logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. logikai szita két...
TRANSCRIPT
![Page 1: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/1.jpg)
Logikai szita(tartalmazás és kizárás elve)
Kombinatorika5. előadás
SZTE Bolyai IntézetSzeged, 2016. március 1.
![Page 2: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/2.jpg)
5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4
Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát12-en, a fizikát 14-en szeretik. 5 tanuló szereti mindkét tárgyat.Hányan vannak, akik a két tárgy közül egyiket sem szeretik?
Kérdés:∣∣A ∪B
∣∣ = ?
![Page 3: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/3.jpg)
5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4
Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát12-en, a fizikát 14-en szeretik. 5 tanuló szereti mindkét tárgyat.Hányan vannak, akik a két tárgy közül egyiket sem szeretik?
Ω: az osztály tanulóinak halmaza (az alaphalmaz)A: a matematikát szerető tanulók halmaza (A ⊆ Ω)B: a fizikát szerető tanulók halmaza (B ⊆ Ω)
Ismert: |Ω| = 30, |A| = 12, |B| = 14, |A ∩B| = 5.Kérdés:
∣∣A ∪B∣∣ = ?
ΩA B
A∩B
![Page 4: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/4.jpg)
5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4
Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát12-en, a fizikát 14-en szeretik. 5 tanuló szereti mindkét tárgyat.Hányan vannak, akik a két tárgy közül egyiket sem szeretik?
Ω: az osztály tanulóinak halmaza (az alaphalmaz)A: a matematikát szerető tanulók halmaza (A ⊆ Ω)B: a fizikát szerető tanulók halmaza (B ⊆ Ω)
Ismert: |Ω| = 30, |A| = 12, |B| = 14, |A ∩B| = 5.Kérdés:
∣∣A ∪B∣∣ = ? ← itt és a továbbiakban H := Ω \H
ΩA B
A∩B
![Page 5: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/5.jpg)
5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4
Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát12-en, a fizikát 14-en szeretik. 5 tanuló szereti mindkét tárgyat.Hányan vannak, akik a két tárgy közül egyiket sem szeretik?
Ω: az osztály tanulóinak halmaza (az alaphalmaz)A: a matematikát szerető tanulók halmaza (A ⊆ Ω)B: a fizikát szerető tanulók halmaza (B ⊆ Ω)
Ismert: |Ω| = 30, |A| = 12, |B| = 14, |A ∩B| = 5.Kérdés:
∣∣A ∪B∣∣ = |Ω| − |A| − |B|+ |A ∩B| = 9.
ΩA B
A∩B
![Page 6: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/6.jpg)
5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4
Tetszőleges A,B ⊆ Ω halmazokra∣∣A ∪B∣∣ = |Ω| − |A| − |B|+ |A ∩B|.
Ω A BA∩B↓
• • • • • • • • • • •
![Page 7: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/7.jpg)
5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4
Tetszőleges A,B ⊆ Ω halmazokra∣∣A ∪B∣∣ = |Ω| − |A| − |B|+ |A ∩B|.
Bizonyítás. „A jobb oldal A ∪B elemeit 1-szer, A ∪ B elemeitpedig 0-szor számolja meg.”
Ω A BA∩B↓
• • • • • • • • • • •
![Page 8: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/8.jpg)
5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4
Tetszőleges A,B ⊆ Ω halmazokra∣∣A ∪B∣∣ = |Ω| − |A| − |B|+ |A ∩B|.
Bizonyítás. „A jobb oldal A ∪B elemeit 1-szer, A ∪ B elemeitpedig 0-szor számolja meg.” De mit is jelent ez?
Ω A BA∩B↓
• • • • • • • • • • •
![Page 9: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/9.jpg)
5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4
Tetszőleges A,B ⊆ Ω halmazokra∣∣A ∪B∣∣ = |Ω| − |A| − |B|+ |A ∩B|.
Bizonyítás. „A jobb oldal A ∪B elemeit 1-szer, A ∪ B elemeitpedig 0-szor számolja meg.” De mit is jelent ez?
|H| =∑h∈H
1
Ω A BA∩B↓
• • • • • • • • • • •
![Page 10: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/10.jpg)
5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4
Tetszőleges A,B ⊆ Ω halmazokra∣∣A ∪B∣∣ = |Ω| − |A| − |B|+ |A ∩B|.
Bizonyítás. „A jobb oldal A ∪B elemeit 1-szer, A ∪ B elemeitpedig 0-szor számolja meg.” De mit is jelent ez?Írjunk egy 1-est Ω minden elemére, majd (−1)-eket A elemeire,(−1)-eket B elemeire, és 1-eseket A∩B elemeire. Világos, hogya jobb oldal a felírt számok összege („színenként” számolva).
Ω A BA∩B↓
• • • • • • • • • • •1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
![Page 11: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/11.jpg)
5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4
Tetszőleges A,B ⊆ Ω halmazokra∣∣A ∪B∣∣ = |Ω| − |A| − |B|+ |A ∩B|.
Bizonyítás. „A jobb oldal A ∪B elemeit 1-szer, A ∪ B elemeitpedig 0-szor számolja meg.” De mit is jelent ez?Írjunk egy 1-est Ω minden elemére, majd (−1)-eket A elemeire,(−1)-eket B elemeire, és 1-eseket A∩B elemeire. Világos, hogya jobb oldal a felírt számok összege („színenként” számolva).
Ω A BA∩B↓
• • • • • • • • • • •1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
-1 -1 -1 -1 -1 -1
![Page 12: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/12.jpg)
5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4
Tetszőleges A,B ⊆ Ω halmazokra∣∣A ∪B∣∣ = |Ω| − |A| − |B|+ |A ∩B|.
Bizonyítás. „A jobb oldal A ∪B elemeit 1-szer, A ∪ B elemeitpedig 0-szor számolja meg.” De mit is jelent ez?Írjunk egy 1-est Ω minden elemére, majd (−1)-eket A elemeire,(−1)-eket B elemeire, és 1-eseket A∩B elemeire. Világos, hogya jobb oldal a felírt számok összege („színenként” számolva).
Ω A BA∩B↓
• • • • • • • • • • •1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1-1 -1
![Page 13: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/13.jpg)
5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4
Tetszőleges A,B ⊆ Ω halmazokra∣∣A ∪B∣∣ = |Ω| − |A| − |B|+ |A ∩B|.
Bizonyítás. „A jobb oldal A ∪B elemeit 1-szer, A ∪ B elemeitpedig 0-szor számolja meg.” De mit is jelent ez?Írjunk egy 1-est Ω minden elemére, majd (−1)-eket A elemeire,(−1)-eket B elemeire, és 1-eseket A∩B elemeire. Világos, hogya jobb oldal a felírt számok összege („színenként” számolva).
Ω A BA∩B↓
• • • • • • • • • • •1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1-1 -11 1
![Page 14: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/14.jpg)
5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4
Tetszőleges A,B ⊆ Ω halmazokra∣∣A ∪B∣∣ = |Ω| − |A| − |B|+ |A ∩B|.
Bizonyítás. „A jobb oldal A ∪B elemeit 1-szer, A ∪ B elemeitpedig 0-szor számolja meg.” De mit is jelent ez?Írjunk egy 1-est Ω minden elemére, majd (−1)-eket A elemeire,(−1)-eket B elemeire, és 1-eseket A∩B elemeire. Világos, hogya jobb oldal a felírt számok összege („színenként” számolva).
Ω A BA∩B↓
• • • • • • • • • • •1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1-1 -11 1
![Page 15: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/15.jpg)
∣∣A ∪B∣∣ = |Ω| − |A| − |B|+ |A ∩B|
Bizonyítás. „A jobb oldal A ∪B elemeit 1-szer, A ∪ B elemeitpedig 0-szor számolja meg.” De mit is jelent ez?Írjunk egy 1-est Ω minden elemére, majd (−1)-eket A elemeire,(−1)-eket B elemeire, és 1-eseket A∩B elemeire. Világos, hogya jobb oldal a felírt számok összege („színenként” számolva).Ha elemenként csoportosítva adjuk össze ezeket a számokat, ak-kor pedig a bal oldal adódik, mivel
egy x ∈ Ω elemre írt számok összege =
1, ha x ∈ A ∪B0, ha x ∈ A ∪B.
Ω A BA∩B↓
• • • • • • • • • • •1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1-1 -11 1
![Page 16: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/16.jpg)
∣∣A ∪B∣∣ = |Ω| − |A| − |B|+ |A ∩B|
Írjunk egy 1-est Ω minden elemére, majd (−1)-eket A elemeire,(−1)-eket B elemeire, és 1-eseket A∩B elemeire. Világos, hogya jobb oldal a felírt számok összege („színenként” számolva).Ha elemenként csoportosítva adjuk össze ezeket a számokat, ak-kor pedig a bal oldal adódik, mivel
egy x ∈ Ω elemre írt számok összege =
1, ha x ∈ A ∪B0, ha x ∈ A ∪B.
Az utolsó állítás 4 eset végiggondolásával ellenőrizhető: Csak az számít, hogyx az A ∩B, A ∩B, A ∩B és A ∩B „cellák” közül melyikbe esik.
Ω A BA∩B↓
• • • • • • • • • • •1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1-1 -11 1
![Page 17: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/17.jpg)
5. ea. Logikai szita három halmazra 2/4
Hasonlóan igazolható, hogy tetszőleges A,B,C ⊆ Ω halmazokra∣∣A ∪B ∪ C∣∣ = |Ω|−|A|−|B|−|C|+|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|−|A∩B∩C|
Bizonyítás. Az előző gondolatmenet elismételhető. Most nyolc„cella” lesz: A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ C,A∩B∩C, A∩B∩C, A∩B∩C, A∩B∩C. Most is azt találjuk,hogy a A∩B∩C cella elemeit 1-szer, a többi cella elemeit 0-szorszámolja meg a jobb oldal. (A részleteket mellőzzük.)
A B
C
A∩B∩C
A∩B∩C A∩B∩C A∩B∩C
A∩B∩C A∩B∩C
A∩B∩CA∩B∩C
![Page 18: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/18.jpg)
5. ea. Logikai szita három halmazra 2/4
Hasonlóan igazolható, hogy tetszőleges A,B,C ⊆ Ω halmazokra∣∣A ∪B ∪ C∣∣ = |Ω|−|A|−|B|−|C|+|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|−|A∩B∩C|
Bizonyítás. Az előző gondolatmenet elismételhető. Most nyolc„cella” lesz: A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ C,A∩B∩C, A∩B∩C, A∩B∩C, A∩B∩C. Most is azt találjuk,hogy a A∩B∩C cella elemeit 1-szer, a többi cella elemeit 0-szorszámolja meg a jobb oldal. (A részleteket mellőzzük.)
Már megbeszéltük, hogy mit értünk azon, hogy egy elemet va-lahányszor megszámol a jobb oldal: az adott elemhez tartozó±1-ek összegét (ahol a ±1-eket az előző bizonyításban látottmódon osztjuk ki a jobb oldalon szereplő halmazok elemeire).
![Page 19: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/19.jpg)
5. ea. Logikai szita három halmazra 2/4
Hasonlóan igazolható, hogy tetszőleges A,B,C ⊆ Ω halmazokra∣∣A ∪B ∪ C∣∣ = |Ω|−|A|−|B|−|C|+|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|−|A∩B∩C|
Bizonyítás. Az előző gondolatmenet elismételhető. Most nyolc„cella” lesz: A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ C,A∩B∩C, A∩B∩C, A∩B∩C, A∩B∩C. Most is azt találjuk,hogy a A∩B∩C cella elemeit 1-szer, a többi cella elemeit 0-szorszámolja meg a jobb oldal. (A részleteket mellőzzük.)
Próbáljuk meg ábra nélkül is végiggondolni, hogy az egyes „cel-lák” elemeit a jobb oldal hányszor számolja meg, és ehhez melytagokat (halmazokat) kell figyelembe venni.Például: „A∩B∩C cella elemei” ≡ „azon elemek, amelyek A-nakés B-nek elemei, C-nek pedig nem” . . .
![Page 20: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/20.jpg)
5. ea. A szita formula általános alakja 3/4
Tétel. Tetszőleges A1, A2, . . . , An ⊆ Ω halmazokra∣∣A1 ∪ . . . ∪An
∣∣ = |Ω| − |A1| − |A2| − . . .− |An|+ |A1 ∩A2|+ |A1 ∩A3|+ . . . + |An−1 ∩An|− |A1 ∩A2 ∩A3| − . . .− |An−2 ∩An−1 ∩An|...
+ (−1)n|A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An|.
![Page 21: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/21.jpg)
5. ea. A szita formula általános alakja 3/4
Tétel. Tetszőleges A1, A2, . . . , An ⊆ Ω halmazokra∣∣A1 ∪ . . . ∪An
∣∣ = |Ω| − |A1| − |A2| − . . .− |An|+ |A1 ∩A2|+ |A1 ∩A3|+ . . . + |An−1 ∩An|− |A1 ∩A2 ∩A3| − . . .− |An−2 ∩An−1 ∩An|...
+ (−1)n|A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An|.
Vagyis az alaphalmaz elemszámából kivonjuk az „egyhalmazos”metszetek elemszámait, majd hozzáadjuk a „kéthalmazos” met-szetek elemszámait, kivonjuk a „háromhalmazos” metszetek elem-számait, és így tovább, végül vesszük az összes halmaz („n-halmazos”) metszetének elemszámát a megfelelő előjellel.
„(n0
)tag” − „
(n1
)tag” + „
(n2
)tag” − · · · ± „
(nn
)tag”
![Page 22: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/22.jpg)
5. ea. A szita formula általános alakja 3/4
Tétel. Tetszőleges A1, A2, . . . , An ⊆ Ω halmazokra∣∣A1 ∪ . . . ∪An
∣∣ = |Ω| − |A1| − |A2| − . . .− |An|+ |A1 ∩A2|+ |A1 ∩A3|+ . . . + |An−1 ∩An|− |A1 ∩A2 ∩A3| − . . .− |An−2 ∩An−1 ∩An|...
+ (−1)n|A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An|.
Tehát az összes lehetséges módon összemetszünk valahány Ai
halmazt (a 0-tagú metszetnek az Ω felel meg), és a jobb oldalonaz ilyen metszetek elemszámai jelennek meg: + előjellel, ha párossok halmazt metszettünk össze, − előjellel, ha páratlan sokat:
![Page 23: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/23.jpg)
5. ea. A szita formula általános alakja 3/4
Tétel. Tetszőleges A1, A2, . . . , An ⊆ Ω halmazokra∣∣A1 ∪ . . . ∪An
∣∣ = |Ω| − |A1| − |A2| − . . .− |An|+ |A1 ∩A2|+ |A1 ∩A3|+ . . . + |An−1 ∩An|− |A1 ∩A2 ∩A3| − . . .− |An−2 ∩An−1 ∩An|...
+ (−1)n|A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An|.
Tehát az összes lehetséges módon összemetszünk valahány Ai
halmazt (a 0-tagú metszetnek az Ω felel meg), és a jobb oldalonaz ilyen metszetek elemszámai jelennek meg: + előjellel, ha párossok halmazt metszettünk össze, − előjellel, ha páratlan sokat:
Tétel (tömör alak). Tetszőleges A1, . . . , An ⊆ Ω halmazokra∣∣A1 ∪ . . . ∪An
∣∣ =∑I⊆[n]
(−1)|I|∣∣ ⋂i∈I
Ai
∣∣.
![Page 24: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/24.jpg)
∣∣A1 ∪ . . . ∪An
∣∣ =∑I⊆[n]
(−1)|I|∣∣ ⋂i∈I
Ai
∣∣.Megjegyezzük, hogy a fenti formulában
⋂i∈∅
Ai := Ω értendő.
![Page 25: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/25.jpg)
∣∣A1 ∪ . . . ∪An
∣∣ =∑I⊆[n]
(−1)|I|∣∣ ⋂i∈I
Ai
∣∣.Bizonyítás. Belátjuk, hogy a jobb oldal A1 ∪ . . . ∪ An elemeit1-szer, A1 ∪ . . . ∪ An elemeit pedig 0-szor számolja meg.
![Page 26: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/26.jpg)
∣∣A1 ∪ . . . ∪An
∣∣ =∑I⊆[n]
(−1)|I|∣∣ ⋂i∈I
Ai
∣∣.Bizonyítás. Belátjuk, hogy a jobb oldal A1 ∪ . . . ∪ An elemeit1-szer, A1 ∪ . . . ∪ An elemeit pedig 0-szor számolja meg.1. típus:Ha x ∈ A1 ∪ . . . ∪ An, akkor x-et csak az |Ω| tag számolja meg(+1 előjellel), és így összességében 1-szer számoljuk meg. X
![Page 27: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/27.jpg)
∣∣A1 ∪ . . . ∪An
∣∣ =∑I⊆[n]
(−1)|I|∣∣ ⋂i∈I
Ai
∣∣.Bizonyítás. Belátjuk, hogy a jobb oldal A1 ∪ . . . ∪ An elemeit1-szer, A1 ∪ . . . ∪ An elemeit pedig 0-szor számolja meg.1. típus:Ha x ∈ A1 ∪ . . . ∪ An, akkor x-et csak az |Ω| tag számolja meg(+1 előjellel), és így összességében 1-szer számoljuk meg. X
Hiszen ha x ∈ A1 ∪ . . . ∪ An, azaz ha x egyik Ai halmaznaksem eleme, akkor természetesen nem eleme egyik Ai1 ∩ . . .∩Aim
alakú metszetnek sem (m ≥ 1). Tehát az |Ω| tagon kívül másvalóban nem számolja meg x-et.
![Page 28: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/28.jpg)
∣∣A1 ∪ . . . ∪An
∣∣ =∑I⊆[n]
(−1)|I|∣∣ ⋂i∈I
Ai
∣∣.Bizonyítás. Belátjuk, hogy a jobb oldal A1 ∪ . . . ∪ An elemeit1-szer, A1 ∪ . . . ∪ An elemeit pedig 0-szor számolja meg.2. típus:Legyen most x ∈ A1 ∪ . . . ∪ An rögzített. Tfh az Aj1 , . . . , Ajs
halmazok azok, amelyek tartalmazzák x-et (s ≥ 1), a többi Ai
halmaznak pedig nem eleme x.
![Page 29: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/29.jpg)
∣∣A1 ∪ . . . ∪An
∣∣ =∑I⊆[n]
(−1)|I|∣∣ ⋂i∈I
Ai
∣∣.Bizonyítás. Belátjuk, hogy a jobb oldal A1 ∪ . . . ∪ An elemeit1-szer, A1 ∪ . . . ∪ An elemeit pedig 0-szor számolja meg.2. típus:Legyen most x ∈ A1 ∪ . . . ∪ An rögzített. Tfh az Aj1 , . . . , Ajs
halmazok azok, amelyek tartalmazzák x-et (s ≥ 1), a többi Ai
halmaznak pedig nem eleme x.A lényeg az, hogy a formula jobb oldalán szereplő ∩i∈IAi metsze-tek közül pontosan azoknak eleme x, amelyeknek minden tagjaAj1 , . . . , Ajs közül kerül ki, vagyis amikor I ⊆ j1, . . . , js.
![Page 30: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/30.jpg)
∣∣A1 ∪ . . . ∪An
∣∣ =∑I⊆[n]
(−1)|I|∣∣ ⋂i∈I
Ai
∣∣.Bizonyítás. Belátjuk, hogy a jobb oldal A1 ∪ . . . ∪ An elemeit1-szer, A1 ∪ . . . ∪ An elemeit pedig 0-szor számolja meg.2. típus:Legyen most x ∈ A1 ∪ . . . ∪ An rögzített. Tfh az Aj1 , . . . , Ajs
halmazok azok, amelyek tartalmazzák x-et (s ≥ 1), a többi Ai
halmaznak pedig nem eleme x.A lényeg az, hogy a formula jobb oldalán szereplő ∩i∈IAi metsze-tek közül pontosan azoknak eleme x, amelyeknek minden tagjaAj1 , . . . , Ajs közül kerül ki, vagyis amikor I ⊆ j1, . . . , js.1. Ha a metszet minden tagját az Aj1 , . . . , Ajs halmazok közülválasztjuk, akkor a metszetnek eleme lesz x, hiszen mindegyikkiválasztott halmaznak is eleme. (I = ∅ is rendben van.)
![Page 31: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/31.jpg)
∣∣A1 ∪ . . . ∪An
∣∣ =∑I⊆[n]
(−1)|I|∣∣ ⋂i∈I
Ai
∣∣.Bizonyítás. Belátjuk, hogy a jobb oldal A1 ∪ . . . ∪ An elemeit1-szer, A1 ∪ . . . ∪ An elemeit pedig 0-szor számolja meg.2. típus:Legyen most x ∈ A1 ∪ . . . ∪ An rögzített. Tfh az Aj1 , . . . , Ajs
halmazok azok, amelyek tartalmazzák x-et (s ≥ 1), a többi Ai
halmaznak pedig nem eleme x.A lényeg az, hogy a formula jobb oldalán szereplő ∩i∈IAi metsze-tek közül pontosan azoknak eleme x, amelyeknek minden tagjaAj1 , . . . , Ajs közül kerül ki, vagyis amikor I ⊆ j1, . . . , js.2. Ha a metszet tagjai között szerepel olyan Ak tag, amely nemaz Aj1 , . . . , Ajs halmazok közül való (tehát k /∈ j1, . . . , js),akkor x nyilván nem lesz eleme a metszetnek, mert már Ak-naksem az.
![Page 32: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/32.jpg)
∣∣A1 ∪ . . . ∪An
∣∣ =∑I⊆[n]
(−1)|I|∣∣ ⋂i∈I
Ai
∣∣.Bizonyítás. Belátjuk, hogy a jobb oldal A1 ∪ . . . ∪ An elemeit1-szer, A1 ∪ . . . ∪ An elemeit pedig 0-szor számolja meg.2. típus:Legyen most x ∈ A1 ∪ . . . ∪ An rögzített. Tfh az Aj1 , . . . , Ajs
halmazok azok, amelyek tartalmazzák x-et (s ≥ 1), a többi Ai
halmaznak pedig nem eleme x.A lényeg az, hogy a formula jobb oldalán szereplő ∩i∈IAi metsze-tek közül pontosan azoknak eleme x, amelyeknek minden tagjaAj1 , . . . , Ajs közül kerül ki, vagyis amikor I ⊆ j1, . . . , js.A szummának csak az ezen metszetekhez tartozó tagjai számol-ják meg x-et: 1-szer, ha az összemetszett Aj∗ halmazok számapáros; (−1)-szer, ha ez a szám ptlan. Ezek a ±1-ek 0-vá összeg-ződnek, mert
![Page 33: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/33.jpg)
∣∣A1 ∪ . . . ∪An
∣∣ =∑I⊆[n]
(−1)|I|∣∣ ⋂i∈I
Ai
∣∣.Bizonyítás. Belátjuk, hogy a jobb oldal A1 ∪ . . . ∪ An elemeit1-szer, A1 ∪ . . . ∪ An elemeit pedig 0-szor számolja meg.2. típus:Legyen most x ∈ A1 ∪ . . . ∪ An rögzített. Tfh az Aj1 , . . . , Ajs
halmazok azok, amelyek tartalmazzák x-et (s ≥ 1), a többi Ai
halmaznak pedig nem eleme x.A lényeg az, hogy a formula jobb oldalán szereplő ∩i∈IAi metsze-tek közül pontosan azoknak eleme x, amelyeknek minden tagjaAj1 , . . . , Ajs közül kerül ki, vagyis amikor I ⊆ j1, . . . , js.A szummának csak az ezen metszetekhez tartozó tagjai számol-ják meg x-et: 1-szer, ha az összemetszett Aj∗ halmazok számapáros; (−1)-szer, ha ez a szám ptlan. Ezek a ±1-ek 0-vá összeg-ződnek, mert ugyanannyiféleképpen lehet az Aj∗ halmazok közülpáros sokat összemetszeni, mint páratlan sokat. X
![Page 34: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/34.jpg)
∣∣A1 ∪ . . . ∪An
∣∣ =∑I⊆[n]
(−1)|I|∣∣ ⋂i∈I
Ai
∣∣.Bizonyítás. Belátjuk, hogy a jobb oldal A1 ∪ . . . ∪ An elemeit1-szer, A1 ∪ . . . ∪ An elemeit pedig 0-szor számolja meg.2. típus:Legyen most x ∈ A1 ∪ . . . ∪ An rögzített. Tfh az Aj1 , . . . , Ajs
halmazok azok, amelyek tartalmazzák x-et (s ≥ 1), a többi Ai
halmaznak pedig nem eleme x.A lényeg az, hogy a formula jobb oldalán szereplő ∩i∈IAi metsze-tek közül pontosan azoknak eleme x, amelyeknek minden tagjaAj1 , . . . , Ajs közül kerül ki, vagyis amikor I ⊆ j1, . . . , js.A szummának csak az ezen metszetekhez tartozó tagjai számol-ják meg x-et: 1-szer, ha az összemetszett Aj∗ halmazok számapáros; (−1)-szer, ha ez a szám ptlan. Ezek a ±1-ek 0-vá összeg-ződnek, mert a nemüres j1, . . . , js indexhalmaznak ugyanannyipáros elemszámú részhalmaza van, mint ptlan elemszámú. X
![Page 35: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/35.jpg)
5. ea. Szita formula unióra 4/4
Ekvivalens alak. Tetszőleges A1, . . . , An ⊆ Ω halmazokra|A1 ∪ . . . ∪An| = |A1|+ |A2|+ . . . + |An|
− |A1 ∩A2| − |A1 ∩A3| − . . .− |An−1 ∩An|+ |A1 ∩A2 ∩A3|+ . . . + |An−2 ∩An−1 ∩An|...
+ (−1)n+1|A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An|.
![Page 36: Logikai szita - math.u-szeged.hungaba/tkomb_ea/logikai_szita.pdf · 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát 12-en,afizikát14-enszeretik.5tanulószeretimindkéttárgyat](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040315/5e1dfa8c3fa4244fbd34858b/html5/thumbnails/36.jpg)
5. ea. Szita formula unióra 4/4
Ekvivalens alak. Tetszőleges A1, . . . , An ⊆ Ω halmazokra|A1 ∪ . . . ∪An| = |A1|+ |A2|+ . . . + |An|
− |A1 ∩A2| − |A1 ∩A3| − . . .− |An−1 ∩An|+ |A1 ∩A2 ∩A3|+ . . . + |An−2 ∩An−1 ∩An|...
+ (−1)n+1|A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An|.
Bizonyítás. |A1 ∪ . . . ∪ An| = |Ω| −∣∣A1 ∪ . . . ∪ An
∣∣ = . . .
A fenti alakhoz jutunk, ha a már bizonyított szita formula szerintkifejezzük
∣∣A1 ∪ . . . ∪ An
∣∣-ot.