Na forma matricial podemos escrever :

Representação da seqüência positiva da linha por quadripolo

Quadripolo da LT

γ

γ−

γ−

γ

=

•

•

−−

−−

•

•

g

g

I

V.

x.coshx.senhZc

1

x.senh.Zcx.cosh

)x(I

)x(V

gV•

xI•

gI•

xV•

[Q]

Modelo de quadripolo equivalente da seqüência positiva da linha de transmissão, definido pelas constantes A, B , C , D.

γ

γ

γ

γ

=

•

•

−−

−−

•

•

Irec

Vrec.

l.coshl.senhZc

1

l.senh.Zcl.cosh

I

V

00

00

g

g

=

•

•

•

•

Irec

Vrec.DC

BA

I

V

g

g

Quadripolo em função das grandezas na recepção

Para a linha em curto-circuito junto a recepção podemos analisar as constantes ABCD do quadripolo da linha.

γ==

γ==

=

−

•

•

•−••

•

0g

0g

rec

l.coshD

Irec

I

Irec.l.senh.ZcIrec.BV

0V

Curto-Circuito na recepção

Esta relação éMUITO IMPORTANTE, pois representa o ganho de corrente da linha em curto (carga pesada).

Para a linha em vazio na recepção podemos analisar as constantes ABCD do quadripolo da linha.

Circuito aberto na recepção

γ

=

=

−•

•

•

0g l.cosh

1

V

Vrec

0Irec

Esta relação éMUITO IMPORTANTE, pois representa o ganho de tensão da linha em vazio. Este aumento da tensão é conhecido como EFEITO FERRANTIe o analisaremos novamente mais adiante.

Aula 13

Modelo ππππ equivalente

Normalmente representamos uma linha longa através de um modelo formado por uma impedância série e duas admitâncias transversais.

Esta representação é utilizada para linhas longas, mas pode ser aplicado a linha com qualquer comprimento.

Os parâmetros são calculados para uma determinada freqüência, sendo conhecido como modelo π exato ou representação por parâmetro distribuído.

Comparando ππππ com o quadripolo

Vamos mostrar a seguir que o π exato é equivalente à representação através de quadripolo.

Ye/2

Ze

Ye/2 )t(Vg•

)t(I r•

)t(Ig•

)t(V r•

γ

γ

γ

γ

=

•

•

−−

−−

•

•

r

r

00

00

g

g

I

V.

l.coshl.senhZc

1

l.senh.Zcl.cosh

I

V

equivalentes

I 12

Ye/2=Ys

hh

Ze=Z

Ye/2 )t(Vg•

)t(I r•

)t(Ig•

t(V r•

I 12

•−−•−−−•

•−−•−−−•−••

•−•−−•

•−−•−••

•−••−••

•−••

•−••

•−••

++

+=

+

+++=

+

+=

++=

+=−=

+=

−=

+=

rrg

rrrrg

rrg

rrrg

rrgg12

12rg

r12r

g12g

IZY1VYZ2YI

IZYVYZ1YVYII

IZVYZ1V

VYZIZVV

VYIVYII

IZVV

VYII

VYII

γ

γ

γ

γ

=

•

•

−−

−−

•

•

r

r

00

00

g

g

I

V.

l.coshl.senhZc

1

l.senh.Zcl.cosh

I

V

( )( )

+++

=

•

•

•

•

r

r

g

g

I

VZYZYY

ZZY

I

V.

1)2(

1

Quadripolo representativo da propagação:

Quadripolo do π equivalente:

Comparando as duas matrizes e tendo em conta a identidade:

0

00

senh

1cosh

2tanh

l

ll

γγγ −=

=−

0.senh. lZcZ γ

=−

0

02

1

2

10

2

1

2

1

.senh.

''

''l

lzy

lzzZ γ

=−

−

0

0

0'

.

.senh.

l

llzZ

γ

γ

Primeira identidade:

Segunda identidade:

( ) )cosh(1 0lZY γ=+

0

00

'

0

)senh(1)cosh(

l

llz

lY

γγ

γ −=

Substituido Z:

)2

tanh( 0

02

1'

02

1' l

lz

lyY

γ=2

1

2

1

y

y×

)2

tanh( 0

02

1'2

1'

02

1'2

1' l

lzy

lyyY

γ=

)2

tanh( 0

0'

02

1'2

1' l

lz

lzyY

γ=

)senh(

1)cosh(

0

0

0'

0

l

l

lz

lY

γγγ −=

Com:0

00

senh

1cosh

2tanh

l

ll

γγγ −= 2

1'2

1' yz=γ

0

0

0'

)2

tanh(

l

l

lyYγ

γ

=

==

2

)2

tanh(

22 0

0

0'

l

llyY

Ysh γ

γ

Modelo ππππ hiperbólico – linha longa

Onde:

Ze – impedância série da linha

Ye – admitância transversal da linha

l – comprimento da linha

z’- impedância longitudinal unitária

y’- admitância transversal unitária

Ye/2

Ze

Ye/2 )t(Vg•

)t(I rec•

)t(Iger•

)t(V r•

2l

2l

tanh

2

l'y

2

ltanh

Zc

1

2

Y

l

lsenh

l'zlsenhZcZ

e

e

−

−

−−

−

−

−−

γ

γ

=

γ=

γ

γ

=

γ=

Os fatores e corrigem o

circuito π da linha para incluir o efeito da distância (propagação de onda). Quando estes fatores são pequenos (tendem para unidade) a linha pode ser representada somente como um π nominal, ou seja, quando o tempo de trânsito da onda for muito pequeno.

Esta representação é válida para linhas médias, o que para a freqüência de 50- 60 Hz significa na faixa de 80 a 240 km.

Linhas médias

2l

2l

tanh

−

−

γ

γ

l

lsenh

−

−

γ

γ

ππππ nominal - Linha média

Para as linhas médias (80 a 240 km) deve ser representada a impedância longitudinal e a impedância transversal da linha sem a correção do π hiperbólico.

y’l/2

z’ l

y’l/2 )t(Vg•

)t(I rec•

)t(Iger•

)t(V r•

Linha curta

Para linhas com comprimento inferior a 80 km a 60 Hz é razoável desprezar a admitância transversal, representando somente a impedância longitudinal.

z’ l

)t(Vg•

)t(I rec•

)t(Iger•

)t(V r•

Modelo T nominal

Este modelo é aplicado para linhas médias, mas não é muito utilizado.

z’ l/2

y’ l )t(Vg

•

)t(I rec•

)t(Iger•

)t(V r•

z’ l/2

Associação em cascata de quadripolos

=

•

•

−−

−−

•

•

I

V

DC

BA

I

V

11

11

g

g

11

11

DC

BAgV

•

•IgI

•

•V

22

22

DC

BA

rV•

rI•

Para o primeiro quadripolo

Para o segundo quadripolo

O quadripolo total (produto dos quadripolos)

=

•

•

−−

−−

•

•

r

r

22

22

I

V

DC

BA

I

V

×

×

=

•

•

−−

−−

−−

−−

•

•

r

r

22

22

11

11

g

g

I

V

DC

BA

DC

BA

I

V

Quadripolo de elemento em série

=

•

•−

•

•

2

2

1

1

10

1

I

VZs

I

V

1V•

1I•

2V•

2I•

−sZ

Em sistema de potência encontramos elementos série como bancos de capacitores série em linhas de alta tensão.

O modelo do quadripolo é idêntico ao da linha curta, como apresentado a seguir.

Onde Zs corresponde à impedância do elemento.

Quadripolo de elemento em derivação

=

•

•

−•

•

2

2

1

1

I

V

1Yd

01

I

V

1V•

1I•

2V•

2I•

−dY

Estes elementos podem representar cargas e bancos de reatores e de capacitores para a terra.

O modelo do quadripolo é semelhante ao do modelo T, como apresentado a seguir.

Onde Yd corresponde à admitância do elemento.

Efeito Ferranti

Elevação de tensão sustentada (regime permanente) na extremidade aberta de uma linha de transmissão, ou seja, tensão na recepção em vazio superior à tensão na geração.

Seja uma linha longa descrita pelo quadripolo abaixo.

γ

γ

γ

γ

=

•

•

−−

−−

•

•

r

r

00

00

g

g

I

V.

l.coshl.senhZc

1

l.senh.Zcl.cosh

I

V

No caso de linha aberta temos:

)(cosh

1

(cosh

0

l

)l

g

r

rg

r

V

V

VV

I

−

−=

=

=

•

•

••

•

γ

γ

Ganho de tensão da linha

EXERCÍCIO 1: Calcular os parâmetros da LT e o modelo π π π π – longo e nominal

(a) π longo da linha 400 km

(b) π nominal 400 km

0.2 m

0.2 m

(7.51, 36,00)

(9.27, 24,04)

3.60 m

•Linha Araraquara - Bauru; Jupiá - Ilha Solteira (altura médias).

•Tensão base de 440 kV

•Linha transposta

Dados da LT

•Condutor de fase : cabo Grosbeak

–raio externo : 12,57 mm

–raio interno : 4,635 mm

–resistência CC : 0,089898 Ω/km

–temperatura : 75 °C•cabos pára-raios : EHS 3/8″

–raio externo : 4,572 mm

–resistência CC : 4,188 Ω/km

–temperatura : 45 °C•resistividade do solo : 2000 Ω.m

•comprimento da linha : 350 km

•flecha a meio vão

–fase : 13,43 m

–pára-raios : 6,4 m

•Freqüência : 60 Hz

0,317524X

0,181421RMG

4,0.)2.4,0(.4,0.)952175,0.01257,0(RMG

d.d.d.)FC.R(RMG

2357,2154,18.94,9.94,9DMG

)feixesdoscentrosaosdistâncias(d.d.dDMG

RMG

DMGln

2X

XjRZ

km/089898,0RR

1ext

4

4 aaaaaa1

3

3cbacab

01ext

1extint

1ccint

413121

=

==

=

==

=

πµω=

+=

Ω==

km/0,317524j0224745,0Z1 Ω+=

0,183657RMG

4,0.)2.4,0(.4,0.01257,0RMG

)condutoressub.dist(d.d.d.RRMG

2357,2154,18.94,9.94,9DMG

)feixesdoscentrosaosdistâncias(d.d.dDMG

RMG

DMGln2jY

4

4 aaaaaa1

3

3cbacab

1

01

413121

==

−=

==

=

επω=−

S/km4,992341 µjY =

( )

( )

MVA768Pc

2528,92- 35,522Zc

4,99234.10j

100,317524j0224745,0Zc

Y

ZZc

][km 1025983,1 10.453,4

4,99234.10j.100,317524j0224745,0

Y.Z

9-

3

1

1

1-35

9-3

11

=Ω≈Ω=

+=

=

+=γ

+=γ

=γ

−

−−

−

−−

−−−

−−

−−−

Calculando γγγγ e Zc

Modulo ππππ nominal

135

'

'

10.2598,110.4530,4

2528.919735,252

9923,4y

Ωj0,3175240,022475z

−−− +=

Ω≈−=

=

+=

kmj

jZkm

Sj

km

c

γ

µ

Sj9,984.102

ly'

2

YY

Ωj127,018,9898lz'Z

4sh

πnominal

−

−−

−

===

+==

Sjl

l

lyY

jl

llzZ

longosh

longo

3_ 10.0201,1

2

2tanh

2

'

734,1212441,8senh

'

−−

−

−

−

−

−

−

−

=

=

Ω+=

=

γ

γ

γ

γ

π

π

Modulo ππππ longo

Exercício: Calcular Ganho de tensão para a linha anterior em vazio

• L= 400 km

• Calcular ganho usando quadripolo para pi longo;

• Calcular ganho usando o quadripolo do π

1417,1)(cosh

1 === −− •

•

lg

g

r

V

V

longo

γπ

γ

γ

γ

γ

=

•

•

−−

−−

•

•

r

r

00

00

g

g

I

V.

l.coshl.senhZc

1

l.senh.Zcl.cosh

I

V

( )( )

+++

=

•

•

•

•

r

r

g

g

I

VZYZYY

ZZY

I

V.

1)2(

1

( ) 1,14521

11g

minminV

V

nominalπ

g

r =+

=== •

•

−alnoalno YZA ππ

Ganhos de tensão para a linha anterior em vazio

Resultados 60 Hz

Transmissão em meio comprimento de onda

Não há necessidade de compensação de reativo

Ganho de tensão – 60 Hz

Comprimento da linha [km]

Ganho 1

2V

V Comprimento

da linha [km] Ganho

1

2V

V

100 1,008262 1600 2,144737200 1,033743 1700 1,737749300 1,078675 1800 1,480409400 1,147335 1900 1,307822500 1,247122 2000 1,188521600 1,390806 2100 1,105621700 1,601388 2200 1,049479800 1,923779 2300 1,014461900 2,457539 2400 0,997392

1000 3,472606 2500 0,9968071100 6,011501 2600 1,012631200 17,03002 2700 1,0461511300 9,181355 2800 1,1002931400 4,368813 2900 1,1802561500 2,858087 3000 1,294836

Corrigindo o Efeito Ferranti

• Adicionar compensação reativa para “consumir” os reativos “gerados” pela LT em vazio.

• Objetivo => reduzir o comprimento elétrico da linha (linha convencional).

Ye/2

Ze

Ye/2 )t(Vg•

)t(I rec•

)t(Iger•

)t(V r•

2l

2l

tanh

2

l'y

2

Y

l

lsenh

l'zZ ee −

−

−

−

−

−

γ

γ

=γ

γ

=

EXERCÍCIO: Calcular

• Quadripolos da LT anterior para os dois modelos

• Calcular o montante de reativo para compensar 70 % da admitância transversal

• Calcular o Quadripolo da compensação derivação

• Calcular Quadripolo total para os dois modelos

• Ganhos de tensão após compensação

γ

γ

γ

γ

=

•

•

−−

−−

•

•

r

r

00

00

g

g

I

V.

l.coshl.senhZc

1

l.senh.Zcl.cosh

I

V

( )( )

+++

=

•

•

•

•

r

r

g

g

I

VZYZYY

ZZY

I

V.

1)2(

1

Quadripolos dos modelos Pi

=

•

•

•

•

r

r

g

g

I

V

I

V.

j8,601.10 + 0,874j1,913.10

121,734+8.244j8,601.10 + 0,8763-3-

3-

=

•

•

•

•

r

r

g

g

I

V

I

V.

j8,976.10 + 0,873j1,870.10

j1.27,020+ 8,9898j8,976.10 + 0,8733-3-

3-

Pi – longo:

Pi – nominal:

Quadripolo da compensação

Cálculo da compensação em derivação

Pi – longo:

A admitância do quadripolo de compensação é calculada sabendo a porcentagem de compensação (pc). Normalmente a compensação shunt é feita nos extremos da LT (metade da compensação total para cada lado):

)()100

( shc jYpc

Y −=

2

2tanh

2

'

100 l

l

lypcjYc −

−

−=γ

γ

Quadripolo pi - longo

=− 1j7,141.10-

01QC 4-longoπ

Quadripolo pi - nominal 2

'

100

lypcjYc

−=

=− 1j7,1408.10-

01QC 4-nominalπ

Quadripolo total e ganhos

Pi – longo:

[ ] [ ][ ][ ]longoπlongoπlongoπlongoπ QCQQCQT −−−− =

Pi - nominal

++

=− 3-4-

-3

longoπ2,580.100,962j6,007i.10-

j121,734 + 8,2442,580.100,962QT

j

j

++

=− 3-4-

-3

nominalπ2,416.100,9620j5,5849i.1-

j127,001 + 8,9892,416.100,962QT

j

j

3398321,03868870longoπ =−Ganho

4676471,03748059nominalπ =−Ganho

Admitância transversal e compensação em derivação

Comprimento [km]

Y [µS] Linha

curta

Y [µS] Linha

longa

Reativo derivação

[Mvar] Linha

curta

Reativo derivação

[Mvar] Linha

longa 100 456,547 459,0609 88,3875 88,87419 200 913,094 933,6103 176,775 180,747 300 1369,641 1441,29 265,1625 279,0338 400 1826,188 2004,715 353,55 388,1128 500 2282,735 2655,998 441,9375 514,2012 600 2739,282 3445,131 530,325 666,9774 700 3195,829 4457,42 618,7125 862,9566 800 3652,376 5854,535 707,1 1133,438 900 4108,923 7987,36 795,4875 1546,353

1000 4565,47 11781,29 883,875 2280,857 1100 5022,017 20521,97 972,2625 3973,054 1200 5478,564 35382,4 1060,65 6850,032 1300 5935,111 -27943,7 1149,037 -5409,91 1400 6391,658 -14561,6 1237,425 -2819,13 1500 6848,205 -9345,65 1325,812 -1809,32 1600 7304,752 -6669,98 1414,2 -1291,31 1700 7761,299 -5015,02 1502,587 -970,908 1800 8217,846 -3862,48 1590,975 -747,775 1900 8674,393 -2990,35 1679,362 -578,932 2000 9130,94 -2287,62 1767,75 -442,883 2100 9587,487 -1691,98 1856,137 -327,566 2200 10044,03 -1165,01 1944,525 -225,546 2300 10500,58 -680,832 2032,912 -131,809 2400 10957,13 -220,295 2121,3 -42,6491 2500 11413,68 232,3671 2209,687 44,98628 2600 11870,22 691,7835 2298,075 133,9293 2700 12326,77 1173,35 2386,462 227,1606 2800 12783,32 1695,308 2474,85 328,2115 2900 13239,86 2281,591 2563,237 441,7159 3000 13696,41 2966,388 2651,625 574,2927

Ganho para compensação em derivação

Comprimento [km]

Ganho LT sem comp.

Ganho Comp. 70 %

Ganho Comp. 80 %

Ganho Comp. 90 %

Ganho Comp. 100 %

100 1,008262 1,002464 1,001642 1,00082 1 150 1,01875 1,005552 1,003695 1,001844 1 200 1,033743 1,009889 1,006571 1,003274 0,999999 250 1,053567 1,015489 1,010273 1,005109 0,999998 300 1,078675 1,02237 1,014802 1,007345 0,999996 350 1,109668 1,030555 1,020163 1,009977 0,999993 400 1,147335 1,040068 1,026357 1,013001 0,999989 450 1,192703 1,05094 1,033388 1,016411 0,999982 500 1,247122 1,063204 1,041259 1,020199 0,999973 550 1,312366 1,076898 1,049972 1,024358 0,999961 600 1,390806 1,092063 1,059531 1,028878 0,999946 650 1,485661 1,108744 1,069937 1,03375 0,999927 700 1,601388 1,126988 1,081189 1,038961 0,999903 750 1,744326 1,146845 1,093287 1,044499 0,999874 800 1,923779 1,16837 1,106227 1,05035 0,999839 850 2,15394 1,191615 1,120004 1,056499 0,999799 900 2,457539 1,216638 1,13461 1,062927 0,999752 950 2,873289 1,243495 1,150032 1,069617 0,999698 1000 3,472606 1,272239 1,166256 1,076547 0,999637 1050 4,402186 1,302923 1,183259 1,083697 0,999568 1100 6,011501 1,335595 1,201017 1,091041 0,999492 1150 9,312455 1,370295 1,219497 1,098554 0,999407 1200 17,03002 1,407054 1,238659 1,106208 0,999315

Efeito Ferranti Linha compensada

Reativo Total

Comprimento [km]

Reator 70 % [Mvar]

Reator 80 % [Mvar]

Reator 90 % [Mvar]

Reator 100 % [Mvar]

100 61,956 70,80686 79,65772 88,50857 150 93,0935 106,3926 119,6916 132,9907 200 124,4239 142,1987 159,9735 177,7484 250 156,0139 178,3016 200,5892 222,8769 300 187,9324 214,7799 241,6274 268,4749 350 220,2513 251,7158 283,1803 314,6447 400 253,0457 289,1951 325,3445 361,4939 450 286,3951 327,3086 368,2222 409,1358 500 320,3837 366,1528 411,9219 457,691 550 355,102 405,8309 456,5598 507,2886 600 390,6473 446,454 502,2608 558,0676 650 427,1249 488,1427 549,1606 610,1784 700 464,6497 531,0283 597,4068 663,7853 750 503,3478 575,2546 647,1615 719,0683 800 543,358 620,9805 698,6031 776,2256 850 584,8341 668,3819 751,9296 835,4773 900 627,9479 717,6548 807,3616 897,0685 950 672,8916 769,019 865,1463 961,2737 1000 719,8817 822,722 925,5622 1028,402 1050 769,1638 879,0443 988,9248 1098,805 1100 821,0172 938,3054 1055,594 1172,882 1150 875,7623 1000,871 1125,98 1251,089 1200 933,7683 1067,164 1200,559 1333,955

Impedância Longitudinal e compensação série

Comprimento [km]

X [Ω] Linha curta

X [Ω] Linha longa

Reativo série [Mvar]

Linha curta

Reativo série [Mvar]

Linha longa 100 35,9458 35,84796 200 71,8916 71,11077 300 107,8374 105,2128 400 143,7832 137,5973 500 179,729 167,7354 600 215,6748 195,1348 897,6478 992,1345 700 251,6206 219,3478 769,4124 882,6166 800 287,5664 239,9783 673,2358 806,7395 900 323,5122 256,6888 598,4318 754,2208

1000 359,458 269,2052 538,5887 719,1541 1100 395,4038 277,3219 489,626 698,1057 1200 431,3496 280,9049 448,8239 689,2012 1300 467,2954 279,894 414,299 691,6904 1400 503,2412 274,3037 384,7062 705,7869 1500 539,187 264,2234 359,0591 732,7134 1600 575,1328 249,8153 336,6179 774,9725 1700 611,0786 231,3126 316,8169 836,9627 1800 647,0244 209,0151 299,2159 926,2491 1900 682,9702 183,2846 283,4677 1056,281 2000 718,916 154,5393 269,2943 1252,756 2100 754,8618 123,2465 256,4708 1570,836 2200 790,8076 89,91552 244,813 2153,132 2300 826,7534 55,08916 234,169 3514,303 2400 862,6992 19,33501 224,4119 10012,92 2500 898,645 -16,7638 215,4355 -11548,7 2600 934,5908 -52,618 207,1495 -3679,35 2700 970,5366 -87,6418 199,4773 -2208,99 2800 1006,482 -121,263 192,3531 -1596,53 2900 1042,428 -152,93 185,7202 -1265,94 3000 1078,374 -182,125 179,5296 -1063,01

0,457 m

3 2

4 5

1

3,44

m

3,7

m

0,45

m

30,5

m

2,2 m

8,50 m 8,50 m

12 ,5 m

Exercício 2 – LT 345 kV

Calcule o montante de reativo a instalar para compensar 80 % da admitância transversal da linha. Calcule o ganho da tensão sem e com a compensação. Comprimento da linha: 320 km. Instale a compensação junto aos extremos da linha.

Dados

Dados caboPR

Diâmetro externo 0,009144 m

Rcc – 4,188 Ω/km

µr - 70

Flecha PR - 6,4 m

Dados cabos fase

Diâmetro externo 0,02959 m

Diâmetro interno 0,00739 m

Rcc – 0,0509 Ω/km

µr – 1

Flechaφ − 13,43 m

Dados do solo

Resistividade – 2000 Ω.m

Cálculo do quadripolo LT

135

'

'

10.1,257310.4,352

292j10,1212- 292,37

4,3002y

Ωj0,367 + 0,02545 z

m10,7093DMG

m0,08223RMG

−−− +=

Ω≈=

=

=

==

kmj

Zkm

Sj

km

c

γ

µ

γ

γ

γ

γ

=

•

•

−−

−−

•

•

r

r

00

00

g

g

I

V.

l.coshl.senhZc

1

l.senh.Zcl.cosh

I

V

=

•

•

•

•

r

r

g

g

I

V

I

V.

j5,453.10 + 0,9202j1,3392.10

j114,3604+7,7104j5,453.10 + 0,92023-3-

3-

Pi – longo:

5974901,08664926=ganho

Quadripolo do compensador:

Cálculo do quadripolo LT + compensação

=− 1j6,488217-

01QC 4-longoπ

Quadripolo total:

3-4-

-3

j1,636.10 + j0,97607 + 0,976520j4,13466.1

j114,36+7,7104j1,636.10 + 0,97607

3962271,02451189=ganho

2

2tanh

2

'

100 l

l

lypcjYc −

−

−=γ

γ

Exemplo 3 – LT 765 kV

Dados caboPR

Raio externo – 4,572 mm

Rcc – 4,188 Ω/km

µr - 70

Dados cabos faseRaio externo – 0,016 m

Raio interno – 0,004 m

Rcc – 0,0509 Ω/km

µr - 1

Dados do solo

Resistividade – 2000 Ω.m

Calcule o montante de reativo a instalar para compensar 70 % da admitância transversal da linha e 45 % da impedância longitudinal da linha. Calcule o ganho da tensão antes e depois da compensação. Comprimento da linha : 500 km. Instale a compensação série no meio da linha e a compensação em derivação junto aos extremos da linha e junto da compensação série.

a

0,457 m

0,45

7 m

b c

28,0 m

14,34 m 14,34 m

h PR

méd

io –

55,

8 m

h φφ φφm

édio

– 4

2,34

m

Altura média =altura torre – 2/3 flecha

Silhueta

Fluxo de potência em linhas de transmissão trifásicas equilibradas

Aula 14

SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA I

• Bibliografia– Introdução a Sistema de Energia

Elétrica – Alcir Monticelli e Ariovaldo Garcia

– Power System Analysis – Hadi Saadat

– Elementos de Análise de Sistema de Potência – Willian Stevenson

– Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência - Luiz CeraZanetta Junior

– http://www.dsee.fee.unicamp.br/%7Eccastro/cursos/et720/et720.html

Matriz admitância do modelo ππππ

A matriz de admitância associada à representação de quadripolo utilizada para a linha de transmissão é diferente. Na matriz de admitância as correntes nos terminais entram na linha.

As equações que descrevem o modelo são :

Yder

Yse

Yder )t(Vg•

)t(I r•

)t(Ig•

)t(V r•

]VV.[YV.YI

]VV.[YV.YI

rgsegderg

grserderr

••−•−•

••−•−•

−+=

−+=

Na forma matricial temos:

Onde a matriz de coeficientesé chamada de matriz admitância da linha.

É importante lembrar que esta matriz de admitância é formada pela impedância longitudinal (hiperbólica) de seqüência positiva da linha e pela admitância transversal (hiperbólica) de seqüência positiva da linha.

Montagem da matriz:

•Termo diagonal : soma das admitâncias que chegam ao nó.

•Termo entre nós i e k: negativo da admitância entre os nós nós i e k.

+−

−+=

•

•

−−−

−−−

•

•

g

r

sederse

seseder

g

r

V

V.

YYY

YYY

I

I

Matriz admitância de uma rede

Vamos generalizar e obter a matriz de admitância de uma rede formada somente por linhas de transmissão.

Descrevendo a linha de transmissão 3-4 temos

I43

I34

2 4

3

1

+−

−+=

•

•

−−−

−−−

•

•

4

3

34se

34der

34se

34se

34se

34der

43

34

V

V.

YYY

YYY

I

I

Matriz admitância de uma linha

Genericamente temos :

Aplicando a lei dos nós à rede temos :

+−

−+=

•

•

−−−

−−−

•

•

m

k

kmse

kmder

kmse

kmse

kmse

kmder

mk

km

V

V.

YYY

YYY

I

I

43424

34313

24212

13121

III

III

III

III

•••

•••

•••

•••

+=

+=

+=

+=

Como as linha têm admitância para a terra não nula, então :

Ou seja, as equações nodais acima são independentes.

Substituindo as correntes dadas pelos modelos πs das linhas temos :

334se4

34se

34der2

24se4

24se

24der4

434se3

34se

34der1

13se3

13se

13der3

424se2

24se

24der1

12se2

12se

12der2

313se1

13se

13der2

12se1

12se

12der1

V.YV.YYV.YV.YYI

V.YV.YYV.YV.YYI

V.YV.YYV.YV.YYI

V.YV.YYV.YV.YYI

•−•−−•−•−−•

•−•−−•−•−−•

•−•−−•−•−−•

•−•−−•−•−−•

−

++−

+=

−

++−

+=

−

++−

+=

−

++−

+=

0IIII 4321 ≠+++••••

Na forma matricial

Sendo a matriz de admitância de uma rede dada por

Novamente temos -Montagem da matriz:

•Termo diagonal : soma das admitâncias que chegam ao nó.

•Termo entre nós i e k : negativo da admitância entre os nós nós i e k.

+++−−

−+++−

−+++−

−−+++

−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

34se

34der

24se

24der

34se

24se

34se

34se

34der

13se

13der

13se

24se

24se

24der

12se

12der

12se

13se

12se

13se

13der

12se

12der

YYYYYY0

YYYYY0Y

Y0YYYYY

0YYYYYY

=

•−•V.YI

Atenção

Se os elementos em derivação forem nulos a matriz de admitância passa a ser singular, pois

Reparem também que a matriz admitância é uma matriz com vários elementos nulos, o que chamamos de alta esparsidade.

Define-se por grau de esparsidadea relação entre o número de elementos nulos da matriz pelo número total de elementos de uma matriz, ou seja :

Os programas computacionais aproveitam esta características para reduzir o espaço de armazenamento das matrizes e manipular matrizes menores.

0IIII 4321 =+++••••

elementototal

nuloelementoeesparcidad N

NG

−−=

Considerando que em média uma rede possui duas linhas ligadas a cada barra, calcule o grau de esparsidade de uma matriz admitância de uma rede com 1000 barras.

Temos matriz 1000 X 1000 com cada barra com 2 linhas.

Elementos não nulos :

Grau de esparsidade :

Exemplo esparcidade

3000total

1000.2diagonalfora

1000diagonal

−−

−

%7,991001000.1000

3000)1000.1000(G =−=

Seja o diagrama simplificado da linha com a convenção de sinais adotada apresentado a seguir :

O modelo π para deduzir as expressões dos fluxos de potência ativa e reativa da linha é :

Fluxo de potência em uma linha

Qmk

Pkm

Ek m Em k

Pmk

Qkm

I km

r km + j xkm

j ykm

Ek m Em k

j ykm

Vamos obter as potências ativa e reativa da linha em função das tensões das barras terminais (fasor => amplitude e ângulo).

A impedância série é dada por :

Potência ativa e reativa da linha

kmkm xjr +

Ou, escrevendo através de admitância série :

22

22

kmkm

kmkm

xr

xb

xr

rg

onde

bjgy

kmkm

kmkm

kmkmkmser

+−=

+=

+=

A admitância transversal é dada por :

2

Yjbjyj

kmderkm

derkmder ==

Sejam as tensões complexas nas barras terminais dadas por :

m

k

jmm

jkk

eVE

eVE

θ•

θ•

=

=

A corrente injetada no terminal k tem duas componentes e é descrito por :

( )

−++=

−+=+=

••••

••••••

mkkmkmkderkmkm

mksekmk

derkm

se

km

der

kmkm

EEjbgE.jbI

sejaou

EEYE.jbIII

A potência complexa injetada no nó k é dada por :

*

kmkkkkm I.EQjPS••−

=+=

Logo

kmj

kkmkm IeVQjP k•θ−=−

Lembrando que

θ=

θ−πθ=

θ−πcos

2senesen

2cos

Chegamos a

Potência que entra no outro terminal

( ) kmkmmkkmkmmkkmdekm

2mmk

kmkmmkkmkmmkkm2mmk

cosbVVsengVVbbVQ

senbVVcosgVVgVP

θ+θ++−=

θ+θ−=

( ) kmkmmkkmkmmkkmdekm

2kkm

kmkmmkkmkmmkkm2kkm

cosbVVsengVVbbVQ

senbVVcosgVVgVP

θ+θ−+−=

θ−θ−=

As perdas ativas na linha são dadas por :

Perda somente na resistência série.

E as perdas reativas por :

( )2

mkkmmkkm

kmmk2m

2kkmmkkm

EE.gPP

ou

cosVV2VVgPP

••−=+

θ−+=+

Perdas ativa e reativa na linha

( ) ( )

( )2

mkkmdekm

2m

2kmkkm

kmmk2m

2kkm

dekm

2m

2kmkkm

EE.bbVVQQ

ou

cosVV2VVbbVVQQ

••−−+−=+

θ−+−+−=+

Perda reativa na reatância série e na admitância transversal.

Lembrando que

)BAcos(BsenAsenBcosAcos −=+

Reparem que a perda reativa na linha tem uma parcela devido à perda no elemento longitudinal e outra devido ao elemento transversal.

Quando estas parcelas são próximas o consumo de reativo da linha tende a zero.

Quando compensamos somente a admitância transversal a linha continua consumindo reativo devido à reatância longitudinal.

Analisando a perda reativa na linha

Exercício

Um gerador é conectado a uma carga por uma linha de transmissão com um condutor por fase. Os parâmetros de seqüência positiva da linha são: C = 2,91x10-8 F/km, L = 1,72x10-8

H/km. A linha tem comprimento total de 100km. As tensões trifásicas na carga são equilibradas com tensões de linha 230 kVef. A potência consumida pela carga é 50 MVA com fator de potência 0,8 atrasado. Determine corrente e tensões no terminal gerador e as perdas na linha de transmissão.

Cálculo da corrente e tensão na carga e no gerador

Na Carga:

MVAj37,50436,8705S21 +=°∠=

MVA36,8767,16S 1-21 °∠=φ

Assumindo Tensão nominal na Carga:

kV137,7903

230VV Rft2 =°∠==

A36,87-,51251V

SI

*

1φ-2

1φ2121 °∠=

== −

RI

Cálculo da tensão e correntes no Gerador:

γ

γ

γ

γ

=

•

•

−−

−−

•

•

r

r

00

00

g

g

I

V.

l.coshl.senhZc

1

l.senh.Zcl.cosh

I

V

Dados da linha:

3-2

c

-52

j0,266410.841,1

Ω12,243Z

S j1,097.10y Ω j0,6489.10z

+=⋅

==

=+=

−

−

l

C

L

γ

Tensão e corrente no gerador

+++

=

•

•

−−

−

•

•

r

r

g

g

I

V

jj

jj

I

V.

10.3186,49648,010.083,1

016,643186,410.3186,49648,033

3

°∠°∠

=

•

•

40,3807,124

80,296,138359

g

g

I

V

Tensão de linha no Gerador:

V80,261,239V linhag ∠=•

Potências e perdas na linha:

MVAj29,9841,87IV3S *12g3φ-12 −=⋅⋅=••

MW52,7Q

MW87,1P

perdas

perdas

=

=

Exercício

Uma linha trifásica de 100km dada a seguir pode ser considerada transposta. Esta linha alimenta uma carga trifásica equilibrada de 200 MVA fp 0,8 atrasado. A tensão nominal da linha é 345 kV. Freqüência do sistema : 60 Hz

•Determine a potência consumida na linha e a tensão de linha junto a fonte.

0,457 m

3 2

4 5

1

3,44

m

3,7

m

0,45

m

30,5

m

2,2 m

8,50 m 8,50 m

12 ,5 m

LT 345 kV

Dados caboPR

Diâmetro externo 0,009144m

Rcc – 4,188 Ω/km

µr - 70

Flecha PR - 6,4 m

Dados cabos fase

Diâmetro externo 0,02959 m

Diâmetro interno 0,00739 m

Rcc – 0,0594 Ω/km

µr – 1

Flechaφ − 13,43 m Dados do solo

Resistividade – 2000 Ω.m

/km][ 0,371344j 0297,0Z

457,0.014795,0.077709,0

17.5,8.5,8ln

2j

2

0594,0Z

RMG

DMGln

2jRZ

1

30

1

0int1

Ω+=

πµω+=

πµω+=

−

−

−

S/km][4,30507jY

457,0.014795,0

17.5,8.5,8ln2jY

RMG

DMGln2jY

1

13

01

1

01

µ=

πεω=

πεω=

−

−−

−−

Parâmetros unitários de seqüência positiva

( )

rad/km101,26539

Np/km100522,5

][km 0,00126539j 10.0522,5

10.4,30507j.10.0,371344j 0,0297

Y.Z

3

5

1-5

93

11

−

−

−−

−−−

−−−

=β

=α

+=γ

+=γ

=γ

Calculando γγγγ e Zc

( )

Ω≈Ω=

+=

=

−

−

−−

−

−−

29311,7- 293,93Zc

104,30507j

100,371344j 0,0297Zc

Y

ZZc

9

3

1

1

O modelo π da linha é dado por :

Modelo π π π π da linha

I km

r km + j xkm

j ykm

Ek m Em k

j ykm

( ) ( )( )

Ω+=++

++=

γγ=+

−

−

0362,37j95419,2jxr

1000,00126539j 10.0522,5

)1000,00126539j 10.0522,5senh(1000,371344j 0297,0

L

)Lsenh(L'Zjxr

kmkm

5

5

1kmkm

( )( )

S541,215jy

500,00126539j 10.0522,5

)500,00126539j 10.0522,5tanh(50.4,30507j

2L

)2Ltanh(

2

LYy

km

5

5

1km

µ=

+

+=

γ

γ=

−

−

−

−

O modelo π da linha é dado por :

Modelo da carga – cálculo do fluxo

I km

r km + j xkm

j ykm

Ek m Em k

j ykm

( ) ( )( )

Ω+=++

++=

γγ=+

−

−

0362,37j95419,2jxr

1000,00126539j 10.0522,5

)1000,00126539j 10.0522,5senh(1000,371344j 0297,0

L

)Lsenh(L'Zjxr

kmkm

5

5

1kmkm

( )( )

S541,215jy

500,00126539j 10.0522,5

)500,00126539j 10.0522,5tanh(50.4,30507j

2L

)2Ltanh(

2

LYy

km

5

5

1km

µ=

+

+=

γγ

γ=

−

−

−

−

Cálculo da corrente e tensão na carga e no gerador

Carga:

MVAj15016036,87200S21 +=°∠=

MVAj5033,3536,873

200S 1-21 +=°∠=φ

Assumindo Tensão nominal na Carga:

V03

345V ft2 °∠== RV

A36,87-334,695V

SI

*

1φ-2

1φ2121 °∠=

== −

RI

Cálculo da tensão e correntes no Gerador:

γ

γ

γ

γ

=

•

•

−−

−−

•

•

r

r

00

00

g

g

I

V.

l.coshl.senhZc

1

l.senh.Zcl.cosh

I

V

Tensão e corrente no gerador

+++

=

•

•

−−

−

•

•

r

r

g

g

I

V

jj

jj

I

V.

10.3760,69920,010.3073,4

98,364685,110.3760,69920,044

4

−∠−∠

=

•

•

88,2881,305

39,413,126423

g

g

I

V

Tensão de linha no Gerador:

V4,3993,218V

V4,39126423,133V

linhag

linhag

−∠=

−∠⋅=•

•

Potências e perdas na linha:

MVAj16,0335,2IVS *12g1φ-12 +=⋅=••

54,30MW35,253,33Pperdas =−⋅=

101,97MVAr33,993Qperdas =⋅=

Exercício

Considere a linha do exercício anterior alimentando uma carga trifásica equilibrada de 200 MVA fp 0,8 atrasado. A tensão nominal de linha é 345 kV no terminal gerador. Freqüência do sistema: 60 Hz

•Determine a potência consumida na linha e a tensão de linha junto a carga.