los números índices-indices -teoria

36
Sin ponderar Media Geométr ica Media Armónica Bradstreet - Dûtot (media agregativa) Laspeyres Paasche NÚMEROS ÍNDICES Los números índices son una medida estadística que permite comparar una magnitud simple o compleja en dos situaciones diferentes respecto al tiempo o al espacio tomando una de ellas como referencia. Al período inicial se le denomina período base o referencia y se le asig na el valor 100, en cambio, la situación que deseamos comparar se denomina período actual o corriente. Para las comparaciones hay que tener en cuenta dos aspectos importantes : Fijar la situación inicial (de forma arbitraria) a la que se referir án las comparaciones. Señalar que la elección de la situación inicial condiciona el resultado de la co mparación, por lo que el punto de referencia inicial debe ser el más idóneo posible a los objetivos que se persiguen. Las magnitudes que se comparan pueden ser simples o complejas, lo qu e nos introduce en el problema de la construcción de sistemas de comparación adecuados. Un a magnitud compleja es comparar la producción de un mismo país en dos épocas diferentes o l a producción global de dos países. No olvidemos que la producción es una magnitud compleja comp uesta por magnitudes simples heterogéneas (unidades de producción, litros, kilogramos, et c.) Una clasificación sencilla de los números índices sería: NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES Se refieren a un solo producto o concepto COMPLEJOS Se refieren a varios productos o conceptos Serie (referencia fija) Cadena (referencia el dato anterior) Sauerbeck (media aritmética) Ponderados Edgeworth Fisher

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NÚMEROS ÍNDICESLos números índices son una medida estadística que permite comparar una magnitud simple ocompleja en dos situaciones diferentes respecto al tiempo o al espacio tomando una de ellas comoreferencia.

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NMEROSNDICES

Losnmerosndicessonunamedidaestadsticaquepermitecompararunamagnitudsimpleocomplejaendossituacionesdiferentesrespectoaltiempooalespaciotomandounadeellascomoreferencia.

Alperodoinicialseledenominaperodobaseoreferenciayseleasignaelvalor100,encambio,lasituacinquedeseamoscompararsedenominaperodoactualocorriente.

Paralascomparacioneshayquetenerencuentadosaspectosimportantes:

Fijarlasituacininicial(deformaarbitraria)alaquesereferirnlascomparaciones.Sealarquelaeleccindelasituacininicialcondicionaelresultadodelacomparacin,porloqueelpuntodereferenciainicialdebeserelmsidneoposiblealosobjetivosquesepersiguen.

Lasmagnitudesquesecomparanpuedensersimplesocomplejas,loquenosintroduceenel

problemadelaconstruccindesistemasdecomparacinadecuados.Unamagnitudcomplejaescompararlaproduccindeunmismopasendospocasdiferentesolaproduccinglobaldedospases.Noolvidemosquelaproduccinesunamagnitudcomplejacompuestapormagnitudessimplesheterogneas(unidadesdeproduccin,litros,kilogramos,etc.)

Unaclasificacinsencilladelosnmerosndicessera:

SinponderarMediaGeomtricaMediaArmnicaBradstreet-Dtot(mediaagregativa)LaspeyresPaascheNMEROSNDICES

SIMPLESSerefierenaunsoloproductooconcepto

COMPLEJOSSerefierenavariosproductosoconceptos

Serie(referenciafija)Cadena(referenciaeldatoanterior)

Sauerbeck(mediaaritmtica)PonderadosEdgeworth

Fisher

NMEROSNDICESSIMPLES.-Sonlosndicesqueproporcionanlavariacinquehasufridounamagnitudoconceptoentredosperodosolugaresdistintos.Generalmente,estacomparacinserealizaconelvalordeunperodofijo(periodobase).

Dependiendodeslareferenciaesfijaono,sehabladendicesenserie(referenciafija)endicesencadena(referenciavariable).

1

AoTrimestreMujeresactivas(miles)Base(2009-3)

2009310089,4100

2009410139,3(10139,3/10089,4).100=100,4946

2010110213,3(10213,3/10089,4).100=101,2280

2010210250,5(10250,5/10089,4).100=101,5967

2010310265,2(10265,2/10089,4).100=101,7424

AoTrimestreMujeresactivas(miles)Base(2009-3)

2009310089,4---------

2009410139,3(10139,3/10089,4).100=100,49

2010110213,3(10213,3/10139,3).100=100,73

2010210250,5(10250,5/10213,3).100=100,36

2010310265,2(10265,2/10250,5).100=100,14

It0(X)=.100NMEROSNDICESSIMPLESENSERIE.-Seanxtyx0dosvaloresdeunavariableX,elvalor

tdelnmerondiceenseriequecorrespondealvalorxttomandocomoreferenciaobasefijax0serepresentamedianteI0(X)ysedefine:

xtx0

Ejemplo1.-Enlatablasepresentaelnmerodemujeres(enmiles)activasenEspaadesdeeltercertrimestrede2009hastaeltercertrimestrede2010.Enlaltimacolumnaserepresentanlosnmerosndicessimplesenserieconbaseeltercertrimestrede2009.

NMEROSNDICESSIMPLESENSERIEtxtLosndicesreflejanlavariacinporcentualqueexperimentanlosdistintosvaloresdelavariableconrespectoalvalorquesehatomadocomoreferencia(3trimestrede2009).

Observandolatabla,elnmerodemujeresactivasenEspaaeneltercertrimestrede2010esun1,74%superioralquehabaeneltercertrimestredelaoanterior.

Losndicesqueseobtienenrespectodeunabase(periododereferencia)fijasedenominanndicesenserie.

NMEROSNDICESSIMPLESENCADENA.-Cuandoelndicecorrespondienteacadadatosecalculatomandocomoreferenciaeldatoinmediatamenteanterior.

Seanxt-1yxtlosvaloresobservadosdeunavariableXendosinstantesconsecutivos,elndiceencadenaquecorrespondealvalorxtserepresentamedianteICtysedefine:

IC=.100xt-1

Paraseriesdeobservacionestemporales,estosndicesreflejanlavariacinporcentualqueexperimentalavariableentrecadadosobservacionesconsecutivas.

NMEROSNDICESSIMPLESENCADENA2

AoTrimestreICParadosconstruccinICParadosservicios

20091--------------

2009294,37101,33

2009388,6495,84

2009498,79100,7

2010197,87106,35

2010287,7195,91

2010387,496,04

LosndicesencadenareflejanlavariacinporcentualentretrimestresdelnmerodemujeresactivasenEspaa.

Enestalnea,enelsegundotrimestrede2010elnmerodemujeresactivasfueun0,36%superioraldatodeltrimestreanterior.

2IC20103

10250,510213,3

.100100,36

RELACINENTRENDICESSIMPLESENSERIEYENCADENA

Losndicesencadenasepuedenobtenerapartirdelosndicesenserie

xt

ICxtx0I0t

.100.100

txt1xt1I01x0

.100

2Enelejemplo,IC20103

101,5967101,2280

.100100,36

Losndicesenseriesepuedenobtenerapartirdelosndicesencadena

I(X)xtxtxt1xt2IC(X)IC(X)IC(X)IC(X)x2x1t0

.100......100.....100x0xt1xt2xt3x1x0100100100100

tt121

Enelejemplo,I20103(X)

100,14100,36100,73100,49....100101,7424100100100100

Ejemplo2.-EnlatablaadjuntarecogelosndicesencadenatrimestralesparaelnmerodeparadosenlossectoresdelaconstruccinyserviciosenEspaa

96,0495,91..100100106,35100,70..100100100

a)Determinarlavariacinporcentualqueexperimentoelnmerodeparadosenelsectorserviciosduranteeltercertrimestrede2009altercertrimestrede2010.

b)Sabiendoqueenelsectordelaconstruccinelnmerodeparadosascendia527,6milesdepersonasduranteelsegundotrimestrede2010.Hallarlaserieexpresadaenmilesdetrabajadoresparadosenlaconstruccin.

3

AoTrimestreICParadosconstruccinIParados(2009-100)Milesdeparados(construccin)

20091-------100x2009-1743,754

2009294,3794,3700743,754x94,37701,881

2009388,6483,6496743,754x83,6496622,147

2009498,7982,6374743,754x82,6374614,619

2010197,8780,8772743,754x80,8772601,528

2010287,7170,9374527,600

2010387,461,9993743,754x61,9993461,122

Solucin:Enelapartado(a)

IC2009-3(paradosservicios)ICICICIC2009-42010-3

2010-32010-22010-1....100100100100100

96,0495,91106,35100,70....10098,6468100100100100

Enconsecuencia,lavariacinporcentualquecorrespondealperiodocomprendidoentreeltercertrimestrede2009yeltercertrimestrede2010esde98,64681001,3532%

b)Enlaconstruccin,primeroseobtienenlosndicesenserieconbaseprimertrimestrede2009:

I(X)ICIC88,6494,37I200924(X)2009320092

2009

2009320092..100..10083,6496100100100100

98,7988,6494,37...10082,6374100100100

Utilizandoeldatode527,6milparadosparaelsegundotrimestrede2010secalculaeldatodeparoparaelprimertrimestrede2009:

xt527,6tIo

.100x0x20091

.10070,9374x20091743,754

xt21tTASASDEVARIACIN(Variacinporcentual)

Seaxt1elvalordeunavariableXenelinstanteoperiododetiempot1yxt2elvalordelamismaenuninstanteoperiodoposteriort2,latasadevariacindeXent2conrespectoat1sedefinecomo:

-x

2Tasatt1(x)=.100xt1

xt.100=2-1.100=Itt21(x)-100xt2AdvirtasequeTasat1(x)=

xt2-xt1xt1

1

4

Datos2001200220032004

Destinoextranjero2919,22814,42915,23414,2

tI200110096,41099,863116,957

ttTasa2001I20011000-3,590-0,13716,957

Datos2001200220032004

Viajestursticos12815,21209312743,714568,5

DestinoEspaa98969274,69828,511154,3

Destinoextranjero2919,22814,42915,23414,2

Tasa(x),ysecalculaapartirdelndiceencadena:Latasadevariacinentredosobservacionesconsecutivas(xt-1,xt)deX,sedenotaport

txt-xt-1tTasa(x)=.100=IC(x)-100xt-1

Sesueleutilizarlaexpresintasadevariacininteranual,intertrimestralointermensual,parareferirsealatasadevariacinentreobservacionesconsecutivascorrespondientesaaos,trimestresomeses,respectivamente.

Cuandosetrabajaconseriesdedatosmensualesotrimestralescorrespondientesadistintosaos,tambinseutilizalaexpresintasadevariacininteranualcorrespondienteaundeterminadomes(otrimestre)parareferirsealavariacinporcentualqueexperimentalavariableenundeterminadomes(otrimestre)delaoinmediatamenteanterior.

Ejemplo3.-Enlatablaadjuntasereflejaelgastototalenviajestursticos(enmillonesdeeuros)delosresidentesenEspaaparaelperiodo2001-2004.

a)CulfueelincrementoporcentualdegastoenviajestursticosdelosresidentesenEspaaentrelosaos2001-2004?

b)Hallarlavariacinporcentualdelgastoenviajestursticoscondestinoalextranjerocorrespondienteacadaaorespectoalao2001.

c)Determinarlastasasdevariacininteranual(%)paraelgastoporviajescondestinoaEspaacorrespondientesalperiodo2001-2004,sabiendoqueenelao2001respectoal2000fuedeun16,2%.

Solucin:Enelapartado(a)

Tasa2001(x)x2004-x14568,512815,22004

x200112815,2

.100

.10013,6814

obien,Tasa20012001(x)-100(x)I20042004

14568,512815,2

10013,6814

b)Seobtienelaseriedendicessimplesenserieconbase2001paraelgastoenviajestursticosydespusseobtienelatasaporcentualrestando100acadandice.

5

Mes2004-062004-072004-082004-092004-102004-112004-12

Hipotecas4155383633804212411939273801

tIC(mes)------92,3288,11124,6297,7995,3496,79

TasatIC100-------7,68-11,8924,62-2,21-4,66-3,21

Datos2001200220032004

DestinoEspaa98969274,69828,511154,3

ICt116,293,72105,97113,49

tTasainteranualIC10016,20-6,285,9713,49

Mes2004-062004-072004-082004-092004-102004-112004-12

Hipotecas4155383633804212411939273801

Tambinapartirdelaexpresin:Tasa2001(x)t

xt-x2001x2001

.100

c)Lastasasdevariacininteranualsecalculanapartirdelosndicesdecadena:

I2001(X)I2002(X)I2003(X)2002

9274,69896

.10093,72

2003

9828,59274,6

.100105,97

2004

11154,39828,5

.100113,49

Ejemplo4.-Enlatablaadjuntafiguranelnmerodehipotecasinmobiliariasparafincasrsticasentrejunioydiciembrede2004.

a)Determinarlastasasintermensualesdevariacincorrespondientes

b)Conociendoqueelnmerodehipotecasenseptiembrede2005ascendia4410,obtenerlatasadevariacininteranualcorrespondientealmesdeseptiembre.

Solucin:Enelapartado(a)

4410b)Latasainteranualparaelmesdeseptiembrede2005:

Tasainteranual200509IC200509100

44104212

.1001004,7%

TASAMEDIADEVARIACIN(Tasamediacrecimientoacumulativo)

SedenominatasamediadevariacindelavariableXenelperiodo[t,t+k],otasamediadecrecimientoacumulativo,alatasaTkquepermiteobtenerlaobservacinxt+kenelinstanteoperiodot+k,partiendodelaobservacinxtenelinstantet,aplicandoentreinstantesoperiodosconsecutivosunincrementoporcentualconstanteeigualaTk.

6

Mes2004-062004-072004-082004-092004-102004-112004-12

Hipotecas4155383633804212411939273801

.xt.xtxt1xt

Tk100

100Tk100

T100Tkk100TT100Tkk100Txt2

xt3

xt1k.xt1.xt1.xt100100100

xt2k.xt2.xt2.xt100100100

2

3

T100Tkk100Txtk1k.xtk1.xtk1.xtxtk

100100100

k

xtk100Tkk100T.xtSiendoxtk

xt100100

kk

k

xtkxt

100Tk100

xtkPortanto,Tkk1.100xt

Ejemplo5.-Enlatablaadjuntafiguranelnmerodehipotecasinmobiliariasparafincasrsticasentrejunioydiciembrede2004.

4410a)Determinarlatasamediadevariacinintermensualde2004

b)Conociendoqueelnmerodehipotecasenseptiembrede2005ascendia4410,obtenerelcrecimientomediomensualacumulativoparaelperiodoseptiembre2004-septiembre2005

Solucin:Enelapartado(a)

63801x200412T6.100.10011

6

x2004064155

6

0,91481.1001,47%

b)Elcrecimientomediomensualacumulativoentreseptiembre2004-2005(periodode13meses):

124410x200509T12.100.10011

12

x2004093380

12

1,30471.1002,24%

7

NDICESSIMPLESMSUTILIZADOS

mismoenelperodobasepi0:p0tit.100actualqitybaseqi0:qt0it.100

PRECIORELATIVO:Relacinentreelpreciodeunbienenelperodoactualpityelpreciodelppi0

CANTIDADRELATIVA:Raznentrelacantidadproducidaovendidadeunbienensusperodosqqi0

VALORRELATIVO:Valordeunbienenunperodocualquierasedefinecomoelproductodel

V0t==.100=.100=p00t.100Vtpit.qitpitqitt(cntimoseuro)Variacinpreciobarradepan2006302006I2005=.100=1202007322007I2005=.100128preciodeesebienylacantidadproducida(vendida).Elvalorrelativoserlaraznentrelosvaloresdeesebienenelperodoactual(pit.qit)yenelperodobase(pi0.qi0):

..qV0pi0.qi0pi0qi0

Elvalorrelativodeunbienesigualalproductodesupreciorelativoysucantidadrelativa.

Ejemplo6.-Sedeseaconocerlaevolucindelpreciodelabarradepanente2005y2010enEspaa.Paraellosedisponedelasiguienteinformacin:

ndicesAosPreciobarradepan

20052510030253225

I20052008382008

I20052009442009

I20052010482010

382544254825

.100152

.100176

.100192

Calculadalaseriedendicesdevariacin,seobservaqueelpreciodelabarradepanen2007fue1,28veceselde2005;elde2010fue1,92veceslade2005,yassucesivamente.

Sealarqueelndiceesunamedidaadimensional,numeradorydenominadorvienendadosenlasmismasunidadesdemedida.

8

Artculospocas12n

0p10p20pn0

1p11p21pn1

2p12p22pn2

tp1tp2tpnt

Artculos12n

ndicessimplesp1t100p10p2t100p20pnt100pn0

NDICESCOMPLEJOS.-Generalmenteelintersnoseencuentraencompararprecios,cantidadesovaloresindividuales,sinoquesecomparanfenmenosdelmundorealdondeintervienenmuchasvariables.Comoconsecuencia,lainformacinsuministradaporlosndicesdediferentesbienesdebedeserresumidaenunnicondicealquesedenominandicecomplejo.

Laconstruccindeunndicecomplejonoesunatareafcil.Paraelaborarlaevolucindelcostedelavidadeunpas(IPCenEspaa)habraqueseleccionarungrupodebienesquereflejarandichocoste,teniendoencuentalaimportanciarelativadecadaunodeesosbienes,decidiendofinalmentelaformadeunificartodalainformacinparaobtenerunnicondice.

Elobjetivoesllegaraunnmerondicesencilloquerenalamayorcantidadposibledeinformacin.

Deestamanera,sellegaadostiposdendicescomplejos:ndicescomplejosnoponderados(cuandoprimalasencillez)endicescomplejosponderados(cuandosedeseaquecontenganlamayorcantidaddeinformacin).

NDICESCOMPLEJOSDEPRECIOSNOPONDERADOS.-MediantelosndicesdePreciosseanalizaelestudiodemagnitudeseconmicas,quecuantificanlaevolucindelamagnitudpreciodeunconjuntodebienesyservicios.

Setendralainformacinqueproporcionauncuadroanlogoalsiguiente:

Elobjetivoserencontrarunamedidaestadsticaqueresumatodalainformacinypermitaconocerculhasidolavariacinexperimentadaporlospreciosenelperodotrespectoalperodobase.

Pararesumirlainformacinobtenidaatravsdelosndicessimples,eslgicopromediarstos.Deestemodo,losndicescomplejosvanasermediasaritmticas,geomtricas,armnicasyagregativasdelosndicessimples.

ponderadadelosndicessimples:Sp.it.100pitNDICEDESAUERBECK:ConsiderandolospreciosrelativosIi

1npni1pi0

n

tNDICEMEDIAGEOMTRICA:I0n.100i1pi0

9

pitpi0

,eslamediaaritmticano

ArtculosPrecios

200820092010

Pan384448

Huevos130150215

Leche88100110

Pollo160190205

pi0NDICEMEDIAARMNICA:

tI0

nn

i1pit

.100

DelostresndiceselqueseutilizaconmayorfrecuenciaeselndicedeSauerbeck.

NDICEMEDIAAGREGATIVASIMPLEODEBRADSTREET-DTOT:Consisteenconsiderarunndicesimpledeagregadosdemagnitudes(precios).Esdecir,secalculalarazndelamediaaritmticadelospreciosdenartculos(enelperodotcomoenelperodobase):

npit

BDP

i1n

.100

pi0i1

Sealarquelosndicesanalizadostienenlaventajadeserfcilesdeaplicar,peropresentaninconvenientesimportantes:

Ejemplo7.-Enlatablaadjuntaaparecendistintosartculosylosprecios(encntimosdeeuros)entre2008y2010.Sepidecalcularlosndicescompuestos.

ndicedeSauerbeck:Sp.it.100(mediaaritmticasimple)Solucin:

1npni1pi0

Sp2009.it.100.160Sp2010.it.100.1602008

2008

1np1441501001904i1pi043813088

1np1482151102054i1pi043813088

.100115,89

.100136,21

pitn

tndicemediaGeomtrica:I0ni1pi0

.100

2008I20094

44150100190....100115,883813088160

2008I20104

48215110205...3813088160

.100135,25

10

MesesPrecioArrozPrecioTrigoPrecioPatatas

0503040

1603040

2703545

3754045

4804550

5905050

pi0tndicemediaArmnica:I0

nn

i1pit

.100

2008I2009

2008I2010

4381308816044150100190

4381308816048215110205

.100115,86

.100134,37

ndicemediaagregativasimpleodeBradstreet-Dtot:BDP

4

npiti1npi0i1

.100

2008BDP2009

piti14pi0

.100

441501001903813088160

.100116,35

i1

4

2008BDP2010

piti14pi0

.100

482151102053813088160

.100138,94

i1

Sealarqueestoscuatrotiposdendicescompuestossinponderarsepuedenutilizarparaestudiarlaevolucindecualquierotravariabledistintadelprecio.

Ejemplo8.-Conlatablaadjuntadepreciosdeproductosagrcolas(arroz,trigoypatatas).CalcularlosndicesdepreciosdeSauerbeckydeBradstreet-Dtot,ascomolastasasdevariacinintermensuales.

(xAt)aritmticasimplendicesI0t(X)t.100ymediaagregativasimplendicesIA0(X)Solucin:

LosndicescomplejosdeSauerbeckyBradstreet-Dtotseobtienen,respectivamente,comomedia

xt.100

x0(xA)011

Meses012345

B-D(mediaagregativa)100108,33125133,33145,83158,33

Tasasvariacin(intermensuales)---------8,332533,3345,8358,33

SauerbeckMeses

ArrozTrigoPrecioPrecio

PatatasPrecio

ArrozI.simple

TrigoI.simple

ndicePatatasI.simpleM.aritmtica

TOTALxA

Bradstreet-DtotM.agrexA

05030401001001001001201001603040120100100106,67130108,332703545140116,667112,5123,061501253754045150133,333112,5131,94160133,334804550160150125145175145,835905050180166,667125157,22190158,33

tElndicedeSauerbeckeslamediaaritmticadelosndicessimples:I0(X)

xtx0

.100

120100100Sp2106,773

140116,667112,5Sp3123,063

..

ElndicedeBradstreet-Dtoteslamediaagregativasimple:IA0(X)t

(xA)t(xA)0

.100

1BDP0

130120

.100108,33

3BDP0

160120

.100133,33

..

.100.100I0t(x)-100tLastasasdevariacinintermensuales:Tasa0(x)

x0x0

xt-x0xt

-1

12

INDICESCOMPLEJOSDEPRECIOSPONDERADOS.-Unapresentacinsobrelossistemasdeponderacionespropuestostradicionalmente:

pi0.qi0valordelacantidadconsumidadelbieni-simoenelperodobase,apreciosdeperodobase.(situacinreal)

pi0.qitvalorapreciosdelperodobasedelacantidadconsumidadelbieni-simoenelperodoactual.(situacinconvaloracinficticia)

Losndicescomplejosponderadosmsutilizadosson:Laspeyres,Paasche,EdgeworthyFisher.

NDICEDEPRECIOSDELASPEYRES:IMPORTANCIADELASPONDERACIONES

Analizanlasvariacionesdebidasaloscambiosenlospreciosdeunconjuntodeartculosponderndolossiempreporlasmismascantidades.

ElndicedeLaspeyressedefinecomolamediaaritmticaponderadadelosndicessimplesdeprecios.Elcriteriodeponderacinespi0.qi0,conlocual:

pLp

n

i10pitpi0.qi0npi0.qi0i1

npit.qi0

n.100i1pi0.qi0i1

.100

Loscriteriosparaleeleccindelperodobasesonvariados,fundamentalmenteserequierequeseaunaonoirregularonormal.ElinconvenientedelndicedeLaspeyresesquesuponequesiempreseadquierenlasmismascantidadesqueenelperodobase.

NDICEDEPRECIOSDEPAASCHE:ALTERNATIVASALNDICEDELASPEYRES

ElndicedeLaspeyressecuestionaenocasiones,yaqueparecepocorealistasuponerquelascantidadescompradasoadquiridasenelaodereferencianovaraneneltiempo.

Comoejemplo,noparecemuyrealistalahiptesisdequeenaosdesequa,yenconsecuencia,desubidasimportantesdelospreciosdelosproductosagrarios,lascantidadesdemandadasseaniguales.

Seplantelanecesidaddedisponerdeotrosndicesque,conlafinalidaddemedirlavariacindepreciosdeundeterminadoconjuntodeartculos,noestuvierasujetoalarestriccindesuponerquesiempreseadquiranlasmismascantidadesqueenelperodobase.

ElndicedePaaschesedefinecomolamediaaritmticaponderadadelosndicessimplesdeprecios.Elcriteriodeponderacinespi0.qit,conlocual:

pPp

n

i10pitpi0.qitnpi0.qiti1

.100

npit.qiti1npi0.qiti1

.100

ElclculodelndicedePaascheeslaborioso,exigecalcularlasponderacionespit.qitparacadaperodocorriente.Otroinconvenienteadicional,elndicedepreciosdecadaaoslosepuedecompararconeldelaobase.

LosdosinconvenientesexpuestosenelndicedePaasche,hacenquesuusohadecadoconsiderablemente.

13

NDICEDEPRECIOSDEEDGEWORTH

Esunamedidaagregativaponderadadeprecioscuyocoeficientedeponderacines(qi0qit):

npit.(qi0qit)

Ep

i1n

.100

pi0.(qi0qit)i1

NDICEDEPRECIOSIDEALDEFISHER

I.FisherpropusocomonmerondicedeprecioslamediageomtricadelosndicesdepreciosdeLaspeyresyPaasche,esdecir:

FpLp.Pp

NDICEDEVALOR

Elndicedevaloreselcocienteentreelvalordelosbienesconsideradosenelperodoactualapreciosdelperodoactualyelvalordelosbienesenelperodobaseapreciosdelperodobase,porconsiguientereflejaconjuntamentelasvariacionesdelospreciosylascantidades.

n

,severificaIV0P0Q0Q0P0P0Q0tL.PL.PF.FtIV0

VtV0

pit.qiti1npi0.qi0

tttttt

i1

PROPIEDADESDELOSNMEROSNDICES

perodosentresI0t,elnuevondicedebeverificar:I0ttIt0.I0t1It0.Itt'It0'It'CCLICA.-Consecuenciadelapropiedaddeinversinycircular:It0.Itt'.Itt'''0I0t.Itt'.Itt'''It0''

EXISTENCIA.-Todonmerondicedebeestarbiendefinidoyserdistintodecero.

IGUALDAD.-Cuandocoincideelperodobaseyelperodoactual,elnmerondiceesigualalaunidad.Sealarquelosnmerosndicesmidenvariacionesentredosperodosy,alcoincidirestos,noreflejanningunavariedad.

tINVERSIN.-DenotandoporI0unndiceconbase0yperodoactualt,alintercambiarlos1I0

tt'I0.Itt'.I01CIRCULAR.-Considerandolosperodos0,t,t',t'',sedebeverificar:tt't''0I0.It.It'.It''1

tt'1I0.It01

It''

14

PROPORCIONALIDAD.-Sienelperodoactuallamagnitud(otodaslasmagnitudessimplesenelcasodeunndicecomplejo)varaenunaproporcin,elndicecambiaenlamismaproporcin.

Silosvaloresxitsufrenunavariacindeordenk,losnuevosvaloresenelperodot'sondela

formaxit'xitk.xit(1k).xit,ylosnuevosndicessern:I'iit'xxi0

(1k).xitxi0

(1k).Ii

HOMOGENEIDAD.-Aunndicenodebenafectarleloscambiosenlasunidadesdemedida.

vendidaprecioscantidadvendidaprecioscantidadSealarqueestaspropiedadesqueseverificanparalosndicessimples,nosiempreseverificanparalosndicescomplejos.

Ejemplo9.-Supongamosqueenelejemplo7disponemosdeinformacinadicionalsobrelacantidadvendidaencadaunodelosperodos,comosedetallaenlatablaadjunta.DeterminarlosndicesdeLaspeyres,Paasche,EdgeworthyFisherpara2010,siendoelaobase2008.

200820092010ArtculosprecioscantidadvendidaPan381504420048240Huevos130400150580215560Leche88700100780110925Pollo160400190400205375

Solucin:

LaspeyresPaascheEdgeworth

Artculos

pi10.qi08

pi08.qi08

pi10.qi10

pi08.qi10

(qi08qi10)

pi10.(qi08qi10)

pi08.(qi08qi10)

Pan720057001152091203901872014820Huevos860005200012040072800960206400124800Leche7700061600101750814001625178750143000Pollo82000640007687560000775158875124000252200183300310545223320562745406620

4

pi10.qi08

20084ndicedeLaspeyres:Lp2010i1pi08.qi08

.100

252200183300

.100137,59

i1

4

ndicedePaasche:

2008Pp2010

pi10.qi10i14pi08.qi10

.100

310545223320

.100139,06

i1

4

2008ndicedeEdgeworth:Ep2010

pi10.(qi08qi10)i14pi08.(qi08qi10)

.100

562745406620

.100138,40

i1

15

ndicedeFisher:

200820082008Fp2010Lp2010.Pp2010137,59.139,06138,32

Lossistemasdeponderacionespropuestostradicionalmentei0i0INDICESCOMPLEJOSPONDERADOSDEPRODUCCINOCUNTICOS.-Losnmerosndicescunticosodeproduccinanalizansuevolucineneltiempo,estudiandolasvariacionesdelaproduccinfsicadeunconjuntodebienesyservicios.

ElcriteriodeponderacinesigualqueenlosndicesdePrecios,aqusehadeponderarelvalornetoovaloraadidodelbienynoelpreciodeventaovalorbrutodelmismo,puestoquesisehicieraassecontabilizaraunamismacantidadvariasveces,tantascomoetapasdiferentessuponganelprocesodeproduccin.

q.psituacinrealqi0.pitsituacinficticia

Losndicescomplejosponderadosmsutilizadosson:Laspeyres,PaascheyFisher.ElndicedeLaspeyreseselquemsseutiliza,tantoparandicesdePrecioscomoparandicesCunticos.

qitNDICECUNTICODELASPEYRES:

Lq

n

i1qi0n

qi0.pi0

.100

n

.pqiti0i1n

.100

qi0i1

.pi0

qi0.pi0i1situacinreal

qi1qitqi0itNDICECUNTICODEPAASCHE:

Pq

n

n

i0

.p

.100

nqiti1n

.pit

.100

qi0i1

.pit

qi0.piti1situacinficticia

NDICECUNTICOIDEALDEFISHER:FqLq.Pq

PROBLEMASCONLAUTILIZACINDENMEROSNDICES.-Fundamentalmentesonreferentesadoscuestiones:

PONDERACIONES.-Enlamedidadeloposible,eltipodeponderacindebereflejarlaimportanciarelativadecadabienenparticular.Enlosndicesexpuestoslasponderacionesmsapropiadassebasanencantidadesovaloresparalosndicesdeprecios,yenpreciosovaloresparalosndicesdecantidad.Enlaprctica,cadabienincluidoenunndicecomplejosesueleinterpretarcomorepresentativodetodalaclasedeartculosrelacionadosynocomobienindividual.Enestesentido,laponderacinasignadaacadaartculoindividualreflejalaimportanciadetodalaclasequerepresenta.

PERODOBASE.-Esaqulperodoconrespectoalqueseefectanlascomparaciones,porloqueparaquemuchascomparacionesnopierdansignificado,sesueleelegircomotalunperodonoalejadoexcesivamentedelperodocorriente.Enestalnea,sehacenecesariorenovarperidicamentelainformacinrelativaalaobase.16

AosPreciorefresco(euros)ndicesSimplesBase2000ndicesSimplesBase2005

20001,2100(100/145).10068,97

20011,3(1,3/1,2).100108,33(108,33/145).10074,71

20021,42(1,42/1,2).100118,33(118,33/145).10081,61

20031,54(1,54/1,2).100128,33(128,33/145).10088,51

20041,65(1,65/1,2).100137,50(137,5/145).10094,83

20051,74145100

20061,86(1,86/1,2).100155(155/145).100106,90

20071,94(1,94/1,2).100161,67(161,67/145).100111,49

20082,15(2,15/1,2).100179,17(179,17/145).100123,56

20092,25(2,25/1,2).100187,50(187,50/145).100129,31

20102,30(2,30/1,2).100191,67(191,67/145).100132,18

Perodondice(perodo0)ndice(perodoh)

0I000Ih

1I10I1h

iIi0Iih

hIh0Ihh

ttI0tIh

CAMBIOSDEBASEREVISINDELABASEENNDICESSIMPLES.-Alalejarsedelperodobaseelndicesufreunaprdidaderepresentatividad,enespecialcuandoparaponderarmagnitudesactualesseutilizanpreciosrelativosreferidosalperodobase.Esteproblemaseresuelvehaciendouncambiodebaseaperodomsprximoalactual.Pararelacionarseriesdendicesreferidosadistintosperodosbaseseutilizanenlacestcnicosentreambasseries.

Lanuevaseriedendicesseobtiene:Ii0hIi0Iih

h.IhhI0I0

dondeIh0eselndicequehacedeenlacetcnicoentrelasdosseries.Ejemplo10.-Dadalaserieadjuntaconbaseao2000,sedeseacambiarlabasealao2005

Elintersdelcambioresideentenerlosdatosmsactuales,conlatransformacinsepuedeobservarcomoelpreciodelabotelladerefrescosenelao2010aumentoel32,18%enrelacinalao2005.

Sealarquepararealizaruncambiodebaseenlosndicessimplesbastadividircasaunodelosndicesdelabaseantiguaporelvalordelndicecorrespondientealperodoseleccionadocomonuevabaseymultiplicarlopor100.

Comoalternativaalaactualizacindelperodobasedescritoparalossistemasdebasefija,sevieneutilizandoconmayorfrecuencialossistemasdendicesdebasevariableoencadenada(sistemasqueutilizancomobaseelperodoinmediatamenteanterior).

Observandolatablaanterior,utilizandolaBASEVARIABLEoENCADENADA:

17

AosPreciorefresco(euros)ndicesSimples2005=100ndicesSimplesBasevariableoEncadenadaTasavariacin(interanual)

20051,74100----------

20061,86106,90(106,90/100).100106,906,90

20071,94111,49(111,49/106,90).100104,304,30

20082,15123,56(123,56/111,49).100110,8210,82

20092,25129,31(129,31/123,56).100104,654,65

20102,30132,18(132,18/129,31).100102,222,22

Enlaltimacolumna,seobservaqueentre2006y2005elpreciodelabotelladerefrescosvariun6,90%,entre2006y2007un4,30%,etc.Enesteejemplo,dendicesdebasevariableoencadenada,cadandicesecalcularespectoaunaodistinto.

Destacarqueapartirdelaseriedebasevariable(ltimacolumna)sepuedecalcularelndiceparabasefijadecualquierperodo.Deestamanera,elndicedelosrefrescosde2010conbase2005sera:

I2010I2005200620072008.100.I.I.I2005

2006200720082009

106,9104,30110,82104,65102,22.....100132,18100100100100100

CAMBIOSDEBASEREVISINDELABASEENNDICESCOMPLEJOS.-Elconceptodeperodobaseenlosndicesdeunconjuntodeartculos(comoocurreconlosndicesdeLaspeyresyPaasche)noeselmismoqueenunndicesimple.

Elperodobaseenlosndicescomplejosponderados,ademsdesereltiempodereferencia,eseltiempoenquesedebenverificardeterminadosrequisitosrespectoadoscaractersticas:(a)Artculosoelementosindependientesalosqueserefiereelndice.(b)Ponderacionesquesevanaasignaracadaelementooartculo.

Losndicescomplejos,comolosndicessimples,puedenelaborarseconunsistemadebasefijaoconunsistemadebasevariableodeencadenamientos.

Cuandoseeligeunsistemadebasefija,nohayqueolvidarquelaestructuradelgastoestsometidaaunaconstanteevolucin.Enotraspalabras,amedidaquenosalejamosdelperodobasesevanaproducircambiosdedistintandole,querespondenfundamentalmenteadoscaractersticas:(a)Cambiosenlosbienesoserviciosquecomponenelndice.(b)Cambiosenlosgustosopreferenciasdelosagenteseconmicos.

18

Aos20002001200220032004200520062007200820092010

Base=2000101112131516

Base=20051818,620222324

Aos20002001200220032004200520062007200820092010

Base=2000100110120130150160

Base=2005100103,33111,11122,22127,78133,33

Aos20002001200220032004200520062007200820092010

Base=2000100110120130150160

Base=200562,568,757581,2593,75100103,33111,11122,22127,78133,33

Ejemplo11.-Enlatablaadjuntasepresentanlosdatosdeunconjuntodebienespit.qi0yp'it.q'i0,respectivamente,dondelosperodosdeponderacinson2000y2005:

a)HallarloscorrespondientesndicesdepreciosdeLaspeyres.b)Determinarlosndicesdepreciosentrelosperodos2000-2004conbase2005.

Solucin:

a)LoscorrespondientesndicesdeLaspeyresseran:

Lp2000

1010

.100100%

Lp2005

1818

.100100%

Lp2001

1110

.100110%

2005Lp2006

18,618

.100103,33%

Lp2002

Lp2003

Lp2004

Lp2005

1210131015101610

.100120%

.100130%

.100150%

.100160%

2005200520052005Lp2007

Lp2008

Lp2009

Lp2010

2018221823182418

.100111,11%

.100122,22%

.100127,78%

.100133,33%

ndicedeLaspeyresb)Determinarlosndicesdepreciosentrelosperodos2000-2004conbase2005=100.

h,setiene:Lp20052000.100Conladefinicindecambiodebase

Iih

I0Lp2000

Ii02000Lp2000

100160

.10062,5%

ParalosotrosndicesdeLaspeyres:

20052005Lp2001Lp2001.Lp2000110.62,568,75%

20052005Lp2003Lp2003.Lp2000130.62,581,25%

ndicedeLaspeyres20052005Lp2002Lp2002.Lp2000120.62,575%

20052005Lp2004Lp2004.Lp2000150.62,593,75%

19

PerodosBase1974Base1990Base1990(Diciembre1995=100)

1987429,70429,70x0,2165=93,0393,03x0,8453=78,61

1998444,49444,49x0,2165=96,2396,23x0,8453=81,34

1989460,67460,67x0,2165=99,7399,73x0,8453=84,30

1990471,12102102x0,8453=86,22

1991102,6x4,6188=473,89102,6102,6x0,8453=86,73

1992104,2x4,6188=481,28104,2104,2x0,8453=88,08

1993107,7x4,6188=497,45107,7107,7x0,8453=91,04

1994113,3x4,6188=523,31113,3113,3x0,8453=95,77

1995118,3x4,6188=546,41118,3100

PerodosBase1974Base1990

1987429,70429,70x0,2165=93,03

1998444,49444,49x0,2165=96,23

1989460,67460,67x0,2165=99,73

1990471,12102

1991102,6x4,6188=473,89102,6

1992104,2x4,6188=481,28104,2

1993107,7x4,6188=497,45107,7

1994113,3x4,6188=523,31113,3

1995118,3x4,6188=546,41118,3

I471,12==4,6188I102Ejemplo12.-EnlatablaserecogenlosndicesdePreciosIndustrialesparaEspaaconbase1974y1990paralosmesesdediciembredecadaao.Sepideobtenerunaserienicaparalasdosbases.

1990197419901990

I1974I19901990

102

==0,2165471,12

Paracambiarlabasedeunndicebastacondeterminarlarelacinexistenteentrelosvaloresdelmismoparaelnicoperodoenelquesedisponeinformacinenlasdosbases.

Enestesentido,elperodoenquesedisponeinformacinenlasdosbasesesdiciembrede1990,la

I1990relacinocoeficientedeenlaceconbase1974:

1974I19901990

471,12==4,6188102

I1974Tomando1990comobase,elcoeficientedeenlace:

I19901990

102==0,2165471,12

==0,8453I19901188,3Unaoperacinsimilaralenlacedeserieseselcambiodebaseparaunaserieconcreta.Enestalnea,paraquelaserieconbase1990tomaseelvalor100endiciembrede1995,senecesitabuscarelcoeficientequehagaposibleestatransformacin.Enestecaso,elcoeficientesera:

1001001995

DEFLACTARSERIESESTADSTICAS.-Losnmerosndices,yenespeciallosnmerosndicesdeprecios,tienenaplicacionesmuyimportantesenelmundoreal.

Unafuncinimportantedeldineroesladepasardeunidadesfsicasaunaunidaddecuentacomn,medianteunavaloracindelosdistintosbienesyservicios,generalmentemediantelautilizacindeunsistemadeprecios.20

AosSalarioanual(euros)ndiceevolucinsalariomonetarioIPCBase2005(deflactor)Salarioanualreal(deflactado)=Salarioreal/IPCndiceevolucinsalarioreal

200568401001006840100

20067102105106670097,95

200775241101096902,8100,92

200882081201196897,5100,84

200988921301257113,6104

201092341351307103,1103,85

Aos200520062007200820092010

Salarioanual(euros)684071027524820888929234

ndiceevolucin100105110120130135

Realizadalahomogeneizacinpodemosefectuarcomparacionesenbasealaunidaddecuentacomn,siemprequenosehayanproducidocambiosenlospreciosdedeterminadosartculos.

Enotraspalabras,lacomparacinesposiblecuandolavaloracinserealizaapreciosconstantes(deunperododeterminado),noesposiblerealizarlacuandoseefectaaprecioscorrientes(preciosdecadaperodo),puestoquelasalteracionesdelospreciosdeunperodoaotroasignandistintopoderadquisitivoalasunidadesmonetarias(encuantoasupoderdecompra,uneurode2001noesequivalenteauneurode2010).

Paraclarificarloexpuesto,podemosrecurriraunejemplosencillo:.

Elprocedimientoquepermitetransformarunaserieexpresadaenvalorescorrientesavaloresconstantesseconocecomodeflactacindelaserieyalndiceelegidoparadichatransformacinselellamadeflactor.Eldeflactornosiempreeselmismo,encadacasohabrqueelegirelptimoparacadaalcanzarelobjetivodeseado.

Ejemplo13.-Enlatablaserecogeelsalarioanualdeuntrabajadorenelperodo2005-2010:

ndicedeevolucindelsalariomonetarioComopuedeobservarse,enlatercerafilaseincluyeunndicesimpledeevolucindelsalariodeltrabajador,tomandocomobaseelao2005.Elndicede2010esde135%,esdecir,elsalariodeltrabajadorsehaincrementadodurantesteperodoun35%.

Parasabersirealmentelossalariohanaumentadoentrminodeloquesepuedeadquirirconellos,laformamselementalseracompararlosconlassubidasdelIPC(queproporcionaunindicadorgeneraldelasvariacionesdelospreciosdelosbienesyserviciosqueadquierenlasfamiliasespaolas).

ndicesdeevolucinsalariomonetarioysalariorealElsalarioanualreal(salariodeflactado)seobtienedividiendoelsalarioanualdecadaaoosalariomonetarioporelIPCdecadaao.

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PerodosValornominal(eneuroscorrientes)Valorreal(eneurosconstantesdelperodo0)

0nV0pi0.qi0i1RnV0pi0.qi0i1

1nV1pi1.qi1i1RnV1pi0.qi1i1

2nV2pi2.qi2i1RnV2pi0.qi2i1

tnVtpit.qiti1RnVtpi0.qiti1

nnVnpin.qini1RnVnpi0.qini1

Ladeflactacineselprocesoquehapermitidotransformarlossalariosanuales(eneuros)asalariosreales,eliminandoelefectodelainflacin.ElndiceelegidocomodeflactorhasidoelIPC.Laseriedeflactadasedenominaserieapreciosconstantes.

Enuncasogeneral,endondelaserieestadsticaseaelresultadodeunvalor,esdecir,elresultadodemultiplicarcantidadesporprecios,setienelatablaadjunta:

ndicesdepreciosmsutilizadossonLaspeyresyPaasche.Seplanteacomoactanestosndicesensuaplicacinparadeflactarunaserieestadstica.nSeaVtpit.qitelvalordelamagnitudcomplejaenelperodot.Utilizandocomodeflactoreli1npit.qi0

ndicedeLaspeyresLp

n

i1npi0.qi0i1

n

,setiene:

VtLp

pit.qiti1npit.qi0

npi0.qi0.i1

pit.qiti1npit.qi0

tV0.PqVR

Nosepasadevaloresmonetarioscorrientesavaloresmonetariosconstantes.Apesardeello,elndicedeLaspeyresseutilizacomodeflactor

i1npi0.qi0i1

i1

muchasveces,porserelqueseelaboramscomnmente.

npit.qit

UtilizandocomodeflactorelNDICEDEPAASCHEPp

i1npi0.qiti1

,setiene:

VtPp

npit.qiti1npit.qiti1

n

tpi0.qitVRi1

UtilizandocomodeflactorelndicedePaasche,seobtieneunarelacinentrevaloresmonetarioscorrientesyvaloresmonetariosconstantes.Enconsecuencia,elndicedePaaschesereldeflactormsadecuadosiemprequelosvaloresqueaparecenenlaserie

npi0.qiti1

estadsticasepuedandescomponerensumasdepreciosporcantidades.

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Subrayarquelaeleccindeldeflactor,esdecir,delndicedepreciosadecuadoesfundamental:Siloquesedeflactaesunaseriesobrelaproduccindelaindustriahabraqueutilizarunndicedepreciosindustriales;sisedeflactaunaseriesobreelPIBnominalhabraqueutilizarunndicegeneraldeprecios;sisedeflactaunaseriesobrelosvaloresnominalesocorrientesdelaproduccinagrariaseraconvenientedisponerdeunndicedepreciosagrarios;etc.

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