LOS OBSTCULOS QUE TIENEN LOS ALUMNOS (DE SEGUNDO GRADO DE SECUNDARIA) CON LOS DIFERENTES REGISTROS DE REPRESENTACIN DE LA FUNCIN LINEALTEMA DE ESTUDIO Una de las caractersticas ms importantes de las matemticas en la actualidad, es su uso en casi todas las reas del quehacer humano, desde las actividades cotidianas hasta la investigacin cientfica. La matemtica educativa estudia los procesos de transmisin, adquisicin y construccin de los diferentes contenidos matemticos en situacin escolar, se propone describir y explicar los fenmenos relativos a las relaciones entre enseanza y aprendizaje del saber matemtico. Donde a partir de los estudios realizados desde esta disciplina, se han identificado problemas en el proceso enseanza-aprendizaje de la matemtica y se ha contribuido adems, con propuestas para mejorar este proceso.La Reforma Integral de la Educacin Secundaria propone transformar la prctica educativa a fin de mejorar las oportunidades de aprendizaje de todos los estudiantes. Para ello, reconoce que es indispensable fortalecer la continuidad entre los niveles que conforman la escolaridad bsica, ofertar un currculo que posibilite la formacin de los adolescentes como ciudadanos democrticos, desarrollar al mximo las competencias profesionales de los maestros e impulsar procesos para que las escuelas funcionen colegiadamente y se constituyan, efectivamente, en comunidades de aprendizaje.La enseanza de matemticas en secundaria pretende que el alumno se apropie de contenidos y desarrolle habilidades a partir de la puesta en prctica del enfoque resolutivo comunicativo el alumno desarrollara cuatro competencias: resolver problemas de manera autnoma, comunicar informacin matemtica, manejar tcnicas eficientemente, validar procedimientos y resultados. Por qu ensear matemticas? Por qu aprender matemticas? La sociedad del tercer milenio en la cual vivimos, es de cambios acelerados en el campo de la Ciencia y tecnologa: los conocimientos, las herramientas y las maneras de hacer y comunicar la matemtica evolucionan constantemente; por esta razn, tanto el aprendizaje como la enseanza de la Matemtica deben estar enfocados en el desarrollo de las destrezas necesarias para que el estudiantado sea capaz de resolver problemas cotidianos, a la vez que se fortalece el pensamiento lgico y creativo.El saber Matemtica, adems de ser satisfactorio, es extremadamente necesario para poder interactuar con fluidez y eficacia en un mundo matematizado. La mayora de las actividades cotidianas requieren de decisiones basadas en esta ciencia, como por ejemplo, escoger la mejor opcin de compra de un producto, entender los grficos de los peridicos, establecer conexiones lgicas de razonamiento o decidir sobre las mejores opciones de inversin, al igual que interpretar el entorno, los objetos cotidianos, obras de arte. La necesidad del conocimiento matemtico crece da a da al igual que su aplicacin en las ms variadas profesiones y las destrezas ms demandadas en los lugares de trabajo, son en el pensamiento Matemtico, crtico y en la resolucin de problemas pues con ello, las personas que entienden y que pueden hacer Matemtica, tienen mayores oportunidades y opciones para decidir sobre su futuro. El tener afianzadas las destrezas con criterio de desempeo matemtico, facilita el acceso a una gran variedad de carreras profesionales y a varias ocupaciones que pueden resultar muy especializadas. No todas y todos los estudiantes, al finalizar su educacin bsica y de bachillerato, desarrollarn las mismas destrezas y gusto por la matemtica, sin embargo, todos deben tener las mismas oportunidades y facilidades para aprender conceptos matemticos significativos bien entendidos y con la profundidad necesaria para que puedan interactuar equitativamente en su entorno.El aprender cabalmente Matemtica y el saber transferir estos conocimientos a los diferentes mbitos de la vida del estudiantado, adems de aportar resultados positivos en el plano personal, genera cambios importantes en la sociedad. Siendo la educacin el motor del desarrollo de un pas, dentro de sta, el aprendizaje de la Matemtica es uno de los pilares ms importantes ya que adems de enfocarse en lo cognitivo, desarrolla destrezas importantes que se aplican da a da en todos los entornos, tales como razonamiento, el pensamiento lgico, el pensamiento crtico, la argumentacin fundamentada y la resolucin de problemas.Lo importante en el aprendizaje de la matemtica es la actividad intelectual del alumno, cuyas caractersticas tal comoPiagetlas ha descrito, son similares a aquellas que muestran los matemticos en su actividad creadora: el pensamiento parte de un problema, plantea hiptesis, opera rectificaciones, hace transferencias, generalizaciones, rupturas, etc. para construir poco a poco, conceptos y, a travs de esta construccin de conceptos, poder edificar sus propias estructuras intelectuales.

Los modelos lineales son muy importantes en matemticas porque permiten resolver aquellos problemas de la ciencia que se comportan linealmente y aproximar otros cuya modelacin es no lineal. Generalmente se hace uso de las funciones lineales, (an cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numricas en correspondencia con otra, debido a que se est usando subconjuntos de los nmeros reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria. Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para as saber cunto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuacin de funcin "x" como el precio y la cantidad de producto como "y". estimacin funcin: asosiacion de un par de conjuntos Qu es funcin? Las funciones reales de variable real, que tienen la forma f(x)= ax + b , son uno de los modelos lineales ms simples y representan para estudiantes de educacin secundaria el primer contacto formal con el concepto de funcin, en muchas de las aplicaciones importantes de las funciones subyace la idea de variacin; la idea de una cantidad que vara al cambiar los valores de otra. De aqu el inters mostrado por algunos investigadores, en explicar las dificultades de aprendizaje enfrentadas por los estudiantes para entender aquellas nociones relacionadas con las funciones lineales.El problema que motiva esta investigacin tiene que ver con la inquietud de saber cules son las dificultades que presentan los estudiantes y las concepciones que tienen acerca del tema de funcin lineal y las formas de representacin que conocen y utilizan. Es por ello que he elegido como tema a desarrollar Obstculos que tienen los alumnos de segundo grado de secundaria al trabajar con los diferentes registros de representacin de la funcin lineal ubicado en la lnea temtica uno: Los adolescentes y sus procesos de aprendizaje donde, se pretende poner en juego las habilidades para observar a un pequeo grupo de estudiantes de segundo grado cuando grafican una funcin lineal en una computadora.La lnea uno sugiere trabajar con 5 estudiantes, sin embargo yo trabaje con 7, para tal motivo, se ha planteo como objetivo fundamental realizar un anlisis exploratorio para identificar las dificultades que presentan los estudiantes de educacin secundaria al trabajar con las diferentes formas de representacin de la funcin lineal, se pretendi describir cules son las relaciones que establecen entre las expresiones algebraicas y su representacin grfica, adems, se da cuenta de una primer aproximacin del proceso que siguen los estudiantes para construir dichas relaciones.La fundamentacin de los Contenidos Bsicos Comunes del rea de Matemtica, subraya la necesidad de garantizar que los conceptos matemticos cobren sentido para el alumno. Entendemos por sentido de un concepto el conjunto de problemas, propiedades, procedimientos y formas de representacin asociados al mismo. (sep,Los objetivos centrales de la enseanza de la Matemtica en la escuela es hacer posible que el alumno descubra la Matemtica como una herramienta til para interpretar y analizar fenmenos y situaciones de diversa naturaleza. Kant nosotros le impones nuestras ideas a la realidad En tanto esta postura instala en el mbito escolar la elaboracin de conceptos como instrumentos apropiados para la resolucin de problemas, se pone en primer plano el aspecto modelizador de la actividad matemtica. Este objetivo plantea un desafo: proponer problemas a travs de las cuales el alumno tenga la oportunidad de seleccionar cules son las variables que deber estudiar, de utilizar el lenguaje de la Matemtica para establecer relaciones entre esas variables, de operar con las relaciones establecidas, y de reinsertar los resultados en el problema que dio origen a la situacin. A travs de este tipo de actividad el alumno podr ir elaborando el concepto de modelo matemtico. Genere modelos a pesar de que no sea capaz de decir que son Durante mis estancias en las escuelas secundarias he observado que los docentes utilizamos un aprendizaje basado en la memorizacin de una serie de rutinas, es decir, un conjunto de algoritmos de aplicacin inmediata. Esta forma de enseanza no es siempre la adecuada para que los estudiantes puedan reconstruir los procesos y tambin para usar lo que ya saben para resolver problemas despus de cierto tiempo. Los estudiantes que adquieren un aprendizaje de este tipo no tienen la habilidad y el manejo suficientes para resolver problemas donde tienen que utilizar los algoritmos aprendidos pero no de una forma mecnica.Generalmente en la enseanza de la funcin lineal, se obtiene la grfica a travs de la expresin algebraica pero muy rara vez se obtiene la expresin algebraica a partir de su grfica. Dicho problema de enseanza y de aprendizaje puede consistir en que los estudiantes no construyen una relacin entre las expresiones verbales y las imgenes, puede ser que en la enseanza se abordan de manera aisladas, as, se pretende describir las ideas que tienen los estudiantes de una representacin grfica y algebraica. As mismo, a travs de este trabajo se pretende que sirva para contribuir al conocimiento de los obstculos por los cuales los alumnos no logran establecer las relaciones entre las diferentes representaciones.Definicin didctica, pretende encontrar los mejores procesos para obtener los mejores resultados estudio de construccin y significado Por lo general en la enseanza slo se realiza el paso de una frmula a una representacin grfica trazando puntos aislados; sin embargo, el proceso inverso, que presenta mayores problemas, no se trata como debiera. Para efectuar el paso inverso la aproximacin punto por punto, constituye un obstculo, lo mismo ocurre para la construccin de cualquier concepto matemtico, no basta trabajar las actividades dentro de un solo sistema de representacin, es decir, no es suficiente graficar una funcin a partir de su expresin algebraica, sino tambin se sugiere iniciar dando una grfica obtener su expresin algebraica, stas actividades son las que se supone propician la construccin de los conceptos matemticos.Para orientar este ensayo recepcional se plantearon las siguientes preguntas:1. Cules son las estrategias que el alumno utiliza para representar funciones de la formas: f(x) = mx; f(x) = mx+b? 2. Qu obstculos tienen los estudiantes de secundaria cuando representan las funciones: f(x) = mx; f(x) = mx+b? 3. Cules obstculos tienen los alumnos para establecer alguna relacin entre una expresin algebraica y su grfica? 4. Cules son los obstculos que tienen los estudiantes para modificar sus ideas previas relacionadas con las funciones: f(x) = mx; f(x) = mx+b durante una intervencin didctica? En resumen se pretende describir los obstculos que tienen los estudiantes para adquirir las nociones de las funciones de las formas f(x) = mx; f(x) = mx+bEs importante la relacin del objeto con su espacio, el desarrollo del anlisis fue planteado en la escuela secundaria general oficial nmero 312 Pastor Velzquez Hernndez Turno: matutino la cual est situada en el municipio de Zinacantepec en San Luis Mextepec sobre la vialidad Adolfo Lpez Mateos en el turno matutino especficamente con segundo grado grupos B y C.La escuela est en una zona semiurbana del municipio de Zinacantepec en San Luis Mextepec. En los ltimos aos, se ha dedicado al comercio de mariscos, acociles, no abandonando la actividad agrcola y el comercio. En trminos generales el nivel de escolaridad medio de las personas de la comunidad es de preparatoria, dentro de la institucin el clima de trabajo es ameno puesto que no hay problemas de disciplina de los estudiantes, el respeto entre alumnos y maestros est bien marcado, hay constantes reuniones y asistencia de padres de familia para tratar asuntos relacionados con el aprovechamiento de sus hijos, existe participacin en conjunto los resultados en pruebas estandarizadas y en evaluaciones bimestrales.La institucin escolar est conformada por doce grupos, cuatro por grado respectivamente, la misma cuenta con las condiciones de infraestructura necesaria para atender a su comunidad escolar la escuela cuenta con amplios espacios, conformada por seis edificios.1.- rea administrativa direccin, orientacin, laboratorio de ciencias papelera en la planta baja y en la planta alta los cuatro grupos de primer grado y el aula de tecnologa.2.- Aulas de segundo grado con cuatro grupos, subdireccin turno vespertino y en la parte superior biblioteca y un laboratorio.3.- Aulas de Tercer grado del grupo B al D y sanitarios.4.- Aula de Tercer grado grupo A sala de maestros, y aula de usos mltiples.5.- rea del taller de corte y confeccin (tecnologas).6.- Aula de cmputo.Anexos. Cuenta con tres canchas de basquetbol, una de futbol, explanada cvica, cafetera escolar, reas verdes, jardn de recreo, un huerto donde trabajan los alumnos, bodega, estacionamiento y cuarto de intendencia. La escuela cuenta con dos accesos y se encuentra rodeada por una barda perimetralCroquis 36Cafetera Acceso 11542Acceso 2

El anlisis y planteamiento del tema a tratar se realizo con el segundo grado grupo C de la Escuela Secundaria Oficial Numero 00312 Pastor Velzquez Hernndez es un grupo curioso, activo, e inquieto, por lo mismo fcilmente se distrae y no atiende las indicaciones del profesor situacin que hace necesario mantenerlos trabajando a lo largo de la sesin, en su mayora levantan la mano para aclarar sus dudas, aquellos alumnos que tienen un buen desempeo y salen bien en los exmenes pero por el otro lado hay alumnos que no participan con resultado realmente bajos.Dentro del aula hay pequeos grupos que se encuentran muy marcados, donde hay separaciones, en algunos casos se muestran actitudes de rechazo hacia algunos compaeros, uno de esos grupos es el de los alumnos con mejor promedio del saln quienes toman la iniciativa durante la clase de matemticas acaparando as la atencin de los docentes, los dems se limitan solamente a la simulacin de su trabajo en el mismo grupo recurriendo a la copia de los productos de la clase hay alumnos que requieren de una intervencin diferente puesto que les cuesta mucho trabajo comprender.Los alumnos se encuentran organizados en filas de siete personas un total de seis hileras de alumnos, de manera indistinta la forma como se encuentran ubicados cambia de una asignatura a otra, y constantemente hay movimientos de este tipo, el mobiliario es suficiente para la totalidad de los alumnos y se encuentra en muy buen estado, butacas y Pintarrn en la parte frontal y pizarrn en el otro extremo. El grupo tiene en su mayora, bajos resultados en exmenes, problemas en la comprensin de la asignatura lo que rece en un ligero rechazo hacia las matemticas, lo ms recurrente son dificultades en operaciones bsicas y les es muy complicado resolver un problema aplicando algoritmos que ya manejan, aunado a un incumplimiento recurrente de parte de los alumnos, que se agrava debido a la forma de evaluar del docente, donde para poder tener derecho a la calificacin deben presentar todas las tareas y trabajos en excelentes condiciones. Constantemente hay inasistencia de uno o dos alumnos debido a llegadas tarde a la institucin, o faltan porque no hicieron alguna tarea o por el mismo incumplimiento de trabajo son suspendidos de uno a tres das dependiendo del caso.Durante la primera visita y anlisis del grupo, fue observable el problema que tanto para el docente como para el alumno genera el hecho de no dominar nociones bsicas o anteriores necesarias para el desarrollo de un nuevo tema, lo cual se da nicamente en una parcialidad del mismo, en donde los alumnos ms adelantados son quienes coordinan las actividades relegando al resto a sus compaeros, forzndolos a avanzar sin haber entendido, el tema en cuestin, generando que no haya aprendizaje, que se apropien de nociones errneas o dbiles que a final de cuentas tienden a ser olvidadas.Por ello considero necesario tomar en cuenta los conocimientos previos de los alumnos hasta los errneos, hacerlos evidentes y analizar cmo han llegado los alumnos a esas concepciones, para partiendo de ah generar situaciones en las que se pueda reconstruir de manera correcta aquellos conocimientos y nociones errneas, contrastndolo con lo que ya sabe para que as mismo entienda como corregir y seguir avanzando.En la escuela hay 4 grupos de segundo grado de secundaria, el trabajo para el desarrollo del ensayo se hizo con un grupo integrado por 26 mujeres y 22 hombres. Con el propsito de averiguar en trminos generales qu hacen cotidianamente en la clase de matemticas, el nivel socioeconmico y las actividades que realizan fuera de la escuela, se administr un cuestionario de opinin (Ver anexo 1). A continuacin se mencionan la informacin recabada de dicho instrumento.De los alumnos de segundo grado, 36 de ellos aseguran que su nico acercamiento al estudio y aprendizaje de las matemticas es en la escuela secundaria, no toman clases extras, ni participan en clubes de matemticas, adems mencionan que su nica obligacin es ir a la escuela pues no tienen ningn trabajo extra por el que les paguen.En un da normal de escuela los nios usan entre 2 y 3 horas para ver televisin o videos, una hora para jugar o platicar con amigos diferentes a los de la escuela y entre 1 y 2 horas para hacer labores de la casa, con lo cual, se puede decir que son nios de hogar sin necesidades de tener que trabajar para recibir un pago, adems 10 de ellos utilizan una hora para jugar video juegos, 15 en su mayora nios utilizan entre 1 y 2 horas para practicar algn deporte y 20 aplica una hora para leer un libro, pero slo un 5 del alumnado utiliza un poco de su tiempo para estudiar matemticas o hacer trabajos de matemticas, pero este poco tiempo se traduce a menos de una hora, por lo tanto, queda claro que los alumnos prefieren realizar cualquier actividad que no tenga que ver con la clase de matemticas fuera de la escuela.37 de 45 de las mams de los alumnos por lo menos termino la prepa o carrera corta y todos los paps terminaron por lo menos la preparatoria o carrera corta, esto nos indica que los padres, tanto mam como pap tienen un nivel de estudios ms all de la educacin bsica y se encuentran ms o menos a la par en cuanto a nivel de estudios. 40 de los alumnos esperan terminar la universidad o normal, 2 quieren terminar la preparatoria o una carrera corta y 3 no sabe qu nivel le gustara tener, tal vez, porque su nivel econmico no es muy bueno o porque sus calificaciones no le permiten acceder al siguiente nivel de estudios.Los alumnos en su casa tienen alrededor de 50 y 100 libros, sin contar las revistas, peridicos o libros de la escuela, esto se puede percibir porque en su mayora los padres tienen un nivel de estudios ms all de la escuela bsica y por lo tanto han tenido que leer algunos libros.Los nios tienen el nivel socioeconmico que les permite tener los siguientes recursos; calculadora, escritorio o mesa donde trabajan sus hermanos y paps, diccionario, televisin, radio, celular, dvd, lavadora, horno de microondas, telfono y slo 4 personas no tiene automvil y 13 de los alumnos tiene que compartir su recmara con algn hermano, estos datos sugieren que tienen los recursos ms que suficientes para terminar la escuela secundaria.14 de los alumnos aceptan que las matemticas son difciles pero les gustan y 31 piensan que las matemticas son difciles y que adems no les gustan. Todos coinciden en que las matemticas son la materia ms difcil de la escuela pero a pesar de eso 15 de ellos no se esfuerzan por entenderlas y se consideran que no son muy talentosos para las matemticas. 12 de los alumnos piensan que cuando no entienden un tema de matemticas, estn seguros que nunca ms lo van a entender, porque dicen que ese tema nunca ms lo volver a ver y nunca volvern a trabajar con l. Y 10 partes del grupo piensan que son buenos en otras materias pero no en matemticas, porque poseen otras habilidades que no les permiten ser buenos en esta rea.Todos los alumnos piensan que para tener un buen aprovechamiento en matemticas en la escuela se necesita tener un talento o habilidad natural, adems de trabajar muy duro en casa, de todos ellos 40 piensan que adems se necesita tener buena suerte, el resto dice que no es suerte, es solo cuestin de esforzarse un poco ms y que la suerte es solo un excusa, porque no quieren trabajar y as justifican sus bajas calificaciones. Adems 42 del grupo opinan que no es necesario memorizarse los apuntes o libros para obtener una buena calificacin, pues ellos aseguran que lo que se necesita es trabajar, practicar y entregar trabajos para obtener la mayora de escala posible.Slo 10 de los alumnos les gustan las matemticas, aunque muchos del resto de los alumnos afirman que no les gustan las matemticas por el maestro, ya sea porque no les gusta cmo les ensea o su forma de evaluar.38 alumnos afirman que no les gustara utilizar la computadora para aprender matemticas, en primer lugar porque piensan que las matemticas son aburridas y en segundo lugar porque nunca han aprendido matemticas por medio de la computadora, por lo tanto, no saben qu resultados obtendrn, puesto que la computadora con acceso a internet solo la utilizan para chatear, muy raras veces para jugar y para obtener informacin de proyectos de matemticas y nunca la usan para tener contacto con estudiantes de otras escuelas para trabajar en proyectos de matemticas.Todos los alumnos piensan que las matemticas son importantes en todos los aspectos de la vida pero 45 de ellos no les gustara tener un trabajo que involucrarn a las matemticas, adems 42 piensan que las matemticas son aburridas, son una materia difcil y que no disfrutan de ellas.Los alumnos tienen diferentes opiniones del por qu necesitan ser buenos en matemticas, primero de todos los encuestados 45 de ellos piensan que necesitan ser buenos en matemticas para conseguir el trabajo que quieren, 5 alumnos para complacer a sus padres, 40 para sentirse bien consigo mismos, pero todos coinciden en que necesitan ser buenos para ser aceptados en la preparatoria y la universidad.Los alumnos opinan que el maestro de matemticas generalmente les ensea cmo resolver problemas de matemticas, siempre copian los apuntes del pizarrn, as como realizar exmenes o cuestionarios, en cuanto a las tareas el maestro siempre les deja tarea y el maestro las califica una vez que los alumnos las revisen y las discuten. Pero lo que nunca o muy rara vez realiza el maestro es trabajar en proyectos, usar calculadoras y computadoras, trabajar en equipos, empezar a realizar las tareas en la clase y nunca usan el can.Adems, los alumnos dicen que generalmente cuando inician un tema de matemticas, empiezan por una explicacin de las reglas, la discusin de una prctica o un problema de la vida real, el maestro nos hace preguntas acerca del tema nuevo y resuelven problemas relacionados al tema nuevo y muy rara vez inician trabajando en pares o en pequeos grupos en un proyecto o problema, nunca buscan el libro de texto mientras el maestro platica acerca del nuevo tema como tampoco los alumnos presentan y explican el tema, eso siempre lo hace el maestro.

DESARROLLO DEL TEMA: OBSTCULOS QUE TIENEN LOS ALUMNOS DE SEGUNDO GRADO DE SECUNDARIA AL TRABAJAR CON LOS DIFERENTES REGISTROS DE REPRESENTACIN DE LA FUNCIN LINEALEn esta seccin se da cuenta de algunos estudios que se han hecho de las funciones lineales y definiciones sobre las mismas. Tales estudios hablan de las diferentes formas de graficar una funcin y las diferentes formas en como los alumnos ven a las variables que componen a la expresin general de una funcin lineal y funcin afn. As mismo, se habla acerca de lo acontecido durante dos sesiones trabajando con cuatro alumnos el tema de funcin lineal utilizando la tecnologa, haciendo uso de la computadora y del programa graphmatica.Lo que se sabe del temaLa graficacin de funciones forma parte de los niveles medio bsico y medio superior y es desarrollada con frecuencia y casi exclusivamente a travs del mtodo de localizacin de puntos (punteo[footnoteRef:1]) y tabulacin, lo que puede ser una fuente de error en el aprendizaje e interpretacin de las grficas. La graficacin que se apoya en el punteo localiza puntos sobre la grfica en cuestin a partir de la eleccin de una abscisa para obtener una ordenada, mediada por la ecuacin, para despus hacer uso de la continuidad y construir la curva en su totalidad. (Schoenfeld, 1989) [1: Punteo: proceso de localizacin en la grfica, cuando se conocen las coordenadas. ]

Actualmente se considera importante, en la enseanza de las matemticas, no slo conocer distintos representantes del objeto matemtico sino tambin la posibilidad de establecer relaciones entre ellos, en este caso, las representaciones grficas y algebraicas involucradas en el proceso de graficacin y su asociacin con su expresin algebraica.Para desarrollar un proceso que relacione las representaciones algebraicas y grficas del mismo objeto matemtico, tomamos en cuenta el punto de vista semitico donde se consideran a los signos de la grfica y de la ecuacin en sus mutuas relaciones significativas a los (signos o smbolo) de la grfica.En el aprendizaje de la graficacin la apariencia juega un papel fundamental debido a que es la base de la aprehensin perceptiva, es decir, el primer acercamiento a la tarea de graficacin. Considerar la graficacin como un proceso que tiende un puente de significados en dos sentidos; por una parte es un trabajo til y necesario para la enseanza de la matemtica y por otro lado ampla y diversifica la informacin sobre las caractersticas asociadas a los objetos o conceptos (Claudia Acua 2001). (buscar un lugar aadecuado)La construccin de la grfica nos proporciona un conjunto de objetos geomtricos relacionados entre s analticamente y cada elemento sobre la grfica tiene un par expresado a travs del lenguaje algebraico, un punto, una recta o una curva. De hecho, la graficacin se desarrolla como la interaccin de dos estructuras.En la graficacin con apoyo de grapmatica facilita la asociacion entre las diversas representaciones, haciendo explicito la relacin entre nmeros y puntos de la grafica. Aunque la localizacin de puntos sobre la grfica a partir de una pareja parce no representar un problema importante para la mayora de ellos, siempre y cuando la informacin sobre los nombres de las coordenadas, las posiciones de las entradas as como la posicin de los ejes, est disponible. Sin embargo, cuando la localizacin de los puntos depende adems de las relaciones determinadas por los objetos geomtricos de la grfica, los aciertos en la tarea descienden notablemente. (Acua, 1999). (ver si la respuesta de los estudiantes apoya esta afirmacin)El punteo ha sido, hasta hace poco tiempo, el nico mtodo con el que ha contado el profesor y el estudiante para graficar, y si ste se utilizara como un instrumento para interpretar la grfica desde el punto de vista analtico resultara insuficiente, ya que no explica las relaciones entre los objetos matemticos graficados como los puntos, ya que estn expresados a travs de la grfica o de la ecuacin.Un concepto figural es aquel que tiene caractersticas tanto de las figuras como de las ideas (conceptos). Insuficiente resulta tambin reconocer las propiedades de los smbolos grficos desligados de la funcin as como las propiedades figurales que aparecen tales como pendiente, concavidad, inflexin, entre otras, que no explican por s mismas sus cualidades. Graphmatica. Es un programa que representa funciones, creado por Keith Hertzer, las funciones estn definidas de forma explcita, por ejemplo, f(x)=sin(1/x) o de forma numrica a travs de una tabla de doble entrada. Su principal objetivo es ayudar a los estudiantes a graficar funciones. Le fue concedido un segundo premio en el concurso de programas educativos para ordenador organizado por el ministerio de educacin y ciencia del ao 1993.Este software educativo, puede ser utilizado por el profesor para proponer actividades complementarias a las trabajadas en el aula, es decir, el alumno o alumna desde cualquier lugar fuera de la escuela puede acceder al programa por el hecho de ser gratuito.Es un programa muy funcional porque los alumnos tienen muy fcil acceso a l y es muy fcil de trabajar con el programa y permite que los alumnos vean de manera visual el comportamiento de las funciones en general y de las funciones lineales( operaciones con funciones lineales)Las representaciones grficas en el plano cartesiano requieren de un tratamiento visual, adems del algebraico, ya que los puntos tienen propiedades figurales y espaciales. Una de las actividades cognitivas ligadas al tratamiento de las representaciones grficas es la visualizacin, entendiendo por visualizacin al uso de propiedades espaciales y relaciones de representaciones particulares en los cuales un problema es presentado y procesado (shama y dreyfus 1994) (ubicarlo)La representacin grfica posee la propiedad de permitir un trabajo heurstico a travs de la visin y la visualizacin (Duval, 1998). La representacin externa acta como apoyo a la intuicin y sugiere transformaciones que conducen a la solucin del problema planteado, adems las formas grficas proveen de elementos para desarrollar experimentos mentales adecuados para el descubrimiento de propiedades matemticas.Adems en el tema de estudio ya se seal que los alumnos no relacionan expresiones verbales e imgenes, puesto que segn las teoras psicolgicas, las imgenes y las expresiones verbales (conceptos) se conciben distintos, porque las imgenes corresponden a una percepcin sensorial de un objeto y las verbalizaciones a una representacin simblica y posee un significado general correspondiente a un conjunto de representaciones concretas con respecto a lo que tienen en comn (Piron en Fischbein, 1957). Sin embargo, Efraim Fischbein en su teora los conceptos figurales afirma que en matemticas las imgenes geometricas y los conceptos, no pueden ser considerados ni conceptos puros ni meras imgenes comunes, porque poseen cualidades conceptuales entre s, ya que en el razonamiento matemtico uno no se refiere a ellos como objetos materiales ni como dibujos. Los objetos materiales (slidos o dibujos), slo son modelos materializados, slo en un sentido conceptual uno piensa en los conceptos de la matemtica.Fischbein centra la atencin en los objetos geomtricos a pesar el autor de este ensayo supone que sucede lo mismo con cualquier objeto de la matemtica, por supuesto con sus particularidades.En la vida cotidiana la representacin mental de una palabra es una generalizacin, por ejemplo un perro, y al ver un perro te genera la idea de ese perro en particular pero si piensas en la palabra perro generas una idea general de perro, y en matemticas tiene que tener un significado para los alumnos, cualquier palabra construida, debe tener un significado preciso y estar asociado con diferentes representaciones al pensar en y= mx+b piensas en todo el conjunto de rectas y si piensas en y=2x te imaginas esa recta en particular.Porque a la hora de graficar cualquier funcin es importante que los alumnos aprendan ms de una forma de hacerlo, ya que de acuerdo a las condiciones de construccin visuales, (Duval 1993) propone tres maneras diferentes para construir una representacin grfica, una forma cuantitativa de punteo (tabulacin), una forma cualitativa-cuantitativa de extensin de trazo y una forma de interpretacin global de las propiedades de las funciones.Desde la perspectiva de la matemtica se dice que es inusual la restriccin de que las imgenes deben ser manipuladas mentalmente. Puesto que la visualizacin se toma como la habilidad para trazar con lpiz y papel un esquema. El esquema sirve para representar un concepto matemtico o un problema y ayuda a comprender el concepto o a resolver el problema. La visualizacin no es un fin en s mismo sino un medio para conseguir entendimiento. (Zimmermann, W. & Cunningham, S.1991).Duval recalca que no se deben confundir los objetos matemticos con su representacin y define los registros de representacin como un medio de expresin que se caracteriza por sus signos propios y la forma en que stos se organizan. Es decir, un registro est constituido por signos en el sentido ms amplio de la palabra: trazos, smbolos, conos y estos signos estn asociados de manera interna y externa. De manera interna, segn los lazos del contexto y de pertenencia a una misma red semntica. De manera externa, segn las reglas de combinacin de los signos en expresiones o configuraciones; estas reglas son propias de la red semntica involucrada. (lenguaje)Por otro lado, el concepto de funcin admite una gran variedad de diferentes registros de representacin; se puede representar mediante tablas, grficas, expresiones algebraicas y expresiones verbales, mediadas por el lenguaje cotidiano y por operaciones entre funciones. En cuanto a los problemas que tienen los alumno cuando tabulan una funcin es comn que el intervalo les dificulte la tarea, adems hay problemas vinculados con los diferentes usos que se le da a las variables, entendiendo por variable un smbolo para el cual uno substituye nombres por algunos objetos, por lo general nmero en lgebra. Una variable siempre es asociada con un juego de objetos cuyos nombres pueden ser substituidos para ello. Van Engen (1959).Pero Wagner (1983), seala la complejidad del concepto variable y las dificultades que tienen los estudiantes que inician el estudio del lgebra al trabajar con variables, pues afirma que el concepto de variable no es fcil de definir, ya que su significado puede variar, su significado puede cambiar con el contexto en el cual aparece.Adems Usiskin (1998) menciona que el lgebra no es fcilmente definida y seala que el lgebra que se ensea en la escuela bsica no es la misma a la enseada en la universidad, y puesto que las variable tienen cinco diferentes usos en; (1) una frmula (A= bh), (2) una ecuacin a resolver (2x=20), (3) una identidad (sen x = cos xtan x), (4) una propiedad (1=n(1/x)) y (5) una funcin (y=mx+b), adems, hay un problema distinto cuando aparece ms de una letra en una expresin.En este documento se trata principalmente el concepto 5 denominado El algebra como el estudio de relaciones entre cantidades (funcin), puesto que en ella se dice que la forma y = mx + b, es tanto modelo entre variables como una frmula. Esta expresin describe una lnea general y las variables involucradas que en este caso representan nmeros generales que pueden, por lo tanto, asumir cualquier valor. Sin embargo para una lnea particular, m y b, no representan nmeros generales, sino constantes. Para resolver una funcin de este tipo los estudiantes deben de ser capaces de trabajar con nmeros generales, como constantes, como incgnitas, como variables en una relacin funcional y poder pasar de una a otra interpretacin, an cuando estas caracterizaciones de la variable tengan la misma representacin simblica. Porque un usuario competente del lgebra es capaz de interpretar la variable de modos distintos dependiendo del problema en el cual aparece, por ejemplo, cuando una expresin representa una ecuacin (1), y la variable representa una incgnita especfica cuyo valor puede determinarse con precisin; y cuando una expresin representa una tautologa (2), y la variable representa un valor indeterminado. Es capaz de distinguir estas expresiones a pesar de que luzcan muy similares.x+5=x+1(1)x+5=5+5 (2)Matz (1982), menciona que un usuario competente es capaz de simplificar una expresin algebraica, de trabajar con la idea de variacin cuando las variables estn involucradas en una relacin funcional y de discriminar entre las acciones a tomar en caso particular. Para l, las diferencias que caracterizan los distintos usos de la variable, pueden parecer y hasta insignificantes, sin embargo, reconocerlas es crucial para los principiantes. El no reconocerlas se torna frecuentemente un obstculo que bloquea el aprendizaje del lgebra.De igual manera menciona que en matemticas se usan generalmente los smbolos literales para representar variables. Los mismos smbolos son usados para denotar diferentes caracterizaciones de la variable, y diferentes smbolos son empleados para representar la misma caracterizacin de la variable. Este uso de los smbolos literales pueden contribuir a opacar las diferencias entre las distintas caracterizaciones de la variable y ocultar las condiciones que determinan el dnde y cmo pueden variar su valor.Kchermann (1980) identific seis diferentes maneras de interpretar los smbolos literales: letra evaluada, letra no usada, letra como objeto, letra como incgnita especfica, letra como nmero generalizado y letra como variable. Letra evaluada: A la letra se le asigna un valor numrico. Letra no usada: La letra es ignorada o su existencia es reconocida pero no se le atribuye ningn significado. Letra como incgnita especfica: La letra representa un nmero particular pero desconocido y los alumnos son capaces de operar directamente sobre ella. Letra como nmero generalizado: Se considera que la letra representa o es capaz de asumir distintos valores. Letra como variable: Se considera que la letra representa un rango de valores no especificado y que existe una relacin sistemtica entre dos conjuntos de valores de este tipo.Estos resultados destacan el hecho de que los alumnos tienen diferentes maneras de interpretar las letras usadas para representar las variables. Esto indica que los que se inician en el estudio del lgebra consideran que los smbolos literales usados como variables pueden interpretarse de diferentes modos, y que su significado puede variar con el problema. Pero los resultados de Kchemann muestran tambin que la interpretacin dada por los nios no es siempre la apropiada y frecuentemente es la fuente de respuestas errneas.Desde una perspectiva piagetiana, Kcheman considera que esta clasificacin de la interpretacin de los smbolos literales refleja un grado de dificultad creciente. Considera que las tres primeras categoras indican un bajo nivel de respuesta, y argumenta que para que un nio tenga una comprensin de los inicios del lgebra, es necesario que se capaz de trabajar, por lo menos, con problemas simples que requieran el uso de la letra como incgnita especfica.Ya que afirma que un nio habr comprendido perfectamente el uso de los smbolos literales en lgebra, cuando sea capaz de trabajar con la letra como variable. Si bien puede ser valido considerar que los alumnos se acercan al lgebra cuando sus respuestas pertenecen a las ltimas tres categoras, la visin jerrquica que refleja la clasificacin de Kchemann podra estar insinuando un orden en el cual deberan ensearse los distintos usos de las variables. Por lo tanto, considerar que para los alumnos es ms fcil trabajar con una interpretacin del smbolo literal que con otra implica que es ms fcil trabajar con una caracterizacin de la variable que con otra.La habilidad para generalizar es una de las caractersticas ms importantes de la inteligencia (Krutetskii, 1976). Es una habilidad general, esto es, se usa en diferentes campos y aparece desde edades muy tempranas. Sin embargo, Krutetskii y su grupo encontraron que la habilidad para generalizar en matemticas es una habilidad especfica: es la habilidad de generalizar relaciones numricas y especiales, expresadas a travs de nmeros smbolos literales.Encontraron adems que existe una relacin muy estrecha entre la habilidad para generalizar material matemtico y la habilidad para estudiar matemticas. Argumentan por ejemplo, que los alumnos, que tenan facilidades para las matemticas podan detectar rpidamente cules eran los rasgos generales que caracterizaban situaciones exteriormente distintas, mientras que los alumnos menos hbiles necesitaban mucho entrenamiento y prctica para poder generalizar.Krutetskii sugiere que la capacidad para generalizar en matemticas sigue un camino evolutivo desde la habilidad para ver lo que ya es conocido y generar en lo particular, a la habilidad de ver lo que es desconocido. Se evoluciona desde la necesidad de analizar muchos ejemplos particulares, a la habilidad para generalizar a partir de un nico ejemplo particular.La variable es un instrumento que se usa en matemticas para expresar una generalizacin. Cuando se quiere expresar matemticamente un patrn, una regularidad o un mtodo en general, se usan las variables para representar los nmeros generales involucrados.Distintos estudios que investigaron la capacidad que tienen los alumnos para trabajar con la variable como nmero general cuando aparece en tareas algebraicas tradicionales, encontraron que la gran mayora tena dificultades para trabajar con esa caracterizacin de la variable. Se encontr que los alumnos tienden a interpretarla de varios modos distintos dependiendo del problema: la ignoran; la interpretan como una incgnita especfico asignndole un valor especfico; la interpretan como un objeto, (Kchemann, 1980; Booth, 1984). Resultados similares se obtuvieron en un estudio desarrollado en Mxico con alumnos de secundaria (Avila et al, 1990).Estos resultados muestran que ante la necesidad de interpretar un smbolo literal usado para representar un nmero general los estudiantes estn bastante desorientados. Booth (1984) por ejemplo, sugiere que los alumnos tienden de manera natural a interpretar las letras como nmeros especficos. Tanto Booth (1984) como Kchermann (1980) sugieren que la dificultad para interpretar la letra como nmero general puede depender del desarrollo cognitivo.Por otra parte, los resultados de otras investigaciones desarrolladas en ambientes computacionales no sustentan esta hiptesis y muestran que en estos ambientes y con ayuda, los alumnos pueden desarrollar la capacidad de interpretar la letra como nmero general. Thomas y Tall (1986), por ejemplo, disearon materiales computacionales cuyo objetivo era ayudar a estudiantes de 12 aos de edad sin experiencia algebraica, a que mejoraran su comprensin de los conceptos algebraicos generales, por medio de una exploracin estructurada de ejemplos particulares.Se prest atencin especial al uso de letras como nmeros generales y de letras como variables (adoptando la definicin de Kchermann). Los resultados de una evaluacin aplicada en seguida despus de terminado el estudio y de una evaluacin posterior, mostraron que las respuestas dadas por el grupo experimental eran significativamente mejores que las del grupo del control, para preguntas que requeran una comprensin del uso de letras como incgnitas especficas, letras como nmeros generales y letras como variables.Los resultados obtenidos en ambientes computacionales sugieren que acercamientos no tradicionales pueden ayudar a reducir las dificultades y ayudar a los alumnos a trabajar con la idea de nmero general y su representacin simblica. Adems est tambin la sugerencia para que los alumnos construyan la idea de nmero general y desarrollen un significado para el smbolo usado para representarlo. De aqu se desprende la necesidad de buscar acercamientos alternativos a los tradicionales que ayuden a los alumnos a trabajar con la idea de nmero general y su simbolizacin.Sugerencias como las anteriores no son nuevas, Masn (1985), por ejemplo, estudi cmo se podra ayudar a los nmeros a trabajar con aritmtica generalizada. Analizando el proceso de generalizacin identific cuatro pasos, a saber: observacin, percepcin mental de un patrn o de una regularidad; verbalizacin, articulacin de lo observado en palabras; notacin, uso de smbolos para generar la formulacin. En consecuencia Masn enfatiza la importancia de ofrecer a los alumnos la, oportunidad de percibir patrones o relaciones y de estimar la necesidad de expresarlos antes de apresurarlos para que trabajen con los nmeros literales.Estos argumentos sugieren la conveniencia de trabajar con la idea de nmero general antes de la introduccin del lenguaje algebraico formal. Esto, implcitamente seala que algunas de las dificultades a las que se enfrentan los alumnos al trabajo con los smbolos literales que representan nmeros generales, pueden reflejar un entendimiento pobre del concepto representado por el smbolo. El diseo de ambientes didcticos especiales podra ayudar a los alumnos con antecedentes aritmticos, a pasar del trabajo directo con nmeros especficos a considerarlos como objetos que pueden ser incluidos en el concepto ms amplio de nmero general. De este modo podra ayudarse a los alumnos a acercarse a la idea del nmero general o de su simbolizacin antes de introducirlos al lgebra formal.Las variables pueden ser usadas para expresar una relacin funcional entre dos cantidades cuyos valores pueden estar cambiando. Lo que caracteriza este uso de las variables es, por un lado, su movimiento dentro de ciertos rangos de valores (aspecto dinmico), y por el otro, el hecho de que el valor que se asigna a una de las variables afecta el valor de la otra variable (aspecto esttico). El aspecto dinmico es enfatizado cuando se considera una relacin funcional como una manera de expresar variacin. El trabajar con la idea de cambio, no es fcil para los alumnos Kchermann (1980), encontr que slo algunos alumnos podan interpretar la letra como variable y considerar que los cambios en un conjunto de valores dependan de los cambios en otro conjunto de valores. Las maneras en que los nios representan situaciones que implican la idea de cambio sugieren que los procesos dinmicos son frecuentemente percibidos de manera esttica (Bernardz y Dufour-Janvier, 1991). Cuando trabajan con procesos dinmicos los alumnos parecen observar slo algunas caractersticas esenciales que pueden describirse de manera puntual. Tienen tambin dificultades para percibir el cambio cuando este es representado por medio de grficas u otros cdigos empleados en matemticas para ilustrar conceptos dinmicos. Hay una tendencia a interpretar estas representaciones de manera esttica. Dificultades para trabajar con la idea de cambio fueron observadas tanto en nios de 1 y 2 (Bednarz y Dufour-Janvier, 1991), como en los alumnos que empezaban el estudio del algebra elemental (Keid y Kunkie, 1988).Adems de que al trabajar con tablas de valores variables sobre un cierto rango de nmeros, generadas por computadora, puede ayudar a los alumnos a percibir como cambian los valores de ciertas expresiones algebraicas dadas. A travs del anlisis de las tablas los alumnos pudieron deducir los dominios en que las funciones crecan o decrecan, y pudieron apreciar cmo los cambios afectaban las variables relacionadas.Sin embargo, puede ser que la notacin tabular no sea de gran ayuda cuando se trabaja con funciones no lineales. Kieran (1992) encontr que alumnos de 9 grado (15 aos de edad) con cierta experiencia algebraica previa, tenan dificultad para deducir el comportamiento global de funciones no lineales, as como identificarse mximos y mnimos, con base al anlisis de tablas numricas. En contraste, el trabajar con una representacin grfica ayudaba a los estudiantes a obtener una perspectiva global. Pero (Heid, 1989) en otros estudios encontr que alumnos jvenes o de bajo rendimiento sugieren que las nociones que subyacen a la idea de relacin funcional (por ejemplo; Dominio, imagen) deberan introducirse a travs de la nocin grfica cuando se trabaja con estudiantes considerados de nivel alto, y a travs de tablas cuando se trabaja con alumnos de bajo rendimiento.Durante la escuela primaria y antes de cualquier acercamiento al lgebra, los nios empiezan a trabajar con problemas simples en los que se les pide determinar el valor de una incgnita especfica. Usualmente el valor de la incgnita no es representado por un smbolo literal, sino por un cuadrito, una lnea o un espacio vaco. Cuando los nios inician el estudio del algebra estos signos son substituidos por un smbolo literal y los nios empiezan a trabajar con variables como incgnitas especficas.Los nios que se inician en el estudio del lgebra son capaces de razonar con incgnitas y encontrar el valor correcto cuando estas aparecen en problemas verbales simples. Karplus (1982), encontr que alumnos entre 12 y 14 aos de edad podan resolver problemas de acertijos del tipo: pienso un nmero, le agrego 12, multiplico el resultado por 6 y obtengo 90. Cul es el nmero que pens? (Karplus et al., 1981. P. 148). Observ que el patrn de razonamiento que los nios usaban con ms frecuencia para resolver este tipo de problemas, era el de trabajar hacia atrs a partir del resultado dado. La segunda estrategia ms frecuente era en ensayo y error. Pero cuando una incgnita especfica aparece en ecuaciones con una estructura ms complicada, los nios tienen serias dificultades para trabajar con ellas. Estas ecuaciones no pueden ser resueltas de un solo paso. Para resolverlas es necesario realizar primero ciertas operaciones numricas y/o operar con la incgnita. Esto implica la capacidad de percibir la ecuacin de manera global a fin de reordenar los trminos, antes de intentar calcular el valor de la incgnita especfica (Herscovics y Linchevski, 1991). Cuando se encuentran a este tipo de ecuaciones, los novatos utilizan diferentes estrategias a fin de evitar operar con los nmeros y con las incgnitas. Por ejemplo, se observ que una de las estrategias que los nios usan para tratar de resolver ecuaciones con una aparicin de la incgnita pero con ms de un trmino numrico despus del signo de igualdad, consiste en cortar la ecuacin despus del primer trmino numrico, e ignorar los otros (Kleran, 1984).Resolver ecuaciones del tipo ax+b+cx=d, implica ser capaz de operar con incgnitas especficas. Es decir, este tipo de ecuaciones no pueden resolverse usando solo operaciones aritmticas. Operar con la incgnita especfica presenta dificultades para los que se inician en el estudio del lgebra. Se han observado distintas estrategias todas tendientes a evitar la operacin con la incgnita. Por ejemplo, los nios pueden tratar de resolver este tipo de ecuaciones invirtiendo las operaciones antes de agrupar los trminos similares (Kieran, 1984). Esto sugiere un intento de aplicar a la resolucin de estas ecuaciones un procedimiento que resulta exitoso para resolver ecuaciones de un paso. Otro acercamiento observado es el de tratar de determinar la incgnita especfica por medio de situaciones sistemticas (Herscovics y Linchevski, 1991).La enseanza tradicional que tiende a desarrollar y fortalecer las habilidades manipulativas no parece ser adecuada para ayudar a los nios a superar estas dificultades. Adems, parece ser que algunos de los acercamientos a las incgnitas especficas usados en la escuela primaria pueden ser los que originan algunas de las estrategias incorrectas que usan los nios para resolver una ecuaciones. Adems es muy frecuente que se ensee a los nios que resolver una ecuacin es equivalente a invertir las operaciones. Kieran (1988) sugiere que este acercamiento puede llevar a los alumnos a concebir la variable como el resultado de un grupo de operaciones inversas y a considerar la letra sin existencia propia en la ecuacin dada (Kieran, 1988, p. 95). Esta interpretacin de la incgnita especfica puede ser un obstculo para otorgar sentido a una ecuacin que no puede ser resuelta invirtiendo las operaciones as como para operar con o sobre la incgnita especfica. No puede esperarse que los nios superen esas dificultades espontneamente. Como ya lo enfatizaron Filloy y Rojano (1989), ayudar a los nios a superar las dificultades que tienen para operar sobre y con la incgnita especfica, es una tarea educativa.Distintos acercamientos se han usado para ayudar a los nios a superar las dificultades mencionadas. Filloy y Rojano (1989), por ejemplo, usaron modelos concretos (el modelo geomtrico; el modelo de la balanza) para ayudar a los nios a operar con la incgnita especfica. Los resultados que obtuvieron muestran que si bien en esos ambientes los alumnos eran capaces de resolver ecuaciones con ms de una aparicin de la incgnita especfica, el hecho de usar modelos puede ocultar lo que se pretende ensear. Los modelos pueden anclar a los nios a un contexto concreto y a progresar dentro de este contexto, demorando la construccin de la sintaxis algebraica. Se encontr que las intervenciones de enseanza eran cruciales para ayudar a los nios a progresar desde el modelo a la construccin de nociones algebraicas.Tambin se encontr (Herscovics y Linchvski, 1991),que la instruccin individualizada, diseada especialmente para ayudar a los nios a superar la inhabilidad para operar sobre o con la incgnita especfica, puede llevar a los nios a adquirir la capacidad de agrupar trminos similares en una ecuacin. Sin embargo, se observ que las dificultades persisten cuando los alumnos tienen que operar con incgnitas de coeficiente unitario y, por tanto, no explcitamente sealado.Chalouh y Herscovics (1988) sealan otro aspecto que puede ser crucial a tomar en cuenta para ayudar a los nios a trabajar con la incgnita especfica, a saber: buscar en los antecedentes de los nios una base cognitiva sobre la cual construir el conocimiento nuevo. Estos investigadores disearon un experimento de enseanza cuyo objetivo era ayudar a que nios, sin experiencia previa en lgebra formal, lograran dar un significado de expresiones con una incgnita y una operacin, y a expresiones ms de una incgnita y ms de una operacin.Los resultados que obtuvieron muestran que los nios fueron capaces de pasar del uso de un signo para representar un espacio a llenar (place holder), al uso de smbolos literales; al uso de un smbolo literal para representar una cantidad desconocida. Pudieron tambin trabajar con expresiones algebraicas con varios trminos. Encontraron tambin que el hecho de indicar explcitamente el marco de referencia y pedir a los nios que respondieran en lgebra fue un elemento esencial que ayud a los nios a pasar de un contexto aritmtico a uno algebraico. Estos resultados indican que para los que se inician en el estudio del algebra puede ser crucial saber con claridad el contexto matemtico en el cual se espera que trabajen. Esto sugiere que algunos de los comportamientos errneos pueden ser consecuencia directa de no tener claro el contexto en el cual se espera que un problema sea resuelto.Pero tambin muestran que se han hecho grandes esfuerzos con el fin de encontrar acercamientos que puedan ayudar a los nios a superar las dificultades que tienen en relacin a las incgnitas especficas. Sin embargo, se requiere de ms trabajo para ayudar a los alumnos a que se apropien de la idea de la variable como incgnita especfica y que sean capaces de trabajar con esta caracterizacin de la variable para resolver problemas y resolver ecuaciones.A manera de resumen. Se puede percibir que el uso de las variables se pueden generalizar en tres grandes grupos; en el primer grupo se habla del comportamiento que tienen los alumnos al trabajar con las variables. Por ejemplo (Kchemann, 1980; Booth, 1984), menciona que los alumnos tienden a interpretarla de varios modos distintos dependiendo del problema: la ignoran; la interpretan como una incgnita especfico asignndole un valor especfico; la interpretan como un objeto. Sin embargo los estudios realizados en ambientes computacionales muestran que en estos ambientes y con ayuda, los alumnos pueden desarrollar la capacidad de interpretar la letra como nmero general. Thomas y Tall (1986). Dichos trabajos demuestran que acercamientos no tradicionales pueden ayudar a reducir las dificultades de los alumnos a trabajar con la idea de nmero general y su representacin simblica. Adems est tambin la sugerencia para que los alumnos construyan la idea de nmero general y desarrollen un significado para el smbolo usado para representarlo. En el segundo grupo se describen el uso de las letras, ya que, se maneja que las variables pueden ser usadas para expresar una relacin funcional entre dos cantidades cuyos valores pueden estar cambiando. Lo que caracteriza este uso de las variables es, por un lado, su movimiento dentro de ciertos rangos de valores (aspecto dinmico), y por el otro, el hecho de que el valor que se asigna a una de las variables afecta el valor de la otra variable (aspecto esttico). El aspecto dinmico es enfatizado cuando se considera una relacin funcional como una manera de expresar variacin. Aunque trabajar con la idea de cambio, no es fcil para los alumnos Kchermann (1980), menciona que slo algunos alumnos podan interpretar la letra como variable y considerar que los cambios en un conjunto de valores dependan de los cambios en otro conjunto de valores. Las maneras en que los nios representan situaciones que implican la idea de cambio sugieren que los procesos dinmicos son frecuentemente percibidos de manera esttica (Bernardz y Dufour-Janvier, 1991). Cuando trabajan con procesos dinmicos los alumnos parecen observar slo algunas caractersticas esenciales que pueden describirse de manera puntual. Tienen tambin dificultades para percibir el cambio cuando este es representado por medio de grficas u otros cdigos empleados en matemticas para ilustrar conceptos dinmicos. Hay una tendencia a interpretar estas representaciones de manera esttica. Dificultades para trabajar con la idea de cambio fueron observadas tanto en nios de 1 y 2 grado (Bednarz y Dufour-Janvier, 1991), como en los alumnos que empezaban el estudio del algebra elemental (Keid y Kunkie, 1988).Por ltimo el tercer grupo habla de la relacin funcin, donde las variables dependen de un intervalo, es decir, la variacin de x determina la variacin de y. Anteriormente ya se menciono que cuando una incgnita especfica aparece en ecuaciones con una estructura en las cuales se requiere hacer ms de un paso para resolverla, los alumno tienen serias dificultades para trabajar con ellas, Puesto que para resolverlas es necesario realizar primero ciertas operaciones numricas y/o operar con la incgnita. Esto implica la capacidad de percibir la ecuacin de manera global a fin de reordenar los trminos, antes de intentar calcular el valor de la incgnita especfica (Herscovics y Linchevski, 1991).Los alumnos tambin presentan dificultades para determinar el valor de la incgnita especfica cuando esta aparece en ambos lados del signo de igualdad (Kieran, 1984; Filloy y Rojano, 1984, 1989; Herscovics y Linchervski, 1991). Por ejemplo, Filloy y Rojano (1984,1989), encontraron que el paso de la resolucin de ecuaciones de la forma x+a=b a la resolucin de ecuaciones de la forma ax+b=cx+d, no es inmediato ni espontaneo. Para resolver este tipo de ecuaciones, es muy frecuente que los nios que inician el estudio del algebra usen el ensayo y error y asignen diferentes valores a las diferentes apariciones de la incgnita especfica en una misma expresin.Ideas bsicas para el ensayo de la matemtica escolar. Funcin. Una funcin tiene tres elementes, un conjunto llamado dominio, otro conjunto llamado codominio y una regla de correspondencia que asigna a cada uno de los elementos del dominio a un nico elemento del codominio. Es decir, una funcin es una terna formada por: un primer conjunto no vaco llamado el dominio de la funcin, un segundo conjunto llamado el contradominio (o codominio) de la funcin y una regla de correspondencia que tenga las siguientes propiedades: Por medio de esta regla de correspondencia a cualquier elemento del dominio de la funcin se le puede asociar un nico elemento del contradominio. Ningn elemento del dominio ha de quedarse sin su asociado en el contradominio. Ningn elemento del dominio puede tener ms de un asociado en el contradominio.Si denotamos a la regla de correspondencia de la funcin con una letra, por ejemplo f, denotaremos al dominio como Df , al rango como Rf y al elemento del contradominio que le asociamos a x como f(x) (se lee f de x), a esta variable f(x), que tambin solemos llamar y, la llamaremos variable dependienteLlamamos rango o imagen de una funcin al subconjunto del contradominio de la funcin constituido por los elementos que han sido asociados a algn elemento del dominio bajo la regla de correspondencia dada.Si el dominio y el contradominio son los nmeros reales diremos que la funcin es real, tambin se acostumbra decir que es una funcin real de variable real.Para las funciones reales de variable real definidas mediante una frmula sin ms especificaciones, sobreentenderemos que el dominio es el subconjunto de los nmeros reales para los cuales la frmula tiene sentido. A diario tenemos ejemplos de estas asignaciones: el mdico dosifica un antibitico que depende del peso del beb, nos cobran el pasaje con relacin a la distancia recorrida.Una funcin es una correspondencia entre dos magnitudes (numricas o no numricas). Ahora bien, cuando nos referimos a funciones, la correspondencia siempre hay que entenderla en una direccin determinada, por ejemplo, el espacio funcin del tiempo (el espacio sera la imagen y el tiempo el dominio). No obstante, hay que advertir que no se considera funcin a cualquier correspondencia, sino que para que una correspondencia sea funcin, la imagen de cada elemento tiene que ser nica y estar bien determinada. Por ejemplo, la relacin entre los ciudadanos y los pases del mundo mediante la nacionalidad no es una funcin, porque existen ciudadanos con doble nacionalidad. Pensemos en una relacin entre la estatura y los seres humanos; cuando colocamos a la estatura en el dominio y a los seres humanos en el contradominio no tenemos una funcin porque la misma altura le corresponde a ms de un ser humano, a cambio, cuando pensamos a los seres humanos como el dominio de la funcin y su contradominio a la altura entonces la correspondencia si es una funcin.Aunque el concepto de funcin nace del estudio de la relacin existente entre dos magnitudes que estn vinculadas por una relacin de causalidad (causa-efecto), y se establece la causa como variable independiente y el efecto como variable dependiente; sin embargo, en Matemticas se pueden establecer funciones entre dos magnitudes, aunque no exista ningn tipo de causalidad entre ellas. Es decir, se pueden establecer relaciones de manera artificial.La idea de funcin que se adquiere en los primeros contactos con el Clculo, tanto en la Enseanza Secundaria como en el Bachillerato, por lo comn, suele identificar el concepto de funcin con una frmula, en estos niveles se enfatiza la regla de correspondencia y se deja relegada las ideas del dominio, contradominio e imagen, por ejemplo y = x2 5x + 6, y se entiende que esta frmula asocia a cada nmero real x otro nmero real y. Basta sustituir x por un nmero concreto y hacer las operaciones indicadas, para obtener su imagen. Tambin se comprende que ciertas frmulas tales como g(x)=x 4, no estn definidas para todos los nmeros reales, y por tanto, que haya nmeros reales que no tengan imagen mediante dichas funciones, de ah el estudio de los dominios. Sin embargo, el alumno de Secundaria, e incluso el de Bachillerato, se suele resistir a comprender que haya funciones definidas a trozos, en partes, o segn los casos. Es decir, funciones en las que no todos los nmeros tienen el mismo tratamiento, sino que segn sea el nmero se le aplica una frmula u otra para calcular su imagen (Fernando Hitt 2003). Otra asociacin de ideas que tambin suele resultar perniciosa a la hora de generalizar el concepto de funcin es el identificar la funcin con su grfica. Tanto la frmula como la grfica son dos instrumentos que nos ayudan a comprender el concepto de funcin, pero no debemos identificar los instrumentos con el concepto mismo, ni sentirnos atrapados por los instrumentos a la hora de generalizar los conceptos. Fregoso dice que una grafica y una formula es lo mismo.Representacin de una funcin. La grfica de una funcin lineal es una lnea recta que pasa por el origen, es decir, donde b es distinta de cero en la expresin y=x + b; cuando la b es distinta de cero la funcin se llama afn; por costumbre la educacin bsica a cualquier grafica que sea una recta se le llama funcin lineal, conservaremos este nombre a menos que sea indispensable la distincin ente funcin lineal y funcin afn (http://www.vitutor.com/fun/2/c_4.html. fecha de consulta abril 2011).Existen diversas maneras de visualizar una funcin, las ms usuales son mediante las cuatro representaciones siguientes:1. Verbal mediante una descripcin con palabras.2. Numrica mediante una tabla de valores.3. Algebraica mediante una ecuacin.4. Visual mediante una grfica,un diagrama de flechas, una mquina.Plano cartesiano. En matemticas, el sistema de referencia se forma sobre un plano con dos rectas perpendiculares que se intersecan en un punto, que se denota con la letra O.

El punto O recibe el nombre de origen de coordenadas. Se escoge tambin una unidad de medida, con la que se marcan con signo positivo las distancias en las semirrectas desde el origen hacia arriba y hacia la derecha, y con signo negativo desde el origen hacia abajo y hacia la izquierda. El eje perpendicular se denomina eje de abscisas o eje de las x, mientras que el eje vertical se denomina eje de ordenadas o eje de las y. Este sistema de referencia se denomina sistema de ejes cartesianos o sistema cartesiano (de Cartesius, nombre latinalizado de Ren Descartes, filsofo y matemtico francs del siglo XVII). Con ello, todo el plano queda dividido en cuatro cuadrantes (I, II, III y IV), que se numeran en sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj.