Colegio José Hernández / Plan de Continuidad Pedagógica - SEGUNDA PARTE.

Matemática / 4° año A / Profesor Oscar Paes Rodriguez

LOS NÚMEROS REALES.

ACTIVIDAD 001 /// Represente en la recta real los siguientes conjuntos; y luego

defínalos utilizando intervalos.

a) …todos los números reales mayores a 4. INTERVALO:

b) …todos los números reales menores a -4. INTERVALO:

c) …todos los números reales mayores o iguales a 0. INTERVALO:

d) …todos los números reales menores o iguales a 13. INTERVALO:

e) …todos los números reales positivos. INTERVALO:

f) …todos los números reales no negativos. INTERVALO:

g) …todos los números reales mayores a 3 y menores a 10. INTERVALO:

h) …todos los números reales mayores o iguales a -5 y menores a 7. INTERVALO:

i) …todos los números reales menores o iguales a 1. INTERVALO:

Símbolos a utilizar

[ ] cuando es ≤ 𝑜 ≥ ( corchetes cuando es menor o igual y cuando es mayor o igual) y

( ) cuando es < 𝑜 > ( paréntesis cuando es menor y cuando es mayor) = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 > −1}

Ejemplo:

…todos los números reales mayores a 0 y menores o iguales a 20. INTERVALO: (0;20]

( ]

ACTIVIDAD 002 /// Complete el siguiente cuadro.

Conjunto def inido por

comprensión

Conjunto

def inido por

interva los

Conjunto representado en la recta rea l

4;2B

𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 > −1}

𝐸 = {𝑥 ∈ ℝ/0 ≤ 𝑥 ≤7

2}

3;3G

𝐹 = {𝑥 ∈ ℝ/−4 ≤ 𝑥 < 4}

6;2I

𝐽 = {𝑥 ∈ ℝ/−2 ≥ 𝑥}

𝑬𝑱𝑬𝑴𝑷𝑳𝑶

𝑬𝑱𝑬𝑴𝑷𝑳𝑶

𝑬𝑱𝑬𝑴𝑷𝑳𝑶

𝐻 = {𝑥 ∈ ℝ/−4 < 𝑥 < 11} 𝐻 = (−4; 11)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

∈ (𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒); ℝ (𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠); /(𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒)

Se lee: “x” pertenece a reales tal que -4 es menor a “x” y “x”es menor a 11

link de apoyo: https://youtu.be/C2LMxJtw7K8

ACTIVIDAD 003 /// Complete en cada caso con “<”, “>” o “=” según corresponda.

Para tener en cuenta antes de empeza r…

|−2| esas l ineas verticales se l lama módulo o valor absoluto, que es la distancia que hay desde el cero

hasta dicho número. Eso signif ica que el módulo s iempre es posit ivo, ejemplo:

|3| = 3; |−3| = 3; |−10| = 10; |11| = 11; |−96| = 96

a) 0,6 0,6 b) 11 4 11 4

c) 3 17 17 3 d) 5 . 2 . 3 3 .10

e) 15 ( 4) 15 4 f) 2 5 9 2 5 9

g) 30 30

1 12 3 2 3

h) 12 14 14 12 12 14 2

i) ( 10).( 2) 10 . 2 j) ( 10).( 2) 10 . 2

EJEMPLO

a) 10 10 10 10 b) 1 1 2 2 1 1

10 + 10 … … . . −10 − 10 (hay un signo (-), por −|0| … … … . |0|

20 > −20 lo tanto queda negativo, 0 = 0

El módulo de -10 es igual

a 10 y por el signo de adelante

queda -10)

ACTIVIDAD 004 /// Resuelva las siguientes ecuaciones e inecuaciones con módulo, y

defina el conjunto solución de las mismas uti lizando intervalos o l laves según corresponda.

a) 2.1 4 2x b) 2 4 8x c)3

1 32

x

d)4 2

1 53

x e) 4 2 1

53

x f)

1. 2 4

2x

g) 2 3 2. 1 16x h) 2. 10 2 4x i)3 5 11

22 2 2

x

j) 3 2 1

73

x k)2.1 3 18x l)

31,5

2

x

m) 10 .5 15x n) 4 3 10x o) 25 3 6 20x

Ejemplo:

a) 7

. 4 1 153

x

|𝑥 − 4| ≥ (15 − 1):7

3 despejamos el módulo y resolvemos lo que podemos

|𝑥 − 4| ≥ 6 hasta tener esta expresión y sacamos dos flechitas 𝑥 − 4 ≥ 6 𝑥 − 4 ≤ −6 Sacamos el módulo Sacamos el módulo y cambiamos

y escribimos la expresión el signo de la desigualdad (𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜, 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠

como esta ≥, 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 ≤) y también

cambiamos el signo del número

En ambos casos procedemos a resolver una inecuación de primer grado

𝑥 ≥ 6 + 4 𝑥 ≤ −6 + 4

𝑥 ≥ 10 𝑥 ≤ −2

Ahora que significa esto!!!!!!!

𝑥 ≥ 10 todos los números mayores o iguales que 10, 𝑥 ≤ −2 todos los números menores o iguales que -2

Si lo representamos en una recta numérica queda:

] [

Si lo queremos representar como intervalo, queda: C.S.= (−∞;−2] ∪ [10; +∞)

b)1

3 5 102

x Este ejercicio se puede hacer de dos formas…

Primera forma:

−10 ≤ 2 +1

2𝑥 ≤ 10 resolvemos lo que se puede (-3+5) y luego se despeja para ambos lados

−10 − 2 ≤1

2𝑥 ≤ 10 − 2

−12:1

2≤ 𝑥 ≤ 8:

1

2

−24 ≤ 𝑥 ≤ 16

A ésta solución la podemos leer como −24 ≤ 𝑥 (“x” mayor o igual a -24) y 𝑥 ≤ 16 (“x” menor o igual a 16)

Para representarlo en la recta numérica:

[ ] Para expresarlo por intervalo: 𝑏 = [−24; 16]

Segunda forma:

|−3 +1

2𝑥 + 5| ≤ 10 se resuelve lo que se pueda (−3 + 5)

|2 +1

2𝑥| ≤ 10 en este paso sacamos las dos flechitas

2 +1

2𝑥 ≤ 10 2 +

1

2𝑥 ≥ −10 damos vuelta el signo de la desigualdad y cambiamos el sigo del número

1

2𝑥 ≤ 10 − 2

1

2𝑥 ≥ −10 − 2 despejamos “x”

𝑥 ≤ 8:1

2 𝑥 ≥ −12:

1

2

𝑥 ≤ 16 𝑥 ≥ −24

Se representa en la recta real y por intervalos igual que la otra forma

c)

18 . 3 5

2 29

x

ecuaciones con módulo se resuelven algo parecido que las inecuaciones, veamos…

8 +1

2|3 + 5𝑥| = 2.9 despejamos el módulo

1

2|3 + 5𝑥| = 18 − 8

|3 + 5𝑥| = 10:1

2

|3 + 5𝑥| = 20 Ahora sí, sacamos las dos flechitas

3 + 5𝑥 = 20 3 + 5𝑥 = −20 acá lo único que cambiamos el signo del numerito y despejamos

5𝑥 = 20 − 3 5𝑥 = −20 − 3

𝑥 = 17: 5 𝑥 = −23: 5

𝑥 =17

5 𝑥 =

−23

5

Para representarlo en la recta real, se representa con un punto

Para representarlo en intervalo van con llaves 𝑐 = {−23

5;

17

5}

OJO!!!!!!!

EJEMPLO

EL MÓDULO NO EXISTE CUANDO 1

2|𝑋 + 3| + 10 = 6 despejamos

|2𝑋 + 2| = −6 1

2|𝑋 + 3| = 6 − 10

ESTE NÚMERO ES NEGATIVO |𝑋 + 3| = −4:1

2

|𝑋 + 3| = −8 acá no sacamos las dos flechitas

∄ ponemos esa “E” al revés que significa que no tiene solución

Link de ayuda:

https://www.youtube.com/watch?v=Sr1YreAajps

https://www.youtube.com/watch?v=R1d6zO8Iu3o;

https://www.youtube.com/watch?v=Ogxr5wwVMAw

https://www.youtube.com/watch?v=Bfb0efPKb-0

josue14_paes@hotmail.com

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