1

1/16

Kontinurani signal x(t) i njegova Furijeova transfomacija u frekventnom domenu X(jw), se definišu kao

Ovo se označava i kao:

Na primjer:

Furijeova transformacija, X(jw), predstavlja frekventni sadržaj signala x(t).

ww

w

w

w

dejXtx

dtetxjX

tj

tj

)()(

)()(

21

)()( wjXtxF

wjatue

Fat

1

)(

Furijeova Transformacija

osobine i primjeri

2/16

Linearnost Furijeove transformacije

Furijeova transformacija je linearna funkcija od x(t)

Ovo slijedi direktno iz definicije Furijeove transformacije

(jer je operator integriranja linearan). Lako se može proširiti

na proizvoljan broj siganala.

Ako znamo Furijeovu transformacije jednostavnih signala,

možemo izračunati Furijeovu transformaciju složenih

signala koji su linearna kombinacija jednostavnih signala.

1 1

2 2

1 2 1 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

F

F

F

x t X j

x t X j

ax t bx t aX j bX j

w

w

w w

2

3/16

Furijeova transformacija

vremenski pomjerenog signala Furijeova transformacija vremenski pomjerenog signala je:

tj. jednaka je originalnoj Furijeovoj transformaciji koja je fazno

pomjerena za –wt0

Dokaz

Posmatrajmo jednačinu za Furijeovu transformaciju:

ovo je jednačina Furijeove transformacije, pa je e-jwt0X(jw)

0

0

12

( )10 2

12

( ) ( )

( ) ( )

( )

j t

j t t

j t j t

x t X j e d

x t t X j e d

e X j e d

w

w

w w

w w

w w

w w

)()}({ 0

0 wwjXettxF

tj

4/16

Furijeova transformacija

osobina simetrije

3

5/16

Furijeova transformacija

osobina simetrije

6/16

Furijeova transformacija

vremenskog skaliranja

4

7/16

Furijeova transformacija

vremenskog skaliranja

8/16

Furijeova transformacija

modulacije

5

9/16

Furijerova Transformacija izvoda

Diferenciranjem obje strane Furijerove transformacije po t:

Dobije se jwX(jw), tj.:

Ovo je veoma važno, jer se diferenciranje u vremenskom

domenu zamjenjuje množenjem sa jw u frekventnom

domenu.

Obične diferencijalne jednačine se u frekventnom domenu

mogu rješavati algebarskim operacijama.

)()(

ww jXjdt

tdx F

12

( )( ) j tdx t

j X j e ddt

w

w w w

10/16

Furijerova Transformacija

osnovnih funkcija

6

11/16

Furijerova Transformacija

osnovnih funkcija

12/16

Furijerova Transformacija

osnovnih funkcija

7

13/16

Furijerova Transformacija

osnovnih funkcija

14/16

Furijerova Transformacija

osnovnih funkcija

8

15/16

Primjer: pravougaoni impuls

𝑥 𝑡 = 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑇 𝑡 = 𝐴, 𝑡 ≤ 𝑇/2

&0, 𝑡 > 𝑇/2

𝐹 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑇 𝑡 = 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑇 𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡

+∞

−∞

𝑑𝑡

= 𝐴𝑒−𝑗𝜔𝑡

+𝑇/2

−𝑇/2

𝑑𝑡 =𝐴

−𝑗𝜔𝑒−𝑗𝜔𝑡

+𝑇/2−𝑇/2

=𝐴

−𝑗𝜔𝑒−𝑗𝜔

𝑇2 − 𝑒𝑗𝜔

𝑇2

=𝐴𝑇

𝜔∙𝑒𝑗𝜔

𝑇2 − 𝑒−𝑗𝜔

𝑇2

2𝑗𝑇2

= 𝐴𝑇 ∙sin 𝜔

𝜔= 𝐴𝑇 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝜔)

16/16

Zadatak za zadaću:

linearnost i vremensko pomjeranje Posmatrajmo signal (linearni zbir dva vremenski

pomjerena pravougaona impulsa

𝑥1 𝑡 = 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑇 𝑡 = 1, 𝑡 ≤ 1/2

&0, 𝑡 > 1/2

𝑥2 𝑡 = 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑇 𝑡 = 1, 𝑡 ≤ 3/2

&0, 𝑡 > 3/2

x1(t) je širine 1, x2(t) je širine 3, oba centrirana

oko nule (vidi slike).

Koristeći FT pravougaonog impulsa i osobine

linearnosti i vremenskog pomjeranja FT naći

Furijeovu transformaciju signala x(t) datog kao

)5.2()5.2(5.0)( 21 txtxtx

t

t

t

x1(t)

x2(t)

x (t)