lokmat[1]

8/17/2019 LOKMAT[1]

1/7

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Banyak sifat dan teorema yang ketika sekolah dulu kita gunakan tanpa

tahu asal usul pembuktiannya, tapi ketika kita kuliah di matematika, sudah tidak

asing lagi dengan pembuktian sifat-sifat atau teorema. Hampir semua rumus yang

berlaku di matematika selalu dapat dibuktikan berdasarkan definisi-definisi

maupun rumus-rumus lain yang sudah dibuktikan kebenarannya. Banyak rumus-

rumus sederhana yang sering kita gunakan tanpe memikirkan pembuktiannya.

Untuk membuktikannya tidak lepas dari teknik yang digunakan. Teknik yang

biasa digunakan yaitu teknik Pembukitan Langsung, teknik Tidak Langsung

dan Induksi Matematika. Tulisan ini akan membahas sedikit tentang teknik

pembuktian langsung.

B. Rumusan Masalah

1. pa itu pembuktian langsung !

2. Bagaimana "ara pembuktian langsung !

C. Tujuan

#. Memperkenalkan apa itu pe,buktian langsumg, sekaligus diberikan

"ontoh-"ontohnya.

$. Memperkenalkan metode-metode pembuktian langsung, sehingga dapat

membuktikan berbagai theorema yang ada.

BAB II

Pembuktian Langsung| 1

http://aimprof08.wordpress.com/2012/08/15/pembuktian-dengan-induksi-matematika/http://aimprof08.wordpress.com/2012/08/15/pembuktian-dengan-induksi-matematika/

8/17/2019 LOKMAT[1]

2/7

PEMBAHAAN

A. De!"n"s"

Bukti langsung adalah salah satu "ara pembuktian sifat atau teorema

matematika dengan penarikan kesimpulan dengan memanfaatkan silogisme,

modus ponens dan modus tollens. %e"ara logika pembuktian & benar se"ara

langsung atau ekui'alen dengan membuktikan bah(a pernyataan & benar dimana

diketahui p benar.

Metode pembuktian langsung adalah suatu proses pembuktian

pembuktian menggunakan alur ma)u, mulai dari hipotesis dengan menggunakan

implikasi logi" sampai pada pernyataan kesimpulan. Hukum-hukum dalam

matematika pada umumnya berupa proposisi atau pernyataan berbentuk implikasi

*p &+ atau biimplikasi *p &+ atau pernyataan kuantifikasi yang dapat diubah

bentuknya men)adi pernyataan implikasi. Misal kita punya teorema p &, dengan

p disini sebagai hipotesis yang digunakan sebagai fakta yang diketahui atau

sebagai asumsi. %elan)utnya, dengan menggunakan p kita harus menun)ukkan

bah(a berlaku &.

B. Met#$e Pem%ukt"an Langsung

alam metode ini hal-hal yang diketahui tengtang suatau teorema

diturunkan se"ara langsung dengan teknik-teknik tertentu sampai ter"apai

kesimpulan yang diinginkan.

ontoh

1. Met#$e Penge&ekan atu Per atu

Buktikan bah(a untuk semua bilangan genap n antara / dan $0, n dapat

dinyatakan sebagai )umlahan $ bilangan prima !

Bukt" '

engan melakukan penge"ekan satu per satu, maka di peroleh

/ 1 $ 2 $ 3 14 24 5 1 42 6 #0 1 626 #$ 1 726

#/ 1 4 2 ## #31## 26 #5 1## 2 7 $0 1 72#4


8/17/2019 LOKMAT[1]

3/7

Terlihat bah(a semua bilangan genap n */ 8 9 8 $0+ dapat dinyatakan

sebagai pen)umlahan dua bilangan prima.

2. Met#$e Penge&ekan e&ara Umum

Buktikanlah bah(a )umlah $ bilangan genap adalah genap

Bukt"k'

mbil sembarang 9 dan y adalah bilangan genap. kan dibuktikan bah(a

92y adalah bilangan bulat *)uga+.

:arena 9 dan y adalah bilangan-bilangan bulat, maka 91$0m dan y1$n

untuk bilangan-bilangan bulat m dan n, sehingga

9 2 y 1 $m2$n

1 $ *m2n+ sifat distributif Misalkan k 1 m 2 n

:arena m dan n adalah bilangan-bilangan bulat )uga maka k adalah

bilangan bulat, sehingga * 92 y+ 1 $k untuk semua bilangan bulat k.

Berdaasarkan definisi bilangan genap berarti bah(a * 9 2 y+ merupakan

bilangan bulat karena merupakan hasil kali $ bilangan bulat. Terbukti

bah(a )umlah $ bilangan bulat genap adalah bilangan genap *)uga+.

(. Met#$e)met#$e $engan kasus)kasus

Untuk sembarang bilangan rill 9, buktikan bah(a )ika I9I ; /, maka x2

;

#3.

Bukt"'

kan dibuktikan bah(a x2

; #3

I9I ; / berarti bah(a 9 ; / atau 9 < -/

=ika 9 ; /, maka x2

; 42=¿ #3

=ika 9 < -/ berarti >9 ; /, sehingga *-9+$ ; 42

atau 9$ ; #3

=adi, baik 9 ; / maupun 9 < -/, x2

; #3

Terbukti bah(a )ika I9I ; /, maka x2

; #3

C. C#nt#h #al $an Pem%ahasan

1. C#nt#h 1 '

Buktikan bah(a )ika a membagi b dan b membagi " maka a membagi "

dengan a, b, dan " bilangan bulat.

Bukt" '

a ? b artinya b 1 ka untuk suatu k @ *i+

b ? " artinya " 1 lb untuk suatu l @ *ii+

akan dibuktikan bah(a " 1 ma untuk suatu m


8/17/2019 LOKMAT[1]

4/7

substitusi *i+ ke *ii+, sehingga diperoleh

" 1 lb 1 l*ka+ 1 *lk+a

karena lk adalah perkalian bilangan bulat yang hasilnya bilangan bulat

)uga *sifat tertutup perkalian bilangan bulat+, maka ambil m 1 lk untuk

dengan m , sehingga diperoleh

" 1 ma untuk suatu m

2. C#nt#h 2 '

Buktikan bah(a a 2 b bilangan gan)il )ika dan hanya )ika a

atau b bilangan gan)il dengan a dan b bilangan bulat.

Bukt" '

Pernyataan diatas ekui'alen dengan

*i+ )ika a 2 b bilangan gan)il maka a atau b bilangan gan)il

*ii+ *ii+ )ika a atau b bilangan gan)il maka a 2 b bilangan gan)il.

=adi pada pembuktian ini kita akan membuktiaan *i+ dan *ii+.

Bukt" %ag"an *"+

misalkan a dan b bilangan bulat sebarang dan a 2 b bilangan gan)il.

akan dibuktikan a atau b bilangan gan)il.

tanpa mengurangi perumuman akan dibuktikan a gan)il

klaim b bilangan genap *b 1 $m untuk suatu m +

a 2 b bilangan gan)il

a 2 b 1 $k 2 # untuk suatu k

substitusi b 1 $m sehingga diperoleh

a 2 $m 1 $k 2 #

a 1 $k > $m 2 # 1 $*k > m+ 2 #

karena tertutup terhadap operasi pengurangan, maka ambil

l 1 k > m, sehingga diperoleh

a 1 $l 2 #

)adi a bilangan gan)il

selan)utnya akan dibuktikan b bilangan gan)il

klaim a bilangan genap *a 1 $p untuk suatu p +

a 2 b bilangan gan)il

a 2 b 1 $& 2 # untuk suatu k

substitusi a 1 $p sehingga diperoleh


8/17/2019 LOKMAT[1]

5/7

$p 2 b 1 $& 2 #

b 1 $& > $p 2 # 1 $*p > &+ 2 #

karena tertutup terhadap operasi pengurangan, maka ambil r 1 p > &,

sehingga diperoleh

b 1 $r 2 #

)adi b bilangan gan)il

Bukt" %ag"an *""+

misal a dan b bilangan bulat sebarang dan a bilangan gan)il *a 1 $m 2 #

untuk suatu m + dan b bilangan genap *b 1 $n untuk suatu n +.

%ehingga

a 2 b 1 $m 2 # 2 $n 1 $*m 2 n+ 2 #

karena tertutup terhadap operasi pen)umlahan bilangan bulat, ambil p 1 m

2 n, sehingga

a 2 b 1 $p 2 # untuk suatu p

)adi a 2 b bilangan gan)il

(. C#nt#h ('

Buktikan bah(a perkalian tiga bilangan asli berurutan habis dibagi 4

Bukt" '

misal tiga bilangan asli berurutan didefinisikan sebagai n,

n 2 # dan n 2 $ untuk suatu n dan perkalian tiga

bilangan asli adalah . isini kita akan menggunakan 4 kasus, yaitu 4k,

4k 2 #, 4k 2 $

*i+ 1 *n+*n 2 #+*n 2 $+

1 *4k+*4k 2 #+*4k 2 $+

1 4k*Ak $

2 Ak 2 $+ 1 4*Ak 4 2 Ak 2 4+

adalah bilangan kelipatan 4

*ii+ 1 *n+*n 2 #+*n 2 $+

1 *4k 2 #+*4k 2 # 2 #+*4k 2 # 2 $+

1 *4k 2 #+*4k 2 $+*4k 2 4+

1 *4k 2 #+*Ak $ 2 #6k 2 3+

1 $7k 4 2 6/k $ 2 $#k 2 3

1 4*Ak 4 2 #5k 42 7k 2 $+


*iii+ 1 *n+*n 2 #+*n 2 $+


8/17/2019 LOKMAT[1]

6/7

C

BA

D

Perhatikan ∆ ABC dan DBA

u (siku-siku)

u (sudut yang sama)

Kesimpulan ∆ ABC dan DBA sebangun

1 *4k 2 $+*4k 2 $ 2 #+*4k 2 $ 2 $+

1 *4k 2 $+*4k 2 4+*4k 2 /+

1 *4k 2 $+*Ak $ 2 $#k 2 #$+ 1 $7k 4 2 5#k $ 2 75k 2 $/

1 4*Ak 4 2 $7k $ 2 $3k 2 5+


dari *i+, *ii+, dan *iii+ terlihat bah(a merupakan

bilangan kelipatan 4 berakibat habis dibagi 4.

4. Contoh 4 :Diketahui segitiga ABC siku-siku di A . Dari titik A dibuat garis

tegaklurus BC. Buktikan segitiga ABC sebangun dengan segitiga DBABukti:


8/17/2019 LOKMAT[1]

7/7

BAB III

PENUTUP

A. ,es"m-ulan

Hampir semua rumus yang berlaku di matematika selalu dapat dibuktikan

berdasarkan definisi-definisi maupun rumus-rumus lain yang sudah dibuktikan

kebenarannya. Banyak rumus-rumus sederhana yang sering kita gunakan tanpememikirkan pembuktiannya. Untuk membuktikannya tidak lepas dari teknik yang

digunakan. %alah satu teknik yang biasa digunakan yaitu teknik Pembukitan

Langsung.

Metode pembuktian langsung adalah suatu proses pembuktian pembuktian

menggunakan alur ma)u, mulai dari hipotesis dengan menggunakan implikasi

logi" sampai pada pernyataan kesimpulan.

B. aran

iharapkan kedepannya makalah ini dapat dikengembangkan agarlebih

sederhana dan lebih mudah dimengerti. iharapkan mahasis(a dapat memahamai

mata kuliah logika matematika khususnya pada pembahasan pembuktian langsung

ini dan mengaplikasikannya dalam kehidupan nyata.


lokmat[1]

Documents