L UCRUL M ECANIC Notiuneadelucrumecanicaaparut din necesitatea de a masura munca (fizica) depusa de om, precum si de masinile construite de el pentru a-1 ajuta in aceasta munca.Sa consideram situatia simpla in care un bustean este deplasat pe un plan orizontal cu ajutorul unui cabludecatreunom. Aceeasi deplasaresepoaterealizasi cuajutorul unui cal saual unui tractor. Generalizand pana la abstractizare interactiunea care se realizeaza prin intermediul cablului intre bustean pe de o parte si om, cal sau tractor pe de alta parte, s-a ajuns la notiunea de forta. Aceasta notiune ne permite sa facem abstractie de situatia concreta considerata si in loc sa spunem ca omul munceste, vom spune caforta Fproduce un lucru mecanic. Lucrul mecanic al forteiFeste cu atat mai mare cu cat intensitatea fortei si deplasarea corpului (asupra caruia actioneaza forta) sunt mai mari. Pentru generalizare, se poate face abstractie si de corpul considerat si sa spunem ca o forta produce lucru mecanic atunci cand punctul sau de aplicatie se deplaseaza. Stim ca o forta care actioneaza asupra unui rigid are caracterul unui vector alunecator, adica efectul fortei nuse schimba daca punctul de aplicatie se deplaseaza pe suportul ei. Trebuie sa observam ca in cadrul notiunii de lucru mecanic al unei forte nu o astfel dedeplasareesteluatainconsiderare, ci deplasareaefectivaapunctului depecorpincarese considera aplicata forta.Denumirea de lucru mecanic a fost data de inginerul francez Gustave Gaspard Coriolis. Continutul notiunii s-a adancit, o data cu cea de caldura, in secolul al XlX-lea cand s-a dovedit experimental ca exista un raport constant intre cantitatea de lucru mecanic (care este legat de miscarea mecanica) si cantitatea de caldura (care este legata de o forma de miscare nemecanica a materiei) in care acesta se poate transforma.1. DefinitieSe considera un punct material M care se deplaseaza pe traiectoria curbilinie ( ), fiind actionat de forta variabila F. La momentul t punctul material se afla in M1 avand fata de un punct de referinta fix 0 vectorul de pozitie r, iar la momentul + t dtse afla in2M , avand vectorul de pozitier d r +.Prin definitie se va numi lucrul mecanic elementar, corespunzator fortei Fsi deplasarii elementare r d, produsul scalar ( ) r d F ds F r d F dL cosunde ds r d .(1) Cum dtr dv r , expresia (1) devine dt v F dL (2) Rezulta ca: lucrul mecanic elementar corespunzator unei forte F si unei deplasari elementare r da punctului de aplicatie al fortei este egal cu produsul scalar dintre forta si deplasareaelementara.In expresia (1) s-a aproximat ca in intervalul de timpdtforta F ramane constanta, iar arcul este egal cucoardacorespunzatoare. FolosindexprimareaanaliticaavectorilorFsir dinfunctiede proiectiile vectorilor pe axele unui sistem cartezianOxyz(figura 1) z y xF k F j F i F + + ; dz k dy j dx i r d + + , (3) expresia (1) devine: dz F dy F dx F dLz y x+ + (4)referat.clopotel.ro 11

Figura1In functie de viteza.r v , expresia lucrului mecanic elementar este ( )dt z F y F x F dt v F L dz y x0 + + .2. Proprietati ale lucrului mecanic:a) este o marime scalara avand ca unitate de masura in sistemul international SI joule-ul (J) si in sistemul tehnic kilogram - forta - metrul (kgf.m);b) este pozitiv cand ( )

,_

2, 0 r d F si poarta in acest caz numele de lucru mecanic motor;c) este negativ cand ( )

,_

,2r d Fsi senumesteinacest cazlucrumecanic rezistent ;d) este nul cand 2 ;e)dacadeplasarear deste compusa din ndeplasari elementare nr d r d r d r d + + + ...2 1 (5) atuncinr d F r d F r d F r d F dL + + + ...2 1 (6)Deci:lucrul mecanicelementar corespunzator unei deplasari compuseesteegal cusuma lucrurilor mecanice elementare aferentedeplasarilor componente;f) dacafortaFreprezinta rezultanta unica a unui sistem de fortenF F F F + + + ...2 1 (7), atunci lucrul mecanic ester d F r d F r d F r d F dLn + + + ...2 1(8).Adica,lucrul mecanic elementar corespunzator rezultantei unui sistem de forte este egal cu suma algebrica a lucrurilor mecanice elementare ale fortelor componente.referat.clopotel.ro 22 Figura 23. Lucrul mecanic totalCand este corespunzator unei forte variabile Fsi unei deplasari finite a punctului material intre punctele A si B pe o traiectorie curbilinie (figura 2) lucrul mecanic este dat de expresia: ( )( )( ) ( )) cos ( ) ( + + AB ABz y xABB Ads F dz F dy F dx F r d F L (9) , iar in cazul unui cuplu

( ) ( )) cos ( ) (2 1 2 12 1 d M d M L(10).Expresia (9) se obtine prin descompunerea miscarii finite in miscarii elementare pentru care forta Fse considera constanta., iar arcul de curba se aproximeaza cu coarda si insumarea lucrurilor mecanice elementare corespunzatoare.Dinrelatia(9) seobservacalucrul mecaniccorespunzator unei deplasari finiteaunui punct material si unei forte variabile depind atat de modul cum variaza forta, cat si de forma traiectoriei.4. Lucrul mecanic in cazul fortelor conservativeIn cazul in care fortaFeste conservativa expresia ei estegradU kzUjyUixUU F ++ (11),unde U(x, y, z) este functia de forta.Functia de forta este ofunctie scalara de coordonatele punctului, cuajutorul careia sepot determina componentele fortei astfel:'zUFyUFxUFzyx

Pentru a exista o functie de forta trebuie indeplinite conditiile lui Cauchy, care sunt :xFyFyx yFzFzy

zFxFx z Lucrul mecanic elementar este: dU dzzUdyyUdxxUr d F dL ++ (12)dU dL (13) Lucrul mecanic total este ABA BBAB AU U dU r d F L (14),unde ( )A A A Az y x U U , , si ( )B B B Bz y x U U , , sunt functiiledefortacorespunzatoarepozitiilor initiala si finala.referat.clopotel.ro 33Rezulta ca:lucrul mecanictotal in cazuluneiforte conservative depinde numaide pozitiile initiala si finala ale punctului, fiind independent de forma traiectoriei.In locul functiei U, se poate considera functia V, numita si functie potentiala si definita prin relatia: U V . In acest caz, lucrul mecanic elementar are expresia dV dL .Functia de forta U si functia potentiala V nu pot fi determinate decat cu aproximatia unei constante.Daca un punct material este actionat simultan de un sistem de forte conservative nF F F ,..., ,2 1 care deriva din functiile de forta nU U U ,..., ,2 1, astfel incat:xUFx11; yUFy11;zUFz11;xUFx22; yUFy22; zUFz22;; ;.;xUFnxn ;yUFnyn;zUFnzn ;rezultanta nF F F R + + + ...2 1 va avea proiectiile: ( )xU U UFnx+ + + ...2 1; ( )yU U UFny+ + + ...2 1; ( )zU U UFnz+ + + ...2 1 ;adica rezultantaRderiva din functia de forta nU U U U + + + ...2 1. Unastfel de sistemde forte se numeste sistem conservativ.Figura 3Exemple: a) Forta Feste constanta ca modul si directie iar traiectoriaesteocurbaoarecare (figura 3). Fata de sistemul de axe ales, se poate scriexUF Fx ;0 z yF F (15), deci: C xF U + (16) Rezulta cos1 1 1 1 t h F U U LA B B A (17), unde este unghiul dintre segmentul de dreapta AB si axa Ox.Semnul plus se ia cand punctul coboara, iar semnul minus cand punctul urca.referat.clopotel.ro 44Figura 4b) In cazul in care F este o forta gravitationala (figura 4) notand-o cu G, rezulta:0 y xG G, xUG Gz (18) C zG U + , ) (A B B Az z G L .In general Gh L t (19).Rezultaca:lucrul mecanic al unei greutati nudepinde deformatraiectoriei pe care se deplaseaza punctul sau de aplicatie, ci depinde. numai de pozitiile extreme intre care se efectueaza miscarea, fiind egal cu produsul dintre valoarea numerica a fortei si diferenta de cota dintre pozitiile initiala si finala. c) Lucrul mecanic al unei forte elastice.Se considera un resort spiralOM in stare libera fixat in punctul 0 (figura 5). Prin intinderea arcului cu lungimea x ia nastere o forta F= kx,proportionala cu alungirea resortului. Coeficientul de proportionalitate notat prin k poarta numele de constanta elastica a resortului si reprezinta forta necesara pentru a produce o alungire a resortului egalacuunitatea. Pentruodeplasareelementaradx a punctuluiM din M'in M",lucrul mecanic elementar corespunzator fortei elasticeFsi deplasarii dx este :dx x k dx F dL (20).PentruodeplasarefinitadinAinBaextremitatiiMa resortului cand acesta este intins, lucrul mecanic va fi ( )2 221A BBAB Ax x k dx x k L (21) Figura 55. Lucrul mecanic elementar corespunzator unui sistem de forte ce actioneaza asupra unui solid rigidSe considera un solid rigid liber (figura 6), supus actiunii unui sistem de forte active( ) n i Fi.... 2 ; 1 .Lucrul mecanic elementarcorespunzator forteiiF si deplasarii elementareir d , a punctului de aplicatie iM, al fortei este :dt v F r d F dLi i i i i (22)Notand cu:0v viteza punctului O, apartinand solidului rigid ; viteza unghiulara de rotatie relativa a solidului rigid fata de punctul 0, relatia (22) devine :referat.clopotel.ro 55 dt F r dt v F dt r v F dLi i i i i i

,_

+

,_

0 0,unde ireste vectorul de pozitie al punctuluiiMfata de punctul0.Pentru intregul sistem de forte se obtine

,_

+ ninii i idt F r dt F v dL1 10 . Figura 6 Dar1. 0 0r d dt v deplasarea elementara prin translatie a rigidului 2. d dt unghiul elementar de rotatie considerat ca vector; 3. R Fnii1 vectorul rezultant al sistemului de forte active;4. 01M F rnii i vectorul moment rezultant al sistemului de forte active relativ la polul 0;Adica d M r d R dL + 0 0(23)Un caz important in aplicatiile tehnice este acela al unui rigid actionat de un cuplu ( ) F F ; .In acest caz miscarea rigidului este o rotatie. Avand in vedere ca 0 R, din relatia (23) se obtine : d M dL 0 ; 210 d M L(24)Cand axa de rotatie coincide cu suportul lui 0Msi acesta este constant, rezulta: ( ) t 0 1 2 0M M L(25)6. Lucrul mecanic al fortelor interioareSe considera doua puncte materiale iMsijMasupra carora actioneaza fortele interioare ijF si respectiv jiF(figura 7). Fie irsi jr vectorii de pozitie ai punctelor iM si jM in raport cu punctul fix 0.Lucrul mecanic elementar aferent fortelorijF sijiF si deplasarilor elementare ale punctelor de aplicatie ale fortelor este( )j i ij j ji i ijr d r d F r d F r d F dL + .Deoarece( ) ( )' i j iji j i i j iij jiM M FM M d r r d r d r dF F rezulta ca ( )221M M d dLj (26)In expresia (26) este un scalar pozitiv sau negativ dupa cum punctele iM si jM se resping sau se atrag.referat.clopotel.ro 66Daca punctele materiale apartin unui sistem material rigidconst M Mi j , iar0 dL , rezulta ca: sumalucrurilor mecanice elementare alefortelor interioare ceactioneazapunctele unui sistem material rigid, pentru orice deplasare elementara a sistemului este nula. Figura 77. Reprezentarea grafica a lucrului mecanicInfigura8estearatatareprezentareagraficaalucrului mecaniccuajutorul unei diagrame. In abscisa se reprezinta proiectia deplasarii pe directia fortei, iar in ordonata este reprezentata forta.Lucrul mecanic corespunzator fortei( ) s Fsi deplasarii finite 2 1s seste egal cu valoarea ariei data de diagrama a 21ssds F Lsuprafata 2 2 1 1s s s s (27)iar in cazul unui moment prin valoarea suprafetei date de diagrama b.Figura8referat.clopotel.ro 77