lubrificação
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Teoria de lubrificaçãoTRANSCRIPT
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Mecnica dos Fluidos II
14/20Monitor: Nuno Jorge S. Diashttp://www.vortex.unb.br/nuno/
Lubrificao
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Mecnica dos Fluidos II
Monitor: Nuno Jorge S. Diashttp://www.vortex.unb.br/nuno/
So escoamentos que acontecem em pequenas fendas ou espaos, onde uma dimenso do espao muito maior que a outra.
So escoamentos que se desenvolvem em uma nica direo, ou seja,
u . u=0
Note que u . u=0 o termo de inrcia na Eq. de Quantidade de Movimento
(u. u )= p+ u u t
=0
Quando podemos desprezar os termos de inrcia em relao ao termos viscosos?
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Considere um sistema composto por um veio e o seu respectivo mancal
ZOOM L h
Desprezando os termos de inrcia
u y
= p x
uU ;xL; yhEscalas
FN
Uh=FNL
1L
p=FNA=
FNL
FN=ULh
hL
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Fora Tangencial (Cisalhamento)
= u y
FTL=U
hFT=U
Lh
Qual das duas foras a maior?
FTFN
= hL1FTFN
As FT esto associadas com a viscosidade do fluido. Quanto maior for a viscosidade do
fluido maior ser a Fora Tangencial. Assim fluidos muitos viscosos proporcionam uma diminuio de F
N podendo provocar o indesejvel contato fsico entre o veio e o mancal.
Assim a F N ter que ser muito maior que a F
T e para tal tem que existir presso
perpendicular ao plano do escoamento.
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U h(x , y )
L
Considere o escoamento de um fluido visocoso em regime permanente entre dois contornos rgidos: y=0 e y=h(x,y). Seja U a velocidade do escoamento na horizontal e L o comprimento da escala tpica na horizontal.
Escalas: u ,wU ; x , zL; yh0 h0 uma escala tpica de h.
Equao da Continuidade
u x
+ v y
+w z
=0
u x
; w z
UL
v y
UL vU
h0L v1
x
y z
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Equao da Quantidade de Movimento na direo x.
(u u x +v u y +w u z )= p x + ( u x + u y + u z )UL
UL
Uh0
2UL
Pela anlise de escala observa-se que: u y
u x
, u z
Comparando os Termos de Inrcia com os Termos Viscosos:
F IFV
=U h0
h0L=R eh (h0L ) F IFV=
U L (h0L )
2
=R eL (h0L )2
ou
F IFV
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Aps as observaes anteriores escreve-se as eqs. da Quantidade de Movimento para as trs direes:
x p x
= u y
p x
Uh0
2
z p z
= w y
p z
Uh0
2
y p y
= v y
p y
ULh0
Comparando os termos de presso
p / y p / x
=h0L1 p
y p
x
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Ento fico com o seguinte sistema de equaes para resolver:
u y
= 1 p x
u= 12
p x
y+C1y+C2
w y
= 1 p z
w= 12
p z
y+C3y+C4
Condies de Contorno y=0u=0 ;w=0 y=h( x , y)u=0 ;w=0
u= 12
p x
y (h0 y )
w= 12
p z
y (h0 y )
u z
= 12
p x z
y (h0 y)
w x
= 12
p x z
y (h0 y )
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u z
= 12
p x z
y (h0 y)
w x
= 12
p x z
y (h0 y )
=w x
u z
=0
Voticidade nula: escoamento irrotacional no plano xz
Clula Hele-Shaw: constituda por duas placas distanciadas por um distncia . Usada para demonstrar escoamentos potenciais.
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Q=U A=U= 1A u . nds=
1h0 l0
h0
12
p x
y (h0 y)dy l=1
h02
12 p x
Calculando a Vazo
U=K ( ,) 1 p x
Comparando com a equao de Darcy para meio poroso
K
Funo da permeabilidade do meio porosoPorosidade
Distribuio de Porosidade
U=K p x
Assim Taylor constatou que poderia usar a clula Hele-Shaw para simular um meio poroso em que a constante de permeabilidade K. No estudo de Taylor a preocupao era saber a vazo ideal para retirar petrleo das rochas. O que estava acontecendo era que estavam a usar uma grande vazo para empurrar o petoleo das rochas. O resultado era de pouca extrao de petrleo devido a gua penetrar no petrleo (Fingers de Saffman-Taylor)
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Equao Geral de Reynolds da Lubrificao
Considere o caso bidimensional
U L
L
y
x
y=h( x)
Aproximao da Lubrificao
LL1
Escalas
uU ; xL; y L
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Equao Geral de Reynolds da Lubrificao
Equao da Continuidade
u x
+ v y
=0 vU vu
Equao da Continuidade
(u u x +v u y )= p x + ( u x + u y )UL
UL
U( L)2
u x
u y
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Equao Geral de Reynolds da Lubrificao
0= p x
+ u y
p x
U( L)2
0= p y
+ v y
p y
U ( L)2
p / y p / x
=1 p y
p x
p y
0
p=p(x )
u y
= 1 p x
u( y )= 12
p x
y2+C1 y+C2
Equao da Quantidade de Movimento na direo x
Condies de Contorno
u( y=0)=U ;u( y=h(x))=0
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u( y )= 12
p x
y ( yh)+U (1 yh )
Equao da Continuidade
Parte Linear (Couette)
Parte Parablica (Poiseiulle)
u x
+ v y
=00
hu x
dy+0
h v y
dy=00
hu x
dy+v ( y=h)v ( y=0)=00
hu x
dy=0
Pelo Teorema de Leibniz que corresponde ao Teorema de Transporte de Reynolds 1D, demonstra-se que:
0
hu x
dy= dd x 0
h(x)
udy
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dd x 0
h(x)
udy=0 16
dd x (h dpdx )=U dhd x
Equao de Reynolds da Lubrificao para o caso Bidimensional (2D)
Equao no-linear: dependendo de h(x) a soluo numrica ou grfica
Aplicao: Dada a geometria do mancal, h(x), integra-se em x e determina-se a distribuio de presso. Com a distribuio de presso deternimar a Fora Nornal sobre o mancal (que sustenta o veio ).
16 [ dd x (h dpdx )+ dd y (dpdy )]=U dhd x Equao de Reynolds da Lubrificao para o caso Tridimensional (3D)
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