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LOS DESAFÍOS DIDÁCTICOS

EN LA ENSEÑANZA

DE LAS MATEMATICAS

Traducción :

Eduardo LACASTA ZABALZA y José Ramón PASCUAL BONIS

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NOTAS PARA EL EDITOR: N. de los T.: Los autores hacen referencia a diversos cursos del sistema educativo francés. Damos una breve descripción del mismo, indicando la edad en que se cursan, para que pueda establecerse la correspondencia con los sistemas vigentes en otros países. ENSEÑANZA PRIMARIA (ÉCOLE PRIMAIRE): cinco cursos. ÉCOLE PRIMAIRE Cours préparatoire (CP): 6-7 años Cycle élémentaire (CE): dos años escolares cours élémentaire 1 (CE1): 7-8 años cours élémentaire 2 (CE2): 8-9 años Cycle moyen (CM): dos años escolares cours moyen 1 (CM1): 9-10 años cours moyen 2 (CM2): 11-12 años ENSEÑANZA SECUNDARIA Y BACHILLERATO: Cuatro cursos de Collège y tres de Lycée COLLÈGE: Sixième: 11-12 años Cinquième: 12-13 años Quatrième: 13-14 años Troisième: 14-15 años LYCÉE Seconde: 15-16 años Première. 16-17 años Terminale: 17-18 años En los dos últimos cursos, première y terminale, los alumnos pueden elegir asignaturas optativas con una orientación respecto a sus estudios futuros. En el texto de la traducción, cuando se hace referencia a una cierta página del libro hemos escrito dos interrogantes (pagina ??) por no saber cuál es la nueva página. Asimismo hemos indicado, entre paréntesis y en cursiva, el número de página del texto original de esta forma (página 237 del original). Asimismo cuando se hace referencia a un gráfico o esquema, o a las correcciones de los ejercicios hemos escrito:

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ÍNDICE ÍNDICE 4

PRESENTACIÓN GENERAL 5

INTRODUCCIÓN 7

LAS PRÁCTICAS ESPONTÁNEAS DE ENSEÑANZA 13

LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA EN CLASE 24

EL SABER EN JUEGO 36

LAS DECISIONES DEL ENSEÑANTE 57

EL TEXTO ESCRITO EN LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA 67

LA TOMA EN CONSIDERACIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS DE LOS ALUMNOS 82

EL ESTATUTO DEL ERROR 89

LA DEMOSTRACIÓN 101

EN MATEMÁTICAS 101

LA DIDÁCTICA : UNA CIENCIA 110

RECIENTE 110

HACIA UNA 114

PROFESIONALIZACIÓN 114

ESTUDIO DE LAS SITUACIONES 117

DIDÁCTICAS 117

EJERCICIOS CORREGIDOS 125

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PRESENTACIÓN GENERAL ¿A quién se dirige este libro? A quienes piensan que la enseñanza de las Matemáticas es algo más que un mero asunto de sentido común, nuestro libro quiere ayudarles a encontrar algunas pistas que les permitan hacer de ello una profesión: - el carácter profesional de la enseñanza está ligado a la caracterización de los hechos de enseñanza; - la caracterización de los hechos de enseñanza justifica y necesita una teoría didáctica que defina sus propios conceptos. Desde el inicio de esta obra nos dedicamos a caracterizar los fenómenos de enseñanza de las Matemáticas y nos proponemos familiarizar al lector con algunos conceptos de didáctica de las Matemáticas. Esta obra se dirige, ante todo, a los estudiantes que preparan las oposiciones a profesor de escuela primaria en Francia1. En su forma actual este concurso propone para la prueba de Matemáticas dos partes; la segunda parte tiene como objeto el análisis "de los enfoques didácticos y de los procesos pedagógicos correspondientes"2. Este libro interesa en particular a los estudiantes del segundo curso de IUFM3 (profesor de escuela primaria, del CAPES4). Propone una reflexión general sobre las prácticas actuales de enseñanza, presenta instrumentos de análisis y permite así comprender mejor cómo elaborar situaciones que reúnan las condiciones de un verdadero aprendizaje para los alumnos. Puede ser útil para los estudiantes del DEUG5 o de licenciatura que opten por U.V6. opcionales de preprofesionalización. Además, las numerosas referencias bibliográficas y citas de investigadores en didáctica de las Matemáticas podrán ayudar a los estudiantes que preparan un DEA7 de didáctica de las Matemáticas. ¿Qué contenidos para formarse en la enseñanza de las matemáticas? La idea de que para enseñar Matemáticas basta con conocer bien los contenidos matemáticos es falsa. Este conocimiento es ciertamente necesario pero no suficiente. Tomemos el ejemplo de la escuela primaria.

1 N. de los T.: Por extensión, esta obra interesa también a los estudiantes que en otros países se preparan para ser profesores de primaria o secundaria. 2 Bulletin Officiel, nº 5 del 30 de Enero de 1992. 3 IUFM: Instituto Universitario de Formación de Maestros. 4 N. de los T.: CAPES en Francia es el concurso para profesores de Secundaria. 5 N. de los T.: DEUG corresponde en Francia al primer ciclo (1º y 2º curso) de Enseñanza Universitaria. 6 N. de los T.: Las U. V. (unidades de valor o créditos) equivalen a asignaturas optativas. 7 N. de los T.: DEA corresponde en Francia a los estudios de tercer ciclo de Enseñanza Universitaria.

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- Por un lado, la mayor parte de las nociones estudiadas en la primaria son retomadas y profundizadas en secundaria. Es indispensable, por tanto, tener un dominio de estas nociones en su continuidad. Además, hacer matemáticas, resolver problemas, tener ganas de descubrir es una práctica que se cultiva más allá de los contenidos de la escuela primaria. - Por otro lado, la formación en la enseñanza de las matemáticas apela a otros contenidos que permiten abordar las cuestiones siguientes: - ¿Cómo aprende un niño? - ¿Qué transformaciones sufren los saberes matemáticos durante su enseñanza? - ¿Qué efectos pueden ser previsibles, deseables, nefastos? - ¿Qué papeles desempeña el profesor? - ¿Qué decisiones pueden tomarse? Tantas preguntas hacen que una formación en la enseñanza de las Matemáticas no pueda reducirse ni a la adquisición de contenidos matemáticos, ni a un discurso de pedagogía general (que, por naturaleza, excluye el estudio de los contenidos). Principio y organización de la obra La aportación constante de información en didáctica de las Matemáticas crea la unidad de esta obra. Los principales conceptos son introducidos progresivamente e ilustrados con la ayuda de numerosos ejemplos. Al objeto de implicarle más en la reflexión sobre la enseñanza de las Matemáticas, se invita al lector a la resolución de ejercicios de dos tipos: ejercicios de carácter estrictamente matemático y otros de carácter más didáctico. Como este libro contiene varias partes independientes, no necesita una lectura lineal. - La primera parte de la obra consiste en una reflexión sobre la enseñanza de las Matemáticas. Proponemos varios ángulos de aproximación a los fenómenos de enseñanza. Partimos de una serie de preguntas, presentamos ejemplos, damos inicios de respuesta e introducimos conceptos de didáctica que aparecen como instrumentos privilegiados de análisis. - La segunda parte estudia el marco teórico a partir del cual se hace posible comprender mejor las preocupaciones concretas de la didáctica de las Matemáticas, los puntos de vista de sus investigadores. Aquí se precisa la aportación de la didáctica en la formación profesional de los enseñantes. - La tercera parte de la obra está destinada específicamente a los estudiantes que preparan el concurso de profesor de primaria. La referencia al texto del boletín oficial que define la prueba de Matemáticas permite situar lo que es prioritario para los opositores en el conjunto del libro. En esta última parte, hemos querido precisar la problemática de la formación profesional y proponer ejercicios o "deberes" con elementos de corrección en sintonía con el espíritu de la prueba actual de este concurso. - Al final de la obra se han dispuesto las correcciones de los ejercicios propuestos a lo largo del libro. - La bibliografía aportada permitirá a cada quien dirigirse a las obras clave para profundizar en los puntos que le interesen. - Finalmente, un índice (página ??) (página 237 del original) permite situar los términos de didáctica y sus definiciones en la obra.

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Introducción Las matemáticas en nuestra sociedad Desde nuestro punto de vista, sería ilusorio imaginar la enseñanza de las Matemáticas, cualesquiera que sean los alumnos a quienes se dirige, sin debatir y reflexionar sobre: - el lugar y el papel de las Matemáticas en nuestra sociedad; - la relación personal de los alumnos hacia las Matemáticas; - la relación personal de cada profesor con las Matemáticas. La imagen actual de las matemáticas en la cultura Quién no ha oído a más de un personaje con un prestigio social reconocido decir: "¡Oh las Matemáticas, yo no entendía nada!". Por el contrario, es muy poco probable escuchar: "¡Oh!. ¿Escribir en castellano8? Yo no sé hacerlo". Incluso hoy en día, es aceptado culturalmente haber tenido dificultades (ficticias o reales) en Matemáticas, pero, sin embargo, no se admite la redacción de una carta, plagada de faltas de ortografía, en un castellano incorrecto. Nuestra sociedad no otorga los mismos valores culturales a las Matemáticas (a las ciencias en general) y a las disciplinas humanísticas. Esta ruptura entre disciplinas de ciencias y de letras es, además, un fenómeno reciente en la historia de la humanidad. Las Matemáticas de la escolaridad obligatoria constituyen actualmente un desafío importante, tanto desde el punto de vista del éxito escolar como desde una perspectiva personal: el éxito en Matemáticas (con razón o sin ella) es considerado a veces como una muestra de inteligencia. Ahora bien, paradójicamente, estas matemáticas omnipresentes en la vida escolar no aparecen necesariamente en la vida cotidiana. ¿Para qué sirven? se preguntará un alumno. Citemos a Y. Chevallard9, para desarrollar este aspecto: "La polémica sobre las Matemáticas y su función en la enseñanza secundaria es una actividad estacional sólidamente instalada. De ella se conocen los términos, que no dejan apenas esperanza. Por un lado, las Matemáticas constituirían un paso obligado en la vía del éxito escolar y social. Por el otro, no habría que añadir nada sobre su dificultad. Frente a esta situación habría que resignarse y esperar que pase la juventud [...] Todas las prácticas sociales, o casi todas, están construidas hoy en día con matemáticas. Todos los objetos que nos rodean –este ordenador, por supuesto, pero también esta pluma y esta hoja de papel e, incluso, esta mesa en la que estoy sentado– contienen matemáticas 'cristalizadas'. Las matemáticas son uno de los ingredientes de base con los que se construyen las sociedades actuales. De ahí esta imagen: si se cortara la electricidad en una ciudad, todo o casi todo dejaría de funcionar. Lo mismo si se prescindiera de las matemáticas ... Las matemáticas, desde este punto de vista, se diferencian completamente

8 N. de los T.: Francés en el original 9 Y. Chevallard: "Pour en finir avec une certaine phobie culturelle", Science et Vie, hors série nº180, septembre 1992, pp. 60, 64, 66.

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del latín. Las primeras están vitalmente presentes en la producción de nuestras sociedades; el segundo, no. O, al menos, ya no lo está. En pocos siglos, las posiciones se han invertido totalmente. La comparación con la electricidad es engañosa en un punto decisivo. Los efectos de un corte de electricidad son sentidos personal e inmediatamente por todos. Pero, si se prescindiera de las matemáticas, no descubriríamos más que lentamente, y sin duda demasiado tarde, que socialmente no sabemos vivir sin ellas".

Las matemáticas en la escuela elemental Los programas oficiales determinan los contenidos de la enseñanza en primaria, secundaria y bachillerato. Vamos a estudiar y analizar la evolución de los programas de primaria en Francia a lo largo de los últimos años. Los programas de 1945 estaban construidos con la idea de que el niño no podía tener acceso a las Matemáticas antes de cinquième10 (12 años). El objetivo estaba claro: saber calcular, saber resolver problemas-tipo, es decir, problemas análogos a los tratados en clase. La palabra "cálculo" debía tomarse aquí en el sentido de utilización de automatismos o remitir a familias de problemas-tipo. Se estaba lejos de la actividad matemática que consiste en resolver problemas o plantear preguntas. Imaginamos que tales declaraciones han dejado huella en la memoria colectiva de los enseñantes. Más recientemente los programas fijados por el decreto de 23 de Abril de 1985 marcan una evolución que no se ha hecho sin tropiezos. "La enseñanza de las Matemáticas pretende desarrollar el razonamiento y cultivar en el alumno las posibilidades de abstracción. Aporta una exigencia de rigor en el pensamiento y de precisión en la expresión. Hace que se adquieran conocimientos y competencias en los dominios numérico y geométrico, ayudando al alumo a forjarse en los métodos de trabajo. Estimula la imaginación11." En los textos concernientes a la determinación de los ciclos en la escuela primaria12 la definición de las competencias a adquirir a lo largo de cada ciclo está organizada en varios apartados: - resolución de problemas; - aproximación al número o conocimiento de los números; - cálculo; - geometría; - medida. El desarrollo del razonamiento y el aprendizaje de la resolución de problemas ocupan un lugar importante. "Las competencias más específicas definidas a continuación (número, cálculo ... ) se construyen y evalúan, preferentemente, a lo largo de actividades de resolución de problemas13." Relación de los alumnos hacia las matemáticas

10 N. de los T.: En la enseñanza secundaria francesa “cinquième” se estudia a la edad de 12-13 años. 11 “Programmes et instructions”, septiembre 1985, CNDP, Editions Hachette, p. 39. 12 “Les cycles à l'école primaire”, décret 90-788 del 6 de Septiembre de 1990, CNDP, Editions Hachette, mai 1991, p. 52. 13 cf. Véase nota al pie anterior.

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Interrogando a los alumnos de primaria o de secundaria acerca de lo que piensan de las Matemáticas se obtienen respuestas muy variadas como: - "Yo les tengo pavor y, además, soy nulo para las ‘mates’ “. - "Son interesantes, pero no veo para qué sirven". - "Me encantan, para mí son como un juego". Esta relación hacia las Matemáticas está a menudo muy influenciada por la historia del momento y puede, por tanto, evolucionar a lo largo de la escolaridad. Sucede, sin embargo, que algunas heridas se ahondan y desembocan en un sentimiento de fracaso. Los padres, los enseñantes tienen aquí un papel importante que jugar al objeto de que un alumno, momentáneamente en dificultad, no se sienta excluido de la actividad matemática. La escuela debe ayudar a cada uno a construir una imagen positiva de sí mismo en tanto que matemático, es decir, debe permitir a todo alumno que entre en las actividades de investigación, de formulación de hipótesis, de su puesta a prueba ...

Relación de los enseñantes con las matemáticas y con el oficio de enseñante: representaciones de los enseñantes

Un enseñante de Matemáticas (profesor de primaria o de secundaria) tiene una relación privada respecto al saber matemático. Además, antes de ejercer, y puesto que él mismo ya ha sido alumno de matemáticas, tiene ideas personales sobre el modo de enseñarlas. Estas representaciones influyen constantemente sobre su práctica profesional. Citemos, a este objeto, a A. Robert14: " Nuestra primera hipótesis general a este respecto es que es vano separar la formación en didáctica de la formación en general, tan ligada está la concepción de la enseñanza de las matemáticas a las mismas matemáticas y, por tanto, a la enseñanza de las matemáticas que se ha recibido [...] Nuestra segunda hipótesis es que no se puede partir como si los (futuros) enseñantes fueran 'vírgenes', en cuanto a ideas sobre la enseñanza de las matemáticas."

Estudiando estas interferencias entre relaciones privadas y profesionales "la didáctica de las matemáticas debe contribuir a una 'profesionalización' de aquellos que tienen la tarea de enseñar"15. No hay un determinismo para ser un buen o mal profesor de matemáticas. Toda persona que tenga un conocimiento teórico correcto de un objeto matemático deberá adquirir competencias profesionales para poder enseñarlo. El futuro profesor construirá esas competencias apoyándose sobre estas representaciones iniciales y haciéndolas evolucionar.

14 A. Robert: "Une introduction à la didactique des mathématiques (à l'usage des enseignants)", Cahier de didactique, nº 50, IREM de Paris VII,1988, pp 2-3, 14-15. 15 A. Robert: "L'illusion pédagogiste".

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1ª Parte

REFLEXIÓN SOBRE LA ENSEÑANZA

DE LAS MATEMÁTICAS

Y PRIMERAS NOCIONES

DE DIDÁCTICA

1. LAS PRÁCTICAS ESPONTÁNEAS DE ENSEÑANZA ........................................................................ ?

2. LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA EN CLASE .............. ?

3. EL SABER EN JUEGO .................................................... ?

4. LAS DECISIONES DEL ENSEÑANTE .......................... ?

5. EL TEXTO ESCRITO EN LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA .................................................................... ?

6. LA TOMA EN CONSIDERACIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS DE LOS ALUMNOS ......................... ?

7. EL ESTATUTO DEL ERROR ......................................... ?

8. LA DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICAS ............... ?

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Toda acción de enseñanza pone en juego estas tres componentes principales:

- los alumnos para quienes la sociedad ha definido un cierto proyecto educativo;

- el saber pretendido por esta acción de enseñanza (en nuestro caso, las Matemáticas);

- el profesor, cuyo papel en el sistema francés es ser un mediador entre el alumno y el saber. Estas tres componentes van a interaccionar y producir hechos de enseñanza. Algunos de estos hechos son reproducibles y aparecen así como fenómenos de enseñanza. Las investigaciones desarrolladas en didáctica de las matemáticas han producido instrumentos de análisis que permiten formular de nuevo cuestiones ingenuas, interpretar hechos, prever fenómenos. En esta primera parte, nos proponemos estudiar los fenómenos de enseñanza y mostrar en qué medida los primeros conceptos de Didáctica de las Matemáticas son instrumentos adaptados de análisis.

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LAS PRÁCTICAS ESPONTÁNEAS DE ENSEÑANZA Un adulto cualquiera, en un momento dado de su vida, se ha encontrado en la situación de enseñar algo a alguien y, por tanto, de poner en práctica modelos espontáneos de enseñanza. Enseñar es una actividad que parece evidente cuando se dominan los saberes en juego. A partir de esta constatación vamos a observar, con ejemplos, cómo los modelos espontáneos de enseñanza producen efectos que no son forzosamente propicios para la actividad matemática del alumno. Este estudio nos conducirá a sentar las bases necesarias para el paso de una enseñanza espontánea a una enseñanza de carácter profesional. 1.1 El mito del modelo a reproducir • Un ejemplo fuera del contexto escolar "Mi niño sabe contar hasta 30, pero yo le he enseñado un poco...". Esta declaración, hecha el día del inicio de las clases, es interesante para la cuestión que estamos abordando. Implícitamente, estamos ante una persona que, en un momento dado, se ha fijado unos objetivos y ha debido poner en juego algunas prácticas espontáneas de enseñanza. Así, en general, un adulto dice de un niño que sabe contar hasta 30 (por ejemplo) si es capaz de recitar la cantinela numérica16 de 1 a 30. Si el niño olvida un número, el adulto le hace repetir la palabra que falta: por ejemplo, si el niño ha recitado 23, 25 su padre le dirá:"después del 23 viene el 24" y el niño repetirá "23, 24, 25" etc. Hay aquí, por tanto, un objetivo y una práctica de enseñanza. La cantinela numérica es una práctica cultural corriente. Se conocen las series numéricas cantadas, dibujadas etc. Pero este padre se vería tal vez sorprendido al constatar cómo su niño que sabe "contar" hasta 30 no es capaz de traer, por ejemplo, los 15 tenedores que se le acaban de pedir. En la acción de contar, el niño, por supuesto, tendrá que recitar la serie numérica, pero también sincronizar los gestos que le permiten tomar los objetos uno a uno, separar el número 15 etc. De hecho, recitar la cantinela numérica no es lo mismo que realizar la operación de contar. El niño de nuestro ejemplo ¿sabe realmente contar? Es decir, ¿repite simplemente una serie de palabras desprovistas de sentido, como un rito? o bien ¿ha comprendido que esta serie asociada intencionadamente a una organización gestual

16 Cantinela numérica: serie numérica, serie ordenada de los nombres de los números naturales "uno, dos, tres..."

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podría ayudarle en cierto tipo de tareas? (aquí el conteo numérico dénombrement 17). El proceso seguido por este padre, que responde más bien al rito iniciático, no permite asegurarse de ello.

• Un ejemplo en el contexto escolar He aquí un ejercicio propuesto frecuentemente a alumnos de primer curso de primaria (6 años). Fig.1 (1.1)

Para responder a la consigna, el alumno debe saber contar (dénombrer18 en sentido estricto) los objetos hasta cinco, saber reconocer la escritura de los números cuatro, dos y cinco y extraer conclusiones. Estudiemos el caso de un niño que haya tachado 1 y 4 en el primer ítem del ejercicio: sean cuales sean las razones del fracaso, el ejercicio en sí mismo, en su construcción, no permite al alumno saber si ha fracasado o no. Diremos que este ejercicio no produce una retroacción19 que permita al alumno autoevaluarse, es decir, saber si ha acertado o fracasado y, por tanto, habitualmente, el alumno esperará el juicio del profesor para saber

17 N. de los T.: No hemos encontrado traducción exacta en castellano a la palabra “dénombrement”. En la siguiente nota, se dan dos acepciones de esta palabra. Gelman y Gallistel, en 1978, enunciaron los cinco principios implícitos que rigen la operación de contar una colección de objetos: 1. Principio de orden estable: la lista verbal de la serie numérica es única. 2. Principio de la correspondencia uno a uno: a cada objeto de la colección le corresponde una palabra de la lista. 3. Principio del cardinal: la última palabra de la lista designa el cardinal del conjunto. 4. Principio de la indiferencia del orden: el trayecto elegido para recorrer exhaustivamente la colección es indiferente. 5. Principio de abstracción: la heterogeneidad de los elementos no afecta al resultado de la operación. En todo caso, a partir de ahora, junto con la traducción más aproximada, se incluirá la palabra francesa dénombrement en cursiva. 18 Retenemos dos acepciones del verbo “dénombrer” y del sustantivo "dénombrement": - “le dénombrement” en sentido estricto: “dénombrer” una colección es considerar el último término de la lista ordenada de los números, una vez producido el conteo, como una característica de la colección. - “le dénombrement” en sentido amplio: “dénombrer” una colección es poder construir una colección equipotente a una colección dada sin que la colección esté presente. 19 Retroacción: información en retroceso sobre la acción del sujeto. Cf. M-C Chevalier: "Étude des feed-back dans les situations a-didactiques", DEA, IREM de Bordeaux.

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si ha acertado o no en sus respuestas. El recurso empleado por el profesor va a consistir en establecer un diagnóstico (si tiene tiempo para ello) pidiendo, por ejemplo, al alumno que vuelva a hacer el ejercicio en su presencia. De esta manera no se elaborará otra situación diferente sino el mismo ejercicio, que será resuelto "en caliente", y del que se puede pensar que no permitirá más que, a lo sumo, una imitación. El ejercicio mismo pretende, pues, un control de la aptitud para reproducir una escritura (socialmente conocida). Tal ejercicio es necesario en un momento del aprendizaje para asegurarse de que el alumno ha adquirido la escritura de esos números, pero no puede asimilarse a una situación de aprendizaje de los números. Proponerla a los alumnos como una situación de aprendizaje sería una manera de usar el número como un rito sin que el alumno, en un momento dado, haya tenido que convencerse de su utilidad. Todo futuro enseñante de matemáticas puede plantearse estas cuestiones relativas a los saberes en juego: en nuestro ejemplo, el saber así transmitido ¿es utilizable?, ¿es suficiente para la adquisición del número?, ¿ayuda a la construcción del número? • Conductas automatizadas Tomemos otro ejemplo: años más tarde en secundaria. Un alumno de quatrième20 (13 años) va a resolver la ecuación siguiente:

4x+ 3x4 - 7 = 5x - 8 -

�

�

y exclama: "¡Las x han desaparecido!" El alumno utiliza un procedimiento cuasi-automático de resolución de una ecuación que consiste en "suprimir en cada lado" los términos que se parecen y reducir así la escritura. Este tipo de procedimiento da, en general, un buen resultado. En este caso, sin embargo, produce un efecto no explicable por el alumno. Para que el alumno pueda comprender lo que sucede, sería preciso que tuviera presente:

20 N. de los T.: En la educación secundaria francesa, “quatrième” se estudia a la edad de 13-14 años.

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- que una ecuación no es una igualdad sino una interrogación: ¿existe x tal que...? - que resolver una ecuación consiste en producir, mediante un juego de transformaciones de escrituras autorizadas por determinadas reglas de cálculo, una nueva ecuación – equivalente a la inicial – en la que se sabe responder a la interrogación. - que el procedimiento utilizado debe "permanecer bajo vigilancia". En suma, hay que movilizar todo el sentido de la actividad de la resolución de una ecuación para no encontrarse desprevenido ante "una ecuación imposible" y, por tanto, ante "0 = -1". La ecuación "0 = -1" ó " 0x = -1" es una ecuación que no tiene solución; la ecuación inicial, que le es equivalente, no tiene solución. De esto es de lo que hay que debatir con el alumno que constata que " las x han desaparecido". En el mismo ejercicio se encontrará alumnos con los que la discusión será más difícil de llevar. Son aquéllos, por ejemplo, que terminarán su trabajo cuando lleguen a 0 = -1, sin que ello les extrañe o, incluso, los que establecerán una conclusión de acuerdo a lo generalmente esperado por la escuela y dicen "por tanto x = 0". Se ven bien los efectos del uso abusivo de un procedimiento sin control del sentido. Este equilibrio entre los necesarios automatismos y el control del sentido constituye un objetivo para el profesor frente a sus alumnos. Todo recurso prematuro a los "trucos" conduce a resultados a menudo correctos, pero hipoteca generalmente una actividad matemática real. Observación: En este segundo ejemplo no abordamos la cuestión de la resolución de problemas mediante ecuaciones. Ahora bien, el planteamiento de ecuaciones constituye un recuerdo desagradable para muchos estudiantes que han tenido dificultades en Matemáticas. La historia de las matemáticas muestra toda la dificultad que ha habido para pasar de los razonamientos aritméticos a los razonamientos de tipo algebraico. Este paso no se ha tenido en cuenta en la enseñanza. No es extraño que aparezcan dificultades (clases de cuatrième y troisième21) con ocasión de la introducción del álgebra. Veamos un ejercicio tradicional de aritmética (manual superior de comienzos de siglo). Su tratamiento desde el álgebra constituye una ruptura en la manera de razonar. Ejercicio (corrección página ??) (página 211 del original) Un tendero tiene café a 3,8 francos (F) el Kg y café a 4,30 F el Kg ¿En qué proporción debe mezclarlos para obtener café a 4 F el Kg? Resuelve este ejercicio aritmética y algebraicamente. El ejercicio que sigue es clásico en álgebra elemental. Su planteamiento por ecuaciones consiste, principalmente, en una relectura del enunciado y una traducción en un lenguaje formal. Ejercicio (corrección página??) (página 211 del original) Actualmente la edad del capitán es el doble que la de Federico. Dentro de cinco años tendrán 70 años entre los dos ¿Cuál es la edad del capitán? Expresa este problema mediante una ecuación y resuélvelo.

21 N. de los T.: En la educación secundaria francesa, “troisième” se estudia a la edad de 14-15 años.

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Los interrogantes que preceden nos remiten de nuevo a la cuestión "¿qué es enseñar matemáticas?"22. La respuesta no se encuentra sólo en las obras de matemáticas y para comprender mejor esta cuestión habrá que recurrir, además, a otras ciencias como la psicología cognitiva, la sociología, etc... 1.2 La idea del saber en construcción ¿Cómo ir más allá de las prácticas rituales encontradas en los ejemplos precedentes? O por decirlo de otra manera, y volviendo a tomar la enseñanza de los primeros números, ¿cómo construir situaciones en las que el número no sea simplemente mostrado sino que aparezca como solución a un problema real? Para poder responder a este interrogante, nos alejamos provisionalmente de la enseñanza y estudiamos una actividad espontánea del niño. Cuando a un niño de 5 años, en su casa, se le pide que ponga la mesa podemos observar en él cualquiera de estas actitudes: - coge un plato para mamá y lo coloca en la mesa; toma un plato para papá y va a colocarlo; y así sucesivamente.... - coge muchos platos y así está seguro de tener los que precisa; - prevé el plato para papá, mamá, etc. y, a continuación, los pone en la mesa. Esta situación es no-didáctica pues no hay intención de enseñanza. Pone en juego un saber. Se trata de la correspondencia uno a uno o, en la tercera actitud, del conteo (dénombrement). En este último caso, el número, formulado o no, es la solución del problema que el niño se ha planteado. Existen pues actividades fuera del medio escolar que solicitan el conocimiento del número. Una reproducción de la situación descrita puede ser utilizada con una finalidad de enseñanza y convertirse en una situación didáctica. Para un niño de 5 años, el problema conserva su sentido incluso cuando es una reproducción artificial de una situación real. La situación no puede permitir un aprendizaje del conocimiento pretendido más que cuando el problema que se desea resolver es, también, el que el niño se plantea. En efecto, un niño más joven podrá contentarse con poner los platos sobre una mesa, sin hacer referencia a la lista de comensales. En este caso, la situación no funciona como situación de aprendizaje. Para que el niño trabaje sobre el número hay que optimizar la aparición de la tercera actitud: prevé el plato para mamá, papá etc, y, a continuación, va a colocarlos. Para esto, el enseñante deberá organizar la situación, imponerle restricciones. No puede recurrir a las vivencias personales del niño. Debe adaptar primero la situación al contexto de la clase: por ejemplo la colección a la que se refiere el niño en su medio familiar (papá, mamá etc.) debe ser reemplazada por una colección construida por el maestro (lista de nombres de niños o vasos ya colocados encima de la mesa). Debe imponer, igualmente, limitaciones para que los niños trabajen efectivamente sobre el número. En un primer momento, planteará como reto no ir más que una vez desde la mesa al lugar en que están colocados los platos. Más tarde pedirá a un alumno que se dirija, esta vez por escrito, a otro que tiene el encargo de preparar los platos necesarios. Solo una comunicación

22 El lector puede remitirse al capítulo "Repères psychocognitifs" del libro Introduction à la didactique des sciences el des mathématiques de S. Johsua y J.-J. Dupin, PUF, pp. 71-119.

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escrita permite a los niños producir formulaciones variadas del número. Para el enseñante, es también la ocasión de vislumbrar las concepciones de los alumnos. El conteo (dénombrement) es la estrategia óptima para salir airoso de esta situación de base. Sólo una comunicación escrita permite formulaciones variadas del número y entrever las concepciones de los alumnos relativas a él.

Mostramos, ahora, ejemplos de producciones escritas extraídas de este tipo de situación. Sepuede observar en este caso una variedad de producciones escritas más interesante que en la mayor parte de ejercicios propuestos corrientemente. - El ejemplo 1 reproduce una sección de la serie numérica - El ejemplo 2 es una producción que se encuentra raramente. Nada nos permite afirmar que esta codificación es errónea. En efecto, cada signo puede representar simplemente un cubierto y ser comprendido como tal por el receptor. El niño quiere, probablemente, utilizar un código reconocido culturalmente. - En los ejemplos 3 y 4 el niño construye un mensaje perfectamente adaptado pero sin referencia a una escritura convencional. - El ejemplo 5 corresponde al esperado después del aprendizaje de la escritura convencional. Desde ese momento, el niño puede: - no esperar la opinión del enseñante para saber si ha acertado o fracasado. - constatar un error y modificar su estrategia en un próximo intento. Esta situación permite a los niños constatar si hay o no los platos necesarios. Además, reenvía retroacciones al alumno. Sin embargo, para los más jóvenes, esta situación podrá reducirse a un juego en cuyo transcurso habrá sido preciso traer platos (sin preocuparse de lo cuantitativo). La situación no ejerce entonces verdadera retroacción. Pero desde el momento en que los alumnos toman a su cargo esta limitación de lo cuantitativo, la situación les aporta las retroacciones esperadas por el profesor. Por razones evidentes, corresponde a éste saber en qué momento es más juicioso proponer tal situación.

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A diferencia del ejercicio de la página ??(página 18 del original), el concepto de número se construye en un contexto en el que es funcional. Paralelamente, el deseo de querer contar como los mayores, los debates en torno a las escrituras, el conocimiento parcial de la escritura convencional, la idea de abreviar los mensajes elaborados llevará a los alumnos a adoptar finalmente, con la ayuda del maestro, la escritura convencional. Desde esta perspectiva, la enseñanza de las matemáticas debe permitir al alumno tomar bajo su responsabilidad un problema, es decir: - formular hipótesis (cf. la situación de poner la mesa); - elaborar procedimientos, ponerlos en práctica y, según los efectos producidos, adoptarlos, rechazarlos o hacerlos evolucionar; - automatizar los solicitados más frecuentemente (por ejemplo hacer una suma, resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, etc.) - ejercer un control de los resultados obtenidos (por ejemplo para asegurarse del resultado numérico hallado mediante una operación, referirse al orden de magnitud; para una ecuación, verificar si la solución hallada satisface a la igualdad de partida, etc.). Para esto, el profesor debe, por tanto, distinguir una situación en que el saber es requerido (situación de control o de reutilización como en el ejemplo visto anteriormente) de una situación en que el saber está en vías de constitución (situación de aprendizaje como la de "poner la mesa" con niños que posean la edad requerida para ello). Desgraciadamente, en muchas de nuestras aulas se privilegia demasiado el primer tipo de situaciones, partiendo de la hipótesis de que repitiendo los saberes, los habremos construido. Añadamos que el tiempo juega un papel importante en este tipo de opción: muy a menudo, por una búsqueda de eficacia a corto plazo o para ganar tiempo, el enseñante privilegia demasiado la adquisición de técnicas en detrimento de la construcción del sentido. El tiempo ganado a corto plazo hace creer que ha sido tiempo ganado en los aprendizajes. Los ejemplos que preceden página 14 ponen de manifiesto los límites de esta práctica y la dificultad de reemplazar un modelo de enseñanza centrado en la transmisión directa de los saberes por un modelo en el que el alumno construya sus conocimientos. 1.3 Teorías del aprendizaje Desde hace mucho tiempo, filósofos, pedagogos y psicólogos se han interrogado sobre las condiciones en las que un niño adquiere los saberes. Han aparecido varias teorías. - La concepción dogmática que conduce a aprendizajes por repetición de textos orales o escritos juzgados fundamentales. - La mayéutica de Sócrates23 que parte del principio de que todo hombre es detentador de saber. El papel del pedagogo es permitir a este saber que se manifieste. Sócrates comparaba su arte con el de Fenáretes que era una mujer sabia: no se contenta con convencer a su interlocutor de su ignorancia, le muestra que lleva en sí mismo verdades que ignora (cf. el célebre texto en el que Sócrates lleva a un esclavo de Menón a descubrir cómo se obtiene un cuadrado cuya superficie sea el doble de la de un cuadrado dado).

23 Platón: Diálogos (Teetetes o de la Ciencia, Menón o de la virtud).

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- J.J. Rousseau reacciona ante la educación clásica (claridad de exposición, memorización) principalmente difundida por las instituciones religiosas. Educar a un niño es menos enseñarle algo que situarlo ante situaciones en las que él tome la medida de sus dificultades. Piensa que la autoridad no tiene que intervenir, la naturaleza misma se encargará de las reprimendas." No ofrezcáis jamás a sus voluntades indiscretas más que obstáculos físicos o puniciones que nazcan de las acciones mismas y que él recuerde al respecto: sin prohibirle hacer el mal, basta con impedírselo"24. - A principios del siglo xx se vuelven a tomar, esencialmente, los principios de la educación clásica. Se trata de llenar las cabezas vacías o de modelar espíritus todavía "muelles". Esta aproximación conduce a interpretar los errores cometidos como la señal de una ineptitud. En este movimiento nacen las teorías conductistas25; de acuerdo con sus tesis habría que realizar un estudio sistemático de los comportamientos y de las relaciones que existen entre los estímulos y las respuestas del organismo. Los trabajos de Skinner (1904-1990) desarrollan teorías sobre el lenguaje y el aprendizaje basadas en la tesis de que la repetición regular de los mismos estímulos acaba por producir comportamientos y competencias. - Más recientemente, las concepciones constructivistas han contribuido ampliamente a poner en cuestión las concepciones anteriores. Piaget, en particular, desarrolla la idea de que se aprende mediante la acción sobre el medio. Los conocimientos no se acumulan como estratos. Pasan de un estado de equilibrio a otro nuevo después de una fase transitoria en la que los conocimientos anteriores eran cuestionados. Superar este momento de desequilibrio supone una reorganización de los conocimientos incorporando las nuevas adquisiciones a los saberes antiguos. La resolución de una dificultad cognitiva conduce entonces a un nuevo equilibrio (principio de equilibración). - A Bachelard se debe la noción de representación espontánea en relación con ciertos fenómenos. Desarrolla entonces la idea de los obstáculos originados por la misma existencia de primeros conocimientos26. Se ve, entonces, que el error encuentra su lugar "natural" en estas nuevas aproximaciones y que las situaciones-problema presentadas a

24 J.J. Rousseau: Emilio, libro III. 25 Conductismo: Se debe este nombre al psicólogo J-B Watson (1878-1958). El conductismo es una teoría de la sicología que la quiere elevar al rango de ciencia objetiva asignándole un modelo biológico. Propone establecer leyes constantes relacionando el estímulo y la respuesta que permitan prever el comportamiento si se conoce el estímulo. 26 En “La formation de l'esprit scientifique”, Bachelard expone una lista de obstáculos que dificultan la aproximación científica. Se detiene, en particular, en el obstáculo "sustancialista" del que hacemos un breve extracto (pp.102-103) que ilustra este obstáculo en una experiencia sobre la electricidad estática: " Que los cuerpos ligeros son atraídos por un cuerpo electrizado es una imagen inmediata, además incompleta, de ciertas atracciones. De esta imagen aislada, que no representa más que un momento del fenómeno total y que no debería ser aceptada en una descripción correcta más que fijando bien su lugar, el espíritu precientífico va a hacer un medio de explicación absoluto y, en consecuencia, inmediato. Dicho de otra manera, el fenómeno inmediato será tomado como muestra de una propiedad sustancial : al punto cesará toda investigación científica; la respuesta sustancialista asfixia todas las cuestiones. Así se atribuye al fluido eléctrico la cualidad ‘viscoso, untuoso, tenaz’, (...). Si no se interiorizara esta metáfora no tendríamos más que un mal menor; se podría salvar siempre diciendo que no se trata más que de un medio de traducir, de expresar el fenómeno. Pero, de hecho, no se limita a describir por medio de palabras, se explica por un pensamiento. Se piensa como se ve, se piensa lo que se ve: una partícula de polvo se pega a la pared electrizada, puesto que la electricidad es un pegamento, una goma ..."

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los alumnos constituyen una palanca importante para hacer evolucionar sus representaciones y procedimientos. - Estas últimas teorías sobre el aprendizaje han sido retomadas y complementadas por la idea de que la apropiación colectiva de los conocimientos podría favorecer las adquisiciones individuales por el papel de las confrontaciones, de las producciones de textos escritos en particular. Desde hace 20 años, numerosos investigadores han trabajado sobre las condiciones de elaboración, de puesta en práctica, de gestión de situaciones que permitan la construcción, por el sujeto, del saber pretendido por el enseñante. 1.4 Primeros conceptos de didáctica Las investigaciones realizadas han establecido resultados que permiten conocer mejor los fenómenos de enseñanza de las matemáticas. Así se ha constituido una ciencia nueva llamada didáctica de las matemáticas. Ella propone métodos, instrumentos para analizar hechos, identificar y prever mejor algunos fenómenos, para construir lecciones. Como toda ciencia, elabora conceptos y se dota de un vocabulario preciso que permite identificar los objetos de los que se sirve. Vamos a precisar desde ya algunas palabras utilizadas en el campo de la didáctica comenzando por una definición de la didáctica de las matemáticas extraída de la “Encyclopaedia Universalis”.

"La didáctica de las matemáticas estudia los procesos de transmisión y adquisición de esta ciencia, particularmente en situación escolar. Se propone describir y explicar los fenómenos relativos a las relaciones entre su enseñanza y su aprendizaje. En definitiva, se propone mejorar los métodos y los contenidos de la enseñanza,(...) asegurando en el alumno la construcción de un saber vivo (susceptible de evolución) y funcional (que permite resolver problemas y plantear verdaderas preguntas o cuestiones)”.

Resumiendo se puede decir que: - la didáctica de las matemáticas proporciona al enseñante instrumentos profesionales, preservando, por supuesto, su libertad pedagógica; - permite identificar hechos, analizar fenómenos de enseñanza; - permite analizar las producciones de los alumnos, interpretar los errores; - pretende la construcción de situaciones de aprendizaje y proporciona al enseñante instrumentos para realizarlas. La aproximación constructivista de los aprendizajes, como ya hemos visto, se interesa por las situaciones encontradas por los alumnos. Indicamos, a continuación, los diferentes sentidos de esta palabra:

Una situación designa el conjunto de circunstancias en las que se encuentra un individuo, las relaciones que le unen a su medio y el conjunto de datos que caracterizan una acción o una evolución.

Ejemplo: una avalancha es una situación climática.

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El "juego de barcos" es una situación. Tiene su historia, unas reglas de juego, material etc.

Una situación es didáctica cuando un individuo (en general, el profesor) tiene la intención de enseñar a otro individuo (en general, un alumno) un saber dado.

Por ejemplo, fuera del medio escolar los niños juegan a los barcos. Pueden adquirir saberes por medio de este juego. La situación es, en este caso, no-didáctica. Este juego puede ser propuesto a los alumnos en clase con una intención de enseñanza; en este caso, la situación es didáctica.

Se llama situación de aprendizaje una situación que permite a un individuo pasar de un estado de conocimiento a otro.

Estas tres definiciones son muy generales. Las situaciones que permiten el aprendizaje de un saber oficial desde una perspectiva constructivista interesan a los didactas. Para eso, tales situaciones tienen que proponer un problema. El alumno debe poder aplicarle una estrategia de base, es decir una estrategia ya disponible, y construir o reconocer la o las estrategias óptimas que corresponden al saber pretendido por el profesor. El aprendizaje consiste entonces en los cambios de estrategia identificados por los alumnos. Estas situaciones pueden comportar una fase de acción, permitir debates, necesitar pruebas, demostraciones sobre la base de un lenguaje común, permitir retroacciones accesibles al alumno sin la ayuda o la intervención del enseñante. El profesor se ve, por tanto, conducido a fabricar situaciones en las que el saber que pretende enseñar sea la estrategia óptima. Pero en la realización de la situación, para que el desafío intelectual exista para los alumnos, su intención de enseñanza no puede ser desvelada. ¡Es un ejercicio importante y difícil!

Se llama situación a-didáctica la parte de la situación didáctica en la que al alumno no le aparece explícita la intención de enseñanza.

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Por consiguiente, el alumno tiene que alcanzar una meta, pero "a priori" no sabe cómo. Le corresponde tomar decisiones, comprometerse en las estrategias, evaluar su eficacia ... Se mide la importancia de la presencia de retroacciones. El enseñante puede, por ejemplo, proponer un juego similar al de los barcos, que se juega entre dos alumnos. Los alumnos saben jugar al juego de barcos tradicional. El profesor propone una cuadrícula distinta a la habitual para que la codificación A, B, C, D..., 1, 2, 3.....no sea utilizada de entrada sin ser percibida por los alumnos como necesaria. Muy pronto se plantea la cuestión de la exploración de la cuadrícula y del uso de una referencia común. El profesor hace la hipótesis de que los alumnos elaborarán un código (filas-columnas u otro cualquiera). Construye así una situación a-didáctica, a partir del juego inicial, modificando las reglas para optimizar las estrategias que pongan en práctica el saber pretendido. ¿Qué hacer para que el problema inventado por el enseñante llegue a ser el problema que busca resolver el alumno? O por tomar un viejo término de derecho francés, adaptado a la cuestión de la transmisión de los saberes ¿Cómo hacer la devolución27?

Se llama devolución28 de una situación a-didáctica al conjunto de condiciones que permiten al alumno apropiarse de la situación: desafío intelectual y contexto favorable.

"La devolución consiste no solamente en presentar al alumno el juego al que el maestro quiere que se dedique (consigna, reglas, meta, estado final,...) sino también en procurar que el alumno se sienta responsable, en el sentido del conocimiento y no de la culpabilidad, del resultado que debe buscar29". Frecuentemente, la consigna del maestro no basta para realizar la devolución de la situación. Así, a menudo son necesarios un tiempo de exploración del material, de juego libre.... Cuando se les pide a niños de 5 años (2º ciclo de educación infantil) ó 6 años (1º de primaria) que vayan a buscar en un único desplazamiento una serie de objetos de acuerdo a una lista dada, la devolución de la situación comprende fases a lo largo de las cuales los niños pueden hacer varios viajes al objeto de permitirles integrar bien las consignas. A pesar de todo, hay alumnos que ejecutan este trabajo únicamente para agradar al profesor. La devolución de la situación apela a la motivación de los alumnos: ellos aceptan el juego que se les propone. Sin embargo, la devolución no puede reducirse a esto. Es preciso que los alumnos vayan más allá del juego, busquen estrategias ganadoras, sospechen que está en juego un saber .

27 Dévolu: Término francés de jurisprudencia. Que es transportado, transferido, adquirido por derecho. Dévolution: En Francia, atribución de bienes a una línea sucesoria como consecuencia de la extinción o renuncia de otra. 28 N. de los T.: La palabra devolución en castellano, a diferencia de la francesa “dévolution”, no tiene las acepciones a que se ha hecho referencia en la nota anterior. Hemos conservado esta palabra porque así se ha hecho en otras traducciones. No obstante, habría que pensar en otra versión más acorde con su significado como "transferencia de responsabilidad". 29 G. Brousseau: Actes de l'Université d’Été d'Olivet, 1988, pp.89

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LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA EN CLASE La observación de los hechos de enseñanza es una actividad compleja para la que es preciso formarse. Entremos en un aula de escuela primaria durante una clase de matemáticas. El profesor organiza el trabajo, los alumnos responden a las preguntas. Pero ¿qué retener en calidad de observador?¿Qué informaciones recoger, qué análisis acometer? La respuesta no es evidente. El aprendizaje de la observación de los hechos de enseñanza permite poner en evidencia fenómenos cuyo estudio es el objeto mismo de la didáctica.

Estudiemos una sesión de matemáticas a través de su transcripción. La lección ha sido filmada con una cámara de vídeo, las discusiones y comentarios en un grupo de dos alumnos, Julián y Elisa, han sido registradas en cinta magnetofónica. Toda la sesión ha sido transcrita literalmente palabra por palabra. Todo observador que toma notas efectúa ya un filtro y no puede así transcribir una crónica tan precisa. Ahora bien, con frecuencia, sólo más tarde podemos darnos cuenta si tal o cual observación era importante para el análisis de la sesión. Al final de la transcripción se proponen una lista de preguntas y elementos de respuesta. Esta lista da una idea de la amplitud de los interrogantes que pueden surgir de la observación de los hechos de enseñanza. 2.1 Una sesión de matemáticas en la escuela primaria La transcripción que sigue relata una sesión30 de 20 minutos en una clase de “CM1”31 así como los comentarios entre dos alumnos (Julián y Elisa) a lo largo de la sesión.

• Transcripción de la sesión 9h 30 Los alumnos se sientan en sus puestos EL MAESTRO: Vais a trabajar en grupos de dos. Os voy a presentar una sencilla situación en la que vais a trabajar y que debéis responder en una hoja de papel. Os presento el texto, no lo escribo en la pizarra. Escribo solamente los números que van a seros útiles. Un carpintero quiere fabricar, con tablas de madera, un banco de dos coma nueve metros de largo. El profesor escribe en la pizarra: "un banco de 2,9 m de largo" Un banco de 2,9 m de largo. ¿Todo el mundo sabe cómo se construye un banco?

30 Esta lección está inspirada en el trabajo de observación"Étude en Didactique des Mathématiques: observation, leçon du 10 janvier 1991", M. C. Chevalier, IREM de Bordeaux, 1991. 31 N. de los T.: En la enseñanza primaria francesa, el ciclo medio consta de dos cursos (CM1 y CM2) y se estudia a la edad de 9 -11 años.

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LOS ALUMNOS: ¡No! EL MAESTRO: El carpintero elige tablas de madera que pone una a continuación de otra. Para hacer este banco dispone de cinco tablas en una repisa pero, evidentemente, él no quiere ir a buscar y transportar tablas que no utilizará. Va a elegir las que mejor convengan para construir este banco. Por eso yo os doy las longitudes de las cinco tablas: El maestro escribe en la pizarra: 5 tablas: 1 m; 1,57 m; 1,1 m; 1,33 m; 0,3 m. Ahora, vuestro trabajo es intentar ayudar al carpintero a que encuentre cuáles son las tablas que, puestas una a continuación de otra, van a dar esa longitud de dos coma nueve metros Señala 2,9 m. ALUMNO 1: ¿Se pueden tomar varias tablas? EL MAESTRO: ¿Solo se puede tomar una tabla, Juan? No, por supuesto; se pueden tomar varias. Por tanto, os corresponde a vosotros encontrar cuáles son las tablas y cuántas de ellas son necesarias. ALUMNO 2: ¿Pero hay varias tablas de cada longitud o sólo hay una? EL MAESTRO: Hay una sola tabla de cada longitud. No hay más que cinco tablas. Muestra las medidas escritas en la pizarra. ALUMNO 3: ¿Se puede cortar las tablas?. EL MAESTRO: No, no se pueden cortar. El carpintero utiliza las tablas tal cual. 9h 37 min. EL MISMO ALUMNO 3: ¡Ya he encontrado el resultado! EL MAESTRO: Bien, pero... vais a trabajar en grupos. Es preciso que cada grupo sea capaz de explicar cómo lo ha hecho. Éste es, sobre todo, vuestro trabajo. Por supuesto podéis ... si ya habéis encontrado la solución ¡tanto mejor!, pero tenéis que ser capaces de explicar por grupos o, mejor, uno de cada grupo debe ser capaz de explicar el método utilizado para encontrar la solución, vais a trabajar en grupos de dos. 9 h 38 min. Distribución de folios El maestro hace la siguiente hipótesis: los niños van a utilizar espontáneamente su saber relativo a las fracciones decimales:

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ELISA:Vamos a probar con un metro ¡No! Así no va. A ver con un metro y cero tres. Julián escribe en su cuaderno: 1 m + 0,3 = 1, 3 Elisa escribe lo mismo. Entre los dos ELISA: ¡No! Esto no va, porque si tú añades un metro más ... da un metro tres ... Ella escribe: 1,3 + 1,1 = 2,4 JULIÁN: Después dos metros cuatro ... ELISA: Para hacer dos metros nueve... Espera ... Si hacemos un metro treinta y tres más un metro ... ¡No! Dos metros treinta y tres ... Esto no va.

9 h 43 min EL MAESTRO: Hay varios métodos de hacerlo. Varios métodos. Podéis probar varios métodos y ver si dan el mismo resultado, por ejemplo.

9 h 44 min ELISA: Vamos a probar. Un metro treinta y tres ¡No! Uno coma treinta y tres; quiero decir uno coma treinta y tres metros. Va bien. JULIÁN: Menos... ELISA: ¡No se puede cortar! JULIÁN:¡Ah! Sí. ELISA: Más... ¿Qué podría valernos? Entre los dos JULIÁN: Cero tres. ELISA: Vamos a probar porque después ... Ella escribe: 1,33 + 0, ver manuscrito en la pag.32 del original

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JULIÁN: Esto va a dar treinta y tres ¡Eh! treinta y seis. No. Así no va. Treinta y seis es demasiado grande porque ... ¡Ah no, un metro treinta y seis! ELISA: Si esto da un metro treinta y seis, esto da más ... (tacha) JULIÁN: Es preciso que nos dé dos metros nueve. ELISA: Ah, ya...Espera, espera. Un metro cincuenta y siete, un metro. JULIÁN: Un metro cincuenta y siete más ... ELISA: Cero tres, esto da un metro sesenta ... ¿No? Ella escribe: 1,57 + 0,3 = 1,60 JULIÁN: ¿Cómo lo has hecho? ELISA: ¡No! ¡Es falso! No, no, no. Es falso, es falso. No se puede ... Un metro cincuenta y siete más cero tres da un metro sesenta ... JULIÁN: Un metro cincuenta y siete más cero tres ... si haces ... ELISA: No, no ... uno coma cincuenta y siete más cero coma tres igual uno coma sesenta ...

9 h 45 min EL MAESTRO: Vamos a ver. ¿Quién sabe hacerlo? ¡Dejad los bolígrafos encima de la mesa! JULIÁN: ¡No hemos encontrado nada! Ahora se ha terminado la investigación y vamos a escuchar las soluciones propuestas. ¿De acuerdo? ¿Ricardo? ¿Pablo Eric? ¿Quién ha encontrado algo y quiere venir a explicárnoslo? Veamos ¿Qué grupo comienza? ¡Cédric! Sal a la pizarra y explícanos lo que has hecho. Fuerte, para toda la clase. Da una tiza a Cédric. CÉDRIC: Al principio yo no encontraba nada y entonces me he dicho que tomando los dos números más grandes yo podía encontrar un resultado. Un metro cincuenta y siete y un metro treinta y tres dan dos metros noventa. EL MAESTRO: ¿Cómo es eso, un metro cincuenta y siete y un metro treinta y tres? ¿Es decir? CÉDRIC: Yo he hecho una suma. EL MAESTRO: Ah, entonces, tú vas a mostrarnos cómo has hecho esta adición. Cédric escribe sin hacer ningún comentario: 1 1,57 +1,33 --------- 2,90 CÉDRIC: Yo puedo quitar el cero y esto da dos metros nueve. Tapa con la mano el cero ELISA: ¡Ah! ¡Vale! Está bien. EL MAESTRO: Bien ¿Pero puedes explicar a los demás por qué has hecho una operación como ésta? Porque nunca hemos visto adiciones como ésa ¿Por qué has sumado este 7 con este 3, este 5 con este 3 y este 1 con este 1? Lo dice señalando las cifras en la pizarra. CÉDRIC: Aquí había una coma. Hay que poner las comas alineadas. Muestra 1,57 y después la operación realizada.

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EL MAESTRO: ¡Ah! ¡Hay que poner..! ¿Quién te ha dicho que había que poner? Chisss ¿Hemos dicho esto en clase? ¡No! Chisss.. CÉDRIC: La coma representa el metro. ELISA:¡Sí, ya está! Entre los dos JULIÁN: ¿Qué dice? ELISA:¡Sí! EL MAESTRO: ¡Ah! Tú piensas que la coma, aquí, representa el metro; entonces ¿qué has dicho a continuación? Si la coma representa el metro, ¿qué representan las otras cifras? JULIÁN: ¡Ah! Ya ¡los decímetros! ELISA: ¡Los centímetros! Entre los dos JULIÁN: ¡De-cí-metros! ELISA: De acuerdo. CÉDRIC: Cinco los decímetros. EL MAESTRO: Sí y ... CÉDRIC: Siete centímetros. EL MAESTRO: Sí y debajo ... CÉDRIC: Un metro, tres decímetros ¡Eh! tres decámetros, deci... EL MAESTRO: Decímetros. CÉDRIC: Y tres centímetros. EL MAESTRO: Y, entonces ¿Tú has añadido? ¿Qué has hecho a continuación? CÉDRIC: Yo he sumado. EL MAESTRO: Los ... CÉDRIC: Un metro cincuenta y siete y un metro treinta y tres; esto me ha dado dos metros noventa. EL MAESTRO: Bien ¿Habéis comprendido todos el método utilizado por Cédric? ELISA y JULIÁN: ¡Sí, sí! LOS ALUMNOS: Sí... EL MAESTRO: Pablo-Eric nos dice que es la más fácil. No forzosamente. Cédric díme ¿quién te lo ha enseñado? ¿Lo sabías con anterioridad o lo has encontrado enseguida? CÉDRIC: Me lo ha enseñado mi hermano. EL MAESTRO: ¿Quién sabe ya hacer esto? Se levantan una docena de dedos. ¿Quién no lo sabe? ¿Quién no ha hecho nunca esto con las comas? En clase no hemos hecho nunca una adición con comas ¿Quién de vosotros, tampoco lo ha hecho nunca? Ningún dedo se levanta, los niños se miran

9 h 50 min. • Estudio de los hechos observados Volviendo al texto anterior, podemos señalar hechos y plantear cuestiones en las que no habíamos reparado durante la realización de la observación. Ejercicio tratado 1.Tenemos indicaciones sobre la hora, el tiempo transcurrido ¿Podemos calificar los diferentes momentos? 2. La organización de la clase en grupos de dos alumnos ¿Es importante aquí?

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3. El maestro utiliza la palabra "situación" y no "problema" o "ejercicio" ¿Hay alguna razón para ello? 4. Anuncia que no escribirá el texto en la pizarra sino sólo los números que sean útiles. De hecho él escribe, igualmente, las palabras "banco", "tabla"... 5. ¿Hay una diferencia de sentido entre "dos coma nueve metros" y "dos metros nueve"? 6. ¿Qué papel juegan las preguntas hechas por los alumnos después de la lectura del enunciado? ¿Tienen todas la misma importancia? 7. La observación de un alumno diciendo que él ya ha encontrado la respuesta ¿es ignorada por el maestro? ¿Y por el resto de alumnos? 8. ¿Cómo pueden saber los alumnos si sus hipótesis de trabajo son acertadas? 9. ¿Cuál es la tarea de los alumnos? ¿Encontrar las tablas que debe emplear el carpintero? ¿Explicar el método utilizado? ¿Qué es un "método" para un alumno? 10. ¿Cómo explicar la frase de Julián:"¡No! Así no va. Treinta y seis es demasiado grande..."? 11. ¿Qué habría escrito Elisa a continuación de 1,33 + 0, si hubiera terminado su cálculo? ¿Cómo explicar su observación : "¡No! ¡Es falso! No, no no"? 12. ¿Se pueden explicar los errores cometidos por Julián y Elisa? 13. ¿Por qué Cédric ha elegido los dos números mayores? 14. ¿Qué significa la observación de Cédric "Hay que poner las comas alineadas"? 15. ¿Qué pensar de la pregunta: "si la coma representa el metro ¿qué representan las otras cifras"? 16. Los alumnos (en particular, Julián y Elisa) ¿han comprendido el método utilizado por Cédric? 17. ¿Qué acaba de hacer aquí el hermano de Cédric? 18. La hipótesis del maestro (cf. página 26l) ¿es válida? 19. ¿Qué pensar de la “letra” del problema? 20. ¿Por qué el enunciado se da de forma oral? Las preguntas precedentes remiten a objetos de observación diferentes: el enseñante, los alumnos o un alumno concreto, el saber en juego, consideraciones sobre el saber en juego.... Elementos de respuesta 1. El tiempo y los diferentes momentos 9 h. 30 min. a 9 h. 38 min.: presentación de la actividad. Colocación de los alumnos, consigna y explicación de la consigna, distribución del material. 9 h. 38 min. a 9 h. 45 min.: búsqueda de soluciones al problema por los grupos de alumnos. 9 h. 45 min. a 9 h. 50 min.: corrección en la pizarra por un alumno bajo el control del maestro. 2. Organización de la clase en grupos de dos alumnos. Teóricamente el trabajo en el seno de un grupo permite a los alumnos confrontar puntos de vista diferentes, buscar una estrategia y ponerla a prueba. La organización en grupos de dos, aunque fácil de realizar, no es pertinente aquí: - el maestro no puede interesarse por lo que ocurre en cada grupo;

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- de ahí, que cada uno pueda permanecer en una posición individual. Una distribución en grupos de 4 ó 5 con la consigna de poner a punto una estrategia y ser capaces de describirla habría provocado un desarrollo diferente. Los alumnos habrían podido ensayar numerosas combinaciones repartiéndose las tareas de cálculo. El maestro habría podido organizar una confrontación de las estrategias y un debate sobre el método utilizable para resolver el problema. 3. Opción elegida por el maestro en el enunciado de las consignas La elección de la palabra “situación” en lugar de “problema” puede remitir a: - la historia de la clase; - una opción deliberada del maestro; - la expresión de una incertidumbre en relación con la terminología que debe emplear ... Un observador exterior no puede, pues, conocer las razones de esta opción. Por el contrario, la palabra “ejercicio” no se utiliza porque, generalmente, se reserva para aplicaciones directas de las explicaciones de la clase. 4. "Texto" escrito en la pizarra Cuando el maestro anuncia que no escribirá en la pizarra más que los números y añade las palabras "banco" y "tablas", oscila aquí entre escribir el mínimo número de cosas (a fin de no sobrecargar la pizarra) y poner de relieve las informaciones pertinentes. 5. Sentido de las expresiones "dos coma nueve metros" y "dos metros nueve" La primera expresión "dos coma nueve metros" apela a los números decimales y utiliza como unidad de medida el metro (se escribirá 2,9 m.). La segunda "dos metros nueve" no apela más que a los naturales y utiliza el metro como unidad de medida asociada al primer natural y deja implícita la unidad de medida asociada al segundo. Hay ambigüedad: en este contexto se comprenderá "dos metros y nueve decímetros" (2 m. 9 dm.), mientras que en otro contexto se podría comprender "dos metros nueve centímetros" (2 m. 9 cm.) que corresponde, además, al uso corriente de esta expresión. 6. Las preguntas de los alumnos después de la lectura del enunciado Las preguntas de los alumnos permiten construir el sentido del enunciado del problema. El maestro las necesita para asegurarse de la comprensión de la consigna por los alumnos. Traducen un modo de funcionamiento de la clase en el que plantear preguntas antes de lanzarse a la investigación es natural. No significa, en modo alguno, que los alumnos tengan dificultades de comprensión sino, al contrario, que siguen perfectamente el enunciado. La primera tiene una respuesta (matemáticamente) evidente mientras que las dos siguientes tienen como efecto precisar la consigna. 7. "Yo he encontrado el resultado" En una clase se oye a menudo este comentario. Proviene, generalmente, de alumnos que quieren atraer la atención sobre ellos. En tal caso, son ignorados por el maestro y el resto de alumnos. Más raramente, pueden provenir de un alumno que, efectivamente, ha encontrado la solución. Pueden, entonces, desencadenar reacciones de laxitud o de admiración en los otros alumnos. El maestro, para que la actividad pueda desarrollarse, generalmente se dirige al alumno para "hacerle callar" pidiéndole que guarde la respuesta para él redactando la solución, o bien le propone que busque otras eventuales soluciones ... 8. Saber si se ha acertado o no

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En esta secuencia no hay nada que permita a los alumnos saber si la hipótesis que ellos han hecho es acertada o no. Solamente la aceptación o el rechazo del maestro les servirá de validación. 9. La tarea de los alumnos Lo que está en juego para los alumnos es encontrar las tablas o los números adecuados. Para el maestro parece ser "encontrar el método que permita elegir los números precisos". Este último es abandonado, ni siquiera es evocado en el momento de la corrección. Esta constatación puede llevarnos a pensar que la elección de la situación no estaba adaptada a la realidad de la clase o a los objetivos que se había fijado el maestro. 10. "Treinta y seis, es demasiado grande" El número a alcanzar era 2,9. Julián expresa sin duda la idea de que un número de la forma ...,36 no puede convenir pues 36 es demasiado grande en relación a 9 ¿Se puede deducir de ello que él piensa que 2,36 es superior a 2,9? Nada nos permite ir más allá en nuestras conclusiones a partir de esta simple observación. 11. Elisa y los cálculos Elisa había escrito seguramente 1,33 + 0,3 = 1,36 ya que no reaccionaba a las palabras de Julián. "¡No! ¡Es falso! No, no, no" no pone en cuestión la suma 1,60 = 1,57 + 0,3 sino, simplemente, el hecho de que no son los números adecuados pues no se llega a 2,9. 12. Los errores de Julián y Elisa Sus errores nos remiten a concepciones erróneas sobre los números decimales. Un decimal es a menudo considerado como dos naturales separados por una coma o bien como un nuevo código de un número natural obtenido en un nuevo sistema de numeración, en el que se habría cambiado de agrupamiento. Por ejemplo, para sumar 1,57 y 0,3, la primera concepción32 autoriza el tratamiento separado de las partes enteras

32 El término "concepción" se utiliza en didáctica de las matemáticas según, al menos, dos acepciones. En su tesis "Aires de surfaces planes et nombres décimaux. Questions didactiques liées aux élèves en dificulté aux niveaux CM-sixième" (chap. 7, IREM de Paris VII, 1992, pp.380-381), M. J. Perrin recuerda estos dos usos que son: "El término concepción se emplea en los trabajos de didáctica en referencia a dos puntos de vista netamente diferentes aunque estrechamente ligados: - Un aspecto ligado al contenido y a las situaciones, a los problemas que la ponen en escena: por ejemplo M. Artigue y J. Robinet examinan diferentes concepciones del círculo asociadas a definiciones diferentes; esas definiciones son equivalentes pero corresponden a puntos de vista diferentes. Se podría decir: hay varias maneras de concebir (en términos de definición en el saber matemático) un círculo. Este aspecto es utilizado en el análisis "a priori" de una ingeniería didáctica. Por ejemplo, Harrison Ratsimba–Rajohn (RDM, vol 3/1, 1982, pp. 65 a 113) ha puesto en evidencia dos concepciones diferentes de los racionales, la conmensuración y el fraccionamiento de la unidad que corresponden a dos conjuntos diferentes de conocimientos. En este caso, el didacta se preocupa de hacer el balance de los diferentes enfoques (de un mismo objeto matemático) que conducen a definiciones diferentes de este objeto. - El otro aspecto se sitúa más bien en relación con los alumnos y se interesa por las concepciones ciertas o falsas que un alumno es susceptible de poner en práctica en una situación dada para resolver un problema. Es utilizada en el análisis de los errores de los alumnos. Estas concepciones erróneas de los alumnos tienen, en general, un parentesco con concepciones verdaderas pero en otro dominio de validez, por ejemplo. M-J Perrin escribe a continuación: "Los dos aspectos de los que hemos hablado están estrechamente ligados porque las concepciones que los alumnos ponen en práctica dependen de los problemas que tratan y de las situaciones en que se les coloca". La autora, seguidamente, señala que "en los alumnos pueden coexistir concepciones erróneas, incluso contradictorias, sin que el alumno sea consciente de la contradicción o, en todo caso, se dé cuenta de ella".

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y decimales: 1 + 0 = 1 y, por otra parte, 57 + 3 = 60. "Pegando" los dos trozos se obtiene, entonces, 1, 60. Con la segunda concepción, el alumno considera que el número 1,57 puede escribirse 157; que 0,3 puede escribirse 03 ó 3. Suma entonces estos dos naturales y obtiene 160. Para volver a la "forma" inicial, introduce una coma respetando el orden de magnitud y obtiene 1,60. 13. El método de Cédric ¿Por qué la elección de los dos números mayores? Sólo Cédric podría decirlo e incluso... Se puede hacer la hipótesis de que Cédric ha hecho cálculos buscando obtener 9 como última cifra decimal, cálculos que le llevaban siempre a obtener números menores que 2,9. Aún más, él ha cambiado tal vez de estrategia buscando obtener una suma importante y, por lo tanto, eligiendo de entrada números grandes. 14. "Hay que poner las comas alineadas". Este fenómeno es corriente en los alumnos que buscan leyes estrictas de aplicar, leyes que den seguridad. Esta afirmación de Cédric hace pensar en una regla ("es necesario") que habría aprendido o constatado. La expresión "alineados" es expresada en su lenguaje, queriendo decir una debajo de otra. 15. "¿Si la coma representa el metro, qué representan las otras cifras? ¿La coma es una cifra? Esta cuestión induce a confusiones, un mal dominio del saber matemático en juego. Las explicaciones que siguen son también confusas y los niños se ven arrastrados hacia este discurso. Se encuentra aquí un efecto del método utilizado por el maestro: es el "efecto Topaze"33. El maestro hace decir a los alumnos lo que él quiere. El tiene necesidad en este momento de recuperar la situación que se le ha ido de las manos porque Cédric ya sabía sumar "números con coma". 16. Julián y Elisa juzgando el método de Cédric. Lo que presenta Cédric convence completamente a Julián y Elisa. Aceptan las explicaciones presentadas pues perciben una lógica, unas regularidades en la explicación de Cédric. No se puede, por tanto, concluir que han comprendido el método utilizado. 17. El hermano de Cédric ¿Tiene uno derecho a exponer en la escuela conocimientos adquiridos en el exterior? Es una cuestión que se plantea a lo largo de toda la escolaridad. Con esta afirmación, Cédric hace referencia a una autoridad exterior, posesora de la verdad. 18. La hipótesis del maestro. En lo que nos muestra la transcripción: trabajo de Julián y Elisa, después el método utilizado por Cédric, no se ve en ningún momento que los alumnos hayan recurrido a las fracciones decimales. Se puede, pues, pensar que el maestro ha evaluado mal los conocimientos disponibles. 19. La "letra" del problema El vocabulario empleado es familiar a los niños pero "la puesta en escena" aparece como un poco artificial: un banco de 2,9 m., varias tablas de madera... 20. El enunciado oral La presentación oral de una situación evita las dificultades de la lectura y centra la actividad de los alumnos en el objetivo matemático.

33 Cf. definición del efecto Topaze, página ?? (página 73 del original).

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Las diferentes cuestiones abordadas en este análisis pueden ser reorganizadas con la ayuda de un modelo. 2.2 Análisis con la ayuda de un modelo Las diferentes cuestiones del análisis precedente remiten a objetos diferentes. Por ejemplo, la cuestión 5 es una pregunta sobre el saber en juego mientras que la cuestión 7 nos remite a las relaciones entre el maestro y los alumnos. Señalemos que una formación en pedagogía general no permite responder a la cuestión 5, ni siquiera considerar tal cuestión. Es interesante reorganizar los hechos observados a fin de identificar los diferentes parámetros que intervienen en una situación después de evaluar el espacio de libertad del enseñante en sus decisiones. El esquema34 siguiente distingue "el saber", "el maestro", "el alumno" (o un grupo de alumnos) y "la situación" y permite abordar las interacciones entre estos polos.

Ejercicio (corrección página ??) (página 211 del original) Completa el esquema inscribiendo el número de las cuestiones que remiten, más en particular, a uno de los polos de observación o a las interrelaciones entre ellos.

34 G. Brousseau ha propuesto una aproximación sistémica de la relación didáctica. Puede leerse su artículo: "Le contrat didactique: le milieu", Recherches en Didactique des Mathématiques (RDM), vol. 9/3, 1990.

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Un modelo de este tipo puede constituir una ayuda para la observación y también para la preparación de una secuencia o la interpretación de las reacciones de los alumnos. 2.3 Relación con el saber En la secuencia que acabamos de estudiar, el observador asiste a la aportación (por Cédric) de una información que no es tratada como hipótesis sino, simplemente, admitida como verdadera. Incluso si se refiere a saberes matemáticos (los decimales), la actividad practicada no es, pues, de naturaleza matemática. Esta conclusión, un poco brutal, nos conduce a abordar la idea de "relación con el saber"35. La escuela debe permitir a cada uno ejercer una actividad matemática, es decir, formular hipótesis, validarlas36 o invalidarlas, identificar el saber de referencia. Así, un alumno en clase de matemáticas puede valerse de saberes personales adquiridos en el exterior, pero la clase no es una simple "oficina de registro". Toda afirmación inesperada de un alumno debe ser considerada como una proposición, discutida y verificada a partir de los conocimientos disponibles por el conjunto del grupo clase. Sin embargo, es posible prever situaciones que permitan a los alumnos producir declaraciones fundadas en sus propias concepciones. Tomemos un ejemplo: más que dar las definiciones de ciertas figuras sencillas (cuadrado, rectángulo, rombo...), el profesor pide a los alumnos que redacten mensajes que permitan a otros alumnos reproducir una figura dada (figura que los primeros alumnos tienen ante sus ojos). Hablaremos en este caso de una situación de comunicación escrita. Ejercicio tratado En una situación de comunicación, alumnos del ciclo medio (9 - 10 años) tienen que producir un mensaje escrito que permita a otros construir una figura dada que no tienen delante. Sean estos dos mensajes: M1:"Es una figura de cuatro lados. Hay un ángulo arriba, otro Es una figura de cuatro lados. Hay un ángulo arriba, otro Es una figura de cuatro lados. Hay un ángulo arriba, otro Es una figura de cuatro lados. Hay un ángulo arriba, otro abajo y dabajo y dabajo y dabajo y dos a cada lado".os a cada lado".os a cada lado".os a cada lado". M2: "Nuestra forma tiene cuatro lados iguales. Es un "Nuestra forma tiene cuatro lados iguales. Es un "Nuestra forma tiene cuatro lados iguales. Es un "Nuestra forma tiene cuatro lados iguales. Es un rectángulo deformado". rectángulo deformado". rectángulo deformado". rectángulo deformado". 1. ¿El vocabulario utilizado es el esperado por la escuela? 2. Reconoce el tipo de figuras descritas. 3. ¿Cómo informan estos mensajes de la aprehensión de estas figuras por los alumnos? Elementos de respuesta 1. El vocabulario utilizado remite a dos registros diferentes: - términos técnicos o matemáticos como ángulo, rectángulo...

35 Y. Chevallard:"Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives apportées par una approche antropologique", RDM, vol. 12/1, 1992. 36 Validar: establecer la verdad, mientras que evaluar consiste en dar una apreciación, un juicio de valor.

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- términos del lenguaje corriente como forma, deformado... Todos los términos técnicos no tienen el significado que les asignan los matemáticos. Así "ángulo" es utilizado en el sentido de esquina y no de sector angular, es decir, un dominio plano limitado por dos semirrectas del mismo origen. 2. M1 describe un rombo mientras que M2 describe un paralelogramo. 3. A través del mensaje de M1 aparece la idea de que un rombo es presentado siempre de la misma manera, que ocupa una posición privilegiada en el plano, y, por tanto, que se define por su relación al plano (abajo, a cada lado). Las producciones escritas de los alumnos nos aclaran la manera en que conciben las figuras geométricas y formulan lo que, desde su punto de vista, las caracteriza. El trabajo del profesor consiste, pues, en conciliar las concepciones de los alumnos con su proyecto de enseñanza, construyendo situaciones adaptadas. Diremos, entonces, que uno de los retos importantes de la actividad matemática en clase consiste en cimentarse sobre los conocimientos37 de base de los alumnos con vistas a la producción de un saber oficial.

37 Conocimiento y saber: extraemos las siguientes definiciones de los escritos de J. Centeno y G. Brousseau: Conocimiento: "Los conocimientos son los medios transmisibles (por imitación, iniciación, comunicación, etc..) pero no necesariamente explicitables, de controlar una situación y obtener de ellos un cierto resultado conforme a una espera o una exigencia social”. Saber: "El saber es el producto cultural de una institución que tiene por objeto identificar, analizar y organizar los conocimientos a fin de facilitar su comunicación, su uso bajo la forma de conocimientos o saberes y la producción de nuevos saberes. En algunas situaciones (acción, formulación o prueba) el mismo resultado puede ser el fruto de un conocimiento del actor o el fruto de un saber, o los dos". F. Conne en el artículo: "Savoir et connaissance dans la perspective de la trnsposition didactique", RDM, vol. 12/2.3, 1992, p.225, precisa el criterio que separa el orden del saber del correspondiente al conocimiento.Véase el parágrafo: ‘Rapport entre savoirs et connaissances’, pp. 149-50.

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EL SABER EN JUEGO Las instrucciones oficiales, en Francia, definen los programas de enseñanza de las matemáticas. Pero ¿cómo son elegidos los saberes que encontramos en la escuela? ¿Están allí de manera inmutable o bien han evolucionado a lo largo del tiempo? El saber científico está registrado en las teorías matemáticas pero, para poder ser enseñado a todos los niveles de la escolaridad, sufre transformaciones. 3.1 Diferentes aproximaciones para un mismo saber Vamos a mostrar cómo un saber claramente registrado en las matemáticas puede revestir aspectos completamente diferentes según la población a la que es enseñado. Este punto interesa a todo enseñante: - de primaria, que debe tener en cuenta que será un objeto particular de saber para sus alumnos algunos años más tarde - de secundaria, para poder extender el campo de conocimientos de los alumnos que recibe. Vamos, pues, a estudiar la simetría axial a través de los diferentes niveles de enseñanza en primaria, secundaria y bachillerato. Ejercicio tratado: El objeto "simetría axial" figura en los textos oficiales franceses de 1991 "los ciclos en la escuela primaria". El saber científico correspondiente es "simetría ortogonal plana". Se pueden localizar las diferencias entre el saber matemático y el saber enseñado en primaria, secundaria y bachillerato. Analice el saber tal como aparece en los seis siguientes extractos de manuales escolares .

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Elementos de respuesta - En la actividad del curso preparatorio38, "j'aprends les maths”, en la primera imagen se habla de "alas simétricas" mientras que en la segunda se habla de "alas coloreadas de manera simétrica". Este matiz ¿es deseado? El título es "la simetría" pero más adelante se lee "aproximación a la simetría". ¿De qué objeto de saber se habla? Se puede decir aquí que: la simetría se apoya sobre objetos físicos ya que hace intervenir el color que no pertenece a los objetos geométricos. - En "Le livre outil", la cuestión "¿Estas dos figuras son simétricas?" ignora los objetos físicos. En el resumen puede leerse: "la figura negra y la figura verde ... La transformación que permite pasar de una figura a otra es una simetría respecto a la recta roja". Los colores intervienen para designar figuras pero no forman parte de ellas. Se trabaja sobre objetos geométricos. La simetría aparece como una transformación plana que opera globalmente sobre figuras. El título menciona "simetría respecto a una recta", lo que hace pensar que se pueda definir una simetría con respecto a otra cosa. Se habla de eje pero su vinculación con la palabra recta no se hace más que en el resumen. Las figuras propuestas están sobre papel cuadriculado, los ejes ocupan una posición muy particular: son verticales y están en el centro de la hoja. Se señala que es cuestión de "orientación de una figura". Esta noción no pertenece al mundo de los objetos matemáticos que habla de orientación del plano. - En "Objectif calcul", la simetría aparece igualmente como una transformación que opera globalmente sobre una figura. El soporte no es siempre un papel cuadriculado, el eje de simetría aparece, a veces, en posición oblicua. Se puede pensar que dos alumnos del ciclo medio (9 - 10 años) que trabajen con estos dos últimos manuales no van a construir los mismos conocimientos respecto a la simetría. - En "Puissance math 6", se distingue un eje de simetría de una figura y de figuras simétricas. Esta distinción estaba implícita en los ejercicios del ciclo medio que acabamos de observar. La simetría permanece como una transformación que opera globalmente sobre una figura pero se ve aparecer la imagen de un punto como medio técnico de construcción. - En la colección Terracher seconde, se presentan en paralelo las simetrías axiales y centrales como transformaciones puntuales. - Finalmente, en la colección Riche que ya no corresponde a los programas actuales de “terminale scientifique”39, los conceptos matemáticos asociados a la noción de simetría axial son las nociones de involución, de aplicación afín y de isometría. Se trata ya de un objeto matemático en relación estrecha con otros que ocupan un lugar preciso en una teoría.

38 N. de los T.: En la educación primaria francesa, el primer curso se denomina “cours préparatoire” y se estudia a la edad de 6-7 años 39 N. de los T.: En el bachillerato francés, “terminale scientifique” corresponde al último curso (especialidad de ciencias) y se estudia a la edad de 17-18 años.

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A través de este estudio, se ve que la distancia entre un objeto de enseñanza y un objeto de saber científico depende del nivel de enseñanza, de la época, de los autores de los manuales ... Esto nos conduce a exponer un concepto de la didáctica que permite la profundización de estos análisis. Se trata de la "trasposición didáctica". 3.2 Trasposición didáctica El matemático no comunica sus resultados en la forma en que los ha encontrado. Los reorganiza, les da una forma tan general como le sea posible. Hace "didáctica práctica" que consiste en poner el saber en una forma comunicable, descontextualizada. El enseñante hace el trabajo inverso del matemático. Efectúa una "recontextualización" del saber. Busca situaciones que van a dar sentido a los conocimientos que va a enseñar. Un saber dado sufre transformaciones inevitables cuando se le quiere hacer objeto de enseñanza. Y. Chevallard ha puesto en evidencia este fenómeno y le ha dado el nombre de trasposición didáctica.

"Todo proyecto social de enseñanza y aprendizaje se constituye dialécticamente con la identificación y la designación de los contenidos de saber como contenidos para enseñar. (...) Un contenido de saber que ha sido designado como saber para enseñar sufre desde ese mismo momento un conjunto de transformaciones adaptativas que van a hacerle apto para estar entre los objetos de enseñanza. El ‘trabajo’ que consiste en hacer que un objeto de saber para enseñar sea objeto de enseñanza se llama ‘trasposición didáctica’40”.

El siguiente esquema muestra las transformaciones de un saber desde que es tema de investigación hasta su enseñanza en la escolaridad obligatoria. comunidad científica noosfera41 tema de saber saber situación investigación científico que se va a enseñar de enseñanza trabajo del instrucciones trabajo del matemático oficiales profesor

40 Y. Chevallard: La transposition didactique, La Pensée sauvage, 1985, p. 39. N. de los T: Hay traducción en español: La transposición didáctica: del saber sabio al saber enseñado .- Buenos Aires, Aique, 1997. 41 La noosfera designa el conjunto de personas o instancias que participan en la definición de los programas. No sólo el Ministerio de Educación; otras instituciones participan en la selección: Academias, padres etc.

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Observación relativa a los estudiantes que preparan el concurso de profesor de escuela primaria: En el marco de un análisis de documentos la pregunta: "Situar y analizar los contenidos científicos subyacentes" apela a una reflexión sobre el saber científico, la forma bajo la que interviene en la actividad analizada, las transformaciones que este saber ha sufrido, es decir, una reflexión que remite al concepto de trasposición didáctica. 3.3 El saber científico El matemático, a lo largo de la historia, ha tenido la preocupación de resolver los problemas para los que no existía respuesta inmediata. Procede por centros de interés, dominios de contornos, a menudo, difusos. No sabe siempre si los resultados que enuncia serán o no interesantes para los otros matemáticos. Para comunicar sus resultados debe reorganizar su trabajo, en particular suprimir las pistas falsas, las reflexiones juzgadas "a posteriori" inútiles. Así se constituyen progresivamente los textos del saber.

El saber científico es el conjunto de conocimientos socialmente disponibles que han sido objeto de publicaciones científicas o de comunicaciones reconocidas como válidas por toda una comunidad. Está organizado dentro de una teoría.

Por ejemplo, la aritmética y la teoría de números reagrupan todo lo que se sabe sobre los números naturales: su escritura en diferentes sistemas de numeración, las operaciones definidas con estos números y las reglas de cálculo asociadas, divisibilidad, congruencias, razonamiento por recurrencia ... Enseñar la aritmética a un nivel de escolaridad dado (primaria, “terminale scientifique” (17 años),..) supone seleccionar de la teoría lo que se desea enseñar y lo que conviene ignorar. El saber matemático, en un momento dado, está expresado por escrito: las tablas babilónicas, los papiros egipcios dan testimonio de ello. El conjunto de los trece libros que constituyen los "Elementos" de Euclides fue constantemente utilizado y estudiado durante dos milenios. Esta obra no solamente ha dominado la enseñanza de la geometría hasta nuestros días sino que ha ejercido una gran influencia sobre el pensamiento científico. Hoy, los "Élements mathématiques" de Bourbaki42 reorganizan, en gran parte, el saber matemático. 3.4 La elección de los saberes que se van a enseñar Los programas oficiales recogen los saberes que se van a enseñar en todos los niveles de escolaridad. En Francia, son el resultado de la negociación en el interior del sistema social de enseñanza (Ministerio de Educación, Institutos de Investigación Pedagógica, enseñantes, matemáticos, Academias, Inspección General, personalidades, etc.). La decisión final compete a las instancias políticas nacionales. Estas negociaciones y la decisión final están, evidentemente, ligadas al contexto social del momento (voluntad

42 Bourbaki (Nicolas) seudónimo colectivo bajo el que un grupo de matemáticos, franceses en su mayoría, han emprendido desde 1939 la exposición de las matemáticas desde un punto de partida lógico y proponiendo su sistematización (Voz del Petit Larousse, ed. 1992).

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popular, avances tecnológicos, nivel de formación de los enseñantes). Pero las influencias son múltiples, numerosos factores intervienen para definir el saber que se va a enseñar. • La tradición Cualesquiera que sean las reformas de los contenidos de enseñanza, hay dominios más particularmente anclados en los hábitos culturales de una sociedad. Tomemos el ejemplo del algoritmo de la multiplicación. El procedimiento conocido de todos es el enseñado en las Universidades italianas del siglo XVI y utilizado después en Francia. Abandonar tal procedimiento sería un poco abandonar un elemento del patrimonio cultural que ha llegado a ser nacional. Existen, sin embargo, otros procedimientos de cálculo del producto de dos números. Actualmente se intenta privilegiar la construcción por los niños del sentido de las operaciones. Esto lleva a los investigadores en didáctica de las matemáticas a comparar estos procedimientos y a estudiar su adecuación a esta construcción del sentido. Sin embargo, a pesar de que otros procedimientos facilitan el aprendizaje, el peso de la tradición no permite, incluso, abandonar totalmente el algoritmo tradicional. Ejercicio (corrección página ??) (página 212 del original) Observe estas dos maneras de calcular el producto 1258 x 135

método llamado “por celosía” método llamado “a la rusa” Analice los algoritmos puestos en práctica (disposición espacial, control de cálculos intermedios, resultados memorizados...)

• Las exigencias sociales Los porcentajes, la regla de tres, las escalas son todavía identificados, a menudo, como nociones diferentes a pesar de que proceden de un mismo saber científico: las funciones lineales de R hacia R ¿Por qué son identificadas como diferentes? El primer encuentro con estas nociones está ligado, frecuentemente, con la resolución de problemas "concretos". Estas nociones son, por tanto, desarrolladas como competencias adaptadas a problemas prácticos y no construidas a partir del modelo matemático. Las exigencias

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sociales para hacer aprender matemáticas “útiles” tienen, por consiguiente, consecuencias sobre la organización de los saberes que se van a enseñar y su terminología. Ejercicio (corrección página ??) (página 214 del original) Sean estas dos propiedades características de las funciones lineales de R en R: ∀ x, ∀y : f (x + y) = f (x) + f (y) y ∀ k, ∀ x : k f (x) = f (kx) Mediante ejemplos, muestre cómo pueden utilizarse estas propiedades para resolver problemas de proporcionalidad. • Los efectos de la moda La voluntad de innovación pedagógica tiene consecuencias sobre la evolución de los saberes que se van a enseñar. La duración de la vida de un objeto de enseñanza está, a veces, sometida a los efectos de la moda. Por ejemplo, para una operación dada, la elección de los algoritmos utilizados puede variar siempre que no suponga un cambio "revolucionario" en la presentación. Veamos dos procedimientos de cálculo de 175 - 89 Procedimiento 1: 16 15 175 1 7 5 - 89 - 8 9 ------ --------- 8 6 "9 quitado de 5, no se puede. Tomo una decena de las 7, quedan 6; 9 quitado de 15 da 6; 8 quitado de 6, no se puede. Tomo una centena de 1; 8 quitado de 16 da 8. El resultado es 86". Procedimiento 2. 175 11715 - 89 - 8 9 ----- 1 1 ------- 0 8 6 "De 9 a 5 no se puede. De 9 a 15 van 6. Llevo 1, 8 y 1 son 9. De 9 a 7, no se puede. De 9 a 17, 8 y llevo 1. De 1 a 1, 0. El resultado es 86". Como la enseñanza de la numeración en los años 70-80 se basaba en numerosas manipulaciones de bloques multibase, el procedimiento 1 se puso "de moda" porque reflejaba exactamente esas manipulaciones (descomponer los bloques). Este procedimiento ha mostrado sus límites cuando se quiere restar, por ejemplo, 567 de 10000. El procedimiento 2 corresponde a la técnica tradicional. Ejercicio (corrección página 214 del original) ¿Qué propiedades matemáticas son utilizadas en cada uno de estos dos procedimientos? • La evolución tecnológica

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La elección de los saberes enseñados por la institución es puesta en cuestión, continuamente, por la aparición de nuevos instrumentos (pie de rey, palmer, regla de cálculo después, más tarde microordenadores, calculadoras, calculadoras gráficas) que, en su origen, no están especialmente destinados al medio pedagógico. Este fenómeno se traduce en modificaciones de los programas y necesita una nueva aproximación a ciertos saberes. Por ejemplo, en la escolaridad obligatoria, el algoritmo de la extracción de una raíz cuadrada formaba parte de los programas de troisième (14 años) de los años 50. Esta enseñanza ha sido abandonada después y hoy ya casi nadie conoce el algoritmo para calcular la raíz cuadrada de 3724. Cualquier calculadora proporciona un valor aproximado, por ejemplo 61,024585. No obstante, el saber "raíz cuadrada" es siempre un objeto de enseñanza. Los alumnos saben qué es una raíz cuadrada. Conocen la notación

,a , así como las principales reglas de cálculo: ,ab = ,a . ,b

Erreur ! = Erreur ! Puede esperarse que el tiempo liberado por la máquina, que calcula en lugar del hombre, deja el placer de controlar los cálculos, de apreciar la pertinencia de los resultados obtenidos ... ¿Puede aventurarse que un día ya no se enseñe el algoritmo de la división en la escuela primaria?... Nos imaginamos la protesta general proveniente de todos los sitios. La evolución tecnológica debe, por tanto, contemporizar con la fuerza de la tradición. Los avances tecnológicos influyen igualmente en las preguntas de los exámenes. Por ejemplo, hace unos años en Francia, uno de los fines del estudio de las funciones en terminale (17 años) era todavía construir la representación gráfica de la función estudiada. La aparición de las calculadoras gráficas impone concebir de manera diferente el trabajo que se puede pedir a los alumnos en análisis. Ejercicio La prueba nacional de la serie STI Ingeniería Mecánica del Bachillerato de 1995 propuso el problema siguiente. Nótese cómo se muestra en esta redacción la influencia de las calculadoras gráficas. Parte A- Cuestiones preliminares 1. ln designa la función logaritmo neperiano. Sea g la función numérica definida en [0, + ∞] por g(x)=

�

�� 1

Construir en un plano referido a un sistema ortonormal, las curvas representativas de las funciones g y ln (no se pide un estudio previo). 2. Justificar, a partir de las construcciones hechas en la cuestión 1., que para todo número real x estrictamente positivo:

x2

2 +1- lnx > 0

Parte B- Estudio de una función El objeto de esta parte B es el estudio de una función que llamamos f y definimos más abajo. La curva (C) de la figura es la representación gráfica de esta función en un plano

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referido al sistema ortonormal (O, i, j). Se facilita para que permita controlar la exactitud de ciertos resultados. No se debe tener en cuenta para responder a las preguntas pero se pide al candidato que señale toda eventual contradicción entre las respuestas obtenidas por el cálculo y la lectura de la curva (C). Sea f la función numérica definida en (0, + ∞) por

f(x)= x - 1+ 2�� �

�

1. Calcular el límite de f en 0. Deducir de él la existencia de una asíntota a la curva (C). 2. a) Calcular el límite de f en +∞ b) Demostrar que la recta ∆ de ecuación y = x-1 es asíntota a la curva (C) en +∞ c) Calcular las posiciones relativas de (C) y ∆. 3. Calcular la derivada f ' de la función f. Con la ayuda de la parte A, determinar el sentido de variación de f. 4. Calcular la ecuación de la tangente a (C) en el punto de abscisa 1. 5. Calcular el punto de (C) en que la tangente es paralela a ∆. Parte C- Cálculo del área

1. Determina una primitiva de la función u definida sobre (0, + ∞) por u(x)= ���

�.

(Se recuerda que la función definida en (0, +∞) por x→ 1/x es la derivada de ln). 2. Sea λ un número real estrictamente mayor que 1 a) Calcular el área S(λ) del dominio plano formado por el conjunto de puntos M(x,y) tales que: 1≤ x ≤ λ x-1≤ y ≤ f(x) b) Determinar el límite de S(λ) cuando λ tiende a +∞ Curva:

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La representación gráfica no es el objetivo de los cálculos pedidos a lo largo del problema pero viene a ser un instrumento de control de los resultados obtenidos por estos cálculos. Ejercicio (corrección página ??) (página 215 del original) La figura muestra la pantalla de una calculadora gráfica43. Se pedía representar la función logaritmo neperiano (ln) y la función f definida por f(x) = 100 sen x: Copiar figura (pag. 60 del original)

43 cf. L. Touche:"Les calculatrices graphiques au lycée:statut pour le maitre, statut pour l'élève" DEA, Université des Sciences et des Techniques du Languedoc, Montpellier, 1992.

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Resolver gráficamente la ecuación ln (x) = 100 sen x consiste en buscar las abscisas de los puntos de intersección de las dos curvas. Un estudiante responde: "hay una infinidad de soluciones porque la curva continúa fuera de la pantalla” ¿Qué pensar de su respuesta? • Las aportaciones de las investigaciones en didáctica Las investigaciones en didáctica pretenden, en último término, una mejora de la enseñanza, lo que, de hecho, lleva consigo una modificación de los saberes que se van a enseñar. Los trabajos sobre: la construcción del número, las operaciones aritméticas, la geometría, la resolución de problemas ya han provocado modificaciones en los programas de la escuela primaria. Los programas franceses de 1995 hablan, por ejemplo, en el ciclo de los aprendizajes fundamentales de "aproximación de las técnicas operatorias de la sustracción, la multiplicación ..." lo que significa una elaboración progresiva de estas técnicas. Actualmente, se dedica una atención especial a la resolución de problemas: "la resolución de problemas ocupa un lugar importante en el aprendizaje de los conocimientos matemáticos por los alumnos"44. • La organización de los cursos y de los exámenes La elección de los saberes que se van a enseñar se plantea también cuando intervienen reformas estructurales (nuevas secciones, nuevas opciones, modificación de las pruebas de examen ...) Por ejemplo, en el momento de la implantación en Francia de la nueva sección S (científica) en los cursos “première”45 o “terminale” (17 años) hubo que definir unos nuevos programas, a partir de de un tronco común desgajado de los antiguos programas de las secciones D y C. Hubo que crear de nuevo, por el sesgo de las especialidades, dominantes en matemáticas, física y biología. Los saberes que se van a enseñar aparecen entonces como un compromiso entre los antiguos programas y las opciones nuevas. Conclusión: Acabamos de ver que la elección de los saberes que se van a enseñar depende de un determinado número de factores. Algunos saberes aparecen y luego desaparecen (por ejemplo, los nuevos programas de la escuela primaria de 1995 no mencionan ya las funciones numéricas). Se puede describir la evolución de los contenidos de la enseñanza estudiando las instrucciones oficiales que se han ido sucediendo estos últimos años. Algunos saberes se transforman en el tiempo escolar (cf. el ejemplo de la simetría página 42 del original) pero también en el enfoque (cf. el estudio de límites, de las representaciones gráficas en bachillerato). 3.5. La elección de las situaciones de enseñanza 44Pero se constatan también recomendaciones extrañas como por ejemplo en el ciclo de profundización: "reconocimiento de situaciones de proporcionalidad en casos sencillos (escalas, porcentajes)”. En efecto, en este último caso la "simplicidad" evocada por los autores de los programas es muy contestable. Todavía, los saberes enseñados son el resultado de ciertos compromisos. 45 N. de los T. En el bachillerato francés, première se estudia a la edad de 16-17 años

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Una vez definido el saber que se va a enseñar, quedan por determinar las etapas que hay que franquear para llegar al saber del alumno. Lo primero es expresar en un texto escrito el saber que se va a enseñar. En el momento de la redacción de las instrucciones oficiales, los expertos tienen que adaptar unas definiciones y una organización de los contenidos, seleccionar lo que será aceptado sin más y lo que será demostrado. Algunos objetos pueden ser creados completamente de nuevo (cf. deslizamiento metadidáctico página75 del original). El paso del saber que se va a enseñar a saber enseñado constituye la etapa siguiente de la transposición didáctica. El profesor prepara su enseñanza refiriéndose a los textos oficiales, yendo a seleccionar en los manuales lo que le parece más adaptado46 teniendo en cuenta su experiencia (por ejemplo lo que sabe sobre las nociones difíciles o importantes para los alumnos). Organiza la secuencia para todo el año. La relación del profesor hacia los manuales induce nuevas transformaciones del saber. Por ejemplo, un maestro del curso preparatorio (6 años) que utiliza fichas elige fragmentar los saberes (aprendizaje del número cinco, del seis etc.). En fin, el acto mismo de enseñanza transforma todavía el saber y, por otra parte, el saber retenido por el alumno no es jamás idéntico al saber enseñado. 3.6 Dialéctica instrumento - objeto Un saber dado como la simetría axial interviene pues en diferentes momentos de la escolaridad pero su estudio reviste, al menos, dos aspectos: - el conocimiento de la noción matemática; - la investigación de los problemas relacionados con ella.

"Decimos que un concepto es instrumento cuando focalizamos nuestro interés en el uso que se hace de él para resolver un problema ... Entendemos por objeto el objeto cultural que ocupa su lugar en un edificio más amplio que es el saber científico en un momento dado, reconocido socialmente"47.

Una noción matemática interviene como instrumento (implícito o explícito) de resolución de un problema, es reconocida y estudiada en tanto que saber oficial (objeto), después interviene de nuevo como instrumento en otros problemas ... Ejemplo: Los números naturales son instrumento para conservar la memoria de la cantidad, pero son también estudiados como objetos desde la escuela primaria: por ejemplo al estudiar la designación escrita y hablada, el orden, etc. Volvamos a la simetría axial y estudiemos un ejercicio que la exige en tanto que instrumento (búsqueda del trayecto mínimo).

46 Las obras destinadas a la enseñanza en Francia tienen también su historia. Revelan conflictos importantes sobre los saberes que se van a enseñar en matemáticas. El lector interesado podrá leer: Essai d'histoire des mathématiques de Jean Itard, librairie scientifique et technique, 1984. 47 R. Douady "Jeux de cadres et dialectique outil-objet", RDM, vol 7/2, 1987, p. 9.

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Partiendo de A, se quiere ir a B pero durante el trayecto se quiere coger agua en un punto M de la orilla del río (representada por la recta d). ¿Dónde estará situado el punto M para que el trayecto AMB sea mínimo? Copiar figura (pag. 62 del original) La simetría ortogonal conserva las distancias (propiedad conocida del objeto simetría ortogonal). Sea A' el simétrico de A con respecto a d. Copiar figura (pag. 63 del original) El trayecto AMB es igual al trayecto A'MB; la movilización de la simetría axial permite transformar el problema dado en el siguiente: Se quiere ir de A' a B cruzando el río en un punto M ¿Dónde ha de situarse el puente (el punto M) para que el trayecto A'MB sea mínimo? En este caso la solución es inmediata: el trayecto mínimo es aquel en que los puntos A', M y B están alineados. Así pues AMB es mínimo para A' simétrico de A con respecto a d. Copiar figura (pag. 63 del original) Este ejemplo muestra una noción que interviene como instrumento adaptado para la resolución de un problema. Esta noción puede ser movilizada porque es conocida como objeto matemático que mantiene relaciones estrechas con otros objetos del saber (distancia). Ejercicio libre De las lecciones relativas a la simetría ortogonal que aparecen en los manuales haga una selección de los aspectos concernientes al carácter de instrumento y después de los correspondientes a su carácter de objeto.

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LAS DECISIONES DEL ENSEÑANTE Para preparar las lecciones, y durante la realización de éstas, el profesor debe tomar decisiones constantemente. Vamos a estudiar algunas decisiones y ver cuáles son los márgenes de maniobra, los espacios de libertad, las limitaciones. Retomando las transcripciones de un momento de enseñanza (cf. página 30 del original) podemos reseñar que el maestro interviene para: - lanzar la actividad, es decir, dar las consignas de organización, leer el enunciado del problema, anotar en la pizarra los datos importantes, explicar el vocabulario utilizado, dar las consignas del trabajo, responder a las preguntas de los alumnos, distribuir el material; - asegurarse de que los alumnos se comprometen en una investigación; - planificar el tiempo; - designar al alumno que va a salir a la pizarra; - obligar a precisar las explicaciones dadas por un alumno; - mantener el silencio; - juzgar la validez de la solución propuesta; - etc. Se distinguen intervenciones que proceden de la actividad profesional habitual (planificar el tiempo, designar un alumno...) de otras ligadas a la construcción de la situación (juzgar la validez de la solución propuesta). El maestro aparece como responsable del trabajo efectuado, del tiempo transcurrido, del clima de la clase. Es depositario del saber oficial de la clase (este punto será tomado de nuevo más tarde cuando se aborde la noción de institucionalización página 147 del original).

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4.1 Dos fichas de preparación para una misma lección Una gran parte del trabajo del enseñante se justifica por las experiencias vividas por el profesor con anterioridad a sus intervenciones en la clase. Los documentos que siguen son dos preparaciones para una misma lección en ciclo medio (9 - 10 años). (Ver tablas o convertir en tablas pag. 66 del original) Primera preparación: Primera fase: realización de las tablas. Los alumnos están distribuidos en grupos de cuatro. Reciben un juego de 32 cartas-número, numeradas del 0 al 31. Consigna: "Distribuid las cartas de una en una, sin mezclarlas, siempre en el mismo orden. Anotad en la tabla los números que os ha correspondido a cada uno de vosotros". Material : Una hoja grande con el encabezamiento de la tabla (Ver tabla pag. 66 del original) María Eric Julián David Se muestra un ejemplo en la tabla adjunta para ver cómo rellena su hoja cada grupo. A continuación, las tablas rellenadas por los alumnos son colgadas en la pizarra. Los eventuales errores se corrigen colectivamente. Segunda fase : toma de conciencia de las propiedades. Consigna escrita dada a los alumnos: "Para cada número de la tabla efectúa la división por cuatro. Anota debajo del número el cociente en rojo y en verde el resto ¿Qué conclusiones puedes extraer? Intenta explicar tus conclusiones". En la puesta en común el profesor ayuda a los alumnos a formular y validar el resultado. Tercera fase : ejercicios de aplicación. "¿En qué fila y columna estaría el número 123 si continuáramos la tabla?" "¿Qué número se escribiría en la tercera columna de la línea 67? Segunda preparación Primera fase : preparación de la tabla. El profesor comienza a escribir, ante la atenta mirada de los alumnos, el siguiente cuadro: 0 1 2 3 4 5 "¿Quién quiere continuar?" Salen varios alumnos a hacerlo hasta que el profesor se ha asegurado que todos los alumnos saben continuar la tabla. Supongamos que la tabla se ha detenido, por ejemplo, en el número 18. El profesor plantea, a continuación, preguntas del tipo: ¿en qué fila está el número 10?¿en qué columna está el 17? Segunda fase : resolución de problemas del tipo:"¿dónde estará tal número?" El profesor anuncia que se va a continuar la tabla pero que antes es preciso intentar prever lo que va a pasar. “¿En qué fila y en qué columna escribiremos los números 35 y 40?” Investigación individual. Inventario colectivo de los resultados y discusión entre los alumnos. A continuación, se completa la tabla hasta 40 y se formula claramente el resultado buscado.

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Se proponen, sucesivamente, varios problemas de este tipo. Cuando la solución correcta comienza a ser, razonablemente, percibida por los alumnos, se propone el mismo problema con números más grandes: 464 y 517. Finalmente, el profesor ayuda a los alumnos a formular y probar el resultado. Tercera fase : ejercicios de aplicación. Fase idéntica a la de la lección precedente. Ejercicio (corrección pag. ?? (página 215 del original ) 1. ¿Cuáles son los objetivos de esta "lección"? 2. Comparar las procedimientos pedagógicos en los que se apoyan estas dos preparaciones, principalmente: - señala las intervenciones del enseñante ¿Tienen por objeto comunicar el proceso a seguir o los conocimientos? - analiza el trabajo del alumno ¿Actúa bajo el control de maestro? ¿Bajo su propia responsabilidad? - ¿Cuál es el saber en juego y los conocimientos utilizables? 3. Cuando los alumnos tienen que encontrar la fila y la columna de un número ¿el maestro elige un número cualquiera? En los parágrafos que siguen se encontrarán elementos para una corrección. 4.2 Modelos pedagógicos subyacentes Las intervenciones de un enseñante están, de hecho, muy relacionadas con el modelo pedagógico, que es el suyo. En la primera preparación, el profesor interviene muy rápidamente pidiendo a los alumnos que efectúen la división de los diferentes números de la tabla por cuatro y que constaten un hecho. De modo opuesto, en la segunda preparación, el enseñante no habla jamás de división. Son los alumnos quienes, por los problemas que tienen que resolver, se ven conducidos a dividir por 4 números como 35 ó 40 y después 464 y 517. Volviendo a las definiciones de situaciones didácticas y a-didácticas, vemos que la primera preparación corresponde a una situación en que el maestro interviene en tanto que depositario del saber; los alumnos aplican las consignas que él les da. Esta situación no contiene fase a-didáctica aunque haya momentos en que los alumnos investiguen. Por el contrario, en la segunda situación, los alumnos son quienes se responsabilizan del conocimiento que se va a utilizar. Aquí, la fase a-didáctica es importante. El maestro está presente, interviene si es preciso, pero no da la solución buscada por los alumnos. Vamos a abordar, ahora, dos conceptos de didáctica, dos instrumentos importantes de análisis que permiten la construcción de situaciones de enseñanza. 4.3 Variable didáctica y salto de información • Variable didáctica

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"Una variable didáctica es un elemento de la situación que puede ser modificado por el maestro y que afecta a la jerarquía de las estrategias de solución (por el costo, la validez, la complejidad)." 48

La edad de los alumnos, sus conocimientos anteriores intervienen en el éxito al resolver un ejercicio. El maestro no puede modificarlos en el momento en que construye una situación. Estas no son variables didácticas de la situación. En un problema numérico, generalmente, los números constituyen variables didácticas. Se puede hacer un análisis más preciso hablando de : - la naturaleza de los números; - el tamaño de los números; - el tamaño relativo de los números ... Por ejemplo en el problema: "Juan tenía 59 canicas, gana 2 ¿Cuántas tiene ahora?" Los valores elegidos permiten contar hacia adelante. En este caso, el alumno puede decirse 59, 60, 61 (sincronizando con uno, dos, mentalmente y/o con los dedos). En el problema "Juan tenía 59 canicas, gana 27", contar hacia adelante se convierte en un procedimiento costoso y será, entonces, puesto en concurrencia con otras estrategias. Observaciones: En un trabajo de análisis de documentos pedagógicos, de instrumentos para el maestro, la identificación de las variables didácticas de las situaciones propuestas es pertinente. Tal reflexión permite poner a la vista los objetivos anunciados y los procedimientos susceptibles de ser puestos en práctica por los alumnos. Esto aporta elementos objetivos para apreciar un determinado proceso pedagógico y permite prever las condiciones de utilización del documento. En una interpretación de las producciones de los alumnos, un retorno a las variables didácticas de la situación permite apreciar en qué está adaptada una estrategia: se puede hablar de eficacia, de costo (en tiempo, cálculos...), de pertinencia.

• Salto de información Volvamos al estudio comparado de las dos fichas de preparación. ¿Por qué la segunda situación es productora de conocimientos? La "letra" de los dos problemas es ligeramente diferente de una situación a otra (presencia de tarjetas numeradas en la primera situación), pero no es esto lo importante. Los números elegidos por el maestro difieren en su tamaño. En el primer caso están comprendidos entre 0 y 31 (si no se tiene en cuenta el ejercicio de aplicación en la tercera fase), en el segundo no aparece ningún límite superior. El tamaño de los números es aquí una variable didáctica importante. Es un elemento de la situación cuyos valores son elegidos por el maestro; pero estos valores influyen en las estrategias desarrolladas por los alumnos. ¿Por qué, en la segunda situación, los alumnos tienen que completar la tabla hasta 18, a continuación responder a preguntas sobre el lugar ocupado por los números 10, 17, después 35, 40, y luego 464 y 517?

48 J. Briand:"Glossaire de didactique". Documents pour la formation des professeurs d'école en didactique des mathématiques, actes du stage de Cahors, IREM de Paris VII, 1991.

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Trabajar con los números hasta 18 permite a los alumnos apropiarse del problema (esto corresponde a la devolución de la situación). Para saber dónde se encuentra 35 se puede continuar la tabla pero es costoso. Para responder a la pregunta relativa a 464, tal estrategia es impensable. El salto brutal que existe entre los diferentes valores elegidos por el enseñante va a obligar a los alumnos a abandonar el primer método e imponer el conocimiento en juego (aquí "la búsqueda del resto en la división por cuatro").

Se llama salto de información un cambio de valor de una variable didáctica en el interior de una situación susceptible de provocar un cambio de estrategia.

Como hemos visto en el ejemplo precedente el "salto" debe ser suficientemente grande para que el procedimiento de base llegue a ser ineficaz. El paso de 17 a 35 no provoca el fracaso del primer procedimiento. 4.4 Contrato pedagógico y contrato didáctico La vida de una clase depende de contratos implícitos o explícitos aunque sólo sea para que tanto el enseñante como los alumnos tengan una idea del papel que van a jugar. No obstante, los contratos no son todos de la misma naturaleza: los procedentes de la organización de la clase y de los hábitos de trabajo afectan al contrato pedagógico y los relacionados con la construcción y la transmisión de los saberes al contrato didáctico.

• Contrato pedagógico

El contrato pedagógico está constituido por el conjunto de reglas de funcionamiento que rigen en una clase. La naturaleza de este contrato no está ligada a una disciplina enseñada.

La mayoría de las veces es conocido y dominado por los enseñantes. No lo es siempre por los alumnos. Estos deben adaptarse a funcionamientos diferentes de un enseñante a otro, de un año a otro. El respeto hacia los otros, la ordenación y cuidado del material, el reparto de las tareas, etc. proceden de este tipo de contrato. Es también el caso de la organización del trabajo: frecuencia de "deberes" individuales, presentación de cuadernos, etc. Tomemos el ejemplo de un profesor que, al principio del curso, fija la norma siguiente: "Las pruebas escritas constarán de cuatro ejercicios. Los tres primeros serán muy parecidos a los ejercicios resueltos en clase; el cuarto podrá ser original". Se trata de un contrato pedagógico. Este contrato podría ser traspasado a otra disciplina. Permite al enseñante precisar lo que va a ser evaluado y a los alumnos saber cómo organizar su trabajo personal. Para establecer relaciones de confianza en una clase el contrato pedagógico tiene que ser explicitado. • Contrato didáctico

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Las dos fichas de preparación estudiadas precedentemente (cf. página ??) (página 66 del original) se distinguen por su enfoque pedagógico pero también por la concepción del papel atribuido al profesor y a los alumnos. Siguiendo la primera preparación, el maestro induce la tarea de los alumnos mientras que en la segunda éstos deben tomar bajo su responsabilidad la búsqueda. Son funcionamientos que reposan en dos contratos didácticos de diferente naturaleza.

El contrato didáctico es el resultado de la negociación de las relaciones establecidas explícitamente y/o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio y un sistema educativo, con la finalidad de hacer que los alumnos se apropien de un saber constituido o en vías de constitución.

Define los papeles de unos y otros y la parte de responsabilidad de cada uno en la gestión de los saberes. Contrariamente al contrato pedagógico, la existencia del contrato didáctico no se impone siempre al enseñante y menos aún a los alumnos. Sin embargo, el profesor, con su actitud, determina, a menudo de manera inconsciente, la relación de los alumnos hacia el saber: espera de la palabra del profesor, actitud de búsqueda, control de los resultados por el alumno, etc. El contrato didáctico es determinante para los aprendizajes. La profesionalización del oficio de enseñante pasa, pues, por su estudio a fin de permitir opciones reflexivas. En la naturaleza de este contrato está el poder adaptarse a los alumnos, al saber en juego, al momento y al tipo de tarea. En la fase a-didáctica de una situación, el alumno es responsable de los conocimientos que moviliza, de las estrategias que desarrolla. En una situación de acción, de formulación o de validación, su responsabilidad no está comprometida de la misma manera. Por ejemplo, en una situación de validación, debe proporcionar pruebas, desarrollar argumentos, refutar críticas mientras que en situación de formulación, se le pide que presente su solución, que explicite el proceso seguido. No hay que convencer a los contradictores. En el momento de la institucionalización de los conocimientos, el maestro vuelve a tomar el papel principal en la gestión de los saberes, aparece como el responsable oficial. Según la concepción que el profesor tenga del aprendizaje, se plantea el problema de saber qué parte del contrato debe ser explicitado. "¿Por qué, entonces, no explicitar el contrato?¿ Por qué no ir hasta ponerlo negro sobre blanco, para que ya no exista ambigüedad? Desgraciadamente, esto no es posible salvo para extinguir todo proceso de aprendizaje, para dar las respuestas al mismo tiempo que las preguntas49". Si el objetivo del profesor es dejar al alumno la iniciativa de construir o movilizar tal conocimiento, la presentación de la situación no debe comportar indicadores de este conocimiento. En este caso, la parte del contrato que identifica el saber en juego debe permanecer en un primer momento implícita a la vista del alumno. Así, no solamente aparece como necesario mantener implícitos ciertos aspectos del contrato, sino también provocar rupturas para que el saber en juego no sea desvelado y permanezca a cargo del alumno. En una perspectiva constructivista, el tratamiento del saber en una situación de aula va a reposar más bien sobre las rupturas previstas del contrato. Estas rupturas aparecen como necesarias en el aprendizaje, mientras que en una

49 S.Johsua, J. J. Dupin: Introduction à la didactique des sciences et des mathématiques, PUF, 1993.

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perspectiva conductista el principal papel en la gestión de los saberes es desempeñado por el maestro siempre. Ejercicio (corrección pag. ??) (página 215 del original) Después de haber revisado las áreas un profesor de “quatrième” (14 años) propone el problema siguiente Copiar figura pag. 72 del original El dibujo de la figura ha sido realizado "a mano alzada". Las dimensiones están dadas en centímetros. Rehaced esta figura, respetando las dimensiones. ¿Qué podéis decir de los puntos Q, U y A? 1. Responded a la pregunta 2. Examinad de qué manera este problema provoca, sin duda, una ruptura del contrato. Ejercicio (corrección pag. ??) (página 216 del original) He aquí un extracto de la respuesta dada por un opositor a quien se solicita que resuelva la cuestión recurriendo a sus conocimientos matemáticos. (ver manuscrito pag. 72 del original) Area de QOA = 136.5 cm2; área de QUO = 52 cm2; área de OUA = 84 cm2 Si área de QOA = área de QUO + área de OUA entonces Q, U, A están alineados. Ahora bien, tenemos aquí 136.5 ≈ 52 + 84 por tanto, Q, U, A están alineados. ¿Qué comentario os sugiere esta respuesta? En otra respuesta, un opositor escribe: "136.5 es diferente de 136 por tanto los tres puntos no son nada" ¡Es bien conocido, en Geometría tres puntos están alineados, son colineales, o no son nada! 4.5 Los efectos visibles de un mal funcionamiento del contrato didáctico Una actitud natural de un alumno en clase de matemáticas es intentar comprender de la mejor manera posible el contrato que rige las relaciones entre el profesor, la actividad y él mismo. Esta actitud permite la actividad de enseñanza pero, en todo caso, no garantiza una actividad matemática real: - porque el alumno intenta descubrir la intención del enseñante en lugar de comprender el problema que se le propone; - porque basa sus estrategias en la demanda habitual del enseñante. Por su parte, el profesor puede estar tentado por lograr que sus alumnos triunfen "a cualquier precio".

Para llegar a la producción de una respuesta conforme, el profesor reúne unas condiciones que permiten la respuesta esperada sin que el alumno haya tenido que concederle el menor sentido. Se hablará entonces de efecto Topaze.

Ejercicio (corrección pag. ??) ( página 216 del original)

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He aquí un extracto de "Topaze" de Marcel Pagnol 50: (Escena 1): Topaze es profesor y está haciendo un dictado. TOPAZE: "des moutons étaient en sûreté dans un parc; dans un parc. (Se inclina sobre los hombros del alumno y sigue el dictado) TOPAZE: "des moutons ... mouton ... sss ... (el alumno le mira, estupefacto) TOPAZE: "Veamos, haz un esfuerzo. Yo digo moutonsss étaient ... ( vuelve a decir con delicadeza) TOPAZE: "éta ... eunt , es decir, que no había un cordero solamente, había varios corderos. (el alumno le mira perdido ...) Explica cómo, con este mismo texto escrito, los saberes en juego serían completamente diferentes según el momento en que el niño hubiera colocado una "s"... Hay un descenso en la exigencia. El profesor, en su deseo de que el alumno triunfe "a cualquier precio", cambia la naturaleza del saber en juego. En la lección estudiada pag.?? (página 30 del original), a partir de la observación de Cédric, el maestro influye considerablemente en la sucesión de la secuencia planteando una única cuestión: CÉDRIC: La coma representa el metro. MAESTRO: ¡Ah! Tú piensas que la coma aquí representa el metro, entonces ¿qué has dicho a continuación? Si la coma representa el metro ¿qué representan las otras cifras? JULIÁN: ¡Ah! Ya, los decímetros ELISA: Los centímetros. JULIÁN: De – cí– metros. Hace bascular la reflexión hacia la medida sin que sea cierto que Cédric haya tenido verdaderamente esa idea. El estudio del contrato didáctico ha permitido poner en evidencia otros efectos51 como el efecto Jourdain o el deslizamiento metadidáctico.

El efecto Jourdain es una forma de "efecto Topaze". "Para evitar un debate del conocimiento con el alumno, y eventualmente una constatación del fracaso, el profesor acepta reconocer como indicio de un saber o de un auténtico

50 N. de los T.: "En la obra de Marcel Pagnol, Topaze es un profesor al que el director del colegio privado para niños ricos en que trabaja le exige que obtenga mejores resultados. Agobiado por esta exigencia que pone en peligro su puesto de trabajo, para conseguir que sus alumnos no tengan faltas en los dictados, pronuncia con énfasis todas las letras que como las eses finales de "moutons" no se pronuncian en francés". Nota tomada del artículo de G. Brousseau "¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la Didáctica de las Matemáticas?" en Enseñanza de las Ciencias, 1990, 8(3). 51 El lector interesado por estos efectos ligados al contrato didáctico puede remitirse al artículo de G. Brousseau: Petit x, nº 21, titulado "Utilité et interet de la didactique pour un professeur de collège". IREM de Grenoble, 1989, pp. 47-68. (N. de los T.: Hay versión castellana en la revista Suma nº4, "Utilidad e interés de la didáctica para un profesor" (1ª parte), FESPM, Otoño 1989, pp. 5 - 12, Suma nº5, "Utilidad e interés de la didáctica para un profesor" (2ª parte), FESPM, Primavera 1990, pp. 5 - 12).

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proceso, una producción o un comportamiento de los alumnos que no son de hecho sino respuestas debidas a causas banales"52.

El nombre dado a este efecto se debe a la escena de "El burgués gentilhombre53" de Molière en la que el Profesor de Filosofía explica a Mr. Jourdain qué es la prosa. MONSIEUR JOURDAIN: ...Finalmente, es preciso que os haga una confidencia. Estoy enamorado de una persona de alcurnia, y desearía que me ayudarais a escribirle algo en una pequeña cuartilla que quiero dejar caer a sus pies. PROFESOR DE FILOSOFIA: Muy bien. MONSIEUR JOURDAIN: Será galante ¿no? PROFESOR DE FILOSOFIA: Sin duda ¿Son versos lo que queréis escribirle? MONSIEUR JOURDAIN: ¡No! ¡No! Nada de versos. PROFESOR DE FILOSOFIA: ¿No queréis más que prosa? MONSIEUR JOURDAIN: ¡No! No quiero ni prosa ni verso. PROFESOR DE FILOSOFIA: Es preciso que sea uno u otra. MONSIEUR JOURDAIN: ¿Por qué? PROFESOR DE FILOSOFIA: Por la sencilla razón, señor, de que uno no puede expresarse más que en verso o en prosa. MONSIEUR JOURDAIN: ¿No hay más que prosa o verso? PROFESOR DE FILOSOFIA: No señor. Todo lo que no es prosa es verso; y todo lo que no es verso es prosa. MONSIEUR JOURDAIN: Y cuando hablamos ¿qué es eso? PROFESOR DE FILOSOFIA: Prosa. MONSIEUR JOURDAIN: ¿Cómo? Cuando yo digo: "Nicolás, traeme las pantuflas y el gorro de noche" ¿es prosa? PROFESOR DE FILOSOFIA: Sí, señor. MONSIEUR JOURDAIN: ¡A fe mía! Hace más de cuarenta años que yo hablo prosa sin saberlo. Tenéis mi máximo agradecimiento por habérmelo enseñado. Yo quisiera, pues, escribir en la cuartilla: Bella marquesa, vuestros lindos ojos me hacen morir de amor; ... Por ejemplo, he aquí un esquema de secuencia de una clase en la que se está trabajando la introducción de la división con niños de 9 - 10 años; el maestro propone, en primer lugar, el siguiente ejercicio: Tenemos 20 caramelos para repartir equitativamente entre 5 niños ¿Cuántos caramelos recibirá cada niño? Se sirve, entonces, de este ejercicio para decir a los alumnos que acaban de hacer una división (de 20 entre 5) y expone a continuación el procedimiento de cálculo. Esta secuencia es una ilustración del efecto Jourdain. El alumno ha repartido caramelos distribuyéndolos, tal vez, uno a uno por tanto no ha movilizado, sin duda, los conocimientos matemáticos necesarios para aprehender la división. El maestro concluye declarando a los alumnos que acaban de descubrir la división. Se hubiera podido pensar una actividad preparatoria que justificara la aproximación a un instrumento nuevo: "Se reparten, equitativamente, 1249 caramelos entre 7 niños...." Aquí,

52 Brousseau (ib.) 53 Acto II, escena IV

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una distribución uno a uno es demasiado pesada. Saber anticipar el número de caramelos que recibirá cada uno se convierte en un procedimiento más económico.

El deslizamiento metadidáctico consiste en tomar como objeto de enseñanza lo que no era en su origen más que un medio.

Este tipo de efecto ha tenido graves consecuencias en los años 70 cuando se trató de introducir el lenguaje conjuntista en las clases de matemáticas. Puesto que en Matemáticas es extraño que un objeto intervenga solo, ha aparecido la idea de construir una teoría de lo que, en el lenguaje corriente, se llama colección, grupo, familia etc. de objetos. Esto se ha traducido en una transposición a la enseñanza. Los programas de las clases de primaria, secundaria, bachillerato reservaban una parte importante al aprendizaje de las operaciones conjuntistas. Pero lo que no debía ser más que un medio para expresar ideas, se ha transformado rápidamente en objeto de enseñanza. Hemos visto así en muchos manuales cómo se hacían estudios detallados sobre los diagramas (Venn, Carroll) por ejemplo. Este efecto ha operado masivamente. Se les ha ido de las manos a los matemáticos. Los programas oficiales han autentificado estos "saberes" en la mayoría de los países. Copiar figuras (pag. 76 del original) Todos estos efectos que traducen un mal funcionamiento del contrato didáctico están ligados a la idea que el enseñante se hace de su misión: procurar que los alumnos produzcan respuestas adecuadas en los ejercicios-tipo. Además esto es gratificante para el enseñante y para el alumno. Ahora bien, tales ejercicios permiten evaluar las rutinas pero no informan sobre la apropiación real de los saberes por los alumnos.

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EL TEXTO ESCRITO EN LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA El niño, en una clase, es un individuo que ocupa una posición particular: está en el puesto de alumno. Está sometido a las leyes de la escuela (minisociedad). En la clase de Matemáticas, como en la de Francés o en la de Educación Física y Deportiva (E.P.S.), su comportamiento está dependiendo del contrato didáctico que varía de una asignatura a otra. Hemos visto que una gran parte de este contrato didáctico es implícito y no aparece más que cuando se produce su ruptura. Toda actividad matemática pasa, en un momento dado, por la producción de un texto escrito, la lectura de un texto. Las competencias puestas en práctica son complejas y deben ser trabajadas en la escuela. Los enseñantes de Francés dicen desde hace varios años que las actividades de lectura y las de producción de textos escritos son complementarias. Adoptando este punto de vista, se puede decir que produciendo diferentes tipos de textos matemáticos es como los alumnos estarán capacitados para leer los que les son propuestos. Aunque la práctica de los enseñantes no dé siempre testimonio de ello, el paso de la lengua natural al lenguaje matemático es un reto ineludible en la enseñanza de las Matemáticas. 5.1 La naturaleza de los textos matemáticos escritos En los últimos años se ha conocido una prodigiosa evolución de los métodos de aprendizaje de la lectura. Citemos a E. Charmeux54: "Durante largo tiempo se ha creído- y se ha enseñado- que había dos maneras de enseñar a leer: el método tradicional, silábico, y el método global, fácilmente considerado como el responsable de todos los males, vilipendiado cada vez más y que vuelve a surgir periódicamente cuando ya no se sabe a quién acusar. De hecho, esta visión de las cosas es más que discutible y no corresponde ya del todo a la situación actual". Un poco más adelante, E. Charmeux afirma en su obra: "Todavía es preciso que la actividad de lectura se actualice sobre objetos materiales, a la vez específicos y diversos: narraciones, diccionarios, comics, catálogos, carteles, partituras musicales, esquemas y tablas de datos diversos, cuyo funcionamiento no es evidente y que es preciso aprender. [...] No se puede aprender más que sobre objetos sociales, concebidos para ser leídos y no para enseñar a leer." Así los soportes de lectura se diversifican, el texto escrito es trabajado cada vez más en su aspecto funcional.

54E. Charmeux: Apprendre à lire: échec à l´échec, Milan/Education , 1987, pp. 25, 104-112.

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¿Cómo situar los textos matemáticos escritos en la actividad de lectura? Tienen un carácter particular pero, sin embargo, no entran en los soportes encontrados en las aulas para el aprendizaje de la lectura. ¿Debería ser de otra manera? ¿Se puede aprender a leer Matemáticas sin hacer Matemáticas? Además, para no complicar las actividades matemáticas con dificultades de lectura, los enunciados se presentan, a menudo, de una forma simplificada. Esta preocupación por separar lectura y Matemáticas ¿no hace perder de vista uno de los retos esenciales: apropiarse del lenguaje matemático? Los puntos de vista desarrollados en este capítulo deberían aportar respuestas a estas preguntas. • Diferentes tipos de textos Los textos escritos que encontramos en Matemáticas pueden ser clasificados según su función: - enunciado de un problema o regla de juego; - formulación de la consigna o pregunta; - elaboración de una estrategia; - producción de mensajes; - comunicación de procesos o resultados; - explicitud de un saber localizado. Estos diferentes tipos de textos no obedecen a las mismas reglas ni apelan a las mismas competencias para leerlos o producirlos. Todos ellos intervienen en situaciones particulares de comunicación en las que los dos interlocutores no están necesariamente presentes (comunicación diferida o autocomunicación). Para cada uno de ellos, es importante comprender las reglas de organización del discurso, el lenguaje utilizado.

• Lengua natural y lenguaje matemático Cualquier texto matemático escrito hace intervenir dos registros de la lengua: la lengua natural y el lenguaje matemático. Dos enunciados de problemas nos van a permitir ilustrar esta afirmación. Enunciado 1 Un ganadero dispone de 84 m. de valla. Duda entre dos posibilidades: - construir un cercado rectangular cuya longitud sea el doble de la anchura; - construir un cercado de forma cuadrada. Calcula, para cada uno de los casos, la medida en metros de las dimensiones del cercado. De entre las dos, el ganadero decide optar por la que tenga mayor área ¿Qué solución debe elegir?55 Enunciado 2 He recibido por teléfono el siguiente mensaje:

55 R. Eiller: Math et calcul CM2, Hachette.

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1. Sobre una hoja de papel cuadriculado, traza un cuadrado de seis cuadrículas de lado. 2. Tomando cada vértice como centro, traza las cuatro partes de las circunferencias que tengan de radio tres cuadrículas y que estén en el interior del cuadrado. 3. Colorea en azul las porciones de círculo que has trazado.56 Dibuja la figura que me han descrito. Estos dos textos de problemas utilizan términos del lenguaje corriente como "ganadero, valla, azul, porciones,..." y palabras del vocabulario geométrico "rectangular, longitud, anchura, cuadrado, vértice, radio..." términos que, por otra parte, existen en la lengua natural pero que aquí son utilizados en su acepción matemática. Un texto matemático escrito está constituído por dos códigos en interacción: la lengua natural y el lenguaje matemático. Este último toma prestado del español57 palabras a las que da una significación propia. Por ejemplo la palabra "ángulo" que se encuentra en expresiones como "bajo un cierto ángulo", "en el ángulo del edificio" ... remite en geometría a un objeto particular. Asimismo la expresión "ser función de" que traduce una dependencia, "en función del tiempo que haga esta tarde iré o no a la playa", en matemáticas va a caracterizar ciertas relaciones entre, por ejemplo, magnitudes medibles: "el área de un círculo es función del radio". Los términos matemáticos como "recta", "circunferencia", "círculo", "número", "cifra"..., contrariamente a los términos de la lengua natural, aparecen generalmente como unívocos. Remiten a definiciones precisas que se integran en una teoría. Ejercicio (corrección pag. ??) (página 217 del original ) Dad los diferentes sentidos de las siguientes palabras así como su definición matemática: cifra, recta, figura, cuadrado, producto, diferencia... Sin embargo, en el seno de las matemáticas, nos encontramos con una misma palabra utilizada con significados diferentes según el marco58 en que intervenga. Es el caso, por ejemplo, de la palabra "cuadrado": - el número 9 es el cuadrado de 3 - los cuatro puntos ABCD constituyen un cuadrado puesto que... - la línea poligonal cerrada es un cuadrado porque... - la superficie delimitada por la línea poligonal cerrada es un cuadrado ... El lenguaje matemático utiliza igualmente símbolos o notaciones particulares, cada vez más numerosos conforme se va avanzando en la escolaridad. Los más frecuentes, además de las cifras del sistema de numeración, son: =, +, -, <, ≤ ... Por otra parte, si A y B designan dos puntos del plano, distinguimos: - el par de puntos (A, B); - la distancia de A a B: AB; - el segmento de extremos A y B: [AB] - la recta que pasa por A y B: (AB); - el vector AB

56 Collection Diagonale CE2, Nathan. 57 Nota del T: Francés en el original. 58 El lector puede remitirse a la definición de la palabra marco en la página ?? (página 108 del original).

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- ... El cálculo simbólico, hablando con propiedad, comienza a utilizarse en Secundaria. Permite entrever la superioridad del lenguaje matemático. Por ejemplo, la frase que se encuentra en ejercicios de “première” (16 años) sobre la composición de aplicaciones: "tomar un número real, añadirle 2 y dividir el resultado obtenido por el cuadrado del número inicial al que se ha añadido 1" parece unívoca ; sin embargo, en función del sentido que se dé a la expresión "al que" se podrá escribir: x + Erreur ! ó x + Erreur ! Designando por f y g las aplicaciones: f: x → x2 y g: x → x +1 en el primer caso se trabaja sobre gof: x → x2 → x2 +1 mientras que en el segundo se tiene fog: x →x +1 → (x +1)2 Este problema que encontramos en el uso de la lengua natural es debido al hecho de que el contexto no permite elegir la buena interpretación como, generalmente, es el caso en un escrito ordinario. Por ejemplo, en la frase: "El sombrero del Sr. Martín es el que vuela", fácimente se comprende que, en este caso, el relativo "que" remite a "sombrero". La lengua natural, cuando interviene en un texto matemático, abandona las reglas de la lógica natural para utilizar las de la lógica formal. Por ejemplo, el cartel "abierto los domingos" significa para un ciudadano de a pie que está "abierto los domingos, además de otros días" si se encuentra en la puerta de un supermercado o bien "no está abierto más que el domingo" si se trata de una iglesia. En la lengua natural, en función del contexto, tendremos interpretaciones diferentes de un mismo mensaje. Por el contrario, en un contexto matemático, la proposición "abierto los domingos" no tiene más que una interpretación: "abierto al menos los domingos", no sabemos nada sobre los otros días. El aprendizaje del lenguaje matemático representa una parte no despreciable de los aprendizajes matemáticos. Supone actividades de lectura y de producción de textos escritos. No puede separarse de los contenidos matemáticos. La enseñanza debe permitir a cada alumno pasar progresivamente de la lengua natural al lenguaje matemático. • Competencias múltiples Los diferentes registros de la lengua que intervienen en un texto matemático escrito lo hacen más complejo e imponen competencias múltiples: - competencias puramente lingüísticas necesarias para la comprensión de cualquier mensaje escrito (dominio del código, conocimiento del léxico, de la sintaxis, etc.); - conocimiento más específico del vocabulario (figura, número, producto, área,...) y de los símbolos estrictamente matemáticos (+, =, <, ...) ; - un abandono progresivo de la lógica natural por la lógica formal; - la capacidad de localizar, seleccionar, clasificar y ordenar las informaciones matemáticas necesarias para alcanzar un cierto objetivo o responder a una pregunta (resolver el problema). Se comprende entonces todas las dificultades de un alumno al abordar los textos matemáticos. Estas competencias no son, a menudo, localizadas ni son siempre objeto de un aprendizaje específico. Sin embargo, la comprensión de las matemáticas se construye sobre estas bases. Además, estas competencias son susceptibles de ser puestas en cuestión

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a lo largo de la escolaridad en función de los nuevos objetos matemáticos que van a ser abordados. 5.2 El enunciado de problemas El enunciado de problemas es un tipo de texto muy particular al que no se transmite fácilmente la competencia en lectura de textos narrativos o documentales. La adquisición de sentido por los alumnos demanda una doble competencia: comprensión de la situación propuesta y de lo que está en juego, desde el punto de vista matemático, para hacer una elección de estrategias e instrumentos adaptados. La lectura del enunciado de los problemas es una actividad específica que necesita un trabajo didáctico particular. El trabajo de lectura, de selección de las informaciones, de reorganización de los datos sólo puede emprenderse cuando está guiado por una idea de estrategia de resolución. El tratamiento numérico, hablando con propiedad, puede ser diferido (uso y realización de las operaciones, cálculo, control de los resultados...) pero la puesta a punto de una estrategia evoluciona de manera dialéctica con la construcción del sentido. • Un tipo de texto muy particular Sea el siguiente texto propuesto en las pruebas nacionales de evaluación de francés al comienzo de sixième59 (11 años) en 1989: Traza un triángulo con uno de sus lados coloreados, después traza el segmento que une el punto medio del lado coloreado con el vértice opuesto. Aunque figuraba en una evaluación de francés, se pidió a los alumnos que trazaran efectivamente la figura descrita. ¿Puede comprenderse por qué numerosos alumnos fallaron en este ejercicio (49% de aciertos60)? A priori los términos matemáticos: triángulo, lado, segmento, punto medio, vértice son conocidos por los alumnos que van a comenzar sixième (11 años). En cambio, la estructura concatenada de la frase es compleja: Copiar figura (pag 82 del original) Para construir la figura, el alumno debe seleccionar las informaciones y reorganizarlas siguiendo la cronología de las acciones que le exige la construcción de la figura. El enunciado de un problema se presenta como un texto a la vez informativo (contiene datos) e imperativo (pide que se responda a preguntas o se efectue una tarea). Los problemas de la escuela primaria utilizan generalmente una vestimenta, una historia o un contexto documental a fin de hacer "concretas" las nociones matemáticas que están en juego. El dominio de la lengua natural es indispensable para dotarles de un sentido en el momento de la lectura. "Se acusa frecuentemente a los alumnos de secundaria de no saber leer: en realidad ellos saben leer los textos narrativos pues aprenden a leer en este tipo de texto [...] Ahora bien, los saberes construidos sobre tal o cual tipo de texto no se 59 Sixiéme de enseñanza secundaria, en el sistema educativo francés corresponde a la edad de 11 a 12 años. 60 El lector interesado podrá consular los resultados de las evaluaciones nacionales de 1989 en francés y matemáticas.

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transfieren. Sólo se transfiere la técnica, pero si bien ella permite descifrar el texto por el contrario no permite su comprensión61". Saber leer es saber adaptar la estrategia al tipo de texto que se tiene ante los ojos. Ejercicio tratado Sean estos dos textos de problemas: Texto 1: En un mapa la distancia en línea recta París-Brest (506 Km.) mide 92 mm. a)¿Cuál es la escala del mapa? b) En este mismo mapa, se ha medido 8 mm de distancia entre Burdeos y Lyon. Calcula la distancia real, en línea recta, entre estas dos ciudades. c) En línea recta, Nantes está a 704 Km de Marsella. ¿Cuánto mide la distancia que separa a estas dos ciudades en este mismo mapa62? Texto 2: El Sr. y la Sra. Dupommier, sus hijos de 12 y 14 años, Melania y Cristóbal, van a ir a la estación de esquí de Chamonix. Quieren saber cuánto les costará el viaje de ida y vuelta en coche. De París, donde viven, a Chamonix hay alrededor de 600 kilómetros y su coche consume 10 litros de gasolina cada 100 kilómetros. Hay que contar, tanto a la ida como a la vuelta, 120 francos de peaje y 55 francos, por persona, para comer en la autopista. La gasolina cuesta a 5 francos el litro. Ayuda al Sr. y a la Sra. Dupommier a calcular el precio del viaje de ida y vuelta a Chamonix63. Mostrad en qué difieren estos dos enunciados. Análisis comparativo de los dos enunciados Para comparar enunciados nos podemos interesar en su estructura, en el estilo utilizado, en los hechos relatados. Enunciado 1 Enunciado 2 la estructura *un dato inicial

*tres preguntas numeradas: - una frase interrogativa directa - un mandato - una frase interrogativa directa

* informaciones múltiples y dispersas a lo largo del texto. * una pregunta indirecta (petición de ayuda que atenúa el efecto de la orden)

61 Maryse Rebière: "Role de l'énoncé dans la résolution de problèmes", DEA Université de Bordeaux, Sciences de l'Education, 1991. 62 Maths Livre Outil CM1, Ed. Magnard. 63 Objetif Calcul CM1, Ed. Hatier.

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el estilo

* impersonal: empleo de "se" * conciso: - informaciones aportadas en un mínimo de texto - ausencia de información parásita respecto a las preguntas propuestas - no redundancia

* narrativo: introducción de personajes al servicio de una situación * prolijo: - “ropaje” de la situación - presencia de informaciones parásitas (edad de los niños)

los hechos relatados *reales *ficticios: puesta en escena de personajes con la finalidad de dar sentido

Lo que tienen en común estos dos enunciados es la presencia de datos numéricos, hecho raro en un texto narrativo ordinario. La historia contada no es una historia como las otras, está totalmente al servicio del objetivo matemático. A menudo, no tiene interés más que para aquello que está en juego en la búsqueda o investigación que propone. La lectura es, ante todo, funcional. Según el contrato didáctico vigente en un momento dado, el alumno deberá retener ciertas informaciones e ignorar otras. Continuación del ejercicio tratado página ?? (página 83 del original) Contrariamente a los enunciados que encontramos en manuales escolares de concepción más antigua, el enunciado 2 se presenta como un texto narrativo e informativo relativamente rico. Imaginemos que este texto sea propuesto en una clase de lengua española64 y en una clase de matemáticas. Un alumno no tendrá que retener las mismas informaciones en una u otra de las dos clases. Extraer las informaciones pertinentes en cada disciplina. Señalar las expresiones que quedan sobreentendidas en un texto escrito en castellano. Clase de Lengua Española Clase de Matemáticas nombre de los personajes sus edades lugar de residencia proyecto de viaje a Chamonix numerosos gastos originados (gasolina, peaje, comidas)

4 personas consumo: 10 litros cada 100 Km gasolina: 5 F el litro a la ida y a la vuelta comida: 55 F por persona peaje: 120 F

El contrato didáctico habitual en clase de Matemáticas hace pensar que los datos numéricos son importantes y que los otros datos, que sirven para dotarles de un sentido, forman parte del “ropaje”, de la “letra” del problema. Podrían ser reemplazados por otros. En el problema estudiado, algunos alumnos tardarán mucho tiempo en traducir "El Sr. y la Sra. Dupommier, Melania y Cristóbal" por "4 personas", sin embargo es la información necesaria para el tratamiento del problema. Por otra parte, en este texto, la historia está al servicio del objetivo matemático. Vemos expresiones poco corrientes en un texto narrativo:

64 N. de los T.: Francés en el original.

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- ¿Habéis visto alguna vez a la entrada de un restaurante "Menú a 55 francos por persona"? - ¿Se precisa que el precio de la comida es el mismo a la ida que a la vuelta? Habitualmente, estas informaciones quedan sobreentendidas. El “ropaje”, la “letra” del enunciado de un problema en texto narrativo está justificado por la intención de hacer "concretas" las nociones matemáticas en juego, para que tengan sentido en tanto que instrumentos. Los textos de carácter documental constituyen también una vestimenta. ¿Es posible proponer verdaderos desafíos sin este “ropaje”? Esto supone construir situaciones en las que el juego propuesto aparezca como un reto que se propone a los alumnos. • A cada objetivo su enunciado En general, el enunciado de un problema y un escrito matemático son, frecuentemente, reducidos a una forma simplificada de texto que pretende la automatización de las técnicas o reglas en su contexto y desprecia la necesaria apropiación del sentido de la tarea que tienen que realizar los alumnos. En el ejercicio precedente, el enunciado 1 está concebido de manera que evite las dificultades de lectura y permita rápidamente la resolución del problema propuesto. El enunciado 2 pretende el aprendizaje de la lectura de un texto matemático. Es importante construir enunciados de problemas adaptados a los objetivos que se pretende alcanzar. Así se debe distinguir diferentes tipos de problemas: - los que pretenden la aplicación en un contexto dado de una técnica ya aprendida en situaciones análogas (reutilización o control); - los que pretenden el aprendizaje por descubrimiento de una estrategia óptima (procedimiento experto) para su resolución; - los que pretenden un aprendizaje metódico de la lectura y tratamiento de los enunciados. • La selección de las informaciones Volvamos al enunciado 2; se inscribe en una lógica de selección y clasificación de la información. Es interesante porque ilustra de una manera clara que una búsqueda de informaciones pertinentes no puede hacerse "a priori". Los datos útiles pueden reconocerse cuando se ha entrevisto el tratamiento matemático que habrá que realizar. En este ejemplo la edad de los niños puede ignorarse. Sería un dato pertinente si el restaurante ofreciera un menú infantil para los menores de 13 años. Por el contrario, el número de kilómetros va a intervenir en el cálculo del coste de la gasolina y el número de personas en el del gasto de las comidas. A menudo, en este tipo de enunciados, los conocimientos pragmáticos son necesarios para hacer un tratamiento matemático. Por ejemplo, aquí es preciso saber que el peaje de una autopista se paga por vehículo y no por las personas que lo ocupan. Para trabajar la selección de las informaciones, pueden proponerse a los alumnos distintos soportes de lectura. Pueden utilizarse diferentes objetos sociales y servir de vestimenta a situaciones matemáticas. Proponemos como ejemplo dos páginas de un manual de CE2 (8 años).

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(Copiar manuales franceses pag. 87 y 88 del original) • Actividades de lectura reflexiva: algunos ejemplos Algunos trabajos sobre el texto proponen ejemplos de actividades de lectura en matemáticas65. Tales actividades pueden desarrollarse con motivo del aprendizaje de la resolución de problemas pero, igualmente, pueden ser adecuadas para alumnos con dificultades de lectura. A título de ejemplo, damos algunos tipos de enunciado: Enunciados con estructura lingüística similar que inducen a un tratamiento numérico diferente Un granjero expide 7608 cajas de huevos. En cada caja hay 24 huevos ¿Cuántos huevos ha expedido? Un granjero expide 7608 huevos. Los coloca en cajas de 24. ¿Cuántas cajas expedirá? _________ Un parking dispone de tres plantas de 126 plazas cada una ¿Cuántos coches pueden aparcar en este parking? Un parking de tres plantas dispone de 126 plazas de aparcamiento ¿Cuántos coches pueden aparcar en cada planta? _________ El director de un colegio de 6 clases compra 288 cajas de rotuladores. Cada caja contiene 12 ¿De cuántos rotuladores podrá disponer cada clase? El director de un colegio de 6 clases compra 288 rotuladores. Cada caja contiene 12 ¿De cuántas cajas de rotuladores podrá disponer cada clase? Enunciados con palabras que inducen a engaño Pedro mide 125 cm. Su hermano Joël mide 141 cm ¿Cuánto más mide Joël que su hermano? Pedro paga 259 francos por un pantalón. Le han hecho un descuento de 25 francos ¿Cuál es su precio normal? Enunciados separados por números Los datos numéricos han sido extraídos del texto del problema. Se trata de encontrar su lugar en el enunciado asegurando la coherencia matemática y pragmática. El T.G.V66. parte de Burdeos a las ... h ... min. Llega a París a las ... h con 15 minutos de retraso ¿Cuál ha sido la duración del viaje? Números para colocar: 11; 45; 15. _________

65Sobre este tema pueden leerse los artículos siguientes: Escarabajal: "Schémas d'interprétation de problèmes arithmétiques", Revue Française de Pédagogie, nº 82. "Quel est l’ âge du capitaine?', Revue Grand N, nº 19, IREM de Grenoble. J.-F. Richard: "Traitement de l'énoncé et résolution de problèmes", Bulletin de psychologie, nº 375. 66 N. de los T.: TGV (“Train grand vitesse”) es el tren francés de alta velocidad.

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Para nosotros cinco el papá compra ... g de cerezas a ... francos el Kg ¿Cuánto cuesta la fruta comprada por papá? Números para colocar: 1500; 25. Estos ejercicios tienen como objetivo ir más allá de una lectura superficial del texto del problema que consistiría en retener palabras o números sin pretender que se construya una representación de la situación. Se puede separar en el tiempo el momento de la lectura y recogida de información, del relativo al tratamiento numérico del problema67. Por ejemplo, los niños leen el texto de un problema, escriben la serie de operaciones que hay que efectuar para resolverlo y confían este último trabajo a otros alumnos (el centro de cálculo). Nos encontramos también con ejercicios que requieren la construcción de un esquema para organizar los datos, para memorizar una actividad matemática o evocarla, para dar sentido a una situación. Ciertos manuales escolares, presentes hoy en el mercado, proponen numerosas actividades ricas y variadas que pretenden el aprendizaje de la resolución de problemas. • Producir enunciados para saber leerlos mejor Hay actividades que pueden ser propuestas en los diferentes ciclos de la Escuela Primaria para ayudar a los alumnos en la lectura de textos matemáticos. Una de ellas consiste en hacer que los alumnos elaboren el enunciado de un problema correspondiente a una operación dada. La clase se organiza en equipos de cuatro alumnos, cada equipo se subdivide en dos grupos, uno actúa de emisor y el otro de receptor. Copiar esquema (pag. 90 del original) grupo _________ grupo emisor receptor El maestro propone al grupo emisor una operación, por ejemplo 12 x 15. Este grupo escribe el enunciado de un problema cuya solución se obtiene efectuando la operación propuesta y lo transmite al grupo receptor. Este último debe resolver el problema. Una primera valoración se hace confrontando la operación realizada por el grupo receptor y la operación de la que ha partido el grupo emisor. Esta confrontación no basta. A continuación, los mensajes elaborados por los diferentes equipos deben ser discutidos colectivamente. Los ejemplos siguientes reproducen los mensajes realizados por los alumnos a quienes se ha propuesto, en trabajo individual, la operación "12x15": Reproducir textos (pag. 91 del original) Hay 12 clases que tienen 15 alumnos que comen en el comedor escolar. Van a comer sopa ¿Cuánta sopa prepararán las cocineras? Nicolas CM2 (10 años) En una casa hay 12 ventanas. Las 12 ventanas han costado 15 francos cada una ¿Cuánto se ha pagado por las 12 ventanas? Cristóbal CM2 (10 años) Un vinatero tiene el vino blanco en 12 barricas de 15 kg ¿Cuánto vino blanco tiene? Tomás CM2 (10 años)

67 La colección Ermel Cours Moyen, Ed. Hatier, propone tales ejercicios.

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Un taller mecánico tiene 12 martillos y, también, 15 llaves inglesas en la caja de herramientas. Querría saber cuántas herramientas tiene. María CM2 (10 años) Mamá baja a la ciudad y compra 12 cajas de huevos a 15 francos ¿Cuántos huevos tendrá? Aida CM2 (10 años) Un repartidor entrega 12 botellas de leche conteniendo cada una 15 litros ¿Cuántos litros de leche ha entregado? Lorenzo CM2 (10 años) En un estuche de bolígrafos hay 12. Mamá quiere comprar 15 estuches ¿Cuántos bolígrafos tiene mamá? Julia CE268 Yo tengo 12 filas con 15 plantas de ensalada ¿Cuál es el número total? Nelly CE2 (8 años) Por la tarde, después de comer, Pablo decide ir a la ciudad para comprar un regalo a su madre. Va a una floristería, ve 12 rosas a 15 francos cada una ¿Cuánto le costarán las 12 rosas a 15 francos cada una? Cristina CM2 (10 años) Mi mamá siembra 12 plantas de ensalada en su huerto. Un año después multiplica 15 veces el número de plantas de ensalada ¿Cuántas plantas de ensalada? Manon CE2 (8 años) Los mensajes así construídos son, seguramente, diferentes de los que habrían sido realizados por grupos de dos alumnos (se produce un primer control en el seno de los grupos). Se puede observar que: - todos los alumnos utilizan los datos numéricos 12 y 15; - algunos alumnos remiten a un sentido preciso de la multiplicación69 (producto de medidas, magnitudes proporcionales...), otras, como María aquí, están lejos de la operación propuesta; - alumnos como Cristina dominan perfectamente los giros al uso en los enunciados de problemas (cada una...) - algunos contextos se ajustan a la realidad, otros parecen inverosímiles (una ventana de 15 francos). Este tipo de actividad pone en evidencia las dificultades matemáticas pero también las representaciones de los alumnos en lo concerniente a los enunciados. Ahora son posibles diversos aprovechamientos: un trabajo matemático sobre el sentido de las operaciones, un trabajo de expresión escrita en un contexto particular, una reflexión sobre la verosimilitud de los enunciados (carácter plausible de los sucesos, orden de magnitud de los datos, etc.). Ejercicio libre

68N. de los T. En la educación primaria francesa, el ciclo elemental (cycle élémentaire) consta de dos cursos (CE1 y CE2) y se estudian a la edad de 7- 9 años 69 Puede consultar el lector los trabajos de Vergnaud sobre los diferentes sentidos de la multiplicación: L'enfant, la mathématique et la réalité, Ed. Peter Lang.

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Haced un análisis detallado de cada mensaje y abordad un trabajo diferenciado (en castellano70 o matemáticas) para ayudar a cada alumno. 5.3 Los otros escritos matemáticos • Las consignas Sin proponer un estudio exhaustivo de las diferentes consignas que existen en las actividades matemáticas, conviene distinguir las consignas "abiertas" de las consignas "cerradas". Por ejemplo el ejercicio estudiado en la página ?? (página 72 del original) habría sido bien diferente si se hubiera preguntado "Demostrad que los puntos Q, U, A no están alineados" en lugar de "¿Qué podéis decir de los puntos Q, U y A?". ¿Es más interesante plantear preguntas abiertas? A priori esto exige al alumno un trabajo de investigación más profundo. Pero se corre el riesgo de caer en la búsqueda de las intenciones del autor más que en la investigación de un desafío matemático. Para este mismo ejercicio la respuesta "Q, U, A están alineados" es una prueba de ello. Por otra parte ¿qué pensar de las respuestas siguientes: - Q, U y A son vértices de triángulos; - Q está a 13 cm de O, A está a 21 cm de O y U se encuentra a 8,2 cm de O? Estas dos respuestas son correctas. La primera no es pertinente pues un punto puede considerarse siempre como el vértice de un triángulo. Un alumno que aporte esta respuesta, de hecho, está haciendo referencia a la figura que tiene ante sus ojos y a los triángulos ya trazados. La segunda respuesta es interesante ya que indica un tratamiento de los datos: - simple para las dos primeras distancias: QO = QE + EO = 5 + 8; AO = AT + TO = 13 + 8; - más elaborado para la última: como el triángulo OEU es rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa OU es igual a la suma de los cuadrados de los lados OE y EU, es decir OU2 = OE2 + EU2 ó bien OU2 = 64 + 64 = 128. Esta no es la respuesta esperada. Se ve, a través de este ejemplo, que toda pregunta de la forma "Qué podría decir de..." puede llevar a consideraciones no previstas por el enseñante. Según el objetivo de la situación propuesta a los alumnos – evaluación de los conocimientos, problema de búsqueda – este tipo de pregunta tiene que ser evitada o, por el contrario, privilegiada. Nos encontramos de nuevo con algo que ya habíamos visto, a saber, "a cada objetivo, su enunciado". Ejercicio (corrección pag. ??) ( página 218 del original) En el plano, dotado de un sistema de referencia R = (O, i, j ), se representan las rectas d1 y d2). ¿Qué podemos decir de estas dos rectas? Copiar dibujo (pag. 93 del original) Imaginad posibles respuestas de los alumnos de troisième (14 años) a esta cuestión.

70 N. de los T.: Francés en el original.

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La lectura de la consigna está directamente ligada al saber en juego y al contrato didáctico de la clase. Su aprendizaje muestra el aprendizaje matemático. • La elaboración de una estrategia de resolución El texto escrito ayuda a estructurar el pensamiento, en particular favorece la construcción de una estrategia para la resolución de un problema. La escuela utiliza cuadernos "de sucio" o cuadernos de borrador en los que el alumno puede equivocarse, no respetar las reglas de presentación. Estos cuadernos son generalmente de inferior calidad, ni siquiera tienen derecho a un forro ... Un cuaderno de "investigación matemática" podría definirse como la propiedad privada del alumno. Hacer matemáticas es escribir, hacer tentativas y ensayos, equivocarse... El lenguaje utilizado entonces puede no ser convencional. No estamos en un proceso de comunicación sino, simplemente, de búsqueda. El rastro escrito es necesario para llevar a buen término un razonamiento: medir la desviación al objetivo, concluir, reorganizar las ideas y hacer su enlace más elegante. La escuela no debe "sacrificar" la producción de escritos espontáneos en Matemáticas ya que forman parte de la actividad matemática. Esta actitud frente a las Matemáticas puede favorecerse con el respeto a un dominio privado para el alumno pero valorizado en el seno de la escuela. En el capítulo 6, "La toma en consideración de los conocimientos de los alumnos", página ?? (página 99 del original), realizaremos un estudio de las estrategias del alumnado. • La producción de mensajes La producción de mensajes en las situaciones de comunicación entre alumnos puede pretender diversos objetivos: - formular estrategias; - elaborar un lenguaje (por ejemplo a propósito de objetos geométricos); - elaborar definiciones; - describir un programa de construcción; - utilizar un lenguaje ya conocido; - hacer que aparezcan las concepciones de los alumnos; - reutilizar nociones; - etc. Estos mensajes sirven como pretexto para establecer debates entre los alumnos emisores y receptores. Sirven también para desarrollar un trabajo sobre el texto matemático escrito (relectura, elección de informaciones pertinentes, precisión del vocabulario utilizado). En diferentes partes de esta obra, se hallará un estudio de las actividades de producción de mensajes. • La comunicación de los procedimientos y resultados Investigar un problema o redactar su solución son dos cosas muy diferentes. La primera es de orden privado mientras que la segunda entra en un proceso de comunicación y, en consecuencia, debe seguir sus reglas. El paso de la solución encontrada a la solución presentada es el indicio de que ha habido un aprendizaje.

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En la página siguiente, reproducimos un extracto de un manual del Cycle moyen (C.M.) del año 196071. Copiar pag. 95 del original PROBLEMA: Una panadería utiliza cada día 19 pacas de harina de un quintal de peso cada una. Cierra todos los martes y tiene tres semanas de vacaciones al año. Calcula: 1º El peso de la harina que emplea cada semana, sabiendo que la víspera del cierre semanal necesita 450 Kg. de harina más que los otros días. 2º El peso de la harina que utiliza cada año. 3º El peso de trigo correspondiente a la cantidad de harina empleada, si con 130 Kg. de trigo se obtienen 100 Kg. de harina. Este modelo parece anticuado pero uno de los papeles de la escuela es enseñar a los alumnos a comunicar. Una hoja de examen, en la medida en que debe ser leída por otra persona (el corrector en este caso), debe ser presentada de acuerdo a ciertas reglas. Sin embargo, podemos lamentar que, muy a menudo, éstas no aparecen más que de manera arbitraria: "subrayar las respuestas en rojo, dejar una línea después de la pregunta, dejar un espacio después del margen ..." sin que su existencia sea justificada. En la escuela primaria, redactar una solución y comunicar un proceso son dos cosas distintas. Esto ya no es totalmente cierto en secundaria donde todo resultado debe ser justificado, demostrado. Entonces las reglas de la comunicación se hacen más complejas. El alumno puede tener ganas de argumentar para convencer al profesor de la validez de su solución o, por el contrario, estimar que éste lo comprenderá, aunque no sean mencionadas ciertas etapas del razonamiento. En este último caso, las exigencias del enseñante pueden aparecer como manías. Para permitir el aprendizaje de la comunicación de los procedimientos o resultados, va a ser preciso inventar situaciones cuyo objetivo sea ése. La redacción de la solución de un ejercicio en una prueba de evaluación será la puesta en práctica de este aprendizaje. Ejercicio (corrección pag. ??) (página 219 del original) Evaluad los ejercicios de Laura y Antonio, alumnos de séconde72, a quienes se les pedía que determinaran la ecuación en el plano ordinario de la recta que pasa por el punto E (-12, 2) y es paralela a la recta (BC), siendo las coordenadas de B y C las siguientes: B (-1, -4), C (7, 7). (Copiar escritos pag. 96 del original) El ejercicio de Laura contiene indicios de su razonamiento, corresponde a un escrito privado pues no utiliza las reglas habituales de comunicación. Por el contrario el de Antonio responde perfectamente a lo que se espera de una clase de séconde (15 años). Redactar una solución es realizar un mensaje comprensible para un receptor, que puede

71 Morgan Thaller, p. 39. 72 N. de los T.: En la educación secundaria francesa, séconde se estudia a la edad de 15-16 años

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ignorar la cuestión planteada, que se supone que no conoce la estrategia desarrollada ... Esto se aprende. • La formulación del saber localizado Explicitar el saber en juego en un momento dado de los aprendizajes es una fase ineludible (institucionalización) para que los alumnos lo reconozcan. Esto lleva a textos matemáticos escritos en el cuaderno de clase pero también en los resúmenes que incluyen los manuales escolares. (Exponemos en pag. ?? (página 98 del original), un resumen (“aide mémoire”) del manual Le Nouvel Objectif Calcul CM1, Ed. Hatier, p. 210). Se tiene tendencia a creer que en un resumen de clase, los ejemplos elegidos, las observaciones formuladas, en la medida en que han sido explicitadas, son comprendidas por los alumnos. Una anécdota va a ilustrar el hecho de que los enseñantes no miden siempre las dificultades encontradas: en una clase de “terminale” (17 años), un profesor hace escribir a los alumnos, bajo el título de la lección "Producto escalar" y como primera observación, la frase siguiente: "El producto escalar de dos vectores es un número real". Seguidamente, vienen la definición del producto escalar de dos vectores y las primeras propiedades. Días más tarde, efectúa un control rápido de los conocimientos y pide a los alumnos, además del cálculo del producto escalar de algunos vectores sencillos, que recuerden la definición. Más de la mitad de los alumnos escriben: "El producto escalar de dos vectores es un número real" y, a continuación, efectúan los cálculos correctamente. El estatuto de las palabras "definición", "teorema", "propiedad"... escapa, a veces, a los alumnos; sin embargo pertenecen al lenguaje matemático. (Copiar manual página 98 del original)

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LA TOMA EN CONSIDERACIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS DE LOS ALUMNOS Hemos evocado ya, pag. 90 y 93 del original (estudio de los mensajes realizados por los alumnos), todo el interés que había en preocuparse por las formulaciones escritas de los estudiantes. En esta parte, vamos a centrar nuestra atención en los intercambios orales; después estudiaremos textos escritos por los alumnos y extraeremos de ellos algunas reflexiones. 6.1 Los intercambios entre alumnos A veces, en una actividad matemática, la organización por grupos puede ser muy interesante. Los alumnos, en su propio lenguaje, realizan intercambios a propósito de las nociones en juego, confrontan puntos de vista y, por tanto, hacen que sus representaciones evolucionen. Sin embargo, es muy difícil para el maestro gestionar lo que pasa. Numerosas cosas se le escapan: ideas interesantes que podría explotar en su enseñanza así como afirmaciones falsas que desearía poner en tela de juicio. A menudo, no tenemos la posibilidad de interesarnos por los intercambios que pueden existir entre los alumnos fuera del alcance del maestro. Volvamos a tomar los intercambios entre Julián y Elisa durante la lección observada en la página ?? (página 30 del original). Elisa propone pruebas con los números. Julián, porque está escribiendo o no dice nada, aprueba lo que dice Elisa. Ella es quien organiza la investigación. Un poco más tarde, Julián propone "menos"; inmediatamente es interrumpido por Elisa "¡No se puede cortar!". Elisa remite a Julián al sentido de la sustracción. Hay un control del sentido en el seno del grupo, que no hubiera existido forzosamente con un alumno solo. Es interesante observar lo que sucede cuando los alumnos llegan a: 1,57 + 0,3 = 1,60 Elisa es quien tiene la idea de este cálculo. Julián no lo vuelve a poner en cuestión. Parece estar atento simplemente al resultado para compararlo con el número buscado. En la continuación del diálogo, Elisa dice: "no, es falso" pero, en realidad, lo que cuestiona no es el procedimiento de cálculo sino, simplemente, el hecho de que 1,60 no es el número esperado para este ejercicio. En la continuación de esta lección, el maestro propone un nuevo juego. Se trata de encontrar un número fijado sumando números elegidos de una lista dada. Encontramos a Julián y Elisa ante un nuevo problema. Lista propuesta: 0,45 1,58 1,27 2,035 2 1,7 Suma a obtener: 5,28

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Elisa y Julián van a probar con numerosas adiciones ... Intentan encontrar una estrategia: ¿hay que tomar los números más grandes? Después de un momento de desánimo esto es lo que sucede:

ELISA: ¿Cómo cero?... ¡Espera!, déjame que lo haga ... con tal que funcione esta vez ... ELISA: ¡Espera, espera!. Ya lo tengo casi, diez, once, doce, ... cero coma tres, cuatro, cinco ... está bien. ¡Ya lo hemos hecho!.

Entre los dos Copiar operaciones (pag. 100 del original) JULIÁN: Hay que quitar el cero ELISA: Sí, pero está bien. JULIÁN: Entonces, ¡no seré yo quien salga a la pizarra!

En este diálogo se ve que el cero no plantea problemas a Elisa que afirma que ya ha encontrado el número buscado. Para ella 5,028 es igual a 5,28. Esta afirmación falsa se basa seguramente en una afirmación cierta (por ejemplo: 13,24 = 13,240) de la cual la niña extrae un teorema falso generalizándolo sea cual sea el lugar que ocupe el "0". Julián reacciona: "hay que quitar el cero", pero el resultado obtenido debe parecerle dudoso porque no quiere salir al encerado. Asistimos aquí a interacciones de los alumnos que no llevan a un debate de ideas o sobre el conocimiento. La ausencia de retroacciones internas a la situación no permite a cada alumno controlar las afirmaciones del otro. Se ve así lo importante que es para el profesor construir situaciones en las que el alumno vaya a someter sus hipótesis a la prueba de los hechos. 6.2 Las situaciones favorables En primer año del ciclo medio (9 años), un maestro propone la actividad siguiente: Vais a distribuiros en tres equipos de 8. Cada equipo se escindirá en dos grupos: un grupo emisor y un grupo receptor. He recortado en un cartón ciertas figuras geométricas. Voy a dar una de estas figuras a cada uno de los grupos emisores. Los emisores deben dar todas las informaciones que juzguen necesarias para que los receptores puedan dibujar la figura sin verla. Yo llevaré el mensaje al grupo receptor de vuestro equipo que deberá construir una figura superponible a la de partida. Pero, atención, no debe haber croquis en ninguno de los mensajes. El grupo receptor realiza la figura descrita en el mensaje. Después, el conjunto del equipo comprueba por superposición con la figura original. Damos ejemplos de mensajes producidos durante esta actividad: (Se notan por Ti los mensajes que se refieren a triángulos, Ci los que se refieren a cuadrados, etc.) T1: "Es una figura triangular. El lado mayor mide 12 cm 8 mm, el menor mide 9 cm. El tercero mide10 cm." Los receptores responden que ellos encuentran que el tercer lado mide 11 cm 8 mm y que "así no se puede". Los emisores confirman sus medidas. A fin de cuentas, el triángulo construido no se superpone con el modelo.

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T2: "Tiene tres lados. Un lado mide 7 cm, otro 6 cm y el otro CA mide 14 cm" Los receptores dicen que no saben hacerlo. T3: "Es un triángulo. Tiene un ángulo recto. Es el A. El lado AB mide 4 cm, el lado AC mide 3 cm. El lado BC mide 5 cm. El lado BC es el mayor" El triángulo construído no se superpone con el modelo. Ejercicio (corrección pag. ??) (página 219 del original) En cada uno de estos mensajes, analizad el origen probable del fracaso. ¿Proviene del grupo emisor? ¿Del grupo receptor? Este ejemplo pone en evidencia algunas concepciones de los alumnos del ciclo medio (9 - 10 años) en relación con el triángulo. Veamos, ahora, mensajes escritos obtenidos en condiciones semejantes y relativos a otras figuras geométricas. Ejercicio (corrección pag. ??) (página 220 del original) Observad estos mensajes relativos a otras figuras geométricas (cuadrado, rectángulo, rombo, paralelogramo). C1: "Es un cuadrado, el lado AB mide 6 cm, el lado BC mide 6 cm, el lado CD mide 6 cm, el lado DA mide 6 cm. Hay cuatro ángulos rectos. Todos los lados son iguales." C2: "Es un cuadrado. Todos los lados miden 6 cm, hay cuatro ángulos rectos." RE1: "Es un rectángulo. Hay cuatro ángulos rectos. El lado AB mide 7 cm, el lado BC mide 4 cm, el lado CD mide 7 cm, el lado DA mide 4 cm." RE2: "Es un rectángulo. Mide 7 cm de largo y 4 cm de ancho." RO1: "Tiene cuatro lados. El primer lado mide 7 cm, el segundo 7 cm, el tercero 7 cm, el cuarto 7 cm. Es como un cuadrado inclinado." RO2: "Tiene cuatro lados. Todos miden 7 cm. Son los lados AB, luego BC, después CD y, finalmente, DA. Hay 9 cm de B a D y 6,3 cm de A a C." P1: "Es como un rectángulo inclinado. Los lados grandes miden 10 cm de largo. Los lados pequeños miden 4 cm de ancho." P2: "Tiene 4 lados. AB mide 10 cm, BC mide 4 cm, CD mide 10 cm y DA mide 4 cm. El vértice C sobresale 2 cm a la derecha." P3: "Tiene 4 lados. AB mide 10 cm, BC mide 4 cm, CD mide 10 cm y DA mide 4 cm. Hay 15 cm de A a C." 1. Algunos de estos mensajes permiten construir una figura única, otros ninguna, otros la construcción de varias figuras. Clasificad estos mensajes según estas tres modalidades, justificándolos. 2. Analizad qué informaciones redundantes contiene el mensaje RO2. Reducidlo manteniendo la posibilidad de construcción. 3. Un profesor, al examinar estos mensajes, hace la hipótesis de que las palabras "cuadrado", "rectángulo" son conocidas culturalmente pero no reflejan una caracterización matemática precisa ¿Qué mensajes vendrían a confirmar esta hipótesis? Este tipo de lección que permite a los estudiantes producir un escrito funcional, ilustra al profesor sobre las concepciones de sus alumnos. Una enseñanza que consiste simplemente en mostrar, describir, nombrar figuras elementales no permite a los alumnos tomar conciencia de estas concepciones y hacerlas evolucionar.

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En la actividad precedente, un grupo de alumnos (que disponían de un rombo) ha redactado el mensaje siguiente: "Tiene cuatro lados. El primer lado mide 7 cm, el segundo 7 cm, el tercero 7 cm, el cuarto 7 cm. Es como un cuadrado inclinado." Cuando los receptores reciben este mensaje, construyen un rombo (que no coincide al superponerse al primero). La confrontación entre la figura construída y el modelo hace tomar conciencia de un error. El primer intento de los alumnos es averiguar quién es el responsable de ello: ¿es un error de medida? ¿de construcción? Una vez rechazadas estas hipótesis, queda claro que el error proviene de una falta de información. A lo largo de la sesión siguiente, los alumnos deberán poner a punto otra manera de transmitir la información. Podremos ver entonces cómo aparecen formulaciones del tipo: "hay que medir la distancia entre estos dos puntos" (medir una diagonal). 6.3 Las estrategias de los alumnos Todo enseñante tiene la posibilidad (y el deber) de interesarse por las producciones de sus alumnos ante un trabajo que les ha solicitado. La existencia de hojas de borrador, gomas, correctores, con frecuencia, no deja apenas huellas de un trabajo de investigación si el profesor no está atento. Frecuentemente, al enseñante sólo se le deja ver la producción final. Le es, entonces, difícil encontrar el razonamiento del alumno, sus dudas... Observemos las estrategias desarrolladas por varios alumnos en la resolución de un problema abierto73. Pienso tres números consecutivos. Los sumo y obtengo 354. ¿Cuáles son estos tres números?74 ANA (CM2, 10 años) escribe sucesivamente: copiar cuentas (pag. 103 del original) El enseñante interviene para pedir a Ana que compruebe su resultado. Ana aproxima la solución por encaje pero comete dos errores de cálculo. DIONISIO (CM1, 9 años) copiar cuentas (pag. 103 del original) Dionisio busca números consecutivos próximos a 118 ¿Por qué parte de 118? Puede suponerse que ha dividido 354 por 3. ALEJANDRO (CM1, 9 años) copiar cuentas (pag. 103 del original) Alejandro no termina la primera adición. Ya ha previsto, sin duda, que el resultado no sería 354. Constata que 110 + 111 + 112 = 333 y que 120 + 121 + 122 = 363. Ha obtenido así una suma inferior a 354 y otra superior. Utiliza este resultado: las dos primeras cifras son 1 y 1. Ya no le queda más que determinar la cifra de las unidades. Tomando 3 ... 4 ... 5, obtiene 2 para las unidades, a continuación intenta con 4 ... 5 ... 6 ..., después con 5 ... 6 ... 7 y finalmente con 7 ... 8 ... 9 que le dan la cifra correcta para las unidades. Entonces, puede concluir.

73 Se califica de problema abierto a un problema para el que no se dispone de una estrategia óptima (en contraposición a un problema tipo). El IREM de Lyon ha realizado investigaciones sobre esta noción de problema abierto. 74 Este trabajo ha sido propuesto por R. Neyret, IUFM de Grenoble

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CLARA (CM1, 9 años) copiar cuentas (pag. 104 del original) Clara sigue un proceso interesante. Descompone 354 como 300 + 33 + 21. 300 = 100 + 100 + 100; 33= 11 + 11 + 11 Ella reduce el problema a la búsqueda de tres números consecutivos cuya suma sea 21. Encuentra 6 + 7 + 8 = 21 Por tanto 354 = (100 + 11 + 6) + (100 + 11 + 7) + (100 + 11 + 8) JULIA (CM2, 10 años) copiar cuentas (pag 104 del original) Julia, ella también, considera un subproblema: encontrar tres números consecutivos que sumen 54. Poco a poco, se va tomando libertades con la escritura hasta llegar a 17 + 18 + 19 = 354 que traduce bien el objetivo de su investigación. ÁGATA (CM2, 10 años) copiar cuentas (pag. 104 del original) Ágata parece acercarse a la solución experta: "Los tres números son n-1, n, n+1, su suma es (n - 1)+ n + (n + 1) = 3n = 354. El natural n es, pues, Erreur ! = 118; los números buscados son 117, 118, 119." Observación: Alejandro y Julia se toman libertades con la escritura. En un trabajo de investigación, la organización de los cálculos y su escritura son personales. El respeto a las normas será necesario cuando tengan que comunicarlo. De modo general una estrategia de resolución puede apreciarse en términos de: - eficacia: ha permitido o no obtener la respuesta demandada; - pertinencia: el procedimiento permite o permitiría si fuera llevado a cabo obtener la respuesta; - complejidad: moviliza más o menos conocimientos; - costo: en tiempo, en cálculos ... ; - adaptabilidad: cambio de estrategia en función de los resultados intermedios obtenidos; - presencia de retroacciones: permite o no la regulación de la acción; - pericia: está más o menos próxima al procedimiento experto. El inventario de estos primeros criterios muestra que es muy difícil jerarquizar los procedimientos excepto por referencia a uno o varios criterios precisos. Veamos dos ejercicios, "desafíos", extraídos de un folleto del IREM de Burdeos75. Ejercicio (corrección pag. ??) (página 220 del original) Primer "desafío": "Encontrar las cifras" Copiar esquema (pag. 105 del original) Determinad las tres cifras que conforman este número sabiendo que: 1 2 3 no tiene ninguna cifra común 4 5 6 tiene una cifra común en posición correcta 6 1 2 tiene una cifra común pero en distinta posición 5 4 7 tiene una cifra común pero en distinta posición 8 4 3 tiene una cifra común en posición correcta

75 G. Vinrich: "50 défis pour petits et grands", IREM de Burdeos, 1988.

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Resolved el problema propuesto y explicitad las estrategias utilizadas. Una estrategia eficaz de resolución pasa por un tratamiento correcto de las informaciones. De partida, se trata de examinar todos los casos posibles y, poco a poco, eliminar ciertas cifras. Ejercicio (corrección página 221 del original) Segundo "desafío": "Cubo" copiar figura (pag. 106 del original) Imaginad el cubo anterior realizado con pequeños cubos incoloros. Se decide pintar las 6 caras del cubo grande ¿Cuántos cubos pequeños estarán pintados en 0 caras, 1 cara, 2 caras, etc.? Resolved el problema propuesto y explicitad las estrategias utilizadas. En este ejercicio, una estrategia eficaz pasa por la organización de la colección de los cubos pequeños en una partición para poder realizar, a continuación, el conteo y controlar el resultado obtenido. 6.4 Marco y cambio de marco Generalmente un problema de Matemáticas puede ser abordado desde diferentes enfoques. Ejemplo: El coche de tu papá consume, de media, 8 l de gasolina cada 100 Km ¿Cuál es el consumo de gasolina para un recorrido de 320 Km? ¿Qué distancia se ha recorrido si el coche ha consumido 18 l de gasolina?76 Este problema trata de la proporcionalidad: en efecto, es razonable considerar que, como media, la cantidad de gasolina consumida es proporcional al número de kilómetros recorridos (la realidad es, de hecho, diferente según se circule en ciudad o en autopista ...). Las magnitudes que intervienen están expresadas en litros y kilómetros. La resolución de este problema puede abordarse desde diferentes enfoques: Resolución de este problema en el marco funcional Sea x la distancia recorrida en kilómetros e y el consumo de gasolina en litros. Por hipótesis, y=0,08x. Se define así la función lineal f que relaciona el consumo de gasolina en l con la distancia en Km. Debemos calcular: la imagen de 320 por f, f(320), y el antecedente de 18, f-1(18). Resolución en el marco numérico: copiar gráfico (pag. 107 del original)

76 Extraído de Objetif Calcul CM2, Hatier, 1987.

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Conviene completar la tabla de números utilizando el coeficiente de proporcionalidad 0,08 (?=320 x 0,08) o un desplazamiento horizontal en la tabla (320 = 100 x 3,2 por tanto ? = 8 x 3,2). f(320) = 0,08 x 320 = 25,6 ó bien f(320) = f(3,2 x 100) = 3,2 x f(100) = 3,2 x 8 = 25,6 f-1(18) = Erreur ! x 18 = 225 Resolución en el marco gráfico Colocando en abscisas la distancia recorrida en Km y en ordenadas el consumo de gasolina en l, la curva que representa la función que relaciona estas dos magnitudes es la recta que pasa por el origen de coordenadas y el punto (100, 8). Después de construir esta recta, queda por determinar la ordenada del punto de abscisa 320 y la abscisa del punto de ordenada 18. Este método requiere una elección correcta de la unidad sobre los ejes y contiene toda la imprecisión debida a la lectura de un gráfico. copiar gráfico (pag. 107 del original) Ciertamente, sea cual sea el método elegido, es indispensable, en primer lugar, el reconocimiento de una situación de proporcionalidad. Sería una limitación concebir la proporcionalidad únicamente a través de ejercicios realizados sobre tablas de números. La resolución de un ejercicio según uno u otro enfoque puede ser la consecuencia de una determinada relación personal del alumno con este ejercicio o de los hábitos de la clase. El hecho de poder pasar de un marco de resolución a otro constituye, sin ninguna duda, una etapa necesaria para adquirir una noción. R. Douady ha estudiado este aspecto del aprendizaje. Extraemos de sus trabajos estas definiciones:

"Un marco está constituído por los objetos de una rama de las matemáticas, por las relaciones entre esos objetos, por sus formulaciones eventualmente diversas y por las imágenes mentales asociadas a estos objetos y a estas relaciones. [...] El cambio de marco es un medio para obtener formulaciones diferentes de un problema que, sin ser necesariamente equivalentes, permiten un nuevo acceso a las dificultades encontradas y la puesta en ejecución de instrumentos y técnicas que no se imponían en la primera formulación." 77

Conclusión: Al trabajar sobre los cambios de marco, el enseñante, por tanto, va a permitir al alumno que considere varios enfoques, varios acercamientos a una misma noción. Esta ya no estará totalmente sujeta al contexto de la introducción. El cambio de marco es un medio privilegiado para permitir una mejor aproximación a la naturaleza de los objetos matemáticos.

77 R. Douady: "Jeux de cadres et dialectique outil-object", RDM vol 9/2, 1987, p. 9

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EL ESTATUTO DEL ERROR Hemos observado estrategias de los alumnos. Estas son pertinentes o no. Los errores cometidos por los alumnos constituyen, muy a menudo, "síntomas" de la utilización de modelos erróneos. Es útil, pues, interesarse en los errores de los alumnos para hacer hipótesis razonables sobre sus orígenes. 7.1 ¿Error o fracaso? Los diccionarios oponen "error" y "verdad", mientras que "fracaso" se opone a "éxito". Extraemos las definiciones siguientes del Petit Larousse, edición de 1992.

Error: Acción de equivocarse; falta cometida al equivocarse. Verdad: Carácter de lo que es verdadero; adecuación entre la realidad y el hombre que la piensa. Fracaso (échec): Revés, falta de acierto. (Viene del persa chah: rey; cf. échec y mat que significa: el rey está muerto). Éxito: resultado feliz, acierto.

Durante una acción, diremos que un alumno está en situación de fracaso si el resultado obtenido no es conforme a lo que él esperaba y si no dispone de medios para aproximarse al resultado en un nuevo intento. Diremos que hay error si el alumno puede disponer de medios para modificar su acción teniendo en cuenta algunos resultados del intento precedente. Para tener conciencia de la existencia de un error, un individuo debe tener, al menos, una idea "a priori", una concepción, hacer una hipótesis. Si no, no hace más que constatar un revés, un fracaso. Los errores son el resultado de todo un sistema de concepciones del alumno, de sus intuiciones, de las medidas que adopta para resolver los problemas. El error no es pues, solamente, el efecto de la ignorancia, de la incertidumbre, del azar como las teorías empiristas o conductistas hacen pensar. Desde el punto de vista de la relación enseñante-enseñado, según nos coloquemos del lado del profesor o del alumno, la relación alumno-situación no se ve de la misma manera. Lo que es caracterizado como error por uno puede no ser sino la percepción de un fracaso para el otro. Tomemos un ejemplo: Durante un cursillo de vela, un cursillista viendo llegar una ráfaga no larga la escota de la vela mayor. El barquito vuelca. El cursillista debutante declara que hacía demasiado viento y no puede comprender lo que acaba de sucederle. El monitor dirá: “tenías que largar la escota de tu vela” (soltar la cuerda que sujeta la vela contra el viento). El monitor ha interpretado la acción y ha señalado la causa probable del fracaso. Para él es un error. El cursillista había fracasado (provisionalmente, esperemos). Tendrá que adquirir ciertos conocimientos, incluso implícitos, acerca de los efectos de las

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fuerzas que se ejercen sobre el velero para que "comience a comprender lo que ha sucedido". Desde el punto de vista del profesor: A partir del hecho establecido (el velero ha volcado) el profesor ha sabido analizar las causas del fracaso. Su saber sobre el manejo de un barco de vela le permite dar una explicación. Para él, no puede tratarse más que de un error, ya que conoce los medios de subsanarlo. Desde el punto de vista del cursillista: Según los conocimientos que pueda poner en práctica, puede: - o no comprender las razones del vuelco. Entonces fracasa; - o comprender más tarde y pensar que puede extraer consecuencias para el futuro. En este caso, podrá percibir el fracaso como un error. Conviene, pues, distinguir el punto de vista del profesor del correspondiente al alumno. Desde el punto de vista del enseñante un fracaso momentáneo en una actividad matemática puede remitir a un error del que conoce el origen probable. Pero, este mismo fracaso puede no ser percibido como un error por el alumno. Sería preciso para ello que disponga en todo momento de los mismos instrumentos, los mismos conocimientos que el enseñante. Pero éste no es, casi nunca, el caso. El trabajo del enseñante consiste, pues, en discernir, durante una situación matemática, si el hecho de que el alumno no logre el exito es la manifestación de un error o de un fracaso. Observación: Conviene distinguir el fracaso ocasional del fracaso duradero que puede obedecer a otras causas. 7.2 Un desafío psicológico para el alumno78 Los adultos (enseñantes, padres ...) tienen tendencia a minimizar la intensidad con que son vividos los errores en los aprendizajes. Si se pide a los alumnos que escriban o ilustren con un dibujo79 lo que la palabra "error" representa para ellos, nos veremos sorprendidos por la violencia de algunos sentimientos. Numerosos dibujos representan accidentes, las palabras remiten a valores morales ... Con frecuencia, el error es vivido dolorosamente por los niños: copiar figura (pag 111 del original) El enseñante tiene que jugar , pues, un papel importante para desdramatizar el error y mostrar su lugar en la construcción de conocimientos. En algunas fases del trabajo, puede instituir "un derecho al error". El error en el proceso de aprendizaje no es un accidente que podría evitarse con más atención y cuidado. Es un constituyente de la actividad cognitiva. 7.3 Un reto didáctico para el enseñante Los juicios de los enseñantes sobre los errores de los alumnos dependen de su propia relación hacia las Matemáticas. Para quien no ha tenido ninguna o muy poca relación de

78 Puede consultarse Prendre en compte les erreurs en mathématiques à l'école et au collège, J. Duverneuil, M.-F. Savioz, M.-C. Chevalier, Collection Savoir et Faire, CRDP Midi Pyrenées. 79 Según una idea tomada del IREM de Lyon

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investigador con respecto a las Matemáticas a cualquier nivel, el error debe ser eliminado. Restaurar el lugar necesario para el error en las actividades matemáticas pasará, pues, por una nueva relación personal con las Matemáticas. La elección del modelo de aprendizaje también es determinante. El error no es admitido en un aprendizaje dogmático. En un aprendizaje de tipo conductista, skinneriano, debe ser corregido. Es constitutivo del conocimiento en un aprendizaje de tipo constructivista. Incluso si se tienen en cuenta los errores de los alumnos, el profesor se encuentra, a menudo, sin recursos respecto a los remedios que va a emplear. El error en un proceso de aprendizaje es revelador de una hipótesis, de una concepción falsa. Cuando el profesor constata un error y lo acepta, debe tratarlo. Pero, a veces, no es sencillo identificar el origen de los errores. Una comparación gráfica entre las prácticas pedagógicas y la medicina del tiempo de Molière podrá aclarar este punto: en el siglo XVII, los médicos constataban las manifestaciones de una enfermedad. No teniendo una práctica científica desarrollada ligada al conocimiento de la fisiología, de la biología, etc, ellos habían definido categorías de causas, entre ellas los "humores". Partiendo de ello, los remedios eran conocidos: se trataba de mixturas, tisanas, sangrados etc. Las causas declaradas no estaban basadas en ninguna investigación científica. Bastaba que el tratamiento coincidiera con una mejoría del paciente para que fuera declarado eficaz para el conjunto de los pacientes. En la enseñanza de las Matemáticas, se pueden identificar ciertos errores recurrentes. Para éstos, los enseñantes han constituído un conjunto de respuestas que permiten su tratamiento. Se constata que estos tratamientos difieren según "los conocimientos que los enseñantes tienen de las teorías de aprendizaje que sirven de base a sus prácticas pedagógicas"80. Por ejemplo para comparar los decimales "3,45" y "3,234", tal profesor exigirá que el alumno escriba primero "3,450" y "3,234". El efecto inmediato es la resolución correcta del ejercicio. Pero no se mide el efecto a largo plazo: reemplazando la comparación de estos dos decimales por la comparación de dos naturales "450" y "234", el profesor muestra implícitamente al alumno que el decimal se trata como un par de números naturales. Enseña, pues, sin quererlo una concepción falsa de los decimales. Se sabe, en efecto, que la estructura de los decimales no es la misma que la de los naturales. Por ejemplo, la noción de dos números decimales consecutivos no tiene sentido. • Ejemplos de errores Ejercicio (corrección pag. ??) ( página 221 del original) Un niño ha efectuado tres sustracciones. Dos están mal hechas y una bien. copiar escritos (pag 112 del original) Emitid una hipótesis sobre una manera de tratar la sustracción que permita obtener un resultado correcto para la primera, 134 para la segunda y 1315 para la tercera. ¿Son los alumnos los únicos que cometen errores? Ejercicio (corrección pag. ??) (página 221 del original)

80 N. Milhaud: "Le comportement des maîtres face aux erreurs des élèves", DEA, IREM Bordeaux, 1980.

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Veamos un ejercicio y su corrección extraídos de un libro de texto de matemáticas. Se lanzan, simultáneamente, tres dados: 1. Hallar la probabilidad de obtener: a) un solo as; b) exactamente dos ases; c) exactamente tres ases. La solución propuesta es la siguiente: La probabilidad de obtener un as al lanzar un dado es 1/6 y la de no obtenerlo es 5/6; al lanzar tres dados la probabilidad de conseguir un as es, por tanto, igual a: P1=1/6 x 5/6 x 5/6= 25/216 b) La probabilidad de obtener 2 ases es igual a: P2= 1/6 x 1/6 x 5/6= 5/216 c) La probabilidad de obtener 3 ases es igual a: P3= 1/6 x 1/6 x 1/6= 1/216 Analicemos otra proposición P1= 3(1/6 x 5/6 x 5/6) ya que el suceso "as" puede lograrse en el primero, en el segundo o en el tercer dado. ¿Qué puede pensarse de la corrección del ejercicio y de esta otra proposición? 7.4 La naturaleza del error • Errores anecdóticos Ejercicio tratado En la evaluación de CE2 (8 años) 1990, se propuso a los alumnos el siguiente ejercicio: c) ¿Qué hora es? copiar figura (pag 113 del original) Respuesta: Son las ........... Un alumno responde "11h 15" ¿Cómo interpretar esta respuesta? La primera idea en la que se piensa es: el alumno no sabe leer la hora en un reloj de agujas. De hecho aquí, no se trata de esto sino ¿quién puede tener acceso a la explicación? ¡El test se había realizado al final de la sesión de la mañana y el niño respondió a la pregunta después de haber mirado su reloj! Tenemos aquí un ejemplo trivial de respuesta errónea debida a una ruptura del contrato. En efecto, en la escuela, cuando se propone el dibujo de un reloj seguido de la pregunta ¿qué hora es?, no se pregunta por la hora que es en ese momento sino por la hora indicada en el reloj del dibujo. Ejercicio libre Imaginad otros ejemplos sencillos de producciones erróneas debidas a rupturas del contrato. • Errores reproducibles

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Se pueden encontrar en varios alumnos de una misma clase, de clases diferentes, de un año a otro ... los mismos errores. Aparecen cuando son previstos por los autores y claramente en los resultados estadísticos de una evaluación. Ejercicio tratado Este es un extracto de las evaluaciones nacionales de 1992 en Matemáticas al inicio de sixième (11 años): Exercice 3681 copiar figura (pag 114 del original) "Un terreno ha sido distribuido como indica la figura”. Rodea, en cada caso, la respuesta que convenga:

a) El área de la parcela A es la mayor. Explica tu elección.

Las dos parcelas tienen la misma área

El área de la parcela B es la mayor

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b) El perímetro de la parcela A es el mayor. Explica tu elección.

Las dos parcelas tienen el mismo perímetro

El perímetro de la parcela B es el mayor

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Los resultados nacionales dan un 90,6% de respuestas acertadas a la pregunta relativa a las áreas (60% dan una justificación correcta, eventualmente torpe) La pregunta sobre el perímetro da un 34,5% de respuestas acertadas, 40,8% de los alumnos afirman que "el perímetro de la parcela B es mayor" ¿Cómo pueden interpretarse estos resultados?82 Tales errores están ligados al saber en juego y son reveladores de obstáculos (cf. "Obstáculos epistemológicos", pag. ?? (página 119 del original)). Los trabajos recientes de Didáctica de las Matemáticas analizan estos errores conectándolos con las prácticas pedagógicas. Aquí, por ejemplo, los alumnos consideran que área y perímetro son magnitudes relacionadas, que varían en el mismo sentido. "Cuando el área aumenta, el perímetro también aumenta". Se ve sin dificultad que la parcela B es más grande que la parcela A (área (B) > área (A)). Parece entonces que el contorno de B debe ser mayor que el de A (perímetro (B) > perímetro (A)). Podemos lamentar que los niños no tengan

81 Cahier évaluation 6, 1992 82 El lector puede remitirse al artículo "Aires de surfaces planes - Introduction et bibliographie", Documents pour la formation des professeurs d'école en didactique des mathématiques, IREM de Paris VII, 1991.

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mayoritariamente el hábito de verificar sus hipótesis. Sin embargo, aquí, la situación se prestaría a ello. Si un error tipo es cometido por un cierto número de alumnos en una actividad dada, es razonable pensar que el error depende menos del alumno que de la misma actividad y de los conocimientos (acertados o erróneos) que demanda. Ejercicio (corrección pag. ??) (página 222 del original) En clase de quatrième (13 años) se han detectado las estrategias siguientes empleadas por algunos alumnos para ordenar los números decimales: S0: No se tiene en cuenta la coma, los números decimales son considerados como naturales en los que se ha colocado una coma. S1: Se ordenan primero según las partes enteras y, a parte entera igual, las partes decimales se comparan como si fueran números naturales. S2: Se ordenan primero según las partes enteras y, a parte entera igual, el mayor es el que tiene más cifras después de la coma. Si las partes decimales tienen el mismo número de cifras, la comparación se realiza como en los naturales. 1. Dar, para cada una de estas estrategias: - una lista de 4 números decimales tales que la aplicación de la regla dé una ordenación correcta; - una lista de 4 números decimales tales que la aplicación de la regla dé una ordenación errónea; 2. Veamos un ejercicio de un libro de texto de cuatrième (13 años): Ordena del menor al mayor los números siguientes: 4 5,677 3,15 3,14 5,5 El profesor utiliza este ejercicio en un control de matemáticas. La tasa de éxito en este ejercicio es de un 70%. ¿Qué puede decirse de esta evaluación? ¿Qué pistas vamos a seguir ahora para poder interesarnos en el origen de los errores? Vamos a dirigir nuestra reflexión por un lado desde el alumno y, por otro, desde la institución y los saberes. Mostraremos que es posible explicar el origen de ciertos errores y que estos errores no ponen en cuestión la inteligencia o la vivacidad del alumno. Abordaremos las nociones de teorema en acto y de obstáculo. 7.5 Teorema en acto

Un teorema en acto83 (o teorema del alumno) es un teorema juzgado verdadero por el alumno y utilizado en una acción. Permite tomar decisiones. Es más o menos implícito. Tiene su propio campo de validez, pero produce resultados falsos fuera de este campo de validez.

Ejemplo: Acabamos de ver el uso masivo que hacen los alumnos del teorema siguiente: "Cuando el área aumenta , el perímetro también". Esta afirmación es verdadera en

83 Concepto puesto en evidencia por G. Vergnaud.

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contextos suficientemente significativos como para ser considerada como tal. Hemos visto que, sin embargo, es fácil hacer ver los fallos de esta afirmación. Otro ejemplo: "Entre dos números dados es mayor aquel que tenga una escritura más larga". Esta regla es verdadera en N, da un resultado correcto en la comparación de 3,48 y 1,9 pero se convierte en inadaptada para comparar 5,48 y 5,9. Ejercicio (corrección pag . ??) (página 222 del original) Considerad estas cinco reglas de acción. 1. No se puede dividir a por b más que si a es mayor que b. 2. No se puede restar a de b más que si a es menor que b. 3. Cuando se multiplican dos números, el producto es mayor que estos dos números. 4. Cuando se suman dos números, la suma es mayor que cada uno de estos dos números. 5. Para realizar una adición en columna, se "alinean" las cifras por la derecha. Determinad para cada una su campo de validez (teniendo en cuenta los conjuntos numéricos de que se trate). La investigación de los teoremas en acto constituye un proceso decisivo en la comprensión de los errores. En una interpretación de las producciones de los niños, la explicación en términos de regla utilizada fuera de su campo de validez es, a menudo, pertinente. Esto permite, entonces, construir actividades para mostrar el fallo de estas reglas. 7.6 Obstáculo84 El error no es solamente el efecto de la ignorancia, de la incertidumbre o del azar como se cree en las teorías empiristas o conductistas del aprendizaje, sino el efecto de un conocimiento anterior que tenía su interés, su éxito, pero que, en una situación nueva, se revela falso o, simplemente, inadaptado. Bachelard escribía: "El error es constitutivo de un conocimiento". Por ello mismo afirmaba que un error cometido por un individuo en una actividad cualquiera revelaba un saber puesto en práctica y localmente inadaptado a la actividad en curso. Los errores de este tipo no son pues erráticos e imprevisibles, se han constituido en obstáculos.

Un obstáculo se manifiesta por una familia de errores relativos a un saber. Estos errores son reproducibles y persistentes. Revelan un conocimiento erróneo que ha valido en todo un dominio de acción, pero que fracasa en otros. Estos errores persisten, a menudo, después del aprendizaje del saber correcto. El rechazo de los conocimientos que han producido estos errores forma parte del conocimiento nuevo.

Piaget hablaría de procesos de acomodación. Tomemos un ejemplo: la comparación de los números 2,45 y 2,407. Es bastante frecuente ver a alumnos que concluyen que 2,407

84 G. Bachelard: La formation de l'esprit scientifique, Paris, Vrin, 1938. G. Brousseau: "Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématique", RDM, vol 4/2, 1983.

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es el mayor de los dos números. La hipótesis razonable sobre el origen de este error es que el alumno trata las partes decimales de estos números como naturales y que, de hecho, compara 45 y 407. Más tarde, en estudiantes que saben que 2,45 es mayor que 2,407, no es raro verles cometer de nuevo este error cuando el contexto es difícil y moviliza la atención. Se trata, entonces, de un resurgimiento de dificultades encontradas con anterioridad. El origen de los obstáculos puede ser clasificado en grandes familias. Se encontrarán obstáculos - de origen ontogénico; - de origen didáctico; - de origen epistemológico.

Los obstáculos de origen ontogénico están ligados al desarrollo neurofisiológico del individuo85.

Tomemos un ejemplo. Primera situación propuesta a los niños Colección A copiar figura (pag 118 del original) Colección B copiar figura (pag 118 del original) Segunda situación en la que se ha aumentado la separación entre las fichas de la colección B. Colección A copiar figura (pag 118 del original) Colección B copiar figura (pag 118 del original) Por ejemplo, a una edad dada, un niño no puede admitir que la colección B, cuya apariencia se ha modificado un poco separando las fichas, tiene el mismo número de fichas que la colección A, mientras que lo admitía cuando las dos colecciones tenían la misma separación entre sus fichas. Aquí, lo espacial tiene prioridad frente a lo numérico. Se trata de un estadio del desarrollo del niño. Las tentativas para precipitar el descubrimiento de la conservación numérica por medio de un aprendizaje se han revelado ineficaces.

Los obstáculos de origen didáctico son aquellos que son provocados por la opción de enseñanza (institución, enseñante).

Por ejemplo, el profesor que enseña los decimales a partir de las monedas va a enseñar los decimales con dos cifras después de la coma. En este contexto, la comparación de dos números decimales se hará utilizando la comparación de las partes decimales: 2,51 y 2,35 se comparan fácilmente. Por el contrario, el alumno puede encontrarse sin recursos ante la comparación de 2,45 y 5,407 pero, sobre todo, se verá en la imposibilidad de imaginar un decimal comprendido entre 2,45 y 2,46.

Los obstáculos de origen epistemológico están estrechamente ligados al saber. La construcción de los conocimientos choca y se apoya en estos obstáculos.

85 Cf. Los estudios de Piaget y su escuela.

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El conocimiento del orden en los naturales se opone, de hecho, al conocimiento del orden en los números decimales. Está en la misma naturaleza de los números decimales. Acabamos de ver que este obstáculo de naturaleza epistemólógica puede duplicarse por la acción de la enseñanza con un obstáculo de naturaleza didáctica. Ejercicio (corrección pag. ??) (página 222 del original) (Historia real): Un médico dice a una madre que dé a su hijo un cm3 diario de un producto por cada kilogramo de peso del niño. La madre tiene sus dudas pues el medicamento contiene un dosificador graduado en mililitros. Llama al médico de guardia y se lo cuenta. Este le dice que ponga 10 veces la dosis en mililitros, ya que solamente son mililitros. Este médico ha cometido un error ¿Cuál? El médico puede estar cansado. El error, se dice, es "humano". Pero ¿se puede hacer otra hipótesis razonable sobre el origen epistemológico de este error? A menudo es difícil identificar los orígenes de los errores. Por ejemplo, un alumno que comete un error en la comparación de "5,48" y "5,6" puede haber utilizado el teorema en acto "un número que tiene mayor número de cifras es mayor" (obstáculo de naturaleza epistemológica) o bien el sistema enseñante ha convencido al alumno que un decimal se trata como un par de naturales (obstáculo de naturaleza didáctica). En todo análisis de las producciones es importante reconocer los errores, ligándolos a los obstáculos epistemológicos conocidos a propósito del saber en juego. Es, pues, ilusorio querer evitar a todo precio los errores debidos a obstáculos. Bien al contrario, estos obstáculos forman parte del proceso cognitivo y deben ser superados por los alumnos. Para esto, el profesor debe utilizar situaciones cuyas nítidas retroacciones les hagan tomar conciencia del error. 7.7 Consideración del error Los errores de los alumnos en los ejercicios que ponen en juego los números decimales son previsibles. Corresponden, generalmente, a dos representaciones diferentes de los números decimales: R1: Un número decimal está constituido por dos naturales separados por una coma. R2: Un número decimal es una codificación particular (ligada a una elección de unidad) de un número natural. Vamos a mostrar a través del estudio de una actividad86, cómo un enseñante de CM1 (9 años) puede hacer que estas representaciones emerjan y evolucionen. Proyectamos fabricar cortinas para las dos aulas del primer piso. Las medidas tomadas indican que hacen falta 7,8 m de tela para la primera y 9,65 m. para la segunda ¿Qué haremos?

86 Actividad propuesta por J. J.Di Scala, Instituteur Maitre Formateur Cahors.

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Pide a los alumnos que propongan una solución. Estos han estudiado los números decimales; identifican fácilmente un problema aditivo. Todavía no han aprendido en la escuela a sumar "números con coma". El enseñante cuenta con la confrontación de los resultados para conseguir su objetivo: constatar que, con los conocimientos disponibles hasta el momento, se llega a respuestas diferentes mientras que se concibe la existencia de un resultado único. Ejercicio tratado Siguen a continuación las soluciones propuestas por los alumnos copiar manuscritos (pag 121 del original) 1. Analizad estas producciones relacionándolas, cuando sea posible, con una de las representaciones citadas en la página ??. 2. Identificad las principales variables didácticas de la situación. Emitan hipótesis relativas a las (implícitas) que hacen los niños para definir la adición de dos números decimales. Análisis de las producciones Las representaciones que emergen en las producciones de Claudio, Muriel o Mateo son menos habituales y merecerían ser estudiadas. • La producción de Cristóbal es totalmente correcta. Emilia utiliza un resultado visto en

algún otro sitio que permite transformar las escrituras. • Aureliano procede de la misma manera utilizando la coma como separador. • Verónica y Marco Antonio separan físicamente las partes entera y decimal de los dos

números, suman separadamente los naturales obtenidos y vuelven a juntar los resultados. Obtienen así 16,73 (R1).

• Aureliano propone tres maneras de sumar las medidas 7,8 m y 9,65 m. Es posible que este alumno haya comprendido que sus anteriores conocimientos (adición de naturales) eran inoperantes aquí y que era necesario el aprendizaje de una nueva técnica (R1).

• Fabián, Virginia, Gwendal, Silvia y Nicolás suman 965 y 78 obteniendo 1043. Los tres primeros vuelven a colocar la coma después de la primera cifra para obtener una figura análoga a la de los números del enunciado. Se puede pensar que Silvia ha utilizado el orden de magnitud para colocar la coma y que Nicolás ha olvidado que ya no trabajaba con naturales (R2).

• Claudio utiliza también la coma como separador pero, a diferencia de Aureliano, no considera los números 8 y 65 como naturales. Conserva el lugar que ocupaba la cifra 8. La coma juega el papel de frontera y obtiene 16,145.

• Para Muriel y Mateo, parece que la coma sea considerada como una cifra por el lugar ocupado en la escritura, esta "pseudocifra" permanece neutra para la adición.

Variables didácticas de la situación En todo problema numérico, los números (naturaleza, orden de magnitud) son, generalmente, variables didácticas. Retendremos aquí dos particularidades que ponen de manifiesto los fallos de las estrategias de los alumnos:

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- el tamaño de las partes decimales hace que los alumnos que transponen sin comprender la técnica de la adición ("alinear" las cifras por la derecha) fracasen; - los números son elegidos de tal manera que aparezca el problema de las "llevadas". Organización de la sesión El enseñante desea que sus alumnos aprendan la técnica de la adición para "números con coma". Por tanto, concibe un dispositivo de enseñanza: una fase de investigación, un tiempo de confrontación de resultados, una aportación de información sobre la técnica de la adición. El problema, tal como es propuesto a los alumnos (el problema de las cortinas), no permite a éstos adivinar la intención del maestro. La situación comienza por una fase a-didáctica de acción y de formulación. En la fase de investigación, los alumnos ponen en juego sus conocimientos, toman decisiones, producen un resultado. Son responsables, en el sentido del conocimiento, de sus producciones. Durante la confrontación de los resultados se puede pensar que los alumnos tendrán que explicar el proceso seguido, desarrollar pruebas y argumentos sin que el maestro se imponga como depositario del saber. Estudio de las retroacciones Las retroacciones se sitúan esencialmente en la confrontación de los resultados; pues la referencia al orden de magnitud que hubiera podido hacerse por quienes llegaron a 1,043 es inútil para quienes hayan obtenido 16,145, por ejemplo. El enseñante fundamenta, pues, su trabajo en el debate que va a permitir construir la adición de decimales a partir de las producciones de los alumnos. La situación ¿muestra, verdaderamente, si tal procedimiento de cálculo es correcto o no? Para ello, habría que concebir retroacciones que no se reduzcan al discurso. Se puede imaginar: - un trabajo experimental (un grupo de alumnos miden efectivamente) o bien - la transformación de las medidas dadas a centímetros: esto vuelve a convertir el problema en otro conocido (con números naturales pero presenta inconvenientes). Institucionalización Después de este tiempo de validación, el maestro puede presentar la técnica nueva como respuesta al problema encontrado por los alumnos y hacerla "oficial". Los conocimientos antiguos, alinear las cifras por la derecha o expresar las medidas en centímetros, son inadaptados. El primer procedimiento lleva a un resultado falso, el segundo es costoso y demasiado contextualizado. Conclusión: En esta situación el enseñante se apoya en las producciones de los alumnos y los errores inevitables. Apuesta por el hecho de que los alumnos están dispuestos a reconocer la nueva técnica como instrumento adaptado al problema propuesto pero también a cualquier otro contexto en que intervenga la adición de números decimales. Algunos alumnos como Emilia o Cristóbal han utilizado implícitamente la técnica correcta pero ellos también necesitan aprender. El conocimiento privado que acaban de utilizar debe ser reconocido, descontextualizado.

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Esta forma de proceder muestra que el profesor considera, tiene en cuenta los errores de los alumnos.

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LA DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICAS87 La demostración ocupa en Matemáticas una posición central. Juega un papel importante en la escolaridad desde la edad de 12-13 años. Ahora bien, la escuela elemental no toma la demostración como objeto de saber, sino, más aún, no imagina en verdad su génesis y no preve las actividades que optimizarían su futura implantación. Muy a menudo, se asimila demostración y razonamiento deductivo. Pero, reducir la demostración al razonamiento deductivo borra toda huella del conjunto de preguntas, de zonas de inestabilidad, de tensiones que son los preludios del deseo y de la necesidad de demostrar. Relativizaremos esta noción de demostración en el campo de las Matemáticas explorando su historia. 8.1 Argumentación y demostración

"La argumentación es el modo de razonamiento que está intrínsecamente ligado a la utilización de la lengua natural.

Por esta razón, parece ser el modo natural de razonamiento. En efecto, espontáneamente, se pone en práctica en todas las situaciones en que un parecer, una afirmación, una opinión, una opción pueden ser puestas en duda y requieren una justificación, y esto tanto en situaciones de discusión real con otros interlocutores como en situaciones de interrogación o investigación fuera de toda discusión real con alguien (...). Dado que la argumentación constituye el modo natural de razonamiento y que puede tomar formas discursivas más o menos organizadas, dos cuestiones didácticamente importantes se plantean. En qué medida el recurso a situaciones que movilizan espontáneamente la argumentación no favorecería el descubrimiento de la demostración, de su necesidad y de sus procedimientos. Y en qué medida es posible un trabajo de aprendizaje sobre la argumentación88". Precisemos el significado que atribuimos a las palabras "explicación", "prueba" y "demostración"89.

Una explicación constituye un discurso que pretende hacer inteligible el carácter de verdad, adquirido para el locutor, de una proposición o de un

87 Una parte de este capítulo utiliza el artículo de Gilbert Arsac: "L'origine de la démonstration: essai d'épistémologie didactique", RDM, vol. 8/3, 1987. 88 R. Duval: "Argumenter, démontrer, expliquer: continuité ou rupture cognitive?" Petit X, nº 31 (1992-93), p. 59. 89 Puede consultarse la tesis de N. Balacheff: "Une étude des processus de preuve en mathématiques chez les élèves de collège" (Grenoble 1988).

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resultado. Las razones avanzadas pueden ser discutidas, aceptadas o rechazadas.

Convenimos que una prueba es una explicación aceptada por una comunidad dada en un momento dado.

Una demostración es una prueba aceptada por la comunidad de los matemáticos y que reviste una forma particular: utilización de un lenguaje específico, referencia a una teoría.

La utilización de la demostración como instrumento de prueba parece caracterizar a las matemáticas entre las ciencias. El repertorio utilizado para construir una demostración es común al locutor y al interlocutor. Se apoya, pues, sobre referencias comunes, léxico común, representaciones comunes ... Cada demostración contiene una parte de implícito (sentido de tal palabra del vocabulario, anticipación del nivel de lectura del futuro lector, conocimiento de tal resultado ...). Una de las dificultades encontradas por los alumnos en Matemáticas es definir lo que puede permanecer implícito y lo que debe explicitarse cuando se redacta una demostración. 8.2 Algunos ejemplos históricos • Mostrar o demostrar Ejercicio (corrección pag. ??) ( página 222 del original) Exponemos una célebre paradoja (debida a Lewis Carroll) o cómo “mostrar”, después de recortar un cuadrado y reconstruir un rectángulo siguiendo las correspondientes instrucciones, que 64 = 65. copiar figuras (pag. 125 y 126 del original) 1. ¿De donde proviene la paradoja? 2. ¿Hemos "mostrado" que 64 = 65? ¿Tiene una utilidad pedagógica esta actividad? Ejercicio (corrección página ??) (página 223 del original) Damos ahora una manera de mostrar mediante un recortado que la suma de los ángulos de un triángulo es 180 o. copiar figura (pag 126 del original) Haced un paralelismo con el ejercicio anterior La técnica del recortado que acaba de ser utilizada en los dos casos precedentes muestra a la vez su interés y sus límites como instrumento de prueba. Se muestra que 64=65 como se muestra que la suma de los ángulos de un triángulo es 180o, pero no se ha demostrado nada. Por tanto, esta técnica constituye un buen instrumento de búsqueda, de representación, de memorización. • Demostrar sin palabras

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Las matemáticas chinas nos invitan a reflexionar sobre la forma del discurso que se debe utilizar para demostrar. Vemos a continuación una figura que "muestra" el teorema de Pitágoras: recordemos que tal teorema afirma que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado mayor) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. En esta figura el triángulo rectángulo está dibujado en trazo grueso. copiar figura (pag 127 del original) Traducción de los ideogramas empleados: azul, rojo, sale, entra copiar ideograma (pag 127 del original) Esta figura sin palabras (o casi) hacía ver el resultado y constituía una demostración. Tales demostraciones reposaban sobre un conjunto de procedimientos ingeniosos que constituían una verdadera "álgebra geométrica". Ejercicio (corrección pag. ??) (página 223 del original) Encontrad la demostración que se ha "redactado" con este dibujo haciendo referencia a la traducción. Ayuda: Se observan tres cuadrados dibujados sobre la figura y dos categorías de signos: los que traducen colores y los que traducen acciones. Ejercicio (corrección pag. ??) (página 223 del original) Con ayuda de esta otra representación (figura de abajo), encontrad, de nuevo, el teorema de PITÁGORAS. copiar figura (pag 128 del original) Ayuda: Sobre esta figura se "ven" dos cuadrados. El triángulo rectángulo que será el objeto del trabajo se encuentra cuatro veces.

• Demostrar describiendo una acción Veamos una demostración propuesta por Euclides (proposición 4 del libro I). Se trata del segundo caso de igualdad de triángulos que él enuncia así: "Si dos triángulos ABC y DEF tienen sus dos lados AB y AC respectivamente iguales a los otros dos lados DE y DF, y si los ángulos BAC y EDF comprendidos entre los lados iguales son iguales, entonces estos dos triángulos tendrán sus bases BC y EF iguales, los triángulos serán iguales y los ángulos restantes opuestos a los lados iguales, ABC y DEF, ACB y DFE serán iguales cada uno a cada uno". copiar figura (pag 128 del original) La demostración es la siguiente: "Superpongamos el triángulo ABC sobre el DEF y para esto, coloquemos el punto A sobre el punto D, y la línea AB sobre la línea DE. El punto B coincidirá con E ya que AB=DE. A continuación, estando AB colocado sobre DE, y siendo igual el ángulo BAC al EDF, AC tomará la dirección de DF, y puesto que AC = DF, el punto C caerá sobre el punto F, BC coincidirá con EF, pues, si fuera de otra manera, estas dos rectas, que tienen las mismas extremidades, encerrarían entre ellas un espacio, lo que es imposible."

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Podemos imaginar cuántos profesores rechazarían esta redacción90 como una demostración ... y, sin embargo, se trataba de Euclides... Ejercicio comentado página ?? (página 223 del original) Encontrad los otros casos de igualdad de triángulos y demostrad su validez construyendo demostraciones que se inspiren en el proceso seguido por Euclides.

• Demostrar conceptualizando En el siglo V a.C., el pensamiento pitagórico reposa sobre dos ideas sólidas: - todo es número (números naturales) y razón entre números (números racionales positivos); - hay un sincretismo físico-matemático, es decir, una identificación de los objetos matemáticos a los objetos reales. En esa época, cuando se utilizaba el teorema de Pitágoras para calcular la medida de la diagonal de un cuadrado, se veían abocados a servirse de técnicas de cálculo que daban un valor aproximado. En este marco, los problemas prácticos encontraban siempre su solución. Sin embargo, la naturaleza de la relación entre la medida del lado de un cuadrado y la de su diagonal llega a ser un objeto de interrogación. Se desligan de los objetos físicos para hacer consideraciones sobre los números. Ya no se trata solamente de medir sino de saber si puede encontrarse una misma unidad que permita expresar, con números naturales, las medidas de la diagonal y del lado. En otras palabras, ¿estas magnitudes son conmensurables? Así se inicia la "crisis de los irracionales". La relación entre la diagonal y el lado del cuadrado es 2 (el cuadrado de la diagonal de un cuadrado de lado a es a2+a2=2a2). Se demuestra que este número no es racional (de ahí el nombre de irracional). Damos una antigua demostración debida a Aristóteles (demostración por reducción al absurdo). Esta demostración echa por tierra la teoría de las proporciones de los pitagóricos, pues esta última reposaba sobre la conmensurabilidad de las magnitudes geométricas. Esta es la demostración. Demostración de la época91 La transcribimos en su integridad con el fin de permitir al lector que constate el camino recorrido en la clarificación de los conceptos y en la redacción de las demostraciones92. copiar figura (pag 130 del original) Que se nos propone demostrar que en las figuras cuadradas la diagonal es inconmensurable en longitud con el lado. Sea el cuadrado ABCD y sea AC su diagonal; yo digo que la recta AC es inconmensurable en longitud con AB. Que sea conmensurable, si esto es posible; yo digo que de ahí se seguiría que un número sea impar y par. Pues es evidente que el cuadrado de AC es doble del cuadrado de AB. Pero AC es conmensurable con AB. La recta AC tiene por consiguiente con la recta AB la relación que un número tiene con un número.

90 Cuando los niños trabajan sobre figuras en sus actividades de comunicación escrita, observamos que su trabajo es curiosamente próximo a las preocupaciones de Euclides. 91 J. Itard: Essai d'histoire des mathématiques. Librairie de science et technique J. Blanchard, 1984. Esta demostración figura en el libro X de los Elementos de Euclides. 92 Esta transcripción está sacada de la obra de J. Itard y P.Dedron: Mathématiques et mathématiciens, Ed. Magnard, 1959.

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Que AC tenga con AB la relación que el número EF tiene con el número G y que los números EF y G sean los más pequeños de entre aquellos que tengan la misma relación que ellos. El número EF no será la unidad. Pues si EF fuera la unidad, a causa de que EF tiene con G la relación que AC tiene con AB, y que AC es más grande que AB, la unidad EF sería más grande que el número G, lo que es absurdo. EF no es, pues, la unidad. EF es, por tanto, un número. Y puesto que CA es a AB como EF a G, el cuadrado de CA será al cuadrado de AB como el cuadrado de EF es al cuadrado de G. Pero el cuadrado de CA es el doble del cuadrado de AB. El cuadrado de EF es, pues, doble del cuadrado de G. El cuadrado del número EF es, por tanto, par. El número EF es pues par, pues si fuera impar, su cuadrado sería impar. Porque si se añaden tantos números impares como se quiera, siendo impar su cantidad, su suma es un número impar. El número EF es, pues, un número par. Repartamos el número EF en dos partes iguales en H. Puesto que los números EF y G son los más pequeños de aquéllos que tienen la misma relación, estos números serán primos entre sí. Pero el número EF es par. El número G es, pues, impar. Pues si fuera par, los números EF y G que son primos entre sí, serían medidos por dos: porque todo número par tiene una parte que es su mitad. Lo que es imposible. El número G no es, por tanto, un número par: por consiguiente, es impar. Pero EF es doble de EH. El cuadrado de EF es, pues, el cuádruple del cuadrado de EH. Pero el cuadrado de EF es doble del cuadrado de G. El cuadrado de G es, pues, doble del cuadrado de EH. El cuadrado de G es, pues, par. El número G es, por tanto, par. El número G es, por consiguiente, par, según lo que ha sido dicho. Pero también es impar, lo que es imposible. La recta AC no es, por tanto, conmensurable en longitud con AB. Ella le es, por consiguiente, inconmensurable. Como queríamos demostrar. Explicación de la demostración Según el teorema de Pitágoras: AC2=2AB2 por tanto Erreur ! =2. Si la relación Erreur !es un racional, entonces existen dos segmentos que están en la misma relación y que son

los más pequeños. (Existe una fracción irreducible igual a ACAB . Esta fracción irreducible

es Erreur ! . [G es la medida de un segmento: cf. figura].) Entonces, Erreur ! =Erreur !por tanto EF2=2G2 , por lo que EF es par y EF2 es múltiplo de 4. Entonces, G2 es par

puesto que G es par y, por consiguiente, EFG no es irreducible, lo que es contrario a la

hipótesis. Por tanto, la relación no puede ser una razón de dos números naturales. Esta demostración mezcla los segmentos y los números. Voluntariamente, hemos dejado esta ambigüedad en la demostración. Propiedades utilizadas - Existencia de una fracción irreducible. - Si un número es par, su cuadrado es múltiplo de 4. - Si el cuadrado de un número es par, entonces el número es par (puede demostrarse por reducción al absurdo). Demostración actual Supongamos que existe una fracción (por supuesto irreducible) igual a ,2 . Se tiene: Erreur ! =Erreur ! por tanto a2=2b2. Entonces a2 es par, luego a es par (teorema de aritmética). Siendo a par, existe a' tal que a=2a'. Se tiene entonces: 4a'2=2b2 y, por

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tanto, 2a'2=b2. Así pues b2 es par y, por consiguiente, b es par. Como a y b son pares la fracción Erreur ! no es irreducible, lo que es contrario a la hipótesis. 8.3 Las primeras formas de demostración: un desafío para la escuela primaria Hay formas de razonamiento utilizadas en la vida familiar, social, escolar que podrían ser más demandadas durante las actividades matemáticas. En 1985, un proyecto de ficha de acompañamiento a las instrucciones oficiales en Francia definía diferentes modos de razonamiento que se pueden encontrar en la escuela elemental. Se encontraban allí los términos "contraejemplo", "disyunción de casos", "contraposición", "test de hipótesis".

El contraejemplo es una forma de razonamiento que permite negar la generalidad de una proposición con la ayuda de un ejemplo. Se utiliza en un contexto de argumentación para invalidar una respuesta.

Ejemplo: la proposición según la cual "todos los múltiplos de 4 tienen como cifra de las unidades 4 u 8" es falsa; para probarlo, basta con decir el número 36.

La disyunción de casos es una forma de razonamiento que permite afirmar una proposición haciendo el inventario de todos los casos posibles y asegurándose, en cada momento, de su validez.

Ejemplo: los números primos comprendidos entre 4 y 20 son 5 - 7 - 11 - 13 - 17 - 19. Prueba: 5 no es divisible más que por 1 y él mismo. 6 es divisible por 3 7 no es divisible más que por 1 y él mismo. 8 es divisible por 2, etc.

La contraposición es una forma de razonamiento utilizada a menudo. Para probar que de una primera afirmación se desprende una segunda, se muestra que de la negación de la segunda se sigue la negación de la primera.

Ejemplo: Si yo fuera ladrón no pediría. Si pido, es que no robo.

El test de hipótesis (método por ensayo y error) es una forma de razonamiento que permite proceder por aproximaciones sucesivas.

Ejemplo: Se dispone de una suma de 100 F constituida por 16 monedas de 5 F y 10 F ¿Cuántas monedas hay de cada clase? Hipótesis 1: las 16 monedas de 5 F - test: 80 F Hipótesis 2: las 16 monedas de 10 F - test: 160 F Hipótesis 3: 1 moneda de 5 F y 15 de 10 F - test: 155 F Y así sucesivamente...

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Se puede, sin embargo, formular una hipótesis más general: ya que 100 F está más cerca de 80 F que de 160 F, se puede pensar que hay más monedas de 5 F que de 10 F, de ahí se sigue una reducción de las hipótesis ... Observación: Este razonamiento es utilizado muy a menudo en Matemáticas pero también en la vida cotidiana para buscar soluciones a situaciones para las que no se dispone forzosamente de instrumentos inmediatos. Así, desde la escuela elemental, es posible apoyarse en modos de razonamiento utilizados en la vida real para resolver situaciones-problema, bien entendido que no hay identidad entre la lógica natural y la lógica formal. Hemos podido ver que la demostración en Matemáticas no se reducía a la imagen que habitualmente suele tenerse de ella, es decir, un tipo de tarea esperada en la clase a ciertos tramos de edad. Extraemos de E. Barbin93 la conclusión: "Se comprende que la demostración no sea una vía real trazada desde la eternidad. Situar la demostración en la historia (podría tratarse de la historia del individuo, nota de los autores), es también protegerse del error que consiste en creer que la demostración está unívocamente definida, es estar obligado a pensar en su diversidad. Los fundamentos de la demostración se transforman, el sentido de la demostración se modifica, las formas de la demostración cambian, el sentimiento de evidencia varía con la historia."

93 Obra colectiva: La démonstration mathématique dans l'histoire, p. 5, 7 “Colloque interIREM d'épistémologie”, Besançon, 1989.

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2ª Parte

UN MARCO

TEÓRICO PARA

UNA PROFESIONALIZACIÓN

1 LA DIDÁCTICA: UNA CIENCIA RECIENTE .............. ??? (página 137 en el original) 2 HACIA UNA PROFESIONALIZACIÓN ........................ ??? (página 141 en el original) 3 ESTUDIO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS....... ??? (página 144 en el original)

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A lo largo de la primera parte, hemos encontrado problemas planteados a la enseñanza de las matemáticas y descubierto los primeros conceptos de la didáctica. A partir de ahora, parece evidente que la profesionalización es una etapa obligada de la formación de los profesores y que la didáctica de las matemáticas puede proporcionar un marco teórico a esta profesionalización.

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LA DIDÁCTICA : UNA CIENCIA RECIENTE Los conceptos básicos de didáctica que hemos encontrado nos han permitido plantear de una manera nueva los problemas de la enseñanza. En esta segunda parte, nos interesamos de manera más precisa en el contexto teórico en el que se constituye esta nueva ciencia; la didáctica de las matemáticas. 1.1 Didáctica de un campo de conocimientos

La palabra "didáctica" se encuentra cada vez más frecuentemente en el lenguaje

corriente, sin que se sepa realmente qué significado se le da. Por ejemplo, decir que

una película es didáctica puede significar que permite aprender algunas cosas, pero

también para algunos críticos puede ser a veces sinónimo de película aburrida. En

el medio de la enseñanza, los términos didáctica y pedagogía se confunden a

menudo. Sin embargo, para los didactas se trata claramente de dos disciplinas

diferentes.

La didáctica de un campo de conocimientos es la "ciencia que se interesa en la

producción y la comunicación de estos conocimientos, en lo que éstas tienen de

específico de esos conocimientos".94

Retendremos esta nueva definición que viene a completar la que ya hemos dado en la página ??? (26 del original) . En esta perspectiva, la didáctica no se puede reducir a la pedagogía. En efecto, volviendo a las matemáticas, "una de las ambiciones de la didáctica es la de tratar de precisar lo más científicamente posible los verdaderos márgenes de maniobra de todo enseñante de matemáticas en su clase, analizando el funcionamiento del conjunto del sistema y de cada componente, y desarrollar y estudiar ciertas opciones, juzgadas como óptimas en la gestión global y local de la clase. En esta perspectiva, la pedagogía sería la aplicación en situación, con todo lo que esto implica en cuanto a decisiones a tomar instantáneamente y a elementos más teóricos, surgidos de conocimientos didácticos"95. Se comprende entonces que no exista una didáctica general,

94 El lector podrá encontrar el conjunto de sentidos de esta palabra en "Didactique des mathématiques : définitions et commentaires", Documents pour la formation des professeurs décole en didactique des mathématiques, IREM de Paris VII, 1991. Article de G. Brousseau sur le mot "Didactique". 95 A. Robert: "Une introduction à la didactique des mathématiques (à l'usage des enseignants)", Cahier de didactique des mathématiques, nº 50, IREM de Paris VII, 1988.

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sino una didáctica de las matemáticas, una didáctica de la lengua… mientras que se habla de buen grado de pedagogía general. 1.2 Objetos de estudio de la didáctica de las matemáticas La enseñanza en el medio escolar pone en relación tres polos: el alumno, el profesor y el saber. Cada uno de estos polos tiene una historia particular de la que una parte es propia y otra se basa en las interacciones con las otras dos. El funcionamiento de la enseñanza puede explicarse estudiando cada uno de esos tres polos, pero también observando las transformaciones que experimentan cada uno de ellos en contacto con los otros dos: - la escuela pone a los niños en contacto con los saberes en el seno de una institución: se convierten entonces en alumnos. De esta forma, la escuela cumple una función de socialización; - el profesor, persona privada, se convierte en un gestor de la evolución de los saberes; - el propio saber, para que sea accesible a los alumnos, sufre transformaciones inevitables.

Además, estos tres polos y sus relaciones se "sumergen" en un medio que es el del sistema educativo. Finalmente, este triángulo de la relación didáctica está sometido al tiempo: tiempo escolar y tiempo de los aprendizajes. Definiendo su campo de estudios, la didáctica desea aportar respuestas a la cuestión de la enseñanza de las matemáticas, pero "no se limita, como piensan ingenuamente algunos, a buscar mejores medios de enseñar un objeto de conocimiento determinado. Lejos de considerar el conocimiento a enseñar como definido de antemano e intangible, la didáctica debe y puede ponerlo en cuestión profundamente. En efecto, la didáctica permite tomar en cuenta las condiciones impuestas por el desarrollo de los conocimientos en el niño, el adolescente o el adulto; aclara la epistemología del saber en cuestión y las funciones teóricas y prácticas que cumple; estudia las inevitables transformaciones que el enseñante hace de los contenidos de los conocimientos y contribuye así a la clarificación de los objetivos sociales de la enseñanza y de la educación"96

Este conjunto de pistas de investigaciones moviliza evidentemente otros dominios del saber distintos de las matemáticas.

1.3 Campos conexos de la didáctica de las matemáticas Para explorar todos estos temas de estudio, la didáctica de las matemáticas se ha visto impelida a marchar junto a otros campos de conocimiento que tienen relaciones de similitud o de dependencia con ella; en primer lugar, por supuesto, las matemáticas, la epistemología de las matemáticas, pero también la sociología (se está ante un proyecto social, cultural), la semiótica y la lingüística (se trata de comunicación), la psicología (más particularmente la psicología cognitiva, las teorías del aprendizaje, la epistemología

96 "Didactique et acquisition des connaissances scientifiques", CNRS, Session d’automne 1985, rapport d'activité du GRECO.

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genética). La didáctica utiliza trabajos recientes sobre la docimología97, la evaluación… Por lo tanto se nutre en todo estos campos y se constituye en ciencia por sus cuestionamientos propios. Tomemos el ejemplos de las relaciones entre la didáctica y la psicología. Hemos evocado en la página ??? (24 del original) las principales teorías del aprendizaje. Éstas generan distintas concepciones de la enseñanza:

• La concepción de la cabeza vacía: el alumno es, al principio, una "cabeza vacía" que el enseñante va a llenar. La comunicación se da de hecho en un solo sentido, y está basada esencialmente en el principio de la exposición de los saberes. En caso de dificultad, la relectura, la reexplicación son los únicos procedimientos previstos por el sistema. Dos objeciones a esta concepción se pueden avanzar: primeramente, en la mayor parte de las ocasiones la reexplicación resulta ser ineficaz en muchas situaciones; por otra parte, los alumnos tienen siempre ideas a priori y los conocimentos antiguos interfieren con la exposición.

• La concepción de la ayuda "paso a paso": mediante una mayéutica98 "sabia", el sistema conduce al alumno a producir un resultado descomponiendo su trabajo en numerosas etapas intermedias. Sin embargo, saber efectuar subtareas no permite comprender y efectuar la tarea en su integridad.

• Los didactas, desde el principio de sus investigaciones, han tenido en cuenta trabajos surgidos de la psicología genética. En relación con los trabajos de Piaget, tienen en cuenta el carácter constructivista de la adquisición de conocimientos en matemáticas. Resolviendo problemas, actuando, es como el niño aprende, da sentido a los objetos matemáticos y construye sus conocimentos. Además, el que aprende se adapta a la realidad según dos procesos:

- o bien la acción y sus efectos no se oponen a las concepciones anteriores y los resultados se integran o se ignoran (proceso de asimilación);

- o bien la acción y sus efectos provocan contradicciones tales que, desde el punto de vista de quien aprende, el conocimento pasa de un estado de equilibrio a otro estado de equilibrio mediante la puesta en cuestión de los conocimientos anteriores. Remontar este momento de desequilibrio supone una reorganización de los conocimentos anteriores en el transcurso de la cual las nuevas adquisiciones se integran con las adquisiciones anteriores (proceso de acomodación).

• Otros trabajos influyen en las investigaciones en didáctica de las matemáticas. Por ejemplo, señalemos los resultados de Bruner, psicólogo americano, que estudia la adquisición del lenguaje y el desarrollo cognitivo del niño. Trabaja en particular sobre la anticipación, permitiendo una verificación en una tarea dada, como motor del aprendizaje. Los trabajos de Vigotsky99, psicólogo soviético, que tratan especialmente de

97 Estudio sistemático de los factores que determinan la notación de los exámenes y concursos. Petit Larousse illustré, 1991. 98 N. de los T.: Método de enseñanza basado en preguntas dirigidas. 99 Vygotsky nació en 1896. Se consagró hasta su muerte a la psicología en el instituto de psicología de Moscú (con Leontiev y Luria). Muere en 1934, tras haber escrito "Pensamiento y lenguaje". Su trabajo tardó en reconocerse en occidente (1962). Los temas esenciales de la obra de Vygotsky son primeramente dotarse de los principios metodológicos que dan crédito a los resultados experimentales. Afirma también la

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la influencia determinante de los procesos socioculturales y del lenguaje en los aprendizajes.

Conclusión: La modelización propuesta por los didactas se basa pues en un hipótesis fuerte, que concierne al sujeto que aprende: "El alumno aprende adaptándose a un medio que es un factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, en cierto modo como lo hace la sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta mediante respuestas nuevas, que son la prueba del aprendizaje."100

naturaleza sociohistórica del psiquismo humano y busca la explicación de los fenómenos en la historia y en el desarrollo de los individuos. En suma, afirma la influencia determinante de los procesos socioculturales en los procesos mentales superiores, en tanto que mediadores. Estudia particularmente la mediación semiótica en el análisis del lenguaje interior (lenguaje para sí mismo) y estudia también el proceso de aprendizaje como un trabajo de asistencia entre el niño y el adulto, en el que el adulto actúa como mediador de la cultura. Partiendo de ahí, Vigotsky desarrolla el hecho de que el único aprendizaje válido durante la infancia es el que anticipa sobre el desarrollo (según un margen determinado) y lo hace progresar. Define la "zona próxima de desarrollo". 100 G. Brousseau: "Fondements et méthodes de la didactique", Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 7/2, 1986. Existen varias versiones en castellano: “Fundamentos de Didáctica de la Matemática”. Publicaciones del Seminario García Galdeano, serie II, sección 6, Universidad de Zaragoza, 1989. “Fundamentos y métodos de la Didáctica de la Matemática”, serie B Trabajos de matemática, nº 19/93, Universidad Nacional de Córdoba, República Argentina. (N. de los T.)

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HACIA UNA PROFESIONALIZACIÓN 2.1. Las derivas actuales Dar una formación profesional a los enseñantes no es una preocupación nueva. Las escuelas normales y los IUFM se han ocupado de este problema. ¿Hacen falta cursos teóricos ¿Hacen falta períodos de práctica? ¿Cómo articular estos dos aspectos? • La reproducción de un modelo Se encuentran todavía partidarios de una formación por imitación en la que el aprendiz de profesor aprendería "el arte de enseñar" observando a los profesores más experimentados. "Se trata en este caso de una descripción reduccionista, sostenida por una hipótesis que no está en absoluto validada. Reduccionista, porque reduce el oficio a sus aspectos comportamentales, haciendo un repertorio de gestos profesionales, que solamente habrá que saber adecuar. En el fondo se trata de un enfoque conductista101 de la actividad profesional."102 En esta lógica, el profesor reproduce por mimetismo una práctica observada. A lo más, puede añadir algunos toques personales. Por el contrario, la formación debería liberar al enseñante de las "recetas listas para usar" y permitirle tomar distancia, para después actuar de manera adaptada a las situaciones que encuentra.

Las estancias de prácticas en escuela tuteladas103 permiten observaciones de clases e intercambios con los maestros. No pueden contribuir a una buena formación profesional más que si van acompañadas de un análisis de las prácticas. La formación en didáctica de las matemáticas da elementos de referencia teóricos para conducir este análisis. • La innovación pedagógica No se puede reducir la formación profesional a la adquisición de métodos "a la última moda". Muy frecuentemente, estos métodos se inscriben en un proceso de innovación pedagógica. Llamamos innovación pedagógica a toda proposición de métodos que no se legitiman ante una dificultad, más que por su novedad. Varios autores (Chevallard, Brousseau) han estudiado la función de la innovación pedagógica como un medio de hacer algo nuevo sin extraer lecciones del pasado, sin tratar de saber en qué lo que precedía estaba adaptado o no a los objetivos de la enseñanza. Frente a las múltiples dificutades que plantea el aprendizaje, la innovación pedagógica constituye una respuesta simplista a lo que legítimamente esperan los alumnos, los padres y los profesores. "Una innovación, por definición, no puede permanecer oculta, debe ser comunicada. Debe pues merecer la mayor difusión y proponer 'cosas que funcionan' de una forma comunicable a todos. Por lo tanto, su difusión debe justificarse por una constatación previa del fracaso

101 Cf las teorías del aprendizaje 1.3 página 24 (???). 102 Y, Chevallard: "Enseignement des mathématiques et besoins professionnels". Actes du XVIe colloque inter-IREM des PEN (profesores de Escuela Normal, N. de los T.), Bordeaux, 1989. 103 Se trata de estancias que se desarrollan bajo la responsabilidad y en presencia del profesor titular de la clase.

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de los métodos antiguos –las innovaciones precedentes–104" La esperanza de vida de una innovación podría medirse de la manera siguiente: "cuando más del veinte por ciento de los profesores participan de un mismo punto de vista, éste se vuelve bastante impropio para sostener una función de renovación. Los primeros renovadores, u otros, vuelven entonces su vista hacia otro horizonte –tanto si la innovación que abandonan es 'buena' como si es 'mala'–, tanto más deprisa cuanto más exitosa ha sido su difusión"105. De esta manera, la enseñanza que se fundamenta en la innovación rechazará trabajos y resultados con el pretexto de que están anticuados, y se apropiará de nuevos trabajos, porque propondrán un nuevo enfoque de los problemas encontrados. "Para extenderse lo bastante rápidamente, una innovación necesita de un ritmo que sólo lo proporcionan los procesos de moda106." Una formación profesional debería más bien permitir analizar un proceso de enseñanza, mirar cómo se ha tratado el saber en cuestión, identificar el origen de las dificultades que se han encontrado, adaptarse a una demanda de la institución y liberarse de los efectos de la moda. 2.2 La necesaria profesionalización

Se tiene la costumbre de hablar del "arte de enseñar" o del "don natural" de un profesor. Hagamos un paralelismo con la profesión de arquitecto. Una realización arquitectónica supone a la vez un proyecto artístico (efecto general de una construcción) y técnico (estudio de los suelos, resistencia de materiales, etc.). En la definición y la realización de su proyecto, el arquitecto levanta acta del estado de la obra, toma en cuenta un pliego de condiciones, identifica los condicionamientos (materiales, financieros, humanos), etc. y avanza soluciones técnicas, conservando su libertad de creación.

¿Por qué no tendría que suceder lo mismo con el oficio de profesor? En un proyecto educativo, el profesor evalúa el estado de los conocimientos de los alumnos, se informa de los condicionamientos dados por la institución, elige progresiones y elabora situaciones para lograr objetivos de enseñanza, conservando su libertad pedagógica.

El paralelismo tiene sus límites, pero permite imaginar la puesta en marcha de "una tradición del ingeniero"107 en la profesión del enseñante que tiene en cuenta las teorías del aprendizaje, que analiza los proyectos, que los realiza, que extrae consecuencias e idea posibles mejoras. Ésta es una de las ambiciones de la didáctica en la formación profesional.

104. G. Brousseau: "Utilité et intérêt de la didactique pour un professeur de collège", Petit x, nº 21, 1989. Hay versión castellana en la revista Suma nº4, "Utilidad e interés de la didáctica para un profesor" (1ª parte), FESPM, Otoño 1989, pp. 5 - 12, Suma nº5, "Utilidad e interés de la didáctica para un profesor" (2ª parte), FESPM, Primavera 1990, pp. 5 - 12. (N. de los T.). 105 Id. 106 Id. 107 Se habla entonces de ingeniería didáctica: La noción de ingeniería didáctica ha emergido en didáctica de matemáticas a principios de los años 80. Se trataba entonces de etiquetar una forma del trabajo didáctico comparable al trabajo del ingeniero que, para realizar un proyecto dado, se apoya en conocimientos científicos de su campo, acepta someterse a un control de tipo científico, pero, al mismo tiempo, se encuentra obligado a trabajar con objetos mucho más complejos que los objetos depurados de la ciencia.

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Para concluir, hacemos nuestra esta frase de Guy Brousseau: "Definiendo y haciendo respetar la parte técnica del oficio de profesor, la didáctica hace posible la negociación social de su trabajo. La didáctica es así el fundamento de profesionalización de su actividad."108

108 G. Brousseau: "Utilité et intérêt de la didactique pour un professeur de collège", Petit x, nº 21, 1989.

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ESTUDIO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS Todo enseñante desea que los conocimientos tomen o conserven sentido para los alumnos y que los aprendizajes no se reduzcan pues a prácticas rituales. En la primera parte, página ??? (27 del original), hemos dado definiciones de situación, de situación didáctica y situación adidáctica. Proponemos aquí un estudio más profundo de las situaciones didácticas. 3.1 Las diferentes fases en una situación de aprendizaje Para que un conocimiento tome sentido para un niño, tiene que permitirle cambiar de estrategia en una situación problemática dada o sustituir otro conocimiento utilizado espontáneamente, pero que se ha vuelto menos adaptado o inadecuado en la situación.

Trasponiendo esto al medio de la enseñanza, para el profesor se trata de recrear, respecto a un saber a enseñar, las condiciones que pueden permitir la aparición de ese saber. Hay pues que elaborar una situación en la que, primeramente, el alumno disponga de una estrategia de base que le permita entrar en la problemática. Esta estrategia debe evolucionar o abandonarse en provecho de otra mejor adaptada, según el parecer del alumno. Para que éste pueda juzgar acerca de la adaptación o inadaptación de una estrategia, la situación debe devolver al alumno retroacciones. Este trabajo de construcción y de organización de tales situaciones topa con grandes dificultades.

En esta perspectiva, Guy Brousseau ha definido cuatro grandes categorías de situaciones (acción-formulación-validación-institucionalización), en el transcurso de las cuales va a cambiar la relación del alumno con el saber. • Dialéctica de la acción La dialéctica de la acción consiste en situar al alumno ante un problema que presenta varias características: - la solución es el conocimiento que se pretende; - el alumno debe poseer uno o varios modelos, más o menos perfeccionados, que le permitan tomar decisiones; - la situación debe devolver al alumno informaciones sobre su acción que le permitan juzgar el resultado, ajustarlo, sin intervención del maestro. Ver esquema página 145 del original Información Situación Sujeto Acción Sanciones o retroacciones Esta adaptación se hace mediante ensayos y errores; los alumnos perciben las informaciones devueltas por la situación como refuerzos o sanciones de su acción. Se

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instaura un verdadero diálogo entre el alumno y la situación. Esta dialéctica permite pues activar modelos implícitos de acción, es decir, modelos no formulables todavía por el alumno ni, a fortiori, organizables en forma de teoría.

Así pues, el sujeto da sentido al conocimiento que hace funcionar en tanto que modelo implícito y que él mismo ha validado empíricamente.

Pero entonces no basta con interrogar al sujeto para que explicite el modelo así creado, hay que organizar otra fase. • Dialéctica de la formulación Para que el sujeto pueda explicitar por sí mismo su modelo implícito, y para que esta formulación tenga sentido para él, tiene que enfrentarse a un nuevo problema en el que el conocimiento intervenga obligatoriamente en forma de un lenguaje (escrito u oral). La dialéctica de la formulación consiste en proponer situaciones en el transcurso de las cuales el alumno intercambia con una o varias personas informaciones redactadas en un lenguaje que será, a su vez, objeto de estudio. Así pues, este tipo de situaciones permite explicitar modelos y, por tanto, formularlos con la ayuda de signos, de códigos y de reglas puestas a punto dialécticamente. Las situaciones llamadas "de comunicación" entre alumnos son un ejemplo. Ver primer esquema página 146 del original El emisor continúa manteniendo relaciones con la situación (acción, información). Emisor Retroacción-sanción proveniente de la situación y/o del receptor Situación Mensaje Acción Receptor • Dialéctica de la validación La validación empírica obtenida a través de la dialéctica de la acción es insuficiente para una actividad matemática real. En esta nueva fase, el enseñante debe construir un situación cuyo objetivo sea demostrar por qué el modelo creado es válido o no. La dialéctica de la validación consiste en proponer una situación en la que lo que está en juego es convencer a otra persona. Ver segundo esquema página 146 del original El emisor continúa manteniendo relaciones con la situación (sanciones, información) Quien propone Retroacción-sanción proveniente de la situación y/o de quien se opone Situación Teoría

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Información- sanción Quien se opone De esta manera el alumno deberá construir una situación que tenga sentido para él. Las situaciones así creadas son situaciones de validación.

Por ejemplo, construir el resultado siguiente en primaria (6 años):

12 + 14 = 26

puede hacerse uniendo dos colecciones de objetos (una de 12 y otra de 14) y volviendo a contar la nueva colección.

Se puede igualmente proceder de la forma siguiente:

12 + 14 = 10 + 2+ 10 + 4 = 20 + 6 = 26

Aquí, el alumno utiliza reglas que no han salido de los objetos como tales, sino de un lenguaje que se usa. Se hablará en este caso de validación sintáctica.

El acceso al cálculo consiste en una buena parte en construir una validación sintáctica que aparece como mejor adaptada a casos más generales (es el caso cuando los números se hacen mayores, por ejemplo). Además, pedir a un alumno de bachiller por qué 12 + 14 = 26, parecería fuera de lugar, lo que quiere decir que tal resultado no se puede volver a poner en duda a partir de un momento dado. • La institucionalización Una situación en la que se pretende el aprendizaje de un conocimiento no podrá cumplir su papel más que si el saber que está en juego está localizado e identificado por el alumno. Ciertos resultados podrán olvidarse rápidamente y otros deberán guardarse. El profesor tiene la responsabilidad de organizar esta distinción en el transcurso de fases de institucionalización. La institucionalización es el acto que consiste en dar un estatus escolar al saber producido en la situación. Está bajo la responsabilidad del profesor. Ver esquema página 147 del original El saber Localización del saber El profesor Situación Etiquetaje de los saberes Alumno o sujeto Ejercicio (corrección en la página ??? (224 del original) He aquí tres esbozos de situaciones: La primera consiste en pedir a lo alumnos resolver el problema siguiente: "En una caja de terrones de azúcar, hay 3 terrones a lo ancho, 15 a lo largo y 3 a lo alto. ¿Cuántos terrones hay en la caja?"

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_____________________ En la segunda, el profesor pone a disposición de los alumnos una caja transparente. Deben llenar esta caja con cubitos de madera por filas regulares y dar el número de cubitos de la caja _____________________ En la tercera, el profesor pone a disposición de los alumnos una caja y dos o tres cubos de madera y pide cuántos cubos contendría la caja si estuviera llena. ¿Cuáles son los conocimientos que se pretenden? Utilizar estos tres ejercicios para precisar las diferencias que puede haber entre una situación de acción, una simple manipulación y una actividad de control. Hay que ser bien consciente de que en la práctica estas fases no se suceden tan sistemáticamente. La mayor parte de las secuencias de clases que toman en cuenta este enfoque se caracterizarán por la presencia de una o varias de estas fases. Sería un error creer que en una sesión de trabajo tendrían que estar presentes sistemáticamente. Se puede concebir una serie de dos o tres sesiones de trabajo en el transcurso de las cuales las únicas fases que estén presentes sean las de acción y de formulación. Es preciso que los alumnos hayan sido varias veces emisores y varias veces receptores para que puedan tomar claramente conciencia del problema que está en juego. 3.2 Para construir situaciones La construcción de situaciones tales como las que acabamos de describir es una tarea compleja. Antes de proponer un problema a los alumnos, nos podemos preguntar sobre los conocimientos (en un sentido amplio) que podrán poner en juego: saberes aprendidos en la escuela, concepciones primarias, conocimientos "que ya estaban ahí". ¿Cómo se organizan esos conocimientos? ¿La organización de los saberes a enseñar es idéntica a la de los conocimientos de los alumnos? ¿Cuáles son las consecuencias de la toma en cuenta de las concepciones de los alumnos en la organización de las secuencias de enseñanza? • Relaciones entre saberes y conocimientos En ciertas situaciones, el alumno necesita conocimientos que la escuela no enseña, pero que sin embargo él debe poner en marcha, para aprender el saber o para utilizar lo que ha aprendido. Tomemos un ejemplo en el campo del número. En el primer curso de primaria (6 años), en el mes de marzo Matilde debe contar cuántos árboles hay. Empieza a escribir un número bajo cada árbol (ver la figura siguiente); poco después, se para en 35 y dice "no puedo poner el 36 porque puede estar aquí o allí". (Su gesto designa los dos árboles a la derecha del que ha marcado con el 35.) Figura de la página 149 del original El profesor en situación de clase no puede detectar este titubeo. Incluso, aunque lo conozca fortuitamente, se encontrará desarmado para interpretarlo y para, a fortiori, actuar. El no completar la respuesta se tratará como un accidente de conteo y, a lo más, "corregido" mediante una directriz o un consejo. No se tratará el problema con el que se ha topado Matilde.

¿Cuál es este problema? No se cuestionan los conocimientos relativos al número. Para controlar la situación, el niño debe explorar de manera exhaustiva la colección. Debe

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hacer una enumeración. El buen funcionamiento de este conocimiento condiciona completamente el buen desarrollo de la actividad numérica propuesta por el profesor. Los números inscritos al pie de cada árbol no funcionan, como se podría pensar, como una señal que permita ejercer un control de la exploración. La serie numérica no ayuda al control, que es de tipo espacial. El niño fracasa, aunque dispone de la serie numérica y de un procedimiento de exploración relativamente bien organizado (por líneas), pero que se hace difícil de continuar. Se trata pues de un disfuncionamiento de un conocimiento (la enumeración de una colección) necesario para realizar el conteo.

Así pues, el alumno necesita un conocimiento (la enumeración de objetos) que la escuela no enseña, pero que debe poner en marcha para aprender el saber (el conteo).

En "Rôle de la mémoire didactique de l'enseignant"109, Guy Brousseau y Julia Centeno eligen esta distinción entre conocimiento y saber: "Los conocimientos son los medios transmisibles (por imitación, iniciación, comunicación, etc.) pero no necesariamente explicitables, de controlar una situación y de obtener en ésta un cierto resultado conforme a una expectativa o a una exigencia social (…). El saber es el producto cultural de una institución que tiene por objeto localizar, analizar y organizar los conocimientos, con el fin de facilitar su comunicación, su uso bajo forma de conocimiento o de saberes y la producción de nuevos saberes. En ciertas situaciones (acción, formulación o prueba), el mismo resultado puede ser el fruto de un conocimiento del actor o el fruto de un saber o ambos a la vez".

"Cuando el sujeto reconoce el papel activo de un conocimiento, este reconocimiento se vuelve irreversible y entonces, el sujeto sabe. Un conocimiento identificado de esta manera es un saber, es un conocimiento útil, utilizable, en el sentido de que ese conocimiento permite al sujeto actuar sobre la representación110." Por supuesto, la enseñanza juega un papel en el paso del estado de conocimiento al estado de saber, pero hemos visto en el ejemplo precedente que la organización de los saberes que se van a enseñar no está calcada de la organización de los conocimientos111. Una explicación de este fenómeno es que la génesis de los saberes y la de los conocimientos no son idénticas. • Las concepciones de los alumnos Volvamos a tomar el análisis comenzado en la página ??? (102 del original) a propósito de secuencias de clase sobre geometría de las figuras simples. Los mensajes de los niños muestran de manera evidente que una lectura de las figuras no se corresponde con la lectura que de ellas hacen los matemáticos. Sin embargo, ¿no podrían servir las matemáticas para analizar las concepciones de los alumnos y ayudar al profesor en su tarea? Tomemos el mensaje siguiente: (que describe un rombo)

109 G. Brousseau y J. Centeno: "Rôle de la mémoire didactique de l'enseignant". Artículo LADIST Bordeaux (cf. también RDM, vol. 11/2.3, 1992). 110 F. Conne: "Savoir et connaissance" RDM, vol. 12/2.3, pp. 222-267. 111 Para profundizar este punto, se pueden consultar los trabajos de : P. Orús Baguena: "Le raisonnement des élèves dans la relation didactique" (tesis de la Universidad Bordeaux I 1992); M. H. Salin y R. Berthelot: "L'enseignement de l'espace et de la géométrie dans la scolarité obligatoire" (tesis de la Universidad Bordeaux I 1992); J. Briand: "L'énumération dans le mesurage des collections" (tesis de la Universidad Bordeaux I 1993).

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"RO1: Hay cuatro lados. El lado AB mide 7 cm, el lado BC mide 7 cm, el lado CD mide 7 cm, el lado DA mide 7 cm. Es como un cuadrado inclinado." Los niños miden lo que se puede localizar (los lados de la figura). La alusión al cuadrado inclinado muestra la preocupación por aportar una información que distingue esta figura del cuadrado conocido por los alumnos. Pero éstos no pueden entonces pasar a concebir y medir lo que llamamos una diagonal. Sería sin embargo una información que permitiría caracterizar este rombo entre los que tienen los lados de medida 7 cm.

Como es preciso que el alumno tome conciencia de que la mera medida de los lados no basta para caracterizar un rombo, al profesor le interesa organizar situaciones en el transcurso de las cuales esta toma de conciencia se hará de manera diferente a un discurso explicativo. El saber que está en juego será (entre otros) la diagonal en tanto que instrumento que se ha hecho necesario para la construcción de un rombo. Se trata pues de construir una organización de una serie de secuencias basadas en otro tipo de análisis que el simple realizado en términos de saberes matemáticos.

El análisis del rombo visto a través de las producciones escritas de los alumnos conduce a hacer la clasificación siguiente, en el conjunto de los cuadriláteros. Figuras para las que basta medir los lados efectivamente dibujados (cuadrado, rectán-gulo, triángulo) para hacerla reproducir.

Figuras para las que es necesario concebir un segmento no representado y medirlo para caracterizarlas (cuadrilátero convexo y, en particular, paralelogramo, rombo, trapecio).

Por supuesto, esta clasificación utiliza nociones matemáticas. Pero es la consecuencia de un análisis didáctico. El análisis a priori que acabamos de hacer muestra que el rombo plantea una dificultad particular (un nuevo segmento a concebir y a medir). Este tipo de análisis tendrá consecuencias importantes en la organización de futuras secuencias de enseñanza: por ejemplo, espontáneamente parecerá razonable empezar una progresión en geometría, que se apoyará en situaciones de comunicación que pongan en juego figuras "simples", tales como el cuadrado o el rectángulo. Pero los niños tienen ya un conocimiento cultural de estas dos figuras. Será pues más difícil volver sobre el sentido de estas palabras en el campo de las matemáticas: por ejemplo, la propiedad "cuadrado" no contiene ipso facto la propiedad "ortogonalidad de los lados" para los niños. Finalmente, empezar una progresión por el cuadrado o por el rectángulo no es quizás una empresa tan sencilla como parece. El triángulo, menos marcado culturalmente y para el que la mera medida de los lados permite la reproducción, puede resultar una elección más juiciosa. El paso del triángulo al rombo, o a un cuadrilátero cualquiera, provocará un salto de información (la variable didáctica: "necesidad de concebir un segmento no representado", que puede cambiar de valor), que se puede aprovechar para la adquisición de nuevos saberes (por ejemplo, el concepto de diagonal). Ver figura página 152 del original Ejercicio tratado He aquí un ejercicio clásico que puede proponerse a distintos niveles escolares.

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¿Cuántos rectángulos hay en esta figura? Estudiando dos ejemplos de estrategia desarrolladas por alumnos y una estrategia experta, se percibe que todas ellas son la consecuencia de distintas concepciones del rectángulo. Análisis de las estrategias • Primera estrategia: El alumno (11 años) considera una partición del conjunto: todos los rectángulos tienen una casilla; después, todos los que tienen dos casillas, etc. Se sirve de una denominación de los rectángulos para constituir una partición del conjunto. Esta denominación utiliza la serie numérica. Permite la enumeración de las clases.

Examinemos las estrategias para cada clase:

Para los rectángulos de "una casilla": la respuesta (12) es la enumeración de una colección visible.

Para los rectángulos "de dos casillas": el niño considera los "verticales" y los "horizontales". Para los "verticales", efectúa una nueva partición ayudándose de columnas, después enumera los rectángulos de dos casillas en cada columna, lo que en este caso no presenta dificultad, aunque esta exploración necesita el reconocimiento de rectángulos que se superponen. Obtiene de esta manera 8 rectángulos. Procederá de la misma manera con las líneas para los "horizontales", obteniendo otros 9 rectángulos.

Para los rectángulos "de tres casillas": la estrategia es un híbrido de los dos primeros casos. El niño considera los "verticales" y los "horizontales". Los 4 "verticales" son visibles, los "horizontales se superponen (6 rectángulos).

Para los rectángulos "de cuatro casillas" obtiene dos subclases a partir de los rectángulos-línea –cuatro casillas de lado a lado– (3 rectángulos) y de los rectángulos formados por 4 casillas elementales (6 rectángulos).

Los rectángulos de 5, 7, 10 y 11 casillas no existen. Esto permite eliminar las clases vacías. este descubrimiento se basa en una utilización, en la acción, de teoremas de aritmética: 5, 7, y 11 no pueden ser del tipo "a x b", o bien un rectángulo de 10 casillas no es concebible en este contexto

Para los rectángulos "de seis casillas": le son necesarias tres subclases de rectángulos, la de los que están "arriba" (2 rectángulos), la de los que están "abajo" y la de los que están "de pie" o "parados" (3 rectángulos).

Quedan los rectángulos de 8 casillas (2 rectángulos), de 9 casillas (2 rectángulos) y de 12 casillas (1 rectángulo), cuya enumeración utiliza estrategias de enumeración más arriba descritas.

Resultado: 60 rectángulos en total. • Segunda estrategia (alumno preuniversitario [17 años] de rama científica): la unidad de medida es la malla de la cuadrícula).

Esta vez, el rectángulo está concebido a partir de la medida de cada uno de sus lados. en horizontal hay 4 lados posibles de medida uno, 3 lados posibles de medida dos, 2 lados posibles de medida tres y un lado posible de medida cuatro; o sea: 4 + 3 + 2 + 1 = 10

124

lados posibles. Procediendo de manera análoga, se obtiene el número de lados "verticales" 3 + 2 + 1 = 6.

Elegir un rectángulo viene a ser elegir un lado horizontal y un lado vertical. Se tiene así 10 x 6 = 60 rectángulos en la figura. • He aquí una tercera estrategia (experta) que utiliza el saber del análisis combinatorio y necesita concebir el rectángulo como caracterizado por dos pares de lados. Sea {V1, V2, V3, V4, V5} el conjunto de las rectas verticales que soportan los lados verticales y sea {h1, h2, h3, h4} el conjunto de las rectas horizontales que soportan los lados horizontales Ver figura de la página 153 del original h1

V1

V2 V3 V4 V5

h2 h3 h4 El número de rectángulos es también el número de cuaternas de elementos (vi, vj, hk, hl), tales que i ≠ j y k ≠ l. Como Cnp designa el número de maneras de elegir p objetos entre n, hay C52 maneras de elegir el par (vi, vj) y C42 maneras de elegir el par (hk, hl). El número de rectángulos es C52 x C42, o sea 60.

Se ve aquí claramente que, según la concepción que se haga el alumno de estos rectángulos (del objeto físico del alumno de 11 años al rectángulo como "par de lado horizontal y lado vertical" del alumno de 17 años de la rama de ciencias) y según los instrumentos matemáticos de los que disponga, las estrategias de exploración de la colección llevadas a cabo para efectuar la enumeración no son las mismas. Esta cuestión de la existencia de distintas opciones y de la elección efectiva de tal o cual concepción, se deja muy frecuentemente en manos del alumno. Cuando se trata de utilizar los instrumentos del análisis combinatorio, será necesario que el alumno tenga una concepción que esté en ruptura con la concepción habitual del rectángulo. En el mejor de los casos, el profesor se verá obligado a decir: "en este ejercicio, consideren el rectángulo como una cuaterna constituída por dos lados verticales y dos lados horizontales".

125

Ejercicios corregidos Ejercicio de la página ??? (página 20 del original) _____________________________ Solución aritmética. Hay varios enfoques posibles; he aquí uno: En proporciones iguales de café A y café B, el precio de 2 kg es 3,80 + 4,30, o sea 8,10 F, o sea a 4,05 francos el kilogramo. Hay que poner un poco más de café A que de café B. Partiendo de 500 gramos de café A y 500 gramos de café B, si se añade 1 gramo de café A y se quita 1 gramo de café B, el precio baja 0,0043 F - 0,0038 F = 0,0005 F. Para que el precio baje 0,05 F hay que repetir la operación 100 veces y, por tanto, añadir 100 gramos de café A y quitar 100 gramos de café B: esto da 600 gramos de café A y 400 gramos de café B. Solución algebraica. Sea "x" la cantidad de café A e "y" la cantidad de café B, para tener 1 Kg de mezcla a 4 F: x + y = 1 3,80 x + 4,30 y = 4 El sistema a resolver es de dos ecuaciones con dos incógnitas: (1) 4 = 3,80 x + 4,30 y (2) x + y = 1 (2) equivale a: x = 1 - y Sustituyendo en (1): 4 = 3,80 (1 - y) + 4,30 y; de donde 0,20 = 0,5 y; se tiene finalmente y = 0,4 y x = 0,6. Hacen falta pues 600 gramos de café A y 400 gramos de café B. Ejercicio de la página ??? (página 20 del original) ________________________ Dos maneras de tratar el planteamiento de la ecuación: La primera consiste en tomar la edad del capitán como x. La edad de Federico es 2x. En 5 años: (x + 5) + (2x + 5) = 70 La segunda consiste en tomar edad del capitán como x e "y" como la edad de Federico y resolver entonces el sistema siguiente: y = 2x (y + 5) + (x + 5) = 70 Ejercicio de la página ??? (página 40 del original) ________________________ Ciertas cuestiones se encuentran en varios puntos del esquema: la cuestión 6 se refiere a la interrelación maestro/alumno: las preguntas planteadas entran en un diálogo instaurado entre el maestro y los alumnos. La cuestión 6 se refiere igualmente a la interrelación alumno/situación, pues las preguntas aseguran la comprensión de la consigna por los alumnos. La cuestión 9 interviene al nivel de las dos interrelaciones alumno/saber (existe un saber en juego, incluso cuando los alumnos no lo perciben) y alumno/situación (encontrar los números es un objetivo real, pero propio de la situación).

Esquema en tetraedro de la página 212 La cuestión 12, si nos interesamos en la concepción de los decimales por Elisa, es propia de la interrelación alumno/saber. Por el contrario, si esta cuestión se refiere a la historia

126

de los números decimales y a los obstáculos epistemológicos relacionados con ella, es una interrogación sobre el saber matemático. En otras circunstancias, ciertas cuestiones se situarían en puntos diferentes del esquema: la cuestión 8, en una situación distinta, en la que existiesen retroacciones, intervendría en el nivel de la interrelación alumno/saber. Ejercicio de la página ??? (página 55 del original) ________________________ • El primer algoritmo (llamado "a la griega" o "de la celosía"112) se entiende mejor con la presentación siguiente:

1 000 200 50 8 100 000 20 000 5000 800 100

1 30 000 6 000 1 500 240 30 6 5 000 1 000 250 40 5 9 8 3 0

Los cálculos que están en juego son: (1 000 + 200 + 50 + 8).(100 + 30 + 8) = 1 000 x 100 + 200 x 100 + 50 x 100 + 8 x 100 + 1000 x 30 + 200 x 30, etc. Esta posibilidad de escribir el resultado se basa - en la escrituras de los números en base diez; - en la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición.

En tanto que algoritmo, este procedimiento permite al alumno: - realizar una tarea elemental (cálculo del producto correspondiente a una casilla) y poder interrumpir su trabajo y continuarlo en otro momento; - visualizar efectivamente los errores cometidos (productos parciales no memorizados); - prever el orden de magnitud del resultado Este procedimiento exige el conocimiento de las tablas de multiplicar y prever el dibujo.

Nota: este cálculo del producto de dos números forma parte del origen de la puesta en marcha de un procediminto automático de cálculo de productos llamado "Las tablillas de Neper" ("Bâtons de Neper"). En 1617, en su tratado "Rabdología", Neper propuso un sistema ingenioso, que era un instrumento que pretendía reducir la multiplicación a una serie de adiciones y ponerla así al alcance de centenas de millares de utilizadores. Las tablillas de Neper son una especie de tablas de multiplicar montadas sobre regletas. Cada tablilla "a" (para "a" igual a 1, 2, 5 y 8 en la figura), presenta en columna los productos de a por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9, según la disposición "del enrejado".

Figura de la página 213 Por ejemplo, si retomamos el cálculo del producto, basta situar una junto a otra las tablillas 1, 2, 5 y 8. Para multipicar por 135, se procede de la siguiente manera: Se toman todos los términos de la segunda fila, o sea 1-2-5-8, y se efectúa la suma 1 000 + 200 + 50 + 8 = 1 258. Análogamente, se toman los números de la cuarta fila 3-6-15-4 y se calcula 3 000 + 600 + 150 + 24 = 3 774. En la sexta fila se tiene 5-10-25-40 y se calcula: 5 000 + 1 000 + 250 + 40 = 6 290.

112 De las rejas que se encuentran en las ventanas, principalmente en Andalucía.

127

Basta ahora efectuar la adición de los tres productos parciales, teniendo en cuenta la posición de los productos o copiando los números leídos, con el fin de obtener una disposición idéntica a la que el ejercicio propone. Las tablillas de Neper conocieron un gran éxito. Se fabricaban según las posibilidades de los utilizadores en marfil, en hueso ("Napier bones" para los ingleses) o en madera. Esta invención hacía inútil la tabla de multiplicar. * El segundo algoritmo, llamado "a la rusa" está basado en la propiedad siguiente: En N, si b es par, entonces ab = 2a.(b/2); si b es impar ab = a (b - 1) + a. En este caso, b - 1 es par, luego ab = 2a. [(b - 1)/2] + a. (Ver fórmulas página 213).

En el algoritmo a la rusa se tiene por ejemplo: 1 258 x 135 = 1 258 x 134 + 1 258 (este 1 258 se pone a la derecha). Entonces sólo se continúa con 1 258 x 134 = 2 516 x 67 y así consecutivamente. Desde el punto de vista del mecanismo, basta decir: cuando el segundo número es impar, se sitúa el primero a la derecha. Cuando el segundo es par, no se pone nada y así sucesivamente. El resultado se obtiene sumando la columna de la derecha. Para este procedimiento no es necesario conocer las tablas de multiplicar (salvo la multiplicación por dos y la división por dos). Por contra, es más largo poner en marcha este procedimiento. Ejercicio de la página ??? (página 56 del original) ________________________ Se llama función lineal de R en R a toda función que a un número x le hace corresponder ax (siendo a un número conocido).

f: x → ax Tomemos un problema de proporción de la escuela elemental: Un kilo de tomates cuesta 4 francos. ¿Cuánto cuestan 6 kilos? La respuesta es evidente: 6 x 4 = 24, luego el precio es 24 francos. La función que al peso le hace corresponder el precio es f (x) = 4x. La función lineal es el modelo matemático de la proporcionalidad. Vamos a ver que las propiedades de la función lineal permiten resolver fácilmente problemas de proporcionalidad: 13 kg de tomates cuestan 42,25 francos. 24 kg de esos mismos tomates cuestan 81,25 francos: ¿cuánto cuestan 11 kg de estos tomates? ¿Y 61 kg? Lo que se suele hacer es calcular el precio de un kilogramo. Aquí no es necesario: La función lineal f (x) = ax (donde "a", el precio de un kilo, no se conoce), posee como propiedad característica (que usted puede demostrar): ∀x, ∀y: f (x + y) = f (x) + f (y) y ∀k, ∀x: kf (x) = f (kx) Luego f (11) = f (24 - 13) = f (24) - f (13) = 81,25 - 42,25 = 39 f (61) = f (2 x 24 + 13) = 2f (24) + f (13) = 162,5 + 42,25 = 204,75 francos. Ejercicio de la página ??? (página 57 del original) ________________________ Estos dos procedientos no se aplican al mismo saber: el primer procedimiento utiliza el resultado siguiente: sea (an an-1 an-2 ap a0) la escritura de un número en base diez; (an an-

1 an-2 ap a0) es también (an an-1 an-2 ap-1 10 + ap-1 a0). El alumno intenta restar 9 a 5 y como no puede, preve restar 9 a 15 (1 7 5 es entonces 1 6 15). De esta manera "toma" una decena (el 7 de la columna de enmedio es entonces un 6) y pone 6 en lugar de 7. Efectúa "del 9 al 15" y escribe 6.

128

En la segunda columna hay ahora 6 arriba. El alumno no puede restar 8 a 6. "Toma" pues una centena (el 1 de la columna de la izquierda está tachado y el 6 de enmedio se convierte en 16) (16 es entonces 016). Resta 8 a 16 y obtiene 8. El segundo procedimiento es la aplicación del teorema siguiente: ∀a, ∀b, ∀n: a - b = (a + 10n) - (b + 10n). El 1 en bastardilla se ha añadido al número de arriba y al número de abajo. Representa una decena. El 1 en negrita se ha añadido arriba y abajo: representa una centena. Aunque este teorema no se haya formulado de esta manera, debe haberse comprendido para que este procedimiento de sustracción tenga sentido. Ejercicio de la página ??? (página 60 del original) ________________________ La función ln es estrictamente creciente en ]0, + ∞[. La función f: f (x) = 100 sen x está acotada superiormente (sen x ≤ 1, luego 100 sen x ≤ 100); luego, en cuanto ln (x) sea mayor que 100, estas dos curvas ya no se cortan. Además, la función f (f (x) = 100senx) es una sinusoide. El conjunto de los puntos de intersección es finito. La ecuación admite un número natural de soluciones. Ejercicio de la página ??? (página 67 del original) ________________________ Las dos preparaciones se refieren a una misma lección: búsqueda del cociente y el resto en la división euclídea de un número entre 4, para resolver un problema de distribución.

Primer procedimiento Segundo procedimiento * El profesor dicta a los alumnos lo que tienen que ver, lo que tienen que constatar. Es él el que pide efectuar la división entre 4 y tomar el cociente y el resto.

* El profesor se asegura de la comprensión de la consigna; después plantea a los alumnos preguntas que, para ser respondidas, exigen que se movilice el saber que está en juego. Este saber no se menciona en ningún momento.

* El alumno actúa bajo el control del maestro * El alumno es el responsable de los conocimientos que moviliza

* Los números elegidos provocan una ruptura en las estrategias utilizables por los alumnos: - completar la tabla y leer las respuestas, - anticipar las respuestas.

Ejercicio de la página ??? (página 72 del original) ________________________ Pregunta 1 Diferentes soluciones para responder a la primera pregunta: Los distintos triángulos son rectángulos. El cuadrilátero EOTU es un cuadrado. área (QEU) = 5 x 8/2 = 20 área (UTA) = 13 x 8/2 = 52 área (EOTU) = 8 x 8 = 64 total: 136 área (QOA) = 13 x 21/2 = 136,5 Si los puntos Q, U, A estuvieran alineados, el recorte constituiría una partición del triángulo QOA y se debería tener en total 136,5 y no 136.

129

Otra solución: la idea es mostrar que U no está en el segmento [QA]. Para ello, se calcula QU, UA y QA. Por el teorema de Pitágoras (en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos), se tiene: QU2 = 52 + 82 = 25 + 64 = 89 UA2 = 82 + 132 = 64 + 169 = 233 QA2 = 132 + 212 = 169 + 441 = 610 Comparemos QU + UA y QA, o sus cuadrados. QU + UA = QA ⇔ (QU + UA)2 = QA2 ⇔ QU2 + UA2 + 2QU.UA = QA2

⇔ 89 + 233 + 2 89 233 = 610

⇔ 89 233 = 144 ⇔ 89 x 233 = 1442 ⇔ 20 737 = 20 736. como esta igualdad es falsa, QU + UA no es igual a QA y, por consiguiente, los puntos QUA no están alineados. Otra solución: Si los puntos están alineados, entonces el teorema de Thales permite afirmar que : QEQO =

QUQA =

EUOA : pero

QEQO =

513 .

EUOA =

813 : luego la igualdad es falsa y, en

consecuencia, los tres puntos no están alineados. Pregunta 2 Este problema provoca probablemente una ruptura de contrato, porque los alumnos están acostumbrados a demostrar que tres puntos están alineados. El hecho mismo de interesarse en tres puntos no alineados puede parecer incongruente.

Los alumnos van a hacer espontáneamente la conjetura del alineamiento, lo que sin duda constituirá un obstáculo para la resolución del problema, pero a la larga, este tipo de rupturas coloca el tema en una verdadera actitud de investigación. Ejercicio de la página ??? (página 72 del original) ________________________ El procedimiento que se basa en las áreas es correcto. El hecho de que los resultados no se alejen ha conducido al candidato a admitir el alineamiento. El hecho de no haber sabido elegir entre dos exigencias de naturaleza física (una medida y una "tolerancia") y exigencias de naturaleza matemática conduce a esta conclusión no admisible. Ejercicio de la página ??? (página 73 del original) ________________________ Si el niño hubiera escrito "s" después de la primera frase de Topaze, se puede pensar que habría comprendido la regla del plural. Si hubiera escrito la "s" después de la segunda frase, esto habría significado simplemente una escucha atenta. Escrito después de la tercera frase, la "s" sería el resultado, después de la llamada al orden, de una toma de conciencia de un error, seguida de una escucha atenta. En la última frase, Topaze señala fonéticamente el plural del verbo y acaba por enunciar la regla, reforzándola fonéticamente. Ejercicio de la página ??? (página 80 del original) ________________________

130

El diccionario de francés “Larousse référence Électronique” da estas definiciones:

cifra 1. Cada uno de los caracteres que representan los números. 2. Montante, valor de una cosa: cifra de negocios. 3. Código secreto. 4. Combinación de una cerradura, de una caja fuerte. 5. Iniciales de un nombre enlazadas.

derecha (“droite”)

1. Lado derecho, mano derecha. 2. Parte de una asamblea de deliberación formada por elementos conservadores. 3. (matemáticas) Línea recta ("droite") 4. (locución) A la derecha, a mano derecha, del lado derecho. 5. extrema derecha, conjunto de los movimientos contrarrevolucionarios que rechazan el liberalismo y el marxismo.

figura (“figure”)

1. Cara, rostro113. 2. Aspecto: lucir una buena figura. 3. Forma visible de un cuerpo: tener figura humana. 4. Personalidad sobresaliente: las grandes figuras de la historia. 5. Representación pintada o esculpida de un ser humano o de un animal. 6. Símbolo, alegoría. 7. (geometría) Conjunto de puntos, líneas, superficies. 8. Forma dada a la expresión para producir un cierto efecto: figura de retórica. 9. Movimiento coreográfico.

cuadrado 1. Cuadrilátero plano de lados iguales y 4 ángulos rectos 2. Compartimento de jardín, en el que se cultiva una misma planta. 3. En un navío, comedor de los oficiales (en francés “carré”) 4. Reunión de cuatro cartas parecidas. 5. Conjunto de las costillas de una oveja, de un cordero, del cerdo (en francés “carré”). 6. Producto de un número multiplicado por sí mismo.

producto 1. Riqueza, bien económico obtenido de la producción. 2. Objeto, artículo manufacturado. 3. Beneficio, resultado. 4. (matemáticas) Resultado de la multiplicación.

diferencia 1. Ausencia de similitud, de identidad. 2. Distancia que separa dos magnitudes, dos cantidades: diferencia de altitud. 3. Resultado de una sustracción.

Aquí se ve el carácter polisémico de la lengua. Entre los diferentes sentidos dados, se puede localizar el uso matemático de cada término.

cifra 1. Cada uno de los caracteres que representan los números. derecha 3. (matemáticas) Línea recta114 ("droite") figura 7. (geometría) Conjunto de puntos, líneas, superficies.

113 Esta acepción es peculiar de la lengua francesa (N. de los T.) 114 Solamente en lengua francesa (N. de los T.)

131

cuadrado 1. Cuadrilátero plano de lados iguales y 4 ángulos rectos 6. Producto de un número multiplicado por sí mismo.

producto 4. (matemáticas) Resultado de la multiplicación. diferencia 2. Distancia que separa dos magnitudes, dos cantidades: diferencia de altitud.

3. Resultado de una sustracción. Estas descripciones no constituyen todavía definiciones matemáticas.

cifra Todo número natural (por ejemplo: diez) puede designarse mediante un código que utiliza símbolos y reglas de asociación de esos símbolos. En nuestro sistema de escritura (sistema decimal posicional) este número se escribe con las cifras 1 y 0, tomadas en este orden. X es otra escritura de este número (escritura romana). En numeración egipcia se notaba: ∩.

derecha115

(matemáticas) Línea recta ("droite"). "Una línea recta" no corresponde a la definición actual, pero en los elementos de Euclides, libro I116 se decía "el punto es aquello cuya parte es nula; una línea es una longitud sin anchura, las extremidades de una línea son puntos, la línea recta es aquélla que está igualmente situada entre esos dos puntos." Estas referencias permiten al lector conocer de qué se trata. Actualmente, se dan definiciones conjuntistas: "la recta (AB) es el conjunto de puntos M (del plano o del espacio) para los que existe un real λ tal que el vector AM es igual a λ por el vector AB.

figura Representación en el plano de un objeto geométrico. cuadrado Cuadrilátero plano que tiene 4 lados de la misma medida y 1 ángulo recto. El

hecho de que los 4 ángulos sean rectos es una propiedad que se deduce de la definición. Un cuadrado designa igualmente el producto de un número multiplicado por sí mismo.

producto Resultado de la multiplicación. diferencia Distancia que separa dos magnitudes, dos cantidades o resultado de una

sustracción. Entre estas definiciones, algunas corresponden a una descripción de un objeto metamatemático (cifra, figura), otros a la identificación de un objeto matemático en una teoría (recta, cuadrado…) Ejercicio de la página ??? (página 93 del original) ________________________ He aquí respuestas de alumnos.

Cortan los ejes. Las dos rectas son secantes. Las dos rectas son secantes, pero no se cortan en la figura. Las dos líneas suben. Las dos rectas tienen una pendiente positiva. La recta D1 está encima de la recta D2. No son paralelas, pero no se cortan.

115 Solamente en lengua francesa, "droite" significa "recta" (N. de los T.) 116 Mathématiques au fil des âges, IREM Groupe epistémologique et Histoire, Ed. Gauthier-Villars, (1987).

132

D1 no pasa por el origen. Los dos ejes son ortogonales. Se han olvidado de poner las flechas de los extremos de los ejes.

Se puede observar que algunas son pertinentes, mientras que otras revelan concepciones erróneas. Ejercicio de la página ??? (página 96 del original) ________________________ Laura y Antonio obtienen la ecuación buscada y utilizan conocimientos matemáticos correctos, pero sus respuestas son fundamentalmente diferentes. Laura no anuncia lo que busca; utiliza abreviaturas "coef. dir.", notaciones incorrectas "(E)" para designar una recta que pasa por E. Todo esto traduce una falta de respeto o un deficiente dominio del lenguaje matemático. Desarrolla cálculos incomprensibles para quien ignora el método utilizado: - la recta buscada tiene una ecuación del tipo y = ax + b, a es el coeficiente director; - siendo esta recta paralela a la recta (BC), tiene el mismo coeficiente director que (BC); - el coeficiente director de la recta (BC) está dado por la fórmula:

a = yB - yCxB - xC

- b se calcula entonces escribiendo que las coordenadas de E verifican la ecuación buscada. O bien Laura no sabe explicar lo que hace, o juzga inútil dar explicaciones a un profesor que, por definición, debe comprender. En suma, Laura no da ninguna conclusión y deja al corrector el cuidado de volver a encontrar no sólo el hilo de los cálculos, sino también la respuesta buscada. La respuesta de Laura no entra en un procedimiento de comunicación, pero es interesante en un trabajo privado de investigación.

Antonio da un título, recuerda los datos, explica su procedimiento y su razonamiento. Recuerda igualmente los resultados de clases en los que apoya sus cálculos. Finalmente da una conclusión conforme a la pregunta planteada. Su respuesta es un modelo en el plano de la comunicación.

Las dos respuestas se oponen. Se tiene la tentación de dar una mala nota a Laura y una muy buena nota a la de Antonio. Apreciar una tarea realizada es más complejo que todo esto y debe referirse al contrato en vigor en la clase cuando se ha planteado el deber. Si las reglas de redacción no se hubieran trabajado y negociado con los alumnos, Laura no podría comprender por qué ella tiene una mala nota, cuando ha encontrado la respuesta. Ejercicio de la página ??? (página 101 del original) _______________________ - El mensaje T1 no es erróneo. Los receptores seguramente han construído el triángulo trazando el primer lado, trazando después el segundo lado, sin pensar que la construcción efectiva del segundo lado no puede hacerse más que conjuntamente con el tercero. La consecuencia es que la medida del tercer lado parece imponerse a los niños, cuando la debían tomar en cuenta; de ahí su desarrollo y su afirmación: "11 cm 8 mm". - El mensaje T2 es forzosamente erróneo: la medida de un lado es mayor que la suma de las medidas de los otros dos lados. Se trata pues de un error debido a los emisores del mensaje. - El mensaje T3 es correcto, luego son los receptores los que no han acertado.

133

Ejercicio de la página ??? (página 101 del original) _______________________ 1. Clasificación de los mensajes: Permiten construir una figura

única No permiten ninguna

construcción Permiten la construcción de

varias figuras C1; C2; RE1; RE2; RO2; P2 P3 RO1; P1 2. Un ejemplo del mensaje RO2 corregido: "Es un cuadrilátero. Cada lado mide 7 cm. Una diagonal mide 9 cm."

3. Los mensajes C1 y C2 muestran que el significante "cuadrado" quizás no contiene las propiedades "lados iguales" y "ángulos rectos", puesto que los alumnos lo explicitan. El mensaje P1 significa que un rectángulo puede estar inclinado. Se entiende bien lo que quiere decir este niño. También es cierto que esta concepción del rectángulo no es la de las matemáticas.

Nota: El mensaje P2 no es correcto si nos atenemos a un análisis matemático clásico. Lo hemos clasificado en la primera categoría porque ha permitido la construcción de la figura tras una secuencia efectiva del grupo receptor. Se puede hacer la hipótesis de que los niños comparten las mismas referencias implícitas. El procedimiento seguido por el grupo que realiza el mensaje P3 es correcto: medir los lados y una diagonal. Pero la medida de la diagonal es falsa: la distancia de A a C es necesariamente más corta que la suma de las medidas AB y BC. Ejercicio de la página ??? (página 105 del original) "Encontrar las cifras" Las cifras pueden ser:

* 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 * 123 no tiene ninguna cifra común * 0, _, _, _, 4, 5, 6, 7, 8, 9 * 456 tiene una cifra común en su sitio * se trata de la cifra 6 y se encuentra en 3ª

posición; además 4 y 5 no forman parte del número

* 612 tiene una cifra común mal situada * quedan como cifras posibles 0, _, _, _, _, _, 6, 7, 8, 9

* 547 tiene una cifra común, mal situada * es la cifra 7 * 843 tiene una cifra común en su sitio * es la cifra 8 * el número buscado es pues 876 El interés de este ejercicio reside en la necesidad de tratar correctamente las informaciones. Al principio, se miran las cifras posibles. La primera información permite eliminar 3 cifras. La segunda, combinada con la tercera, permite encontrar la cifra 6 y su lugar y eliminar 2 posibilidades. Las informaciones que siguen permiten obtener la solución rápidamente. Ejercicio de la página ??? (página 106 del original) _______________________ "El cubo”

Figura de la página 221 del original Se tienen 8 cubos pequeños con 3 caras pintadas: vértices del cubo grande. Se tienen 12 cubos pequeños con 2 caras pintadas: cubo de en medio de cada arista. Se tienen 6 cubos pequeños con una cara pintada: centro de cada cara. Se tiene un cubo pequeño sin ninguna cara pintada: está en el centro del cubo grande. Total: 27.

134

Se puede verificar que hay 27 cubos: 3 x 3 x 3 cubos. Ejercicio de la página ??? (página 112 del original) _______________________ La estrategia parece evidente: el niño sustrae por columnas el número menor al mayor, cualquiera que sea la posición de uno u otro en la columna. Este procedimiento erróneo no se despista en la primera sustracción. Se puede establecer la hipótesis siguiente: un niño que empieza a hacer restas "sin llevar" o al que se le repite que no se puede restar "a" de "b" más que si "b" es mayor que "a", se sitúa en las condiciones en las que la "operación es legítima". Ejercicio de la página ??? (página 113 del original) _______________________ Aquí hay un error de razonamiento por parte del corrector en la enumeración de los sucesos: si se alinean los dados, el hecho de no haber obtenido as en el primero no significa que no se obtengan ases en los otros dos. Probabilidad de tener un solo as: P1 = 1/6 x 5/6 x 5/6 + 5/6 x 1/6 x 5/6 + 5/6 x 5/6 x 1/6 = 3 (1/6 x 5/6 x 5/6) = 75/216 Probabilidad de tener exactamente 2 ases: P2 = 3 (1/6 x 1/6 x 5/6) = 15/216 Probabilidad de tener exactamente 3 ases: P3 = (1/6 x 1/6 x 5/6) = 125/216 La probabilidad de no obtener ningún as es P4 = (5/6 x 5/6 x 5/6) = 125/216 No hay otro suceso posible, puesto que la suma de las probabilidades es igual a 1. Ejercicio de la página ??? (página 115 del original) _______________________ Ejemplos:

S0 2,15 4,01 6,12 S0 no 21,5 4,01 1,612 S1 4,15 4,21 5,22 S1 no 4,15 4,145 4,1354 S2 3,14 3,141 3,1415 S2 no 3,104 3,145 3,0014

Los alumnos también pueden dar una respuesta correcta al ejercicio propuesto por el profesor utilizando estrategias erróneas (como la S1 y la S2). Los resultados no significan pues la comprensión del orden en los números decimales. Hay que volver a construir el ejercicio. Ejercicio de la página ??? (página 117 del original) _______________________ La primera regla es falsa, cualquiera que sea el conjunto numérico considerado. En N, tratándose de la división euclídea, la primera idea es la del reparto, lo que lleva consigo que no se puede repartir más que si se tiene una cantidad suficiente. Sin embargo, la división euclídea de 3 entre 7 da 0 en el cociente y 3 de resto. En R, dividir es multiplicar por el inverso. Todo real no nulo tiene un inverso.

La segunda regla es verdadera en N y en general en los conjuntos numéricos positivos. Es falsa en Z, Q y R: a - b se define como a + (-b).

La tercera regla es verdadera en N, excluyendo 0 y 1. Es falsa en D.117 Ejercicio de la página ??? (página 119 del original) _______________________ 1 cm3 = 1 mililitro y no 1 cm3 = 10 mililitros. El conocimiento de la correspondencia 1 cm = 10 mm es sin duda lo que origina la confusión. Ejercicio de la página ??? (página 125 del original) _______________________ 117 Conjunto de los números decimales, es decir, de los racionales de período cero (N. de los T.)

135

En el segundo puzzle o rompecabezas, el "segmento" [PQ] es de hecho un cuadrilátero (muy delgado) que tiene de área 1. Los bordes de los fragmentos 1, 2, 3 y 4 no coinciden exactamente con la diagonal PQ, pero forman un paralelogramo PSQR que se ha representado, exagerando sus proporciones. La superficie de este paralelogramo representa el cuadrado que falta. El ángulo SPR es tan pequeño que este paralelogramo desaparece, a menos que se haga un recorte y un montaje muy minucioso.

Figura de la página 222 del original De esta manera, nada se pierde, nada se crea, todo se transforma… El recortado muestra aquí sus límites. Ejercicio de la página ??? (página 126 del original) _______________________ No hay que desdeñar esta actividad, aunque se hayan visto los límites en el ejercicio precedente. Por ejemplo, hacer este recortado con 25 alumnos, que tienen cada uno su triángulo, y constatar que siempre se obtiene un triángulo plano es un procedimiento de tipo experimental muy interesante en la escuela elemental y en la secundaria. Ejercicio de la página ??? (página 127 del original) _______________________

Primera figura de la página 223 El área del cuadrado grande es A + B + C + D + E. El área del cuadrado de la izquierda es A + C + D. El área del cuadrado de la derecha es B + E. El área del cuadrado grande es la suma de las áreas de los dos cuadrados. Ejercicio de la página ??? (página 128 del original) _______________________

Segunda figura de la página 223 Sean a y b las medidas de los lados del ángulo recto y c la medida de la hipotenusa. El

área del cuadrado grande es (a + b).(a + b) = (a + b)2. El área de un triángulo es ab2 .

El área del cuadrado pequeño es c2. Puede obtenerse como diferencia de las áreas del cuadrado grande y de los 4 triángulos: c2 = (a + b)2 - 2ab, luego c2 = a2 + b2 . Ejercicio de la página ??? (página 129 del original) _______________________ Se vuelven a encontrar los tres casos conocidos de igualdad de triángulos: - dos triángulos que tienen un lado igual comprendido entre dos ángulos respectivamente iguales, son iguales; - dos triángulos que tienen un ángulo igual comprendido entre dos lados respectivamente iguales son iguales; - dos triángulos que tienen sus tres lados iguales son iguales. Pero se tiene también el caso siguiente: si dos triángulos tienen dos ángulos iguales y un lado igual, son iguales (sin que se imponga la posición del lado respecto a los ángulos).

Nota: la igualdad de los tres lados impone la igualdad de los triángulos, mientras que la igualdad de los tres ángulos da triángulos semejantes (la misma forma, pero no necesariamente las mismas dimensiones). Ejercicio de la página ??? (página 148 del original) _______________________ El conocimiento de que se trata es que el producto de tres números permite medidas de dimensión 3. En el primer caso, la pregunta se plantea en forma de enunciado. Si el alumno sabe, podrá iniciar una respuesta. Sólo el maestro podrá atestiguar la validez de la respuesta. Se trata pues de una situación de control.

136

En el segundo caso, los alumnos llenarán la caja y contarán (siguiendo estrategias probablemente distintas). Los alumnos no tienen necesidad de anticipar en ningún momento. Se trata de una situación de manipulación que no requiere la adquisición de un nuevo saber. En el tercer caso, los niños deben imaginar una disposición y efectuar una contabilidad de los cubos "que entrarían". Se ven obligados a hacer previsiones según estrategias variadas. Se puede imaginar que un llenado posterior hecho con los cubos constituiría un medio de asegurar (de validar) las previsiones efectuadas. Ejercicio de la página ??? (página 162 del original) _______________________ Respuesta: la hipótesis 3 es la correcta. Comentario: Cuando se ha propuesto este problema a los estudiantes de magisterio, éstos consideran correcta la hipótesis 2 de manera muy mayoritaria en los primeros minutos de reflexión. El argumento que generalmente proponen en primer lugar tiene el estatus de prueba para la mayoría del grupo. Este argumento es el siguiente: "Cuando se vuelve a tomar líquido del segundo al primer recipiente, llevo un poco de líquido B, luego hay más líquido B en A que líquido A en B". - Los cambios de parecer son numerosos. - El tratamiento de casos particulares constituye una ocasión privilegiada de debates. Comportamientos repetidos: - Después de una exposición sobre un caso particular (aquél en el que el contenido de la cuchara es exactamente el volumen de líquido A, o alternativamente B), que acredita la hipótesis 3, algunos partidarios de la hipótesis 2 se han visto contrariados. Otros dicen: "justamente, es un caso particular, hay que eliminarlo". Ejercicio de la página ??? (página 165 del original) _______________________ A priori, parece inútil que el candidato cambie de puerta, porque queda una cabra y el automóvil, luego el concursante tiene una posibilidad entre dos de ganar. No es tan seguro… Una primera aproximación consistiría en jugar efectivamente un cierto número de veces e interesarse en la frecuencia de los aciertos. La revista Pour la science, nº 167, de septiembre de 1991, hizo una simulación con ordenador: con 100 000 pruebas, la estrategia que consiste en quedar ante la puerta fue ganadora 33 498 veces y perdedora 66 502 veces… La ley de los grandes números tan apreciada por los estadísticos nos permite poner en duda la hipótesis "una posibilidad entre dos". Demostración: Sea C el suceso "tener una cabra tras la puerta" y A el suceso "tener un automóvil tras la puerta". La probabilidad de que suceda C en la primera situación del concursante es: P (C) = 2/3. Luego P (A) = 1/3. Cuando sucede C, el hecho de cambiar de puerta hace ganar. Cuando sucede A, el hecho de cambiar de puerta hace perder. Así pues, la probabilidad de ganar cambiando de puerta es igual a P (C), o sea 2/3. La probabilidad de perder cambiando de puerta es igual a P (A), o sea 1/3. Es pues preferibe cambiar de puerta (como los 100 000 ensayos hacían prever). Ejercicio de la página ??? (página 165 del original) _______________________ Una solución en la que se piensa naturalmente es: "El soldado que ha llevado 2 panes recibe 2 escudos, el que ha llevado 3 panes recibe 3 escudos." Dibujemos los panes

Primer dibujo de la página 225 del original Imaginemos los panes repartidos para la comida

137

Segundo dibujo de la página 225 del original panes aportados por el primer soldado panes aportados por el segundo soldado

Es evidente que para que el reparto sea equitativo, el primer soldado debería recibir 4 escudos y el segundo 1 escudo. Ejercicio de la página ??? (página 166 del original) _______________________ El primer ejercicio se basa en un resultado adquirido por construcción. Utiliza la hipótesis de que los alumnos van a darse cuenta de la proporción 1/2 entre la medida de los dos ángulos. El segundo ejercicio se basa en una conjetura que podrá adelantarse después de varios estudios. Propone seguidamente construir una pista para la demostración de la conjetura establecida. Esta demostración puede ser la siguiente:

La suma de los ángulos de un triángulo es de 180o, luego ^RMO + ^MRO + ^MOR = 180o.

Este triángulo es isósceles, luego ^MOR = 180o - 2x. Si se nota x = ^RMO .

Pero ^MOR + ^RON = 180o, luego ^MOR = 180o - ^RON , luego ^RON = 2x. En el primer ejercicio nada indica al alumno qué es lo que debe hacer con lo que sucede. ¿Debe tomar este resultado como general? ¿Los pasos dados constituyen una prueba? El segundo ejercicio explicita esos dos puntos. Este estudiante de magisterio confunde conjetura y demostración. Habla de teorema, cuando no se trata más que de una suposición. Pero el hecho de expresar los resultados experimentales en escritura formal le da la impresión de haber demostrado. Ejercicio de la página ??? (página 169 del original) _______________________ He aquí varias soluciones.

Primera solución Llamemos "n" al número de equipos de 2 jugadores. Una partida se juega cuando dos equipos se enfrentan. Se tienen tantas partidas como maneras de elegir 2 objetos entre n; es decir

Cn2 = n!

2! (n - 2)! = n (n - 1)

2

Este número es igual a 15. Ello significa que: n (n - 1) = 30, lo que es equivalente a n2 - n - 30 = 0; ecuación de segundo grado de raíces reales -5 y 6. Como se busca un número natural, el número de equipos es pues 6 y, en consecuencia, hay 12 jugadores. En esta solución entran en juego conocimientos matemáticos de nivel preuniversitario (17 años). Esta solución permite por tanto encontrar la respuesta y asegurar la prueba entre personas capaces de reconocer los conocimientos utilizados.

Segunda solución Con 2 equipos se juega 1 partida. Con 3 equipos, se juegan 2 partidas más, en total 3 partidas. Con 4 equipos, se juegan 3 partidas más, en total 6 partidas. Con 5 equipos, se juegan 4 partidas más, en total 10 partidas. Con 6 equipos, se juegan 5 partidas más, en total 15 partidas. Hay pues 6 equipos, luego 12 jugadores.

138

En esta solución no entran en juego conocimientos matemáticos particulares. Establece el resultado y deberían decidirse por ella.

Tercera solución Ver cuadro de la página 226 (hay una errata en la 5ª línea en el original)

1 2 3 4 5 6 7 8 número de partidas 1 0 2 1 3 1 + 2 = 3 4 1 + 2 + 3 = 6 5 1 + 2 + 3 + 4 = 10 6 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 7 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 8 …

Se ve que con 6 equipos se han jugado 15 partidas. Hay pues 12 jugadores. Esta solución pide organizar las informaciones en una tabla sin presumir la respuesta. Permite enumerar las partidas jugadas con 2 equipos, con 3 equipos… Al igual que la solución precedente, también deberían decidirse por ella alternativamente.

Cuarta solución Se tienen n equipos. Cada equipo se enfrenta a todos los demás, o sea (n - 1) equipos. La partida "equipo A contra equipo B" y la partida "equipo B contra equipo A" son de hecho

la misma partida. Hay pues n (n - 1)

2 partidas jugadas.

n (n - 1)2 = 15 ⇔ n (n - 1) = 30 ⇔ n2 - n - 30 = 0 ⇔ n = -5 ó n = 6 ⇔ n = 6.

Hay 6 equipos, luego 12 jugadores. Tal demostración puede parecer difícil de entender en un nivel escolar no demasiado elevado. Por el contrario, es una demostración muy simple para quienes tienen costumbre de manipular las matemáticas.

Otra solución A descubrir basándose en los esquemas siguientes:

Primera figura de la página 227 del original Ejercicio de la página ??? (página 171 del original) _______________________ En educación primaria (9 a 10 años): Si la figura está dibujada en una hoja de papel, plegando la hoja según un diámetro ortogonal a la recta d, la figura se superpone a ella misma. En secundaria (13 años): Sea d' una recta que pasa por el centro O de la circunferencia y ortogonal a d. Esta recta d' es un eje de simetría de la recta d. Además, todo diámetro de la circunferencia es eje de simetría de la misma, luego la recta d' es eje de simetría de la figura formada por la recta d y la circunferencia.

Segunda figura de la página 227 del original

139

TEST DE SELECCIÓN para la preparación al concurso de maestro

Desde 1992, varios IUFM118 organizan tests de selección en lengua francesa y en matemáticas, para el acceso al curso anual de preparación al concurso para ser maestro de escuela. El gran número de candidatos condujo a los IUFM a presentar estos tests en forma de cuestionarios de elección múltiple. Pocos estudiantes están habituados al desarrollo de este tipo de prueba. Presentamos el test de matemáticas de la Academia de Burdeos de 1994, tal como fue propuesto a los candidatos. La plantilla de respuestas correctas figura en la página ??? (página 236 del original). Un cuestionario análogo se presenta para la prueba de lengua. Estos dos tests deben contestarse en una sola sesión de dos horas. Prueba de Matemáticas Nota: Duración de la prueba (1 hora) Está prohibido cualquier tipo de calculadora. Algunas cuestiones implican señalar varias opciones a la vez. Items de 3 puntos 1. He aquí una adición. 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 Entre las expresiones siguientes, ¿cuál o cuáles representan el resultado exacto? A 231 B 227 C 230 D 240 E 250 2. He aquí un producto. 23 x 23 x 23 x 23 x 23 x 23 x 23 x 23 x 23 x 23 Entre las expresiones sguientes, ¿cuál o cuáles representan el resultado exacto? A 2310 B 23 x 10 C 230 D 23 + 10 E 10 x 23 3. He aquí una figura. Los trazos sobre algunos lados significan la igualdad de esos lados.

Figura de la página 229 del original ¿Cuál es su perímetro? A 52 B 42 C 39 D 40 E 54 4. La circunferencia de la tierra es de 40 000 km, luego su radio mide aproximadamente: A 4 400 km B 10 400 km C 6 400 km D 12 800 km E 8 800 km 5. Entre los siguientes resultados, ¿cuál es el resultado de la multiplicación de 183 por 425?

118 Institut Universitaire de Formation de Maîtres: Institucion universitaria que se encarga de la formación de los maestros de primaria (N. de los T.)

140

A 7 776 B 77 776 C 77 775 D 7 775 E 7 778 6. El gran general Dussabre nació en 1574. Murió en la célebre batalla de Gabegie, que se desarrolló cien años después de 1515. ¿A qué edad murió? A 141 años B 39 años C 51 años D 89 años E 41 años 7. Mi reloj atrasa dos minuto cada hora. Son las doce del mediodía y está en punto. ¿Al cabo de cuánto tiempo tendrá una hora de retraso? A 2 días B 30 horas C 10 horas D 3 días E 20 horas 8. En un mapa se lee "1 km : 2 cm". ¿Qué distancia separa en línea recta dos ciudades que distan 15 cm en el mapa? A 755 km B 15 km C 30 km D 7,5 km E 3 km 9. Un litro de mercurio es también: A 1 kg de mercurio B 1 dm3 de mercurio C 100 centilitros de mercurio D 100 mililitros de mercurio E 100 mm3 de mercurio 10. Un campo cuadrado mide 5 000 metros de lado. Su superficie es de: A 50 000 m2 B 5 000 m2 C 25 000 m2 D 25 000 000 m2 E 250 000 m2 Ítems de 6 puntos 11. El radio de una circunferencia es el doble que el de otra circunferencia más pequeña. El área de la circuferencia mayor es: A 3,14 veces la de la menor B el doble de la de menor C 1,5 veces la de la menor D 4 veces la de la menor E 2,5 veces la de la menor 12. ¿Cuál es el resultado de dividir 46968 entre 456? (Información: la división es exacta) A 12 B 104 C 103 D 1 037 E 1 038 13. ¿Cuál es el número decimal que tiene dos cifras después de la coma, la cifra de las centésimas es 5 y tiene 12 décimas? A 1,25 B 120,05 C 12,05 D 0,125 E 1,125 14. Sea un número n positivo, que multiplicado por sí mismo da 24. ¿Cuál o cuáles de las afirmaciones siguientes son ciertas? A n es mayor que 12 B n es mayor que 4 C n es menor que 5 D n es mayor que 5 E n es menor que 6 15. Entre las afirmaciones siguientes, ¿cuál o cuáles son ciertas? A 1,5 + 1,5 = 3 B 1,5 x 1 = 1 C 2 x 0,5 = 1 D 0,5 x 1 = 1 E 2/0,5 = 4 16. ¿Cuál es el número natural cuya cifra de las unidades es cero, la cifra de las decenas es el doble de las unidades y el número de centenas es 20? A 200 B 2 000 C 2 020 D 20 000 E 20 220 17. Entre las afirmaciones siguientes, ¿cuál o cuáles son ciertas? A Cien millones se escribe con la cifra "uno" seguida de siete "ceros". B El número de centenas de quinientos setenta y ocho es 5

141

C 14,00 es menor que 14. D 00,3040 y 0,304 son dos números iguales E 14,0 es mayor que 14 18. Entre las afirmaciones siguientes, ¿cuál o cuáles son ciertas? A 4 x 10 x 10 x 10 < 4 x 10 x 10 B 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 < 0,5 x 0,5 x 0,5 C 3 : 0,5 < 3 : 2 D 4 - 6 < 4 - 7 E 4 x (-7) < 4 x (-8) 19. Un rectángulo y un cuadrado tienen la misma área. El lado del cuadrado mide 9 m y la anchura del rectángulo es de 3 m. Calcular la longitud del rectángulo. ¿Cuál es el cálculo que corresponde al problema planteado? A (9 + 9) : 3 B (9 x 9) x 3 C (9 x 3) : 9 D (9 x 3) + 9 E (9 x 9) : 3 20. Dos ciudades distan 75 km en línea recta. ¿Qué distancia les separa en un mapa de escala 1/250 000? A 7 cm B 3 cm C 21 cm D 30 cm E 17,5 cm Items de 9 puntos 21. Entre mi amigo y yo tenemos 400 francos. Yo he gastado las tres cuartas partes de ellos. Mi amigo ha gastado un tercio de lo que yo he gastado. ¿Cuánto nos queda? A 100 F B 133 F C 33 F D 300 F E 0 F 22. Un rombo tiene un lado que mide 5 cm y un ángulo de 45o. Entre las afirmaciones siguientes, ¿cuál o cuáles son ciertas? A El perímetro es 20 cm. B El área es 25 cm2. C El perímetro es 10 cm. D No hay suficientes datos para calcular el área E No hay suficientes datos para calcular el perímetro 23. En un sondeo, el 50% de las personas interrogadas no han decidido todavía su elección en las elecciones presidenciales, 24% optan por el candidato A, 21% por el candidato B y el resto se reparte entre otros candidatos. ¿Qué tanto por ciento obtendrá el candidato A si el 30 por cien de los indecisos le votan? A 54% B 74% C 39% D 32% E 30% 24. Entre las afirmaciones siguientes, ¿cuál o cuáles son ciertas?

A 435

=

5314

B 21 =

63 C

725

=

5217

D 832 =

6416 E

x29

=

x21

25. La suma de 74 y

76 es:

A 1410 B

712 C

4924 D

27 E

3512

26. He aquí una ecuación en el conjunto de los números reales, en la que x es la incógnita:

3x2 + 4x + 5 = 3x2 + 4x + 5 Entre las afirmaciones siguientes, ¿cuál o cuáles son ciertas?

142

A Esta ecuación no admite ninguna solución B Una solución es 0 C Esta ecuación admite cualquier valor de x como solución D 4 es una solución E 165 es una solución. 27. Sea la función f tal que f (x) = 3x + 1 Entre las frases siguientes, ¿cuál o cuáles tienen sentido? A Calcular f (x) para x = 3 B Calcular f (x) para f = 2 y x = 3 C Calcular f (x) para f = 2 D Encontrar x para que f (x) = 7 E Encontrar x para f = 5 28. Cuando se mira el sólido siguiente según la dirección F, ¿qué vista lateral se tiene? (Hay una sola respuesta válida entre las cinco)

Primera figura de la página 233 del original

Sólido vista 1 vista 2 vista 3 vista 4 vista 5

A vista 1 B vista 2 C vista 3 D vista 4 E vista 5 29. Entre las afirmaciones siguientes, ¿cuál o cuáles son ciertas? A La suma de dos decimales es siempre un decimal. B El cociente de dos decimales es siempre un decimal. C Entre 1,27 y 1,28 no hay ningún decimal. D Entre 1,27 y 1,28 hay infinitos decimales. E 0,27 es menor que 0,206

30. Se considera la lista de números: 1, 13 ,

23 ,

29 ,

49 ,

79

Entre las afirmaciones siguientes, ¿cuál o cuáles son ciertas?

A El mayor de la lista es 79

B El menor de la lista es 13

C Hay tantos números mayores que 59 como menores que

59

D Todos los números de la lista son mayores que 0,2

E todos los números de la lista son menores que 97

Ítems de 12 puntos 31. Se desea construir una caja en forma de cubo abierto; luego debe faltar una cara, pero por el contrario, el fondo de la caja debe ser doble, para ser más sólida. ¿Con cuál o cuáles de estos patrones recortables se puede construir la caja?

Segunda figura de la página 233 del original A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 32. Se dan los cálculos siguientes: P = 0,1 x (0,3 + 1 995) Q = 0,1 x (0,3 x 1 995) R = 0,03 + (0,1 x 1 995) S = 0,3 x 1 995 T = 199,5 + 0,03 U = 199,8 Entre las afirmaciones siguientes, ¿cuál o cuáles son ciertas? A T = U B Q = S C P = U D P = T E P = R

143

33. He aquí una afirmación: "Todos los bordeleses119 son antipáticos." Entre las respuestas siguientes, ¿cuál o cuáles son ciertas desde el punto de vista del razonamiento? A Esta afirmación es falsa, porque yo conozco a Juan, que es de Burdeos y es simpático. B No puedo saber si es verdadero o falso, porque no conozco a todos los bordeleses. C Esta afirmación es falsa, porque hay bordeleses simpáticos D Es falso, porque mi vecino es parisino y es desagradable. E Es verdad, porque mi vecino es bordelés y es desagradable. 34. En un colegio, el número de alumnos ha bajado el 10% en un año. Sin embargo, el porcentaje de niñas ha pasado del 50% al 55%. Entre las afirmaciones siguientes, ¿cuál o cuáles son ciertas? El número de niñas del colegio… A ha aumentado un 1% B ha aumentado un 0,5% C ha bajado un 1% D es el mismo E ha bajado un 0,5% 35. Entre las expresiones siguientes, ¿cuál o cuáles pueden ser negativas para ciertos valores de x? (x se ha tomado en el conjunto de los reales) A x + x + x B x2 + 1 C x4 + x2 + 1 D x2 + x3 + 1 E x2 - 1 36. Imaginemos que se pliega una hoja de cartón en dos; una vez plegada, continúo doblándola en dos y así sucesivamente… He tomado una hoja de espesor 1 milímetro. (Se supone que el plegado es siempre posible…). Para obtener un espesor superior a un metro, basta con plegar: A 10 veces B 1 000 veces C 100 000 veces D 2 000 veces E 5 000 veces 37. He aquí el camino que sigue el tío Mathieu, un viejo lobo de mar, para atravesar la calle, cuando vuelve del café:

Figura de la página 234 del original ¿Cuál es el valor del ángulo x en grados? A 52o B 52,5o C 5o D 53,5o E 54o 38. La figura siguiente se ha dibujado en un papel cuadriculado

Primera figura de la página 235 Entre las igualdades siguientes, que conciernen a las áreas de los triángulos de esta figura, ¿cuáles son las correctas? A ABC = AFB B ABC = ADG C ADG = AEG D AFB = AEB E AEB = 2 (AEG) 39. Entre los problemas siguientes, ¿cuál o cuáles son los que se resuelven con la ecuación: 3x + 3,5 = 20? A Máximo ha comprado un croissant a 3,50 F y 3 chocolatinas. Ha gastado en total 20 F. ¿Cuál es el precio de la chocolatina? B Para comprar tres rotuladores y una goma, Justina ha pagado 20 F. Sabiendo que el precio de un rotulador es de 3,50 F, ¿cuál es el precio de la goma? C Norbert piensa en un número decimal. Le suma 3,5 y multiplica este resultado por 3. Obtiene así 20. ¿En qué número ha pensado? D Un comerciante posee 20 metros de tejido. Vende tres pedazos de la misma longitud y le quedan 3,5 m. ¿Qué longitud tienen los pedazos?

119 N. de los T.: Nacidos en la ciudad de Burdeos (Francia).

144

E El perímetro de la figura siguiente es de dos decímetros. Se sabe que AB = AD = BC = x. ¿Cuál es el valor de x en cm?

Segunda figura de la página 235 del original 40. ¿Cuántos triángulos son necesarios para equilibrar la cuarta balanza?

Tercera figura de la página 235 del original A 6 B 3 C 4 D 5 E 2 Fin de la prueba He aquí la plantilla de las respuestas correctas:

Ver tabla de la página 236 del original

Nº del ítem Puntos del ítem A B C D E 1 3 X 2 3 X 3 3 X 4 3 X 5 3 X 6 3 X 7 3 X 8 3 X 9 3 X X 10 3 X 11 6 X 12 6 X 13 6 X 14 6 X X X 15 6 X X X 16 6 X 17 6 X X 18 6 X 19 6 X 20 6 X 21 9 X 22 9 X 23 9 X 24 9 X X X 25 9 X 26 9 X X X X 27 9 X X 28 9 X 29 9 X X 30 9 X X X 31 12 X X

145

32 12 X X 33 12 X X 34 12 X 35 12 X X X 36 12 X 37 12 X 38 12 X X X 39 12 X X X 40 12 X