logiqke funkcije - university of...

Poglavǉe 3

Logiqke funkcije

U ovom poglavǉu su definisane logiqke funkcije i dati su ǌihovi raz-liqiti oblici, kanoniqki, standardni i nestandardni. Izlo�eni surazliqiti postupci minimizovaǌa kako pojedinaqnih logiqkih funkcijatako i sistema logiqkih funkcija. Prikazane su razliqite dvonivoskerealizacije logiqkih funkcija kao i naqini ǌihovog dobijaǌa.

33

34 Poglavǉe 4. Logiqke funkcije

3.1 Definicija logiqkih funkcija

Definicija 3.1 Bulova, logiqka funkcija je algebarski izraz koji se sas-toji od nezavisnih logiqkih promenǉivih npr. x1,x2, · · · , xn, logiqkih ope-racija I, ILI, NE, zagrada i znaka jednakosti.

Oqigledno, iz definicije proistiqe da pomo�u osnovnih logiqkihoperacija mogu biti iskazane slo�enije logiqke funkcije, u odnosu naosnovne logiqke funkcije, koje u opxtem sluqaju mogu da imaju n neza-visnih logiqkih promenǉivih koje se obiqno obele�avaju sa x1, x2, · · · , xn.Logiqka funkcija y od n nezavisnih logiqkih promenǉivih se mo�e uop-xteno analitiqki iskazati kao xto sledi:

y = f (x1, x2, · · · , xn) . (3.1)

Vidi se da se taj analitiqki prikaz formalno ne razlikuje od analiti-qkog prikaza bilo koje druge funkcije, pri qemu se iz konteksta mo�ezakǉuqiti da se radi o logiqkoj funkciji. Drugi naqin prikazivaǌalogiqke funkcije je tabelarni. Ta tabela u svom levom delu sadr�iizlistane ure�ene skupove vrednosti nezavisnih promenǉivih, kojih jeza n nezavisnih logiqkih promenǉivih 2n. Mada se qesto upotrebǉavareq kombinacije za te ure�ene skupove oni su varijacije sa ponavǉa-ǌem n-te klase od dva elementa. Ovo listaǌe se jednostavno dobijabrojaǌem od 0 do 2n − 1 u binarnom sistemu brojeva. Naspram svakogure�enog skupa vrednosti nezavisnih logiqkih promenǉivih, u desnomdelu tabele, upisuje se odgovaraju�a vrednost logiqke funkcije, kojamo�e biti samo 0 ili 1. U slede�em primeru se daje tabelarni prikazproizvoǉne logiqke funkcije od tri nezavisne logiqke promenǉive.

Primer 3.1 U tabeli 3.1 je prikazana proizvoǉna logiqka funkcija od trinezavisne logiqke promenǉive.

x1 x2 x3 y0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 1 0

Tabela 3.1: Tabelarni prikaz proizvoǉne logiqke funkcije od tri neza-visne promenǉive

Oqigledno u tabeli 3.1 ima 23 = 8 ure�enih skupova vrednosti neza-visnih promenǉivih i oni se listaju tako xto se broji u binarnom

4.1. Definicija logiqkih funkcija 35

sistemu brojeva od 0 do 7. Prikazana funkcija je primer za tz. potpunefunkcije, koje su definisane za sve ure�ene skupove vrednosti nezavis-nih promenǉivih, nasuprot nepotpunih funkcija.

Ako se posmatra tabelarni prikaz neke logiqke funkcije od n neza-visnih logiqkih promenǉivih u desnom delu tabele se nalaze vrednostilogiqke funkcije i ukupno ih ima 2n. Te vrednosti se tako�e mogu sma-trati ure�enim skupom nula i jedinica i postavǉa se pitaǌe na kolikorazliqitih naqina se mo�e urediti taj skup od 2n nula i jedinica. Poanalogiji sa odre�ivaǌem broja razliqito ure�enih skupova vrednostinezavisnih promenǉivih ovde se dobija da je taj broj 22

n

, xto ne pred-stavǉa nixta drugo do ukupan broj razliqitih logiqkih funkcija od nnezavisnih logiqkih promenǉivih.

3.1.1 Komplement-negacija logiqkih funkcija

Odre�ivaǌe komplementa-negacije logiqkih funkcija se zasniva na pro-xirenoj DeMorganovoj teoremi.

Teorema 3.2 (Proxirena DeMorganova teorema) a) (x1 + x2 + · · · + xn) == x1x2 · · ·xn

b) (x1x2 · · ·xn) = x1 + x2 + · · · + xn

Na bazi proxirene DeMorganove teoreme komplement logiqke funk-cije se dobija kad se logiqke operacije + i · zamene jedna drugom asvaka slovna oznaka nezavisne promenǉive bilo da je u negaciji iliafirmaciji, negira. Drugim reqima komplement logiqke funkcije jeǌen dual sa negiranim slovnim oznakama nezavisnih promenǉivih biloda su one u afirmaciji ili negaciji.

3.1.2 Kanoniqki oblici logiqke funkcije

Za definisaǌe kanoniqkih oblika logiqke funkcije neophodno je uvestipojmove potpunog proizvoda ili minterma i potpunog zbira ili maks-terma.

Definicija 3.3 Potpuni proizvod ili minterm u odnosu na neku logiqkufunkciju od proizvoǉnog broja nezavisnih logiqkih promenǉivih je logiqkiproizvod svih ǌenih nezavisnih promenǉivih bilo da su one u afirmacijiili negaciji.

Logiqka funkcija od n nezavisnih logiqkih promenǉivih ima ukupno2n mintermova koji se lako dobijaju na osnovu tabelarnog prikaza logi-qke funkcije i to ǌenog levog dela. Svakom ure�enom skupu vrednostinezavisnih promenǉivih tj. svakoj varijaciji sa ponavǉaǌem odgovarapo jedan minterm i dobija se tako xto se logiqki izmno�e sve nezavisnepromenǉive i to tamo gde je 0 uzima se odgovaraju�a promenǉiva u ne-gaciji a tamo gde je 1 uzima se odgovaraju�a promenǉiva u afirmaciji.


Minterm se oznaqava sa mj gde je j decimalni ekvivalent odgovaraju�evarijacije sa ponavǉaǌem.

Stav 3.4 Bulova, logiqka funkcija se mo�e izraziti kao logiqki zbir onihǌenih mintermova kojima odgovara vrednost 1 logiqke funkcije.

Definicija 3.5 Potpuni zbir ili maksterm u odnosu na neku logiqkufunkciju od proizvoǉnog broja nezavisnih logiqkih promenǉivih je logiqkizbir svih ǌenih nezavisnih promenǉivih bilo da su one u afirmaciji ilinegaciji.

Logiqka funkcija od n nezavisnih logiqkih promenǉivih ima tako�eukupno 2n makstermova. Svakom ure�enom skupu vrednosti nezavisnihlogiqkih promenǉivih tj. svakoj varijaciji sa ponavǉaǌem odgovarapo jedan maksterm koji se dobija kada se logiqki saberu sve nezavisnelogiqke promenǉive, s tim da tamo gde je 0 uzima se odgovaraju�apromenǉiva u afirmaciji a gde je 1 uzima se odgovaraju�a promenǉivau negaciji. Maksterm se oznaqava sa Mj.

Stav 3.6 Logiqka funkcija se mo�e izraziti kao logiqki proizvod onihǌenih makstermova kojima odgovara vrednost logiqke funkcije 0.

Kao primer, u tabeli 3.2 su prikazani svi mintermovi i makstermoviza logiqku funkciju od tri nezavisne logiqke promenǉive.

x1 x2 x3 Mintermovi Oznaka Makstermovi Oznaka0 0 0 x1x2x3 m0 x1 + x2 + x3 M0

0 0 1 x1x2x3 m1 x1 + x2 + x3 M1

0 1 0 x1x2x3 m2 x1 + x2 + x3 M2

0 1 1 x1x2x3 m3 x1 + x2 + x3 M3

1 0 0 x1x2x3 m4 x1 + x2 + x3 M4

1 0 1 x1x2x3 m5 x1 + x2 + x3 M5

1 1 0 x1x2x3 m6 x1 + x2 + x3 M6

1 1 1 x1x2x3 m7 x1 + x2 + x3 M7

Tabela 3.2: Mintermovi i makstermovi za logiqku funkciju od tri neza-visne logiqke promenǉive

Prvi kanoniqki oblik logiqke funkcije je kao xto je dato u stavu3.4 tj. logiqki zbir onih mintermova kojima odgovara vrednost 1 pos-matrane logiqke funkcije. Za logiqku funkciju iz tabele 3.1 ovaj kano-niqki oblik je kao xto sledi:

y = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3. (3.2)

Drugi kanoniqki oblik logiqke funkcije je kao xto je dato u stavu3.6 tj. logiqki proizvod onih makstermova kojima odgovara vrednost 0


posmatrane logiqke funkcije. Za logiqku funkciju iz tabele 3.1 ovajkanoniqki oblik je kao xto sledi:

y = (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) . (3.3)

Ve� na osnovu prikazanih kanoniqkih oblika jedne iste funkcije jejasno da analitiqki algebarski izraz za neku logiqku funkciju nijejedinstven ve� da za istu logiqku funkciju mo�e da postoji vixe raz-liqitih oblika.

Za logiqku funkciju iz tabele 3.1 se daje ǌen skra�eni zapis zasluqaj ǌenog prvog i drugog kanoniqkog oblika:

y (x1, x2, x3) =∑

(1, 2, 4, 5) (3.4)

y (x1, x2, x3) =∏

(0, 3, 6, 7) . (3.5)

Prelazak sa jednog kanoniqkog oblika na drugi tj. sa skra�enog zapisajednog kanoniqkog oblika na drugi je oqigledan. Znaci

∑

i∏

zamenejedan drugog a u zagradama se listaju decimalni ekvivalenti koji nisuzastupǉeni u prvoj kanoniqkoj formi.

3.1.3 Standardni i nestandardni oblici logiqke funkcije

Standardni oblici logiqke funkcije su za razliku od kanoniqkih, logi-qka suma nepotpunih logiqkih proizvoda i logiqki proizvod nepotpunihlogiqkih zbirova.

Primer 3.2 Funkcije f1 i f2 imaju opisane standardne oblike:

f1 (x1, x2, x3) = x2 + x1x2 + x1x2x3 (3.6)

f2 (x1, x2, x3, x4) = x1 (x2 + x3) (x1 + x2 + x3 + x4) . (3.7)

Nestandardni oblici logiqke funkcije su oni oblici koji nisu nikanoniqki ni standardni.

Primer 3.3 Funkcija f ima nestandardni oblik:

f2 (x1, x2, x3, x4) = (x1x2 + x3x4) (x1x2 + x3x4) . (3.8)

3.1.4 Pretvaraǌe standardnog oblika logiqke funkcijeu kanoniqke

Kroz primer se daje postupak pretvaraǌa standardnog oblika logiqkefunkcije koja je u vidu zbira nepotpunih proizvoda u odgovaraju�ikanoniqki oblik.


Primer 3.4 Potrebno je logiqku funkciju f1 koja ima standardni obliku vidu zbira nepotpunih proizvoda pretvoriti u odgovaraju�i kanoniqkioblik:

f1 (x1, x2, x3) = x2 + x1x2 + x1x2x3 = (x1 + x1) x2 (x3 + x3) + x1x2 (x3 + x3) +

+x1x2x3 = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 +

+x1x2x3. (3.9)

Nepotpuni proizvodi se mno�e logiqkim jedinicama koje se izra�avajupreko nedostaju�e nezavisne promenǉive prema 5. Hantingtonovom pos-tulatu, x + x = 1.

Tako�e, kroz primer se daje postupak pretvaraǌa standardnog ob-lika logiqke funkcije koja je u vidu proizvoda nepotpunih zbirova uodgovaraju�i kanoniqki oblik.

Primer 3.5 Potrebno je logiqku funkciju f2 koja ima standardni oblik uvidu proizvoda nepotpunih zbirova pretvoriti u odgovaraju�i kanoniqkioblik:

f2 (x1, x2, x3) = (x2 + x3) (x1 + x2 + x3) = (x1x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) =

= (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (3.10)

Nepotpuni zbirovi se dopuǌavaju logiqkim nulama koje se izra�avajupreko nedostaju�e nezavisne promenǉive prema 5. Hantingtonovom pos-tulatu, xx = 0.

3.1.5 Logiqki dijagrami

Pomo�u logiqkih simbola za osnovne logiqke operacije, tj. logiqkefunkcije, mogu�e je odrediti tz. logiqki dijagram za neku logiqku funk-ciju u bilo kom obliku, kanoniqkom, standardnom ili nestandardnom.

Primer 3.6 Ovde se daje logiqki dijagram, slika 3.1, za ve� prikazanulogiqku funkciju i to ǌen kanoniqki oblik 3.2. Ovaj dijagram je dobijentako xto je svaki logiqki proizvod realizovan pomo�u jednog I logiqkogelementa qiji su izlazi logiqki sabrani pomo�u jednog ILI logiqkog ele-menta. Ulazi I logiqkih elemenata su same nezavisne logiqke promenǉiveu afirmaciji ili negaciji. Negacija nezavisnih logiqkih promenǉivih sedobija pomo�u NE logiqkih elemenata.

Primer 3.7 Ovde se daje logiqki dijagram, slika 3.2, za kanoniqki ob-lik 3.3 logiqke funkcije y. Ovaj dijagram je dobijen tako xto je svakilogiqki zbir realizovan pomo�u jednog ILI logiqkog elementa qiji suizlazi logiqki pomno�eni pomo�u jednog I logiqkog elementa. UlaziILI logiqkih elemenata su same nezavisne logiqke promenǉive u afirma-ciji ili negaciji s tim xto se negacija nezavisnih logiqkih promenǉivihdobija pomo�u NE logiqkih elemenata.


Slika 3.1: Logiqki dijagram za kanoniqki oblik 3.2 logiqkefunkcije y

Na sliqan naqin se dobijaju logiqki dijagrami i za standardne inestandardne oblike logiqke funkcije.

Pri formiraǌu logiqkih dijagrama kanoniqki i standardni oblicilogiqkih funkcija rezultiraju u tz. dvonivoske realizacije dok to nijesluqaj za nestandardni oblik logiqke funkcije.

3.1.6 Logiqke funkcije jedne i dve nezavisne logiqkepromenǉive

Prema ve� datoj formuli za odre�ivaǌe ukupnog broja razliqitih funk-cija od n nezavisnih logiqkih promenǉivih sledi da ukupan broj raz-liqitih logiqkih funkcija od 1 nezavisne logiqke promenǉive iznosi

221

= 4, a ukupan broj razliqitih logiqkih funkcija od 2 nezavisne

logiqe promenǉive iznosi 222

= 16.Qetiri razliqite logiqke funkcije od jedne nezavisne logiqke pro-

menǉive, logiqka funkcija DA, logiqka funkcija NE, KONSTANTANULA i KONSTANTA JEDAN, su prikazane u tabeli 3.3.

DA NE KONSTANTA NULA KONSTANTA JEDANx y y y y0 0 1 0 11 1 0 0 1

Tabela 3.3: Logiqke funkcije DA, NE, KONSTANTA NULA i KON-STANTA JEDAN od jedne nezavisne logiqke promenǉive

Od svih xesnaest logiqkih funkcija od dve nezavisne logiqke pro-menǉive dve logiqke funkcije su ve� pomiǌane, a to su I i ILI


Slika 3.2: Logiqki dijagram za kanoniqki oblik 3.3 logiqkefunkcije y

logiqke funkcije. Vrednosti svih logiqkih funkcija od dve nezavisnepromenǉive su prikazane u tabeli 3.4 a ǌihovi simboli, imena i izrazipomo�u osnovnih logiqkih operacija su dati u tabeli 3.5.

Sve logiqke funkcije od dve nezavisne logiqke promenǉive mogu sepodeliti u tri grupe:

a) dve funkcije koje su konstante, 0 i 1

b) qetiri funkcije koje su rezultat unarnih operacija DA i NE

c) deset funkcija koje su rezultat osam binarnih operacija: I, ILI,NI, NILI, ISKǈUQNO ILI, EKVIVALENCIJA, INHIBI-CIJA i IMPLIKACIJA.

Zadǌe dve binarne operacije su retko u upotrebi. Prve dve binarneoperacije tj. logiqke funkcije koje su rezultat tih logiqkih operacijasu ve� uvedene pri definisaǌu Bulove algebre, i zajedno sa logiqkimfunkcijama koje su rezultat slede�e qetiri binarne operacije su u in-tenzivnoj upotrebi. Logiqka funkcija NI ima suprotne vrednosti odlogiqke funkcije I pa je po tome i dobila ime NE–I ili kra�e NI. Onase kao xto je prikazano u tabeli 3.5 oznaqava sa vertikalnom streli-com okrenutom na gore izme�u nezavisnih promenǉivih tj. F14 = x1 ↑ x2.Drukqiji naziv za logiqku funkciju NI je Pirsova funkcija. Sliqno,logiqka funkcija NILI ima suprotne vrednosti u odnosu na logiqkufunkciju ILI pa je po tome dobila ime NE–ILI ili kra�e NILI.Ona se kao xto je tako�e prikazano u tabeli 3.5 oznaqava vertikalnomstrelicom okrenutom na dole izme�u nezavisnih logiqkih promenǉivihtj. F8 = x1 ↓ x2. Drugi naziv za ovu logiqku funkciju je Xeferova


x1 0 0 1 1x2 0 1 0 1F0 0 0 0 0F1 0 0 0 1F2 0 0 1 0F3 0 0 1 1F4 0 1 0 0F5 0 1 0 1F6 0 1 1 0F7 0 1 1 1F8 1 0 0 0F9 1 0 0 1F10 1 0 1 0F11 1 0 1 1F12 1 1 0 0F13 1 1 0 1F14 1 1 1 0F15 1 1 1 1

Tabela 3.4: Vrednosti svih logiqkih funkcija od dve nezavisne logiqkepromenǉive

funkcija. Logiqka funkcija ISKǈUQNO ILI ima iste vrednostikao logiqka funkcija ILI izuzev za x1x2 = 11, kada ova funkcija imavrednost 0. Po tome je i dobila ime, tj. to je funkcija kod koje postojirazlika, iskǉuqena je jednakost, sa logiqkom funkcijom ILI samo najednom mestu, a to je za x1x2 = 11. Ova logiqka funkcija se oznaqavazaokru�enim znakom plus izme�u nezavisnih logiqkih promenǉivih tj.F6 = x1 ⊕ x2. Drugi naziv za ISKǈUQNO ILI je SABIRAǋE POMODULU 2. Logiqka funkcija EKVIVALENCIJA ima vrednost 1kad god nezavisne logiqke promenǉive imaju jednake vrednosti i obr-nuto, vrednost 0 kad god nezavisne logiqke promenǉive imaju razli-qite vrednosti. Ova logiqka funkcija se oznaqava zaokru�enom taqkomizme�u nezavisnih logiqkih promenǉivih tj. F9 = x1 � x2. Poxto sufunkcije ISKǈUQNO ILI i EKVIVALENCIJA komplementi jednadruge, xto se vidi iz tabele 3.4 drugi naziv za EKVIVALENCIJU jeISKǈUQNO NILI.

Bulova algebra kao deduktivna algebarska struktura definisana jepomo�u osnovnih operacja I, ILI, NE a ostale logiqke operacije sedobijaju tj. mogu se izraziti pomo�u osnovnih. Me�utim, to nije jedinamogu�nost. Bilo je mogu�e po�i npr. od logiqke operacije NILI apotom odrediti ostale u zavisnosti od ǌe.

Sa stanovixta fiziqke realizacije razmatranih logiqkih funkcija,da bi se komercijalno izra�ivali odgovaraju�i logiqki elementi potre-bno je da budu zadovoǉeni odre�eni kriterijumi kao xto su:

1. da je izrada ekonomiqna,


Funkcija Simbol Ime Izraz KomentarF0 Nula Binarna konstanta 0F1 x1 · x2 I x1 · x2 x1Ix2

F2 x1/x2 Inhibicija x1x2 x1 ali ne x2

F3 DA x1

F4 x2/x1 Inhibicija x1x2 x2 ali ne x1

F5 DA x2

F6 x1 ⊕ x2 Iskǉuqno ILI x1x2 + x1x2 x1 ili x2 ali ne obojeF7 x1 + x2 ILI x1 + x2 x1ILIx2

F8 x1 ↓ x2 NILI x1 + x2 ne ILIF9 x1 � x2 Ekvivalencija x1x2 + x1x2 x1 jednako x2

F10 x2 NE x2 ne x2

F11 x1 ⊂ x2 Implikacija x1 + x2 ako x2 onda x1

F12 x1 NE x1 ne x1

F13 x1 ⊃ x2 Implikacija x1 + x2 ako x1 onda x2

F14 x1 ↑ x2 NI x1 · x2 ne IF15 Jedan Binarna konstanta 1

Tabela 3.5: Simboli, imena i izrazi pomo�u osnovnih operacija zalogiqke funkcije od dve nezavisne logiqke promenǉive

2. da je logiqku operaciju mogu�e proxiriti sa dve na vixe promenǉivihi sl.

Sem logiqkih operacija I, ILI, NE ovi kriterijumi su ispuǌeniza logiqke operacije DA, NI, NILI, ISKǈUQNO ILI i EKVIVA-LENCIJA.

Na slici 3.3 dati su novi, standardni, a na slici 3.4 stari logiqkisimboli za logiqke funkcije DA, NI, NILI, ISKǈUQNO ILI iEKVIVALENCIJU.

Slika 3.3: Novi logiqki simboli za logiqke funkcije DA, NI, NILI,ISKǈUQNO ILI i EKVIVALENCIJU

U sluqaju elektronskog fiziqkog izvo�eǌa tranzistorskom tehnikomlogiqki elementi NI i NILI su mnogo vixe u upotrebi nego logiqkielementi I i ILI.

Da bi broj ulaza logiqkog elementa mogao da se pove�a sa dva na vixeneophodno je da je odgovaraju�a operacija komutativna i asocijativna.


Slika 3.4: Stari logiqki simboli za logiqke funkcije DA, NI, NILI,ISKǈUQNO ILI i EKVIVALENCIJA

Za operacije I i ILI ovo je ispuǌeno tako da postoje odgovaraju�ielementi sa pove�anim brojem ulaza, xto je ve� pokazano ranije.

NILI i NI logiqke funkcije su komutativne ali nisu asocijativne,pa se ovaj problem prevazilazi blagom modifikacijom definicije ovihfunkcija za vixe promenǉivih, npr. za tri promenǉive:

x1 ↓ x2 ↓ x3 = x1 + x2 + x3 (3.11)

x1 ↑ x2 ↑ x3 = x1 · x2 · x3. (3.12)

Logiqki simboli za logiqke funkcije NILI i NI posle modifikacijeǌihovih definicija za tri nezavisne promenǉive su prikazani na slici3.5.

Slika 3.5: Logiqki simboli logiqkih funkcija NI i NILI od trinezavisne promenǉive, posle modifikacije ǌihovih definicija za vixeulaza

3.1.7 Integrisana digitalna logiqka kola

Pod pojmom integrisanog kola1 u elektronici podrazumeva se poseb-nom tehnologijom izra�en, od tz. poluprovodniqkih materijala (npr.germanijum), mali kompaktan kristal koji u sebi sadr�i elektronskekomponente kao xto su tranzistori, diode, otpornici, kondenzatorime�usobno povezane u slo�enija elektronska kola. Kristal je zatopǉenu plastiqnu masu pri qemu je pristup ovom elektronskom kolu mogu�jedino preko napoǉe izvedenih veza. Poxto su sva integrisana kolaspoǉa gledano identiqna ili vrlo sliqna nemogu�e ih je razlikovatibez oznake koja se nalazi na ǌima. Osnovne komponente sadr�ane u in-tegrisanom kolu nisu razdvojive. Dobre osobine integrisanih kola su:

• minijaturni gabariti,

• mala potroxǌa energije,

1Uobiqajen naziv je QIP koji potiqe od engleskog naziva


• mala cena,

• velika pouzdanost u radu,

• velika brzina rada,

• smaǌeǌe broja spoǉaxǌih �iqanih veza poxto su mnoge veze unu-traxǌe.

Prema stepenu integracije integrisana kola mogu biti:

• malog stepena integracije, sa nekoliko logiqkih elemenata, qijaje oznaka SSI xto je skra�enica koja dolazi od poqetnih slova en-gleskog naziva, za kako je ve� reqeno, mali stepen integracije,

• sredǌeg stepena integracije, sa 10 do 100 logiqkih elemenata, qijaje oznaka MSI xto je skra�enica koja dolazi od poqetnih slovaengleskog naziva, za kako je ve� reqeno, sredǌi stepen integracije,

• velikog stepena integracije, sa preko 100 logiqkih elemenata, qijaje oznaka LSI xto je skra�enica koja dolazi od poqetnih slova en-gleskog naziva, za kako je ve� reqeno, veliki stepen integracije,

• vrlo velikog stepena integracije, sa hiǉadama logiqkih eleme-nata, qija je oznaka VLSI xto je skra�enica koja dolazi od poqetnihslova engleskog naziva, za kako je ve� reqeno, vrlo veliki stepenintegracije.

Druga podela integrisanih digitalnih kola je prema ǌihovoj pri-padnosti odre�enoj familiji. Svaka familija ima osnovni logiqki ele-ment pomo�u koga se ostvaruju slo�enija logiqka kola. Taj osnovnilogiqki element je ili NI ili NILI logiqki element. Familije in-tegrisanih kola su dobile ime po elektronskim komponentama koje uqe-stvuju u izgradǌi osnovnog logiqkog elementa. Familije koje se najqex-�e sre�u su:

• TTL - tranzistor tranzistor logika,

• ECL - logika uparenog emitera,

• MOS - metal oksid poluprovodnik,

• CMOS - komplementarni metal oksid poluprovodnik,

• I2L− logika integrisanog ubrizgavaǌa.

4.2. Minimizovaǌe logiqkih funkcija 45

3.2 Minimizovaǌe logiqkih funkcija

Imaju�i u vidu ranije navedenu qiǌenicu da jedna ista logiqka funk-cija mo�e da ima razliqite oblike, name�e se logiqno pitaǌe, koji odsvih tih oblika je optimalan sa stanovixta ekonomiqne fiziqke rea-lizacije i kako se dobija. Takav oblik logiqke funkcije se nazivaminimalnim, a najqex�e korix�eni kriterijum minimalnosti je brojslovnih oznaka za nezavisne logiqke promnǉive bilo da su one u afir-maciji ili negaciji. Minimalni oblik neke logiqke funkcije u nave-denom smislu se dobija postupkom takozvanog minimizovaǌa. Postojerazne metode minimizovaǌa logiqkih funkcija pri qemu su neke od ǌihnedovoǉno egzaktne ali maǌe komplikovane, a druge potpuno egzaktneali jako komplikovane.

3.2.1 Metoda algebarskih transformacija

Metoda algebarskih transformacija se zasniva na primeni ve� uve-denih postulata i teorema u okviru Bulove algebre, u postupku trans-formisaǌa logiqkog algebarskog izraza do ǌegove minimalne forme.Glavni nedostatak ove metode je xto ona nije egzaktna i ne garantuje si-gurno dobijaǌe minimalne forme jer je ǌena suxtina princip ponovnihpokuxaja tako da ishod primene metode zavisi od iskustva onoga ko jekoristi. Primenu ove metode ilustruje slede�i primer.

Primer 3.8 Minimizovati slede�e logiqke funkcije metodom algebarskihtransformacija:

1. x1 + x1x2 = (x1 + x1) (x1 + x2) = 1 · (x1 + x2) = x1 + x2,

2. x1 (x1 + x2) = x1x1 + x1x2 = 0 + x1x2 = x1x2,

3. x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2 = x1x3 (x2 + x2) + x1x2 = x1x3 + x1x2,

4. x1x2 +x1x3 +x2x3 = x1x2 +x1x3 +x2x3 (x1 + x1) = x1x2 +x1x3 +x1x2x3 ++x1x2x3 = x1x2 (1 + x3) + x1x3 (1 + x2) = x1x2 + x1x3,

5. (x1 + x2) (x1 + x3) (x2 + x3) = (x1 + x2) (x1 + x3), na osnovu principadualnosti u odnosu na logiqku funkciju iz taqke 4.

3.2.2 Grafiqka metoda

Ova metoda nije potpuno egzaktna ali je vrlo pogodna za primenu, pogo-tovu za logiqke funkcije sa maǌim brojem nezavisnih promenǉivih, naj-vixe se koristi u praksi i najpopularnija je. To je takozvana grafiqkametoda ili metoda Veiq-Karno prema imenima nauqnika koji su ovumetodu dali u skoro istovetnoj formi.

Grafiqka metoda se sprovodi i zasniva na korix�eǌu tabela, tako-zvanih mapa Veiq-Karno. Mapa Veiq-Karno se sastoji od poǉa, tj.kvadrata ili pravougaonika, koji su raspore�eni u odre�eni broj vrstai kolona, tako da se svakom poǉu mape pridru�uje jedan minterm logiqke


funkcije. Sledi da je ukupan broj poǉa mape Veiq-Karno jednak ukup-nom broju mintermova logiqke funkcije, xto znaqi da se mape raz-likuju za logiqke funkcije sa razliqitim brojem nezavisnih logiqkihpromenǉivih. Mintermovi su raspore�eni u mapi na odre�eni unapredpropisani naqin koji je pogodan sa stanovixta ǌene primene. Tabela3.6 pretstavǉa mapu Veiq-Karno za logiqku funkciju od dve nezavisnepromenǉive.

x1

x2

0 10 x1x2 x1x2

1 x1x2 x1x2

Tabela 3.6: Mapa Veiq-Karno za logiqku funkciju od dve nezavisnepromenǉive

Tabela 3.7 pretstavǉa mapu Veiq-Karno za logiqku funkciju od trinezavisne promenǉive.

x1

x2x3

00 01 11 100 x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3

1 x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3

Tabela 3.7: Mapa Veiq-Karno za logiqku funkciju sa tri nezavisnelogiqke promenǉive

Tabela 3.8 pretstavǉa mapu Veiq-Karno za logiqku funkciju od qe-tiri nezavisne promenǉive.

x1x2

x3x4

00 01 11 1000 x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4

01 x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4



Tabela 3.8: Mapa Veiq-Karno za logiqku funkciju od qetiri nezavisnelogiqke promenǉive

Tabela 3.9 pretstavǉa mapu Veiq-Karno za logiqku funkciju od petnezavisnih promenǉivih.

Tabela 3.10 pretstavǉa mapu Veiq-Karno za logiqku funkciju odxest nezavisnih promenǉivih.


x1x2

x3x4x5

000 001 011 010 110 111 101 10000 m0 m1 m3 m2 m6 m7 m5 m4

01 m8 m9 m11 m10 m14 m15 m13 m12

11 m24 m25 m27 m26 m30 m31 m29 m28

10 m16 m17 m19 m18 m22 m23 m21 m20

Tabela 3.9: Mapa Veiq-Karno za logiqku funkciju od pet nezavisnihlogiqkih promenǉivih

x1x2x3

000001011010110111101100

x4x5x6

000 001 011 010 110 111 101 1000 1 3 2 6 7 5 48 9 11 10 14 15 13 1224 25 27 26 30 31 29 2816 17 19 18 22 23 21 20

48 49 51 50 54 55 53 5256 57 59 58 62 63 61 6040 41 43 42 46 47 45 4432 33 35 34 38 39 37 36

Tabela 3.10: Mapa Veiq-Karno za logiqku funkciju od xest nezavisnihlogiqkih promenǉivih

U poǉa prikazanih mapa Veiq-Karno su uneti odgovaraju�i minter-movi ili oznake mintermova ili decimalni ekvivalenti binarnih pri-kaza mintermova xto se pri primeni mapa ne qini. To je ovde ura-�eno samo zbog toga da bi se pokazalo kako je izvrxeno pridru�ivaǌemintermova poǉima mapa. Sa strana Veiq-Karno mape nalaze se oz-nake koje pokazuju pripadnost mintermova pojedinim poǉima, tj. u za-glavǉu vrsta i kolona se nalaze binarni brojevi koji predstavǉaju teoznake. Zdru�ivaǌem binarnog broja iz zaglavǉa neke vrste i iz za-glavǉa neke kolone dobija se binarni broj qiji decimalni ekvivalentodre�uje minterm, koji odgovara poǉu mape Veiq-Karno u preseku pos-matrane vrste i posmatrane kolone. Drukqije iskazano, svaka cifrapomenutih binaranih brojeva koji su u zaglavǉima vrsta i kolona odgo-vara jednoj nezavisnoj logiqkoj promenǉivoj, tako da tamo gde je 0 odgo-varaju�a promenǉiva je u negaciji u svim poǉima vrste ili koloneu qijem zaglavǉu je ta 0. Sliqno, tamo gde je jedinica odgovaraju�apromenǉiva je u afirmaciji u svim poǉima vrste ili kolone u qijemzaglavǉu se nalazi ta jedinica. Sa leve i gorǌe strane mape Veiq--Karno naznaqene su promenǉive koje odgovaraju binarnim ciframa uzaglavǉima vrsta i zaglavǉima kolona. Pored ovoga mogu postojati idodatne oznake koje se sastoje od vitiqastih zagrada koje zahvataju odre-�eni broj vrsta ili kolona i oznake promenǉive u afirmaciji pridru-


�ene ovoj zagradi. Znaqeǌe je da kvadratima svih zahva�enih vrsta ilikolona odgovara naznaqena promenǉiva u afirmaciji a nezahva�enim unegaciji.

Mapa se popuǌava tako xto se u ǌena poǉa upisuju vrednosti pos-matrane logiqke funkcije i to jedinice u ona poǉa qiji mintermoviuqestvuju u izgradǌi pomenute logiqke funkcije i obrnuto, nule u onapoǉa qiji mintermovi ne uqestvuju u izgradǌi posmatrane logiqke funk-cije. Sledi da mintermovi onih poǉa u koja su upisane jedinice uqes-tvuju u izgradǌi logiqke funkcije. Mintermovi su raspore�eni u ma-pama Veiq-Karno tako da susednim poǉima odgovaraju logiqki susednimintermovi, tj. oni mintermovi koji se razlikuju samo u pogledu jednenezavisne promenǉive, koja je kod jednog minterma u afirmaciji a koddrugog u negaciji, dok su sve ostale promenǉive identiqne kod obaminterma. Prema postulatima Bulove algebre, zbir takva dva mintermase svodi na nepotpuni proizvod nezavisnih logiqkih promenǉivih, ukome nedostaje promenǉiva po kojoj su se razlikovali mintermovi sabir-ci. Ka�e se da je izvrxeno sa�imaǌe pomenutih mintermova.

Primer 3.9 Tabela 3.11 je oqigledno mapa Veiq-Karno za logiqku funkcijuod tri nezavisne logiqke promenǉive u kojoj su prikazana samo dva minter-ma koji su fiziqki i logiqki susedni. ǋihovim sa�imaǌem se dobija nepot-puni proizvod x2x3 tj. x1x2x3 + x1x2x3 = x2x3 (x1 + x1) = x2x3 · 1 = x2x3.

x1

x2x3

00 01 11 100 x1x2x3

1 x1x2x3

Tabela 3.11: Fiziqki i logiqki susedni dva minterma u mapi Veiq-Karno za logiqke funkcije od tri nezavisne promenǉive

Kod mape Veiq-Karno za logiqku funkciju od tri nezavisne logiqkepromnǉive se smatra da su leva i desna ivica mape preklopǉene tako daje mapa savijena u cilindriqnu povrxinu, a poǉa mape koja su uz ǌenulevu ivicu su fiziqki susedna poǉima koja su uz desnu ivicu.

Kod mape Veiq-Karno za logiqku funkciju od qetiri nezavisne logiq-ke promenǉive se smatra da su leva i desna ivica mape preklopǉena, aisto tako i gorǌa i doǌa ivica mape preklopǉena, tako da je mapa savi-jena u nekakvu krivu povrxinu, a poǉa mape koja su uz ǌene preklopǉeneivice su fiziqki susedna.

Kod mapa za funkcije sa pet i xest promenǉivih definicija fiziqkesusednosti poǉa je jox xira. Dupla linija xto se vidi u tabelama3.9 i 3.10 se mo�e smatrati kao da je sredina kǌige a delovi mape sastrane ove linije kao stranice kǌige pa kada se kǌiga zatvori susednikvadrati padaju jedan na drugi.


Sa�imaǌe dva susedna minterma nije jedina mogu�nost. Sa�ima-ǌem qetiri susedna minterma dobija se jedan nepotpun proizvod u komenedostaju dve nezavisne logiqke promenǉive.

Primer 3.10 Tabela 3.12 je mapa Veiq-Karno za logiqke funkcije od trinezavisne logiqke promenǉive u kojoj su prikazana samo qetiri susednaminterma. ǋihovim sa�imaǌem se dobija nepotpuni proizvod x3 tj.x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 = x2x3 (x1 + x1) + x2x3 (x1 + x1) = x2x3 ·

·1 + x2x3 · 1 = x2x3 + x2x3 = x3 (x2 + x2) = x3 · 1 = x3.

x1

x2x3

00 01 11 100 x1x2x3 x1x2x3

1 x1x2x3 x1x2x3

Tabela 3.12: Qetiri fiziqki i logiqki susedna minterma u mapi Veiq--Karno

Sliqno, sa�imaǌem osam mintermova nastaje nepotpun proizvod ukome nedostaju tri nezavisne promenǉive itd. Sledi da nepotpunomproizvodu od n−k promenǉivih odgovara 2k susednih poǉa. Ova metodase zasniva na opisanom postupku sa�imaǌa i to:

1. u mapu Veiq-Karno ucrtavaju se zatvorene konture koje obuhvatajuxto ve�i broj susednih jediniqnih poǉa, pri qemu taj broj morada bude stepen broja dva, 2k.

2. Pri ucrtavaǌu kontura, sva jediniqna poǉa moraju biti obuhva�enanekom od kontura, a dozvoǉeno je da se konture preklapaju.

3. Svakoj konturi odgovara po jedan nepotpuni proizvod od n − kpromenǉivih koji treba da uqestvuje u izgradǌi, u ranije nave-denom smislu, minimalnog standardnog oblika logiqke funkcije.

Opisani postupak je ǌegov formalni prikaz. Suxtina ovog postupkaje sa�imaǌe mintermova koji uqestvuju u kanoniqkom obliku logiqkefunkcije. Postupak oqigledno nije egzaktan i pri ǌegovoj primenitreba pored svega ve� navedenog te�iti ka tome da ukupan broj kon-tura bude xto maǌi. Nepotpuni proizvod koji odgovara nekoj konturisadr�i samo one promenǉive koje imaju konstantnu vrednost na svimobuhva�enim poǉima, bilo 0 ili 1. Ako promenǉiva ima vrednost nulana svim obuhva�enim poǉima, ona u nepotpuni proizvod ulazi u negacijii obrnuto ako promenǉiva ima vrednost jedan, ona u nepotpuni proizvodulazi u afirmaciji. Slede�i primer ilustruje primenu ove metode.


Primer 3.11 Potrebno je minimizovati zadatu logiqku funkciju od petnezavisnih logiqkih promenǉivih:

f (x1, x2, x3,x4,x5) =∑

(0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 29, 31) . (3.13)

Na slici 3.6 je prikazana odgovaraju�a mapa Veiq-Karno zajedno sa ucr-tanim konturama. U prvoj vrsti mape na prvi pogled postoji vixe kon-tura me�utim imaju�i u vidu ranije definicije kontura one pretstavǉajusamo jednu konturu koja obuhvata qetiri jediniqna poǉa. Ta jediniqnapoǉa koja su obuhva�ena konturom koja se sastoji iz tri dela su susedna poosnovu preklapaǌa usled ”sklapaǌa kǌige” i posle toga po osnovu prekla-paǌa leve i desne ivice mape. Toj konturi odgovara nepotpuni proizvod ukome nedostaju dve promenǉive odnosno taj nepotpuni proizvod �e imatitri promenǉve i to one koje ne meǌaju vrednost na sva qetiri poǉa. To supromenǉive x1, x2 i x5 koje na sva qetiri poǉa imaju vrednost 0 tako daone ulaze u nepotpuni proizvod kao x1, x2 i x5. U drugoj i tre�oj vrsti naprvi pogled dve konture, tako�e pretstavǉaju jedinstvenu konturu kojaobuhvata osam jediniqnih poǉa tako da ǌoj odgovara nepotpuni proizvodu kome nedostaju tri nezavisne promenǉive tj. taj nepotpuni proizvodima dve promenǉive koje ne meǌaju vrednost na svih osam poǉa. I najzad utre�oj i qetvrtoj vrsti na prvi pogled dve konture, pretstavǉaju jedin-stvenu konturu koja obuhvata qetiri jediniqna poǉa tako da ǌoj odgovaranepotpuni proizvod u kome nedostaju dve nezavisne promenǉive tj. tajnepotpuni proizvod ima tri promenǉive koje ne meǌaju vrednost na svaqetiri poǉa. Na sliqan naqin kao u sluqaju prve konture se odre�uju idruga dva nepotpuna proizvoda tako da je minimalni standardni oblikzadate logiqke funkcije:

f (x1, x2, x3,x4,x5) = x2x5 + x1x4x5 + x1x2x5 (3.14)

Slika 3.6: Popuǌena mapa Veiq-Karno iz primera 3.11

Na opisani naqin dobija se minimizovana logiqka funkcija u stan-dardnom obliku kao zbir nepotpunih proizvoda.

Mogu�e je dobiti minimizovanu logiqku funkciju i u drugom stan-dardnom obliku kao proizvod nepotpunih zbirova. To se posti�e naslede�i naqin:


1. prvo se odredi minimalni standardni oblik komplementa posma-trane logiqke funkcije u vidu zbira nepotpunih proizvoda, na ve�opisani naqin primeǌen na one mintermove koji ne uqestvuju uizgradǌi logiqke funkcije tj. ona poǉa u koja su upisane nultevrednosti,

2. drugi korak je primena DeMorganove teoreme na tako dobijeniizraz xto rezultira u minimalni standardni oblik logiqke funkcijeu vidu proizvoda nepotpunih zbirova.

Postupak dobijaǌa minimalnog standardnog oblika zadate logiqkefunkcije u vidu proizvoda nepotpunih zbirova ilustruje slede�i primer.

Primer 3.12 Potrebno je minimizovati logiqku funkciju:

f (x1, x2, x3, x4) =∑

(0, 1, 2, 5, 8, 9, 10) (3.15)

u standardni oblik koji je u vidu proizvoda nepotpunih zbirova. Na slici3.7 je prikazana odgovaraju�a mapa Veiq-Karno zajedno sa ucrtanim kon-turama.

Slika 3.7: Popuǌena mapa Veiq-Karno za logiqku funkciju iz primera3.12

Prvo se odre�uje minimilni oblik komplementa logiqke funkcije u stan-dardnom obliku kao zbir proizvoda:

f (x1, x2, x3, x4) = x1x2 + x3x4 + x2x4 (3.16)

a potom primenom DeMorganove teoreme na ovaj izraz dobija se minimalnioblik zadate logiqke funkcije u standardnom obliku kao proizvod nepot-punih zbirova:

f (x1, x2, x3, x4) = (x1 + x2) (x3 + x4) (x2 + x4) . (3.17)

3.2.3 Razliqiti oblici dvonivoskih realizacija

1. I-ILI realizacija


Ova realizacija je mogu�a kada je logiqka funkcija minimizo-vana u standardni oblik kao suma nepotpunih proizvoda. Tada sesvaki proizvod realizuje pomo�u jednog I logiqkog elementa qijisu ulazi promenǉive tog proizvoda tako da svi ovakvi I logiqkielementi saqiǌavaju tz. prvi nivo. Izlazi svih I logiqkih ele-menata se uvode u jedan ILI logiqki element koji qini tz. druginivo. Za logiqku funkciju iz primera 3.12 I-ILI realizacija tj.logiqki dijagram je prikazana na slici 3.8.

Slika 3.8: I-ILI realizacija logiqke funkcije iz primera 3.12

2. ILI-I realizacija

Za ovakvu realizaciju neophodno je da je logiqka funkcija mini-mizovana u standardni oblik kao proizvod nepotpunih suma. Zalogiqku funkciju iz primera 3.12 ILI-I realizacija tj. logiqkidijagram je prikazana na slici 3.9.

Slika 3.9: ILI-I realizacija logiqke funkcije iz primera 3.12

3. NI-NI realizacija

Za ostvarivaǌe NI-NI realizacije neophodno je uvesti alterna-tivni logiqki simbol za NI logiqku funkciju. Dobijaǌe ovog al-ternativnog logiqkog simbola za logiqku funkciju NI se zasnivana DeMorganovoj teoremi. Na slici 3.10 su prikazani oba logiqkasimbola za logiqku funkciju NI od tri nezavisne promenǉive.

Slika 3.10: Logiqki simboli NI logiqke funkcije sa tri nezavisnelogiqke promenǉive


U sluqaju da se u NI logiqki element uvodi samo jedna promenǉivaonda se on ponaxa kao NE logiqki element. Kru�i� koji sim-boliqno oznaqava negaciju mo�e da bude ili na ulazu ili na izlazu.Obe varijante logiqkog simbola za NI logiqku funkciju samo sajednom ulaznom promenǉivom su prikazane na slici 3.11.

Slika 3.11: Dve varijante logiqkog simbola za NI logiqku funkcijusa jednom ulaznom veliqinom

Da bi se dobila NI-NI realizacija neophodno je logiqku funkcijuminimizovati u standardni oblik sumu proizvoda. Prelazak sa I--ILI realizacije na NI-NI realizaciju ilustruje slika 3.12.

Slika 3.12: Postupak prelaska sa I-ILI realizacije na NI-NI rea-lizaciju

Na osnovu slike 3.12 sledi da se NI-NI realizacija dobija takoxto se promenǉive svakog proizvoda uvedu u jedan NI logiqkielement a ǌihovi izlazi se uvedu u novi jedan NI logiqki elementna qijem izlazu se dobija tra�ena logiqka funkcija.

Komplement logiqke funkcije je tako�e mogu�e dobiti u NI-NIrealizaciji s tim xto se u tom sluqaju polazi od minimizovanogkomplementa logiqke funkcije u standardnom obliku zbira proiz-voda. Ako je potrebna sama funkcija u afirmaciji doda se joxjedan NE logiqki element u vidu NI logiqkog elementa samo sajednim ulazom. Ovo ilustruje slika 3.13.

Slika 3.13: NI-NI realizacija komplementa logiqke funkcije

4. NILI-NILI realizacija


Za ostvarivaǌe NILI-NILI realizacije neophodno je uvesti al-ternativni logiqki simbol za NILI logiqku funkciju. Dobijaǌeovog alternativnog logiqkog simbola za logiqku funkciju NILIse zasniva na DeMorganovoj teoremi. Na slici 3.14 su prikazanioba logiqka simbola za logiqku funkciju NILI od tri nezavisnepromenǉive.

Slika 3.14: Logiqki simboli NILI logiqke funkcije sa tri nezavisnelogiqke promenǉive

U sluqaju da se u NILI logiqki element uvodi samo jedna promen-ǉiva onda se on ponaxa kao NE logiqki element. Kru�i� kojisimboliqno oznaqava negaciju mo�e da bude ili na ulazu ili naizlazu. Obe varijante logiqkog simbola za NILI logiqku funkcijusamo sa jednom ulaznom promenǉivom su prikazane na slici 3.15.

Slika 3.15: Dve varijante logiqkog simbola za NILI logiqku funkcijusa jednom ulaznom veliqinom

Da bi se dobila NILI-NILI realizacija neophodno je logiqkufunkciju minimizovati u standardni oblik proizvod suma. Prela-zak sa ILI-I realizacije na NILI-NILI realizaciju ilus-truje slika 3.16.

Slika 3.16: Postupak prelaska sa ILI-I realizacije na NILI--NILI realizaciju

Na osnovu slike 3.16 sledi da se NILI-NILI realizacija dobijatako xto se promenǉive svakog zbira uvedu u jedan NILI logiqkielement a ǌihovi izlazi se uvedu u novi jedan NILI logiqkielement na qijem izlazu se dobija tra�ena logiqka funkcija.

Komplement logiqke funkcije je tako�e mogu�e dobiti u NILI--NILI realizaciji s tim xto se u tom sluqaju polazi od mini-mizovanog komplementa logiqke funkcije u standardnom obliku pro-izvoda zbirova. Ako je potrebna sama funkcija u afirmaciji doda


se jox jedan NE logiqki element u vidu NILI logiqkog elementasamo sa jednim ulazom. Ovo ilustruje slika 3.17.

Slika 3.17: NILI-NILI realizacija komplementa logiqke funkcije

5. I-NILI i NI-I realizacija

Ove dve realizacije su ekvivalentne xto pokazuje slika 3.18.

Slika 3.18: Prelazak sa I-NILI na NI-I realizaciju logiqkefunkcije

Da bi se dobila I-NILI realizacija neophodno je oqiglednoodrediti minimizovani standardni oblik komplementa logiqke fun-kcije u obliku sume proizvoda. Jox jedna negacija daje samu funk-ciju. Prelazak sa I-NILI na NI-I realizaciju pokazuje slika3.18.

6. ILI-NI i NILI-ILI realizacija

Ove dve realizacije su ekvivalentne xto pokazuje slika 3.19.

Slika 3.19: Prelazak sa ILI-NI na NILI-ILI realizaciju logiqkefunkcije

Da bi se dobila ILI-NI realizacija neophodno je oqiglednoodrediti minimizovani standardni oblik komplementa logiqke fun-kcije u obliku proizvoda zbirova. Jox jedna negacija daje samufunkciju. Prelazak sa ILI-NI na NILI-ILI realizaciju poka-zuje slika 3.19.


3.2.4 Sluqaj nepotpunih logiqkih funkcija

Sa stanovixta primena, postoji mogu�nost da se neka od varijacijavrednosti nezavisnih logiqkih promenǉivih nikada ne desi. Prematome ne mo�e se govoriti da logiqka funkcija za tu varijaciju ima vred-nost bilo 0 bilo 1. Oqigledno radi se o nepotpunoj logiqkoj funkciji.Pri popuǌavaǌu mape Veiq-Karno za ovakvu logiqku funkciju u poǉegde je minterm na kome ona ima neodre�enu vrednost upisuje se crticakoja simboliqno oznaqava tu neodre�enu vrednost. Pri ucrtavaǌu kon-tura ovakva poǉa se mogu dvojako koristiti ili kao poǉa sa vrednox�u0 ili sa vrednox�u 1 u zavisnosti od toga xta boǉe odgovara za mini-mizovaǌe.

Primer 3.13 Minimizovati nepotpunu logiqku funkciju koja je zadataslede�im skra�enim zapisom:

f (x1, x2, x3, x4) =∑

(1, 3, 7, 11, 15) (3.18)

d (x1, x2, x3, x4) =∑

(0, 2, 5) . (3.19)

Na slici 3.20 je prikazana popuǌena odgovaraju�a mapa Veiq-Karno sa ucr-tanim konturama.

Slika 3.20: Popuǌena mapa Veiq-Karno za nepotpunu logiqku funkcijuiz primera 3.13

Na osnovu mape Veiq-Karno dobija se minimalni oblik logiqke funkcije:

f (x1, x2, x3, x4) = x1x4 + x2x4. (3.20)

Napomena 3.7 Mintermovi 0, 2, 5 odgovaraju neodre�enim vrednostimalogiqke funkcije.

3.2.5 Tabelarna metoda

Grafiqka metoda minimizovaǌa za logiqke funkcije qiji je broj neza-visnih logiqkih promenǉivih sedam i ve�i se ne koristi zbog glo-maznosti, komplikovanosti i nepreglednosti odgovaraju�ih mapa Veiq-


-Karno. I u sluqaju maǌeg broja promenǉivih nedostatak ove metode jexto se i ona zasniva na principu ponovnih pokuxaja pa prema tome nijepotpuno egzaktna.

Tabelarna metoda koju je uveo Kvajn a poboǉxao MekKlaski nemaprethodno navedene nedostatke. Ona je egzaktna i pogodna za primenuna digitalnom raqunaru.

Ova metoda se sprovodi u dve etape. Prva je odre�ivaǌe tz. pri-marnih implikanti kroz postupak sa�imaǌa. Druga etapa jeste izborpodskupa primarnih implikanti, izme�u svih primarnih implikanti,koji daje minimalni oblik logiqke funkcije.

Postupak minimizovaǌa logiqke funkcije ovom metodom se pokazujena slede�em primeru.

Primer 3.14 Tabelarnom metodom minimizovati logiqku funkciju:

f (x1, x2, x3, x4) =∑

(1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15) . (3.21)

1. Odre�ivaǌe skupa svih primarnih implikanti

Ovaj postupak se sprovodi pomo�u tz. tabele sa�imaǌa i to u istovreme se prikazuju dve varijante postupka, paralelno. Iz tog razlogasvaka kolona tabele sa�imaǌa ima dve podkolone pri qemu jedna pod-kolona se odnosi na jednu varijantu a druga podkolona na drugu var-ijantu ovog postupka. U praksi se koristi samo jedna varijanta,jedna ili druga, ovog postupka tako da tada kolone tabele sa�i-maǌa nemaju podkolone. Za razmatrani primer tabela sa�imaǌa jeprikazana u tabeli 3.13.

I II III0001X 1X −001 1, 9 (8) 10 − − 8, 9, 10, 11 (1, 2)0100X 4X 01 − 0 4, 6 (2)1000X 8X 100 − X 8, 9 (1) X

0110X 6X 10 − 0X 8, 10 (2) X

1001X 9X 011− 6, 7 (1)1010X 10X 10 − 1X 9, 11 (2) X

0111X 7X 101 − X 10, 11 (1) X

1011X 11X −111 7, 15 (8)1111X 15X 1 − 11 11, 15 (4)

Tabela 3.13: Tabela sa�imaǌa za logiqku funkciju iz primera 3.14

I kolona je podeǉena u grupe tako da svaka grupa u prvoj podkolonisadr�i binarne prikaze mintermova sa jednakim brojem jedinica, au drugoj podkoloni ǌihove decimalne ekvivalente. U prvoj grupi subinarni prikazi sa najmaǌim brojem jedinica a naredne grupe sadr�ebinarne prikaze koji imaju za po jednu jedinicu vixe. Dva binarnaprikaza se mogu sa�eti ako se razlikuju samo na jednom mestu ana svim ostalim mestima imaju jednake cifre. Potencijalno semogu sa�imati binarni prikazi iz susednih grupa i to ispituje se


mogu�nost sa�imaǌa svakog sa svakim. U rezultatu sa�imaǌa pre-pisuje se deo uqesnika sa�imaǌa koji je jednak a na mestu gde se onirazlikuju upisuje se znak ”−”. Rezultat svih mogu�ih sa�imaǌa izdve susedne grupe unosi se u prvu podkolonu II kolone i pripada jed-noj grupi. Pri tome se uqesnici sa�imaǌa iz prve kolone oznaqavajuznakom ”X”. Sliqno je i kada je u pitaǌu druga podkolona I kolone.Dva decimalna ekvivalenta iz susednih grupa mogu da se sa�mu akoje ǌihova razlika u korist onog koji je iz doǌe grupe, neki stepenbroja 2. Ovaj uslov za sa�imaǌe proistiqe iz veze izme�u binarnihi decimalnih brojeva. Rezultat sa�imaǌa je lista decimalnih ek-vivalenata uqesnika odvojenih zarezom i pra�enih ǌihovom razlikomu zagradi. Pri tome se uqesnici sa�imaǌa iz I kolone oznaqavajuznakom ”X” a rezultat sa�imaǌa dveju susednih grupa se upisuje udrugu podkolonu II kolone i saqiǌava jednu grupu. Isti postupak sesprovodi i nad drugom kolonom. Uslov za sa�imaǌe binarnih prikazaiz druge kolone je isti s tim xto znak ”–” mora da bude na istoj pozi-ciji. Uslov za sa�imaǌe decimalnih ekvivalenata iz druge koloneje isti s tim da moraju da imaju jednak broj u zagradi. Drugi krugsa�imaǌa po istom principu se sprovodi nad II kolonom. Uqesnicisa�imaǌa iz druge kolone se oznaqavaju znakom ”X”. Rezultat sa�i-maǌa iz druge kolone se upisuje u tre�u kolonu.

Iako se govori o sa�imaǌu binarnih prikaza odnosno decimalnih ek-vivalenata u suxtini radi se o sa�imaǌu, npr. u prvoj koloni,mintermova jer su binarni prikazi i decimalni ekvivalenti samoǌihovi predstavnici. Rezultat sa�imaǌa dva minterma je nepot-pun proizvod koji se zove implikanta. Mintermovi i implikantekoji nisu uqestvovali u sa�imaǌu nazivaju se primarne implikante.

Za razmatrani primer sve primarne implikante su prikazane u tabeli3.14.

1, 9 (8) −001 x2x3x4

4, 6 (2) 01 − 0 x1x2x4

6, 7 (1) 011− x1x2x3

7, 15 (8) −111 x2x3x4

11, 15 (4) 1 − 11 x1x3x4

8, 9, 10, 11 (1, 2) 10 − − x1x2

Tabela 3.14: Sve primarne implikante logiqke funkcije iz primera3.14

2. Izbor primarnih implikanti koje grade minimalni oblik logiqkefunkcije

U pojedinim sluqajevima sve primarne implikante uqestvuju u iz-gradǌi minimalnog oblika logiqke funkcije, u protivnom se vrxi iz-bor podskupa primarnih implikanti pomo�u takozvane tabele pri-marnih implikanti. Tabela primarnih implikanti za razmatraniprimer je data u tabeli 3.15.


1 4 6 7 8 9 10 11 15X x2x3x4 1, 9 × ×

X x1x2x4 4, 6 × ×

x1x2x3 6, 7 × ×

x2x3x4 7, 15 × ×

x1x3x4 11, 15 × ×

X x1x2 8, 9, 10, 11 × × × ×

X X X X X X X

Tabela 3.15: Tabela primarnih implikanti iz primera 3.14

U zaglavǉu vrsta su sve primarne implikante a u zaglavǉu kolona sudecimalni ekvivalenti svih mintermova razmatrane logiqke funk-cije. Ako je neki minterm pokriven primarnom implikantom onda seto oznaqava sa znakom ”×” u preseku odgovaraju�e vrste i kolone. Akoje neki minterm pokriven samo jednom primarnom implikantom ondase ona naziva esencijalna primarna implikanta i oznaqava sa znakom”X”. Takve primarne implikante moraju da uqestvuju u izgradǌi min-imalne forme logiqke funkcije. Esencijalne primarne implikante urazmatranom primeru pokrivaju sve izuzev dva minterma xto je oz-naqeno znakom ”X” u zadǌoj vrsti i kolonama mintermova koji supokriveni. Izme�u preostalih primarnih implikanti potrebno jeizabrati dodatne koje �e pokriti nepokrivene mintermove i u�i usastav minimalne forme. U sluqaju posmatranog primera situacijaje jednostavna tako da se bira primarna implikanta x2x3x4, tako daje minimalni oblik logiqke funkcije:

f (x1, x2, x3, x4) = x2x3x4 + x1x2x4 + x2x3x4 + x1x2. (3.22)

Onda kada je situacija komplikovanija primeǌuje se tz. Petrikovametoda. Pre primene Petrikove metode neophodno je tabelu pri-marnih implikanti redukovati eliminacijom vrsta esencijalnih pri-marnih implikanti i kolona sa mintermovima pokrivenim ovim es-encijalnim implikantama.

Petrikova metoda

Za razmatrani primer redukovana tabela primarnih implikanti jeprikazana u tabeli 3.16. Svakoj primarnoj implikanti iz reduko-

7 15p1 x1x2x3 ×

p2 x2x3x4 × ×

p3 x1x3x4 ×

Tabela 3.16: Redukovana tabela primarnih implikanti iz primera 3.14

vane tabele pridru�uje se binarna promenǉiva pi koja ima vrednost1 ako pripada skupu pokrivaǌa primarnih implikanti i 0 u suprot-nom sluqaju. Da bi minterm qiji je decimalni ekvivalent 7 bio


pokriven potrebno je da je p1 + p2 = 1. Sliqno je i za minterm qijije decimalni ekvivalent 15, da bi on bio pokriven potrebno je da jep2+p3 = 1. Da bi oba minterma bila pokrivena u isto vreme potrebnoje da je (p1 + p2) (p2 + p3) = 1. Posle mno�eǌa gorǌih suma dobija seuslov p2 + p1p3 = 1. Ovaj izraz ima�e vrednost 1 ako je p2 = 1 ILIp1 = 1 I p3 = 1. Obzirom da su sve primarne implikante istog rangausvaja se da skup pokrivaǌa bude sastavǉen samo od primarne imp-likante iz druge vrste.

Sluqaj nepotpunih logiqkih funkcija

Tabelarna metoda se primeǌuje za nepotpune logiqke funkcije na istinaqin kao za potpune s tim xto su u tabeli sa�imaǌa ukǉuqeni imintermovi na kojima logiqka funkcija ima neodre�ene vrednosti a utabeli primarnih implikanti oni nisu ukǉuqeni.

3.2.6 Minimizovaǌe sistema logiqkih funkcija tabela-rnom metodom

U sluqaju sistema logiqkih funkcija minimizovaǌe je mogu�e sprovestiza svaku logiqku funkciju ponaosob. Me�utim, postoji tabelarni pos-tupak pomo�u koga se sve funkcije u isto vreme uzimaju u obzir. Na tajnaqin mogu�e je da se sa stanovixta realizacije pojave zajedniqki de-lovi za dve ili vixe logiqkih funkcija posmatranog sistema pri qemuse dobija jox minimalnija realizacija nego xto bi bila kada bi se svakalogiqka funkcija posmatrala ponaosob. Primena postupka se ilustrujena konkretnom primeru.

Primer 3.15 Minimizovati tabelarnom metodom slede�i sistem logi-qkih funkcija pri qemu se sve logiqke funkcije sistema uzimaju u obziristovremeno:

f1 (x1, x2, x3, x4) =∑

(2, 4, 10, 11, 12, 13) (3.23)

f2 (x1, x2, x3, x4) =∑

(4, 5, 10, 11, 13) (3.24)

f3 (x1, x2, x3, x4) =∑

(1, 2, 3, 10, 11, 12) . (3.25)

Tabela sa�imaǌa za dati sistem logiqkih funkcija je prikazana u tabeli3.17.

Svaka od kolona I, II, III sadr�i jox po jednu podkolonu u kojoj se znako-vima ”×” pokazuje pripadnost mintermova ili implikanti pojedinimfunkcijama. Pored ranije navedenih uslova za sa�imaǌe dvaju minter-mova ili implikanti mora da bude ispuǌen i uslov da oba (obe) pripadajubar jednoj od funkcija. Formalno se to svodi na prisustvo znaka ”×” upodkoloni bar ispod jedne funkcije i kod jednog i kod drugog uqesnika sa�i-maǌa. Rezultat sa�imaǌa a to je implikanta upisuje se u narednu kolonu


I II IIIf1 f2 f3 f1 f2 f3 f1 f2 f3

1X 0001X × 1, 3 00 − 1 × 2, 3, 10, 11 −01− ×

2X 0010X × × 2, 3X 001−X × 2, 10, 3, 11 −01− ×

4 0100 × × 2, 10 −010 × ×

3X 0011X × 4, 5 010− ×

5X 0101X × 4, 12 −100 ×

10X 1010X × × × 3, 11X −011X ×

12 1100 × × 5, 13 −101 ×

11X 1011X × × × 10, 11 101− × × ×

13 1101 × × 12, 13 110− ×

Tabela 3.17: Tabela sa�imaǌa za sistem logiqkih funkcija iz primera3.15

i pripada samo onim funkcijama koje su sadr�ale oba uqesnika sa�imaǌa.Formalno ako se znakovi ”×” uz jedan uqesnik sa�imaǌa posmatraju kaojedan skup a znakovi ”×” uz drugi uqesnik sa�imaǌa posmatraju kao drugiskup, onda se uz rezultat sa�imaǌa upisuje presek ova dva skupa. Uqesnicisa�imaǌa se oznaqavaju znakom ”X” da su iskorix�eni jedino onda kadaoni ne pripadaju nekoj drugoj funkciji izuzev onoj u okviru koje je izvrxenosa�imaǌe. Formalno, ako znakovi ”×” uz rezultat sa�imaǌa, kao skup,sadr�e skup znakova ”×” uz uqesnik sa�imaǌa onda se uqesnik sa�imaǌaoznaqava sa znakom ”X” da je iskorix�en. Kada se dobije skup primarnihimplikanti daǉi tok minimizovaǌa se nastavǉa Petrikovom metodom.Tabela primarnih implikanti je prikazana u tabeli 3.18.

f1 f2 f3

2 4 10 11 12 13 4 5 10 11 13 1 2 3 10 11 12p1 x2x3 × × × ×

p2 x1x2x3 × ×

p3 x1x2x3 × × × × × ×

p4 x2x3x4 × ×

p5 x2x3x4 × ×

p6 x1x2x3 × ×

p7 x2x3x4 × × × ×

p8 x1x2x4 × ×

p9 x1x2x3x4 × ×

p10 x1x2x3x4 × ×

p11 x1x2x3x4 × ×

Tabela 3.18: Tabela primarnih implikanti za sistem logiqkihfunkcija iz primera 3.15


Da bi svi mintermovi bili pokriveni potrebno je da je:

p3p7p8p10 (p4p9p11 + p4p5p6p9 + p2p4p11 + p2p4p5p6 + p6p9p11 + p5p6p9+

+p4p5p6p9 + p2p4p5p6) = 1.(3.26)

Oqigledno je da mora da bude p3 = 1, p7 = 1, p8 = 1 i p10 = 1 tj. odgovaraju�eprimarne implikante moraju biti uvrxtene u minimalnu formu. Xto setiqe ostalih primarnih implikanti postoje dve varijante za minimalnuformu da je p2p4p11 = 1 ili p5p6p9 = 1. Ove dve varijante su ekvivalentne.Pretpostavimo da se usvoji prva varijanta. Sada se odre�uje redukovanatabela primarnih implikanti koja je prikazana u tabeli 3.19.

f1 f2 f3

2 4 10 11 12 13 4 5 10 11 13 1 2 3 10 11 12p2 x1x2x3 × ×

p3 x1x2x3 × × × × × ×

p4 x2x3x4 × ×

p7 x2x3x4 × × × ×

p8 x1x2x4 × ×

p10 x1x2x3x4 × ×

p11 x1x2x3x4 × ×

Tabela 3.19: Redukovana tabela primarnih implikanti za sistemlogiqkih funkcija iz primera 3.15

Uslovi za pokrivenost svih mintermova po pojedinim funkcijama su:

p7p11 (p3 + p7) p3 (p2 + p10) p2 = p2p3p7p11 = 1 (3.27)

p3p4p11 = 1 (3.28)

p7p8 (p3 + p7) p3p10 = p3p7p8p10 = 1. (3.29)

Sledi da su minimizovane funkcije:

f1 (x1, x2, x3, x4) = x1x2x3 + x1x2x3 + x2x3x4 + x1x2x3x4 (3.30)

f2 (x1, x2, x3, x4) = x1x2x3 + x2x3x4 + x1x2x3x4 (3.31)

f3 (x1, x2, x3, x4) = x1x2x3 + x2x3x4 + x1x2x4 + x1x2x3x4. (3.32)

Oqigledno postoje delovi koji su zajedniqki za neke od ovih funkcija.

Poglavǉe 4

Kombinaciona logiqkakola

U ovom poglavǉu izla�u se klasiqni postupci projektovaǌa i analizekombinacionih logiqkih kola uopxte kao i na primerima nekih znaqa-jnih kola ovoga tipa kao xto su npr. razna logiqka kola za izvo�eǌearitmetiqkih operacija. Pri tome se ova logiqka kola izvode pomo�upojedinaqnih logiqkih elemenata koji ostvaruju ili osnovne logiqkefunkcije ili pak neke druge logiqke funkcije kao xto su samo NI, samoNILI i ISKǈUQNO ILI i EKVIVALENCIJA.

63

64 Poglavǉe 5. Kombinaciona logiqka kola

4.1 Definicija kombinacionih logiqkih kola

Kao xto je ranije navedeno, osnovne logiqke funkcije se fiziqki rea-lizuju pomo�u logiqkih elemenata. Povezivaǌem vixe logiqkih eleme-nata dobijaju se takozvana logiqka kola. Logiqka kola mogu biti ra-zliqitih tipova, slo�enosti i namene. Najjednostavniji tip logiqkihkola su kombinaciona logiqka kola.

Definicija 4.1 Pod kombinacionim logiqkim kolom se podrazumeva logi-qko kolo koje ostvaruje jednoznaqno preslikavaǌe ulaza u izlaz. To znaqi dajedan isti ure�eni skup vrednosti ulaznih binarnih promenǉivih veliqina,kad god se pojavi na ulazu kombinacionog logiqkog kola, na izlazu uslovǉavapojavu jedinstvenog ure�enog skupa vrednosti izlaznih binarnih promenǉi-vih veliqina.

Ovo logiqko kolo u opxtem sluqaju mo�e da ima vixe ulaza npr. n ivixe izlaza npr. m. Dijagram kombinacionog logiqkog kola je prikazanna slici 4.1.

Slika 4.1: Dijagram kombinacionog logiqkog kola

x1, x2, · · · , xn su n ulaznih binarnih promenǉivih veliqina. f1, f2, · · · ,fm su m izlaznih binarnih promenǉivih veliqina.

Kombinaciono logiqko kolo se mo�e logiqki opisati sistemom od mlogiqkih funkcija od n nezavisnih logiqkih promenǉivih.

f1 = f1 (x1, x2, · · · , xn)

f2 = f2 (x1, x2, · · · , xn)

... (4.1)

fm = fm (x1, x2, · · · , xn)

Obzirom da su ulazne promenǉive binarne, na ulazu kombinacionoglogiqkog kola, koje ima n ulaznih kanala, mogu�e je da se pojavi 2n raz-liqitih varijacija vrednosti ulaznih promenǉivih veliqina. Sliqno,poxto su izlazne promenǉive tako�e binarne, na izlazu kombinacionoglogiqkog kola, koje ima m izlaznih kanala, mogu�e je da se pojavi 2m

razliqitih varijacija vrednosti izlaznih promenǉivih.Jednoj varijaciji na ulazu odgovara jedna i samo jedna varijacija na

izlazu bez obzira na trenutak pojavǉivaǌa ulazne varijacije. Ako je

5.2. Postupak projektovaǌa kombinacionih logiqkih kola 65

n > m (n i m su oqigledno pozitivni celi brojevi) onda je oqigledno i2n > 2m tako da vixe varijacija vrednosti ulaznih promenǉivih uslov-ǉava jednu varijaciju vrednosti izlaznih promenǉvih. Ako je obrnuto,tj. n < m onda je i 2n < 2m tako da neke varijacije vrednosti izlaznihpromenǉivih se ne�e nikada pojaviti.

4.2 Postupak projektovaǌa kombinacionih

logiqkih kola

Postupak projektovaǌa kombinacionog logiqkog kola zapoqiǌe tekstu-alnim definisaǌem problema (naqina rada tog kola), a zavrxava seodre�ivaǌem logiqkih funkcija koje opisuju rad tog kola, tj. odre�i-vaǌem odgovaraju�eg logiqkog dijagrama. Etape postupka projektovaǌakombinacionog logiqkog kola se daju algoritamski:

1. Problem tj. naqin rada zahtevanog logiqkog kola definixe se tek-stualno.

2. Na bazi tekstualno definisanog naqina rada kombinacionog logi-qkog kola vrxi se identifikovaǌe ulaznih i izlaznih veliqinatog kola.

3. Uvode se oznake ulaznih i izlaznih veliqina tog kola.

4. Zahtevani odnos izme�u vrednosti ulaznih i izlaznih promenǉivihveliqina prikazuje se tabelarno. Imaju�i u vidu da ulazne veli-qine nisu nixta drugo do nezavisne logiqke promenǉive, a izlazneveliqine, logiqke funkcije, ovaj tabelarni prikaz je tabelarniprikaz logiqkih funkcija koje opisuju rad kombinacionog logiqkogkola. Tabelarni prikaz se odre�uje na ranije opisani naqin, kaoi za svaku logiqku funkciju, s tim xto se ovde vrednosti logiqkihfunkcija identifikuju na osnovu tekstualnog definisaǌa rada kola.

Napomena 4.2 U sluqaju kada tekstualna postavka problema ne doz-voǉava neku od varijacija ulaznih promenǉivih onda se radi o nepot-punim logiqkim funkcijama.

5. Posle dobijaǌa tabelarnog prikaza logiqkih funkcija, vrxi seminimizacija logiqkih funkcija i dobijaju se ǌihovi minimalnioblici.

6. Na osnovu minimalnih oblika logiqkih funkcija odre�uje se odgo-varaju�i logiqki dijagram, na osnovu koga se fiziqki realizujetra�eno kombinaciono logiqko kolo, koje ispuǌava uslov finan-sijske ekonomiqnosti.

Primer 4.1 Projektovati kombinaciono logiqko kolo koje ima tri ulazai jedan izlaz. Izlazna veliqina ovog logiqkog kola ima vrednost 1 kada:


sve ulazne veliqine na svim ǌegovim ulazima imaju vrednost 1, ili kadasve ulazne veliqine na svim ǌegovim ulazima imaju vrednost 0, ili kadaneparan broj ulaznih veliqina na neparnom broju ǌegovih ulaza ima vred-nost 1. U svim ostalim sluqajevima izlazna veliqina ovog logiqkog kolaima vrednost 0. Ulazne veliqine se oznaqavaju sa x1, x2 i x3, a izlaznaveliqina se oznaqava sa y. Tabela 4.1 je tabela vrednosti za logiqkufunkciju ”y”, dobijena na osnovu tekstualno definisanog naqina rada kom-binacionog kola. Na slici 4.2 je prikazana popuǌena mapa Veiq-Karno zanavedeno kombinaciono logiqko kolo, u kojoj su unete sve konture, takoda se na bazi te mape i unetih kontura dobija minimalni oblik logiqkefunkcije ”y” dat izrazom 4.2. Na slici 4.3 prikazan je odgovaraju�i logiqkidijagram koji je dobijen na osnovu minimalnog oblika 4.2 logiqke funkcije”y”.

x1 x2 x3 y0 0 0 10 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Tabela 4.1: Tabela vrednosti za izlaznu veliqinu zadatog kombina-cionog logiqkog kola

Slika 4.2: Mapa Veiq-Karno za razmatrano kombinaciono logiqko kolo

y = x1x2 + x2x3 + x1x3 + x1x2x3 (4.2)

4.3 Aritmetiqka logiqka kola

Samo ime ka�e da aritmetiqka logiqka kola slu�e za izvo�eǌe arit-metiqkih operacija. To je jedan od najznaqajnijih zadataka digitalnih

5.3. Aritmetiqka logiqka kola 67

Slika 4.3: Logiqki dijagram razmatranog kombinacionog logiqkog kola

sistema odnosno digitalnih raqunara. Ovde �e biti razmatrana samologiqka kola za izvo�eǌe aritmetiqkih operacija sabiraǌa i oduzi-maǌa, poxto se u digitalnim sistemima, tj. digitalnim raqunarima,sve aritmetiqke operacije izvode pomo�u ove dve navedene operacije.

4.3.1 Sabiraqi

Sabiraǌe je osnovna aritmetiqka operacija. Pri sabiraǌu dva jedno-cifrena binarna broja rezultat mo�e da bude jednocifren ili dvocif-ren. U sluqaju kada je zbir dvocifren, cifra 1 koja je vixeg ranga, tj.koja se nalazi u vixem razredu, naziva se cifra za prenos. Pri sabi-raǌu dva vixecifrena binarna broja, sabiraǌe se vrxi po razredima.U okviru jednog razreda se obiqno sabiraju dva jednocifrena binarnabroja. Me�utim, kada se pri sabiraǌu u okviru jednog razreda pojavicifra 1 za prenos, ona se prenosi u naredni vixi razred, tako da se unarednom vixem razredu sabiraju tri jednocifrena broja. Za sabiraǌedva jednocifrena binarna broja koristi se tz. polusabiraq, a za sabi-raǌe tri jednocifrena binarna broja koristi se tz. potpuni sabiraq.Naziv potpuni sabiraq potiqe otuda xto se on realizuje pomo�u dva po-lusabiraqa. Oba pomenuta sabiraqa su po svojoj prirodi kombinacionalogiqka kola.

Polusabiraq

Imaju�i u vidu da polusabiraq ostvaruje slede�e sluqajeve sabiraǌa0+0 = 0, 0+1 = 1, 1+0 = 1, 1+1 = 10, jasno je da je to logiqko kolo kojeima dva ulaza i dva izlaza. Ulazi su binarne promenǉive x1 i x2 kojimaodgovaraju jednocifreni sabirci, a izlazi su binarne promenǉive S iC kojima odgovaraju cifra zbira i cifra za prenos. Tabelarni prikazlogiqkih funkcija S i C, koje su dobile ime na osnovu engleskih reqiza zbir i prenos, je dat u tabeli 4.2.

Na osnovu tabelarnog prikaza 4.2 dobijaju se kanoniqki oblici 4.3i 4.4, logiqkih funkcija S i C, koji u ovom konkretnom sluqaju pred-stavǉaju i ǌihove minimalne oblike, tj. ovde nije mogu�e postupkomminimizacije do�i do minimalnijih, jednostavnijih oblika.


x1 x2 C S0 0 0 00 1 0 11 0 0 11 1 1 0

Tabela 4.2: Tabela vrednosti za logiqke funkcije S i C polusabiraqa

S = x1x2 + x1x2 (4.3)

C = x1x2 (4.4)

S druge strane, iz tabelarnog prikaza 4.2 je oqigledno da je S ISK-ǈUQNO ILI logiqka funkcija, koja je u 4.3 izra�ena pomo�u osnovnihlogiqkih funkcija. Na slikama 4.4, 4.5, 4.6, 4.7 i 4.8 prikazano je neko-liko razliqitih realizacija polusabiraqa dobijenih na osnovu izraza4.3 i 4.4, 4.5 i 4.6, 4.7 i 4.8, 4.9 i 4.10 i 4.11 i 4.12.

Slika 4.4: Logiqki dijagram polusabiraqa prema 4.3 i 4.4


S = (x1 + x2) (x1 + x2) (4.5)

C = x1x2 (4.6)




S = (C + x1x2) (4.7)

C = x1x2 (4.8)

S = (x1 + x2) (x1 + x2) (4.9)

C = (x1 + x2) (4.10)

S = x1 ⊕ x2 (4.11)

C = x1x2 (4.12)

Potpuni sabiraq

Potpuni sabiraq je logiqko kolo koje ima tri ulaza i dva izlaza. Dvaulaza su binarne promenǉive x1 i x2 kojima odgovaraju jednocifrenisabirci, tre�i ulaz je binarna promenǉiva x3 kojoj odgovara cifra zaprenos nastala pri sabiraǌu u prethodnom razredu, a izlazi su binarnepromenǉive S i C kojima odgovaraju cifra zbira i cifra za prenos u



naredni vixi razred. Tabelarni prikaz logiqkih funkcija S i C je datu tabeli 4.3.

x1 x2 x3 C S0 0 0 0 00 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 1 01 1 0 1 01 1 1 1 1

Tabela 4.3: Tabelarni prikaz logiqkih funkcija S i C potpunogsabiraqa

Na slici 4.9 (a) prikazana je mapa Veiq-Karno za logiqku funkcijuS, a na slici 4.9 (b) mapa Veiq-Karno za logiqku funkciju C.

Slika 4.9: Mape Veiq-Karno za logiqke funkcije S i C potpunogsabiraqa

Oqigledno da se logiqka funkcija S nemo�e minimizovati, ve� jeǌen kanoniqki oblik istovremeno i minimalni, a logiqka funkcija Cje minimizovana ucrtavaǌem tri konture u odgovaraju�u mapu Veiq--Karno, tako da se dobija ǌen standardni oblik:

S = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 (4.13)

C = x1x2 + x1x3 + x2x3. (4.14)

Izraz 4.13 za logiqku funkciju S mo�e se lako transformisati u oblikizra�en preko logiqke funkcije ISKǈUQNO ILI:


S = x3 ⊕ (x1 ⊕ x2) (4.15)

Na slici 4.10 prikazan je logiqki dijagram potpunog sabiraqa dobijenna osnovu izraza 4.13 i 4.14, a na slici 4.11 na osnovu izraza 4.15 i4.14.

Slika 4.10: Logiqki dijagram potpunog sabiraqa na osnovu kanoniqkogi standardnog oblika funkcija S i C

Slika 4.11: Logiqki dijagram potpunog sabiraqa na osnovuISKǈUQNO ILI oblika funkcije S i standardnog oblika funkcijeC

4.3.2 Oduzimaqi

Sliqno kao xto postoji polusabiraq i potpuni sabiraq tako postoji ipoluoduzimaq i potpuni oduzimaq. Poluoduzimaq slu�i za oduzimaǌedva jednocifrena binarna broja. Pri oduzimaǌu vixecifrenih binar-nih brojeva oduzimaǌe se sprovodi po razredima. Kada je pri oduzi-maǌu u okviru jednog razreda cifra umaǌenik maǌa od cifre umaǌioca,onda se iz narenog vixeg razreda pozajmǉuje cifra 1. Kada se oduzi-maǌe sprovodi u razredu u kome je prethodno izvrxeno pozajmǉivaǌe,mora se uzeti u obzir i pozajǉena cifra, tako da u tom postupku uqes-tvuju tri cifre. Potpuni oduzimaq slu�i za izvo�eǌe postupka oduzi-maǌa u kome uqestvuju tri jednocifrena binarna broja. Oba pomenutaoduzimaqa su po svojoj prirodi kombinaciona logiqka kola.

Poluoduzimaq

Poluoduzimaq je logiqko kolo koje ima dva ulaza i dva izlaza. Ulazi subinarne promenǉive x1 i x2 kojima odgovaraju jednocifreni umaǌenik


i umaǌioc, a izlazi su binarne promenǉive D i B, kojima odgovarajucifra razlike i cifra koja se pozajmǉuje iz narednog vixeg razreda.U sluqaju kada se radi o oduzimaǌu vixecifrenih binarnih brojeva,binarna promenǉiva B se koristi pri oduzimaǌu u narednom vixemrazredu kao dodatni umaǌilac. Tabelarni prikaz logiqkih funkcija Di B, koje su dobile ime na osnovu engleskih reqi za razliku i pozajmǉi-vaǌe, je dat u tabeli 4.4.

x1 x2 B D0 0 0 00 1 1 11 0 0 11 1 0 0

Tabela 4.4: Tabelarni prikaz logiqkih funkcija D i B poluoduzimaqa

Minimizovaǌem se dobijaju minimalni oblici logiqkih funkcija Di B:

D = x1x2 + x1x2 (4.16)

B = x1x2. (4.17)

Vidi se da je D ISKǈUQNO ILI logiqka funkcija tj. D = x1 ⊕ x2 ida je jednaka logiqkoj funkciji S kod polusabiraqa tako da su reali-zacije polusabiraqa i poluoduzimaqa sliqne. Zbog toga se realizacijepoluoduzimaqa ovde ne daju.

Potpuni oduzimaq

Potpuni oduzimaq je logiqko kolo koje ima tri ulaza i dva izlaza. Dvaulaza su binarne promenǉive x1 i x2 kojima odgovaraju cifra umaǌeniki cifra umaǌioc jednog razreda, tre�i ulaz je binarna promenǉivax3 kojoj odgovara cifra pozajmǉena iz tog razreda pri oduzimaǌu uprethodnom razredu tako da i ona ima ulogu cifre umaǌioca. Izlazisu binarne promenǉive D i B kojima odgovaraju cifra razlike i cifrapozajmǉena iz narednog vixeg razreda. Tabelarni prikaz logiqkihfunkcija D i B je dat u tabeli 4.5.

Mape Veiq-Karno za logiqke funkcije D i B potpunog oduzimaqa suprikazane na slikama 4.12 (a) i 4.12 (b).

Oqigledno da se funkcija D ne mo�e minimizovati i da je ǌen kanoni-qki oblik istovremeno i minimalni, a funkcija B se minimizuje ucr-tavaǌem tri konture prema slici 4.12 (b), tako da se dobija ǌen stan-dardni oblik:


D = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 (4.18)

B = x1x2 + x1x3 + x2x3 (4.19)

x1 x2 x3 B D0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 1 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 0 01 1 0 0 01 1 1 1 1

Tabela 4.5: Tabela vrednosti za logiqke funkcije D i B potpunog odu-zimaqa

Slika 4.12: Mape Veiq-Karno za logiqke funkcije D i B potpunog odu-zimaqa

I ovde se vidi da je logiqka funkcija D jednaka logiqoj funkciji S,za potpuni sabiraq, tj. da se kao i u sluqaju ove funkcije S, mo�e izraz-iti pomo�u ISKǈUQNO ILI logiqke funkcije, D = x3 ⊕ (x1 ⊕ x2).Logiqki dijagrami se ovde ne daju s obzirom da se oni razlikuju nez-natno u odnosu na logiqke dijagrame potpunog sabiraqa.

4.3.3 Tehniqka izvo�eǌa aritmetiqkih logiqkih kola

Ovde se daju samo tehniqka izvo�eǌa polusabiraqa i potpunog sabiraqapoxto su ona vrlo sliqna za poluoduzimaq i potpuni oduzimaq. Tatehniqka izvo�eǌa su pneumatsko i hidrauliqno pomo�u pneumatskih ihidrauliqnih razvodnika i elektronsko pomo�u tranzistora.


Tehniqka izvo�eǌa polusabiraqa

1. Pneumatsko tehniqko izvo�eǌe polusabiraqa pomo�u pneumatskihrazvodnika prikazano je na slici 4.13.

Slika 4.13: Tehniqko izvo�eǌe polusabiraqa pomo�u pneumatskihrazvodnika

2. Hidrauliqno tehniqko izvo�eǌe polusabiraqa pomo�u hidrauliq-nih razvodnika je potpuno analogno pneumatskom izvo�eǌu.

3. Elektronsko tehniqko izvo�eǌe polusabiraqa pomo�u tranzistoraprikazano je na slici 4.14.

Slika 4.14: Elektronsko tehniqko izvo�eǌe polusabiraqa pomo�utranzistora

Tehniqka izvo�eǌa potpunog sabiraqa

1. Pneumatsko tehniqko izvo�eǌe potpunog sabiraqa pomo�u pneuma-ckih razvodnika prikazano je na slici 4.15.

2. Hidrauliqno tehniqko izvo�eǌe potpunog sabiraqa pomo�u hidrauliq-nih razvodnika je potpuno analogno pneumatskom izvo�eǌu.

5.4. Pretvaraqi kodova 75

Slika 4.15: Tehniqko izvo�eǌe potpunog sabiraqa pomo�u pneumatskihrazvodnika

3. Elektronsko tehniqko izvo�eǌe potpunog sabiraqa pomo�u tranzis-tora prikazano je na slici 4.16.

Slika 4.16: Elektronsko tehniqko izvo�eǌe potpunog sabiraqa pomo�utranzistora

4.4 Pretvaraqi kodova

U sluqaju sprezaǌa dvaju digitalnih sistema, kod kojih se koriste raz-liqiti kodovi za iste diskretne elemente informacija, potrebno je ost-variti saglasnost izme�u ǌih u pogledu tih kodova, pomo�u takozvanogpretvaraqa koda. Pretvaraq koda je kombinaciono logiqko kolo qiji je


zadatak da pri pretvaraǌu koda A u kod B na osnovu ure�enog skupabitova koda A na svom ulazu daje ure�eni skup bitova odgovaraju�egkoda B na svom izlazu. Slede�i primer ilustruje postupak projekto-vaǌa pretvaraqa kodova.

Primer 4.2 Projektovati pretvaraq BCD koda u +3 kod. Tabela 4.6 jetabela vrednosti za ovo logiqko kolo. Vidi se da su oba koda qetvoro-bitna. Ovde se oqigledno radi o qetiri logiqke funkcije y1, y2, y3 i y4

od qetiri nezavisne logiqke promenǉive x1, x2, x3 i x4, xto znaqi da bitabela vrednosti trebalo da ima 16 vrsta. Me�utim imaju�i u vidu dase kod BCD koda, od 16 raspolo�ivih ure�enih skupova od qetiri bita ko-risti samo deset, pomenute logiqke funkcije za neiskorix�ene varijacijevrednosti nezavisnih promenǉivih nisu definisane, tj. imaju neodre�enevrednosti. Nije predvi�eno da se neiskorix�eni ulazi ovog pretvaraqa po-jave bilo kada, tako da se za odgovaraju�e vrednosti izlaza ne mo�e re�ida treba da imaju vrednost bilo 0 bilo 1. Prilikom minimizovaǌa ovihlogiqkih funkcija, ǌihove neodre�ene vrednosti se zameǌuju sa 0 ili 1, uzavisnosti od toga xta je u konkretnom sluqaju povoǉnije sa stanovixtaminimizovaǌa. Te vrednosti izlaza ovog logiqkog kola se nikada ne�e de-siti, poxto vrednosti ulaza koje uslovǉavaju te izlaze se nikada ne�edesiti, tako da je sa tog stanovixta potpuno neva�no koje vrednostiizlaza �e se usvojiti na mestima gde su one neodre�ene. Tabela 4.6 nijekompletna iz razloga xto se podrazumeva da su vrednosti izlaza neodre-�ene za neiskorix�ene ulaze, a upravo nedostaje taj deo tabele vrednosti,da bi se izbegla bespotrebna glomaznost. Odgovaraju�e mape Veiq-Karno sudate na slikama 4.17 i 4.18, a izrazi 4.20, 4.21, 4.22 i 4.23 su minimalnioblici logiqkih funkcija dobijeni u postupku minimizovaǌa svake logiqkefunkcije ponaosob zasebno. U tim izrazima logiqke funkcije y1, y2 i y3

su daǉe algebarski transformisane da bi se pri fiziqkoj realizaciji ovogsistema logiqkih funkcija dobili zajedniqki delovi nekih od ovih logiqkihfunkcija. Logiqki dijagram ovog pretvaraqa je dat na slici 4.19.

BCD +3x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4

0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 1 0 1 0 00 0 1 0 0 1 0 10 0 1 1 0 1 1 00 1 0 0 0 1 1 10 1 0 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 0 10 1 1 1 1 0 1 01 0 0 0 1 0 1 11 0 0 1 1 1 0 0

Tabela 4.6: Tabela vrednosti pretvaraqa BCD koda u +3 kod

5.5. Postupak analize kombinacionih logiqkih kola 77

Slika 4.17: Mape Veiq-Karno za logiqke funkcije y1 i y2 pretvaraqaBCD koda u +3 kod

y1 = x1 + x2x3 + x2x4 = x1 + x2 (x3 + x4) (4.20)

y2 = x2x3 + x2x4 + x2x3x4 = x2 (x3 + x4) + x2 (x3 + x4) (4.21)

Slika 4.18: Mape Veiq-Karno za logiqke funkcije y3 i y4 pretvaraqaBCD koda u +3 kod

y3 = x3x4 + x3x4 = x3x4 + (x3 + x4) (4.22)

y4 = x4 (4.23)

4.5 Postupak analize kombinacionih logiqkih

kola

Postupak analize kombinacionih logiqkih kola je inverzan postupkuǌihove sinteze. U ovom postupku polazi se od logiqkog dijagrama kom-binacionog logiqkog kola qija analiza se sprovodi. Ciǉ je da se odrede


Slika 4.19: Logiqki dijagram pretvaraqa BCD koda u +3 kod

odgovaraju�e logiqke funkcije (u opxtem sluqaju ih ima vixe), u tabela-rnom ili algebarskom obliku, koje logiqki opisuju rad tog logiqkogkola, ili pak tekstualni opis rada logiqkog kola.

Pokazateǉ da je logiqko kolo qiji logiqki dijagram se razmatra uciǉu analize, kombinaciono logiqko kolo je da taj logiqki dijagramnema povratnih sprega i da ne sadr�i memorijske elemente xto je kara-kteristiqno za sekvencijalna logiqka kola o kojima se govori u nared-nim poglavǉima. Etape postupka analize kombinacionog logiqkog koladaju se algoritamski:

1. Proizvoǉnim oznakama oznaqavaju se izlazi onih logiqkih eleme-nata qiji su ulazi samo ulazi qitavog logiqkog kola. Odre�uju selogiqke funkcije koje odgovaraju izlazima ovakvih logiqkih ele-menata.

2. Proizvoǉnim oznakama oznaqavaju se izlazi onih logiqkih ele-menata qiji su ulazi, ulazi qitavog logiqkog kola i/ili izlazilogiqkih elemenata iz taqke 1. Odre�uju se logiqke funkcije kojeodgovaraju izlazima ovakvih logiqkih elemenata.

3. Postupak iz taqke 2. se ponavǉa dok se ne do�e do izlaza celoglogiqkog kola.

4. Uzastopnim zamenama eliminixu se me�uveliqine dok se ne dobijulogiqke funkcije koje odgovaraju izlazima qitavog logiqkog kolaa koje su izra�ene samo preko ulaza qitavog kola kao nezavisnihlogiqkih promenǉivih.

Tabelarni oblik tj. tabelu vrednosti logiqkih funkcija koje opisujurad zadatog kombinacionog logiqkog kola mogu�e je dobiti direktno naosnovu zadatog logiqkog dijagrama od koga se kre�e u postupku ana-lize. Prvo se formira levi deo tabele vrednosti gde se izlistaju svevarijacije vrednosti ulaznih binarnih promenǉivih kojih ima ukupno2n. Potom se u desnom delu tabele vrednosti unose vrednosti logiqkihfunkcija redom iz taqke 1., 2. i 3. gorǌeg postupka. Najzad se na

5.5. Postupak analize kombinacionih logiqkih kola 79

osnovu vrednosti ve� odre�enih logiqkih funkcija koje predstavaǉajume�uveliqine odre�uju vrednosti logiqkih funkcija koje opisuju radqitavog logiqkog kola i unose u posebne kolone, xto odgovara taqki 4.gorǌeg postupka.

U sluqaju da kombinacionom logiqkog kolu, qija analiza se sprovodia qiji je logiqki dijagram zadat, odgovaraju nepotpune logiqke funkcijeanaliza se sprovodi i za one varijacije vrednosti ulaznih promenǉivihkoje se nikada ne�e desiti. Ako bi se kojim sluqajem na ulazu razmatra-nog logiqkog kola pojavile nepredvi�ene varijacije vrednosti ulaznihpromenǉivih na izlazu se ipak dobijaju vrednosti logiqkih funkcijabilo 1 ili 0 zavisno od toga koje su vrednosti logiqkih funkcija usvo-jene u postupku sinteze tog logiqkog kola.

Primer 4.3 Izvrxiti analizu logiqkog kola qiji je logiqki dijagram naslici 4.20.

Slika 4.20: Logiqki dijagram logiqkog kola iz primera 4.3

Analiza logiqkog kola qiji je logiqki dijagram zadat zapoqiǌe oznaqa-vaǌem sa T1 izlaza I logiqkog elementa 1 qiji su ulazi x1, x2 i x3 a to suistovremeno ulazi qitavog logiqkog kola. Sliqno, sa T2 se oznqava izlazILI logiqkog elementa 2 qiji su ulazi tako�e x1, x2 i x3. Sa T3 se oznaqavaizlaz NE logiqkog elementa 7 qiji je ulaz, izlaz ILI logiqkog elementa6. Sa T4 se oznaqava izlaz I logiqkog elementa 8 qiji su ulazi, izlaziILI logiqkog elementa 2 i NE logiqkog elementa 7. Izlaz ILI logiqkogelementa 9 je istovremeno i izlaz qitavog logiqkog kola tako da se on oz-naqava sa F1 xto je jedna od logiqkih funkcija koje treba odrediti. Ulaziovog logiqkog elementa su izlazi I logiqkih elemenata 1 i 8. U ovomkonkretnom sluqaju, zbog jednostavnosti odre�ivaǌa izlaza ILI logiqkogelementa 6, koji je istovremeno i izlaz qitavog logiqkog kola, izlazi Ilogiqkih elemenata 3, 4 i 5 se ne obele�avaju ve� se obele�ava izlaz togILI logiqkog elementa 6 sa F2 xto je druga logiqka funkcija koju treba


odrediti. Pomo�ne veliqine T1, T2, T3 i T4 su odre�ene slede�im izrazima:

T1 = x1x2x3 (4.24)

T2 = x1 + x2 + x3 (4.25)

T3 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = (x1x2) (x1x3) (x2x3) =

= (x1 + x2) (x1 + x3) (x2 + x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3 (4.26)

T4 = T2T3 (4.27)

Logiqke funkcije F1 i F2 se prvo izra�avaju preko pomo�nih veliqina a po-tom se uzastopnom eliminacijom tih pomo�nih veliqina dobijaju ǌihoviizrazi samo preko ulaznih veliqina qitavog logiqkog kola.

F1 = T1 + T4 = T1 + T2T3 =

= x1x2x3 + (x1 + x2 + x3) (x1x2 + x1x3 + x2x3) =

= x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 (4.28)

F2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 (4.29)

Tabela 4.7 je tabela vrednosti za me�uveliqine i logiqke funkcije F1

i F2.

x1 x2 x3 T1 T2 x1x2 x1x3 x2x3 T3 T4 F1 F2

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 00 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 00 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 11 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 01 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 11 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1

Tabela 4.7: Tabela vrednosti me�uveliqina i logiqkih funkcijalogiqkog kola iz primera 4.3

4.6 NI vixenivoska realizacija kombinacio-

nih logiqkih kola

U praksi se kombinaciona logiqka kola qex�e realizuju pomo�u NIili NILI logiqkih elemenata nego pomo�u I, ILI i NE logiqkihelemenata jer je fiziqka izrada ovih prvih pomo�u elektronskih kom-ponenti jednostavnija. Tako je lakxe do�i do NI ili NILI inte-grisanih logiqkih kola za realizaciju kombinacionih logiqkih kola.

Mogu�nost da se kombinaciono logiqko kolo realizuje samo pomo�uNI logiqkih elemenata zasniva se na qiǌenici da je bilo koju logiqku

5.6. NI vixenivoska realizacija kombinacionih logiqkih kola 81

funkciju mogu�e iskazati samo pomo�u NI logiqke funkcije. Jox pre-ciznije, osnovne logiqke funkcije I, ILI i NE mogu se iskazati samopomo�u logiqke funkcije NI a samim tim i bilo koja druga logiqkafunkcija koja se izra�ava preko osnovnih logiqkih funkcija. Vezaizme�u osnovnih logiqkih funkcija i logiqke funkcije NI prikazanaje na slici 4.21.

Slika 4.21: Veza izme�u osnovnih logiqkih funkcija i logiqke funkcijeNI

I, ILI, NE vixenivoska realizacija koja nastaje u sluqaju nes-tandardnog minimalnog oblika logiqke funkcije prevodi se u NI vixe-nivosku realizaciju zamenom I, ILI i NE logiqkih elemenata sa NIlogiqkim elementima na prethodno opisani naqin.

Primer 4.4 Logiqku funkciju f = x1 (x2 + x3x4)+x2x3 realizovati pomo�uNI elemenata. Prvo se ostvari I, ILI, NE realizacija kao xto jeprikazano na slici 4.22.

Slika 4.22: I, ILI, NE realizacija logiqke funkcije iz primera 4.4

Potom se ostvari odgovaraju�a zamena I, ILI i NE logiqkih eleme-nata NI logiqkim elementima xto je prikazano na slici 4.23.

Svaka dva NE logiqka elementa (NI logiqki element sa jednim ulazom)povezana redno su suvixna. ǋihovim izostavǉaǌem dobija se konaqna NIrealizacija funkcije f prikazana na slici 4.24.

Pretpostavǉa se da su ulazne nezavisne promenǉive ravnopravno raspo-lo�ive u afirmaciji i u negaciji. Tako se ulazna promenǉiva x2 koja jetre�a po redu idu�i odozgo na dole zameǌuje ǌenom negacijom a istovre-meno se izostavǉa NE logiqki element u koji ona ulazi. Na taj naqin jeostvarena potpuno ekvivalentna situacija.


Slika 4.23: NI realizacija logiqke funkcije f iz primera 4.4

Slika 4.24: Konaqna NI realizacija logiqke funkcije f iz primera 4.4

Za prelazak sa vixenivoske NI realizacije na I, ILI, NE rea-lizaciju kombinacionog logiqkog kola koristi se alternativni NE--ILI simbol za NI logiqku funkciju kao xto je prikazano u primeru4.5.

Primer 4.5 Pre�i sa vixenivoske NI realizacije logiqke funkcije f pri-kazane na slici 4.24 na odgovaraju�u I, ILI, NE realizaciju. Prvo se NIlogiqki element na zadǌem nivou zameni sa alternativnim NE-ILI sim-bolom. Svuda se brixu dva kru�i�a du� iste linije kao suvixni jer ne-gacija negacije daje afirmaciju. Postupak se nastavǉa sve dok se svi NIlogiqki elementi ne eliminixu. Tako�e nezavisna ulazna promenǉiva x2,tre�a idu�i odozgo na dole, koja je u negaciji se zameǌuje svojom afirmaci-jom i brixe se kru�i� koji je du� iste linije. Na taj naqin se ostvarujepotpuno ekvivalentna situacija. Opisani postupak je prikazan na slici4.25.

Slika 4.25: Postupak prelaza sa NI vixenivoske realizacije na I,ILI, NE realizaciju

Oqigledno, dobija se I, ILI, NE realizacija ve� prikazana na slici4.22.

5.7. NILI vixenivoska realizacija kombinacionih logiqkih kola 83

Postupak analize NI vixenivoski realizovanih logiqkih kola jeisti kao kod I, ILI, NE realizacija.

Primer 4.6 Izvrxiti analizu logiqkog kola qiji je logiqki dijagram ve�prikazan na slici 4.24. Pomo�ne veliqine T1, T2, T3 i T4 su odre�ene slede-�im izrazima:

T1 = x3x4 = x3 + x4 (4.30)

T2 = x2x3 = x2 + x3 (4.31)

T3 = T1x2 = x2x3 + x2x4 = (x2 + x3) (x2 + x4) =

= x2 + x3x4 (4.32)

T4 = x1T3 = x1 (x2 + x3x4) (4.33)

Logiqka funkcija f prvo se izra�ava preko pomo�nih veliqina a potom seeliminacijom tih pomo�nih veliqina dobija ǌen izraz samo preko ulaznihveliqina qitavog logiqkog kola.

f1 = T2T4 ={

(

x2x3

)

[

x1 (x2 + x3x4)]}

=

= x2x3 + x1 (x2 + x3x4) (4.34)

Direktno odre�ivaǌe tabele vrednosti na osnovu logiqkog dijagrama jesliqno kao kod I, ILI, NE realizacije.

4.7 NILI vixenivoska realizacija kombi-

nacionih logiqkih kola

Sliqno kao kod NI vixenivoske realizacije, mogu�nost da se kombi-naciono logiqko kolo realizuje samo pomo�u NILI logiqkih eleme-nata zasniva se na qiǌenici da je bilo koju logiqku funkciju mogu�eiskazati samo pomo�u NILI logiqke funkcije. Osnovne logiqke funk-cije I, ILI i NE mogu se iskazati samo pomo�u logiqke funkcijeNILI a samim tim i bilo koja druga logiqka funkcija koja se izra�avapreko osnovnih logiqkih funkcija. Veza izme�u osnovnih logiqkih funk-cija i logiqke funkcije NILI prikazana je na slici 4.26.

I, ILI, NE vixenivoska realizacija prevodi se u NILI vixenivo-sku realizaciju zamenom I, ILI i NE logiqkih elemenata sa NILIlogiqkim elementima na prethodno opisani naqin.

Primer 4.7 Logiqku funkciju f iz primera 4.4 realizovati pomo�u NILIelemenata. I, ILI, NE realizacija ove funkcije je ve� prikazano na slici4.22. Ostvaruje se odgovaraju�a zamena I, ILI i NE logiqkih elemenataove realizacije NILI logiqkim elementima xto je prikazano na slici4.27.

Svaka dva NE logiqka elementa (NILI logiqki element sa jednim ula-zom) povezana redno su suvixna. ǋihovim izostavǉaǌem dobija se konaqnaNILI realizacija funkcije f prikazana na slici 4.28.


Slika 4.26: Veza izme�u osnovnih logiqkih funkcija i logiqke funkcijeNILI

Slika 4.27: NILI realizacija logiqke funkcije f iz primera 4.4

Slika 4.28: Konaqna NILI realizacija logiqke funkcije f iz primera4.4

5.7. NILI vixenivoska realizacija kombinacionih logiqkih kola 85

I ovde se pretpostavǉa da su ulazne nezavisne promenǉive ravnopravnoraspolo�ive u afirmaciji i u negaciji. Tako se ulazna promenǉiva x3 kojaje prva po redu idu�i odozgo na dole, zatim x4 druga po redu, x1 qetvrtapo redu i x2 peta po redu zameǌuju ǌihovim negacijama a x3 xesta po reduzameǌuje svojom afirmacijom s tim da se istovremeno izostavǉaju NElogiqki elementi u koje ove promenǉive ulaze. Na taj naqin je ostvarenapotpuno ekvivalentna situacija.

Za prelazak sa vixenivoske NILI realizacije na I, ILI, NE rea-lizaciju kombinacionog logiqkog kola koristi se alternativni NE-Isimbol za NILI logiqku funkciju kao xto je prikazano u primeru 4.8.

Primer 4.8 Pre�i sa vixenivoske NILI realizacije logiqke funkcije fprikazane na slici 4.28 na odgovaraju�u I, ILI, NE realizaciju. Prvose NILI logiqki element na zadǌem nivou zameni sa alternativnimNE-I simbolom. Svuda se brixu dva kru�i�a du� iste linije kao su-vixni jer negacija negacije daje afirmaciju. Postupak se nastavǉa sve dokse svi NILI logiqki elementi ne eliminixu. Tako�e, nezavisna ulaznapromenǉiva x3, prva po redu idu�i odozgo na dole, zatim x4 druga po redu,x1 qetvrta po redu i x2 peta po redu koje su u negaciji zameǌuju se svo-jim afirmacijama i brixu se kru�i�i koji su du� istih linija. Sliqno,promenǉiva x3 xesta po redu idu�i odozgo na dole koja je u afirmaciji sezameǌuje svojom negacijom a brixe se kru�i� du� iste linije. Na tajnaqin se ostvaruje potpuno ekvivalentna situacija. Opisani postupakje prikazan na slici 4.29.

Slika 4.29: Postupak prelaza sa NILI vixenivoske realizacije na I,ILI, NE realizaciju

Oqigledno, dobija se I, ILI, NE realizacija ve� prikazana na slici4.22.

Postupak analize NILI vixenivoski realizovanih logiqkih kolaje isti kao kod I, ILI, NE realizacija.

Primer 4.9 Izvrxiti analizu logiqkog kola qiji je logiqki dijagram ve�prikazan na slici 4.28. Pomo�ne veliqine T1, T2, T3, T4 i T5 su odre�ene


slede�im izrazima:

T1 = x3 + x4 = x3x4 (4.35)

T2 = x2 + x3 = x2x3 (4.36)

T3 = T1 + x2 = x3x4 + x2 = x2 (x3 + x4) (4.37)

T4 = x1 + T3 = x1 + x2 (x3 + x4) = x1 (x2 + x3x4) (4.38)

T5 = T2 + T4 = x2x3 + x1 (x2 + x3x4) (4.39)

Logiqka funkcija f prvo se izra�ava preko pomo�ne veliqine T5 a potomse eliminacijom te pomo�ne veliqine dobija ǌen izraz samo preko ulaznihveliqina qitavog logiqkog kola.

f1 = T5 = x2x3 + x1 (x2 + x3x4) =

= x2x3 + x1 (x2 + x3x4) (4.40)

Direktno odre�ivaǌe tabele vrednosti na osnovu logiqkog dijagrama jesliqno kao kod I, ILI, NE realizacije.

4.8 ISKǈUQNO ILI i EKVIVALENCIJA

realizacija kombinacionih logiqkih kola

Logiqke operacije, ISKǈUQNO ILI koja je oznaqena sa ⊕ i EKVI-VALENCIJA koja je oznaqena sa �, su, kao xto je ranije ve� reqeno,komutativne i asocijativne tako da se odgovaraju�e logiqke funkcijesa ve�im brojem nezavisnih promenǉivih od 2 mogu pisati bez zagrada,npr. (x1 ⊕ x2) ⊕ x3 = x1 ⊕ (x2 ⊕ x3) = x1 ⊕ x2 ⊕ x3 odnosno (x1 � x2) � x3 =x1�(x2 � x3) = x1�x2�x3. Ovo daje mogu�nost korix�eǌa ISKǈUQNOILI ili EKVIVALENCIJA logiqkih elemenata sa vixe ulaza. Me�u-tim ipak se ovakvi logiqki elementi ne koriste u praksi poxto je ǌi-hova fiziqka elektronska izrada neekonomiqna. U praksi se qak nekoriste ni dvoulazni ovakvi logiqki elementi ve� se ISKǈUQNOILI i EKVIVALENCIJA logiqke funkcije realizuju pomo�u drugihlogiqkih elemenata.

Samo ograniqen broj logiqkih funkcija mo�e biti iskazan iskǉuqivopreko ISKǈUQNO ILI ili EKVIVALENCIJA logiqkih operacija.I pored toga ove logiqke funkcije qesto se sre�u i koriste prilikomsinteze digitalnih sistema. One su posebno korisne kod aritmetiqkihlogiqkih kola i kod logiqkih kola za otkrivaǌe grexaka koje nastajuprilikom prenoxeǌa binarnih informacija.

ISKǈUQNO ILI logiqka funkcija od n nezavisnih logiqkih prom-enǉivih sastoji se od 2n/2 mintermova qiji binarni prikazi sadr�eneparan broj jedinica. Ovo je ilustrovano mapom Veiq-Karno prika-zanom na slici 4.30 a) za sluqaj logiqke funkcije od qetiri nezavisnelogiqke promenǉive tj.

f1 = x1 ⊕ x2 ⊕ x3 ⊕ x4.

5.8. ISKǈUQNO ILI i EKVIVALENCIJA realizacija 87

EKVIVALENCIJA logiqka funkcija od n nezavisnih logiqkih pro-menǉivih sastoji se od 2n/2 mintermova qiji binarni prikazi sadr�eparan broj nula. Ovo je ilustrovano mapom Veiq-Karno prikazanom naslici 4.30 b) za sluqaj logiqke funkcije od tako�e qetiri nezavisnelogiqke promenǉive tj.

f2 = x1 � x2 � x3 � x4.

Slika 4.30: Mape Veiq-Karno za a) ISKǈUQNO ILI b) EKVIVA-LENCIJA logiqke funkcije od qetiri nezavisne logiqke promenǉive

U sluqaju kada je n neparan broj mintermovi qiji binarni prikaziimaju neparan broj jedinica i mintermovi koji imaju paran broj nulasu jedni te isti mintermovi xto znaqi da su tada logiqke funkcijeISKǈUQNO ILI i EKVIVALENCIJA jednake. Ovo je ilustrovanomapom Veiq-Karno prikazanom na slici 4.31 a) za sluqaj logiqke funk-cije od tri nezavisne logiqke promenǉive tj.

f = x1 ⊕ x2 ⊕ x3 = x1 � x2 � x3.

Kada je n paran broj kao xto je bio sluqaj sa mapama Veiq-Karno prika-zanim na slici 4.30 logiqke funkcije, jedna koja se sastoji od 2n/2mintermova sa neparnim brojem jedinica i druga koja se sastoji od 2n/2mintermova sa parnim brojem nula, su komplement jedna druge. U nave-denom primeru je:

f1 = f2 odnosno f2 = f1.

Pri neparnom n logiqka funkcija koja se sastoji od onih drugih2n/2 mintermova, u odnosvu na ve� opisani sluqaj, tj. mintermova qijibinarni prikazi imaju paran broj jedinica i neparan broj nula, jekomplement ISKǈUQNO ILI odnosno EKVIVALENCIJA logiqkefunkcije. Na slici 4.31 b) prikazana je mapa Veiq-Karno za logiqkufunkciju F,

F = f = x1 ⊕ x2 ⊕ x3 = x1 ⊕ x2 � x3


odnosno

F = f = x1 � x2 � x3 = x1 � x2 ⊕ x3.

Slika 4.31: Mape Veiq-Karno za a)ISKǈUQNO ILI i EKVIVA-LENCIJA b) komplement od ISKǈUQNO ILI i EKVIVALENCIJAlogiqke funkcije od tri nezavisne logiqke promenǉive

Potpuni sabiraq i potpuni oduzimaq su kombinaciona logiqka kolaqiji izlazi S i D se mogu izraziti preko ISKǈUQNO ILI logiqkefunkcije poxto se S i D kao logiqke funkcije sastoje od qetiri mintermaqiji binarni prikazi sadr�e neparan broj jedinica xto se vidi sa ǌi-hovih odgovaraju�ih mapa Veiq-Karno prikazanih na slikama 4.9 a) i4.12 a). Otuda se ISKǈUQNO ILI logiqka funkcija intezivno ko-risti kod logiqkih kola za izvo�eǌe aritmetiqkih operacija u digi-talnim sistemima poxto se one u ǌima izvode vixestrukim izvo�eǌemoperacija sabiraǌa ili oduzimaǌa.

Kao xto je ve� reqeno, druga primena logiqkih funkcija ISKǈUQNOILI i EKVIVALENCIJA je kod logiqkih kola za otkrivaǌe grexakapri prenosu binarne informacije. Logiqko kolo generator dodatnogbita, koje je sastavni deo predajnika, kako i sam naziv ka�e daje nasvom izlazu dodatni bit P koji se pridru�uje osnovnoj binarnoj in-formaciji koja se prenosi. Vrednost dodatnog bita P se bira takoda ukupan broj jedinica sadr�an u osnovnoj informaciji proxirenojsa dodatnim bitom bude neparan ili paran. U prijemniku se kontro-lixe prispela informacija i ako ona ima drukqiji broj jedinica to jepokazateǉ da je nastala grexka u transportu. Oqigledno je da se na ovajna�in mo�e otkriti samo neparan broj grexaka. Tabela 4.8 je tabelavrednosti logiqke funkcije P koja se ostvaruje na izlazu logiqkog kolageneratora dodatnog bita za sluqaj da je osnovna informacija trobitnai da je ukupan broj jedinica u proxirenoj informaciji neparan.

Ve� prikazana mapa Veiq-Karno na slici 4.31 b) je mapa Veiq-Karnoza ovu logiqku funkciju P . Tako je:

P = x1 ⊕ x2 � x3 = x1 � x2 ⊕ x3.

5.8. ISKǈUQNO ILI i EKVIVALENCIJA realizacija 89

x1 x2 x3 P0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

Tabela 4.8: Tabela vrednosti logiqke funkcije P generatora dodatnogbita pri trobitnoj osnovnoj informaciji

Slika 4.32: Logiqki dijagrami logiqke funkcije P od tri nezavisnepromenǉive

Odgovaraju�i logiqki dijagrami su prikazani na slici 4.32.

Logiqko kolo kontrolor prenete informacije, koje je sastavni deoprijemnika prima osnovnu informaciju proxirenu sa dodatnim bitom Pi na svom izlazu daje signal kome odgovara logiqka funkcija C qija jevrednost jednaka jedinici kad god je broj jedinica u primǉenoj komplet-noj informaciji drukqiji od oqekivanog. Tabela 4.9 je tabela vrednostilogiqke funkcije C koja se ostvaruje na izlazu logiqkog kola kontrolorprenete informacije za sluqaj da je primǉena informacija qetvoro-bitna (osnovna informacija trobitna proxirena sa dodatnim bitom P )i da je oqekivani sadr�ani broj jedinica neparan.

x1 x2 x3 P C x1 x2 x3 P C0 0 0 0 1 1 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 1 10 0 1 0 0 1 0 1 0 10 0 1 1 1 1 0 1 1 00 1 0 0 0 1 1 0 0 10 1 0 1 1 1 1 0 1 00 1 1 0 1 1 1 1 0 00 1 1 1 0 1 1 1 1 1

Tabela 4.9: Tabela vrednosti logiqke funkcije C kontrolora preneteinformacije pri trobitnoj osnovnoj informaciji

Iz tabele vrednosti 4.9 se vidi da logiqka funkcija C ima vrednostjedan kada binarni prikaz odgovaraju�eg minterma ima paran broj nula


prema tome radi se o logiqkoj funkciji EKVIVALENCIJA tj.:

C = x1 � x2 � x3 � P.

Odgovaraju�i logiqki dijagram za logiqku funkciju C prikazan je naslici 4.33.

Slika 4.33: Logiqki dijagram logiqke funkcije C kontrolora preneteqetvorobitne informacije

Logiqko kolo kontrolor prenete informacije mo�e da se koristi ikao generator dodatnog bita ako se na ǌegov ulaz P dovodi stalno nulaa izlaz oznaqi sa P . Na taj naqin bi se unificirano logiqko kolo moglokoristiti u obe svrhe.

Poglavǉe 5

Kombinaciona logiqkakola sa integrisanimkolima

U ovom poglavǉu izla�u se postupci projektovaǌa kombinacionih logiq-kih kola pomo�u elektronskih digitalnih integrisanih kola sredǌeg(MSI logiqka kola) i velikog (LSI logiqka kola) stepena integracijekao alternativa klasiqnom projektovaǌu. Pri tome su, s jedne strane,detaǉno izlo�ena integrisana kombinaciona logiqka kola paralelnibinarni sabiraq, upore�ivaq vrednosti, dekoder, demultiplekser, koder,multiplekser, memorija samo za oqitavaǌe i programabilne logiqke ma-trice i objaxǌene su ǌihove osnovne namene kao xto ǌihovi nazivigovore. S druge strane pokazano je kako se ova logiqka kola koriste zaprojektovaǌe kombinacionih logiqkih kola uopxte.

91

92 Poglavǉe 6. Kombinaciona logiqka kola sa integrisanim kolima

5.1 Projektovaǌe sa integrisanim kolima

naspram klasiqnog postupka

Kod klasiqnog projektovaǌa kombinacionih logiqkih kola minimizo-vaǌe logiqkih funkcija koje opisuju ǌihov rad je od esencijalne va�-nosti. To vodi ka najprostijim oblicima tih logiqkih funkcija, odnosnopri praktiqnoj fiziqkoj realizaciji, ka najmaǌem broju upotrebǉenihlogiqkih elemenata xto je ekvivalentno najjeftinijem rexeǌu. Raz-vojem tehnologije integrisanih digitalnih logiqkih kola pojavila sealternativa klasiqnom postupku projektovaǌa koja je u mnogim sluqa-jevima i situacijama postala superiornija. U sluqaju komplikovanihkombinacionih logiqkih kola koja su opisana sistemom velikog brojalogiqkih funkcija od velikog broja nezavisnih promenǉivih postupciǌihovog minimizovaǌa postaju jako komplikovani tako da klasiqno pro-jektovaǌe postaje nemo�no. Qak i kada klasiqni postupak daje rezultat,zahvaǉuju�i preplavǉenosti tr�ixta raznim integrisanim logiqkimkolima qesto je mogu�e na�i gotovo raspolo�ivo rexeǌe u vidu in-tegrisanog kola koje je mnogo elegantnije i kvalitetnije sa stanovixtakompaktnosti, maǌeg broja spoǉaxǌih veza, cene i sl. U sluqaju takvihrexeǌa ne postavǉa se zahtev za minimalnim brojem upotrebǉenih po-jedinaqnih logiqkih elemenata kojih ima vixe pa qak i veliki brojunutar digitalnih integrisanih kola sredǌeg i velikog stepena inte-gracije. Na taj naqin izbegava se procedura minimizovaǌa xto je ve-lika olakxavaju�a okolnost. Xta vixe u interesu je da xto ve�i brojunutraxǌih pojedinaqnih logiqkih elemenata integrisanih kola budeupotrebǉen u ciǉu ostvarivaǌa �eǉenih logiqkih funkcija jer se nataj naqin pri praktiqnoj realizaciji znaqajno smaǌuje broj spoǉaxǌihveza. Sa stanovixta ekonomiqnosti kod pristupa projektovaǌa sa in-tegrisanim kolima od znaqaja je broj upotrebǉenih integrisanih kolai ǌihova vrsta kao i broj spoǉaxǌih veza izme�u ǌih. Za razlikuod klasiqnog postupka projektovaǌa koje uvek dovodi do jedinstvenogrexeǌa u situacijama kada je postupak mogu�e sprovesti, kod projekto-vaǌa sa integrisanim kolima rexeǌa zavise od konkretnog problema iod inventivnosti projektanta.

I pored svega klasiqan naqin projektovaǌa nije izgubio na svomznaqaju jer se on primeǌuje onda kada na tr�ixtu ne mo�e da se pro-na�e integrisano logiqko kolo kao rexeǌe i kada postoji eksplicitanzahtev da praktiqna fiziqka realizacija nesme da bude sa elektronskimkomponentama tj. mora da bude sa komponentama neke druge prirode kaoxto su pneumatski ili hidrauliqki logiqki elementi.

Zbog svega navedenog dobar projektant pre nego pristupi rexavaǌupostavǉenog problema, ukoliko ne postoji zabrana korix�eǌa elektron-skih komponenti, prvo �e proveriti da li na tr�ixtu postoji inte-grisano logiqko kolo koje ima zahtevanu funkciju. Ako ne postoji, raz-motri�e rexavaǌe problema pomo�u raspolo�ivih integrisanih kolana tr�ixtu ǌihovim kombinovaǌem. Na kraju, ako to sve ne da pozi-tivno rexeǌe pristupa se klasiqnom projektovaǌu. Zbog toga je od ve-

6.2. Binarni paralelni sabiraqi 93

like va�nosti dobro poznavaǌe raspolo�ivih integrisanih logiqkihkola na tr�ixtu.

Zbog toga se u ovom poglavǉu prvo detaǉno izla�u kombinacionalogiqka kola koja su raspolo�iva na tr�ixtu kao integrisana logiqkakola koja su od velike va�nosti za digitalne sisteme uopxte premasvojoj osnovnoj nameni a potom se pokazuje ǌihovo korix�eǌe za dobi-jaǌe nekih drugih kombinacionih logiqkih kola zavisno od konkretnihpotreba. S druge strane me�u ovim raspolo�ivim integrisanim kombi-nacionim logiqkim kolima postoje ona pomo�u kojih je mogu�e projek-tovati i realizovati bilo koje kombinaciono logiqko kolo. Taqnije,pomo�u tih integrisanih logiqkih kola mo�e da se ostvari bilo kojisistem logiqkih funkcija.

5.2 Binarni paralelni sabiraqi

Sam naziv govori da se ovde radi o sabiraqu pomo�u koga se u opxtemsluqaju sabiraju vixecifreni binarni brojevi. Druga ǌegova osnovnakarakteristika je da se sabirci u istom trenutku dovode na ulaz ovakvogsabiraqa i onda se ka�e da se radi o paralelnom puǌeǌu sabiraqa,tj. paralelnom sabiraqu. U opxtem sluqaju, kad god se na ulaz nekoglogiqkog kola dovode svi bitovi vixecifrenog binarnog ulaza u istomtrenutku, ka�e se da se to logiqko kolo puni paralelno. Suprotnoopisanome, postoji i serijski sabiraq kod koga se na ulaz dovodi parpo par cifara sabiraka i tako se obavǉa i ǌihovo sabiraǌe.

Binarni paralelni sabiraq se sastoji od potpunih sabiraqa koji suvezani redno i kojih ima onoliko koliko ima cifara u sabircima, tj.svakom razredu sabiraka odgovara po jedan potpuni sabiraq. Na slici5.1 prikazan je qetvorobitni binarni paralelni sabiraq koji slu�i zasabiraǌe dva qetvorobitna binarna broja.

Slika 5.1: Qetvorobitni binarni paralelni sabiraq

PPS oznaqava potpuni sabiraq. Na ulaz svakog potpunog sabiraqase dovodi po jedan par cifara sabiraka, koji pripada jednom razredui cifra za prenos iz prethodnog razreda, a na ǌegovom izlazu se do-bija cifra zbira posmatranog razreda i cifra za prenos u narednirazred. Npr., na ulaz i-tog potpunog sabiraqa se dovode cifre xi i yi

koje pripadaju i-tom razredu sabiraka i cifra za prenos iz prethodnograzreda Ci, a na ǌegovom izlazu se dobija cifra zbira Si i cifraza prenos u naredni vixi razred Ci+1. Kod ovog sabiraqa oqigledno


i uzima vrednosti od 1 do 4. Binarni paralelni sabiraq je dobi-jen tako xto se izlazni kanal za cifru za prenos potpunog sabiraqajednog razreda povezuje sa ulaznim kanalom za cifru za prenos pot-punog sabiraqa narednog razreda. Ovakav sabiraq se izra�uje kao in-tegrisano elektronsko kolo. Simbol ovog sabiraqa je prikazan na slici5.2.

Slika 5.2: Simbol 4-bitnog binarnog paralelnog sabiraqa u elektron-skom integrisanom izvo�eǌu

Kao xto se vidi sa slike 5.2 ovo integrisano kolo ima qetiri ulaznakanala za jedan sabirak, qetiri ulazna kanala za drugi sabirak, jedanulazni kanal za ulaznu cifru za prenos, qetiri izlazna kanala za zbiri jedan izlazni kanal za izlaznu cifru za prenos. U sluqaju da jepotrebno sabirati n bitne sabirke, n > 4, vixe binarnih paralelnihsabiraqa, qetvorobitnih, dvobitnih i jednobitnih mo�e da se rednopovezuje.

Jedan od primera primene binarnog paralelnog sabiraqa u reali-zaciji kombinacionih logiqkih kola je pretvaraq BCD koda u +3 kod.Ova primena se zasniva na qiǌenici da se +3 kod dobija tako xto seBCD kodu doda binarni broj 0011 qiji decimalni ekvivalent je 3 paotuda i naziv +3 kod. Xema povezivaǌa qetvorobitnog binarnog par-alelnog sabiraqa u pretvaraq BCD koda u +3 kod je prikazana na slici5.3.

Imaju�i u vidu konaqno vreme prolaska signala kroz fiziqke logiqkekomponente paralelnog binarnog sabiraqa, da bi se sabrala dva vixe-cifrena binarna broja potrebno je odre�eno vreme. U ciǉu analiziraǌatog vremena posmatra se logiqki dijagram potpunog sabiraqa, koji jesastavni deo paralelnog binarnog sabiraqa, u koji se dovode cifre i--og razreda sabiraka. Mada je taj logiqki dijagram ve� prikazan naslici 4.11, radi preglednosti on se sa ovde odgovaraju�im oznaqava-ǌem prikazuje i na slici 5.4.

Cifre jednog i drugog sabirka i-og razreda, xi i yi su istovremeno

6.2. Binarni paralelni sabiraqi 95

Slika 5.3: Pretvaraq BCD koda u +3 kod pomo�u qetvorobitnog para-lelnog binarnog sabiraqa

Slika 5.4: Logiqki dijagram potpunog sabiraqa i-og razreda para-lelnog binarnog sabiraqa

prisutne na ulazu i-og potpunog sabiraqa. Cifra zbira i-og razreda Si

ne�e se stabilizovati tj. biti odgovaraju�a sve dok se cifra za prenosCi ne stabilizuje, a ova cifra za prenos se ne�e stabilizovati dok se nestabilizuje cifra za prenos Ci−1 iz prethodnog razreda. Daǉe, cifraza prenos Ci−1 se ne�e stabilizovati dok se ne stabilizuje cifra zaprenos Ci−2 iz razreda prethodnog razredu i− 1 i tako redom. Sledi daje vreme stabilizovaǌa kompletnog zbira (svih cifara zbira) koji sepojavǉuje na izlazu paralelnog binarnog sabiraqa jednako vremenu pro-laska signala kroz jedan polusabiraq plus vreme prolaska signala kroz2n (n I logiqkih elemenata + n ILI logiqkih elemenata) pojedinaqnihlogiqkih elemenata gde n oznaqava ukupan broj razreda.

Pretpostavka 5.1 Vreme prolaska signala kroz I logiqki element je jed-nako vremenu prolaska signala kroz ILI logiqki element.

U sluqaju sabiraǌa brojeva sa velikim brojem sabiraka vreme preno-sa cifre za prenos kroz sve potpune sabiraqe postaje kritiqno. Tovreme se mo�e smaǌiti usavrxavaǌem logiqkih elemenata u smislu sma-ǌeǌa vremena prolaska signala kroz ǌih. Me�utim poboǉxaǌa u tom


pravcu imaju granicu. Zbog toga se primeǌuje mnogo efikasnije rexeǌetz. postupak stvaraǌa svih cifara za prenos unapred tako da su oneraspolo�ive u istom trenutku, dobijaju se jednovremeno. Ovaj postupakse prikazuje na primeru qetvorobitnog paralelnog binarnog sabiraqa.Imaju�i u vidu logiqki dijagram potpunog sabiraqa prikazan na slici5.4 oqigledno va�e slede�e relacije:

Pi = xi ⊕ yi

Gi = xi yi

Si = Pi ⊕ Ci

Ci+1 = Gi + PiCi.

Sledi da je:

C2 = G1 + P1C1

C3 = G2 + P2C2 = G2 + P2G1 + P2P1C1

C4 = G3 + P3C3 = G3 + P3G2 + P3P2G1 + P3P2P1C1.

Ovi izrazi odre�uju logiqko kolo generator cifara za prenos unapredqiji je logiqki dijagram prikazan na slici 5.5.

Slika 5.5: Logiqki dijagram generatora cifara za prenos unapred

Oqigledno, cifre za prenos C2, C3 i C4 se formiraju jednovremenoxto je kvalitativno drukqije u odnosu na poboǉxaǌe logiqkih eleme-nata u smislu smaǌeǌa vremena prolaska signala kroz ǌih. Na slici5.6 prikazan je logiqki dijagram qetvorobitnog paralelnog binaranogsabiraqa sa generatorom cifara za prenos unapred.

5.3 Decimalni sabiraq

Ako se na ulaz qetvorobitnog binarnog paralelnog sabiraqa u svo-jstvu sabiraka dovedu BCD kodovi decimalnih cifara, tj. jednocif-renih decimalnih brojeva, na izlazu �e se dobiti binarni zbir a ne

6.3. Decimalni sabiraq 97

Slika 5.6: Logiqki dijagram 4-bitnog paralelnog binarnog sabiraqasa generatorom cifara za prenos unapred

BCD zbir. Ako bi se na neki naqin ovaj binarni zbir transformisaou odgovaraju�i BCD zbir onda bi se dobio decimalni sabiraq kojisabira jednocifrene decimalne brojeve izra�ene u BCD kodu. Da bise utvrdilo kako treba transformisati binarni zbir u BCD zbir naj-zgodnije je uporedno prikazati sve mogu�e binarne zbirove i odgovaraju-�e BCD zbirove. Decimalni ekvivalent i jednog i drugog zbira je urasponu od 0 do 19, tj. maksimalni zbir je rezultat sabiraǌa dve maksi-malne decimalne cifre 9 i cifre za prenos 1, 9+9+1=19. Uporedniprikaz pomenutih zbirova je dat u tabeli 5.1.

Inspekcijom prethodne tabele uoqava se da su oba zbira jednaka za-kǉuqno sa ǌihovim decimalnim ekvivalentom 9, tako da u tim sluqaje-vima nije potrebno transformisati binarne zbirove. Tako�e se uoqavada je BCD zbir razliqit od binarnog, za ǌihove decimalne ekvivalenteod 10 do 19 i da se on dobija kad se binarnom zbiru doda binarni ekvi-valent decimalnog broja 6. To znaqi da je u navedenom smislu potrebnotransformisati sve binarne zbirove qiji su decimalni ekvivalenti 10--19. ǋihovo prepoznavaǌe se ostvaruje uz pomo� logiqke funkcije Ckoja se formira na osnovu slede�eg zapa�aǌa: transformisaǌe je neo-phodno kad god je izlazna cifra za prenos binarnog zbira K = 1 ILIkad god je S4 = 1 I , S2 = 1 ILI S3 = 1. Na osnovu ovih tekstualnihuslova lako se dobija i analitiqki oblik za logiqku funkciju C:

C = K + S4(

S2 + S3)

(5.1)

Kad god je logiqka funkcija C = 1 neophodno je vrxiti transformisaǌebinarnog zbira. S druge strane uoqava se da logiqka funkcija C imaiste vrednosti kao i cifra za prenos BCD zbira, tako da se ova logiqkafunkcija mo�e koristiti i kao pomenuta cifra za prenos. Zbog togaje i korix�ena oznaka za ovu logiqku funkciju koja je ista kao oz-


naka za cifru za prenos BCD zbira. Na slici 5.7 je prikazan deci-malni sabiraq, koji je izveden pomo�u dva 4-bitna binarna paralelnasabiraqa, uz korix�eǌe prethodno navedene logiqke funkcije C.

Binarni zbir BCD zbir Decimani ekvivalentK S4 S3 S2 S1 C S4 S3 S2 S1 zbira0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 1 10 0 0 1 0 0 0 0 1 0 20 0 0 1 1 0 0 0 1 1 30 0 1 0 0 0 0 1 0 0 40 0 1 0 1 0 0 1 0 1 50 0 1 1 0 0 0 1 1 0 60 0 1 1 1 0 0 1 1 1 70 1 0 0 0 0 1 0 0 0 80 1 0 0 1 0 1 0 0 1 90 1 0 1 0 1 0 0 0 0 100 1 0 1 1 1 0 0 0 1 110 1 1 0 0 1 0 0 1 0 120 1 1 0 1 1 0 0 1 1 130 1 1 1 0 1 0 1 0 0 140 1 1 1 1 1 0 1 0 1 151 0 0 0 0 1 0 1 1 0 161 0 0 0 1 1 0 1 1 1 171 0 0 1 0 1 1 0 0 0 181 0 0 1 1 1 1 0 0 1 19

Tabela 5.1: Uporedna tabela binarnih i BCD zbirova od 0-19

5.4 Upore�ivaq vrednosti

Pri pore�eǌu dva vixecifrena binarna broja A i B mogu da nastanutri mogu�nosti, da je A = B, A > B i A < B.

Definicija 5.2 Upore�ivaq vrednosti dva vixecifrena binarna broja jekombinaciono logiqko kolo, koje ima dva vixekanalna ulaza, za brojevekoji se porede i tri izlaza qije binarne promenǉive slu�e kao indika-tori tri prethodno navedene relacije, tj jediniqna vrednost neke izlaznepromenǉive je pokazateǉ odgovaraju�eg odnosa brojeva koji se porede.

Pretpostavimo da su brojevi A i B qetvorocifreni binarni brojevii da su predstavǉeni sa A4A3A2A1 i B4B3B2B1, gde su Ai i Bi, i = 1, 2, 3, 4,ǌihove cifre i-og razreda. Da bi ova dva broja bila jednaka neophodnoje da su parovi cifara u svim ǌihovim razredima jednaki, tj. da jeA1 = B1, A2 = B2, A3 = B3 i A4 = B4 u isto vreme. Logiqka funkcijakoja je pokazateǉ jednakosti ili nejednakosti cifara u istom razreduje EKVIVALENCIJA tj.:

6.5. Dekoder 99

Slika 5.7: Decimalni sabiraq

xi = AiBi + AiBi, ∀i = 1, 2, 3, 4. (5.2)

Neka je izlazna logiqka promenǉiva koja je pokazateǉ jednakostibrojeva A i B oznaqena sa (A = B) , onda se ona mo�e kao logiqka funkcijaizraziti na slede�i naqin:

(A = B) = x1x2x3x4. (5.3)

Oqigledno (A = B) je jednako 1 kada su u isto vreme x1 jednako 1, x2

jednako 1, x3 jednako 1 i x4 jednako 1, tj. kada su parovi cifara po svimrazredima jednaki u isto vreme, xto znaqi da su brojevi A i B jednaki.

Izlazna logiqka promenǉiva koja slu�i kao pokazateǉ da je A > Boznaqava se sa (A > B) i jednaka je:

(A > B) = A4B4 + x4A3B3 + x4x3A2B2 + x4x3x2A1B1. (5.4)

Sliqno izlazna logiqka promenǉiva koja slu�i kao pokazateǉ da jeA < B oznaqava se sa (A < B) i jednaka je:

(A < B) = A4B4 + x4A3B3 + x4x3A2B2 + x4x3x2A1B1. (5.5)

Na slici 5.8 je prikazan logiqki dijagram upore�ivaqa vrednostidva qetvorocifrena binarna broja.


Slika 5.8: Logiqki dijagram upore�ivaqa vrednosti

5.5 Dekoder

Definicija 5.3 Dekoder je kombinaciono logiqko kolo na qiji se ulazdovodi n-bitni direktni binarni kod, tj. n-bitni binarni broj, a na qijemizlazu se dobija 2n binarnih signala koji nastaju kao rezultat pretvaraǌadirektnog binarnog koda sa ǌegovog ulaza.

Oqigledno ovo logiqko kolo ima n ulaznih kanala i 2n izlaznihkanala. Mogu�e je da dekoder ima maǌe izlaznih kanala od 2n xtoznaqi da postoji neka ulazna varijacija binarnih vrednosti koja nijeiskorix�ena tj. koja se ne�e nikada pojaviti na ǌegovom ulazu.

Drukqije iskazano, izlazne binarne promenǉive ovog logiqkog kolasu logiqke funkcije koje se sastoje samo od po jednog minterma za n neza-visnih logiqkih promenǉivih. Kao primer ovde se razmatra dekoderkoji ima tri ulaza i osam izlaza, za koji se ka�e da je 3 × 8 dekoder,tj. koji ima tri ulaza i osam izlaza. Svakom izlaznom kanalu odgovarapo jedan minterm od tri nezavisne logiqke promenǉive. Tabela 5.2 jetabela vrednosti za ovaj dekoder.

Na slici 5.9 je prikazan logiqki dijagram ovog dekodera.

Ovaj dekoder mo�e da poslu�i za binarno-oktalno pretvaraǌe priqemu se na ǌegove ulazne kanale dovodi trocifreni binarni broj a svakiizlazni kanal odgovara po jednoj cifri oktalnog sistema brojeva. Usluqaju vixecifrenih binarnih brojeva koji imaju vixe od tri cifrekoristi se vixe ovakvih dekodera i to za svaku grupu od po tri binarnecifre po jedan.

6.5. Dekoder 101

x1 x2 x3 D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 1 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0 1 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 1 0 0 01 0 1 0 0 0 0 0 1 0 01 1 0 0 0 0 0 0 0 1 01 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1

Tabela 5.2: Tabela vrednosti 3 × 8 dekodera

Slika 5.9: Logiqki dijagram 3 × 8 dekodera

Kao drugi primer razmatra se dekoder sa qetiri ulazna kanala i de-set izlaznih kanala koji slu�i kao BCD-decimalni pretvaraq. Qetiriulazna kanala daju mogu�nost za xesnaest ulaznih varijacija a imasamo deset izlaznih kanala za deset decimalnih cifara. Oqiglednoxest ulaznih varijacija nije iskorix�eno uz pretpostavku da se teneiskorix�ene varijacije nikada ne�e pojaviti na ulazu ovog dekodera.Minimizovaǌe izlaznih funkcija mo�e da se sprovede pomo�u mapaVeiq-Karno. Umesto da se crta deset Veiq-Karno mapa za deset logiqkihfunkcija radi racionalnosti crta se samo jedna mapa kao xto je pri-kazano na slici 5.10.

U mapu su unete oznake logiqkih funkcija koje se minimizuju, D0−D9,xto je samo simboliqno da bi se znalo o kojoj se funkciji radi, s timda na tim mestima treba da stoje ǌihove jediniqne vrednosti. Crticeoznaqavaju neodre�ene vrednosti. Prilikom minimizovaǌa odre�enelogiqke funkcije uzimaju se u obzir samo jediniqna vrednost te logiqkefunkcije koja se minimizuje sa eventualnim jediniqnim vrednostima


Slika 5.10: Mape Veiq-Karno za 4 × 10 dekoder

koje su usvojene u nekim poǉima neodre�enih vrednosti. Sprovo�eǌempostupka minimizovaǌa na opisani naqin dobijaju se slede�e minimi-zovane logiqke funcije:

D0 = x1x2x3x4

D1 = x1x2x3x4

D2 = x2x3x4

D3 = x2x3x4

D4 = x2x3x4

D5 = x2x3x4

D6 = x2x3x4

D7 = x2x3x4

D8 = x1x4

D9 = x1x4.

Sa ovako minimizovanim logiqkim funkcijama u sluqaju da se grexkomna ulazu dekodera pojave nepredvi�ene varijacije, na izlazu dekoderamogu da se dobiju vrednosti izlaznih signala koje odudaraju od defini-cije dekodera tj. da se u isto vreme na vixe izlaznih kanala pojavi je-diniqni signal. Na primer ako se na ulazu ovog dekodera pojavi nepred-vi�ena varijacija x1x2x3x4 = 1111 signali jediniqne vrednosti �e se po-javiti na izlaznim kanalima koji odgovaraju logiqkim funkcijama D7 iD9 xto je neregularna situacija. Mogu�e je dekoder projektovati takoda se u sluqaju nepredvi�enih ulaznih varijacija na izlazu dekodera nasvim izlaznim kanalima pojave signali nultih vrednosti xto je tako�eneregularna situacija ali koja ima ulogu da signalizira da je doxlodo nepredvi�enog ulaza.

Ovakav dekoder tj. BCD-decimalni pretvaraq postoji kao integrisanokolo raspolo�iv na tr�ixtu.

6.6. Demultiplekser 103

Oqigledno, dekoder mo�e da se koristi za realizaciju bilo kojelogiqke funkcije od onoliko nezavisnih logiqkih promenǉivih kolikoima ulaza u dekoder tako xto se na ǌegovom izlazu doda jedan ILIlogiqki element. Pomo�u ILI logiqkog elementa se sabiraju oni min-termovi koji uqestvuju u izgradǌi razmatrane, �eǉene funkcije. I nesamo da se pomo�u dekodera mo�e realizovati jedna logiqka funkcijave� i vixe npr. m s tim da je tada potrebno dodati m ILI logiqkihelemenata na izlazu dekodera.

Primer 5.1 Realizovati potpuni sabiraq pomo�u 3 × 8 dekodera i dvaILI logiqka elementa. Treba se potsetiti skra�enog zapisa logiqkihfunkcija koje ostvaruje potpuni sabiraq, a to su cifra zbira S i cifra zaprenos C:

S (x1, x2, x3) =∑

(1, 2, 4, 7)

C (x1, x2, x3) =∑

(3, 5, 6, 7) .

To znaqi da je na izlazu ovog dekodera potrebno dodati dva ILI logiqkaelementa i pomo�u ǌih sabrati mintermove kojima odgovaraju decimalniekvivalenti 1, 2, 4, 7 i 3, 5, 6, 7. Svaki od ovih mintermova se ost-varuje na po jednom izlazu dekodera. Na slici 5.11 je prikazan logiqkidijagram potpunog sabiraqa koji je realizovan pomo�u pomenutog dekoderai dva ILI logiqka elementa.

Slika 5.11: Logiqki dijagram potpunog sabiraqa realizovanog pomo�u3 × 8 dekodera

Dekoderi izvedeni kao integrisana kola obiqno imaju jedan dodatniulazni kanal za kontrolni signal pomo�u koga mo�e biti ili bloki-ran ili omogu�en normalan rad dekodera. Na slici 5.12 prikazan jedijagram ovakvog 2 × 4 dekodera.

Kontrolni signal je oznaqen sa E tako da kada je E = 1 dekodernormalno radi a kada je E = 0 rad dekodera je blokiran i signali nasvim ǌegovim izlazima su jednaki nula.

5.6 Demultiplekser

Dekoder sa kontrolnim signalom mo�e da radi i kao demultiplekser.


Slika 5.12: Dijagram 2 × 4 dekodera sa kontrolnim E signalom

Definicija 5.4 Demultiplekser je kombinaciono logiqko kolo koje primajednobitnu binarnu informaciju na jednom ulaznom kanalu i prenosi je najedan od 2n izlaznih kanala xto je odre�eno signalima na n tzv. usmera-qkih kanala.

Kada se dekoder sa kontrolnim signalom koristi kao demultiplekseronda se kanal za kontrolni signal smatra prijemnikom glavne jedno-bitne binarne informacije koja se usmerava i prosle�uje na jedan odizlaznih kanala zavisno od vrednosti signala na n usmeraqkih kanala.Dijagram demultipleksera je prikazan na slici 5.13.

Slika 5.13: Dijagram demultipleksera

Ovakva logiqka kola, zbog ǌihove dvojne uloge, oznaqavaju se kaodekoder / demultiplekser. Dva ili vixe dekodera/demultipleksera moguse povezati u dekodere sa vixe ulaza i izlaza kao xto je prikazano naslici 5.14.

5.7 Koder

Koder je kombinaciono logiqko kolo koje radi inverzno u odnosu nadekoder. Koder ima 2n ulaznih kanala i n izlaznih kanala. Na izlaznimkanalima kodera se pojavǉuje n-bitni binarni kod za 2n diskretnih ele-menata informacije koji se dovode na ulazne kanale. Kao primer kojiilustruje ovakvo kombinaciono logiqko kolo mo�e da poslu�i oktalno--binarni koder koji ima osam ulaznih kanala i 3 izlazna kanala. Svakomulaznom kanalu odgovara po jedna cifra oktalnog sistema brojeva a

6.8. Multiplekser 105

Slika 5.14: Dijagram povezivaǌa dva dekodera / multipleksera 3 × 8 u4 × 16 dekoder

na izlazu se pojavǉuje odgovaraju�i trobitni binarni kod tj. u ovomsluqaju broj. Tabela 5.3 je tabela vrednosti navedenog kodera.

D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 x1 x2 x3

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 1 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

Tabela 5.3: Tabela vrednosti oktalno-binarnog kodera tj. 8 × 3 kodera

Logiqki dijagram navedenog kodera prikazan je na slici 5.15.Iz tabele 5.3 a i sa logiqkog dijagrama na slici 5.15 se vidi da je

x3 = 1 za neparne oktalne cifre, x2 = 1 za oktalne cifre 2, 3, 6 i 7 ix1 = 1 za oktalne cifre 4, 5, 6 i 7. Regularan rad navedenog koderapodrazumeva pojavu jediniqnog signala samo na jednom ulaznom kanaluu trenutku posmatraǌa. Pojava jediniqnog signala na dva ili vixeulaznih kanala u isto vreme nema smisla. Bax zbog toga ovakvi koderise ne proizvode kao integrisana kola ve� tzv. koderi sa prioritetom.Kod kodera sa prioritetom u isto vreme mo�e da se pojavi jediniqnisignal na vixe ulaznih kanala ali efekat je isti kao da je jediniqnisignal prisutan samo na jednom ulaznom kanalu i to onom koji odgovaranajve�oj cifri. Npr. ako je u isto vreme D3 = 1 i D5 = 1 efekat je istikao da je samo D5 = 1 odnosno na izlazu se dobija x1x2x3 = 101.


Slika 5.15: Logiqki dijagram oktalno-binarnog kodera tj. 8× 3 kodera

5.8 Multiplekser

Definicija 5.5 Digitalni multiplekser je kombinaciono logiqko kolokoje bira jednobitni binarni signal sa jednog od ǌegovih 2n ulaznih kanalai usmerava ga na jedini izlazni kanal pri qemu je izbor ulaznog kanalaodre�en n-bitnim binarnim signalom prisutnim na n kanala za izbor.

Kao primer posmatra se multiplekser sa qetiri ulazna kanala i jed-nim izlaznim kanalom tzv. 4 × 1 multiplekser. Na slici 5.16 prikazanje logiqki dijagram, tabela vrednosti i dijagram navedenog multiplek-sera za sluqaj ǌegovog izvo�eǌa kao integrisanog kola.

Slika 5.16: Logiqki dijagram, tabela vrednosti i dijagram 4 × 1 mul-tipleksera

Za objaxǌeǌe rada prikazanog multipleksera pretpostavǉa se da jes1s0 = 10. Tada I logiqki element u koji ulazi I2 signal ima druga dvaulaza jednaka jedinici, a svi ostali I logiqki elementi u koje ulazeredom signali I0, I1, I3 imaju bar po jedan drugi ulaz jednak nuli takoda su ǌihovi izlazi jednaki nuli. Sledi da je izlaz Y jednak signaluI2 tj. signal 10 na kanalima za izbor usmerava signal sa ulaza I2 naizlaz Y a blokira druge ulazne signale.

Multiplekser po svojoj strukturi podse�a na dekoder, xto on to ijeste, s tom razlikom da je svakom I logiqkom elementu dodat jox po

6.8. Multiplekser 107

jedan I ulazni signal a svi izlazi I logiqkih elemenata se uvode ujedan ILI logiqki element.

Veliqina multipleksera definixe se brojem ulaznih 2n kanala ijednim izlaznim kanalom dok se podrazumeva da je broj kanala za izborn.

Imaju�i u vidu sve navedeno oqigledno je da multiplekser ima pri-menu kod digitalnih raqunara da se informacije iz vixe predajnikaprenose ka istom prijemniku jednim kanalom veze tj. primena je kodprenosnih linija u digitalnom raqunaru.

Drukqije posmatrano, pomo�u multipleksera sa 2n ulaza mo�e da serealizuje bilo koja logiqka funkcija od n nezavisnih logiqkih promen-ǉivih. Kod ove primene treba imati u vidu kako se logiqke funkcijerealizuju pomo�u dekodera poxto analogija postoji. Multiplekser ve�na svom izlazu ima jedan ILI logiqki element tako da se, za razlikuod dekodera, pomo�u jednog multipleksera mo�e realizovati samo jednalogiqka funkcija. Vrednosti ulaznih signala definixu koji minter-movi uqestvuju u izgradǌi logiqke funkcije tj. u izgradǌi logiqkefunkcije uqestvuju oni mintermovi koji odgovaraju jediniqnim vredno-stima ulaznih signala i obrnuto.

Jox ekonomiqnija ova primena je kada se pomo�u multipleksera sa 2n

ulaza realizuje logiqka funkcija od n+1 nezavisne logiqke promenǉive.Postupak je kao xto sledi. Logiqka funkcija, koju treba realizovati,izrazi se u vidu sume mintermova. Na kanale za izbor dovodi se ure-�eni skup od n (ukupno ih je n + 1) proizvoǉno izabranih nezavisnihlogiqkih promenǉivih. Jedna nezavisna logiqka promenǉiva, obiqnokrajǌa leva koja je najvixeg ranga, ostavǉa se da bi se dovela na ulazmultipleksera. Kako ostavǉenu nezavisnu promenǉivu treba dovesti naulaz multipleksera odre�uje pomo�na tabela koja se formira na naqinkako sledi. U prvu vrstu tabele izlistaju se ulazi multipleksera, re-dom, idu�i od I0 do I2n

−1, sleva udesno. U drugu vrstu tabele, ispodoznaka za ulaze, izlistaju se redom, u rastu�em poretku, decimalni ek-vivalenti koji odgovaraju onim mintermovima u kojima je ostavǉenapromenǉiva u negaciji. U zaglavǉe te druge vrste se postavǉa ostav-ǉena promenǉiva u negaciji. U tre�u vrstu, sliqno kao u drugu, ispodoznaka za ulaze, izlistaju se redom, decimalni ekvivalenti mintermovau kojima je ostavǉena promenǉiva u afirmaciji. U zaglavǉe te tre�evrste se postavǉa ostavǉena promenǉiva u afirmaciji. U drugoj itre�oj vrsti tabele, uokviruju se decimalni ekvivalenti onih minter-mova koji uqestvuju u izgradǌi razmatrane funkcije. Na kraju analizomkolona ove tabele se zakǉuquje kako se ostavǉena promenǉiva dovodina ulaz multipleksera.

• Ako su oba decimalna ekvivalenta u jednoj koloni neuokvirena naodgovaraju�i ulaz se dovodi 0.

• Ako su oba decimalna ekvivalenta u jednoj koloni uokvirena naodgovaraju�i ulaz se dovodi 1.


• Ako je samo jedan decimalni ekvivalent u jednoj koloni uokvirenonda se na odgovaraju�i ulaz dovodi ostavǉena promenǉiva onakvakakva je (u negaciji ili afirmaciji) u zaglavǉu vrste u kojoj senalazi taj uokvireni decimalni ekvivalent.

Rezultati ove analize upisuju se u qetvrtu vrstu tabele. Ova pro-cedura je ilustrovana primerom 5.2.

Primer 5.2 Realizovati logiqku funkciju

f (x1, x2, x3, x4) =∑

(0, 1, 3, 4, 8, 9, 15)

pomo�u 8 × 1 multipleksera. Na kanale za izbor dovesti promenǉivex2, x3, x4 a promenǉivu x1 kao ostavǉenu promenǉivu dovesti na ulaz multi-pleksera.

Tabela 5.4 je pomo�na tabela za definisaǌe kako se promenǉiva x1 dovodina ulaz multipleksera.

I0 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7

x1 0 1 2 3 4 5 6 7

x1 8 9 10 11 12 13 14 151 1 0 x1 x1 0 0 x1

Tabela 5.4: Pomo�na tabela za definisaǌe povezivaǌa multiplekserau primeru 5.2

Na slici 5.17 prikazan je dijagram odgovaraju�eg multipleksera povezanogtako da se pomo�u ǌega realizuje zadata logiqka funkcija.

Slika 5.17: Dijagram multipleksera 8 × 1 iz primera 5.2

9.9. Memorija samo za oqitavaǌe (ROM) 109

Zakǉuqak je da se, kad je u pitaǌu realizacija logiqkih funkcija,dekoderi koriste u sluqaju kad je potrebno realizovati vixe logiqkihfunkcija a multiplekser za realizaciju samo jedne logiqke funkcije.Ovu primenu dekodera i multipleksera treba smatrati sekundarnom aprimarna ǌihova uloga treba da bude ono za xta su prvenstveno name-ǌeni i xto se vidi iz ǌihovog naziva.

5.9 Memorija samo za oqitavaǌe (ROM)

Za realizaciju velikog broja logiqkih funkcija od velikog broja neza-visnih logiqkih promenǉivih koristi se tzv. memorija samo za oqita-vaǌe (ROM).

Po svojoj strukturi memorija samo za oqitavaǌe je dekoder sa ILIlogiqim elementima xto je sve objediǌeno u jedinstvenom integrisanomkolu. Veze izme�u izlaza dekodera i ulaza ILI logiqkih elemenata sutakve da u svakom posebnom sluqaju mogu biti razliqito definisanetzv. programiraǌem ROM-a.

S druge taqke gledixta ROM je kao xto i naziv ka�e memorija(skladixte informacija) koja slu�i za smextaǌe jednog jednom utvr-�enog i vixe nepromenǉivog skupa binarnih informacija. Te binarneinformacije koje se smextaju u ROM moraju biti definisane od stranekorisnika formiraǌem odre�ene xeme me�uveza izme�u dekodera i ILIlogiqkih elemenata. Izme�u dekodera i ILI logiqkih elemenata po-stoje specijalne me�uveze koje mogu biti ili ostavǉene ili prekinuteqime se od sluqaja do sluqaja uspostavǉa odre�ena xema me�uveza kojakad je jednom uspostavǉena ona ostaje nepromeǌena, trajna qak i kadase npr. digitalni raqunar iskǉuqi iz struje a potom ponovo ukǉuqi.

Na slici 5.18 prikazan je dijagram ROM-a.

Slika 5.18: Dijagram ROM-a

ROM ima n ulaznih kanala i m izlaznih kanala. Svaka od ulaznihvarijacija vrednosti binarnih signala na ulaznim kanalima se nazivaadresa. Svaki skup vrednosti binarnih signala na izlaznim kanalimanaziva se req. Drukqije posmatrano, svaka adresa je binarni prikazjednog od mintermova za n nezavisnih logiqkih promenǉivih. Oqigledno


je da ima ukupno 2n razliqitih adresa od kojih svaka jedinstveno dajepo jednu odgovaraju�u izlaznu req (ukupno ih je 2n) za koje se ka�e dasu smextene, uskladixtene u ROM. ROM se karakterixe ukupnim bro-jem reqi 2n i brojem bitova u jednoj reqi m tj. 2n × m. Na primer, uROM-u 32 × 8 uskladixtene su 32 osmobitne reqi od kojih svaka mo�ebiti izabrana jednom (odgovaraju�om) od 32 petobitne adrese koje sepojavǉuju na pet ulaznih kanala. ROM qesto mo�e da bude karakter-isan i oznaqen ǌegovim ukupnim smextajnim kapacitetom iskazanim saukupnim brojem bitova. Na primer ROM od 2048 bitova mo�e da ima512 qetvorobitnih reqi pri qemu je broj ulaznih kanala 9 tj. adrese sudevetobitne, 512 × 4 = 2048. Slika 5.19 prikazuje unutraxǌu strukturu32 × 4 ROM-a.

Slika 5.19: Unutraxǌa struktura 32 × 4 ROM-a

Vidi se da su svi izlazi dekodera, pri qemu svaki od ǌih pred-stavǉa po jedan minterm od pet nezavisnih logiqkih promenǉivih, dove-deni preko specijalnih po potrebi raskidivih veza na ulaz svakog ILIlogiqkog elementa. To znaqi da su inicijalno svi mintermovi logiqkisabrani u svakom ILI logiqkom elementu. Znaju�i da se bilo kojalogiqka funkcija mo�e izraziti kao zbir odgovaraju�ih mintermova zakoje ona ima vrednost jedan, da bi se na izlazu nekog ILI logiqkog ele-menta dobila �eǉena logiqka funkcija potrebno je na ulazu tog ILIelementa prekinuti veze sa onim mintermovima koji ne treba da uqes-tvuju u izgradǌi te logiqke funkcije. Ovo prekidaǌe nekih veza naulazu u ILI logiqke elemente oznaqeno je kao programiraǌe ROM-a.

ROM ima mnogobrojne primene u okviru projektovaǌa i izvo�eǌadigitalnih raqunara. Jedna od primena je realizacija slo�enih kombi-nacionih logiqkih kola. Primer 5.3 ilustruje realizaciju kombina-cionog logiqkog kola pomo�u ROM-a.

Primer 5.3 Realizovati pomo�u ROM-a kombinaciono logiqko kolo opi-

6.9. Memorija samo za oqitavaǌe (ROM) 111

sano sistemom logiqkih funkcija:

f1 (x1, x2) =∑

(1, 2, 3)

f2 (x1, x2) =∑

(0, 2) .

Prvo se odredi tabela vrednosti za ove dve logiqke funkcije xto je prikazanotabelom 5.5. Vrxi se izbor ROM-a. Oqigledno ovde je potreban 4×2 ROM.

x1 x2 f1 f2

0 0 0 10 1 1 01 0 1 11 1 1 0

Tabela 5.5: Tabela vrednosti za logiqke funkcije f1 i f2 iz Primera5.3

Na osnovu tabele vrednosti se vrxi programiraǌe ROM-a. Tabela vred-nosti pokazuje koje veze treba prekinuti. Slika 5.20 prikazuje unutraxǌustrukturu ROM-a koji realizuje zadate logiqke funkcije f1 i f2.

Slika 5.20: Unutraxǌa struktura 4 × 2 ROM-a koji realizuje logiqkefunkcije f1 i f2 iz Primera 5.3

Napomena 5.6 Ovaj primer nije ilustrativan sa stanovixta slo�eno-sti kombinacionog kola koje se realizuje pomo�u ROM-a. Prikazano kombi-naciono kolo je jednostavno tako da je primer ilustrativan samo sa stano-vixta procedure. ROM se prvenstveno koristi za realizaciju slo�enihkombinacionih logiqkih kola. U ovom primeru to nije sluqaj iz razumǉivihrazloga izbegavaǌa bespotrebne komplikovanosti i slo�enosti.

Napomena 5.7 U praksi nije uobiqajeno prikazivati unutraxǌu struk-turu isprogramiranog ROM-a.


ROM se mo�e programirati na dva naqina. Jedan naqin je fab-riqko programiraǌe u toku ǌihove proizvodǌe. Drugi naqin je kodtakozvanih programabilnih memorija samo za oqitavaǌe (PROM) gde pro-gramiraǌe vrxi sam korisnik elektriqnim impulsima koji se pomo�uspecijalnog ure�aja programatora PROM-a dovode na ǌegove izlaznekanale. I ROM i PROM imaju fiksnu strukturu posle programiraǌatako da je ona vixe nepromenǉiva. Postoji i tre�a vrsta ROM-a tako-zvana izbrisiva programabilna memorija samo za oqitavaǌe (EPROM) kojase, poxto je programirana, mo�e posebnim postupkom brisaǌa vratitiu inicijalno staǌe a potom ponovo programirati. Brisaǌe se ost-varuje izlagaǌem EPROM-a dejstvu ultraǉubiqastih zraka odre�enopropisano vreme.

5.10 Programabilna logiqka matrica

U sluqaju kombinacionih logiqkih kola qije logiqke funkcije imajuneodre�ene vrednosti na velikom broju mintermova, fiziqka realizacijapomo�u ROM-a je neekonomiqna poxto je tada veliki broj reqi neiskori-x�en. Logiqka kola sa ovom osobinom se realizuju pomo�u tzv. pro-gramabilnih logiqkih matrica (PLA) koje su po svojoj koncepciji sliqneROM-u ali nemaju navedeni nedostatak ROM-a.

Kod PLA umesto dekodera postoji grupa I logiqkih elemenata odkojih svaki mo�e biti programiran da daje proizvod nekih ulaznihpromenǉivih. Ovde se ne radi o mintermovima na izlazu I logiqkihelemenata ve� o nepotpunim proizvodima. Izme�u I logiqkih elemenatai ILI logiqkih elemenata postoje specijalne veze koje po potrebi mogubiti prekinute ili ostavǉene da bi logiqke funkcije bile izra�ene uvidu zbira potrebnih nepotpunih proizvoda. Slika 5.21 pokazuje struk-turu PLA.

Slika 5.21: Struktura PLA

Na slici 5.21 n oznaqava ukupan broj ulaza, m ukupan broj izlazai ukupan broj ILI logiqkih elemenata dok k oznaqava ukupan broj Ilogiqkih elemenata. Specijalne veze postoje izme�u ulaza i I logiqkihelemenata kao i izme�u komplemenata ulaza i I logiqkih elemenata.Tako�e ove veze postoje izme�u izlaza I logiqkih elemenata i ulazaILI logiqkih elemenata kao i u kanalima koji premox�uju izlazne NElogiqke elemente. PLA se karakterixe, oznaqava brojem ulaza, brojemI logiqkih elemenata i brojem izlaza, n, k,m.

6.10. Programabilna logiqka matrica 113

Programiraǌe PLA mo�e da bude fabriqko ili od strane korisnika.Proceduru realizacije kombinacionog logiqkog kola pomo�u PLA poka-zuje primer 5.4.

Primer 5.4 Kombinaciono logiqko kolo qije logiqke funkcije su defini-sane zadatom tabelom vrednosti, tabela 5.6, realizovati pomo�u PLA.

x1 x2 x3 f1 f2

0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 1 11 1 0 0 01 1 1 1 1

Tabela 5.6: Tabela vrednosti logiqkih funkcija kombinacionoglogiqkog kola iz primera 5.4

Poxto se pomo�u PLA realizuju logiqke funkcije koje su iskazane pomo-�u nepotpunih proizvoda nezavisnih logiqkih promenǉivih to se zadatelogiqke funkcije prvo minimizuju da bi se dobio ǌihov standardni obliku vidu sume nepotpunih proizvoda. Postupak minimizovaǌa se sprovoditako da se dobije najmaǌi broj razliqitih nepotpunih proizvoda kako bibila upotrebǉena PLA sa xto maǌim brojem I logiqkih elemenata. MapeVeiq-Karno za grafiqko minimizovaǌe razmatranih logiqkih funkcija f1 if2 su prikazane na slici 5.22.

Slika 5.22: Mape Veiq-Karno za minimizovaǌe logiqkih funkcija f1

i f2 iz primera 5.4

Tabela 5.7 je tabela programiraǌa PLA u ciǉu realizacije razmatranihlogiqkih funkcija.

Specijalne veze izme�u ulaza i I logiqkih elemenata definisane su uovoj tabeli u koloni u qijem zaglavǉu su nezavisne logiqke promenǉive.Tamo gde je 1 odgovaraju�a nezavisna logiqka promenǉiva dovodi se u afir-maciji u I logiqki element, tamo gde je 0 odgovaraju�a nezavisna logiqka


x1 x2 x3 f1 f2

x1x2 1 1 0 – 1 –x1x3 2 1 – 1 1 1x2x3 3 – 1 1 – 1

A A A/K

Tabela 5.7: Tabela programiraǌa PLA za logiqke funkcije f1 i f2 izprimera 5.4

promenǉiva dovodi se u negaciji u I logiqki element i najzad tamo gde je”–” odgovaraju�a nezavisna logiqka promenǉiva ne dovodi se u I logiqkielement. Sprecijalne veze izme�u I logiqkih elemenata i ILI logiqkihelemenata definisane su u ovoj tabeli u koloni u qijem zaglavǉu su logiqkefunkcije. Tamo gde je 1 odgovaraju�i nepotpuni proizvod se uvodi u ILIlogiqki element odgovaraju�e funkcije, tamo gde je ”–” odgovaraju�i nepot-puni proizvod se ne uvodi u ILI logiqki element odgovaraju�e logiqkefunkcije. Posledǌa vrsta u istoj koloni definixe da li su izlazni NElogiqki elementi premox�eni, tada stoji slovo A− afirmacija, ili nisu,tada stoji slovo K− komplement. Ova druga situacija nastaje onda kadase prekinu specijalne veze u kanalu za premox�avaǌe izlaznih NE logiqkihelemenata. Na slici 5.23 prikazana je unutraxǌa struktura PLA kojarealizuje funkcije f1 i f2.

Slika 5.23: Unutraxǌa struktura PLA kojom se realizuju funkcije f1

i f2 iz primera 5.4

Pri minimizovaǌu logiqkih funkcija koje treba realizovati pomo�uPLA mo�e se i�i i na minimizovaǌe komplemenata logiqkih funkcija

6.10. Programabilna logiqka matrica 115

ako se pri tome dobija maǌi broj razliqitih nepotpunih proizvoda negokad se vrxi minimizovaǌe samih funkcija u afirmaciji. Tada se preki-daju specijalne veze koje premox�uju izlazne NE logiqke elemente takoda se na izlazu PLA dobijaju same funkcije u afirmaciji.

Napomena 5.8 Primer 5.4 je ilustrativan xto se tiqe procedure alinije ilustrativan xto se tiqe dimenzija PLA poxto se u praksi nekoriste PLA ovako malih dimenzija i za realizaciju ovako jednostavnihlogiqkih funkcija.

Poglavǉe 6

Sinhrona sekvencijalnalogiqka kola

U ovom poglavǉu izla�u se postupci projektovaǌa i analize sinhronihsekvencijalnih logiqkih kola. Pri tome se prvo izla�u i obra�uju os-novni tipovi flip flopova uopxte a potom i pulsni flip flopovi kojisu direktno zastupǉeni u sinhronim sekvencijalnim logiqkim kolimai koji kao osnovne memorijske �elije za smextaǌe jednobitne binarneinformacije imaju esencijalnu ulogu u ostvarivaǌu osnovne karakter-istike sekvencijalnih logiqkih kola da nejednoznaqno preslikavaju ulazu izlaz.

117

118 Poglavǉe 7. Sinhrona sekvencijalna logiqka kola

6.1 Koncept i osnovne karakteristike sinhronih

sekvencijalnih logiqkih kola

Strukturni dijagram sekvencijalnih logiqkih kola je prikazan na slici6.1.

Slika 6.1: Strukturni dijagram sekvencijalnih logiqkih kola

Kao xto se sa slike vidi, ovo logiqko kolo se sastoji iz dva bloka,kombinacionog logiqkog kola i bloka tz. memorijskih elemenata , kojise nalazi u povratnoj grani povratne sprege. Memorijski element jeskladixte jednobitne binarne informacije (0 ili 1) u kome ona mo�e dabude neograniqeno dugo sve dok se ǌegov sadr�aj ne promeni pod spoǉa-xǌim uticajem. Dvostruka strelica oznaqena kao ulazi simboliqnopredstavǉa u opxtem sluqaju vixe ulaznih binarnih promenǉivih. Dvo-struka strelica oznaqena kao izlazi simboliqno predstavǉa u opxtemsluqaju vixe izlaznih binarnih promenǉivih. Sadr�aj memorijskihelemenata odre�uje tz. staǌe sekvencijalnog logiqkog kola. Binar-ni sadr�aj memorijskih elemenata tj. staǌe sekvencijalnog logiqkogkola u sadaxǌem trenutku, trenutku posmatraǌa je ǌegovo tz. sadaxǌestaǌe. Staǌe sekvencijalnog logiqkog kola karakteristiqno za trenu-tak posle sadaxǌeg trenutka u kome je prvi put potencijalno mogu�eda do�e do promene staǌa u odnosu na sadaxǌe staǌe je tz. narednostaǌe. Izlaz ovih logiqkih kola je odre�en ulazom i sadaxǌim sta-ǌem, tj. izlaz je logiqka funkcija ulaza i sadaxǌeg staǌa. Sliqno,ulaz i sadaxǌe staǌe odre�uju promenu staǌa ovog logiqkog kola, tj.naredno staǌe je logiqka funkcija ulaza i sadaxǌeg staǌa. Na osnovuizlo�enog, jasno se mo�e uoqiti razlika izme�u ovih i kombinacionihlogiqkih kola. Sekvencijalno logiqko kolo ne uspostavǉa jednoznaqnuvezu izme�u vrednosti ǌegovih binarnih ulaza i binarnih izlaza, tj.jedan isti ulaz u razliqitim trenucima mo�e da izazove razliqiteizlaze xto nije bio sluqaj kod kombinacionih logiqkih kola.

Sekvencijalna logiqka kola mogu biti sinhrona i asinhrona.Promena staǌa sinhronih sekvencijalnih logiqkih kola jedino je mo-

7.2. Flip flopovi 119

gu�a pod uticajima koji se dexavaju u strogo odre�enim ekvidistantnimtrenucima. Ti trenuci definisani su najqex�e periodiqnim nizom tz.sinhronizacionih pulseva koji se proizvode u sistemu na jednom mestupomo�u generatora sinhronizacionih pulseva1. Sinhronizacioni pulsevise distribuiraju svuda po sistemu u qijem sastavu su i sinhrona sekven-cijalna logiqka kola kao podsistemi, i to u svojstvu ulaza u memorij-ske elemente. Sadr�aj memorijskih elemenata je mogu�e promeniti poddejstvom ǌihovih glavnih ulaza jedino uz prisustvo sinhronizacionogpulsa.

Memorijski elementi kod sinhronih sekvencijalnih logiqkih kolasu tz. pulsni flip flopovi.

6.2 Flip flopovi

Flip flop je binarna �elija sposobna da uskladixti, memorixe, jedanbit (0 ili 1). On ima dva izlaza od kojih je jedan normalan i dajeonu binarnu vrednost koja je uskladixtena u flip flopu, a drugi dajekomplement uskladixtene binarne vrednosti. Broj ulaza flip flopaodre�uje tip flip flopa od qega zavisi naqin na koji se meǌa ǌegovsadr�aj. Najpoznatiji tipovi flip flopova su: SR, JK, T i D flipflop.

Pulsni flip flopovi imaju jox jedan dodatni ulaz na koji se dovodeperiodiqni jediniqni pulsevi, sinhronizacioni pulsevi, tako da flipflop mo�e da promeni svoj sadr�aj pod uticajem ǌegovih glavnih ulazajedino kada je na ovom dodatnom ulazu prisutan jediniqni puls. U pro-tivnom, nezavisno od vrednosti glavnih ulaza sadr�aj flip flopa os-taje nepromeǌen. Dodatni ulaz pulsnih flip flopova za sinhroniza-cione pulseve oznaqava se sa CP, xto je skra�enica od engleskog nazivaza pulseve proizvedene pomo�u generatora sinhronizacionih pulseva.

Flip flopovi koji nemaju dodatnih ulaza za sinhronizacione pulsevei koji rade nezavisno od ǌih nazivaju se nepulsni flip flopovi. Onikao memorijski elementi imaju primenu kod asinhronih sekvencijalnihlogiqkih kola.

6.2.1 SR flip flop

Logiqki dijagrami osnovnog SR flip flopa realizovanog pomo�u NILIi NI logiqkih elemenata su prikazani na slikama 6.2 i 6.3 a tabele 6.1i 6.2 su ǌihove tabele vrednosti.

Po svojoj prirodi ovaj flip flop pripada asinhronim sekvencijal-nim logiqkim kolima zbog postojaǌa povratnih sprega. Flip flop imadva izlaza oznaqena sa Q i Q i dva ulaza oznaqena sa R i S . OznakeS i R su poqetna slova od engleskih reqi set-postaviti (u smislu da

1Naziv na engleskom jeziku je clock


Slika 6.2: Logiqki dijagram osnovnog SR flip flopa u NILI izvo-�eǌu

Slika 6.3: Logiqki dijagram osnovnog SR flip flopa u NI izvo�eǌu

se uskladixti jedinica) i reset-vratiti (u smislu da se uskladixtenajediniqna vrednost zameni sa nultom vrednox�u).

Objaxǌeǌe rada ovog flip flopa se daje u odnosu na ǌegovu rea-lizaciju pomo�u NILI logiqkih elemenata prikazanu na slici 6.2.Polazi se od toga da je S = 1 i R = 0 xto uslovǉava da je Q = 1i Q = 0. Ako je posle ovakve situacije S = 0 i R = 0 izlazi ostajunepromeǌeni u odnosu na prethodnu situaciju tj. Q = 1 i Q = 0. Ako

sada ulazi postanu S = 0 i R = 1 to uslovǉava Q = 0 i Q = 1. Akoje posle ovakve situacije S = 0 i R = 0 izlazi ostaju nepromeǌeni uodnosu na prethodnu situaciju tj. Q = 0 i Q = 1. Najzad, ako je S = 1 iR = 1 onda to uslovǉava da je Q = 0 i Q = 0 xto nije u regularnom raduflip flopa dozvoǉeno. Na taj naqin se obezbe�uje da su na izlazimaQ i Q uvek komplementarne vrednosti, tj. kada je Q = 1 onda je Q = 0i obrnuto xto je u skladu i sa oznakama izlaza. Izlaz Q se nazivanormalan izlaz a Q se naziva komplement. Vrednost normalnog izlazaQ odre�uje staǌe flip flopa, tj. ka�e se da je flip flop u staǌu 1kada je Q = 1 i da je u staǌu 0 kada je Q = 0. Na osnovu opisa radaSR flip flopa mo�e se zakǉuqiti da se flip flop postavǉa u staǌe 1,ili ako je ve� bio u staǌu 1 on i daǉe ostaje u staǌu 1, kada je S = 1i R = 0 i da se postavǉa u staǌe 0, ili ako je ve� bio u staǌu 0 on idaǉe ostaje u staǌu 0, kada je S = 0 i R = 1. S = 0 i R = 0 ne utiqe nastaǌe flip flopa. Ovo je uslovilo da SR flip flop radi tako xto jena ǌegovom ulazu skoro stalno S = 0 i R = 0, a kada je potrebno da seflip flop prebaci u staǌe 1 ili 0 onda se na ǌegov S ulaz odnosno Rulaz dovede kratkotrajan jediniqni puls, tj. S odnosno R kratkotrajno


S R Q Q1 0 1 00 0 1 0 (posle SR = 10)0 1 0 10 0 0 1 (posle SR = 01)1 1 0 0

Tabela 6.1: Tabela vrednosti osnovnog SR flip flopa realizovanogpomo�u NILI logiqkih elemenata

S R Q Q1 0 0 11 1 0 1 (posle SR = 10)0 1 1 01 1 1 0 (posle SR = 01)0 0 1 1

Tabela 6.2: Tabela vrednosti osnovnog SR flip flopa realizovanogpomo�u NI logiqkih elemenata

dobiju vrednost 1. U sluqaju da do�e do zabraǌene situacije S = 1 iR = 1, posle povratka na S = 0 i R = 0, bila bi neodre�ena situacijatj. flip flop bi bio postavǉen ili u staǌe 1 ili 0 u zavisnosti odtoga da li je jediniqni puls du�e trajao na S ili R ulazu.

Kod SR flip flopa sa slike 6.3 skoro stalno je S = 1 i R = 1, a kadaje potrebno da se flip flop prebaci u staǌe 1 ili 0 onda se na ǌegovS ulaz odnosno R ulaz dovede kratkotrajan nulti puls, tj. S odnosno Rkratkotrajno dobiju vrednost 0.

Na slici 6.4 prikazan je logiqki dijagram i simbol pulsnog SR flipflopa.

Slika 6.4: Logiqki dijagram i simbol pulsnog SR flip flopa

ǋegova glavna osobina je da je promena ǌegovog staǌa pod uticajemulaza S i R na opisani naqin mogu�a jedino za vreme dok je na ǌegovomdodatnom ulazu CP prisutan jediniqni sinhronizacioni puls.

Tabela 6.3 je tz. karakteristiqna tabela pulsnog SR flip flopakoja tabelarno opisuje ǌegov rad.


Q S R Q (t + 1)0 0 0 00 0 1 00 1 0 10 1 1 neodre�eno1 0 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 neodre�eno

Tabela 6.3: Karakteristiqna tabela pulsnog SR flip flopa

U ovoj tabeli Q oznaqava sadaxǌe staǌe flip flopa a Q(t + 1) oz-naqava ǌegovo staǌe posle nailaska prvog slede�eg jediniqnog pulsana ǌegov CP ulaz i naziva se slede�e ili naredno staǌe. Na slici6.5 je prikazana mapa Veiq-Karno za ovaj flip flop koja je popuǌenana osnovu karakteristiqne tabele. Treba primetiti da su na mestuneodre�enih vrednosti usvojene jedinice, jer one nemaju znaqaja, poxtoS = 1 i R = 1 se nikada ne�e desiti, a te usvojene jedinice vode kajednostavnijem izrazu za Q(t + 1).

Slika 6.5: Mapa Veiq-Karno za pulsni SR flip flop

Na osnovu mape Veiq-Karno dobija se karakteristiqna jednaqina pul-snog SR flip flopa koja analitiqki opisuje ǌegov rad:

Q (t + 1) = S + RQ (6.1)

SR = 0 (6.2)

Izraz 6.2 je dodatni uslov koji znaqi zabranu S = 1 i R = 1.

6.2.2 JK flip flop

Logiqki dijagram i simbol nepulsnog JK flip flopa ili kra�e samoJK flip flopa su prikazani na slici 6.6 a pulsnog JK flip flopa naslici 6.7.

Sa slike se vidi da se ovaj flip flop dobija od SR flip flopa, tako

xto se ǌegovi izlazi Q i Q povratno vra�aju i logiqki mno�e sa R i S,


Slika 6.6: Logiqki dijagram i simbol nepulsnog JK flip flopa

Slika 6.7: Logiqki dijagram i simbol pulsnog JK flip flopa

koji dobijaju novu oznaku K i J . Tabela 6.4 je karakteristiqna tabelaJK flip flopa.

Q J K Q (t + 1)0 0 0 00 0 1 00 1 0 10 1 1 11 0 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 0

Tabela 6.4: Karakteristiqna tabela JK flip flopa

Na osnovu karakteristiqne tabele, vidi se da JK flip flop radiisto kao i SR flip flop, s tom razlikom xto je kod JK flip flopadozvoǉeno da u isto vreme bude J = 1 i K = 1. U takvoj situacijiako je kod pulsnog JK flip flopa i CP = 1 dolazi do promene staǌaflip flopa, tj. ako je flip flop bio u staǌu 1 on �e pre�i u staǌe0 i obrnuto ako je bio u staǌu 0 pre�i�e u staǌe 1. To se vidi i salogiqkog dijagrama. Ako je J = 1, K = 1 i CP = 1 u isto vreme i ako jenpr. Q = 0, Q = 1 i J = 1 zajedno sa CP = 1 daju na izlazu odgovaraju�egI logiqkog elementa signal 1 koji je zadu�en za postavǉaǌe JK flipflopa u staǌe 1. Dakle flip flop je bio u staǌu 0, a prexao je u datim


uslovima u staǌe 1. Sliqno je i kada je J = 1, K = 1 i CP = 1 u istovreme i ako je Q = 1. Tada se Q = 1, K = 1 i CP = 1 logiqki mno�ei daju na izlazu odgovaraju�eg I logiqkog elementa signal 1 koji jezadu�en za postavǉaǌe JK flip flopa u staǌe 0. Flip flop je bio ustaǌu 1, a prexao je u datim uslovima u staǌe 0.

Iz prethodno opisanog proistiqe jedan mogu�i problem kod pulsnogJK flip flopa. Ako je vreme prolaska signala kroz flip flop, odǌegovog ulaza do izlaza, kra�e od vremena trajaǌa pulsa CP = 1 ondadolazi do uzastopnog vixestrukog ne�eǉenog prelaza flip flopa izjednog staǌa u drugo.

Kod nepulsnog JK flip flopa J = 1 i K = 1 u isto vreme tako�eizaziva stalno uzastopno prela�eǌe iz jednog staǌa u drugo.

Na slici 6.8 je prikazana mapa Veiq-Karno pulsnog JK flip flopna osnovu koje se dobija ǌegova karakteristiqna jednaqina 6.3.

Slika 6.8: Mapa Veiq-Karno za JK flip flop

Q (t + 1) = JQ + KQ (6.3)

6.2.3 T flip flop

Na slici 6.9 je prikazan logiqki dijagram i simbol T flip flopa apulsnog T flip flopa na slici 6.10.

Slika 6.9: Logiqki dijagram i simbol T flip flopa

Oqigledno, T flip flop se dobija od JK flip flopa tako xto seulazi J i K ovog flip flopa spoje u jedan i oznaqe sa T . Sliqno kaokod JK flip flopa i kod T flip flopa mogu�e je da se pojavi problemuzastopnog ne�eǉenog prela�eǌa iz jednog staǌa u drugo.

Tabela 6.5 je karakteristiqna tabela T flip flopa.


Slika 6.10: Logiqki dijagram i simbol pulsnog T flip flopa

Q T Q (t + 1)0 0 00 1 11 0 11 1 0

Tabela 6.5: Karakteristiqna tabela T flip flopa

Na slici 6.11 je prikazana mapa Veiq-Karno za T flip flop na os-novu koje se dobija ǌegova karakteristiqna jednaqina 6.4.

Slika 6.11: Mapa Veiq-Karno za T flip flop

Q (t + 1) = TQ + TQ (6.4)

6.2.4 D flip flop

Na slici 6.12 je prikazan logiqki dijagram i simbol D flip flopa apulsnog D flip flopa na slici 6.13.

Ovaj flip flop se dobija od SR flip flopa tako xto se ǌegov S ulazoznaqava sa D i komplement D ulaza vodi na R ulaz.

Napomena 6.1 Na logiqkom dijagramu D flip flopa komplement D ulazase ostvaruje pomo�u NILI logiqkog elementa koji ima samo jedan ulaz.

Kada je CP = 0 onda su izlazi iz I logiqkih elemenata pulsnog Dflip flopa jednaki nuli tako da se odr�ava staǌe flip flopa. Kada


Slika 6.12: Logiqki dijagram i simbol D flip flopa

Slika 6.13: Logiqki dijagram i simbol pulsnog D flip flopa

je CP = 1 tj. kada je jediniqni sinhronizacioni puls prisutan na CPulazu, D = 1 postavǉa flip flop u staǌe 1 ili ako je flip flop ve�bio u staǌu 1 ono i daǉe ostaje, dok D = 0 postavǉa flip flop u staǌe0 ili ako je on ve� bio u staǌu 0 ono i daǉe ostaje.

Tabela 6.6 je karakteristiqna tabela D flip flopa.

Q D Q (t + 1)0 0 00 1 11 0 01 1 1

Tabela 6.6: Karakteristiqna tabela D flip flopa

Na slici 6.14 je prikazana mapa Veiq-Karno za D flip flop na os-novu koje se dibija ǌegova karakteristiqna jednaqina 6.5.

Q (t + 1) = D (6.5)

6.3 Pobudne tabele flip flopova

Karakteristiqne tabele SR, JK, T i D flip flopova mogu biti date,predstavǉene u izmeǌenom, transformisanom obliku u odnosu na ǌihovve� dati oblik. Ovi novi, transformisani oblici karakteristiqnihtabela su dati u tabelama 6.7 do 6.10.

7.3. Pobudne tabele flip flopova 127

Slika 6.14: Mapa Veiq-Karno za D flip flop

S R Q (t + 1)0 0 Q (t)0 1 01 0 11 1 ?

Tabela 6.7: Karakteristiqna tabela SR flip flopa u izmeǌenom obliku

Mada karakteristiqne tabele u potpunosti logiqki definixu radflip flopova za postupak projektovaǌa sinhronih sekvencijalnih logiq-kih kola od ve�eg praktiqnog znaqaja su takozvane pobudne tabele flipflopova. Na osnovu pobudnih tabela flip flopova mogu�e je dobitiodgovor na pitaǌe kako treba pobuditi posmatrani flip flop da

bi se ostvario odre�eni zahtevani, �eǉeni prelaz staǌa. Pobudnetabele SR, JK, T i D flip flopova prikazane su u tabelama 6.11 do 6.14.

Objaxǌeǌe dobijaǌa pobudne tabele na osnovu karakteristiqne tabe-le daje se na primeru SR flip flopa. Prvi prelaz staǌa, Q (t) Q (t + 1) == 00, na osnovu karakteristiqne tabele 6.7, vidi se da je mogu� kadaje SR = 00 ili SR = 01. Preciznije, iz prve vrste ove tabele vidise da je pri SR = 00, Q (t + 1) = Q (t), tj. kada Q (t) ima bilo kojuvrednost pa i nulu Q (t + 1) ima istu tu vrednost dakle i nulu. Izdruge vrste pomenute karakteristiqne tabele Q (t + 1) je uvek jednakonula bilo kakvo da je Q (t) pa i kada je Q (t) = 0. Zbog svega navedenogu prvu vrstu pobudne tabele 6.11 upisuje se SR = 0− (R je neodre�eno,mo�e da bude 0 ili 1). Drugi prelaz Q (t) Q (t + 1) = 01 mogu� je jedinokada je SR = 10 xto se vidi iz tre�e vrste karakteristiqne tabele 6.7.Preciznije, kada je SR = 10 uvek je Q (t + 1) = 1 bilo kakvo da je Q (t) pai kada je ono jednako nuli. Zbog navedenog u drugu vrstu pobudne tabele6.11 upisuje se SR = 10. Tre�i prelaz Q (t)Q (t + 1) = 10 mogu� je jedinokada je SR = 01 xto se vidi iz druge vrste karakteristiqne tabele 6.7.Preciznije, kada je SR = 01 uvek je Q (t + 1) = 0 bilo kakvo da je Q (t) pai kada je ono jednako jedinici. Tako se u tre�u vrstu pobudne tabele6.11 upisuje SR = 01. Qetvrti prelaz Q (t) Q (t + 1) = 11 mogu� je kadaje SR = 00 ili SR = 10. Preciznije objaxǌeǌe za ovaj qetvrti prelaz


J K Q (t + 1)0 0 Q (t)0 1 01 0 11 1 Q (t)

Tabela 6.8: Karakteristiqna tabela JK flip flopa u izmeǌenom ob-liku

T Q (t + 1)0 Q (t)1 Q (t)

Tabela 6.9: Karakteristiqna tabela T flip flopa u izmeǌenom obliku

staǌa implicitno je ve� dat pri objaxǌeǌu prvog i drugog prelazastaǌa. U qetvrtu vrstu pobudne tabele 6.11 upisuje se SR = − 0 (S jeneodre�eno, mo�e da bude ili 0 ili 1).

6.4 Promena staǌa kod flip flopova

Promena staǌa kod pulsnih flip flopova je mogu�a pod uticajem ǌego-vih glavnih ulaza jedino pri pojavi jediniqnog sinhronizacionog pulsana ǌegovom CP ulazu. Na CP ulazu pulsnih flip flopova teorijskitrenutno a u praksi skoro trenutno se promeni vrednost ulaznog bi-narnog signala sa 0 na 1 i posle kratkog vremena ponovo trenutno iliskoro trenutno dobija vrednost 0. Vreme koje protekne od trenutkapojave jediniqnog sinhronizacionog pulsa na CP ulazu pulsnog flipflopa pa do trenutka promene vrednosti izlaza flip flopa mo�e dabude kritiqno i zahteva detaǉniju analizu.

Ako se izlazi pulsnih flip flopova meǌuju u vreme kada su naǌihovim CP ulazima jediniqni sinhronizacioni pulsevi mo�e do�ido nestabilnosti sinhronih sekvencijalnih logiqkih kola zbog posto-jaǌa povratne sprege. Zbog toga je nepo�eǉno da se izlazi pulsnihflip flopova meǌaju u vreme kada su na ǌihovim CP ulazima jediniqnisinhronizacioni pulsevi.

Ovaj problem nebi se pojavǉivao ako bi jediniqni sinhronizacionipuls trajao kra�e nego xto je vreme prenosa signala kroz flip flop.Kada to nije sluqaj jedan od mogu�ih pristupa rexavaǌa ovog prob-lema jeste vextaqko ubacivaǌe elementa u flip flop qije kaxǌeǌe jenajmaǌe jednako du�ini trajaǌa jediniqnog sinhronizacionog pulsa naCP ulazu. Me�utim zbog svoje komplikovanosti ovakav pristup se ipakne koristi u praksi. Jedan od najqex�e korix�enih naqina za rexa-vaǌe ovog problema je primena tz. dvostrukih flip flopova2. Samnaziv pokazuje da se dvostruki flip flop sastoji od dva flip flopa xto

2Engleski naziv je master&slave.

7.4. Promena staǌa kod flip flopova 129

D Q (t + 1)0 01 1

Tabela 6.10: Karakteristiqna tabela D flip flopa u izmeǌenom obliku

Q (t) Q (t + 1) S R0 0 0 –0 1 1 01 0 0 11 1 – 0

Tabela 6.11: Pobudna tabela SR flip flopa

se vidi i sa globalnog, principijelnog logiqkog dijagrama dvostrukogflip flopa prikazanog na slici 6.15.

Slika 6.15: Globalni logiqki dijagram dvostrukog flip flopa

Kada je CP = 0 onda je CP = 1 tako da je podre�eni flip flop umogu�nosti da promeni staǌe pa Q postaje Y odnosno Q postaje Y tj.Q = Y i Q = Y . Kada je CP = 1 onda je CP = 0 tako da je podre�eni flipflop blokiran a glavni flip je u mogu�nosti da promeni staǌe pa Ypostaje S odnosno Y postaje R tj. Y = S i Y = R. Kada CP ponovo postane0, CP = 0, glavni flip flop je izolovan i blokiran pa i zaxti�en oddejstva ǌegovih ulaza S i R a na izlaz podre�enog flip flopa prenosise staǌe glavnog flip flopa. Slika 6.16 je vremenski dijagram kojiprikazuje redosled doga�aja kod dvostrukog flip flopa pri promeniǌegovog staǌa.

Prema vremenskom dijagramu promene staǌa dvostrukog flip flopana slici 6.16 pretpostavǉa se da je flip flop u staǌu 0 tj. da jeQ = 0 i Y = 0 i da su pre pojave jediniqnog sinhronizacionog pulsaS = 1 i R = 0. Sa pojavom jediniqnog sinhronizacionog pulsa dolazi dopromene staǌa tako da Q postaje 1, tj. Q = 1. Treba uoqiti da ulaznisignal mo�e da meǌa vrednost u istom trenutku kada sinhronizacionipuls ima tz. negativni prelaz tj. kada se ǌegova vrednost meǌa sa 1 na0.

Zakǉuqak je da se promena staǌa dvostrukog flip flopa podudara sa


Q (t) Q (t + 1) S R0 0 0 –0 1 1 −

1 0 − 11 1 – 0

Tabela 6.12: Pobudna tabela JK flip flopa

Q (t) Q (t + 1) T0 0 00 1 11 0 11 1 0

Tabela 6.13: Pobudna tabela T flip flopa

negativnim prelazom jediniqnog sinhronizacionog pulsa i da to staǌeostaje nepromeǌeno do trenutka kada se ostvaruje negativan prelaz pr-vog slede�eg jediniqnog sinhronizacionog pulsa.

Treba uoqiti da S ulaz mo�e da bude izlaz nekog drugog dvostrukogflip flopa na qiji ulaz se dovodi isti jediniqni sinhronizacioni pulskao i na ulaz prethodno pomenutog dvostrukog flip flopa.

Na slici 6.17 prikazan je dvostruki JK flip flop.Ovaj flip flop se dobija od JK flip flopa koji ima ulogu glavnog

flip flopa i kome se doda SR flip flop koji ima ulogu podre�enog flipflopa s tim da se u SR flip flop dovodi negirani sinhronizacioni pulstj. CP . Na sliqan naqin dobijaju se dvostruki flip flopovi drugihtipova flip flopova.

Napomena 6.2 Za dobijaǌe dvostrukog JK flip flopa prikazanog na slici6.17 korix�eni su NI izvo�eǌa JK i SR flip flopa.

U opxtem sluqaju digitalni sistem sadr�i vixe dvostrukih flip

Slika 6.16: Vremenski dijagram promene staǌa dvostrukog flip flopa

7.5. Analiza sinhronih sekvencijalnih logiqkih kola 131

Q (t) Q (t + 1) D0 0 00 1 11 0 01 1 1

Tabela 6.14: Pobudna tabela D flip flopa

Slika 6.17: Logiqki dijagram dvostrukog JK flip flopa

flopova pri qemu izlazi jednih flip flopova mogu biti ulazi nekihdrugih flip flopova. Sinhronizacioni pulsevi koji ulaze u sve flipflopove su sinhronizovani tj. poqiǌu u isto vreme. Pri pojavi je-diniqnog sinhronizacionog pulsa na ulazima flip flopova neki od glav-nih flip flopova meǌau staǌe ali na izlazima flip flopova se joxuvek zadr�avaju prethodna staǌa. Kada jediniqni sinhronizacioni pulsixqezne sa ulaza flip flopova neki od flip flopova meǌaju staǌe nasvom izlazu ali bez opasnosti da se utiqe na promenu staǌa glavnogflip flopa sve do pojave prvog narednog jediniqnog sinhronizacionogpulsa. Na taj naqin se ostvaruje promena staǌa flip flopova u sistemujednovremeno za vreme istog sinhronizacionog pulsa.

Flip flopovi izvedeni u vidu elektronskih integrisanih kola moguda imaju posebne ulaze preko kojih se flip flop asinhrono postavǉa ustaǌa 0 ili 1 nezavisno od jediniqnog sinhronizacionog pulsa koji sedovodi na CP ulaz.

6.5 Analiza sinhronih sekvencijalnih

logiqkih kola

Logiqki dijagram sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola prepoznaje sepo tome xto on sadr�i u sebi pulsne flip flopove bilo kog tipa priqemu mo�e da sadr�i i kombinacioni deo ali ne mora.

Definicija 6.3 Pod analizom sinhronih sekvencijalnih logiqkih kola po-drazumeva se dobijaǌe, bilo u tabelarnom bilo u grafiqkom obliku, funkcio-


nalne zavisnosti izlaza od ǌegovog ulaza i sadaxǌeg staǌa i funkcionalnezavisnosti narednog staǌa od ulaza i sadaxǌeg staǌa, na osnovu ǌihovogzadatog logiqkog dijagrama.

Definicija 6.4 Tabela koja daje funkcionalnu zavisnost narednog staǌasinhronog sekvencijalnog logiqkog kola od ǌegovog ulaza i sadaxǌeg staǌa ifunkcionalnu zavisnost izlaza od ulaza i sadaxǌeg staǌa naziva se tabela

staǌa sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola.

Postupak analize sinhronih sekvencijalnih logiqkih kola ilustrujeprimer 6.1.

Primer 6.1 Izvrxiti analizu sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola qi-ji je zadati logiqki dijagram prikazan na slici 6.18.

Slika 6.18: Logiqki dijagram zadatog sinhronog sekvencijalnoglogiqkog kola iz primera 6.1

Kao xto se vidi sa slike 6.18 ovo kolo se sastoji od dva pulsna SR flipflopa A i B i kombinacionog dela sa spoǉaxǌim ulazom x i spoǉaxǌimizlazom y.

Napomena 6.5 Na slici 6.18 izlazi flip flopova nisu povezani sa ulazimaI logiqkih elemenata, kako pokazuju unete oznake, u ciǉu boǉe pregled-nosti.

Tabela staǌa sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola qiji je logiqkidijagram prikazan na slici 6.18 je tabela 6.15. Tabela staǌa 6.15 u pr-voj koloni sadr�i sadaxǌa staǌa koja su karakteristiqna za trenutakposmatraǌa. Pored ove kolone ova tabela sadr�i jox dve kolone. Drugakolona sadr�i slede�a staǌa a tre�a kolana sadr�i izlaze xto jenavedeno u ǌihovim zaglavǉima. Slede�a staǌa su ona staǌa koja se po-javǉuju nailaskom prvog slede�eg jediniqnog sinhronizacionog pulsa u od-nosu na sadaxǌi tj. trenutak posmatraǌa. Vrednosti izlaza su karak-teristiqne za trenutak posmatraǌa u vreme sadaxǌih staǌa. I druga i


Sadaxǌe Slede�e staǌe Izlazstaǌe x = 0 x = 1 x = 0 x = 1AB AB AB y y00 00 01 0 001 11 01 0 010 10 00 0 111 10 11 0 0

Tabela 6.15: Tabela staǌa sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola izprimera 6.1

tre�a kolona imaju po dve potkolone, za dve vrednosti spoǉaxǌeg ulazatj. x = 0 i x = 1. Prilikom formiraǌa tabele staǌa polazi se od poqetnogstaǌa za koje se obiqno uzima staǌe koje odgovara nultim izlazima svihflip flopova. U sluqaju razmatranog primera to poqetno staǌe je AB == 00. Za poqetno staǌe mo�e da se izabere i neko drugo staǌe bez ikakvihograniqeǌa. Poqetno staǌe AB = 00 uzeto kao sadaxǌe staǌe zajedno sax = 0 daje na izlazima svih I logiqkih elemenata oznaqenih brojevima 1, 2,3 i 4 signal 0 xto znaqi da ne�e do�i do promene staǌa SR flip flopovaA i B tj. naredno, slede�e staǌe �e biti tako�e AB = 00. Ovo slede�estaǌe se upisuje u prvu potkolonu druge kolone i prvu vrstu tabele staǌa.Poqetno staǌe AB = 00 uzeto kao sadaxǌe staǌe zajedno sa x = 1 daje naizlazima I logiqkih elemenata 2 i 3 signal 1 a na izlazima I logiqkihelemenata 1 i 4 signal 0. To znaqi da flip flop A ima ulaze S = 0 i R = 1a flip flop B ima ulaze S = 1 i R = 0. Ovakvi ulazi dovode do promenestaǌa samo flip flopa B ali ne i flip flopa A tako da je slede�e staǌeAB = 01. Ovo staǌe se unosi u drugu potkolonu druge kolone i u prvu vrstutabele staǌa. Na analogan naqin odre�uju se i sva ostala slede�a staǌa iunose se u odgovaraju�e kolone, potkolone i vrste. Poqetno staǌe AB = 00uzeto kao sadaxǌe staǌe zajedno sa x = 0 daje izlaz y = 0 koji se upisujeu prvu potkolonu tre�e kolone i u prvu vrstu. Sliqno, poqetno staǌeAB = 00 uzeto kao poqetno staǌe zajedno sa x = 1 daje tako�e izlaz y = 0koji se upisuje u drugu potkolonu tre�e kolone i u prvu vrstu. Sliqno seodre�uju i svi ostali izlazi koji se unose u odgovaraju�e kolone, potkolonei vrste.

U opxtem sluqaju kada sinhrono sekvencijalno logiqko kolo sadr�im flip flopova i n spoǉaxǌih ulaza, tabela staǌa ima 2m vrsta akolone u koje se unose slede�a staǌa i izlazi imaju po 2n potkolona.Mogu�e je da izlaz sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola kao spoǉa-xǌi izlaz dolazi iz kombinacionog dela ili pak u sluqaju da nematakvog spoǉaxǌeg izlaza da se izlazi flip flopova smatraju izlaz-ima i qitavog sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola. U ovom dru-gom sluqaju izlazi flip flopova imaju ulogu izlaza qitavog sinhronogsekvencijalnog logiqkog kola tako da u tabeli staǌa nema tre�e kolonea prva kolona u kojoj su sadaxǌa staǌa istovremeno ima ulogu i koloneza izlaz.


Definicija 6.6 Dijagram staǌa je grafiqki prikaz informacija koje sa-dr�i tabela staǌa tj. grafiqki iskazana s jedne strane zavisnost izlazaod sadaxǌeg staǌa i ulaza a s druge strane zavisnost slede�eg staǌa odsadaxǌeg staǌa i ulaza.

Na ovom dijagramu staǌa su oznaqena krugovima u koje se upisujuǌihovi binarni prikazi. Staǌa su povezana usmerenim linijama kojesimboliqno predstavǉaju odgovaraju�e prelaze iz jednog staǌa u drugoi to iz staǌa od koga usmerena strelica kre�e u staǌe do koga usmerenastrelica dolazi. Na slici 6.19 prikazan je dijagram staǌa za sinhronosekvencijalno logiqko kolo iz primera 6.1.

Slika 6.19: Dijagram staǌa sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola izprimera 6.1

Na dijagramu staǌa sa slike 6.19 pored svake usmerene linije sudva binarna broja razdvojena kosom crtom. Prvi binarni broj oznaqavaulaz koji prouzrokuje prelaz iz sadaxǌeg staǌa od koga usmerena linijakre�e u slede�e staǌe do koga usmerena linija dolazi. Drugi binarnibroj oznaqava izlaz logiqkog kola u vreme sadaxǌeg staǌa. Za sluqajstaǌa 00 i 01 usmerena linija ide od staǌa 00 ka staǌu 01 a pored us-merene linije je oznaka 1/0 xto znaqi da pod uticajem ulaza 1 logiqkokolo iz sadaxǌeg staǌa 00 prelazi u slede�e staǌe 01 i u sadaxǌemstaǌu ima izlaz 0. Na istom dijagramu se nalaze i usmerene linijekoje kre�u od jednog staǌa i vra�aju se ka istom staǌu. Oqigledo, utom sluqaju ne dolazi do promene staǌa. U opxtem sluqaju binarni bro-jevi pored usmerenih linija dijagrama staǌa mogu da budu vixecifrenixto znaqi da kod odgovaraju�eg logiqkog kola postoji vixe ulaznih iizlaznih veliqina tj. broj cifara prvog binarnog broja pre kose crteodre�uje broj ulaznih veliqina a broj cifara drugog binarnog broja


posle kose crte odre�uje broj izlaznih veliqina.

Definicija 6.7 Logiqki algebarski izraz koji predstavǉa zavisnost sle-de�eg staǌa od sadaxǌeg staǌa i spoǉaxǌeg ulaza za pojedine flip flopovesinhronog sekvencijalnog logiqkog kola je jednaqina staǌa tih flip flopova.

Jednaqina staǌa za pojedine flip flopove sinhronog sekvencijalnoglogiqkog kola se mo�e dobiti na osnovu tabele staǌa tog logiqkog kola.Na primer za flip flop A sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola saslike 6.18, na osnovu ǌegove tabele staǌa date u tabeli 6.15, vidi seda je slede�e staǌe jednako 1 kada je x = 0 I, AB = 01 ILI AB = 10ILI AB = 11, ILI kada je x = 1 I AB = 11. Ovaj zakǉuqak se mo�eizraziti u vidu algebarskog izraza kao xto sledi:

A (t + 1) =(

AB + AB + AB)

x + ABx. (6.6)

U izrazu 6.6 A (t + 1) oznaqava slede�e staǌe flip flopa A. Poslemo�eǌa radi osloba�aǌa od zagrada u izrazu 6.6 oqigledno da je A (t + 1)kao logiqka funkcija iskazano u vidu sume mintermova. Na slici 6.20 jeprikazana mapa Veiq-Karno pomo�u koje se minimizuje logiqka funkcijaA (t + 1).

Slika 6.20: Mapa Veiq-Karno za minimizovaǌe logiqke funkcijeA (t + 1) date izrazom 6.6

Minimalni oblik logiqke funkcije A (t + 1) dobijen pomo�u mapeVeiq-Karno prikazane na slici 6.20 a potom neznatno transformisanje:

A (t + 1) = Bx + (B + x) A = Bx + BxA. (6.7)

Ako se u posledǌem izrazu stavi Bx = S i Bx = R onda se dobija:

A (t + 1) = S + RA (6.8)

xto nije nixta drugo do karakteristiqna jednaqina SR flip flopa A.To pokazuje da se jednaqina staǌa nekog flip flopa u sastavu sinhronogsekvencijalnog logiqkog kola mo�e dobiti na dva naqina. Jedan naqinje kao xto je ve� pokazano uz pomo� odgovaraju�e tabele staǌa. Drugi


naqin je da se ulazi flip flopa odrede kao logiqke funkcije spoǉaxǌegulaza i sadaxǌeg staǌa a potom se tako odre�eni ulazi flip flopazamene u karakteristiqnu jednaqinu flip flopa.

Ako se na jedan ili drugi naqin odredi jednaqina staǌa flip flopaB sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola prikazanog na slici 6.18 ondase dobija:

B (t + 1) = Ax + AxB. (6.9)

Jednaqine staǌa svih flip flopova nekog sinhronog sekvencijalnoglogiqkog kola zajedno sa jednaqinom izlaza pru�aju potpuno iste infor-macije o sinhronom sekvencijalnom logiqkom kolu kao i ǌegova tabelastaǌa ili ǌegov dijagram staǌa.

Ulazi u flip flopove sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola posma-trani kao logiqke funkcije dobijaju se na osnovu kombinacionog blokakoji je sastavni deo sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola. Pri tomese preporuquje da se ulazi u flip flopove oznaqavaju sa dva slova,prvo slovo da oznaqava ime ulaza a drugo slovo da oznaqava ime flipflopa, npr. S ulaz flip flopa A da se oznaqava sa SA ili R ulaz flipflopa B da se oznaqava sa RB. Drugim reqima ovo su oznake za izlaznepromenǉive kombinacionog bloka odnosno kombinacionog logiqkog kolaiz sastava sinhronih sekvencijalnih logiqkih kola. Ove izlazne promen-ǉive kao logiqke funkcije zajedno sa logiqkom funkcijom y koja pred-stavǉa spoǉaxǌi izlaz sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola u pot-punosti opisuju kombinaciono logiqko kolo iz sastava sinhronog sekven-cijalnog logiqkog kola.

6.6 Sinteza sinhronih sekvencijalnih

logiqkih kola

Pod sintezom sinhronih sekvencijalnih logiqkih kola podrazumeva sepostupak koji je inverzan postupku analize. Kod postupka sinteze po-lazi se od tekstualnog prikaza problema tj. tekstualnog opisa radazahtevanog logiqkog kola koje treba projektovati da bi se na kraju do-bio logiqki dijagram tog logiqkog kola. Postupak sinteze mo�e da seprika�e i izlo�i algoritamski u vidu niza uzastopnih koraka kao xtosledi.

1. Tekstualni opis rada logiqkog kola

Projektant najqex�e dobija tekstualni opis rada sinhronog sekven-cijalnog logiqkog kola koje treba projektovati ili sam taj tekst-ualni opis rada pravi i odre�uje. Ovaj opis mora da bude potpunoprecizan i potpuno kompletan. Tekstualni opis rada sinhronogsekvencijalnog logiqkog kola mo�e biti pokadkad propra�en dija-gramom staǌa.

2. Odre�ivaǌe tabele staǌa

7.6. Sinteza sinhronih sekvencijalnih logiqkih kola 137

Na osnovu tekstualnog prikaza rada sinhronog sekvencijalnog logi-qkog kola odre�uje se ǌegova tabela staǌa. Posle odre�ivaǌatabele staǌa daǉi postupak sinteze je potpuno formalizovan.

3. Redukcija broja staǌa

Pri projektovaǌu sinhronih sekvencijalnih logiqkih kola kao ibilo kojih drugih logiqkih kola mora se voditi raquna o troxko-vima ǌihove fiziqke realizacije. Ovi troxkovi kod sinhronihsekvencijalnih logiqkih kola mogu se potencijalno smaǌiti kakosmaǌeǌem ukupnog broja flip flopova tako i ukupnog broja logi-qkih elemenata u kombinacionom delu. Smaǌeǌe ukupnog brojaflip flopova mo�e da nastane kao posledica smaǌeǌa broja staǌau tabeli staǌa s tim da ulazno-izlazne realacije za posmatranologiqko kolo ostanu ne promeǌene. Ovo smaǌeǌe broja staǌa seu literaturi oznaqava kao redukcija broja staǌa. Me�utim sma-ǌeǌe broja staǌa mo�e ali ne mora uvek da dovede do smaǌeǌabroja flip flopova. S druge strane ne mo�e se nixta re�i da lismaǌeǌe broja flip flopova utiqe na zakonit naqin na promenubroja logiqkih elemenata u kombinacionom delu.

Postupak redukcije broja staǌa u tabeli staǌa se prikazuje naprimeru logiqkog kola qiji dijagram staǌa je zadat i koji je pri-kazan na slici 6.21.

Slika 6.21: Dijagram staǌa logiqkog kola kod koga se redukuje brojstaǌa

Oqigledno logiqko kolo sa slike 6.21 ima jedan spoǉaxǌi ulaz ijedan spoǉaxǌi izlaz. Zbog toga su kod ǌega jedino va�ne ulazno--izlazne relacije a staǌa su va�na samo sa stanovixta obezbe-�eǌa tih ulazno-izlaznih relacija. Otuda se staǌa obele�avajuslovima. Svaki niz vrednosti ulaza u ovo logiqko kolo kojih ima


beskonaqno mnogo, daje jedinstven niz vrednosti izlaza. U tabeli6.16 prikazan je niz vrednosti izlaza uslovǉen proizvoǉno iza-branim nizom vrednosti ulaza 01010110100 iz poqetnog staǌa a.

staǌe a a b c d e f f g f g aulaz 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0izlaz 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0

Tabela 6.16: Uporedni prikaz proizvoǉnog niza vrednosti ulaza i odgo-varaju�eg niza vrednosti izlaza logiqkog kola sa dijagramom staǌa naslici 6.21

U svakoj koloni tabele 6.16 je sadaxǌe staǌe, vrednost ulaza ivrednost izlaza a slede�e staǌe je u narednoj koloni. Potrebno jeuoqiti da su staǌa ovde od sekundarne va�nosti a da su primarnevrednosti izlaza uslovǉene vrednostima ulaza.

Definicija 6.8 Dva sinhrona sekvencijalna logiqka kola od kojihjedno ima maǌi broj staǌa su ekvivalentna sa stanovixta ulazno--izlaznih relacija akko bilo koji niz vrednosti ulaza doveden u obaova logiqka kola daje na ǌihovim izlazima jednak niz vrednosti izlaza.

U tom sluqaju sinhrono sekvencijalno logiqko kolo sa ve�im bro-jem staǌa mo�e biti zameǌeno ǌegovim ekvivalentnim sinhronimsekvencijalnim logiqkim kolom sa maǌim brojem staǌa.

Tabela staǌa sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola qiji je dija-gram staǌa prikazan na slici 6.21 je tabela 6.17.

Sadaxǌe Slede�e staǌe Izlazstaǌe x = 0 x = 1 x = 0 x = 1

a a b 0 0b c d 0 0c a d 0 0d e f 0 1e a f 0 1f g f 0 1g a f 0 1

Tabela 6.17: Tabela staǌa sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola qijije dijagram staǌa prikazan na slici 6.21

Stav 6.9 Dva staǌa u tabeli staǌa su ekvivalentna akko ona za sveulaze daju jednake izlaze i ako su ǌihova slede�a staǌa za sve ulazejednaka ili ekvivalentna.

Ovaj stav se ovde ne dokazuje.


U tabeli staǌa 6.17 staǌa e i g su ekvivalentna zato xto ǌimakao sadaxǌim staǌima za vrednost ulaza x = 0 odgovaraju jednakiizlazi y = 0 i za vrednost ulaza x = 1 odgovaraju tako�e jednakiizlazi y = 1. S druge strane za vrednost ulaza x = 0 ǌihovaslede�a staǌa su jednaka i ona su a a za vrednost ulaza x = 1ǌihova slede�a staǌa su tako�e jednaka i ona su f . Zbog togase vrsta sa sadaxǌim staǌem g izostavǉa a u ostalim vrstamanaredna staǌa g se zameǌuju sa staǌima e. Posle ovog preure�i-vaǌa tabele staǌa na sliqan naqin se zakǉuquje da su staǌa d if ekvivalentna tako da se izostavǉa vrsta tabele staǌa sa sadax-ǌim staǌem f . Tabela 6.18 je redukovana tabela staǌa koja nastajekao rezultat opisanog postupka.


a a b 0 0b c d 0 0c a d 0 0d e d 0 1e a d 0 1

Tabela 6.18: Redukovana tabela staǌa nastala redukcijom tabele staǌa6.17

Odgovaraju�i dijagram staǌa posle redukcije broja staǌa prikazanje na slici 6.22.

Slika 6.22: Dijagram staǌa koji odgovara redukovanoj tabeli staǌa6.18

Mo�e se pokazati da niz vrednosti ulaza 01010110100 koji je ve�korix�en, iz istog poqetnog staǌa a, daje na izlazu sinhronogsekvencijalnog logiqkog kola sa redukovanim brojem staǌa istiniz vrednosti izlaza kao pre redukcije staǌa.

Redukcija broja staǌa u ovom sluqaju sa sedam na pet ne dovodi


do smaǌeǌa broja flip flopova tj. i pre i posle redukcije brojastaǌa koriste se tri flip flopa.

Poxto se pomo�u tri flip flopa mo�e ostvariti 23 = 8 razliqi-tih staǌa, u sluqaju pre redukcije broja staǌa ostaje jedno staǌeneiskorix�eno a u sluqaju posle redukcije broja staǌa ostaju trineiskorix�ena staǌa. Ova neiskorix�ena staǌa se pri projekto-vaǌu tretiraju kao neodre�eni sluqajevi i po�eǉno je da ih imaxto vixe kako bi mogu�nosti pri minimizovaǌu kombinacionogdela bile xto ve�e.

Me�utim postupak redukcije tabele staǌa u opxtem sluqaju mo�eda se sprovodi potpuno metodoloxki formalizovano. Kao xto jeve� pokazano redukcija tabele staǌa se zasniva na sa�imaǌu dvastaǌa u jedno ako su ona ekvivalentna. Ispitivaǌe osobine ekvi-valentnosti svakog mogu�eg para staǌa iz tabele staǌa sprovodise pomo�u tabele ekvivalentnosti. Ovaj postupak prikazuje se zatabelu staǌa u primeru 6.2.

Primer 6.2 Pomo�u tabele ekvivalentnosti ispitati osobinu ek-vivalentnosti svakog para staǌa iz tabele staǌa date u tabeli6.19.


a d b 0 0b e a 0 0c g f 0 1d a d 1 0e a d 1 0f c b 0 0g a e 1 0

Tabela 6.19: Tabela staǌa sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola izprimera 6.2

Tabela ekvivalentnosti je data u tabeli 6.20.

b d, eXc × ×

d × × ×

e × × × X

f c, d× c, e; a, b× × × ×

g × × × d, eX d, eX ×

a b c d e f

Tabela 6.20: Tabela ekvivalentnosti za tabelu staǌa iz primera 6.2

Kao xto se vidi iz tabele 6.20 u zaglavǉu vrsta tabele ekvivalent-nosti su idu�i odozgo nadole staǌa u rastu�em poretku s tim da je


prvo staǌe ”a” izostavǉeno. U zaglavǉu kolona su idu�i sleva nadesno staǌa tako�e u rastu�em poretku pri qemu je zadǌe staǌe ”g”izostavǉeno. Svakom poǉu ove tabele odgovara po jedan par staǌa ato su staǌa koja se nalaze u zaglavǉu vrste i zaglavǉu kolone u qijempreseku se nalazi posmatrano poǉe. Imaju�i u vidu definiciju ekvi-valentnosti dva staǌa, prvo se pronalaze svi oni parovi staǌa kojinisu ekvivalentni po osnovu nejednakosti izlaza za neke od ulaza i uodgovaraju�e poǉe za taj par staǌa se upisuje znak ×.

U drugom koraku pronalaze se parovi staǌa koji imaju osobinu kaoxto imaju sadaxǌa staǌa a i f . Ova staǌa imaju jednake izlaze zasve ulaze, za vrednost ulaza x = 1 ǌihova slede�a staǌa su im jed-naka i to je staǌe ”b” a za vrednost ulaza x = 0 slede�a staǌa suim razliqita i to su staǌa ”d” i ”c”. U ovakvoj situaciji ka�ese da par staǌa (a, f) sadr�i par (c, d). Sadr�ani par se unosi upoǉe tabele ekvivalentnosti koje odgovara paru (a, f). Pronalazese svi sadr�ani parovi i unose u odgovaraju�a poǉa. U sluqaju dasu staǌa d i c ekvivalentna onda to povlaqi da su i staǌa a i fekvivalentna i obrnuto. Zbog toga se ispituje osobina ekvivalent-nosti sadr�anih parova i ako se utvrdi da sadr�ani par nije ek-vivalentan, kao xto je sluqaj sa parom (c, d), onda se u poǉe u komese nalazi razmatrani sadr�ani par upisuje znak ×. To znaqi da parstaǌa kome odgovara poǉe u koje je unet znak × nije ekvivalentan.U sva preostala poǉa unosi se znak X koji oznaqava ekvivalent-nost odgovaraju�ih parova. Sada na kraju kao tre�i korak mogu�e jeutvrditi koji preostali sadr�ani porovi su ekvivalentni pa se upoǉa u kojima su ti sadr�ani parovi tako�e unosi znak Xxto znaqida je ekvivalentan i par koji odgovara poǉu u koje je unet navedeniznak. Na osnovu tabele ekvivalentnosti 6.20 dobija se da su ekviva-lentni parovi:

(a, b) , (d, e) , (d, g) , (e, g) . (6.10)

Od vixe parova ekvivalentnih staǌa mogu da se formiraju xire grupeekvivalentnih staǌa, npr. od zadǌa tri para u 7.17 formira se triplekvivalentnih staǌa (d, e, g). Konaqno, kao rezultat ispitivaǌa ek-vivalentnosti staǌa u tabeli staǌa iz primera 7.3.3 dobija se:

(a, b) , (c) , (d, e, g) , (f) (6.11)

tj. par ekvivalentnih staǌa (a, b), tripl (d, e, g) ekvivalentnihstaǌa, i staǌa (c) i (f) koja nisu ekvivalentna sa drugim staǌima.To znaqi da se razmatrana tabela staǌa mo�e redukovati na qetirivrste.

4. Binarno definisaǌe staǌa

U sluqaju da su staǌa u tabeli staǌa oznaqena slovima onda sesprovodi ǌihovo binarno definisaǌe. Tamo gde postoje spoǉa-xǌi izlazi i gde je od primarnog znaqaja odnos izme�u ulaza iizlaza, kao xto su ovde razmatrana logiqka kola, slika 6.21 i


tabela 6.19, binarno definisaǌe staǌa je u drugom planu i odsekundarnog znaqaja. Suprotno, kada kod sinhronog sekvencijalnoglogiqkog kola ne postoje spoǉaxǌi izlazi ve� se kao izlazi celoglogiqkog kola smatraju izlazi flip flopova, binarno definisaǌestaǌa je od izuzetne va�nosti. I u jednom i u drugom sluqaju bi-narno definisaǌe staǌa utiqe na slo�enost kombinacionog blokasinhronog sekvencijalnog logiqkog kola. Za sinhrono sekvenci-jalno logiqko kolo qija je redukovana tabela staǌa data u tabeli6.18 daju se prvo tri potpuno ravnopravne razliqite varijante bi-narnog definisaǌa staǌa u tabeli 6.21 a potom se za usvojenu prvuvarijantu daje tabela staǌa u kojoj su staǌa binarno definisana,tabela 6.22.

Staǌe Varijanta1 2 3

a 001 000 000b 010 010 100c 011 011 010d 100 101 101e 101 111 011

Tabela 6.21: Tri varijante binarnog definisaǌa staǌa u redukovanojtabeli staǌa 6.18

Sadaxǌe Slede�e staǌe Izlazstaǌe x = 0 x = 1 x = 0 x = 1001 001 010 0 0010 011 100 0 0011 001 100 0 0100 101 100 0 1101 001 100 0 1

Tabela 6.22: Redukovana tabela staǌa 6.17 sa binarno definisanimstaǌima

5. Broj flip flopova i ǌihovo oznaqavaǌe

Sa m flip flopova u sinhronom sekvencijalnom logiqkom kolumo�e da se ostvari maksimalno 2m razliqitih staǌa ovog logiqkogkola. Ako je broj staǌa maǌi od 2m onda postoje neiskorix�enastaǌa koja se tretiraju kao neodre�eni sluqajevi pri projektovaǌukombinacionog dela ovog logiqkog kola.

6. Izbor tipa flip flopova

U praksi se najqex�e bira JK flip flop mada ne postoji ograni-qeǌe za izbor i drugih tipova flip flopova.

7. Formiraǌe Pobudne i tabele izlaza


Pobudna i tabela izlaza sinhronog sekvencijalnog logiqkog kolaformira se na osnovu ǌegove tabele staǌa. Iz razloga pojednosta-vǉeǌa ovaj postupak se pokazuje na primeru novo uvedenog sinhronogsekvencijalnog logiqkog kola qiji je dijagram staǌa prikazan naslici 6.23.

Slika 6.23: Dijagram staǌa sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola zakoje se daje postupak formiraǌa pobudne i tabele izlaza

Ovo logiqko kolo nema spoǉaxǌih izlaza pa se spoǉaxǌim izlaz-ima mogu smatrati izlazi flip flopova. S druge strane logiqkokolo ima samo jedan ulaz oznaqen sa x i qetiri staǌa xto znaqida su potrebna dva flip flopa A i B da bi se ostvarila sva ovastaǌa. Koriste se JK flip flopovi. Na osnovu zadatog dijagramastaǌa dobija se tabela staǌa koja je prikazana u tabeli 6.23.

Sadaxǌe Slede�e staǌestaǌe x = 0 x = 1A B A B A B0 0 0 0 0 10 1 1 0 0 11 0 1 0 1 11 1 1 1 0 0

Tabela 6.23: Tabela staǌa sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola qijije dijagram staǌa na slici 6.23

U prvu kolonu pobudne tabele, poxto se ovde radi samo o pobud-noj tabeli jer nema spoǉaxǌih izlaza, unose se sadaxǌa staǌazajedno sa spoǉaxǌim ulazom, u drugu kolonu se unose slede�a


staǌa a u tre�u kolonu unose se ulazi flip flopova koji obezbe-�uju prikazane prelaze staǌa. Tabela 6.24 je pobudna tabela raz-matranog logiqkog kola.

Ulaz kombinacionog dela Slede�e Izlaz kombinacionog delaSadaxǌe staǌe Ulaz staǌe Ulazi flip flopova

A B x A B JA KA JB KB0 0 0 0 0 0 – 0 –0 0 1 0 1 0 – 1 –0 1 0 1 0 1 – – 10 1 1 0 1 0 – – 01 0 0 1 0 – 0 0 –1 0 1 1 1 – 0 1 –1 1 0 1 1 – 0 – 01 1 1 0 0 – 1 – 1

Tabela 6.24: Pobudna tabela sinhronog sekvencijalnog logiqkog kolaqija je tabela staǌa tabela 6.23

Potkolone JA, KA, JB, KB popuǌavaju se na osnovu pobudne tabeleJK flip flopa za odgovaraju�e prelaze staǌa. Npr. u prvoj vrstipobudne tabele ostvaruje se prelaz iz sadaxǌeg staǌa A = 0 uslede�e staǌe tako�e A = 0 flip flopa A pobudom JA = 0 iKA = − gde crtica oznaqava kao i ranije neodre�enu vrednost.U opxtem sluqaju ako sinhrono sekvencijalno logiqko kolo ima mflip flopova od kojih svaki ima k ulaza, n spoǉaxǌih ulaza i jspoǉaxǌih izlaza onda pobudna i tabela izlaza tog logiqkog kolaima m + n potkolona u prvoj koloni, m potkolona u drugoj koloni,mk potkolona u tre�oj koloni i j potkolona u qetvrtoj koloni.Broj vrsta u ovoj tabeli tada je 2m+n.

Imaju�i u vidu strukturu sinhronih sekvencijalnih logiqkih kola,strukturni dijagram razmatranog logiqkog kola je prikazan naslici 6.24.

Slika 6.24 pokazuje da su ulazi u kombinacioni deo sinhronogsekvencijalnog logiqkog kola sadaxǌe staǌe AB i spoǉaxǌi ulazx a ǌegovi izlazi su ulazi flip flopova A i B koji ih pobu�uju.

Prva i tre�a kolona pobudne tabele 6.24 su tako organizovane dapredstavǉaju tabelu vrednosti kombinacionog dela.

8. Minimizovaǌe logiqkih funkcija kombinacionog dela

Mape Veiq-Karno za minimizovaǌe logiqkih funkcija JA, KA, JB,KB koje su izlazne promenǉve kombinacionog dela su prikazane naslikama 6.25 do 6.28 a same minimizovane logiqke funkcije su dateizrazima 6.12 do 6.15.


Slika 6.24: Strukturni dijagram sinhronog sekvencijalnog logiqkogkola qija je pobudna tabela, tabela 6.24

Slika 6.25: Mapa Veiq-Karno za minimizovaǌe logiqke funkcije JA

Slika 6.26: Mapa Veiq-Karno za minimizovaǌe logiqke funkcije KA


Slika 6.27: Mapa Veiq-Karno za minimizovaǌe logiqke funkcije JB

Slika 6.28: Mapa Veiq-Karno za minimizovaǌe logiqke funkcije KB

JA = Bx (6.12)

KA = Bx (6.13)

JB = x (6.14)

KB = A � x (6.15)

9. Izrada logiqkog dijagrama

Na osnovu dobijenih logiqkih funkcija JA, KA, JB, KB iz 8. ina osnovu slike 6.24 dobija se logiqki dijagram koji je prikazanna slici 6.29.

6.7 Sinteza sinhronih sekvencijalnih logiqkih

kola kada nisu iskorix�ena sva staǌa

Postupak sinteze sinhronih sekvencijalnih logiqkih kola kada nisuiskorix�ena sva staǌa pokazuje se na konkretnom primeru.

Primer 6.3 Projektovati sinhrono sekvencijalno logiqko kolo qija jetabela staǌa ve� data tabelom 6.22. Pri tome koristiti SR flipflopove.

Tu je iskorix�eno pet od osam staǌa. Neiskorix�ena staǌa se posma-traju kao neodre�eni sluqajevi. Odgovaraju�a pobudna i tabela izlaza je

7.7. Sinteza SS logiqkih kola kada nisu iskorix�ena sva staǌa 147

Slika 6.29: Logiqki dijagram sinhronog sekvencijalnog logiqkog koladobijen na osnovu pobudne tabele 6.24

Sadaxǌe Ulaz Slede�e Ulazi Izlazstaǌe staǌe flip flopova

A B C x A B C SA RA SB RB SC RC y0 0 1 0 0 0 1 0 – 0 – – 0 00 0 1 1 0 1 0 0 – 1 0 0 1 00 1 0 0 0 1 1 0 – – 0 1 0 00 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 – 00 1 1 0 0 0 1 0 – 0 1 – 0 00 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 01 0 0 0 1 0 1 – 0 0 – 1 0 01 0 0 1 1 0 0 – 0 0 – 0 – 11 0 1 0 0 0 1 0 1 0 – – 0 01 0 1 1 1 0 0 – 0 0 – 0 1 1

Tabela 6.25: Pobudna tabela sinhronog sekvencijalnog logiqkog kolaiz primera 6.3

data tabelom 6.25. Mape Veiq-Karno za minimizovaǌe logiqkih funkcijaSA, RA, SB, RB, SC, RC, y prikazane su na slikama 6.30 do 6.36 a sameminimizovane logiqke funkcije su date izrazima 6.16 do 6.22.

SA = Bx (6.16)

RA = Cx (6.17)

SB = ABx (6.18)

RB = BC + Bx (6.19)

SC = x (6.20)

RC = x (6.21)

y = Ax. (6.22)


Slika 6.30: Mapa Veiq-Karno za minimizovaǌe logiqke funkcije SA

Slika 6.31: Mapa Veiq-Karno za minimizovaǌe logiqke funkcije RA

Slika 6.32: Mapa Veiq-Karno za minimizovaǌe logiqke funkcije SB

7.7. Sinteza SS logiqkih kola kada nisu iskorix�ena sva staǌa 149

Slika 6.33: Mapa Veiq-Karno za minimizovaǌe logiqke funkcije RB

Slika 6.34: Mapa Veiq-Karno za minimizovaǌe logiqke funkcije SC

Slika 6.35: Mapa Veiq-Karno za minimizovaǌe logiqke funkcije RC


Slika 6.36: Mapa Veiq-Karno za minimizovaǌe logiqke funkcije y

Npr. jedno od neiskorix�enih staǌa je 110 koje u kombinaciji sa ula-zom x = 0 daje binarni ekvivalent 1100 minterma x1x2x3x4. Pozicijaovog minterma je u mapama Veiq-Karno prikazana strelicom. Sve logiqkefunkcije imaju neodre�enu vrednost na ovom mintermu. Logiqki dijagramrazmatranog logiqkog kola prikazan je na slici 6.37.

Poqetno staǌe sinhronog sekvencijalnog logiqkog kola koje je karak-teristiqno posle ǌegovog ukǉuqivaǌa postavǉa se asinhrono pri qemuse obiqno uzima da to poqetno staǌe bude staǌe 0 svih flip flopova.Kod ovakvih logiqkih kola gde nisu iskorix�ena sva staǌa postoje dvenepo�eǉne mogu�nosti, jedna da poqetno staǌe bude jedno od neiskorix-�enih staǌa i druga mogu�nost da zbog dejstva poreme�aja u toku radalogiqko kolo u�e u neiskorix�eno staǌe. U takvim situacijama glavnopitaǌe je kako �e logiqko kolo da se ponaxa kada se na�e u neiskorix-�enom staǌu. Nije po�eǉno da do�e do oscilovaǌa izme�u neiskorix�enihstaǌa odnosno po�eǉno je da logiqko kolo samo pre�e iz neiskorix�enogstaǌa u iskorix�eno staǌe. Dobar projektant obavezno �e analiziratiuticaj neiskorix�enih staǌa na rad logiqkog kola.

U razmatranom primeru neiskorix�ena staǌa su: 000, 110 i 111. Pomo-�u ve� prikazanih mapa Veiq-Karno mogu se odrediti prelazi iz neiskorix-�enih staǌa. Npr. za neiskorix�eno staǌe 000 kao sadaxǌe staǌe i vred-nost spoǉaxǌeg ulaza x = 1 dobija se da je SB = 1 i RC = 1 xto znaqida je slede�e staǌe 010 a to je iskorix�eno staǌe. Kompletnom anal-izom svih mogu�ih prelaza iz neiskorix�enih staǌa dobija se proxirenidijagram staǌa zajedno sa neiskorix�enim staǌima. Taj dijagram staǌaprikazan je na slici 6.38.

Uvidom u dijagram staǌa prikazan na slici 6.38 mo�e se zakǉuqiti dase radi o samostartuju�em i samopodexavaju�em logiqkom kolu. Samostar-tuju�e logiqko kolo ako kojim sluqajem ima za poqetno staǌe neiskorix-�eno staǌe iz ǌega prelazi u neko od iskorix�enih staǌa. Sliqno, samopo-dexavaju�e logiqko kolo ako u toku svog rada u�e u neko neiskorix�enostaǌe iz ǌega prelazi u neko od iskorix�enih staǌa.

7.8. Sinteza SS logiqkih kola pomo�u jednaqina staǌa 151

Slika 6.37: Logiqki dijagram sinhronog sekvencijalnog logiqkog kolaiz primera 6.3

Slika 6.38: Dijagram staǌa proxiren neiskorix�enim staǌima zalogiqko kolo iz primera 6.3


6.8 Sinteza sinhronih sekvencijalnih logiqkih

kola pomo�u jednaqina staǌa

Nasuprot do sada pokazanom postupku projektovaǌa sinhronih sekvenci-jalnih logiqkih kola postoji i postupak projektovaǌa pomo�u jednaqinastaǌa. Ovaj postupak se koristi u sluqaju kada se jednaqine staǌa lakodobijaju na osnovu tabele staǌa ili kada su unapred poznate. U ovakvompostupku projektovaǌa uglavnom se koriste dva tipa flip flopova, Dkada su izrazi u jednaqinama staǌa relativno jednostavni i JK flipflop u ostalim sluqajevima. Korix�eǌe ovih tipova flip flopova jeilustrovano slede�im primerima.

Primer 6.4 Za sinhrono sekvencijalno logiqko kolo koje ima dva flipflopa A i B tipa D i jedan spoǉaxǌi ulaz x odrediti ulaze flip flopovaako su jednaqine staǌa ovog logiqkog kola date jednaqinama 6.23 i 6.24.

A (t + 1) =∑

3

(2, 4, 5, 6) (6.23)

B (t + 1) =∑

3

(1, 3, 5, 6) (6.24)

Imaju�i u vidu karakteristiqnu jednaqinu D flip flopa i gorǌe jednaqinestaǌa posle minimizovaǌa se dobija da su ulazi flip flopova:

DA =∑

3

(2, 4, 5, 6) = AB + Bx (6.25)

DB =∑

3

(1, 3, 5, 6) = Ax + Bx + ABx. (6.26)

Primer 6.5 Projektovati sinhrono sekvencijalno logiqko kolo sa JK flipflopovima tako da budu zadovoǉene ǌegove slede�e jednaqine staǌa:

A (t + 1) = ABCD + ABC + ACD + ACD =

=(

BCD + BC)

A +(

CD + CD)

(6.27)

B (t + 1) = AC + CD + ABC =(

AC + CD)

B +

+(

AC + CD + AC)

B (6.28)

C (t + 1) = B = BC + BC (6.29)

D (t + 1) = D = 1 · D + 0 · D. (6.30)

Imaju�i u vidu karakteristiqnu jednaqinu JK flip flopa i prikazane jed-

7.8. Sinteza SS logiqkih kola pomo�u jednaqina staǌa 153

naqine staǌa ulazi flip flopova su:

JA = BCD + BC = BC (6.31)

KA = CD + CD = CD + CD (6.32)

JB = AC + CD (6.33)

KB = AC + CD + AC = AC + AD (6.34)

JC = B (6.35)

KC = B (6.36)

JD = 1 (6.37)

KD = 1. (6.38)

Vidi se da je pre odre�ivaǌa ulaza u flip flopove neophodno date jedna-qine staǌa uz pomo� algebarskih transformacija dovesti na oblik kojiima formu karakteristiqne jednaqine JK flip flopa. Algebarski izrazikoji posle ovakvih transformacija u jednaqinama staǌa imaju pozicijupromenǉivih J i K iz karakteristiqne jednaqine JK flip flopa u pot-punosti odre�uju odgovaraju�e ulaze flip flopova.

logiqke funkcije - university of...

Documents