Guillermo Coronado

Los pitagóricos:matemática e interpretación de la naturaleza *

Sigue, pues, tan viva en la ciencia moderna lafe en la existencia deun núcleo matemático sencillo en todas las leyes naturales, inclu-so en aquellas que todavía no penetramos, que la sencillez mate-mática se considera el supremo principio heurístico a que hay queceñirse al descubrir leyes naturales en todo campo abierto pornuevos experimentos.

Wemer Heisenberg, Los nuevos fundamentos de la ciencia'

Abstract. This essay deals with the pythago-rical tradition which takes mathematics as the key

for interpreting the physical nature. Then it dealswith the discovery of arithmetical and geometri-cal relationships, the crisis of incommensurablenumbers. Finally, it presents three instances ofthat pythagorical tradition in Westem thought.

Resumen. Este ensayo plantea la tradiciónpitagórica que hace de la matemática la clavepara la interpretación de la naturaleza física.Luego plantea el descubrimiento de relacionesaritméticas, geométricas, la crisis de los incon-mensurables. Finalmente, presenta tres instan-cias de esa influencia pitagórica en el pensa-miento occidental.

Como se desprende de cualquier exposiciónhistórico-doctrinal del pensamiento filosófico delos griegos, las temáticas tratadas por los pitagó-ricos son muy variadas: oposición entre lo limi-tado y lo ilimitado, el concepto de respiracióncósmica, los números como esencia de las cosas;la transmigración y preexistencia de las almas, la

purificación por medio del ascetismo, ciencia ymúsica, y el concepto de cosmos como orden uni-versal resultante de la armonia de contrarios o ma-temátíca/. En este ensayo interesa la cuestión delos números y su relación con la naturaleza de lascosas, esto es, la tercera y última de tales temáticas.

En consecuencia, una muy conocida cita deAristóteles puede ser el punto de partida:

Los así llamados pitagóricos, habiéndose aplicado a las mate-máticas, fueron los primeros en hacerlas progresar, y nutridosde ellas, creyeron que su principio fuera el de todas las cosas.Ya que los números por naturaleza, son los primeros en ellas(matemáticas), y les pareció observar en los números seme-janzas con los seres y con los fenómenos, mucho más que elfuego o en la tierra o en el agua (por ejemplo, tal determina-ción de los números les parecía que era la justicia; tal otra, elalma o la razón; aquella otra, la oportunidad, y, por así decir,análogamente toda otra cosa); y como también veían en losnúmeros las determinaciones y las proporciones de las armo-nías; y como, por otra parte, les parecía que toda la naturale-za por lo demás estaba hecha a imagen de los números y quelos números son los primeros en la naturaleza, supusieron quelos elementos de los números fuesen los elementos de todoslos seres, y que el universo entero fuese armonía y número. Ytodas las concordancias que podían demostrar en los númerosy en las armonías con las condiciones y las partes del univer-so y con su ordenación total, las recogieron y coordinaron.'

Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, XL (100), 13-21,2002

14 GUILLERMO CORONADO

Antes de continuar con el desarrollo, es ne-cesario recordar las dos actitudes ante la matemá-tica como claves de la interpretación de la natu-raleza más importantes en la historia del pensa-miento occidental

Por una parte, el enfoque más bien realista,uno de cuyos antecedentes es de corte pitagórico-platónico, pero que no siempre supone un plato-nismo del mundo de las ideas. Por la otra, unaperspectiva de sentido más nominalista, de sim-ple instrumento para formular el conocimientode dicha naturaleza, esto es, de las matemáticascomo el instrumento para expresar el conoci-miento de la realidad.

Para los efectos de este ensayo es importan-te destacar lo siguiente:

1- La matemática es clave de la realidad,puesto que ella posee una estructura de tal índo-le - la naturaleza es un libro escrito con signosmatemáticos y solamente quien sepa matemáti-cas podrá interpretarla, como en la tesis metodo-lógica planteada por Galileo en El ensayador (Ilsaggiattore ...):

La filosofía está escrita en ese grandísimo libro que tenemosabierto ante nuestros ojos, quiero decir, el universo, pero nose puede entender si antes no se aprende a entender la lengua,a conocer los caracteres en los que está escrito. Está escritoen lengua matemática y sus caracteres son triángulos, CÍrcu-los y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible en-tender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente enun oscuro laberinto."

2- La matemática es el lenguaje necesario pa-ra expresar las interpretaciones de la naturaleza,las cuales no necesariamente son correlatos unívo-cos de la misma, sino instrumentos aptos para elcálculo y la predicción instrumentalista que desdeClaudio Ptolomeo, pasando por Osiander y Bellar-mino, en el contexto astronómico, se proyecta has-ta ciertas interpretaciones de las propuestas deNiels Bohr, en el caso más específico de la físicacontemporánea. Todo ello en el mejor sentido dela tradición del "salvar los fenómenos".

Retornando al contexto pitagórico planteadopor la cita aristotélica, y para no caer en casi in-solubles problemas de manejo e interpretación defuentes doxográficas, en este trabajo se asume el

pitagorismo como un movimiento general, y sinhacer distinciones radicales como las propuestasen el pasado, sin resultados positivos, entre un pi-tagorismo inicial, propio de Pitágoras, uno medioen el siglo Y, o de Filolao, y otro cercano a laAcademia de Platón. Por ello, siguiendo a Aristó-teles, se hablará de los pitagóricos.

Números y armonías entre números. Núme-ros y formas geométricas. Números y armoníasen la naturaleza. Tres parejas conceptuales que sedeben ampliar, para desarrollar el enfoque propiode la concepción pitagórica de la naturaleza.

Primero: ¿qué se debe entender por número?En terminología moderna números enteros o re-laciones entre números enteros, fracciones; porsupuesto que no se asume la existencia del cero.En el contexto pitagórico: referencia a un ciertoarreglo espacial de unidades físicas o piedrecillas-guijarros-, lo que lleva a un cálculo.

Cuando a un número impar, o si te place más, a uno par, se leagrega una piedrecilla, o bien se le toma de las ya existentes,¿crees que ese número permanece siendo el rnismo'P

Con ello se tiene la relación entre números ygnómones, esto es columnas o agregados de uni-dades.

De manera más alegórica, Eurito, pitagóricodel siglo Y a.c., muy cercano a Filolao, conside-raba como estrategia válida la correlación de gui-jarros y entidades particulares, tales como hom-bre y caballo, según puede desprenderse de untexto aristotélico:

Nada se ha precisado sobre la manera en que los números sonlas causas de las sustancias y de la existencia - si 1) como lí-mites (a la manera en que las líneas lo son de las magnitudesespaciales); así fijaba Eurito el número de cualquier cosa (deun hombre o de un caballo por ejemplo) imitando las figurasde los seres vivos con guijarros, como los que reducen los nú-meros a las formas del triángulo y del cuadrado o 2) porquela armonía es una relación de números ..6

o bien como se comenta en el texto poste-riormente:

Supongamos en gracia al razonamiento, que la definición delhombre es el número 250 y el de la planta el 360. Hecho estesupuesto, solía tomar 250 guijarros, verdes, negros y rojos, enuna palabra, de todo tipo de colores. Untaba después la paredcon asbesto y dibujaba en claroscuro la figura de un hombre o

LOS PITAGÓRICOS 15

de una planta; fijaba los guijarros unos en el dibujo del rostro,otros en el de las manos y otros en las demás partes hasta com-pletar el dibujo de un hombre con un número de guijarrosigual al de las unidades que, según él, definían al hombre."

Práctica de Eurito que, según referencia deTeofrasto, el gran Arquitas reconocía. Pero quedejaremos de lado por ser demasiado artística opictórica, para dirigir la mirada a un enfoque mástípico, esto es, de figuras geométricas.

Por otro lado, y respondiendo al primer refe-rente de los tópicos pitagóricos, se tiene la rela-ción entre números y lo ilimitado-limitado: locual a su vez, tiene relación directa con el con-cepto pitagórico de números pares e impares.Una referencia de Filolao calza muy bien en estepunto. Se ofrece en dos traducciones distintas, yse la acompaña de una representación gráfica.

La naturaleza del mundo advino harm6nica a partir de ilimi-tados y limitantes, tanto el universo todo como lo que contie-ne. La naturaleza se constituye en este Mundo por coajuste deilimitado y limitado; y así están constituidos el Mundo ente-ro y todas las cosas que en el Mundo se hallan."

o00000000000000000000000000000000000

Si a partir de la mónada o unidad que apa-rece en el vértice del triángulo se tiende una lí-nea hasta la base del mismo, se puede ver, fá-cilmente, que pasará sin tocar otras mónadas enlos números pares, pero intersectará un factor opiedrecilla en el caso de los impares. En efecto,la línea corta, sin problemas, los arreglos deunidades correspondientes al 2, 4, 6 y 8 , perochocará con un guijarro en el caso del 3, 5 y 7.Se tiene, en consecuencia, la presencia de lo ili-mitado y lo limitado, que corresponde clara-mente con lo par e impar (artios y perissos). Yde nuevo tomando a Filolao como referente, es-ta oposición entre lo ilimitado y lo limitado esfundamental para la posibilidad de la cognosci-bilidad de lo real.

Si todas las cosas fuesen ilimitadas, no habría ni objeto conque comenzar a entender.?

o bien, en sentido positivo, los números per-miten el conocimiento de las cosas, para reiterarla tesis central del pitagorismo:

Ahora que, en realidad, todo lo cognoscible tiene número,que sin número no habría modo ni de entender ni de conocercosa alguna ... 10

Por supuesto, en el enfoque pitagórico los nú-meros pares e impares juegan un papel muy signi-ficativo, como se desprende de la siguiente cita:

Parece que ellos consideran elementos del número el par y elimpar, y de ellos, el primero ilimitado y el segundo limitado.El Uno participa de ambos, ya que es par e impar al mismotiempo, y el número proviene de la unidad.'!

Pero vuélvase a la pregunta original respec-to de los números. Su clarificación requiere otropar de conceptos fundamentales englobados en lasiguiente afirmación.

Al principio de la unidad, del ser idéntico e igual... lo llama-ron Uno ... En cambio, al principio de la diversidad y de la de-sigualdad, de todo lo que es divisible y mudable y se halla,ora en un estado, ora en otro, lo llamaron dualidad.'?

Ahora bien, de manera más específica, nú-meros son ciertos arreglos aritmético-geométri-cos que asumiendo como punto de partida la uni-dad o mónada, y la díada o dualidad, se inician enel número tres, resultante de la conjugación de launidad y la dualidad. En efecto, el primer núme-ro en sentido estricto sería el 3, número triangu-lar dada su composición a partir de dos factoresrepresentados por .:; a este lo seguiría el 4, quesería un número cuadrado pues su arreglo es uncuadrado resultante de dos factores o lados igua-les, ::. Por supuesto, se pueden complicar las es-tructuras y se tienen números oblongos o rectan-gulares, esto es, aquellos resultantes de factoresdesiguales, como en el caso del 6, 8, etc. Todosellos son arreglos de índole bidimensional. Pos-teriormente, números más complejos resultantesde tres factores nos darían los sólidos o tridimen-sionales, entre los que destacan los piramidales ylos cúbicos.

l6 GUILLERMO CORONADO

Para ser más precisos: los números en cues-tión son los enteros, o las fracciones de los mis-mos. En terminología matemática estos númerosson los racionales. Ahora bien, siempre debe te-nerse en cuenta que el cero está ausente de losplanteamientos pitagóricos dado que el pensa-miento griego no produjo dicho concepto. Pero¿cómo es posible que exista una tal pluralidad denúmeros, y no simplemente una mónada o uni-dad absoluta? La respuesta radica en la otra tesispitagórica, enumerada al inicio de este trabajo, larespiración cósmica del vacío. De la doxografíase puede citar:

Dicen también los pitagóricos que existe el vacío, y que es asíintroducido en el cielo por una respiración del pneuma infini-to, y que así el vacío permite distinguir las naturalezas de loscuerpos, por ser el vacío una separación y distinción de lascosas colocadas unas después de las otras, y afirman que es-to sucede antes que nada en los números ya que el vacío di-ferencia la naturaleza de ellos. 13

Respecto de los bidimensionales se tienenseries, que se conforman gracias al agregado denuevos gnómones o columnas-escuadras de uni-dades a números previos. Así, a partir del 3, elprimer número producido por la mónada y la día-da, tal como se estableció anteriormente, se pasaal 6, en virtud del procedimiento de agregar unanueva columna al triángulo representativo deltres, que es mayor en una unidad al lado mayorde aquél, esto es, a la dualidad. Tal 6 estaría cons-tituido por un triángulo cuyos componentes sonel uno, el dos y el tres. El siguiente número trian-gular es ellO, que se engendra al agregarse ungnomo n de cuatro unidades, es decir, mayor enuna unidad al lado mayor de la forma triangulardel seis. En virtud de este procedimiento cons-tructivo, que a su vez refleja cierta regularidad,es obvio que los siguientes números triangularesde la serie son el 15, el 21 y el 28, que surgen delagregado de columnas de cinco, seis y siete uni-dades respectivamente a los esquemas triangula-res antecedentes 14. Cuando se estudia esta seriede números los pitagóricos encontraron estas re-laciones o armonías dignas de total admiración.En particular, que cada número triangular sea elresultado de la suma de los n números enterosque conforman los n factores o gnómones corres-

pondientes. De manera moderna, tal relación oarmonía responde a la fórmula algebraica 1/2 n(n + 1).

Ahora bien, de la serie de los números trian-gulares los pitagóricos privilegiaron al que deno-minaron la tetractys y lo convirtieron en símbolono solamente de sus logros matemáticos, sino detoda su filosofía. Ello queda patente en la si-guiente cita de Aecio.

La verdadera naturaleza del número es 10. Todos los griegos ytodos los bárbaros cuentan por igual hasta LO y revierten des-pués a la unidad. Y afirman, de nuevo, [Pitágoras], que el po-der interno del número diez radica en el número cuatro, la té-trada y su razón es la siguiente: si se parte de la unidad y se leañaden los números sucesivos hasta cuatro, se forma el núme-ro diez; si se excede la tétrada, se excede también el diez. Si p.e., se toma la unidad y se añade el dos, después el tres y luegoel cuatro, completan el número diez. De manera que el núme-ro por su unidad radica en el número diez, pero en lo referentea su potencialidad en el número cuatro. Por esta razón solíaninvocar los pitagóricos a la tétrada como su juramento más so-lemne: "Por el que transmitió a nuestra generación la tetractys,que contiene la fuente y raíz de la naturaleza eterna.t'P

Como expresa el Estagirita, los pitagóricosdieron a algunos números un simbolismo de na-turaleza no matemática, por cuanto uno represen-taba la justicia, otro la oportunidad, el matrimo-nio, etc. Tales simbolismos no eran fundamenta-dos, sino simplemente resultados de analogíassuperficiales. Pero podían ir mucho más allá,aplicando estas analogías a problemas científicosmás generales. Un ejemplo es la correlación en-tre el número diez y los cuerpos celestes, que lle-vó a una propuesta cosmológico-astronómica in-teresante en sí, puesto que supera el geocentris-mo tan ligado a la percepción sensorial común,pero que se desvirtúa en virtud de la postulaciónde una anti-tierra que debe completar el conjuntode diez cuerpos celestes, para que lo fáctico con-cuerde con lo teórico postulado. 16

Por el contrario, y desde una perspectivapositiva, los pitagóricos hicieron el descubri-miento de las relaciones numéricas que se en-cuentran tras las notas musicales, relacionesque se expresan a partir de los primeros enterosde la serie. Relaciones o intervalos que a partirde la unidad se expresan mediante 3:4, 2:3 y1:2, correspondiendo a la cuarta, quinta y octava

LOS PITAGÓRICOS 17

respectivamente. Un texto de Filolao lo mani-fiesta adecuadamente:

La extensión (la de una octava, 1:2) de Armonía comprendela cuarta (3:4) y la quinta (2:3); la quinta es mayor en un to-no entero (8:9) que la cuarta, porque desde la cuerda ínfima(E, mi) hasta la cuerda media (A, la) va una cuarta, desde lacuerda media a la cuerda nueva (E, mi) una quinta, desde lanueva a la tercera (H, si) una cuarta, desde la cuerda tercera(H, si) hasta la ínfima una quinta. Entre la tercera (H, si) y lamedia (A, la) hay un tono entero. La cuarta tiene como razón3:4; la quinta, 2:3; la octava, 1:2./ Así que Armonía se cons-tituye de cinco tonos enteros y dos semitonos; la quinta, detres tonos enteros y un semitono; la cuarta, de dos tonos y unsemi tono. 17

Estas relaciones llevaron a los pitagóricos ainvestigar la medias proporcionales o progresio-nes, aunque bien pudo ser al contrario. Las dosprimeras, aritmética y geométrica son bastanteobvias. La tercera o la armónica se asocia con elpitagorismo de manera radical. Se le puede defi-nir, Porfirio, como aquella progresión en que trestérminos se relacionan de tal manera que "cual-quiera sea la parte de sí mismo con que el prime-ro excede al segundo, el segundo excede al terce-ro en la misma proporción del tercero."

Si se pasa a los números cuadrados, se tienela serie de los que son resultados de la multipli-cación de factores iguales, de ahí su forma cua-drada. Los miembros de la serie son el 4, 9, 16,25, 36, etc. Por una parte, como se definió antes,cada miembro de la serie es el producto de facto-res iguales, vgr., el 36 es igual a 6 por 6; por laotra, cada cuadrado de la serie es la suma de losimpares a partir de la unidad hasta tal número:así, el4 es la suma de 1 y 3; el 9la suma de 1,3,5, etc. En esta serie el cuadrado n-ésimo de unnúmero es la suma de los n-primeros númerosimpares. Considerada su construcción a partir decálculos, el cuadrado siguiente se construye agre-gando un gnomon equivalente a 2n + 1, que loenvuelve. O bien, de manera más general, se tie-ne que la suma de 1 + 3 + 5 + ...+ (Zn+ l ) = n alcuadrado. 18

A continuación se deben analizar los núme-ros oblongos, que geométricamente son rectan-gulares, producto de factores o lados desiguales,ya sea por una unidad o de otra forma, o bien arit-méticamente como la suma de cualquier número

de términos de la serie de los pares a partir de ladiada. En virtud de ello, se tiene que los oblon-gos estrictos son el 6, 12, 20, 30. En expresióngeneral responde a la relación n(n+ 1).

En este punto, cabe señalar que esos tres ti-pos de números también presentan relacionesentre sí y que ello provoca perplejidad y admi-ración. Es claro que un número oblongo es el re-sultado de la suma de dos números triangularesidénticos; la suma de dos triangulares, a saber,el 15, produce el 30, que es un oblongo resul-tante del producto de 5 por 6. Por su parte, si setienen dos números triangulares sucesivos, porejemplo, el 10 y el 15, se tiene el cuadrado 25.Finalmente, y como muestra de una relaciónmuy compleja se tiene que la suma de ocho nú-meros triangulares iguales más la unidad produ-ce un número cuadrado. Sea el triangular el 3, elcuadrado resultante es el 25, esto es ocho veces3 más uno.

No obstante, todo no resultó tan maravilloso.Ciertos descubrimientos conllevan una seria cri-sis en la propuesta pitagórica. La diagonal decuadrado y la altura del equilátero, entre las for-mas cuadriláteras, por una parte, la relación entreel radio y la circunferencia del círculo, por laotra, los enfrentaron con el hecho de que hay nú-meros irracionales (álogos). El hallazgo, que de-bía. permanecer secreto, de la raíz cuadrada deldos y del tres remite a dos magnitudes, que nopueden ser expresadas mediante un número ente-ro ni por una relación -fracción- de ellos. Igualsituación se presenta con el número pi. La arit-mética se enfrenta a una crisis radical, y por en-de el enfoque matemático-filosófico. Los núme-ros, pareciera desprenderse, no pueden ser elprincipio o clave de todas las cosas.

Revelar este terrible hallazgo, según la le-yenda pitagórica, llevó al castigo de Hipaso deMetaponto, quien muere en un naufragio por ac-ción de los dioses. Aunque bien pudieron sercompañeros de la fraternidad, defensores del se-creto de las enseñanzas filosófico-matemáticas,los causantes de su muerte. Empero, la leyendano siempre es precisa, y se apunta que fue el de-velar el descubrimiento del dodecaedro lo queprovocó tal castigo. Lo que importa es el signifi-cado del descubrimiento.

18 GUILLERMO CORONADO

La aritmética ciertamente entra en crisis, masno la totalidad del matematismo pitagórico, pues-to que la geometría sigue siendo capaz de expre-sar y relacionar dichos irracionales numéricos.Por ello, la geometría se fortalece e inicia su largahistoria como paradigma del pensamiento mate-mático y las filosofías inspiradas por él. La razónde este predominio se asienta en la posibilidad dedominar tales magnitudes irracionales, gracias aun enfoque geómetrico más radical. Ejemplo: ladiagonal del cuadrado, irracionalidad de la raíz dedos, gracias a un arreglo espaciogeométrico se veconvertida en lado de un cuadrado, doble del pri-mero que la generó, pero formado a partir de cua-tro triángulos, cada uno de ellos, a su vez, isósce-les y equivalentes a la mitad del cuadrado inicial.Evidencia de ello aparece posteriormente en losdiálogos platónicos Men6n y Timeo. Por su parte,la irracionalidad de la raíz de tres se domina me-diante la construcción de un equilátero que, aun-que más complejo que el originario que generó talirracionalidad o altura, gracias a la unión de dosescalenos de lado 1, 2 Y raíz de tres, que a su vezse colocan en relación armónico espacial a partirde un centro irradiador, resulta convertida en can-tidad racional. Ello también se muestra, con rego-cijo racional, en la construcción del cuerpo delmundo, en el Timeo de Platón.

Para terminar este ensayo es necesario desta-car, como dignos de consideración específica,tres grandes momentos del pitagorismo como en-foque matematizante de la naturaleza, correspon-dientes a la antigüedad clásica, fines del sigloXVI, y el siglo XX:

1- Platón y la cosmología de corte pitagóricadel Timeo. En efecto, siendo el Mundo un Animalviviente, debe estar conformado por un cuerpo yalma. La constitución del Alma corresponde a unarreglo armónico musical, que no es sino, un es-quema matemático (cf. Timeo, 35-36)19, y queunido al cuerpo produce la unidad de lo viviente.

...De esta manera nacieron, por una parte, el cuerpo visibledel Cielo, y por otra parte, invisible, pero partícipe del cálcu-lo y la armonía, el Alma, la más bella de las realidades pro-ducidas por el mejor de los seres inteligibles que existen eter-namente.

El Alma, pues, formada por la naturaleza de lo Mismo, de lanaturaleza de lo Otro y de la tercera substancia. Y, compues-ta de la mezcla de estas tres realidades, partida y unificadamatemáticamente, se mueve por sí misma en círculo, dandovueltas sobre sí misma. ( 36e-37a)

Por otra parte, el cuerpo del mundo tambiénresponde a una estructura matemática. En estecaso, los poliedros y los cuatro elementos de lascosas físicas, responden a una estructuración ma-temática. Pero por la naturaleza física de lo cor-póreo, la estructura no es simplemente resultadode la inteligencia, sino de la persuasión de la ne-cesidad por la inteligencia. La clave para tal per-suasión es la armonía matemática. Platón lo ex-presa claramente:

... Ahora bien, es necesario unir también a nuestras disertacio-nes lo que nace o es hecho por la acción de la necesidad. Enefecto, el nacimiento de este Mundo tuvo lugar por una mez-cla de esos dos órdenes, la necesidad y la inteligencia. Con to-do, la inteligencia ha dominado la necesidad, ya que ha con-seguido persuadirla de que orientara hacia lo mejor la mayo-ría de las cosas que son engendradas. Y así, por la acción dela necesidad, rendida a la fuerza persuasiva de la sabiduría, seha formado este Mundo desde los comienzos. (47e-48a)

Y, por lo que respecta a las relaciones numéricas que se ha-llan en su número, en sus movimientos y en sus demás pro-piedades, hay que considerar siempre que el Dios, en la me-dida en que el ser de la necesidad se dejó persuadir espontá-neamente, las ha realizado en todo de manera exacta, y así haarmonizado matemáticamente los elementos. (56c)2O

2- Johannes Kepler y el Misterio del Cos-mos, de 1596 es otro gran momento en la tradi-ción pitagórica. El problema enfrentado es el nú-mero de los planetas en el sistema copernicano, asaber seis, y no los tradicionales siete. La clavede la solución radica en los cinco poliedros regu-lares como resultado del quehacer de un Dioscreador-geómetra." Es decir, convergen la tradi-ción pitagórica y el cristianismo. Kepler lo hacemanifiesto cuando escribe:

Es mi intención, lector, demostrar en este pequeño libro queel Creador óptimo Máximo, al crear este mundo móvil y en ladisposición de los cielos se atuvo a los cinco cuerpos regula-res que han sido tan famosos desde los días de Pitágoras yPlatón hasta los nuestros y también que en la función de sunaturaleza ajustó su número, sus proporciones y la razón desus movimientos.

LOS PITAGÓRICOS

Tenemos orbes mediante el movimiento y cuerpos sólidosmediante número y magnitudes; nada falta sino sólo que di-gamos con Platón "Dios siempre geornetriza" y en esta fábri-ca de móviles inscribió a los cuerpos sólidos dentro de esfe-ras y a las esferas dentro de sólidos, hasta el punto de que nin-gún cuerpo sólido quedase sin vestir por dentro y por fueramediante orbes móviles.

3- Hacia la mitad del siglo XX, WernerHeisenberg reflexiona sobre los fundamentos dela mecánica cuán tic a, ciencia que él conformójunto con otros teóricos. El resultado de dichareflexión es el hallazgo de que la inspiraciónfundamental se puede retraer a las fuentes delpensamiento griego. En particular, la indaga-ción respecto de la naturaleza de la materiaplantea ecos pitagóricos. La ecuación funda-mental y las estructuras matemáticas dinámicas:ecuaciones diferenciales en lugar de poliedros oestructuras estáticas.

No obstante, si ha tomado de los filósofos antiguos la ideadel orden de la naturaleza que la matemática hace inteligi-ble, la ciencia moderna la desarrolla de un modo distinto y,a nuestro juicio, riguroso y válido para todos los tiempos.El campo de las estructuras matemáticas que se ofrecía ala ciencia antigua aún era relativamente restringido, estan-do constituido sobre todo por formas geométricas que seponían en relación con los fenómenos. La ciencia griegabuscaba, pues, leyes estáticas; el objeto de su estudio eranlas trayectorias inmutables que los astros recorren o bienlas formas de los átomos, eternos e indestructibles. Perolas leyes a que la indagación antigua llegó por este cami-no no resistieron la prueba de los métodos experimentalesmás refinados de siglos posteriores, y la ciencia de lostiempos modernos ha demostrado que, en el mundo realque nos rodea, lo permanente no son las formas geornétri-cas, sino las leyes dinámicas que determinan el origen yextinción del acontecer natural. A partir de Newton, las ar-monías de los pitagóricos, que todavía Kepler creía encon-trar en las órbitas de los astros, la busca la ciencia en la es-tructura matemática de la ley dinámica, en la ecuación quees fórmula de esta ley.

Este cambio de rumbo representa una realización conse-cuente del programa de los pitagóricos en cuanto que, conél, la infinita variedad del acontecer natural encuentra suimagen matemática fiel en las infinitas soluciones de unaecuación, como la ecuación diferencial de la mecánica deNewton.22

De manera más específica, Heisenberg hacereferencia a las ecuaciones de la mecánica cuán-tica. Pero lo crucial es la conexión con la tradi-

19

ción pitagórico-platónica, Y no se dispone de es-pacio para ampliar tal análisis en el contextocuántico.

Pero de cualquier manera, sí es claro la pre-sencia de esa intuición o descubrimiento funda-menal de los pitagóricos: la naturaleza se com-prende mediante su estructura matemática.

Notas

* El autor agradece la colaboración del ProfesorA. Zamora, del Instituto Tecnológico de CostaRica. El trabajo surge del seminario Problemasde la filosofía presocrática, Escuela de Filoso-fía de la Universidad de Costa Rica, segundo ci-clo del 2000. Este seminario fue una nuevaaventura en el pensamiento griego emprendidaconjuntamente con el Profesor Edgar Roy Ra-mírez.Heisenberg, Werner. Los nuevos fundamentos dela ciencia. Santiago de Chile: Editorial Sur y Nor-te, p. 62.Siguiendo de cerca la Historia de la Filosofía,volumen Primero, de Guillerrno Fraile, editadapor la Biblioteca de Autores Cristianos.Aristóteles. Metafísica, 1, 5, 985. Tomado deMondolfo, Rodolfo. El pensamiento antiguo. Vol1. Buenos Aires: Editorial Losada, 1964. Se citacomo PA.Galileo. El ensayador. Buenos Aires: Aguilar, 1981,p.63.Epicarrno, frag. 2. Mondolfo. PA.Tomado de Kirk y Raven. Losfilósofos Presocrá-ticos. Madrid: Gredos. 1970. Primera edición.(En inglés corresponde a 1957) Se cita como KR,y debe distinguirse de la segunda edición (inglés1983, español 1987), que se cita como KRS, da-dos los cambios significativos en el caso del pita-gorismo a cargo de Malcolm Schofield.KR. Fragmento 403.KRS, 424. Fr. l. II García Bacca, David. Los Pre-socráticos. México: FCE. 1984. Se cita comoPresoGarcía Bacca. PresoGarcía Bacca. PresoAristóteles, Metafísica, I, 5, 986. PA.Porfirio, Vita Pyth., 52. PA.Aristóteles. Física, IV, 6, 213. PA.Representación números triangulares, siguiendo aSarton: Historia de la Ciencia. Buenos Aires: Eu-deba, 1965, Vol. 1, pp. 252-3.

1.

2.

3.

4.

5.6.

7.8.

9.10.11.12.13.14.

20 GU~LERMOCORONADO

más 2 = 3más 3 = 6

más 4 = 10más 5 = 15

más 6 = 21más 7 = 28

15. Aecio I,3,8. [KR # 280]16. Los cuerpos celestes, se afirma, son el fuego cen-

tral, la tierra, la luna, el sol, venus, mercurio, mar-te, júpiter, satumo, y se agrega la antitierra paracompletar la década. Entre otros lugares, ver Delcielo, Il, 13 y Metafísica, I, 5. En esta última obradice: "Éstos coordinaban, reuniéndolas, todas lasconcordancias que podían mostrar en los númerosy en las armonías con las condiciones y las partesdel universo y con el orden completo de éste. Y sifaltaba algo, se ingeniaban en obtener que estuvie-se bien ensamblado todo su sistema. Por ejemplo,como les parecía que la década era cosa perfecta yque comprendía en sí toda la naturaleza de los nú-meros, afirman que también los cuerpos en movi-miento en el cielo son diez, y puesto que sólo nue-ve son visibles, añadieron como décimo, la anti-tierra". (PA)

17. García Bacca. Preso18. Representación números cuadrados (Sarton).

1más 3 = 4 (2 al cuadrado)

más 5 = 9 (3 al cuadrado)más 7 = 16 (4 al cuadrado)

más 9 = 25 (5 al cuadrado)más 11 = 36 (6 al cuadrado)

19. Se cita a partir de Platón. Timeo. Traducción delgriego, prólogo y notas por Francisco de P. Sama-rancho Buenos Aires: Aguilar Argentina. 1971.

20. Para un desarrollo de la estructura matemática delos cuatro elementos, véase mi estudio "Considera-ciones acerca de la teoría platónica de los cuatroelementos: su status epistemológico". Revista deFilosofía de la Universidad de Costa Rica. VolXXIII, #58, Dic 1985, 143-150.

21. Para un desarrollo más completo, véase mi "Ke-pler y el misterio del cosmos", aparecido en Re-vista de Filosofía de la Universidad de Costa Ri-ca, #81. Vol XXXIII, Dic 1995. 137-142. Losfragmentos citados se toman de dicho estudio; co-rresponden a las páginas 65 y 96 de El secreto deluniverso. Pero vale la pena citar una carta del añode 1599:

"Para Dios hay, en el mundo material entero, leyesmateriales, números y relaciones de especial exce-lencia y del mayor orden apropiado ... No intente-mos, pues, descubrir más del mundo inmaterial yceleste que lo que Dios nos ha revelado. Esas le-yes están dentro del ámbito de la comprensión hu-mana; Dios quiso que las reconociéramos al crear-nos según su propia imagen. de manera que pudié-ramos participar en sus mismos pensamientos.Porque ¿qué hay en la mente humana, aparte denúmeros y magnitudes? Es solamente esto lo quepodemos aprehender de manera adecuada; y si lapiedad nos permite decirlo así, nuestro entendi-miento es, en este aspecto, del mismo tipo que eldivino, por lo menos en la medida en que pode-mos captar algo de Él en nuestra vida mortal. So-lamente los tontos temen que hagamos al hombredivino al decir esto; porque los designios de Diosson impenetrables. pero no lo es su creación ma-terial". Kepler, Carta a Herwart van Hohenburg.

22. Heisenberg. Los nuevos fundamentos de la cien-cia. pp 59-61.

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Guillerrno Coronado C.filosofía@racsa.co.cr