lösungshinweise zu den Übungsaufgaben - kohlhammer · winnmaximierende ausbringungsentscheidung...
TRANSCRIPT
Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben
Inhalt Kapitel 2 ................................................................................................................. 2
Kapitel 3 ............................................................................................................... 11
Kapitel 4 ............................................................................................................... 25
Kapitel 5 ............................................................................................................... 34
2
Kapitel 2
Aufgabe 2.1: Mindestpreis
In einem Wettbewerbsmarkt sei die Nachfragefunktion mit 𝑄𝐷(𝑃) =12 − 𝑃 gegeben. Die Angebotsfunktion der Unternehmen sei 𝑄𝑆(𝑃) =2𝑃.
a) Stellen Sie die inverse Nachfrage- und Angebotsfunktion
graphisch dar und berechnen Sie die gleichgewichtige Markt-
allokation.
Im Gleichgewicht muss Nachfrage gleich Angebot sein:
𝑄𝐷(𝑃) = 𝑄𝑆(𝑃) ⟺ 12 − 𝑃 = 2𝑃 ⟺ 12 = 3𝑃
⟺ 𝑃∗ = 4 und 𝑄∗ = 8
⟺ Marktgleichgewicht im Punkt 𝐸
𝑃
𝑄
𝑃∗
𝑄∗
inverse Angebots-funktion 𝑄𝑆
𝐸
2 4 6 8 10 12
2
4
6
8
𝐸‘
𝐶 𝐴
𝐵
𝑃𝑚𝑖𝑛 ∆𝑄 = 6
inverse Nachfrage-funktion 𝑄𝐷
0
b) Berechnen Sie Konsumenten- und Produzentenrente sowie die
soziale Wohlfahrt im Gleichgewicht.
KR = ½ ∙ 8 ∙ (12 − 4) = 32 und PR = ½ ∙ 8 ∙ 4 = 16
Gesamtwohlfahrt = 𝑊 = KR + PR = 48
c) Die Regierung setzt einen Mindestpreis 𝑃𝑚𝑖𝑛 = 6, um die
Anbieter des Gutes besser zu stellen als in der Marktlösung. Wie
3
hoch ist das Überschussangebot? Stellen Sie die Situation gra-
phisch dar.
𝑄𝑆(𝑃𝑚𝑖𝑛) = 12 und 𝑄𝐷(𝑃𝑚𝑖𝑛) = 6 => Überschussangebot von 𝑄 = 6
⟺ neues Marktgleichgewicht im Punkt 𝐸′ (vgl. Abb.)
d) Welche Auswirkungen hat der Mindestpreis auf die Renten für
beide Marktseiten? Berechnen Sie wie in b) die Renten und die
soziale Wohlfahrt.
Konsumenten verlieren 𝐶 und 𝐴: ∆𝐾𝑅 = −𝐶 − 𝐴 < 0
Produzenten gewinnen 𝐶 und verlieren 𝐵: ∆𝑃𝑅 = 𝐶 − 𝐵 > 0
Wirkung auf die Gesamtwohlfahrt:
∆𝑊 = ∆𝐾𝑅 + ∆𝑃𝑅 = −𝐶 − 𝐴 + 𝐶 − 𝐵 = −𝐴 − 𝐵 < 0
Renten in der neuen Situation mit Mindestpreis:
𝐾𝑅′ = ½ ∙ 6 ∙ 6 = 18
𝑃𝑅′ = ½ ∙ 3 ∙ 6 + 3 ∙ 6 = 27 𝑊′ = 45
∆𝑊 = 𝑊′ − 𝑊 = 45 – 48 = −3
e) Was passiert, wenn die Regierung den Mindestpreis 𝑃𝑚𝑖𝑛 = 3
setzt?
Es passiert nichts, da der Mindestpreise nicht „bindet“, d.h. keine
Wirkung entfaltet. Käufer und Produzenten handeln ohne Mitwirken
des Staates zu einem höheren Marktpreis (vgl. Abb.).
Aufgabe 2.2: Elastizität
a) Bestimmen Sie für die Marktallokation aus Aufgabe 2.1a) die
Preiselastizität der Nachfrage und des Angebots. Interpretieren
Sie diese Werte.
Preiselastizität der Nachfrage: 𝐸𝑃𝐷 =
∆𝑄𝐷
𝑄𝐷
∆𝑃
𝑃
= ∆𝑄𝐷
∆𝑃
𝑃
𝑄𝐷
Hier:
𝑄𝐷(𝑃) = 12 − 𝑃 ⟹ ∆𝑄𝐷
∆𝑃= −1 ⟹ 𝐸𝑃
𝐷(𝑃 = 4, 𝑄 = 8) = −14
8= −
1
2
Interpretation: Eine 1%ige Preiserhöhung führt zu einer Nachfragere-
duktion um 0,5%. |𝐸𝑃𝐷 | < 1, also ist die Preiselastizität der Nachfrage
4
unelastisch: Die relative Mengenänderung ist kleiner als die
ursächliche relative Preisänderung.
Preiselastizität des Angebots: 𝐸𝑃𝑆 =
∆𝑄𝑆
𝑄𝑆
∆𝑃
𝑃
= ∆𝑄𝑆
∆𝑃
𝑃
𝑄𝑆
Hier: 𝑄𝑆(𝑃) = 2𝑃 ⟹∆𝑄𝑆
∆𝑃= 2 ⟹ 𝐸𝑃
𝑆(𝑃 = 4, 𝑄 = 8) = 24
8= 1
Interpretation: Eine 1%ige Preiserhöhung führt zu einer Angebotser-
höhung um 1%. |𝐸𝑃𝑆 | = 1, also ist die Preiselastizität des Angebots
einheitselastisch: Die relative Mengenänderung ist gleich der
ursächlichen relativen Preisänderung.
Der Vergleich der Beträge beider Elastizitäten zeigt, dass die
Nachfrage in geringerem Maße auf Preisänderungen reagiert als das
Angebot, also ist die Nachfrage unelastischer als das Angebot.
b) Wie müsste man die inverse Nachfragekurve drehen, damit die
Preiselastizität in einem beliebigen Punkt kleiner wird?
Im Uhrzeigersinn, die inverse Nachfrage 𝑄𝐷 wird steiler.
Aufgabe 2.3: Mengensteuer
a) Angenommen, in der Situation wie in Aufgabe 2.1a) führt der
Staat eine Mengensteuer 𝑡 = 2 ein, wobei die Angebotsseite die
Steuer an den Fiskus abführen muss. Berechnen Sie die neue
Marktallokation, die Zusatzlast der Besteuerung und das Steu-
ervolumen. Stellen Sie das Problem graphisch dar.
5
𝑃
𝑄
𝑃∗
𝑄(0)
𝑄𝑆(0)
𝐸
𝑄𝐷
2 4 6 8 10 12
2
4
6
8
𝐸𝐵
𝑄𝑆(𝑡)
𝑄(𝑡)
t
t
𝐸𝑁
𝑃𝐵(𝑡)
𝑃𝑁(𝑡)
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
0
Situation ohne Steuer:
Nachfrage: 𝑄𝐷(𝑃) = 12 − 𝑃
⟹ inverse Nachfrage: 𝑃(𝑄𝐷) = 12 − 𝑄𝐷 (In der Abb. mit 𝑄𝐷
bezeichnet)
Angebot: 𝑄𝑆(𝑃) = 2𝑃
⟹ inverses Angebot: 𝑃(𝑄𝑆) =1
2𝑄𝑆 (In der Abb. mit 𝑄𝑆(0) bezeich-
net)
Situation mit Steuer (vgl. Abb.):
Die Anbieter müssen die Steuer abführen und schlagen diese daher auf
ihren Nettopreis auf. Daher kommt es zu einer Verschiebung der
inversen Angebotskurve 𝑃(𝑄𝑆) =1
2𝑄𝑆 um 𝑡 = 2 nach oben zu
𝑃(𝑄𝑆) =1
2𝑄𝑆 + 2. Es ergibt sich somit die neue Angebotsfunktion
𝑄𝑆(𝑃𝐵) = 2𝑃𝐵 – 4.
Das neue Marktgleichgewicht liegt jetzt bei 𝐸𝐵 mit dem von den
Konsumenten zu zahlenden Bruttopreis 𝑃𝐵 > 𝑃∗. Zu diesem Preis
fragen die Konsumenten die Menge 𝑄(𝑡) < 𝑄(0) nach. Da die
Produzenten jedoch nicht 𝑃𝐵, sondern nur 𝑃𝑁 = 𝑃𝐵 − 𝑡, also den
Nettopreis ohne Steuern, erhalten, sind sie auch nur bereit, 𝑄(0) zu
verkaufen. Dadurch erhält man ein Nettopreis- und ein Bruttopreis-
gleichgewicht (𝐸𝐵 und 𝐸𝑁) bei der Menge 𝑄(𝑡).
6
Neues Marktgleichgewicht über Bruttopreis 𝑃𝐵:
𝑄𝐷(𝑃𝐵) = 𝑄𝑆(𝑃𝐵 − 𝑡) ⟺ 12 − 𝑃𝐵 = 2𝑃𝐵 − 4 = ⟺ 3𝑃𝐵 = 16
⟺ 𝑃𝐵 = 5,33 und 𝑄(𝑡) = 6,67
Steuervolumen: 𝑡𝑄(𝑡) = 2 ∙ 6,67 = 13,33 = 𝐴 + 𝐵
Zusatzlast: ½(𝑄(0) − 𝑄(𝑡)) ∙ 𝑡 = 1,33 = 𝐶 + 𝐷
Nettopreis: 𝑃𝑁 = 𝑃𝐵 − 𝑡 = 5,33 − 2 = 3,33
b) Welche der Marktseiten trägt mehr von der Steuerlast?
Begründung.
Da in Aufgabe 2.2 bereits gezeigt wurde, dass die Nachfrage
unelastischer als das Angebot ist, tragen die Konsumenten hier einen
größeren Anteil der Steuerlast. Es spielt keine Rolle, wer die Steuer
letztendlich an den Staat abgeben muss.
Ein Maß für die Verteilung der Steuerlast ist ∆𝑃𝐵
∆𝑡.
∆𝑃𝐵
∆𝑡=
1,33
2= 0,67 ⟺
2
3 der Steuer wird von den Konsumenten
getragen. 𝐾𝑅 = −𝐴 − 𝐶
1 −∆𝑃𝐵
∆𝑡= 1 −
1,33
2= 0,34 ⟺
1
3 der Steuer wird von den Produzen-
ten getragen. 𝑃𝑅 = −𝐵 − 𝐷
Die Wirkung auf die Gesamtwohlfahrt ist ∆𝑊 = −𝐶 − 𝐷. Als
Steuervolumen steht dem Staat 𝐴 + 𝐵 zur Verfügung steht.
Aufgabe 2.4: Güter
a) Nennen Sie drei Güterpaare, bei denen die Güter substitutiv
(komplementär) zueinander sind. Welches Vorzeichen hat die
Kreuzpreiselastizität der Nachfrage für diese Güterpaare?
Substitutive Güter: Butter und Margarine, Kalbfleisch und Rind-
fleisch, Theaterbesuch und Kinobesuch, Salzbrezeln und Salzstangen.
Komplementäre Güter: Benzin und Motoröl, Brief und Briefmarke,
Messer und Gabel, Hardware und Software, DVD-Player und DVD.
Die Kreuzpreiselastizität bei Substituten ist positiv (der Preis des
einen Gutes steigt, somit sinkt die Nachfrage nach diesem Gut und die
Nachfrage nach dem substitutiven Gut steigt).
7
Die Kreuzpreiselastizität bei komplementären Gütern ist negativ
(steigt der Preis des einen Gutes, geht die Nachfrage nach beiden
Gütern zurück).
b) Nennen Sie je drei unterschiedliche Güter, die relativ preiselas-
tisch bzw. preisunelastisch nachgefragt werden (Hinweis:
Beachten Sie den Zeithorizont Ihrer Analyse). Begründung.
Relativ unelastisch: lebensnotwendige Güter, z.B. Wasser, Brot,
lebensnotwendige Medizin. Verbrauchsgüter wie Benzin oder
Elektrizität in der kurzen Frist.
Relativ elastisch: Verbrauchsgüter wie Benzin und Elektrizität in der
langen Frist.
Aufgabe 2.5: Stromtarif
Jochen gilt als typischer Verbraucher von Elektrizität. Seine
Nachfrage nach Elektrizität wird durch die Gleichung 𝑄𝐷(𝑃) =3000 − 100𝑃 angegeben, wobei 𝑄𝐷 in Kilowattstunden (kWh) pro
Monat und 𝑃 in €Cent pro kWh gemessen wird.
a) Berechnen Sie Jochens Preiselastizität der Nachfrage in den
Punkten 𝑃 = 20 und 𝑃 = 25.
𝑃 = 20 ⟺ 𝑄𝐷(𝑃) = 1000 ∆𝑄𝐷
∆𝑃= −100
𝐸𝑃𝐷 =
∆𝑄𝐷
∆𝑃
𝑃
𝑄𝐷 = −100 ∙20
1000= −2
𝑃 = 25 ⟺ 𝑄𝐷(𝑃) = 500
𝐸𝑃𝐷 =
∆𝑄𝐷
∆𝑃
𝑃
𝑄𝐷= −100 ∙
25
500= −5
b) Wenn die Grenzkosten der Produktion gleich Null wären und der
Preis gegenwärtig bei 𝑃 = 20 festgesetzt ist, würden Sie dem
lokalen Stromversorgungsunternehmen empfehlen, den Preis
anzuheben oder zu senken?
𝐸𝑃𝐷 = −2 entspricht einer elastischen Nachfrage, somit sollte der
Preis nicht angehoben werden, da die relative Mengenänderung größer
sein wird als die ursächliche relative Preisänderung. Mit anderen
8
Worten: Der Erlös sinkt, wenn der Preis steigt. Der Preis sollte
stattdessen gesenkt werden, denn dann steigt der Erlös.
Hinweis: Man kann zeigen, dass im Monopol Erlösmaximierung (=
Gewinnmaximierung, wenn 𝐺𝐾 = 0 und keine fixen Kosten)
äquivalent ist zu einer Marktallokation mit 𝐸𝑃𝐷 = −1.
c) Angenommen, der lokale Stromversorger stellt für große
Mengen an monatlich verbrauchten kWh einen höheren Preis in
Rechnung, um so den Verbrauch einzuschränken und den Um-
weltschutz zu fördern. Darüber hinaus sei angenommen, für die
ersten 500 im Monat konsumierten kWh gilt 𝑃 = 10 und für alle
verbleibenden nachgefragten kWh gilt 𝑃 = 20. Wie hoch wäre
Jochens Konsumentenrente? Illustrieren Sie dies.
𝑃 𝑖𝑛 €𝐶𝑒𝑛𝑡
𝑄 𝑖𝑛 𝑇𝑘𝑊ℎ
𝑄𝐷
𝑄𝑆
0,5 1 1,5 2 2,5 3
5
10
15
20
30
25
0
𝐾𝑅 = ½ ∙ 1000 ∙ 10 + 500 ∙ 10 = 10.000€𝐶𝑒𝑛𝑡 = 100€ Vgl. grau markierte Fläche in der Abb.
Aufgabe 2.6: Benzinsteuer
In den USA wird die Einführung einer zusätzlichen Benzinsteuer
diskutiert. Im Folgenden wollen wir untersuchen, wie eine Steuer von
$0,50 pro Gallone den Preis und den Konsum von Benzin in den USA
9
beeinflussen würde. Gehen Sie von einem Gesamtverbrauch an Benzin
in den USA von 134 Mrd. Gallonen pro Jahr aus. Der Preis vor der
Einführung der Steuer sei $3,60 pro Gallone. Gehen Sie von einer
mittelfristigen Elastizität der Benzinnachfrage von −0,5 aus. Die
mittelfristige Elastizität des Benzinangebots sei 0,4.
a) Bestimmen Sie aus den Angaben die lineare Nachfragekurve und
die lineare Angebotskurve.
𝑄𝐷 = 𝑎 − 𝑏𝑃, 𝑄𝑆 = 𝑐 + 𝑑𝑃
𝐸𝑃𝐷 =
∆𝑄𝐷
∆𝑃
𝑃
𝑄𝐷 = −𝑏𝑃
𝑄 ⟺ −0,5 = −𝑏
3,6
134
⟺ 𝑏 = 18,61 𝑀𝑟𝑑. 𝐺𝑎𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑛
𝐸𝑃𝑆 =
∆𝑄𝑆
∆𝑃
𝑃
𝑄𝑆= 𝑑
𝑃
𝑄 ⟺ 0,4 = 𝑑
3,6
134
⟺ 𝑑 = 14,89 𝑀𝑟𝑑. 𝐺𝑎𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑛
Daraus folgt:
𝑄𝐷 = 𝑎 − 18,61𝑃 ⟺ 134 = 𝑎 − 18,61 ∙ 3,6 ⟺ 𝑎 = 201 𝑀𝑟𝑑. 𝐺𝑎𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑛
𝑄𝑆 = 𝑐 + 14,89𝑃 ⟺ 134 = 𝑐 + 14,89 ∙ 3,6 ⟺ 𝑐 = 80,39 𝑀𝑟𝑑. 𝐺𝑎𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑛
Lineare Angebots- und Nachfragekurven:
𝑄𝐷(𝑃) = 201 − 18,61𝑃 𝑄𝑆(𝑃) = 80,39 + 14,89𝑃
b) Bestimmen Sie Brutto- und Nettopreis nach Einführung der
Benzinsteuer in Höhe von $0,50. Wie viel Prozent der Steuer
zahlen die Nachfrager, wie viel Prozent zahlen die Anbieter?
𝑄𝐷 = 201 − 18,61𝑃𝐵 𝑄𝑆 = 80,39 + 14,89𝑃𝑁
𝑃𝐵 = 𝑃𝑁 + 0,50
Neues Marktgleichgewicht über Nettopreis 𝑃𝑁:
201 − 18,61(𝑃𝑁 + 0,50) = 80,39 + 14,89𝑃𝑁 ⟺ 𝑃𝑁 = 3,32 und 𝑃𝐵 = 3,82
10
Konsumenten tragen 𝑃𝐵 − 𝑃∗ = 3,82 − 3,6 = $0,22
Produzenten tragen 𝑃∗ − 𝑃𝑁 = 3,6 − 3,32 = $0,28
Analog: ∆𝑃𝐵
∆𝑡=
0,22
0,5= 0,44 ⟺ 44% der Steuer wird von den
Konsumenten getragen. 56% der Steuer wird von den Anbietern
getragen.
c) Wie hoch sind das jährliche Steuervolumen und die jährliche
Zusatzlast der Besteuerung? Stellen Sie das Problem graphisch
dar.
Das Steuervolumen ist 𝑇 = 𝑄(𝑡)𝑡 = 130 ∙ 0,5 = 65 𝑀𝑟𝑑. $
Die Zusatzlast ist 𝑍 = 𝑡𝑄(0)−𝑄(𝑡)
2= 0,5 ∙
134−130
2= 1 𝑀𝑟𝑑. $
𝑃
𝑄 𝑖𝑛 𝑀𝑟𝑑. 𝐺𝑎𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑛
𝑃∗
𝑄(0)
𝑄𝑆(0)
𝐸
𝑄𝐷
20
1
2
3
4 𝐸𝐵
𝑄𝑆(𝑡)
𝑄(𝑡)
t
𝐸𝑁
𝑃𝐵(𝑡)
𝑃𝑁(𝑡)
0 40 60 80 100 120 140 160
3,32 3,60 3,82
134 130
11
Kapitel 3 Aufgabe 3.1: Monopol
Aus der Süddeutschen Zeitung vom 28. Juni 2004: Das Bundeskartellamt ist nach Darstellung seines Präsidenten Ulf Böge einem
Geflecht von bundesweiten und regionalen Preisabsprachen im deutschen
Papiergroßhandel auf die Spur gekommen, durch die den Endverbrauchern ein
Schaden von mehreren Millionen Euro entstanden sei. Bis auf ganz wenige
Ausnahmen seien alle namhaften Firmen der Branche unter den Kartellteilnehmern
zu finden, deren Namen der Behördenchef aber noch nicht preisgeben wollte. Böge
gab jedoch zu verstehen, dass nach Abschluss der noch laufenden Ermittlungen mit
Bußgeldern in zweistelliger Millionenhöhe zu rechnen ist.
Erläutern Sie, warum das Vorgehen der Kartellbehörde aus gesamt-
wirtschaftlicher Sicht gerechtfertigt und wünschenswert ist. Gehen Sie
dazu in folgenden Schritten vor:
a) Gehen Sie davon aus, dass die Kartellbildung der beteiligten
Unternehmen mit dem Ziel erfolgte, am Markt Monopolpreise
durchzusetzen. Erläutern Sie und zeigen Sie grafisch die ge-
winnmaximierende Ausbringungsentscheidung im Monopol
(Ermittlung des Cournotschen Punktes). Machen Sie klar, wa-
rum der Cournotsche Punkt tatsächlich ein Gewinnmaximum
charakterisiert!
12
Allgemein ist das Maximum des Firmengewinns durch die
Übereinstimmung von Grenzerlösen und Grenzkosten charakterisiert.
Übersteigen nämlich die Grenzerlöse die Grenzkosten, so kann durch
die Ausweitung der Angebotsmenge der Unternehmensgewinn
gesteigert werden (die nächste ausgebrachte Einheit Output
erwirtschaftet einen positiven Grenzgewinn). Liegen die Grenzerlöse
hingegen unter den Grenzkosten, so erwirtschaftet die nächste Einheit
Output einen Grenzverlust und sollte daher nicht produziert werden.
Im Falle eines Monopolunternehmens entfällt die gesamte
Marktnachfrage auf lediglich einen Anbieter. Der sieht sich deshalb
nun mit einer fallenden Grenzerlösfunktion konfrontiert. Für den Fall
einer linearen Preisabsatzfunktion 𝑃(𝑄) = 𝑎 − 𝑏𝑄, 𝑎, 𝑏 > 0 zeigt man
leicht, dass die Grenzerlösfunktion, vom selben Achsenabschnitt
kommend, mit negativer und genau doppelter Steigung wie die
Preisabsatzfunktion verläuft, denn:
𝑅(𝑄) = (𝑎 − 𝑏𝑄)𝑄 ⇒ 𝑅′ = 𝑎 − 2𝑏𝑄,
wobei 𝑅 der Erlös und 𝑅‘ der Grenzerlös ist.
Grafisch erhält man:
�
2
�
ℎ
�
� �
13
Die Monopollösung lässt sich ablesen aus dem Cournotschen Punkt,
also dem Schnittpunkt der Grenzerlös- mit der Grenzkostenfunktion.
Lotet man senkrecht nach unten, so erhält man die gewinnmaximale
Absatzmenge 𝑄𝑀, die sogenannte Monopolmenge. Lotet man
senkrecht nach oben und dann nach links, so kann man aus der
Preisabsatzfunktion den zugehörigen Monopolpreis 𝑃𝑀 ablesen.
Jede abweichende Menge kann kein Gewinnmaximum sein. Betrach-
ten wir beispielsweise die geringere Menge 𝑄1 < 𝑄𝑀. Wie man der
folgenden Grafik entnehmen kann, kann der Unternehmensgewinn
gesteigert werden, wenn die Ausbringungsmenge, ausgehend von 𝑄1
sukzessive bis zu 𝑄𝑀 erhöht wird, denn im Bereich dieser Outputein-
heiten übersteigen die Grenzerlöse offenbar die Grenzkosten.
�
2
�
1
�
� � �1
Steigert die Firma zunächst ihren Output von Null auf die Menge 𝑄1,
so kann sie einen Gewinnzuwachs in Höhe der Fläche A realisieren,
der sich einfach aus der Fläche unterhalb der Grenzerlösfunktion und
oberhalb der Grenzkostenfunktion ablesen lässt (die Fläche unter der
Grenzerlösfunktion misst die Erlösänderung, die Fläche unter der
Grenzkostenfunktion misst die Kostenänderung). Demzufolge lässt
sich eine weitere Gewinnzunahme, gemessen duch die Fläche B,
14
erzielen, wenn die Outputmenge von 𝑄1 auf 𝑄𝑀 gesteigert wird. Eine
Ausweitung der Produktion über die Monopolmenge hinaus ist
natürlich nicht sinnvoll, da dann die Kosten der nächsten produzierten
Einheiten Output die erzielten Erlöse übersteigen.
b) Erläutern Sie nun die Preisbildung bei vollkommener Konkur-
renz. Nach welcher Regel trifft ein gewinnmaximierendes
Unternehmen im Wettbewerbsmarkt seine Ausbringungsent-
scheidung? Machen Sie sich klar und erläutern Sie, was man
unter Preisnehmerverhalten versteht.
Vollkommene Konkurrenz ist nur bei atomistischer Marktstruktur
möglich, d.h. im Markt befinden sich viele, sehr kleine Anbieter, die
allesamt über keine messbaren Marktanteile verfügen. Unter diesen
Bedingungen kann die einzelne Firma mit ihrer Ausbringungsent-
scheidung den Marktpreis nicht beeinflussen. Der Preis ist aus Sicht
der einzelnen Unternehmung ein gegebenes, unverrückbares Datum,
an den sie sich durch optimale Wahl ihrer Ausbringungsmenge
anpasst. Man spricht davon, dass die Unternehmen sich als Preisneh-
mer und Mengenanpasser verhalten. Auch bei vollkommener
Konkurrenz ist die gewinnmaximale Ausbringungsmenge durch die
Übereinstimmung von Grenzerlösen und Grenzkosten charakterisiert.
Allerdings ist nun der Grenzerlös identisch zum Marktpreis und damit
auch eine exogen gegebene Größe, den das einzelne Unternehmen,
anders als ein Monopolist, nicht beeinflussen kann. Deshalb konkreti-
siert sich die allgemeine Gewinnmaximierungsregel „Grenzerlös =
Grenzkosten“ zu der Forderung, dass die Grenzkosten der Produktion
mit dem herrschenden Marktpreis übereinstimmen müssen. Formal
muss also für ein Gewinnmaximum die Forderung 𝑝 = 𝐺𝐾(𝑞) erfüllt
sein. Grafisch ergibt sich die gewinnmaximale Ausbringungsmenge
des Unternehmens bei vollkommener Konkurrenz also aus dem
Schnittpunkt der steigenden, kurzfristigen Grenzkostenfunktion mit
dem horizontal verlaufenden, gegebenen Marktpreis:
15
∗
Ausgehend von der Menge q können durch Steigerung der Ausbrin-
gungsmenge zusätzliche positive Grenzgewinne erwirtschaftet
werden, da bis zur Menge 𝑞∗ der Grenzerlös die Grenzkosten der
Produktion übersteigt.
c) Ermitteln Sie grafisch den gesamtwirtschaftlichen Wohlfahrts-
verlust, der sich aus einer Monopolstellung (im Vergleich zu
vollständiger Konkurrenz) ergibt.
16
�
� � �
Im Monopol reduziert sich die Konsumentenrente von dem Dreieck
𝑎𝐺𝑝𝑊 im Wettbewerbsmarkt auf das kleinere Dreieck 𝑎𝑀𝑝𝑀. Der
Verlust an Konsumentenrente aus der Monopolstellung beträgt also
∆𝐾𝑅 = −𝐴 − 𝐵. Die Fläche B geht verloren, da nun Nachfrager mit
geringerer Zahlungsbereitschaft das Gut im Monopol nicht mehr
erwerben können. Diejenigen Konsumenten, deren marginale
Zahlungsbereitschaft hinreichend hoch ist müssen nun den höheren
Monopolpreis zahlen und verlieren daher Wohlfahrt in Höhe der
Fläche 𝐴. Entsprechend gewinnt der Monopolist Produzentenrente in
Höhe der Fläche A hinzu: Er kann nun für jede Outputeinheit bis zur
Monopolmenge 𝑄𝑀 den höheren Monopolpreis verlangen. Um dies
tun zu können, muss er jedoch die Ausbringungsmenge reduzieren. Da
die Monopolmenge unterhalb der Wettbewerbsmenge liegt, geht dem
Produzenten – im Vergleich zur Produzentenrente im Wettbewerbsfall
– Produzentenrente in Höhe der Fläche C verloren. Insgesamt gilt
also: ∆𝑃𝑅 = +𝐴 − 𝐶 > 0, denn die Fläche A ist ganz offensichtlich
größer als die Fläche C. Wie zu erwarten gewinnt also der Produzent
aus der Monopolstellung.
17
Insgesamt entsteht ein Verlust an gesellschaftlicher Wohlfahrt aus der
Monopolstellung der gemessen werden kann als die Summe aus
Änderung der Produzentenrente und Änderung der Konsumentenren-
te. Es ist: ∆𝑆𝑊 = ∆𝐾𝑅 + ∆𝑃𝑅 = −𝐴 − 𝐵 + 𝐴 − 𝐶 = −𝐵 − 𝐶 < 0.
Die Ursache für den Verlust sozialer Wohlfahrt ist das im Monopolfall
kleinere Transaktionsvolumen im Marktgleichgewicht. Im Monopol
werden Tauschakte nicht realisiert, die unter Wohlfahrtsgesichtspunk-
ten eigentlich stattfinden sollten.
d) Zeigen Sie, dass ein gewinnmaximierender Monopolist einen
Preisaufschlag über die Grenzkosten gemäß der Regel
𝑃−𝐺𝐾
𝐺𝐾= −
1
𝐸𝑃𝐷
erhebt. Dabei bezeichnet 𝑃 den Preis, 𝐺𝐾 die Grenzkosten und
𝐸𝑃𝐷 die Preiselastizität der Nachfrage. Interpretieren Sie diese
Bedingung.
Die Gewinnfunktion des Monopolisten lautet:
𝜋𝑀 = 𝑃(𝑄)𝑄 − 𝐶(𝑄)
Wir betrachten die notwendige Bedingung für ein Maximum des
Gewinns:
𝑑𝜋𝑀
𝑑𝑄=
𝑑𝑃(𝑄)
𝑑𝑄𝑄 + 𝑃(𝑄) −
𝑑𝐶(𝑄)
𝑑𝑄= 0
Umformen liefert:
𝑃(𝑄) −𝑑𝐶(𝑄)
𝑑𝑄= −
𝑑𝑃(𝑄)
𝑑𝑄𝑄
Durch Division mit 𝑃(𝑄) erhalten wir:
𝑃(𝑄)−𝑑𝐶(𝑄)
𝑑𝑄
𝑃(𝑄)= −
𝑑𝑃(𝑄)
𝑑𝑄
𝑄
𝑃(𝑄)
Da 𝑑𝐶(𝑄)
𝑑𝑄≡ 𝑀𝐶 und
𝑑𝑃(𝑄)
𝑑𝑄
𝑄
𝑃(𝑄)≡
1
𝐸𝑃𝐷 ergibt sich schließlich:
18
𝑃(𝑄)−𝑀𝐶(𝑄)
𝑃(𝑄)= −
1
𝐸𝑃𝐷
Der Preisaufschlag des Monopolisten über seine Grenzkosten verhält
sich also umgekehrt proportional zur Preiselastizität der Nachfrage.
Bei unelastischer Nachfrage ist der Preisaufschlag hoch, bei relativ
elastischer Nachfrage geringer. Das ist intuitiv plausibel: Ist die
Nachfrage elastisch, weichen die Nachfrager der Preiserhöhung des
Monopolisten aus (z.B. weil Substitute existieren). Bei unelastischer
Nachfrage können die Nachfrager der Preisforderung des Monopolis-
ten nicht oder kaum ausweichen.
Aufgabe 3.2: Duopol
Die inverse Gesamtnachfrage in einem Markt für ein homogenes Gut
sei gegeben durch die Funktion
𝑃(𝑄) = 16 − 𝑄.
Dabei bezeichnet 𝑄 die Gesamtausbringungsmenge. Im Markt
befinden sich zwei Firmen, die zu identischen Kosten produzieren. Die
Kostenfunktionen seien der Einfachheit halber als linear angenom-
men:
𝐶𝑖(𝑞𝑖) = 𝑐𝑞𝑖 , 𝑖 = 1,2,
wobei gelten soll, dass 𝑐 = 1.
a) Nehmen sie an, dass beide Unternehmen versuchen, ihren
Gewinn durch die geeignete Wahl der Ausbringungsmenge zu
maximieren. Berechnen Sie das Gleichgewicht in diesem duopo-
listischen Markt (ermitteln Sie die gleichgewichtigen Aus-
bringungsmengen der beiden Anbieter sowie den gleich-
gewichtigen Marktpreis). Gehen Sie davon aus, dass die
Unternehmen ihre Entscheidungen simultan treffen. Erläutern
Sie, was man unter einer Reaktionsfunktion versteht und zeich-
nen Sie die Reaktionsfunktionen für die beiden Firmen.
Erläutern Sie, warum das Gleichgewicht durch den Schnittpunkt
der beiden Reaktionsfunktionen charakterisiert wird.
19
Die Gewinnfunktion der Firma 1 lautet:
𝜋1 = (16 − (𝑞1 + 𝑞2))𝑞1 − 𝑞1 (1)
Partielles Differenzieren von (1) bzgl. 𝑞1 liefert:
𝜕𝜋1
𝜕𝑞1= 16 − 2𝑞1 − 𝑞2 − 1 (2)
Die notwendige Bedingung für ein Gewinnmaximum lautet:
15 − 2𝑞1 − 𝑞2 = 0 ⟺ (3)
𝑞1 =15
2−
1
2𝑞2 (4)
Analog ermittelt man für Firma 2:
𝜋2 = (16 − (𝑞1 + 𝑞2))𝑞2 − 𝑞2 (5)
𝜕𝜋2
𝜕𝑞2= 16 − 2𝑞2 − 𝑞1 − 1 (6)
15 − 2𝑞2 − 𝑞1 = 0 ⟺ (7)
𝑞2 =15
2−
1
2𝑞1 (8)
Einsetzen von (8) in (4) liefert:
𝑞1 =15
2−
1
2(15
2−
1
2𝑞1) ⟺ (9)
3
4𝑞1 =
30
4−
15
4⟺
𝑞1∗ = 5 (10)
Einsetzen von (10) in (8):
𝑞2∗ =
15
2−
1
25 = 5 (11)
Damit ergibt sich der Preis als:
20
𝑃(𝑄∗) = 16 − 10 = 6 (12)
Die Reaktionsfunktionen sind durch (4) und (8) gegeben. Sie geben
die optimale Ausbringungsmenge für jede denkbare Ausbringungs-
menge der jeweils anderen Firma an. Grafisch ergibt sich im
vorliegenden Beispiel:
𝑞2
5 15
2
10 15
5
15
2
10
15
0 𝑞1
𝑞2(𝑞1)
𝑞1(𝑞2)
Ein Gleichgewicht liegt in ökonomischen Zusammenhängen regelmäßig dann vor, wenn keiner der beteiligten Akteure einen Anreiz hat, von seinen gewählten Entscheidungen abzuweichen. Im vorliegenden Duopolmarkt ist dies dann der Fall, wenn beide Firmen ihren Gewinn maximieren. Die Gewinnmaxima für Firma 1 (2) liegen auf der Reaktionsfunktion der Firma 1 (2). Ein simultanes Gewinnma-ximum beider Firmen muss somit auf beiden Reaktionsfunktionen liegen. Der einzige Punkt, der diese Forderung erfüllt, ist natürlich der Schnittpunkt beider Reaktionsfunktionen.
b) Erläutern Sie die Besonderheit der Entscheidungssituation im
Duopol. Was sind die wesentlichen Unterschiede zu der Ent-
scheidungssituation, der sich ein Unternehmen bei voll-
21
kommener Konkurrenz einerseits, im Monopol andererseits ge-
genüber sieht? Die Entscheidungen beider Firmen im Duopol sind wechselseitig voneinander abhängig. Die optimale Ausbringungsentscheidung für Firma 1 (2) hängt davon ab, wie sich Firma 2 (1) entscheidet. Man spricht von strategischer Interaktion beider Firmen. Im Gegensatz dazu findet zwischen Firmen in Märkten vollkommener Konkurrenz keinerlei strategische Interaktion statt. Vielmehr passen sich die Unternehmen alle an denselben, exogen gegebenen Marktpreis an, den sie aufgrund ihrer nicht signifikanten Marktanteile nicht beeinflussen können. Unternehmen in vollkommener Konkurrenz verhalten sich als sogenannte Preisnehmer. Unternehmen in duopolistischen Märkten hingegen üben durch ihre Ausbringungsentscheidung einen Einfluss auf den sich bildenden Marktpreis aus – genau dadurch entsteht die strategische Interdependenz. Im Monopol gibt es ohnehin keinerlei Interaktion, da der Markt definitionsgemäß nur durch einen Anbieter bedient wird. c) Berechnen Sie die gewinnmaximale Preis-Mengen-Kombination
eines monopolistischen Anbieters, der sich der oben angegebe-
nen Marktnachfrage gegenüber sieht. Welcher Preis würde sich
bei vollkommener Konkurrenz einstellen? Vergleichen Sie Ihre
Lösungen für den Monopolfall und den Fall vollkommener Kon-
kurrenz mit dem oben berechneten Gleichgewicht im Duopol. Die Gewinnfunktion des Monopolisten lautet: 𝜋𝑀 = (16 − 𝑄)𝑄 − 𝑄 (13) Partielles Differenzieren bzgl. 𝑄 liefert:
22
𝜕𝜋𝑀
𝜕𝑄= 16 − 2𝑄 − 1 (14)
Die notwendige Bedingung für ein Gewinnmaximum ist:
15 − 2𝑄 = 0 ⟺ (15)
𝑄𝑀 =15
2 (16)
Der Monopolpreis ergibt sich als:
𝑃(𝑄𝑀) = 16 −15
2=
17
2= 8,5 (17)
Im vollkommenen Wettbewerb würden die Anbieter zu
Grenzkostenpreisen von 𝑃𝑊 = 1 anbieten. Der Vergleich der
Marktformen ergibt:
8,5 = 𝑃𝑀 > 6 = 𝑃𝐷𝑈𝑂 > 1 = 𝑃𝑊
d) Der französische Ökonom Bertrand hat bereits Ende des 19.
Jahrhunderts argumentiert, das Cournot-Modell sei unzutref-
fend, da Unternehmen nicht in Mengen, sondern über die Preise
konkurrieren. Welche Lösung ergibt sich im Duopol, wenn der
Wettbewerb der Firmen über den Preis ausgetragen wird? Hal-
ten Sie diese Lösung für plausibel?
Konkurrieren die Firmen über Preise, so kann es sein, dass sich bereits
zwei Firmen durch einen preislichen Unterbietungswettbewerb auf das
Niveau der Grenzkosten herunter konkurrieren. Der Anreiz zur
preislichen Unterbietung der anderen Firma ergibt sich aus der
Tatsache, dass der günstigere Anbieter (im Fall homogener Produkte)
die gesamte Marktnachfrage an sich bindet. Allerdings ist die Drohung
der preislichen Unterbietung nur glaubwürdig, wenn auch im Zweifel
die gesamte Marktnachfrage durch einen Anbieter allein befriedigt
werden kann. Dies erforderte jedoch, entsprechend große
Produktionskapazitäten vorzuhalten. Bezieht man die Kapazitätswahl
in das Entscheidungsproblem der duopolistischen Anbieter ein, so ist
es rational im Rahmen eines zweistufigen Spiels, zunächst auf Stufe 1
des Spiels eine Produktionskapazität in Höhe der Cournotmengen zu
23
wählen. Auf Stufe 2 ergibt sich dann derselbe Marktpreis, der sich
auch bei Cournot-Mengenwettbewerb im Duopolfall ergibt.
Aufgabe 3.3
Die Firma X kommt mit einem neuen Produkt auf den Markt. Sie sieht
sich mit einer fallenden inversen Unternehmensnachfragefunktion
𝑃(𝑞) = 12 − 𝑞 und einer konvexen Gesamtkostenfunktion 𝐾(𝑞) =9 + 2𝑞2 gegenüber.
a) Berechnen Sie die kurzfristig optimale Ausbringungsmenge,
wenn Firma X über ein temporäres Monopol verfügt.
Die Gewinnfunktion des temporären Monopolisten lautet:
𝜋𝑋 = (12 − 𝑞)𝑞 − (9 + 2𝑞2) (1)
Partielles Differenzieren nach q und Nullsetzen liefert:
𝜕𝜋𝑋
𝜕𝑞= 12 − 2𝑞 − 4𝑞 = 0 ⟺ (2)
𝑞𝑋∗ = 2 (3)
b) Berechnen Sie die Ausbringungsmenge der Firma X, die sich
langfristig bei monopolistischer Konkurrenz ergibt.
Langfristig wird Firma X durch Markteintritte von Substitutanbietern
gezwungen sein, im Tangentialpunkt der inversen Marktnachfrage-
funktion mit ihrer Durchschnittskostenfunktion anzubieten. Formal
muss daher gelten:
𝑃(𝑞) = 𝐷𝐾(𝑞) ⟺ (4)
12 − 𝑞 =9+2𝑞2
𝑞⟺
12𝑞 − 𝑞2 = 9 + 2𝑞2 ⟺
24
𝑞2 − 4𝑞 + 3 = 0 (5)
Die quadratische Gleichung (5) hat zwei Lösungen:
𝑞1,2 = 2 ± √4 − 3 = {3,1}
Relevant ist hier nur die zweite Lösung 𝑞2 = 1, da sich der
Tangentialpunkt im fallenden Bereich der DK-Funktion befinden muss
(das Minimum der DK-Funktion befindet sich bei 𝑞𝑚𝑖𝑛 = 3 √2⁄ ).
25
Kapitel 4
Aufgabe 4.1: Bundesliga
Bis vor einiger Zeit galt in der Fußball-Bundesliga die Zwei-Punkte-
Regel: Der Sieger eines Spiels erhielt zwei Punkte, der Verlierer Null.
Bei Unentschieden gab es einen Punkt für jede Mannschaft. Ansonsten
galten natürlich die üblichen Annahmen: Offensive Mannschaften
gewinnen gegen defensive, bei gleichen Strategien endet ein Spiel
unentschieden.
Die Zwei-Punkte-Regel wurde durch die Drei-Punkte-Regel ersetzt,
weil die Drei-Punkte-Regel angeblich dazu führt, dass häufiger
offensiv gespielt wird. Zeigen Sie, dass bei der Formulierung dieser
Begründung der Chef-Spieltheoretiker des DFB seinen freien Tag
hatte: Analysieren Sie das Spiel sowohl für die Zwei-Punkte- als auch
für die Drei-Punkte-Regel.
Angaben in Punkten Mannschaft 2
offensiv defensiv
Mannschaft 1 offensiv 1, 1 2, 0
defensiv 0, 2 1, 1
Punkte für Mannschaft 1 = 1. Zahl. Punkte für Mannschaft 2 = 2. Zahl.
Angaben in Punkten Mannschaft 2
offensiv defensiv
Mannschaft 1 offensiv 1, 1 3, 0
defensiv 0, 3 1, 1
Punkte für Mannschaft 1 = 1. Zahl. Punkte für Mannschaft 2 = 2. Zahl.
Ein offensives Spiel zu spielen ist hier die dominante Strategie, da sie
mehr Punkte verspricht als eine defensive Spielstrategie. Außerdem ist
offensiv zu spielen immer die „beste Antwort“, egal welche Strategie
die andere Mannschaft wählt. Hierbei spielt es keine Rolle, ob man für
einen Sieg zwei oder drei Punkte erhält; es zählt nur, dass es mehr
Punkte verspricht, offensiv zu spielen als defensiv.
26
Aufgabe 4.2: Nash-Gleichgewichte
Betrachten Sie die folgende Auszahlungsmatrix:
Angaben in Geldeinheiten Spieler 2
A B
Spieler 1 A 𝑎, 𝑎 0, 0
B 0, 0 1, 1
Auszahlung für 1 = 1. Zahl. Auszahlung für 2 = 2. Zahl.
a) Für welche Werte von 𝑎 ist {A, A} ein Nash-Gleichgewicht in
dominanten Strategien?
Für alle Werte größer 1, d.h. 𝑎 > 1, denn dann verspricht die
Strategiekombination {A, A} für beide Spieler die größte Auszahlung.
b) Für welche Werte von 𝑎 ist {B, B} ein Nash-Gleichgewicht in
dominanten Strategien?
Für alle Werte kleiner 1, d.h. 𝑎 < 1, denn dann ist die Auszahlung für
beide Spieler bei der Kombination {B, B} größer als bei {A, A}.
c) Beschreiben Sie die Nash-Gleichwichte des Spiels als Funktion
des Parameters 𝑎.
Grundsätzlich gilt folgende Beste-Antwort-Funktion zur Erreichung
von Nash-Gleichgewichten: 𝑠𝑖∗ = 𝑓𝑖 (𝑠𝑖
𝑒) , d.h., dass die Funktion 𝑓𝑖
jedem Verhalten der anderen Spieler (𝑠𝑖𝑒) eine auszahlungs-
maximierende Antwort 𝑠𝑖∗ zuordnet.
Hier ordnet die Funktion 𝑓(𝑎) jedem a, das größer ist als 1, das Nash-
Gleichgewicht {A, A} und jedem a, das kleiner ist als 1, das Nash-
Gleichgewicht {B, B} zu.
𝑓(𝑎) = {𝐴, 𝐴 |𝑎 > 1}
𝑓(𝑎) = {𝐵, 𝐵 |𝑎 < 1}
27
Aufgabe 4.3: Externe Kosten
Angenommen, Tassen aus Styropor werden mit konstanten
Grenzkosten von 4€ produziert. Die Marktnachfrage für dieses
Produkt sei 𝑄𝐷(𝑃) = 22 – 𝑃.
a) Welche Produktionsmenge wird die Industrie wählen? Wie hoch
ist die Summe der Konsumenten- und Produzentenrente bei die-
ser Menge?
𝑄𝐷 = 22 − 𝑃 ⟹ 𝑄𝐷 = 22 − 4 ⟹ 𝑄𝐷 = 18 𝑇𝑎𝑠𝑠𝑒𝑛
𝑃𝑅 = 0 (weil Grenzkosten = Marktpreis)
𝐾𝑅 = ½ ⋅ (22 − 4) ⋅ 18 = 162
b) Diese Branche produziert nicht nur Styroportassen, sondern
verursacht auch Luftbelastungen. Die Kosten dieser Verschmut-
zung werden durch die Funktion der externen Grenzkosten
𝐸𝐺𝐾 = 0,2𝑄 beschrieben. Wie viele Styroportassen sollten vom
Effizienzstandpunkt aus (d.h. vom Standpunkt der Gesellschaft
aus) produziert werden?
𝐺𝐾𝑠𝑜𝑧 = 𝐺𝐾𝑝𝑟𝑖𝑣 + 𝐺𝐾𝑒𝑥𝑡 ⟹ 𝐺𝐾𝑠𝑜𝑧 = 4 + 0,2𝑄
Schnittpunkt 𝐺𝐾𝑠𝑜𝑧 mit der inversen Nachfragefunktion 𝑄𝐷
22 − 𝑄 = 4 + 0,2𝑄 ⟹ 𝑄𝑜𝑝𝑡 = 15 𝑢𝑛𝑑 𝑃𝑜𝑝𝑡 = 7, wobei 𝑄𝑜𝑝𝑡 den
effizienten, d.h. sozial optimalen Output und 𝑃𝑜𝑝𝑡 den sozial
optimalen Marktpreis darstellen.
28
c) Illustrieren Sie Ihre Antworten zu a) und b).
𝑄𝐷
𝐺𝐾𝑒𝑥𝑡
𝐺𝐾𝑠𝑜𝑧
𝑃
𝑃𝑜𝑝𝑡
𝐺𝐾𝑝𝑟𝑖𝑣
𝑃∗
𝑄
𝑄𝑂𝑝𝑡 𝑄𝑊
9
7
8
6
5
4
3
2
1
26 24 22 20 18 16 12 14 10 8 6 4 2 0
d) Berechnen Sie die Steuer 𝑡∗, welche den negativen externen
Effekt in b) optimal internalisiert. Wie hoch ist das Steuervolu-
men? Wie hoch ist der Netto-Wohlfahrtsgewinn durch diese
Steuer?
Eine Steuer 𝑡 muss der Differenz aus 𝐺𝐾𝑠𝑜𝑧 und 𝐺𝐾𝑝𝑟𝑖𝑣 im Optimum
entsprechen, um den negativen externen Effekt optimal zu
internalisieren.
𝑡∗ = 7 − 4 = 3 ⟹ Steuervolumen: 3 ⋅ 15 = 45
Der Netto-Wohlfahrtsgewinn durch die Steuer ergibt sich aus der
Differenz der Wohlfahrt vor der Steuer und der Wohlfahrt nach der
Steuer.
Wohlfahrt ohne Steuer: 𝐾𝑅 = 162 und 𝑃𝑅 = 0
Schaden aus dem externen Effekt =1
2⋅ 18 ⋅ 3,667 = 33
⟹ 𝑊𝑜ℎ𝑙𝑓𝑎ℎ𝑟𝑡 = 162 + 0 − 33 = 129
Wohlfahrt mit Steuer:
𝐾𝑅 =1
2⋅ (22 − 7) ⋅ 15 = 112,5 und 𝑃𝑅 = 0
29
Schaden aus dem externen Effekt =1
2⋅ 15 ⋅ 3 = 22,5
Steuervolumen = 45 ⟹ 𝑊𝑜ℎ𝑙𝑓𝑎ℎ𝑟𝑡 = 112,5 + 0 + 45 − 22,5 = 135
⟹ 𝑁𝑒𝑡𝑡𝑜 − 𝑊𝑜ℎ𝑙𝑓𝑎ℎ𝑟𝑡𝑠𝑔𝑒𝑤𝑖𝑛𝑛 𝑑𝑢𝑟𝑐ℎ 𝑆𝑡𝑒𝑢𝑒𝑟 = 135 − 129 = 6
Aufgabe 4.4: öffentliches Gut
Unterstellen Sie folgende Entscheidungssituation: Jeder Akteur
𝑖, 𝑖 = 1,… , 10, kann zu einem öffentlichen Gut beitragen. Die
Gewinnfunktion von i sei 𝜋𝑖 = −𝑞𝑖2 + 10𝑄, mit 𝑞𝑖 als Beitrag von i
zum öffentlichen Gut und 𝑄 = ∑ 𝑞𝑖10𝑖=1 als Summe der Beiträge aller
Akteure. Der individuelle Beitrag zum öffentlichen Gut verursacht
also quadratische Kosten für den Beitragenden und stiftet einen
Nutzen in Höhe von 10 für alle Akteure.
a) Berechnen Sie den individuellen Beitrag 𝑞𝑖∗ und den Gesamtbei-
trag 𝑄∗ aller Akteure im Nash-Gleichgewicht (∗) bei individuell
rationalem Verhalten. Berechnen Sie den individuellen und den
kollektiven Gewinn in dieser Situation (𝜋𝑖∗ und 𝛱∗). Inwieweit
unterscheidet sich das Gleichgewicht in diesem Spiel vom
Gleichgewicht im öffentlichen-Gut-Spiel in Abschnitt 4.3?
Ein Nash-Gleichgewicht (NE) ist dadurch definiert, dass jeder Akteur
seinen Gewinn maximiert gegeben das Verhalten aller anderen Spieler.
Zur Berechnung des Gewinnmaximums muss die Gewinnfunktion 𝜋𝑖
über 𝑞𝑖 maximiert werden. Der Gruppenbeitrag 𝑄 wird dabei
gedanklich zerlegt in den eigenen Beitrag 𝑞𝑖 und in den Beitrag aller
anderen Akteure 𝑄𝑗 = ∑ 𝑞𝑗𝑗≠𝑖 bzw. 𝑄 = 𝑞𝑖 + 𝑄𝑗 = 𝑞𝑖 + ∑ 𝑞𝑗𝑗≠𝑖 .
𝜋𝑖 = −𝑞𝑖2 + 10𝑄 = −𝑞𝑖
2 + 10(𝑞𝑖 + ∑ 𝑞𝑗𝑗≠𝑖 ) → 𝑚𝑎𝑥!
Dafür leitet man die Gewinnfunktion nach 𝑞𝑖 ab und setzt diese
Ableitung dann gleich Null:
𝜕𝜋𝑖
𝜕𝑞𝑖= −2𝑞𝑖 + 10 = 0 ⟺ −2𝑞𝑖
𝑁𝐸 + 10 = 0 ⇔ 𝑞𝑖𝑁𝐸 = 5
Die beste Antwort von Akteur 𝑖 ist unabhängig vom Verhalte der
anderen Akteure. Es liegt also eine dominante Strategie und damit
auch ein Nash-Gleichgewicht in dominanten Strategien.
Der Gesamtbeitrag im Nash-Gleichgewicht beträgt somit:
30
𝑄𝑁𝐸 = ∑ 𝑞𝑖𝑁𝐸10
𝑖=1 = 50.
Der individuelle Gewinn im Nash-Gleichgewicht ist:
𝜋𝑖𝑁𝐸 = −𝑞𝑖
2 + 10𝑄 = 475
Der kollektive Gewinn: 𝛱𝑁𝐸 = 10 ⋅ 475 = 4.750
Dieses Spiel unterscheidet sich insofern von dem Beispiel in Abschnitt
4.3, als dass hier im Nash-Gleichgewicht in dominanten Strategien ein
positiver Beitrag von jedem Spieler geleistet wird.
b) Berechnen Sie den individuellen Beitrag 𝑞𝑖𝑆𝑂 und den Gesamtbe-
itrag 𝑄𝑆𝑂 aller Akteure im sozialen Optimum (𝑆𝑂) bei kollektiv
rationalem Verhalten sowie die zugehörigen Gewinne 𝜋𝑖𝑆𝑂 und
𝛱𝑆𝑂.
Zunächst muss Π(𝑄) ermittelt werden. Hierfür werden die Gewinne
aller Akteure aufsummiert mit Π(𝑄) = ∑ (10𝑖=1 − 𝑞𝑖
2 + 10𝑄).
Da wir es mit identischen Spielern zu tun haben, gilt 1
10𝑄 = 𝑞𝑖 ⟺
𝑄 = 10𝑞𝑖. Wir können somit Π(𝑄) auch schreiben:
Π(𝑄) = ∑ (10𝑖=1 − 𝑞𝑖
2 + 10𝑄) = 10(−𝑞𝑖2 + 10𝑄)
= −1
10(10𝑞𝑖)(10𝑞𝑖) + 100𝑄 = −
1
10𝑄2 + 100𝑄
Das kollektive Gewinnmaximum ist: 𝜕Π
𝜕𝑄= −
2
10𝑄 + 100 = 0 ⇔ 𝑄∗ = 500 und 𝑞∗ = 𝑞𝑖
∗ = 50.
Der individuelle Gewinn im sozialen Optimum ist:
𝜋𝑖∗ = −𝑞𝑖
2 + 10𝑄 = −(502) + 10 ∙ 500 = 2.500
Der kollektive Gewinn im sozialen Optimum ist:
𝛱∗ = 10 ⋅ 2500 = 25.000
Allgemein: Bei der Bereitstellung des öffentlichen Gutes gibt es einen
Unterschied zwischen individueller Rationalität, der Nutzen-
maximierung des einzelnen Akteurs, und kollektiver Rationalität, der
Nutzenmaximierung der Gruppe. Der Nutzen im Nash-Gleichgewicht
ist geringer als in einer Situation, in der sich alle Akteure kollektiv
rational verhalten würden. Die Akteure befinden sich offensichtlich in
einem „sozialen Dilemma“: Individuell rationales Verhalten führt zu
einem ineffizienten, kollektiv irrationalen Ergebnis.
31
c) Stellen Sie das Problem graphisch dar.
Die Abb. zeigt das Problem graphisch. Die individuellen Grenzkosten
des Beitrags sind 𝐺𝐾𝑖 = 2𝑞𝑖. Der individuelle Grenznutzen ist
𝐺𝑁𝑖 = 10 und der soziale Grenznutzen ist 𝐺𝑁 = 100.
𝐺𝑁
𝑞𝑖
𝐺𝑁𝑖
𝐺𝑁
𝐺𝐾𝑖 = 2𝑞𝑖
50 5 10 30
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
15 20 25 35 40 45
d) Interpretieren Sie die Werte aus a) und b). Zeigen Sie, dass die
Situation in b) kein Gleichgewicht ist (Hinweis: Zeigen Sie, dass
sich einseitiges Abweichen von der kooperativen Lösung in b)
lohnt).
Angenommen 𝑖 = 1 wählt 𝑞1∗ = 5, alle anderen 𝑖 wählen 𝑞𝑖
∗ = 50 als
Beitrag. Für diese Individualbeiträge ergäbe sich folgender
Gesamtbeitrag:
𝑄∗ = 9 ∙ 𝑞𝑖 + 𝑞1 = 9 ∙ 50 + 5 = 455
Die individuellen Gewinne wären:
𝜋1∗ = −𝑞1
2 + 10𝑄∗ = −(52) + 10 ∙ 455 = 4.525
𝜋𝑖∗ = −𝑞𝑖
2 + 10𝑄∗ = −(502) + 10 ∙ 455 = 2.050
Der kollektive Gewinn wäre:
𝛱∗ = 9 ⋅ 2050 + 1 ∙ 4525 = 22.975
32
Daraus wird deutlich, dass sich ein einseitiges Abweichen von der
Kooperativen Lösung für den Abweichenden lohnt und somit in b)
kein Gleichgewicht vorliegt.
Aufgabe 4.5: Market for Lemons
Angenommen, es gibt einen Gebrauchtwagenmarkt mit drei VW Golf.
Jeder Golf wird von je einem Händler angeboten, der die Qualität des
Wagens kennt. Die Preise der Wagen sind 1500€, 3500€ und 5000€.
Die Qualität ist positiv mit dem Preis korreliert. Es gibt drei
potentielle Käufer, die je nach Qualität eine unterschiedliche
Zahlungsbereitschaft (ZB) haben: Die (ZB) für hohe (mittlere,
schlechte) Qualität ist 6.000€ (4.000€, 2.000€).
a) Angenommen, die Qualität ist gleichverteilt und die Käufer
können die Qualität nicht beobachten. Welche Transaktionen
finden statt? Wie hoch ist der Wohlfahrtsgewinn?
Die Transaktion zwischen dem Anbieter des Wagens mit niedrigem
Preis und dem Käufer mit durchschnittlicher Zahlungsbereitschaft
(von 4.000€) findet statt: Verkauf zu 1.500€. Die Transaktion
zwischen dem Anbieter des Wagens mit mittlerem Preis und dem
Käufer mit durchschnittlicher Zahlungsbereitschaft findet statt:
Verkauf zu 3.500€.
Die Transaktion zwischen dem Anbieter des Wagens mit hohem Preis
und dem Käufer mit durchschnittliche Zahlungsbereitschaft findet
nicht statt, da der Preis von 5.000€ über der Zahlungsbereitschaft von
4.000€ liegt.
⟹ 𝑊𝑜ℎ𝑙𝑓𝑎ℎ𝑟𝑡𝑔𝑒𝑤𝑖𝑛𝑛 = 1.500€ + 3.500€ = 5.000€
b) Gehen Sie nun von vollständiger Information aus. Welche
Transaktionen finden statt? Wie hoch ist der Wohlfahrtsgewinn?
Die Transaktion zwischen dem Anbieter des Wagens mit niedrigem
Preis und dem Käufer mit niedriger Zahlungsbereitschaft findet statt:
Verkauf zu 1.500€. Die Transaktion zwischen dem Anbieter des
Wagens mit mittlerem Preis und dem Käufer mit mittlerer Zahlungs-
bereitschaft findet statt: Verkauf zu 3.500€. Die Transaktion zwischen
dem Anbieter des Wagens mit hohem Preis und dem Käufer mit hoher
Zahlungsbereitschaft findet statt: Verkauf zu 5.000€.
⟹ 𝑊𝑜ℎ𝑙𝑓𝑎ℎ𝑟𝑡𝑔𝑒𝑤𝑖𝑛𝑛 = 1.500€ + 3.500€ + 5.000€ = 10.000€
33
c) Diskutieren Sie Lösungsmöglichkeiten für das Marktversagen.
Das Problem bei dieser Art des Marktversagens liegt in der
systematisch ungleich verteilten, also asymmetrischen Information.
Lösungsmöglichkeiten beruhen also in erster Linie auf einem
Ausgleich des Informationsrückstandes, hier auf Seiten der
Nachfrager.
Im vorliegenden Fall der asymmetrischen Information beim
Gebrauchtwagenkauf könnten die Gebrauchtwagenverkäufer Signale
setzen, welche eine gute Qualität ihrer Wagen glaubhaft machen. Dies
könnte beispielsweise über Garantieleistungen erfolgen. Garantien
sind ein glaubhaftes Versprechen guter Qualität, da man im Falle
schlechter Qualität den Wagen wieder zurückbringen kann. Somit
werden nur diejenigen Verkäufer eine Garantie anbieten, die auch
wirklich Wagen mit guter Qualität verkaufen, denn andernfalls würden
die eingeforderten Garantieleistungen zu hohe Kosten verursachen.
Eine weitere, aber langwierigere Möglichkeit besteht darin, sich als
Anbieter von Wägen mit hoher Qualität einen guten Ruf
(„Reputation“) aufzubauen und diesen durch das fortlaufende
Anbieten von Qualitätswägen aufrechtzuerhalten. Dadurch wird es
möglich, höhere Preise zu verlangen, was die höheren Kosten von
guten Autos ausgleicht und den Verkauf lukrativ macht.
34
Kapitel 5
Aufgabe 5.1: Konsumententheorie I
Gegeben sei folgende Nutzenfunktion: 𝑈 = 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝛼𝑦1−𝛼, wobei
𝑥 und 𝑦 die Konsummengen zweier beliebiger Güter bezeichnen. Der
Preis für eine Einheit 𝑥 betrage 𝑃𝑥 = 2, der Preis für eine Einheit 𝑦
𝑃𝑦 = 1. Das Einkommen des Konsumenten betrage 7 Geldeinheiten.
Es sei bekannt, dass 𝛼 = 0,25.
a) Zeigen Sie, dass die Steigung der zu U gehörigen Indifferenz-
kurven allgemein gegeben ist als 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝛼
1−𝛼
𝑦
𝑥.
Wir bilden das totale Differential der Nutzenfunktion:
𝑑𝑈 =𝜕𝑈
𝜕𝑥𝑑𝑥 +
𝜕𝑈
𝜕𝑦𝑑𝑦
Die Nutzenänderung entlang einer Indifferenzkurve ist Null. Zu
fordern ist daher:
𝑑𝑈 = 0 ⟺ 𝜕𝑈
𝜕𝑥𝑑𝑥 +
𝜕𝑈
𝜕𝑦𝑑𝑦 = 0 ⟺
𝑑𝑥
𝑑𝑦= −
𝜕𝑈
𝜕𝑦
𝜕𝑈
𝜕𝑥
Die Steigung der Indifferenzkurve ist also gegeben durch den
Quotienten der Grenznutzen der beiden Güter.
Für die Nutzenfunktion 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝛼𝑦1−𝛼 ergibt sich:
𝑑𝑥
𝑑𝑦= −
(1−𝛼)𝑥𝛼𝑦−𝛼
𝛼𝑥𝛼−1𝑦1−𝛼 = −1−𝛼
𝛼𝑥𝛼−(𝛼−1)𝑦−𝛼−(1−𝛼) = −
1−𝛼
𝛼
𝑥
𝑦
b) Berechnen Sie numerisch das optimale Güterbündel!
Die Beantwortung von (b) erfolgt im Rahmen von (c) und (d).
c) Zeigen Sie allgemein, dass die optimale Nachfragemenge für 𝑥
sich immer invers zum Güterpreis verhält und gegeben ist als
𝑥𝑜𝑝𝑡 =𝐼
𝑃𝑥(2−𝛼).
35
d) Zeigen Sie, dass sich auch die optimale Güternachfrage nach 𝑦
invers zum Preis des Gutes verhält und allgemein gegeben ist
als 𝑦𝑜𝑝𝑡 =𝐼(1−𝛼)
𝑃𝑦𝛼(2−𝛼).
Das optimale Güterbündel ist durch den Tangentialpunkt von
Indifferenzkurve und Budgetgerade charakterisiert. Die Steigungen
beider Funktionen stimmen exakt überein. Es muss also gelten:
−1−𝛼
𝛼
𝑥
𝑦= −
𝑝𝑦
𝑝𝑥⟺ 𝑥 = 𝑦
𝛼𝑝𝑦
𝑝𝑥(1−𝛼)
Aus der Budgetrestriktion ermittelt man:
𝑥 =𝐼
𝑝𝑥−
𝑝𝑦
𝑝𝑥𝑦
Gleichsetzen:
𝑦𝛼𝑝𝑦
𝑝𝑥(1−𝛼)=
𝐼
𝑝𝑥−
𝑝𝑦
𝑝𝑥𝑦 ⟺ 𝑦𝛼𝑝𝑦 (
1
1−𝛼+ 1) = 𝐼 ⟺
𝑦𝑜𝑝𝑡 =1−𝛼
𝛼(2−𝛼)
𝐼
𝑝𝑦
Dann folgt sofort:
𝑥𝑜𝑝𝑡 = 𝑦𝑜𝑝𝑡 𝛼𝑝𝑦
𝑝𝑥(1−𝛼)⟺ 𝑥𝑜𝑝𝑡 =
1−𝛼
𝛼(2−𝛼)
𝐼
𝑝𝑦
𝛼𝑝𝑦
𝑝𝑥(1−𝛼)⟺
𝑥𝑜𝑝𝑡 =𝐼
(2−𝛼)𝑝𝑥
Numerisch ergibt sich:
𝑥𝑜𝑝𝑡 =7
(2−0,25)2= 2
𝑦𝑜𝑝𝑡 =1−0,25
0,25(2−0,25)
7
1= 12
e) Welche Nachfragemengen ergeben sich bei einer Verdopplung
des Einkommens des Konsumenten auf 14 Geldeinheiten?
36
Da die optimalen Güternachfragen proportional zum Einkommen sind,
verdoppeln sich mit dem Einkommen auch die optimalen
Nachfragemengen:
𝑥𝑜𝑝𝑡 =14
(2−0,25)2= 4
𝑦𝑜𝑝𝑡 =1−0,25
0,25(2−0,25)
14
1= 24
f) Welcher Effekt auf die optimalen Konsummengen ergibt sich,
wenn sich der Güterpreis für 𝑥 (𝑦) halbiert (verdoppelt)?
Da die optimalen Güternachfragen invers zum Eigenpreis sind, führt
eine Verdoppelung (Halbierung) des Preises zur einer Halbierung
(Verdoppelung) der optimalen Nachfragemengen:
𝑥𝑜𝑝𝑡(𝑝𝑥 = 4) =7
(2−0,25)4= 1
𝑥𝑜𝑝𝑡(𝑝𝑥 = 1) =7
(2−0,25)1= 4
𝑦𝑜𝑝𝑡(𝑝𝑦 = 2) =1−0,25
0,25(2−0,25)
7
2= 6
𝑦𝑜𝑝𝑡(𝑝𝑦 = 0,5) =1−0,25
0,25(2−0,25)
7
0,5= 6
Aufgabe 5.2: Konsumententheorie II
Gegeben sei die folgende Schar von Indifferenzkurven für zwei Güter
𝑥 und 𝑦: 𝑦 =𝑐
𝑎𝑥, 𝑐 > 0, 𝑎 > 0. Die Budgetmenge des Konsumenten ist
gegeben als 𝐼 = 𝑃𝑦𝑦 + 𝑃𝑥𝑥. Dabei bezeichnen 𝑦 und 𝑥 die konsumier-
ten Mengen, 𝑃𝑦, 𝑃𝑥 die Güterpreise pro Mengeneinheit.
a) Durch welche Bedingung ist das optimale Güterbündel
charakterisiert?
Das optimale Güterbündel ist charakterisiert durch den Tangential-
punkt von Indifferenzkurve und Budgetgerade. Im Tangentialpunkt
stimmen die Steigung der Indifferenzkurve, die Grenzrate der
37
Substitution, und die Steigung der Budgetgerade (das Preisverhältnis
beider Güter) überein. Formal muss gelten:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
𝑃𝑥
𝑃𝑦⇔ −
𝑐
𝑎
1
𝑥2 = −𝑃𝑥
𝑃𝑦
b) Zeigen Sie, dass das optimale Güterbündel allgemein gegeben
ist als 𝑥𝑜𝑝𝑡 = √𝑐
𝑎
𝑃𝑦
𝑃𝑥 , 𝑦𝑜𝑝𝑡 =
𝑐
𝑎𝑥𝑜𝑝𝑡.
Aus der Tangentialbedingung ergibt sich:
−𝑐
𝑎
1
𝑥2= −
𝑃𝑥
𝑃𝑦⇔ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
𝑃𝑦
𝑃𝑥⇔ 𝑥𝑜𝑝𝑡 = √
𝑐
𝑎
𝑃𝑦
𝑃𝑥
da lediglich die positive Wurzel als ökonomisch sinnvolle Lösung
infrage kommt. Damit ist:
𝑦𝑜𝑝𝑡 =𝑐
𝑎𝑥𝑜𝑝𝑡 =𝑐
𝑎√𝑐
𝑎
𝑃𝑦
𝑃𝑥
c) Welche optimalen Mengen ergeben sich für 𝑎 = 𝑐 = 1, 𝑃𝑦 = 8 und 𝑃𝑥 = 2?
Für 𝑎 = 𝑐 = 1, 𝑃𝑌 = 8 und 𝑃𝑥 = 2 ergibt sich:
𝑥𝑜𝑝𝑡 = √8
2= 2
𝑦𝑜𝑝𝑡 =1
2
Aufgabe 5.3: Produktionstheorie I Gegeben sei die folgende Produktionsfunktion
𝑄 = 𝑄(𝐾, 𝐿) = 𝐾𝛼𝐿1−𝛼, 0 < 𝛼 < 1.
Zeigen Sie, dass die Funktion positive aber abnehmende Grenzproduk-
te der Arbeit und des Kapitals aufweist.
Wir bilden die ersten partiellen Ableitungen der Produktionsfunktion:
38
𝜕𝑄
𝜕𝐾= 𝛼𝐾𝛼−1𝐿1−𝛼 > 0 ⟺ 𝛼 > 0
𝜕𝑄
𝜕𝐿= 𝛼(1 − 𝛼)𝐾𝛼−1𝐿−𝛼 > 0 ⟺ 𝛼 > 0 ∧ 𝛼 < 1
Um abnehmende Grenzprodukte zu zeigen, betrachten wir die zweiten
partiellen Ableitungen:
𝜕2𝑄
𝜕𝐾2= 𝛼(𝛼 − 1)𝐾𝛼−2𝐿1−𝛼 < 0 ⟺ 𝛼 < 1
𝜕2𝑄
𝜕𝐿2= −𝛼2(1 − 𝛼)𝐾𝛼−1𝐿−𝛼−1 < 0 ⟺ 𝛼 < 1
Aufgabe 5.4: Minimalkostenkombination
Gegeben sei die folgende Isoquantenschar: 𝐾 =𝑐
𝑎𝐿, wobei 𝐾 und 𝐿
die Faktoreinsatzmengen an Kapital und Arbeit bezeichnen. Die
Isokostengerade sei gegeben als 𝐶 = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾, mit 𝑤 als Lohnsatz
und 𝑟 als Kapitalkostensatz (Zinssatz).
a) Ermitteln Sie allgemein die Minimalkostenkombination!
Die MKK ist durch den Tangentialpunkt von Isoquante und Isokos-
tengerade charakterisiert. Im Tangentialpunkt stimmen die Steigungen
beider Funktionen exakt überein. Die Steigung der Isoquante ermittelt
man leicht als:
𝜕𝐾
𝜕𝐿= −
𝑐
𝑎𝐿2
Die Steigung der Isokostengerade ist −𝑤
𝑟. Also muss gelten:
−𝑤
𝑟= −
𝑐
𝑎𝐿2⟺ 𝐿𝑜𝑝𝑡 = √
𝑐
𝑎
𝑟
𝑤
Daraus folgt sofort:
𝐾𝑜𝑝𝑡 =𝑐
𝑎𝐿𝑜𝑝𝑡=
𝑐
𝑎√𝑐
𝑎
𝑟
𝑤
⟺ 𝐾𝑜𝑝𝑡 = √𝑐2
𝑎2𝑐
𝑎
𝑟
𝑤
= √𝑐
𝑎
𝑤
𝑟
39
b) Wie wird die optimale Arbeitsnachfrage auf Änderungen des
Lohnsatzes reagieren? Begründen Sie Ihr Ergebnis mathema-
tisch und ökonomisch!
Um zu zeigen, wie die Arbeitsnachfrage eines kostenminimierenden
Unternehmens auf Lohnsatzänderungen reagiert, differenzieren wir
(mit Hilfe der Kettenregel!) die optimale Arbeitsnachfrage nach w:
𝜕𝐿𝑜𝑝𝑡
𝜕𝑤=
1
2
1
√𝑐
𝑎
𝑟
𝑤
(−𝑎𝑐𝑟
𝑎2𝑤2) < 0
Verteuert sich also ceteris paribus der Faktor Arbeit, so nimmt die
Nachfrage nach dem Faktor ab.
Aufgabe 5.5: Kostentheorie
Gegeben sei die Produktionsfunktion
𝑄 = 𝑄(𝐾, 𝐿) = 𝐾𝛼𝐿1−𝛼, 0 < 𝛼 < 1.
Der Lohnsatz pro Einheit Arbeit sei 𝑤 = 15, die Fixkosten der
Produktion liegen bei 𝐹𝐾 = 10.000. Vervollständigen Sie die
folgende Tabelle, d.h., berechnen Sie für die angegebenen Ausbrin-
gungsmengen i) das Grenzprodukt des Faktors Arbeit (GPA); ii) die
Grenzkosten der Produktion (GK); iii) die Gesamtkosten der
Produktion (K) sowie die iv) Durchschnittskosten (DK).
K L 𝛼 Q GPA w GK FK K DK
100 100 0,75 100,000 --- 15 --- 10.000 11.500
100 150 0,75 110,668 0,213 15 70,203 10.000 12.250 110,691
100 200 0,75 118,921 0,165 15 90,881 10.000 13.000 109,317
100 250 0,75 125,743 0,136 15 109,928 10.000 13.750 109.350
100 300 0,75 131,607 0,103 15 127,898 10.000 14.500 110,176
Zunächst können mit Hilfe der Produktionsfunktion die Outputmen-
gen für die unterschiedlichen Faktoreinsatzkombinationen berechnet
werden. Für 𝐾 = 100, 𝐿 = 150 ergibt sich beispielsweise:
𝑄 = 1000,751500,25 ≅ 110,668
Analog ermittelt man leicht die übrigen Mengen.
40
Aus den Outputänderungen lassen sich dann die Grenzprodukte der
Arbeit bestimmen. Man erhält:
𝐺𝑃𝐴1 ≡∆𝑄1
∆𝐿1=
10,668
50≅ 0,213
𝐺𝑃𝐴2 ≡∆𝑄2
∆𝐿2=
8,253
50≅ 0,165
𝐺𝑃𝐴3 ≡∆𝑄3
∆𝐿3=
6,823
50≅ 0,136
𝐺𝑃𝐴4 ≡∆𝑄4
∆𝐿4=
5,171
50≅ 0,103
Da gilt:
𝐺𝐾 ≡∆𝐶
∆𝑄=
∆𝑉𝐶
∆𝑄=
𝑤∆𝐿
∆𝑄=
𝑤
𝐺𝑃𝐴
lassen sich auch die zugehörigen Grenzkosten leicht berechnen:
𝐺𝐾1 ≡𝑤∆𝐿1
∆𝑄1=
15∗50
10,668≅ 70,203
𝐺𝐾2 ≡𝑤∆𝐿2
∆𝑄2=
15∗50
8,253≅ 90,881
𝐺𝐾3 ≡𝑤∆𝐿3
∆𝑄3=
15∗50
6,823≅ 109,928
𝐺𝐾4 ≡𝑤∆𝐿4
∆𝑄4=
15∗50
5,171≅ 127,898
Wegen
𝐺𝐾 ≡∆𝐶
∆𝑄=
∆𝑉𝐶
∆𝑄
kann die Änderung der variablen Kosten leicht berechnet werden als:
𝐺𝐾∆𝑄 = ∆𝑉𝐶
41
Man berechnet:
∆𝑉𝐶1 = 70,203 ∗ 10,668 = 750
∆𝑉𝐶2 = 90,881 ∗ 8,253 = 750
∆𝑉𝐶3 = 109,928 ∗ 6,823 = 750
∆𝑉𝐶4 = 127,898 ∗ 5,171 = 750
Die gesamten variablen Kosten bei der ursprünglichen Produktions-
menge von 𝑄 = 100 belaufen sich natürlich auf 𝑉𝐶 = 𝑤 ∗ 𝐿 = 15 ∗100 = 1500. Damit ergeben sich die variablen Kosten für die
unterschiedlichen Produktionsniveaus als
𝑉𝐶1 = 1.500 + 750 = 2.250
𝑉𝐶2 = 2.250 + 750 = 3.000
𝑉𝐶3 = 3.000 + 750 = 3.750
𝑉𝐶4 = 3.750 + 750 = 4.500
Gegeben das Fixkostenniveau von 10.000 ergeben sich die gesamten
Produktionskosten als:
𝐶1 = 12.250, 𝐶2 = 13.000, 𝐶3 = 13.750, 𝐶4 = 14.500
Damit lassen sich die Stückkosten ermitteln als:
𝐴𝐶1 =𝐶1
𝑄1=
12.250
110,668= 110,691
𝐴𝐶2 =𝐶2
𝑄2=
13.000
118,921= 109,317
𝐴𝐶3 =𝐶3
𝑄3=
13.750
125,743= 109,350
42
𝐴𝐶4 =𝐶4
𝑄4=
14.500
131,607= 110,176
Die Stückkosten fallen also zunächst, steigen dann aber wieder an.
Aufgabe 5.6: Produktionstheorie II
a) Zeigen Sie allgemein, dass sich Isoquanten nicht schneiden
können.
Angenommen, zwei Isoquanten würden sich schneiden, wie in der
folgenden Abbildung dargestellt:
1
2
Isoquante 1 repräsentiert das höhere Outputniveau 𝑄1 > 𝑄2. Weisen die beiden Isoquanten einen Schnittpunkt auf, so wäre es
möglich, den höheren Output 𝑄1 im Punkt A mit geringeren
Einsatzmengen beider Produktionsfaktoren zu produzieren – was
offensichtlich nicht sein kann.
b) Gegeben sei die Produktionsfunktion
𝑄 = 𝑄(𝐾, 𝐿) = 𝐾𝛼𝐿1−𝛼, 0 < 𝛼 < 1. Zeigen Sie, dass die zugehörigen Isoquanten die Steigung 𝑑𝐾
𝑑𝐿= −
1−𝛼
𝛼
𝐾
𝐿 aufweisen. Wie verlaufen die Isoquanten?
43
Wir betrachten das totale Differential der Produktionsfunktion und
setzen Null:
𝑑𝑄 =𝜕𝑄
𝜕𝐾𝑑𝑘 +
𝜕𝑄
𝜕𝐿𝑑𝐿 = 0 ⇔
𝛼𝐾𝛼−1𝐿1−𝛼𝑑𝐾 + (1 − 𝛼)𝐾𝛼𝐿−𝛼𝑑𝐿 = 0 ⇔ 𝑑𝐾
𝑑𝐿= −
1−𝛼
𝛼
𝐾𝛼
𝐾𝛼−1
𝐿−𝛼
𝐿1−𝛼 = −1−𝛼
𝛼
𝐾
𝐿
Die Isoquanten sind durch eine Schar paralleler Hyperbeln gegeben.