo kalejdoskop dvajseterca.

trikotnika.

Z uporabo enakokrakega trikotnika lahko tvorimo enakokrake trapeze in dobimo odprte

kalejdoskope. V spodnjem primeru dobimo približno kalejdoskop dvanajsterca.


Večje strukture iz paličic Tokrat si bomo ogledali nekaj večjih struktur, ki smo jih naredili iz paličic in kroglic podjetja

Zometool. Rdeče paličice so povezane s petkratno rotacijsko simetrijo. Na spodnji sliki imamo

strukturo sestavljeno iz koničastih zlatih romboedrov. V naravi se ti romboedri pojavljajo v

kvazikristalih. Naš ima obliko rombskega šestdeseterca in ima simetrijo dvajseterca.

Na spodnji sliki je Nobelov nagrajenec za fiziko Roger Penrose z modelom molekule v obliki

koničastega zlatega romboedra. Desno je fotografija vzdolž osi petkratne simetrije.


In še vzdolž trikratne in dvojne simetrije.

Naslednja fotografija prikazuje površje nekonveksnega rombskega poliedra, ki aproksimira

dvajseterec.


Naloga z dvema absolutnima vrednostima

Spodnja slika prikazuje reševanje naloge z dvema absulutnima vrednostima. Program v mathematici generira

in reši nalogo.

Najprej razdelimo množico realnih števil na tri intervale glede na ničli izrazov v absolutnih vrednostih. V

našem primeru sta ničli 0 in 1. V drugi vrstici odpravimo absolutni vrednosti. V tretji vrstici poenostavimo

levo stran neenačbe. Četrta vrstica predstavlja rešitev neenačbe, ne da bi upoštevali pogoj, kjer jo rešujemo.

V peti vrstici upoštevamo pogoj. Če ni rešitve, mathematica vrne “False.” Končen rezultat zapišemo z

logičnimi znaki. Slika predstavlja grafično rešitev. Rjava premica je graf desne strani neenačbe.

Referenci:

Izidor Hafner"Inequalities and Equations with Absolute Values"

http://demonstrations.wolfram.com/InequalitiesAndEquationsWithAbsoluteValues/

Wolfram Demonstrations Project

Izidor Hafner"Inequalities and Equations with Nested Absolute Values"

http://demonstrations.wolfram.com/InequalitiesAndEquationsWithNestedAbsoluteValues/

Wolfram Demonstrations Project

http://demonstrations.wolfram.com/author.html?author=Izidor+Hafner



http://demonstrations.wolfram.com/

http://demonstrations.wolfram.com/author.html?author=Izidor+Hafner



http://demonstrations.wolfram.com/


Rešitev neke logične naloge

Nekje v oceanu obstaja otok, na katerem živijo prebivalci dveh vrst Vitezi, ki vedno govorijo resnico in

oprode, ki vedno govorijo neresnico. V naslednji nalogi bomo imeli 3 domačine, ki jih označujemo z A, B,

C. Prva 2 med njimi bosta zaporedoma dala eno izjavo. Kateri prebivalec je vitez in kateri je oproda?

Izjava prebivalca A: C je oproda ali je B oproda.

Izjava prebivalca B: C je vitez in A je vitez.

Postopek reševanja:

Zgornje pogoje zapišemo v matematičnem jeziku. Dogovorimo se za oznako , ki jo dodamo pri oprodi.

Potek reševanja sem zapisala s semantičnim drevesom in s tabelo.

A: C B

B: C A

Predpostavimo 4 možnosti:

1. A in B sta viteza.

2. A je vitez in B je oproda.

3. A je oproda in B je vitez.

4. A in B sta oprodi.

Semantično drevo:

A

B

A

B

A

B

A

B

C

C

X

B

X

C

A

X

C B C

B

X C A

X

C A

X

Tabela:

A

B

A

B

A

B

A

B

1. izjava C B

X

C

B

C B C

B

X

2. izjava C

A

X

C

A

X

C A

X

C A

X

Rešitev:

A je vitez

B je oproda

C je oproda

Nina Budna


Rešitve Barvni sudoku 1.

3

2

4

1

4

1

3

2

1

4

2

3

2

3

1

4

2

3

1

4

3

2

4

1

4

1

3

2

1

4

2

3

3

2

1

4

2

3

4

1

1

4

2

3

4

1

3

2

3

1

2

4

1

3

4

2

2

4

1

3

4

2

3

1

1

3

4

2

3

1

2

4

2

4

1

3

4

2

3

1

2

1

3

4

3

2

4

1

1

4

2

3

4

3

1

2

2

4

1

5

3

3

1

5

2

4

5

3

4

1

2

4

5

2

3

1

1

2

3

4

5

4

2

1

3

1

3

2

4

2

4

3

1

3

1

4

2

4

3

1

2

5

6

5

6

3

4

2

1

1

2

5

6

3

4

3

1

4

5

6

2

6

5

2

1

4

3

2

4

6

3

1

5

3

4

1

2

1

2

3

4

4

3

2

1

2

1

4

3

1

2

3

4

4

3

1

2

3

4

2

1

2

1

4

3

5

4

2

3

1

2

3

1

4

5

1

5

4

2

3

4

1

3

5

2

3

2

5

1

4


2.

3

2

1

4

5

5

4

3

2

1

4

5

2

1

3

2

1

5

3

4

1

3

4

5

2

1

3

2

4

5

4

5

3

1

2

2

4

1

5

3

5

2

4

3

1

3

1

5

2

4

1

4

3

2

5

5

2

1

3

4

3

1

5

4

2

2

5

4

1

3

4

3

2

5

1

3

2

1

4

1

3

4

2

4

1

2

3

2

4

3

1

3

2

1

4

2

3

4

1

1

4

3

2

4

1

2

3

2

4

3

1

4

2

1

3

1

3

2

4

3

1

4

2

5

1

2

3

4

4

5

3

2

1

2

4

1

5

3

1

3

5

4

2

3

2

4

1

5

4

2

3

1

3

1

4

2

1

4

2

3

2

3

1

4

4

1

2

3

2

3

4

1

1

2

3

4

3

4

1

2

4

2

1

3

5

3

4

5

1

2

1

5

4

2

3

2

1

3

5

4

5

3

2

4

1

2

1

4

5

3

4

2

5

3

1

1

5

3

2

4

5

3

1

4

2

3

4

2

1

5

5

1

4

2

3

3

2

5

4

1

2

4

1

3

5

1

3

2

5

4

4

5

3

1

2


Latinski kvadrati

2 3 1 4 53 2 4 5 14 1 5 3 21 5 3 2 45 4 2 1 3

2 4 1 5 35 2 3 4 13 5 4 1 21 3 5 2 44 1 2 3 5

3 2 4 1

2 3 1 4

1 4 2 3

4 1 3 2

3 4 1 2

2 1 3 4

4 3 2 1

1 2 4 3

3 5 2 1 45 2 1 4 34 1 3 5 21 3 4 2 52 4 5 3 1

4 1 5 3 22 5 1 4 35 3 2 1 43 2 4 5 11 4 3 2 5

2 1 3 4

3 4 1 2

4 3 2 1

1 2 4 3

4 3 2 1

1 2 3 4

3 4 1 2

2 1 4 3

1 2 5 4 34 5 2 3 13 4 1 5 22 3 4 1 55 1 3 2 4

1 3 2 5 45 1 3 4 24 5 1 2 33 2 4 1 52 4 5 3 1

3 4 1 2 55 1 4 3 24 2 3 5 12 3 5 1 41 5 2 4 3

4 2 1 3 52 1 3 5 41 5 2 4 35 3 4 1 23 4 5 2 1


Sudoku s črkami

D

D

A

A

B

B

A

D

C

C

C

B

B

C

D

A

3

2

4

1

2

1

3

4

1

4

2

3

4

3

1

2

D

B

C

B

C

B

C

D

A

A

A

A

D

B

D

C

4

3

2

1

1

4

3

2

2

1

4

3

3

2

1

4

B

A

C

A

B

B

D

C

B

A

D

D

C

A

D

C

2

4

3

1

3

1

4

2

4

2

1

3

1

3

2

4

A

B

B

A

D

D

C

D

D

B

A

C

A

B

C

C

2

3

1

4

3

1

4

2

4

2

3

1

1

4

2

3

D

B

A

C

B

B

C

C

A

D

A

A

B

D

C

D

3

4

1

2

2

3

4

1

4

1

2

3

1

2

3

4

B

C

A

B

A

D

C

A

D

D

B

B

C

A

C

D

3

4

2

1

4

2

1

3

1

3

4

2

2

1

3

4

D

A

B

D

D

B

C

D

A

A

A

B

B

C

C

C

3

1

4

2

1

3

2

4

4

2

3

1

2

4

1

3

C

C

B

C

B

C

B

D

A

A

A

D

D

B

A

D

4

2

3

1

2

3

1

4

3

1

4

2

1

4

2

3

D

B

D

A

C

C

C

B

D

C

D

B

B

A

A

A

1

3

2

4

2

4

3

1

3

1

4

2

4

2

1

3

A

D

B

A

B

D

C

C

B

A

C

C

D

D

A

B

3

4

2

1

4

3

1

2

1

2

3

4

2

1

4

3

C

A

B

D

C

A

B

B

A

D

D

D

C

C

B

A

3

2

1

4

1

3

4

2

4

1

2

3

2

4

3

1

D

D

A

D

A

B

C

C

B

C

A

A

B

D

B

C

2

1

4

3

3

2

1

4

4

3

2

1

1

4

3

2


Futoshiki

3 2 1

1 3 2

2 1 3

4 3 2 1

2 1 4 3

1 4 3 2

3 2 1 4

1 3 2

3 2 1

2 1 3

5 2 4 1 3

4 1 2 3 5

1 5 3 2 4

3 4 1 5 2

2 3 5 4 1

2 1 3 4

4 2 1 3

1 3 4 2

3 4 2 1

4 1 3 2

1 4 2 3

2 3 4 1

3 2 1 4

2 1 3

3 2 1

1 3 2

5 3 2 4 1

1 2 3 5 4

3 5 4 1 2

2 4 1 3 5

4 1 5 2 3

2 5 1 4 3

1 2 5 3 4

5 4 3 1 2

3 1 4 2 5

4 3 2 5 1

3 4 5 2 1

1 5 3 4 2

2 1 4 5 3

5 2 1 3 4

4 3 2 1 5

2 3 1

1 2 3

3 1 2

1 2 3

3 1 2

2 3 1


Razpored znakov

B C A C B A

B C D A C A B D

E B C A D B D E C A

C B A D E A E D B C

Gobelini

1, 3, 1

1, 3, 1

1, 3, 1

1, 3, 1

1, 3, 1

1, 3, 1

1

6 6 7 6 6

1, 2, 22, 371, 24, 11, 14, 13, 11, 1

4

1

1

2

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

2

1

1

1

4 8

3, 2

1, 1

2, 1

1, 2

1, 1

2, 3

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

2

1

7

1

1 1 1 3 1 1 1

2

1, 1

2

2

2 1

2

3

3, 3

2, 1, 2

2, 1, 2

1, 1, 1, 1

1, 1, 1, 1

1, 3, 1

2, 2

6 3

1

1

4

2

1

1

4

3

16

4

4

4

2

1, 2

3

1

3 5 5

3, 3

2, 2

1, 1

1, 1

2, 2

3, 3

3

3

2

2

1

1

1

1

2

2

3

3

1, 1

4

4

1

4

1, 3

2, 1

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1, 1, 1

1, 1, 1, 1

1

2 2 1 2

11

1, 2

5

4, 3

1, 1

2, 5

2, 5

1

6 2

2

2 2

2

1

2

1

2

1

1

2

1

5

4

1, 2

3

1, 2

2

1, 2

43

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

2

1

2


Križne vsote

8 7

9 5 6

4 3

7 6

9 8

17 1215

1020

197

1413

17

6 9

9 5 8

4 6

5 6

2 1

15 1415

1222

1310

711

3

7 2

4 1 3

3 9

11 6

9

12

8

12

7 9

5 8 9

7 3

12 24

16

12

22

10

9 7

5 8 4

9 7

8 4

14 15

16

21

17

11

16

12

3 1

8 2 6

7 4

1 3

6 9

11 34

1316

1111

124

15

3 6

1 2 8

1 3

4 9

9

11

11

4

7 8

9 4 6 7

1 2 7 1 9

3 4 8

8 9

16 1315

7 1613

513

243 17

1215

17

8 9

9 1 5 9

2 3 9 1 3

2 9 4

8 1

17 1217

6 1210

514

145 13

1715

9

9 8

8 1 5

3 9

8 2

7 9

17 917

814

2412

1110

16

2 7

6 8 9

6 4

8 21

9

13

23

10

9 3

6 8 4 9

6 3 6 1 8

2 9 3

6 8

15 1712

5 1714

513

179 15

1514

14


Križni produkti

7 5

5 4 8

2 8

5 4

3 6

35 20

35

16

160

120

16

24

20

18

7 4

3 6

21 24

28

18

2 4

8 7 8 9

9 2 3 4 7

7 8 4

4 6

16 252

8

32 63

56

14

72

72

18 84

32

224

24

2 9 6

9 6 5

18 54 30

108

270

7 5

2 9 6

4 9

8 2

5 6

14 45

35

24

108

360

36

12

16

30

2 6

4 7 6

4 7

8 168

12

42

168

28


Labirint na kocki

1

23

4

5

6 7 8

9

101112

13

14

15

1617

18

19

20

21 22

23 24

25

26 27

28

29

30

31

32

33

34

3536

37

383940

41 42 43

44

4546

47

48 49

5051

52 53

54

55

565758

59

606162

63 64

6566

6768

69

70

71 72

73

74

1

2 3 4

56

789

10 11

12 13 14

15 16

1718

192021

22

2324

25 26

27 28 29

30

31

3233

34

35

3637

3839

4041424344

45

46

47

48

49

50 51

52 53 54

55 56

57

585960

12

3 4

5

67

89

10

11

12

13

14

15

16

17

1819

20

21 22

23

24

252627

2829

30

31

3233

34

35

36

37 38

394041 42

43

4445

46

1

2

34

5

6

7 8 9 10

111213

14

1516

17

18

1920

21

22

23

24

25

26

27 28

29

30 31 32

33

34

35 36

37

38

39

40 41 42

43

4445

4647

48 49

5051

52 53 54

555657

5859

1

23

45

6789

10

11121314

15

16

17 1819

20 21

22 23

24 25 26

27

2829

30 31

32

33

34 35

36

37 38

39

40

4142 43

44

45

46

47

4849

505152

53

54 55

5657

58

59 60

61 62

63

64 65

66 67 68 69

70 71

72 73 7475 76 77

7879

80 81

82 83

8485

86

87

88 89

1

2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

131415

16 17

181920

21

2223

242526

27 28

2930

31 32 33 34 35

36

373839

40

414243

44

4546

47 48

49 50 51


Labirinti na enostavnih poliedrih

1 2

3456

7 8

9 10 11 12

13

14 15 16

1718

19

2021

222324

25 26 27

2829

3031

32

33

3435

3637

38 39

4041

4243

44 4546

4748

49

50 51 52

53

54 55

5657

58 59 60 61

62636465

666768

69

70 71

72 73

1

2

3 4

5

6

7

8 9

10 11

12 13

14

151617

18 19

20 21 22

23

24

25

2627

2829

30

31

3233

3435

36

37 38

39 40

4142

43

44

45464748

49

50

51

52 53

54

55

56 57 58

59

6061

62

63

64

65 66

67

686970

71

72

1234

56

7

8

910

11

12

1314

15

16

17 18 19

20

2122

23

24

252627

2829

30

31

32333435

36

37

3839

40

41

42

43

44

45

46

47

1

2

3

4

5

6

7

8 9

1011

12

13 14

15

16171819

2021

22

23

24

25

26

27

28

2930

31

12

3 45

678

910

11

1213

14 15

1617

1819

2021

22

23

24

25

26

27

28

29

3031 32 33

34

35

36

37

3839

40

4142

43

44 45

46 47

48

49

50

5152

53

5455

5657

58

1 2 3 4

56

7

8

9

1011

12

13

14

15

16

17

18

19

2021

2223

2425

26 2728

2930313233

3435

3637

3839 40 41

42 4344

4546

4748

49


Labirinti na robovih poliedra

1.

5

9

1

7

3

2 10

6

4

8

2

1

9

10

6

10

9

55 3

46

7

8

4

3

2

8

7

1

{8,4,6,10,2,1,7}

2.

17 13

9

5

1

711

15

19

3

2

6

10 14

18

4

20

1612

8

1920

43

19

1516

20

12 16

1511

11 7

812

7

1

2

8

1

56

2

65

91010

9

131414

13

171818

17

34

{14,18,4,20,16,12,8,2,1,5,9,13}


Večdelni labirinti na zemljevidu 1.

2.

3.


Odstranjene kocke

52 83 53

89 51 54

56 77 74

97 81 57

Kocki določi mrežo {3, 4, 1, 4, 3, 2} Labirint v kvadru

12

3

4

567

8 9

1011

12 13 14

15

16

1718

19

20

21 22

23

24

25 26 2728

29

30 31

3233

34

35 36

12

3 4

56

7 8 9

10

11

12131415

16

17

18 19

20

21 2223

242526

27 28

2930

31 32 33

34 35

1 2 3

456

7 8 9

101112 13

14

15

16 17 18

1920

21 22

2324 25

26

27

28 29

30

31

32

123

4

5

678

9 10

1112

13 14 15

16

17

1819

20

21

22 23

24

25

26 27 2829

30

31 32

3334

35

36


Labirint na ploskvah

123

4

5678

910

11

12

13 14

15 16 17

18

19 20 21 22

23

12

3 45

6

7

8

9 10

11 12 13

14

15 16

17

18 19

20212223

24

25

262728 29

30

31

32333435

3637

3839

4041

42 43

44 45 46 47

4849

50

51 52 53

5455

1

2

3456

78

9 10 11

12 13

14

15

16 17

18

19 20 21 22 23

2425

2627

28 29

303132

1

23

45

67

8 9 10

11

1213

14

15

16 17 18

1920

21 22 23

24 25 26

27

28

29 30

31

32

33

3435

36 37

3839

40414243

44

45 46 47

4849


Labirint na projekcijah teles


Labirinti na mreži valja in stožca 1.

1

23

4

5

6

789

10

11

12

13

14

15

16 17

1819 20 21

22

23 24

25

26

27

28

29

3031

32

3334

3536

2.

1

2

34

5

6

7

8

9

1011

12

13

14

15

16

17

18

19

20 212223

24 252627

3.

123

4

56

7

8

910

1112

13

14

151617

18 1920

2122

23

24

25

26

2728

29

30

31

32


Analiziraj pogoje nalog

A B D C

ABCD ACBD CABD CBAD

ADBC CBDA CDBA

ACDB BADC CADB

D A B C

DBAC

DACB DBCA

BADC ABDC ADBC

A C B D

ACDB BCDA

ABCD BDAC CDAB BADC CADB DCBA DBCA

BCAD

C B A D

CABD

BCAD BDAC CDAB

DBAC ADCB ACDB

A D B C

DABC

ACDB BCAD CDAB CBAD CADB

CDBA

C D B A

DABC

DCBA ADBC

BDCA BCDA CBDA ADCB ACDB

A D C B

ABCD BCDA DCBA BCAD DCAB

ADBC

BDCA CDAB

A B C D

ACBD

BADC DABC CADB DACB BDAC DBAC CDAB BDCA CBDA DBCA CDBA

BACD CABD CBAD


Izdaja: Založniško podjetje LOGIKA d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241 Kamnik. Poslovni račun pri NLB:

02312-0016592829. Davčna številka: SI56917309. Podjetje je zavezanec za DDV po zakonu o DDV. Za izdajatelja: Izidor Hafner.

E-mail: [email protected]

Spletna stran: http://www.logika.si. Revija Logika & razvedrilna matematika je vpisana v register medijev pri Ministrstvu za kulturo pod

številko 759. Strokovni pokrovitelj: Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko - oddelek za teoretično

računalništvo.

Glavni in odgovorni urednik: dr. Izidor Hafner (http://mat03.fe.uni-

lj.si/html/people/izidor/homepage/) Člana časopisnega sveta: prof. dr. Tomaž Pisanski in Darjo Felda, prof.

Recenzent: Vilko Domajnko, prof. Sodelavci: mag. Urša Demšar, dr. Gregor Dolinar, Monika Kavalir, dr. Meta Lah, Boštjan

Kuzman,Teja Oblak, Hiacinta Pintar, Maja Pohar, mag. Katka Šenk in dr. Aleš Vavpetič.

Oblikovanje: Ana Hafner Naslovnica: Maša Bratkovič

Jezikovni pregled: Besana

Za objavljene prispevke ne plačujemo honorarjev.

© 2021 LOGIKA d.o.o. ISSN 2350-532X

LOGIKA & RAZVEDRILNA MATEMATIKA, letnik XXX, št. 3 od 4, 2020/2021

Elektronska izdaja. Cena revije: 0 €.

logika & razvedrilna matematika 1

Documents