Los Cuasicristales.

Indice:

Cuasicristales..................................................................................................................................................1Embaldosado/Teselación de Penrose.....................................................................................................3La Cadena de Fibonacci..............................................................................................................................6La Proporción Aúrea; los numeros de oro..........................................................................................8Patrones Girih: Mosaicos de la arquitectura árabe......................................................................10Patrón de Kamal Ali...................................................................................................................................12Conclusión....................................................................................................................................................13Bibliografia...................................................................................................................................................14

Cuasicristales.

En 1984 los cristalógrafos, físicos del estado sólido y científicos en general, vieron como el universo de sus creencias más sagradas se colapsaba cuando investigadores del National Bureau of Standards de los EEUU hicieron público el descubrimiento de un nuevo material cuyas propiedades parecían invalidar el teorema que existía entonces. El nuevo material que consistía en una aleación de aluminio y manganeso enfriado muy rápidamente (millones de grados por segundo) poseía orden a largo alcance como los cristales ordinarios y sin embargo contaba también con varios ejes de simetría quinaria. De hecho, el nuevo tipo de material, que fue rápidamente bautizado como cuasicristal, tenía los mismos elementos de simetría rotacional que el icosaedro (mostrado en la figura 4) y que son 6 ejes quinarios que lo atraviesan pasando por el centro y seis pares opuestos de sus 12 vértices, 10 ejes ternarios que pasan por el centro de sus 20 caras triangulares y 15 ejes binarios que atraviesan los centros de sus 30 aristas. En razón de su simetría, la nueva fase fue llamada fase icosaedral o fase I. Un cuasicristal es una forma estructural que es ordenada pero no periódica. Se forman patrones que llenan todo el espacio aunque tienen falta de simetría traslacional. Mientras que los cristales, de acuerdo al clásico teorema de restricción cristalográfica, pueden poseer solo simetrías rotacionales de 2, 3, 4, y 6 pliegues, el patrón de difracción de Bragg de los cuasicristales muestra picos agudos con otros órdenes de simetría, por ejemplo de 5 pliegues. Originalmente, la nueva forma de materia, los cuasicristales, fueron llamados "Shechtmanita"en honor Shechtman en su descubrimiento que tomó años para ganar legitimidad científica. Desde el descubrimiento original de Shechtman, cientos de cuasicristales han sido reportados y confirmados. Indudablemente, los cuasicristales no son más una forma única de sólidos; ellos existen universalmente en muchas aleaciones metálicas y algunos polímeros. Los cuasicristales se encuentras más a menudo en aleaciones de aluminio (Al-Li-Cu, Al-Mn-Si, Al-Ni-Co, Al-Pd-Mn, Al-Cu-Fe, Al-Cu-V, etc.), Pero otras numerosas composiciones son también conocidas (Cd-Yb, Ti-Zr-Ni, Zn-Mg-Ho, Zn-Mg-Sc, In-Ag-Yb, Pd-U-Si, etc.). En teoría, hay dos tipos de cuasicristales. El primer tipo, los cuasicristales poligonales (dihedros), tienen un eje de simetría local de 8, 10, o 12 pliegues (cuasicristales octagonales, decagonales, o dodecagonales, respectivamente). Ellos son periódicos a lo largo de este eje y cuasiperiódicos en los planos normales a él. El segundo tipo, los cuasicristales icosaédricos, son aperiódicos en todas las direcciones.Con respecto a su estabilidad térmica, se distinguen tres tipos de cuasicristales,[

• Cuasicristales estables crecidos por lento enfriamiento o fundido con subsecuente recocido, • Cuasicristales metaestables preparados por fusión-giro (melt-spinning), y • Cuasicristales metaestables formados por la cristalización de la fase amorfa.

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Excepto por el sistema Al–Li–Cu, todos los cuasicristales estables son casi libres de defectos y desorden, como es evidenciado por difracción de rayos X y difracción de electrones revelando ancho de picos tan agudos como los de cristales perfectos como el silicio. Los patrones de difracción exhiben simetrías de cinco pliegues, tres pliegues, y de dos pliegues, y las reflexiones son ordenadas cuasiperiódicamente en tres dimensiones. El origen del mecanismo de estabilización es diferente para los cuasicristales estables y metaestables. Sin embargo, hay una característica común observada en la mayoría de los cuasicristales que forman aleaciones líquidas o sus líquidos subenfriados: un orden local icosaédrico. El orden icosaédrico está en equilibrio en el estado líquido para los cuasicristales estables, mientras que el orden icosaédrico prevalece en el estado líquido subenfriado para los cuasicristales metaestables.

Fotos de estructira cuasicristalina y de un cuasicristal.

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Embaldosado/Teselación de Penrose.

Una Teselación de Penrose o suelo de baldosas de Penrose es una teselación no periódica generada por un conjunto aperiódico de baldosas prototipo nombradas en honor a Roger Penrose, quien investigó esos conjuntos en la década de los 70. Debido a que todas las teselaciones obtenidas con las baldosas de Penrose son no periódicas, las teselaciones de Penrose han sido consideradas como teselaciones aperiódicas. Entre el infinito número de posibles teselaciones hay dos que poseen eje de simetría y una simetría rotacional de orden cinco y el término de Teselación de Penrose usualmente se refiere a esos.Un teselación de Penrose tiene varias propiedades remarcables, la mayoría son notables:

• Es no periódica, lo cual significa que carece de simetría translacional alguna. Dicho de manera informal, una copia desplazada nunca concordará con el original de forma exacta.

• Cualquier región finita en una teselación aparece un número infinito de veces en esa teselación y de hecho, en cualquier otra teselación. Esta propiedad podría ser trivialmente verdadera en una teselación con simetría translacional, pero es no trivial cuando se aplica en las teselaciones no periódicas de Penrose.

• Es un cuasicristal: implementadolo como una estructura física una teselación de Penrose producirá una difracción de Bragg, el difragtograma revela la simetría subyacente de orden cinco y el orden en un margen amplio. Este orden refleja el factor por el cual la teselación está organizada, no a través de simetría rotacional, pero si a través de un proceso algunas veces llamado “deflación” o “inflación”.

Una teselación de Penrose.

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La teselación de Penrose original fue propuesta en 1974 en un documento titulado el papel de la estética en la investigación pura y aplicada. No más de una quinta parte del documento trata de ello pero Penrose admite que la teselación fue el tema real. Más tarde Penrose reconoce la inspiración del trabajo de Johannes Kepler. En su libro Harmonices Mundi Kepler exploró teselaciones construidas por medio de pentágonos y se demostró que su construcción podía ser extendida en una teselación de Penrose. En un principio los trazos de esta idea ya estaban hechos en un trabajo de Durero. Al intentar llenar de baldosas el plano con pentágonos regulares es necesario dejar huecos. Penrose encontró una particular forma de teselado en el cual los huecos podían ser llenados con otras formas: una estrella, un bote y un diamante como se muestra a la izquierda. En adición a las baldosas, las reglas de comienzo de Penrose, usualmente llamadas reglas de ensamble, especifican como las baldosas deben ser unidas entre sí; estas reglas son necesarias para asegurarse de que las teselaciones sean no periódicas. Como hay tres conjuntos distintos de reglas de ensamble para baldosas pentagonales, es común considerar al conjunto como si tuviera tres baldosas pentagonales diferentes, mostradas con colores diferentes en la ilustración. Esto resulta en un conjunto de seis baldosas: un rombo delgado o 'diamante', una estrella de cinco picos, un 'bote' (aproximadamente 3/5 de una estrella) y tres pentágonos. Penrose encontró más tarde dos conjuntos más de baldosas aperiódicas, uno consistiendo en baldosas conocidas como 'cometa' y 'flecha' (P2) y un segundo conjunto consistiendo en dos rombos (P3).

Foto Tesela Original de Penrose.

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La característica más importante del patrón de Penrose es que los resultados de experimentos de difracción óptica realizados con él coinciden cualitativamente con los de microscopía electrónica hechos en cuasicristales reales, aunque no en detalle, evidenciando que ambos poseen el mismo tipo de orden. El orden traslacional de largo alcance en un patrón de Penrose deriva de la existencia de un conjunto estricto de reglas que deben seguirse al añadir nuevas piezas (rombos) al patrón (una ley matemática) que fuerzan el orden cuasiperiódico. El orden orientacional, también producto de esta ley, se hace evidente notando que los las aristas de los rombos que la componen son paralelas a direcciones relacionadas por una rotación de 360/5 grados. Tras el descubrimiento de los cuasicristales, los patrones de Penrose fueron rápidamente generalizados a tres dimensiones, reemplazando los rombos son reemplazados por romboedros de dos diferentes tamaños.El embaldosado de Penrose es capaz de reproducir cualitativamente el tipo de orden encontrado en los cuasicristales.

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La Cadena de Fibonacci.

En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:0,1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584..., ya que 1 = 0+1; 2=1+1; 3= 1+2; 5=2+3; 8=3+5; 13=5+8=; 21=8+13... etc. La sucesión comienza con los números 0 y 1, y a partir de estos, cada elemento es la suma de los dos anteriores. El genio matemático,Leonardo Fibonacci, la describió en su libro Liber Abaci como la solución a un problema de la cría de conejos: “Un hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año teniendo en cuenta que su naturaleza es parir otro par en un mes, y en el segundo mes los nacidos comienzan a parir también”. Fibonacci supuso que al final de cada año, cada conejo adulto en la colonia habría producido un bebé conejo y que cada bebé conejo se habría convertido en un adulto, suponiendo además por simplicidad, que los conejos eran inmortales. Así, empezando con un adulto, encontró que al paso de un año el adulto se había mantenido y producido un bebé por lo que habían un adulto y un bebé. Al cabo de dos años, el adulto había producido otro bebé y el bebé había crecido, dejando dos adultos y un bebé. Al tercer año cada adulto había producido un nuevo bebé y el bebé había crecido. Continuando este proceso como en la figura 6 donde cada año está representado por un renglón, reemplazando de un renglón a otro todos los adultos por un adulto y un bebé y a todos los bebés por un adulto, se genera la conocida sucesión de Fibonacci ABAABABAABAABABAABABA ... donde las Aes representan adultos y las Bes bebés. En un cuasicristal, las Aes y las Bes representan celdas unitarias de diferentes tamaños.

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Otro ejemplo lo encontramos en las piñas piñoneras, que tienen 2 grupos de espirales que van en sentidos opuestos y la proporción que guardan entre el número de una y otra está representada por números secuenciales de la serie. Las conchas de los caracoles nautilos poseen curvas en las cuales cada surco completo representa el número áureo cuando se lo compara con la distancia que existe desde la mitad del espiral que le precede. Por otro lado es necesario destacar que en cualquier valor de más de 3 la proporción entre números correlativos de la cadena de Fibonacci es de 1,618 o número áureo, cifra también llamada proporción áurea o divina proporción. Es un número irracional y se lo representa por la letra griega f (fi). No es una unidad sino una relación con vastas propiedades que está presente en todo lo que vemos, desde operaciones geométricas hasta en la forma de las creaciones de la naturaleza: conchas de caracoles, nervaduras de las hojas, grosor de los troncos, las proporciones del cuerpo humano, etc. La secuencia de Fibonacci generalmente se utiliza en concordancia con la Proporción Aurea, un principio al cual está estrechamente relacionada.

Sucesión de Fibonachi representada,la cual podemos ver en la foto del girasol.

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La Proporción Aúrea; los numeros de oro.

Se le llama también divina proporción, número de oro, regla dorada, etc. Se trata de un número especial que ocupa a la humanidad desde tiempos muy antiguos, está formulada ya en los Elementos de Euclides (s.-III), en una construcción geométrica denominada División de un segmento en media y extrema razón. La idea es tan simple como perfecta: El todo se divide en dos partes tal que, la razón proporcional entre la parte menor y la mayor, es igual a la existente entre la mayor y el total, es decir, la suma de ambas. Este número ya era conocido alrededor de 2000 a. C. por babilónicos y asirios, sin embargo, fue el matemático griego Euclides (300-265 a. C.) el primero en realizar un estudio formal sobre la proporción áurea. Para definir de una forma entendible el número de oro, podemos decir que, suponiendo que tengamos una cuerda recta y la dividamos en dos trozos uno grande y otro pequeño, la proporción resultante de dividir la cuerda completa entre el trozo grande es idéntica a la proporción resultante de dividir el trozo grande entre el pequeño (ver dibujo). El valor númerico de la proporción áurea es muy fácil de calcular y se representa por la letra griega fi ( ), se trata de unφ número bastante feo y cuyo valor viene dado por uno más la raíz cuadrada de cinco, todo partido por dos, que una vez calculado viene a ser más o menos 1,6180339887498948482045868343656... Este extraño número posee algunas propiedades muy interesantes y aparece por todas partes, en obras de arte, en la naturaleza e incluso en nuestro propio cuerpo. En lo que respecta a las obras de arte, a la razón áurea se le atribuye un caracter estético especial, aparentemente se trata de una proporción estéticamente equilibrada a la vista y se puede ver en obras de arte como el Partenón o el famoso Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci. En la naturaleza aparece, por ejemplo, en los patrones de crecimiento de los espirales que forman algunas caracolas (no sólo del nautilus), en la relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal, en la disposición de los pétalos en las flores, en la disposición de las hojas en el tallo de algunas plantas para que las hojas de arriba tapen lo menos posible a las de abajo, en la relación entre los lados de un pentágono regular (teorema de Ptolomeo), etcétera. En lo que se refiere a nuestro cuerpo, podemos encontrar la proporción áurea en la línea recta que se forma al unir los segmentos constituidos por las distancias desde los pies al ombligo y desde el ombligo a la cabeza, en la relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos, en la relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla, en la relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz, etcétera. Además, parece comprobado que aquellos individuos que tienen una mayor cantidad de proporciones áureas en su cuerpo y en su rostro, son considerados por el resto de las personas como individuos guapos, bellos y proporcionados.

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Recientemente el galardonado con el Nobel de Química, fue el primer hombre que a través del microscopio electrónico ha visto una obra artística en donde otros sólo veían una serie de átomos esparcidos al azar. Se trata de una estructura atómica que revela una nueva concepción de simetría y orden que ha hecho incluir un nuevo tipo de sólidos a los conocidos hasta ahora. A estos materiales se les conoce como cuasicristales y se consiguen al fundir metales y enfriarlos con mucha rapidez. Por ello únicamente se han encontrado de forma natural en la Tierra como parte de meteoritos. Los demás se sintetizan en laboratorios y son muy valiosos por su alta dureza. Ahora sabemos que existen en la naturaleza estructuras que se alinean formando aleaciones innovadoras que se plantean como materiales del futuro combinando sus átomos como baldosas en un mosaico árabe. Durante veinte años se negó que existiera un orden concreto pero este científico defendió hasta el final un orden basado en la proporción divina, relación que los antiguos matemáticos suponían que era la que tenían los cuerpos divinos. Esta relación se encuentra en incontables ocasiones dentro del pentágono. Así fue como inspiró a ilustres como Platón y llegó a ser un símbolo religioso de la escuela de Pitágoras mediante la representación de una estrella de cinco puntas. Esto lleva al primer número irracional estudiado por el hombre ya desde la antigua Mesopotamia hacia el 2000 a.C. Se define como el cociente entre la diagonal interior de un pentágono regular y uno de sus lados. Se trata del número F = 1.6180…. Posteriormente se han encontrado que los árabes utilizaron estas proporciones para crear los mosaicos y teselas que adornan palacios moriscos como la Alhambra.

Uso de la for aurea en pintura. Cocnha que ya responde a los criterios de la prop. Aurea.

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Patrones Girih: Mosaicos de la arquitectura árabe.

Según los investigadores, los artesanos islámicos del siglo XV desarrollaron un proceso de creación de patrones para el diseño de superficies adornadas con mosaicos que les permitía producir sofisticados patrones que no existieron en Occidente hasta siglos más tarde.

Muchas de las paredes de los edificios islámicos medievales tienen decoraciones geométricas con estrellas y polígonos, o patrones girih, a los que a menudo se superponía una red de líneas en zigzag. Los investigadores han creído que los artesanos medievales construyeron estos patrones utilizando regla y compás.

Patron Girih usando baldosa, en ua estructura arquitectónica.

Los investigadores muestran ahora que en el siglo XV los artesanos habían empezado a producir sus patrones utilizando un pequeño conjunto de azulejos poligonales, que los autores denominan azulejos girih1. Este método del azulejo girih era más eficaz y preciso que los anteriores sistemas y supuso una importante innovación en las matemáticas y el diseño islámicos. En el siglo XV los patrones de mosaicos se habían vuelto muy complejos y sólo unos pocos eran los que los matemáticos de hoy llaman diseños cuasicristalinos (los diseños/estructuras cuasiperiódicas han sido bien conocidas desde antes del siglo XX. Por ejemplo, las teselas/mosaicos/baldosas, en una mezquita islámica medieval en Isfahán, Irán, están arregladas en un patrón cuasicristalino). Estos diseños fueron demostrados por primera vez en Occidente por Roger Penrose, que presentó el denominado patrón Penrose a inicios de los setenta.

1.-http://en.wikipedia.org/wiki/Girih_tiles

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En su estudio, los investigadores muestran cómo, en 1453, los arquitectos islámicos habían creado patrones superpuestos con azulejos girih en dos tamaños diferentes para producir patrones cuasicristalinos casi perfectos, lo que refleja que estos procedimientos matemáticos no se comprendieron en Occidente durante otros 500 años

Resumiendo los mosaicos islámicos medievales se basaban en patrones geométricos, denominados diseños cuasicristalinos, que los matemáticos desentrañaron en la década de los 70, según un estudio de la Universidad de Harvard y la Universidad de Princeton (Estados Unidos) que se publica en la revista Science y que equivalente tridimensional se llama mocárabes.2

Ejemplo de un mocárabe.

2.- http://artesauces.blogspot.com.es/2010/12/los-mocarabes.html

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Patrón de Kamal Ali . Karl Gerstner (1930) es un artista suizo, de los más importantes de su generación. Interesado por el arte islámico geométrico. En Fez, Marruecos, encontró casualmente a un alarife (albañil)llamado Kamal Alí, a quien compró un diseño. Gerstner, a la vuelta de su viaje, introdujo elpatrón del diseño de Kamal Alí en un programa de ordenador. Su sorpresa fue tremenda cuando la trama reveló un número ilimitado de posibilidades estructurales y desarrollos formales. El humilde ’arif de Fez no le había vendido un diseño sino un patrón con capacidad para producir un número indefinido de formas, una clave estructural, la semilla que habían guardado celosamente los mudéjares andalusíes durante la expulsión y el genocidio de los hispanomusulmanes.

Plantilla modulo Kamal-Ali.

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Conclusión.

Podemos decir que todos los patrones, se asemejan en mayor o menor medida a una estructura cuasicristalina, indistintamente de la época que sean y que esta estrechamente ligadas a la secuencia fibonachi y la proporción aurea.

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Bibliografia.

http://www.smcr.fisica.unam.mx/8temasutiles/articulosutiles/cuasicristales.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Cuasicristalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teselaci%C3%B3n_de_Penrosehttp://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonaccihttp://www.pauloporta.com/Fotografia/Artigos/epropaurea1.htmhttp://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080929114004AAUBXFBhttp://www.webislam.com/articulos/30878-el_arte_islamico_medieval_uso_patrones_geometricos_descubiertos_en_occidente_en_.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Girih

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